高考数学 真题分类汇编 概率与统计(含解析)
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1 概率与统计
1. (2012·辽宁高考卷·T5·5分) 一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为
(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！
【答案】C
【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3!种排法，三个家庭共有33!3!3!(3!)种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种排法。因此不同的坐法种数为4(3!)，答案为C
【点评】本题主要考查分步计数原理，以及分析问题、解决问题的能力，属于中档题。
2. (2012·辽宁高考卷·T10·5分)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为
(A) 16 (B) 13 (C) 23 (D) 45
【答案】C
【解析】设线段AC的长为xcm，则线段CB的长为(12x)cm,那么矩形的面积为(12)xxcm2，
由(12)32xx，解得48xx或。又012x，所以该矩形面积小于32cm2的概率为23，故选C
【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。
3.（2012·上海高考卷·T17·5分）设443211010xxxx，5510x，随机变量1取值54321xxxxx、、、、的概率均为2.0，随机变量2取值222221554433221xxxxxxxxxx、、、、的概率也均为2.0，若记21DD、分别为21、的方差，则（ ）
A．21DD B．21DD
C．21DD D．1D与2D的大小关系与4321xxxx、、、的取值有关
【答案】 A 2 【解析】 由随机变量21,的取值情况，它们的平均数分别为：1123451(),5xxxxxx，2334455112211,522222xxxxxxxxxxxx
且随机变量21,的概率都为2.0，所以有1D＞2D. 故选择A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题.
4.（2012·湖北高考卷·T8·5分）如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 （ ）
A．21π B．112π
C．2π D．1π
【答案】A
【解析】如下图所示，设OA的中点为1O，OB的中点为2O，半圆1O与半圆2O的交点分别为,OF，则四边形12OOFO是正方形.不妨设扇形OAB的半径为2，记两块白色区域的面积分别为12,SS，两块阴影部分的面积分别为34,SS.
则 3 21234124OABSSSSS扇形, ①
而22132311111,12222SSSS，即1232SSS, ②
由①-②，得34SS.
又由图象观察可知，12214OOFOOABOFBOAFSSSSS正方形扇形扇形扇形
222222111111111114422.
故由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率
3442221OABOABSSSPSS扇形扇形.
【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用.
5.（2011年湖北）．如图，用K、1A、2A三类不同的元件连接成一个系统。当K正常工作且1A、2A至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、1A、2A正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为
A．0．960 B．0．864 C．0．720 D．0．576
B
6. （2011年湖北）．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为 。（结果用最简分数表示）
28145
7. （2011年湖北）．给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当4n时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示： 4
由此推断，当6n时，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻．．的着色方案共有 种，（结果用数值表示）
答案：21，43
8. （2011年湖南）．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 总计
爱好 40 20
60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
由22nadbcKabcdacbd算得，22110403020207.860506050K．
2()PKk 0．050 0．010 0．001
k 3．841 6．635 10．828
参照附表，得到的正确结论是
A．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
答案：C
9. （2011年江苏）．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为______
答案：31
10．（2011年安徽）
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别,,ppp，假设,,ppp互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
（Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？ 5 （Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为,,qqq，其中,,qqq是,,ppp的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）EX；
（Ⅲ）假定ppp，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。
分析：本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.
解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是
)1)(1)(1(321ppp，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，
并等于
.)1)(1)(1(1321133221321321ppppppppppppppp
（II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为321,,qqq时，随机变量X的分布
列为
X 1 2 3
P 1q 21)1(qq )1)(1(21qq
所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是
.23)1)(1(3)1(2212121211qqqqqqqqqEX
（III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，
.232121ppppEX
根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.
下面证明：对于321,,ppp的任意排列321,,qqq，都有
212123qqqq,232121pppp……………………（*）
事实上，)23()23(21212121ppppqqqq
.0)]())[(1())((1())(2()()()()(2)()(221211221112221211221121212211qqppqqpqqppqpqpqpqpqpqqppqpqp
即（*）成立.
（方法二）（i）可将（II）中所求的EX改写为,)(312121qqqqq若交换前两 6 人的派出顺序，则变为,)(312121qqqqq.由此可见，当12qq时，交换前两人的派出顺序可减小均值.
（ii）也可将（II）中所求的EX改写为212123qqqq，或交换后两人的派出顺序，则变为313123qqqq.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当23qq时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.
综合（i）（ii）可知，当),,(),,(321321pppqqq时，EX达到最小. 即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.
11.（2011年北京）
以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。
（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。
（注：方差2222121nsxxxxxxnK，其中x为1x，2x，…… nx的平均数）
解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为
;435410988x
方差为
.1611])43510()4359()4358()4358[(4122222s
（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=.81162
同理可得;41)18(YP;41)19(YP.81)21(;41)20(YPYP
所以随机变量Y的分布列为：
Y 17 18 19 20 21
