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第六章湍流模型湍流模型湍流运动中动量与能量交换主要受大尺度涡的影响湍流的基本方程无论湍流运动多么复杂，非稳态的连续方程和Navier-stokes 方程对于瞬时运动仍然是使用的。
对不可压流动：=01+=-+(grad )1+=-+(grad )1+=-+(grad )u p u v u t x v p v v t y w p w v w t zρρρ∇∂∂∇∇∂∂∂∂∇∇∂∂∂∂∇∇∂∂u u u u ()(v )()一、“雷诺平均”模式（RANS)根据湍流统计平均理论，湍流的速度、压强都可以分解为平均量和脉动量'i i iu u u=+p p p '=+其中，,i u p 为系综统计平均量，任意变量ф的时间平均值定义为:1()t ttt dt t φφ+∆=∆⎰,i u p ''为脉动量一、“雷诺平均”模式（RANS)对N-S 方程做系综平均()0i iu x ∂=∂遵循求导和系综平均可交换的原则，上式的线性项可直接写出:i iu u t t∂∂=∂∂21()i i i j i j i j ju u pu u f t x x x x νρ∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂一、“雷诺平均”模式（RANS)对非线性对流项()()(()())()()i j i j j i i j i j i j i j i j j j j j i j i j ju u u u u u u u u u u u u u u u x x x x u u u u x ∂∂∂∂''''''==++=+++∂∂∂∂∂''=+∂将以上方程代入N-S 方程的系综平均中:'2'''''''2'''''''2=01+=-+(grad )+[---]1+=-+(grad )[---]1+=-+(grad )[---]u p u u v u w u v u t x x y z v p u v v v w v v v t y x y z w p u w v w w w v w t zx y z ρρρ∇∂∂∂∂∂∇∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇∇+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇∇+∂∂∂∂∂u u u u ()()()()0i iu x ∂=∂21()()i i i j i j iji j j i u p u u u v u u f t x x x x x ρ∂∂∂∂∂''+=-+-+∂∂∂∂∂∂()ij i j R u u ρ''=-为雷诺应力项一、“雷诺平均”模式（RANS)()0i iu t x ρρ∂∂+=∂∂()1()[()]i i i j i j i ji j j u p u u u u u s t x x x x ρρμρρ∂∂∂∂∂''+=-+-+∂∂∂∂∂()()[()]j i j j i ju u s t x x x φρφρφρφ∂∂∂∂''+=Γ-+∂∂∂∂RANS方程和原N-S方程在形式上很相似，只是多了雷诺应力项（6个）。
湍流模型方程
湍流模型方程是用来描述湍流流动的数学方程。
其中最经典的湍流模型方程是雷诺平均纳维-斯托克斯方程，也称为RANS方程。
雷诺平均纳维-斯托克斯方程是对流体流动进行平均处理后得到的方程，可以描述湍流的运动规律。
其方程形式如下：
∂(ρu_i)/∂t + ∂(ρu_iu_j)/∂x_j = - ∂p/∂x_i + ∂(τ_ij)/∂x_j + ρg_i + F_i
其中，ρ是流体的密度，u_i是速度分量，t是时间，x_i是空间坐标，p是压力，τ_ij是应力张量，g_i是重力分量，F_i是外力分量。
这个方程描述了流体的连续性、动量守恒和能量守恒。
湍流模型方程还包括了湍流模型，用来描述湍流的统计性质。
最常用的湍流模型是k-ε模型，它基于湍流运动的能量和湍流耗散率进行描述。
k-ε模型的方程如下：
∂(ρk)/∂t + ∂(ρku_i)/∂x_i = ∂(μ+μ_t)∂x_j ∂u_i/∂x_j - ρε + ρg_i + F_i
∂(ρε)/∂t + ∂(ρεu_i)/∂x_i = C_1εk/μ (∂(μ+μ_t)∂x_i ∂u_i/∂x_j) - C_2ρε^2/k + ρg_iu_i + F_i
其中，k是湍流能量，ε是湍流耗散率，μ是动力粘度，μ_t是湍流粘度，C_1和C_2是经验常数。
这个模型方程描述了湍流能量和湍流耗散率的传输过程，可以用来计算湍流流动的各种统计量。
湍流的数学模型第五讲流体仿真与应用◆湍流认识19世纪，一般都认为湍流是一种完全不规则的随机运动，Reynolds最初将这种流动现象称之为摇摆流（sinuous motion），其后Kelvin将其改名为湍流（turbulence），这个名字一直沿用至今。
◆湍流物理特征湍流由各种不同尺度的涡旋叠加而成，其中最大涡尺度与流动环境密切相关，最小涡尺度由粘性确定；流体在运动过程中，涡旋不断破碎、合并，流体质点轨迹不断变化；在某些情况下，流场做完全随机的运动，在另一些情况下，流场随机运动和拟序运动并存。
“随机”和“脉动”是湍流流场的重要的物理特征。
▼不可压缩时均运动控制方程组之所以出现方程组出现不封闭（需求解的未知函数较方程数多），在于方程中出现了湍流脉动值的雷诺应力项。
要使方程组封闭，必须对雷诺应力做出某些假定，即建立应力的表达式（或者引入新的湍流方程），通过这此表达式把湍流的脉动值与时均值等联系起来。
基于某些假定所得出的湍流控制方程，称为湍流模型。
湍流模型雷诺应力模型雷诺应力方程模型代数应力方程模型两一零方程模型方程模型方程模型湍动粘度类模型◆雷诺应力类模型这个模型的特点是直接构建表示雷诺应力的补充方程，然后联立求解湍流时均运动控制方程组。
▼雷诺应力方程是微分形式的，称为雷诺应力方程模型。
▼若将雷诺应力方程的微分形式简化为代数方程的形式，则称为代数应力方程模型。
▼一方程模型一方程模型考虑到湍流的对流输运和扩散输运，因此比零方程模型更为合理。
但是，一方程模型中如何定长度比尺仍是不容易决定的问题，因此在实际工程计算很少应用。
两方程模型是指补充2个微分方程使湍流时均控制方程组封闭的一类处理方法。
▼二方程模型两方程模型中标准模型及各种改进模型在工程中获得了最广泛的应用。
εκ−▼标准两方程模型εκ−○标准两方程模型常数取值εκ−▼标准模型的控制方程εκ−▼标准模型的适应性εκ−①模型中的相关系数，主要根据一些特定条件下的试验结果而确定的。
12 流体湍流运动的数学模型湍流是粘性流体在雷诺数相当大（至少大于临界雷诺数）时产生的一种流动现象。
湍流不是流体的特性而是流动的一种型态。
在湍流运动中各种流动的特征量均随时间和空间坐标而呈现随机的脉动。
由于其随机性，可以用统计的办法处理，得到湍流中各种物理量的统计平均值及其它的统计特性，但却很难用确定性的方法解决湍流运动问题。
湍流具有的扩散性使它可以更为有效地将动量、能量、含有物质的浓度、温度等向各个方向扩散、混掺和传输。
湍流是三维的有涡流动而且伴随着涡的强烈的脉动。
通过三维涡量场中旋涡的拉伸和变形，形成湍流中各种不同尺度的旋涡。
而这些不同尺度的旋涡在湍流运动中起着不同的作用。
大尺度旋涡从时均流动中取得能量，能量由大尺度旋涡向小尺度旋涡逐级传递，并最后在小尺度旋涡中通过流体的粘性将能量耗散。
因此维持湍流运动必须要消耗相当的能量，这就是所谓湍流的耗散性。
2.1雷诺平均方程由于湍流特征量在时间和空间上的剧烈脉动，使得处理一般粘性流动的方法不再适用。
1895年雷诺在他的著名论文中模仿分子运动论的平均思想，引入了两次平均的概念。
按照他的想法，在通常的分子运动论的统计平均之后，就可以得到流体力学的运动方程式， Navier-Stokes 方程和连续方程，即j ij i j i i i x x p x uu t u ∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂2σρ （2-1）()0=∂∂+∂∂i ju x t ρρ （2-2）2式中i u 为流体的速度，p 为压力，ρ为密度．2ij σ为除压力以外的应力张量，它的表达式为ij i j j i ijx u x u x u δλμσαα∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=2（2-3） 式中μ为粘性系数，μλ32-=k ，k 称为第二粘性系数或体积（大块）粘性系数．只有对单原子分子的气体，k 的值才为零．一般情况k 的值比μ大好多倍，甚至上万倍。
对于密度为常数的不可压缩流体的情形，有i ij i j i u x Px u u t u 21∇+∂∂-=∂∂+∂∂νρ （2-4）0=∂∂jix u （2-5） 式中ρμν=为运动粘性系数，假定它为常数。
雷诺参照分子运动论的平均方法，对不可压缩流体的运动方程和连续方程再进行一次平均，就得到著名的雷诺方程：()j i ji i j i j i u u x u x p x u u t u ρρνρ∂∂-∇+∂∂=∂∂+∂∂112 （2-6）0=∂∂jj x u （2-7）瞬时量i u 和平均值i u 及脉动量i u 的关系为 i i i u u u +=。
同样，瞬时量p 和平值p 及脉动量p 的关系为 p p p +=；j i u u ρ-为湍流脉动引起的应力，通常称为雷诺应力。
为方便分析问题，雷诺平均N-S 方程还可写为()()()T ij l ij ji j i j i x x p x u u t u ττρρ+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂ （2-8） 式中p 为压力的平均值，()ij l ijs μτ2=为分子粘性应力，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂=i j j iij x u x u s 21为应变率张量，μ为分子粘性系数，()''i j T iju u ρτ-= 为湍流脉动引起的雷诺应力张量。
对于三维问题，有六3个雷诺应力分量。
原来的不可压缩流体力学方程组共有4个方程式和4个未知数，所以它是一个封闭的方程组。
而经过平均以后的方程组，方程的个数仍然是4个，但未知函数的个数却增加为6个（加上了雷诺应力），所以是不封闭的方程组。
在雷诺发表这篇著名论文以后的一百多年里，人们一直在寻找封闭这个方程组的方案。
2.2湍流的数学模型及其评述为解决上述问题，工程上计算湍流主要采用两种方法，这些方法构成了湍流模拟的中心思想。
第一种方法为雷诺应力运输模型RSTM ( Reynolds Stress Transport Method )，对每个分量()T ij τ都构造一个方程，称为雷诺应力方程。
为了获得雷诺应力方程，令0''=+Vi j Vj i N u N u通过简单运算，便可获得()T ij τ的方程0=ij N 。
雷诺应力方程又包含一些新的需要模拟的项，只是这些新的模拟不需要很高的精度。
第二种方法为Boussinesgue 涡粘性模型EVM ( Eddy Viscosity Model )，即假设雷诺应力与应变率ij s 存在如下的线性关系式：()ij ij T T ij k s δρμτ322-= （2-9） 式中T μ为湍流粘性系数，''21j i u u k =为湍流动能，ij δ为Kronecker 函数。
最简单的办法就是使用代数模型，即构造T μ与平均量梯度之间的简单代数关系式。
另一种方法就是将T μ与某些湍流参数联系起来，这些湍流参数本身也满足运输方程。
在模式理论中，方程的个数是指除了雷诺运动方程式和连续方程式以外，还需要增加多少个附加方程式才能使这个方程组封闭求解．如果雷诺应力能用平均流速等直接表示出4来，就能够把雷诺应力直接代入到雷诺方程式中去，将其和连续方程式联立，就有４个未知量i u 和P ，同时有４个方程式，成为一个封闭的方程组，而并不需要另外附加任何的方程式。
常用的湍流数学模型有以下几种： （一）零方程模型所谓零方程模型，就是在雷诺方程和连续方程之外，不需要另外附加任何的方程式来使方程组封闭。
换句话说，也就是雷诺应力能直接用某些物理量和物理常数表达出来。
因为在有的时候，用很多复杂理论得到的结果并不见得一定比用零方程模式所得到的结果好，或者好不了多少，甚至有的时候更糟。
另一种零方程模式就是混合长度理论。
混合长度模型比布辛涅斯克的湍流粘性模型进了一步，能够较好地模拟射流和边界层流动，但对于稍复杂的流动，尤其是有回流的运动，则无能为力。
这是由于混合长度零方程模型的假设中，忽略了湍流动量的对流输运和扩散输运，因此当速度梯度为零时，得到湍流粘性系数为零的错误结论，且上游的湍流对下游的影响也不能很好地体现。
零方程模型缺乏通用性，对不同的情况需确立不同的混合长度，很难满足工程需要。
（二）一方程模型一方程模型是在连续方程和动量方程之外又建立了一个关于湍流特征量的微分输运方程，其中物理意义最明显的是单位质量的湍动能k ，因此一方程模型一般是用来求解k 方程的，以此作为湍流的速度尺度。
湍动能K 方程可写为2/31221)(K L C x K v x u u u x K v x x K u t K jj j j i j t j j j +∂∂+∂∂''-∂∂β∂∂=∂∂+∂∂ （2-10） 由量纲分析知52/1LK C v v t = （2-11）式中：C v 为常数。
L 根据试验和经验确定。
（三）二方程模型二方程模型在湍动能模型的基础上直接用偏微分方程来解湍流的特征长度L ，目前在工程计算中用的最多的是K －ε模型。
湍动能K 方程可写成ε-∂∂''-∂∂∂+∂∂σ∂∂=∂∂+∂∂jj j i j j j K t j j j x u u u x x Kv x K v x x K u t K 22) （2-12） 对湍流耗散方程经过量纲分析简化后得到KC x u u u KC x x Kv x v x x u t jj ji jj j t j j j 2212)(εεεσεεε-∂∂''-∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂ （2-13）式中：C 1、C 2为常数。
由量纲分析可知ε=2K C v v t （2-13）二方程模型适用于高雷诺数湍流。
（四）雷诺应力模型该模型直接从湍流应力方程出发，再作适当简化，使方程封闭。
主要假定是：①湍流应力j i u u ''的扩散与其自身的梯度大小成正比；②K 和ε是湍流量的基本量纲；③小涡各向同性，即当i ≠j 时，0=∂∂'∂'∂jj j i x x v v v。
考虑到i 、j 的对称性等条件，可得到湍流应力模型方程： ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂''∂+∂''∂''ε∂∂=∂∂''∂+∂''∂j j i j j i j i K jj j ji j j i x u u v x u u u u K C x x x u u u tu u 26⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂''δ-∂∂''+∂∂''-δ-''ε-εδ-∂∂''+∂∂''-j j j j ij j i j j j j j i ij j i ij j i ji jj ji x u u u x u u u x u u u C K u u K C x u u u x u u u 32)()32(32(21 （2-19）式中：系数C K 、C 1、C 2由试验确定，是常数。
用该模型计算求解工作量大。
2.3湍流的高级模拟基于雷诺平均的湍流模型对于一般湍流问题误差较大，湍流计算很难从根本上获得突破。
平均运算的结果是将脉动运动的全部行为细节一律抹平，丢失了包含在脉动运动中的大量有意义的信息，计算结果反映的是流动在时间历程上的统计平均表现，而无法反映流动的瞬时脉动特性。
同时，当采用涡粘性湍流模型来封闭雷诺时均方程时，将湍流运动中所有大小不同尺度的涡同等对待，且认为都是各向同性的，从而使模型的应用受到一些限制，特别对付强旋涡流等各向异性的问题就显得极不适应。
如果有足够的计算条件，可以在更宽尺度上计算湍流，如直接数值模拟DNS( Direct Numerical Simulation ) 与大涡模拟LES( Large Eddy Simulation ，简称为 LES)。
由于计算机容量和速度的限制，目前计算机所允许采用的计算网格尺度比湍流小涡尺度大得多，所以直接数值模拟（DNS ）方法还无法广泛使用。
作为直接数值模拟的一种变通，大涡模拟（LES ）就成为研究湍流的新方法。
大涡模拟是建立在湍流统计理论和拟序结构认识的基础上的一种新的数值预测方法。
它克服了湍流模式理论的时均处理和普适性方面存在的缺陷。
其基本思想是：首先，把包括脉动在内的湍流瞬时运动通过某种滤波方法分解成大尺度运动和小尺度运动两部分，大尺度量要通过数值求解运动微分方程直接计算出来，小尺度运动对大尺度运动的影响通过建立亚格子模型来模拟（叫作次网格尺度模拟，Subgrid Scale,简称为 SGS ），这样就大大减少了计算工作量和对内存的需求。
与雷诺平均不同，大涡模拟中根据需要直接计算的涡的尺度，对N-S方程采取某种滤波处理，使得对于大涡方程是精确的，而小涡的影响会以某种需要模拟的项出现。
