五阶KdV方程的行波解、周期波解及其渐近分析

KdV 方程地近似行波解数学与应用数学专业 学生：王芳 指导教师：高正晖摘 要：本文利用傅里叶级数法,吴消元法获得了KdV 方程地多组近似行波解.关键词：KdV 方程。

傅里叶级数法。

吴消元法。

近似行波解1 引言随着应用科学地发展,使得描述实际现象地非线性偏微分方程越来越突现其重要性.最早用于描述浅水波现象地KdV 方程0=++xxx b x a t ϕϕϕϕ.在经过长时间沉寂后,随着孤波理论地发展,方程本身和解地意义被人们重新认识,吸引了科学家地研究兴趣.人们发现各种不同形式地KdV 方程可以描述很多领域中地不同现象.如:弱非线性,弱色散地平面波系统运动,等离子体中地磁流体波.而方程地近似解能使物理现象得到进一步地解释.因此,对数学家、物理学家、工程学家及应用科学工作者来说,寻找对应实用背景方程地近似解一直是大家关注地问题.由于非线性方程问题地复杂性和特殊性,非线性方程没有统一地求解办法,因而出现求解非线性方程地各种方法,如直接积分法,混合指数法,齐次平衡法,双曲函数展开法及Baclund 变换法等.所有这些方法都有一定地局限性.本文采用傅里叶级数法和吴文俊消元法,获得了非线性方程 KdV 地多组近似行波解.2 KdV 方程地求解KdV 方程可表示为：06=+-xxx x t ϕϕϕϕ. （1） 现在用傅里叶级数法来求解上述KdV 方程，为了求解（1）式.令：wt x +==ξξϕϕ),( （2）将（2）式代入方程（1）可得常微分方程：06'''''=+-ϕϕϕϕw . （3）对（3）式积分一次，=+-⎰ξϕϕϕϕd w '''''6c w ++-''23ϕϕϕ 取积分常数0=c ，得：03''2=+-ϕϕϕw . （4）由傅里叶级数法,设方程（4）有如下形式地行波解ξξξϕn b n a A n n n sin cos )(1++=∑∞=. （5）2.1当1=n 时：ξξξϕsin cos )(11b a A ++=. （6）其中11,,b a A 为待定系数.将（6）式代入（4）式即：)sin cos ()cos sin sin 2sin cos 2cos 2(3)sin cos (3112212211111211''2ξξξξξξξξξξϕϕϕb a a b Ab b a Aa A b a A w w --++++++-++=+- ξξξξξξsin cos 6cos 3sin 3sin )6(cos )6(3112212211111112b a a b b Ab w b a Aa w a A wA -----+--+-=0= （7）令(7)式中地常数项以及各次项地系数为零，得到如下方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=---=--+--=-063306603112121111`1112b a a b b Ab w b a Aa w a A wA 解得：①;,0,,111k w A k b k a ===-=②.,3,,1111k w k A k b k a ==-==其中1,k k 为任意常数.于是方程（4）有如下形式地解：①;sin cos )(ξξξϕk k +-=②.sin cos )(1k k k +-=ξξξϕ2.2当2=n 时：ξξξξξϕ2sin 2cos sin cos )(2211b a b a A ++++= （8）其中2211,,,,b a b a A 为待定系数.将（8）式代入（4）式即：ξξξξϕϕϕ2sin )6(2cos )6(sin )6(cos )6(332222*********''2b Ab w b a Aa w a b Ab w b a Aa w a A wA w --+--+--+--+-=+-ξξξξξξξξξξξξξξξξ2sin 32cos 3sin 3cos 32sin 2cos 62sin sin 6sin 2cos 62sin cos 62cos cos 6sin cos 6222222221221222112212111b a b a b a b b b a b a a a b a ----------0= （9） 令（9）中地常数项及各次项地系数为零，得到如下方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++++=+++++++=--------+--=--------+--=-0336666660336666660666666466066666646603222122122121211122212212212121112212212121112221112212212121112221112b b b a b b b a b b a b b a a a b a b a a a b a a a b a b a b b b a b b a b b a b Ab w b b Ab w b b a b a a a b a a a b a a Aa w a a Aa w a A wA （10）利用吴消元法解上述关于,,,,,,2211b a b a A w 地方程组得： ①;2)71(20735,,,)3437(,)3437(,02211k w k b k a k b k a A -++===-=-== ②;2)71(20735,,,)3437(,)3437(,02211k w k b k a k b k a A ++-===--=--== ③;2)71(20735,)3437(,,,)3437(,02211k w k b k a k b k a A -+-=-===-== ④;2)71(20735,)3437(,,,)3437(,02211k w k b k a k b k a A ++-=--===--== ⑤;3,,,)3437(,)3437(,6)878()573(22112A w k b k a k b k a k k A ===-=-=-++-=⑥;3,,,)3437(,)3437(,6)878()573(22112A w k b k a k b k a k k A ===--=--=+--= ⑦;3,)3437(,,,)3437(,6)878()573(22112A w k b k a k b k a k k A =-===-=-++-= ⑧.3,)3437(,,,)3437(,6)878()573(22112A w k b k a k b k a k k A =--===--=+--= 其中k 为任意常数.于是方程（4）有如下形式地解： ①;2sin 2cos sin )3437(cos )3437()(ξξξξξϕk k k k ++-+-= ②;2sin 2cos sin )3437(cos )3437()(ξξξξξϕk k k k ++--+--= ③;2sin )3437(2cos sin cos )3437()(ξξξξξϕk k k k -+++-= ④;2sin )3437(2cos sin cos )3437()(ξξξξξϕk k k k --+++--= ⑤;6)878()573(2sin 2cos sin )3437(cos )3437()(2k k k k k k -++-+++-+-=ξξξξξϕ ⑥;6)878()573(2sin 2cos sin )3437(cos )3437()(2k k k k k k +--+++--+--=ξξξξξϕ ⑦;6)878()573(2sin )3437(2cos sin cos )3437()(2k k k k k k -++-+-+++-=ξξξξξϕ⑧.6)878()573(2sin )3437(2cos sin cos )3437()(2k k k k k k +--+--+++--=ξξξξξϕ 3 结束语本文以KdV 方程为例,介绍了用傅里叶级数法和吴消元法求解近似行波解地方法,从而揭示了求解非线性发展方程精确行波解理论与技巧.参考文献：[1]赵长海.KdV 方程地显示行解[J].海南师范大学学报（自然科学版），2010,23（3）:142-146.[2]高正晖，罗李平，杨柳.求非线性发展方程精确行波解地几种方法[J].衡阳师范学院学报，2009,30（6）：13-17.[3]高正晖.(2+1)维CD 方程地精确行波解[J].科学技术与工程，2009,9（8）：2122-2125.[4]刘洪林，刘洪元.吴消元法地初等代数形式[J].沈阳师范大学学报（自然科学版），2005,23（3）：248-251.[5]刘洪元.吴消元法与四元术[J].辽宁大学学报（自然科学版）,2004,1(4)：338-341. [6]张克磊.几类非线性波动方程行波解分支地研究[D].桂林：桂林科技大学数学研究所，2010.[7]殷俊.三类广义KdV 方程地行波解[D].成都：四川师范大学，2008.[8]傅海明.一类五阶KdV 方程行波解[J].鸡西大学学报，2008,8（6）：142-143.[9]叶健芬，蔡桂平，虞凤英.利用双曲函数法研究非线性方程地行波解[J].温州师范学院学报(自然科学版) ，2006,27(2)：1-4.[10]李俊焕，郑一.两种方法求KdV 方程地新解[J].青岛理工大学学报，2011,32（5）：123-126.Approximate Traveling Wave Solutions of KdV Equation Mathematics and Applied Mathematics Author ：Wang Fang Tutor: Gao Zhenghui Abstract: In this paper, KdV equation groups of traveling wave solutions are obtained by using Fourier series method and Wu elimination method.Key words: KdV equation 。

非线性电报方程解的渐近性质及广义KdV方程的行波解的开题报告开题报告：一、选题背景：随着科学技术的不断发展和进步，非线性物理学越来越受到了人们的关注和重视。

非线性电报方程（NLE）以其在科学中具有的广泛应用性和重要性而成为了研究的热点之一。

NLE方程是指其解不具有可加性质，从而使其解的行为更为复杂。

NLE方程的解对于理解物理过程具有极其重要的作用，并且在实际应用中也具有广泛的应用。

同时，在研究NLE方程时，KdV方程也是研究的重点之一。

广义KdV方程具有比KdV方程更广泛的应用，能够解释更多的现象，使用更加广泛和灵活。

二、研究内容：本文主要研究NLE方程解的渐近性质以及广义KdV方程的行波解。

在解非线性电报方程时，我们将研究NLE的一些基本性质，并结合非线性方程求解的方法来研究其解的渐近性质，进而深入理解其在实际应用中的物理意义以及对系统的影响。

并且，本文将进一步研究广义KdV方程的行波解，包括特征线分析和行波解的求解方法，通过数学计算来研究其解的特性。

三、研究意义：本文的研究对于深入理解非线性电报方程、深入探讨其应用以及对实际应用中各种问题的解决和优化都具有重要的意义。

同时，研究广义KdV方程的行波解，也能够发掘出更多的物理现象，并加深人们对其本质的理解。

最终，通过本文的研究成果，人们可以更好地理解和应用相关的数学知识，促进在实际应用中解决真正的问题。

四、研究方法：本文主要采用数学方法，包括对方程的基本理解、特征线分析、行波解的求解等方面，进行探究和研究。

具体来说，需要深入理解非线性方程的基础性质，包括解的可穿透性、解的唯一性等，并运用变换方法等数学技巧来求解方程的解。

在研究行波解方面，需要对广义KdV方程的基本特征进行分析，并结合求解方程的行波解的公式来研究其解的特性。

五、预期成果：本文的主要预期成果是对非线性电报方程解渐近性质以及广义KdV 方程的行波解等方面进行理论分析，研究其基本特性和物理意义，并运用数学方法对其解的特性进行研究。

(2+1)-维5阶KdV方程的相互作用解孟勇【摘要】使用Hirota双线性方法求出(2+1)-维5阶KdV方程的单孤子解、呼吸子解、Lump孤子解,并且通过理论计算的方法得到Lump型孤子的运动轨迹、有效体积、有效动能等动力学特征量,然后通过单孤子解与呼吸子解的叠加方式发现呼吸子被单孤子吞噬的现象,以及探究Lump型孤子与单孤子的相互作用过程中所表现出来的碰撞、反弹、吸收、分裂等粒子性特征,从而揭示现象背后所反映出来的物理学规律.【期刊名称】《巢湖学院学报》【年(卷),期】2018(020)006【总页数】12页(P30-41)【关键词】单孤子解;呼吸子解;Lump孤子;粒子性;动力学特征量【作者】孟勇【作者单位】宁波大学,浙江宁波 315211【正文语种】中文【中图分类】O175.291 引言世界的本质是非线性，线性只是在某些条件下的近似。

世界之所以色彩斑斓和变幻万千，究其原因是事物之间存在着非线性的联系。

孤立子作为非线性科学的主要分支之一，对它的研究伴随着整个非线性科学的发展，这也使得孤立子方程的求解成为重中之重的问题。

在众多学者的努力下，反散射方法[1]、李群与非经典李群法[2－3]、达布变换[4－5]、函数展开法[6-9]等一系列求解方法应运而生。

在孤立子领域中，Lump解[10-13]越来越受到研究者的关注。

作为一种有理函数解，Lump解在空间的各个方向都是局域的。

在文献[14]中，通过Hirota双线性方法[15-17]探究了Lump解与双曲函数解之间的相互作用，对形成的新型怪波做出了科学的解释，并且命名为共振怪波。

作为补充与发展，本文以（2+1）-维5阶KdV方程为例先探究了单孤子与呼吸子的相互作用解，发现了呼吸子被单孤子吞噬的现象，然后探究了Lump型孤子与单孤子之间的相互作用，揭示在相互作用过程中所表现出来的碰撞、反弹、吸收、分裂等粒子性特征以及背后所反映的物理学规律。

除此之外，还对Lump型孤子进行了动力学分析，求出了它运动轨迹、有效面积、有效动量等等动力学特征量。

孤立子kdv方程及其解浅水波孤子2. KdV方程的行波解在实验中我们可以观测到，有长时间保持外形不变的波向前传播。

则我们可猜测KdV方程具有行波形式的解。

设KdV方程∂u∂t+∂3u∂x3+6u∂u∂x=0的解为u=u(x,t)=f(ξ),ξ=x−vt将行波解代入KdV方程中，将其化为对ξ的常微分方程。

f‴+6f′f−vf′=0积分一次，得f″+3f2−vf−A2=0其中A为积分常数。

将上式乘以f′，再积分一次，引入积分常数B，得12(f′)2=−12(2f3−vf2−Af−B)将右式做（形式上的）因式分解，设这个关于f的三次方程的三个根为a,b,c：12(f′)2=−(f−a)(f−b)(f−c)其中2(a+b+c)=v−2(ab+bc+ca)=A2abc=B对上式积分需要椭圆积分的相关知识。

考虑积分，I=∫0θdθ(1−msin2⁡θ)1/2，0≤m≤1为了表达这个积分的值，我们引入雅可比椭圆函数，不加证明的给出以下四个式子：sn[I,m]=sin⁡θ,cn[I,m]=cos⁡θ,cn[I,0]=cos⁡v,cn[I,1]=sechv.某种意义上，我们可以把雅可比椭圆函数看作是椭圆积分的反函数。

不妨假定三个根a,b,c都是实根，且a≤b≤c。

让我们考虑微分方程的右边这个式子y(f)=−(f−a)(f−b)(f−c)在三个实根互不相同的一般情况下，函数的大致图像应为：方程的左式是一个平方项，而我们想要的显然是一个束缚的震荡解，故y的值应该在b和c之间做非线性的震荡。

那么，我们就可以做如下变换：f=c+(b−c)sin2⁡θ=b−(b−c)cos2⁡θ则−(f−a)(f−b)(f−c)=[(c−a)+(b−c)sin2⁡θ][(b−c)cos2⁡θ][(b−c)sin2⁡θ]df=2(b−c)sin⁡θcos⁡θdθ这样，积分式就可以化为：ξ−ξ0=2c−a∫0θdθ(1−msin2⁡θ)12,m=c−bc−a这样一来，我们就可以把f表示为：u(x,t)=f=b+(c−b)cn2[c−a2⋅(ξ−ξ0),m]注意到ξ=x−vt=x−2(a+b+c)t，再令x0=−ξ0为一个常数，则上式变为：u(x,t)=f=b+(c−b)cn2[c−a2⋅(x−2(a+b+c)t+x0),m]若a,b,c两两不相同，则KdV方程的解被称为“瞬态波”（cnoidal waves）解。

一类耦合KdV方程的孤波解和周期波解及其相互关系张卫国;徐伟;李想【摘要】运用平面动力系统的理论和方法对一类耦合KdV波动方程所对应的平面动力系统进行了定性分析,给出了该方程在一定条件下存在唯一钟状孤波解和无穷多个周期波解的结论.分别利用待定系数法和首次积分法求得了该方程钟状孤波解和周期波解的精确表达式,并直观地指出了它们所对应的解轨线在全局相图中的位置.进一步讨论了方程孤波解与Jacobi椭圆函数型周期波解的关系,并直观地给出了当模数趋于1时Jacobi椭圆函数周期波解向钟状孤波解演变的三维示意图.%For a class of coupled KdV equations, the theory and method of planar dynamical system were applied to qualitatively analyse the dynamical system which the equation corresponds to. It is concluded that the equation has a unique bell profile solitary wave solution and infinite number of periodic wave solutions. The exact expressions of the bell solitary wave solution and the periodic solutions were provided by using the methods of undetermined coefficients and first integral respectively,and the positions of their orbits on the global phase portrait were pointed out. The relation between the solitary wave solution and the periodic wave solutions was discussed. Finally, 3-dimensional figures were presented to illustrate the evolution process of Jacobi elliptic functional periodic wave solution to bell solitary wave solution when the modulus tends to be 1.【期刊名称】《上海理工大学学报》【年(卷),期】2012(034)004【总页数】7页(P307-313)【关键词】耦合KdV波动方程;定性分析;孤波解;周期波解;全局相图【作者】张卫国;徐伟;李想【作者单位】上海理工大学理学院,上海 200093;上海理工大学理学院,上海200093;上海理工大学理学院,上海 200093【正文语种】中文【中图分类】O175.2;N941 问题的提出耦合KdV波动方程［1］可用来描述两个内部长波之间相互作用的过程，其中α，β，λ，δ，ε为非零参数.在变量ν＝0时，方程（1）可约化为在固态物理、等离子物理、流体物理和量子理论等领域有广泛应用的KdV方程［2－7］.近年来，多位学者研究了方程（1）的孤波解求解问题.陆宝群等分别利用待定系数法和函数展开法求得了方程（1）的精确孤波解［8－9］；Ito［10］运用循环算子推出了当α＝δ＝－2，β＝－6，ε＝0时，耦合方程具有无限多的对称性；叶彩儿［11］证明了当α＝β＝λ＝δ＝ε＝1时，耦合方程具有Painleve性质，在Painleve性质下可积，并通过自Backlund变换求出了方程（3）的孤立波解和奇异行波解.然而以往文献没有给出过方程（1）孤波解唯一性的结论，也没有研究过方程（1）的孤波解与周期波解之间的关系.现运用平面动力系统方法研究耦合KdV波动方程（1）的孤波解、周期波解的存在性，给出孤波解唯一性的结论，并分别运用假设待定法和首次积分法求出这两种解的精确解，还进一步研究这两种解的相关性.目前研究非线性发展方程孤波解与周期波解之间相互关系的文献还比较少，这种研究在理论和应用上显然是有意义的，因为它可揭示参数的变化对解的影响，加深人们对非线性波动的认识，并给非线性波动的控制提供有益的信息.文中首先运用平面动力系统理论和方法对方程（1）的行波解进行定性分析，给出不同参数下的全局相图，说明在一定条件下该方程只存在唯一的钟状孤波解，而同时却有无穷多个周期波解.其次分别运用待定系数法和首次积分法求出该方程钟状孤波解和周期波解的精确表达式，并直观指出它们所对应的解轨线在全局相图中的位置.随后讨论了方程孤波解与Jacobi椭圆函数型周期波解的关系，即当模数k趋近于1时，Jacobi椭圆函数周期波解逐渐扩张演变为钟状孤波解.最后作出了Jacobi椭圆函数周期波解向钟状孤波解演变的三维示意图.2 方程（1）有界行波解的定性分析设方程（1）有行波解u（x，t）＝u（ξ）＝u（x－ct），ν（x，t）＝ν（ξ）＝ν（x－ct），将其代入方程（1）中，可得将上式积分一次，可得其中，E1，E2为积分常数.由式（4）中第二个式子，可知现记为使得u（ξ）处处正则，现取E2＝0，这等价于u（ξ），ν（ξ）当的极限满足则有将式（6）代入式（4）中第一个式子，可得其中这样，在积分常数E2＝0的条件下就将求方程（1）孤波解和周期波解的问题转化为了式（6）和式（7）.由于式（6）中u（ξ）满足方程（7），故对方程（7）解的性态和求解的研究是本文的关键.现在研究方程（7），令x＝u（ξ），y＝u′（ξ），则方程（7）可转化为与之等价的平面动力系统在（x，y）平面上，系统（9）有限远奇点的个数依赖于方程f（x）＝lx2＋mx＋p＝0的实根的个数.记f（x）＝0的判别式为Δ＝m2－4lp.易知该方程在Δ＝0时有一个实根，在Δ＜0有两个共轭复根，在Δ＞0有两个不等的实根.因现只考虑系统（9）的有界行波解，所以始终假设Δ＞0.设方程f（x）＝0的实根为a1，a2，分别为当l＞0时，a1＜a2；当l＜0时，a1＞a2.记系统（9）在奇点Pi（ai，0）（i＝1，2）处的Jacobi矩阵为显然，系统（9）是Hamilton系统，有首次积分由Liouville定理的推论可知，Hamilton系统不可能存在渐近稳定与不稳定的平衡点（焦点、结点），平衡点只能是中心或鞍点；也不可能存在渐近稳定与不稳定的极限环，只可能存在简单闭轨.在典型的Hamilton系统中，只可能存在有限个平衡点，但可以有无穷多个周期闭轨.因故P1为鞍点，因故P2为中心点.对系统（9）作Poincare变换，可得系统（9）在y轴上各存在一对无穷远奇点Ai（i＝1，2），且在Ai周围各存在一个抛物型区域.另外，Poincare圆盘的圆周为轨线.由上述分析，可得到系统（9）的全局相图，如图1所示.图1 系统（9）的全局相图Fig.1 Global phase portraits of system（9）由相图1，可得到下列命题.命题1 设l≠0，除去奇点P1，P2和轨线L（P1，P1）以及由L（P1，P1）包围的闭轨线外，系统（9）的其它轨线均是无界的，并且这些轨线上的点的x坐标值和y坐标值也均是无界的.证明设l≠0，除去奇点P1，P2和轨线L（P1，P1），L（P2，P2）以及这些轨线周围的闭轨线外，系统（9）的其它轨线均是无界的，它们在＋∞时，或者趋于A1或者趋于A2.因此，这些轨线上的y坐标值一定是无界的.下面用反证法证明这些轨线上的x坐标值也是无界的.设这些轨线上的点的x坐标值是有界的.一方面，由于轨线上的任意点的切线斜率满足所以当时.另一方面，由微分中值定理可以判定：当时不可能保持有界.这个矛盾表明，这些轨线上的点的x坐标值是无界的.命题2 设l≠0，系统（9）存在一条同宿轨道和无穷多条闭轨线（见图1）.考虑到平面动力系统（9）中的同宿轨对应方程（1）的钟状孤波解，闭轨对应方程（1）周期行波解，因此由命题1、命题2和全局相图1，可得如下定理.定理1 设积分常数E2＝0，若行波波速c和积分常数E1满足m2－4lp＞0，则方程（1）存在唯一的钟状孤波解（对应于同宿轨道L（P1，P1））和无穷多个周期行波解.由于所讨论的方程（1）中参数α，β，λ，δ，ε都是非零的，故命题1和命题2中假设l≠0自然成立.3 方程（1）的钟状孤波解受文献［12］的启发，方程（7）有解其中，A，B，s，D待定.将式（11）代入方程（7）中，根据es（ξ＋ξ0）（s＝0，1，2，3，4，5，6）的线性无关性，并经化简得到A，B，s，D满足的方程组解方程组（12），可得下列两组解又因将式（14）中各数值代入式（11），可得方程（7）的解为经判定，此解不是有界行波解，故可将其排除.综合上面计算和前面的定性分析的结果，可得到下面关于方程（1）钟状孤波解的定理.定理2 假设定理1中条件成立，则方程（1）的唯一钟状孤波解为其中，l，m，p由式（8）给定.孤波解（u（ξ），ν（ξ））中的u（ξ）对应于图1中的同宿轨L（P1，P1）.定理2中的唯一性，已由定理1给出.另外因为sechx是偶函数，当时的解与k＝时的解相同.易验，本文所求孤波解与文献［8］用函数展开法所求方程（1）的钟状孤波解是等价的.文献［9］用待定系数法所求钟状孤波解是本文所研究方程（1）的钟状孤波解式（15）和式（16）在m2－4lp＝16，E1＝E2＝0时的情况.文献［10］中通过自Backlund变换求得方程（3）的孤波解是本文研究的方程（1）在α＝1，β＝1，λ＝1，δ＝1，ε＝1，即l＝5／2，m＝－5c时的特殊情况.用定性分析及假设待定结合方法的好处在于：利用定性分析的结果，可以清楚地看出方程（1）有界行波解存在的个数和大致形态，可以很直观地指出用假设待定方法求出的方程（1）的有界行波解对应的解轨线在全局相图中的位置，两者之间具有一一对应的关系.4 方程（1）的周期波解现结合前面定性分析中的部分结论，通过适当变换并运用首次积分方法对方程（1）的周期波解进行求解.由对方程（1）有界行波解的定性分析中可知，平面动力系统（9）是Hamilton系统，且具有首次积分式（10），式（10）即为系统（9）的Hamilton函数.以l ＜0的情形为例，求出对应图1（b）中同宿轨道所围中心的闭轨线对应的周期波解，对于l＞0情形的结论可类似得到.设（a，0）为周期轨道与x轴的交点，由于在对称同宿轨道内包围中心的同一周期轨道上点的Hamilton量相等，即于是，有可证得Hamilton量的取值范围为其中由式（17），可得记，则式（19）可写成对上式积分一次，可得易验，在Δ＝m2－4lp＞0和h1满足式（17）条件下，F（x）＝0有3个实根e1，e2，e3，它们由l，m，p，h1确定，故F（x）可写成F（x）＝（x－e1）（x－e2）（x－e3）.当l＜0时，有e3＜a2＜e2＜a1＜e1，且在（e3，e2）及（e1，＋∞）时，F（x）＞0，此时为求出有界的周期波解，应限制x在（e3，e2）内取值，如图2所示.现取α＝e3，并令则有其中将式（22）代入式（20），可得图2 F（x）＞0的范围Fig.2 Range of F（x）＞0利用椭圆函数cn（ζ，k）的微分公式令t＝cn（ζ），则式（24）变为考虑到cn（0）＝1，由式（25），有将式（26）代入式（23）中，立即有由式（27）得将其代入式（22），得到方程（7）的周期波解再考虑到cn（ξ＋4 K）＝cn（ξ），可得K＝，显然K随k变化，即椭圆函数周期T＝4 K可由l，m，p，h1确定.同理，当l＞0时，图1（a）中同宿轨道所围中心的闭轨线对应方程（7）的周期波解为综合上面的计算，可得到关于方程（1）的周期波解的如下定理.定理3 设定理1中条件成立.则方程（1）有Jacobi椭圆函数周期波解up（ξ）对应于图1（a），（b）中的同宿轨道L（P1，P1）所包围中心奇点的闭轨线.下面通过假设待定法求方程（7）的周期波解.受文献［13］的启发，假设方程（7）有解将其代入到式（7）中，可求得用首次积分法求解方程（1）的周期波解，主要目的在于以此说明椭圆函数中的模数k与周期波解对应的轨线和x轴的交点e1，e2，e3相关，从而k与方程（1）中的参数及波速等相关.5 方程（1）的孤波解和周期波解的关系从全局相图的角度观察，方程（1）的孤波解（u（ξ），ν（ξ））中的u（ξ）对应于全局相图1（a），（b）中的同宿轨线L（P1，P1），而周期波解（up（ξ），νp（ξ））中的up（ξ）对应于包围中心的闭轨线，它被包含于由同宿轨线L（P1，P1）所包围的区域中.下面以l＜0的情形为例进行讨论.考察在对称同宿轨道内的周期波解up（ξ）当k→1时向孤波解u（ξ）的演变，对于l＞0情形的结论可类似得到.当l＜0时，系统（9）过鞍点P1（a1，0）的同宿轨道上点的Hamilton量为其中再由Hamilton函数知，H即Hamilton量为h2的轨线在l＜0时与x轴的交点.其中，包含于同宿轨道的周期闭轨线与x轴的交点的横坐标e1，e2，e3与x1，x2，x3关系为x1＜e3＜e2＜x2＝a1＜e1＜x3（见图1（b）），且当模数时，有e3→x1，e2→x2＝a1，e1→x2＝a1.结合上面的分析，可求得其中，整理式（36），即有综合上面的计算和前面的定性分析，可得到如下定理.定理4 当k→1时，方程（1）的周期波解对应相图上的周期闭轨扩张成同宿轨道L（P1，P1）.为了直观地体现周期波解与孤波解之间的关联性，现作出Jacobi椭圆函数周期波解up（ξ）向孤波解u（ξ）演变的三维示意图，如图3所示.图3中，取此时l＝3，m＝4，p＝1.［1］ Kumpershmidt B A.A coupled Korteweg－de Vries equation with dispersion［J］.J Phys A：Math Gen，1985，（18）：571－573.［2］ Garder C S.The Korteweg－de Vries equation and generalizations IV ［J］.Journal of Mathematical Physics，1971，12（4）：1548－1551.［3］ Konno K，Ichikawa Y H.A modified Korteweg－de Vries equation forion acoustic waves［J］.J Phys Soc Japan， 1974，37（7）：1631－1636.图3 k→1时周期波解up（ξ）趋向于孤波解u（ξ）Fig.3 Periodic wave solution up（ξ）tends to solitary wave solution u（ξ）when k→1［4］ Dodd R K，Eilbeckj C，Gibbon D J，et al.Solitons and nonlinear wave equations［M］.London：Academic Press Inc Ltd，1982.［5］ Narayanamurti V，Varma C M.Nonlinear propagation of heat pulses in solids［J］.Phys Rev Lett，1970，25（16）：1105－1108.［6］ Tappert F D，Varma C M.Asymptotic theory of selftrapping of heat pulses in solids［J］.Phys Rev Lett，1970，25（16）：1108－1111.［7］ Zhang W G，Chang Q S，Fan E G.Methods of judging shape of solitary wave and solutions formula for some evolution equations with nonlinear terms of high order［J］.J Math And Appl，2003，287（1）：1－18.［8］ Lu B Q，Pan Z L，Qu B Z，et al.Solitary wave solutions for some systems of coupled nonlinear equations［J］.Physics Letters A，1993，180（1）：61－64.［9］ Xu X J，Zhang J F.New exact and explicit solitary wave solutions to a class of coupled nonlinear equations［J］.Communications in Nonlinear Science ＆Numerical Simulation，1998，3（3）：189－193.［10］ Ito M.Symmetries and conservation laws of a coupled nonlinear wave equation［J］.Phys lett A，1982，91（7）：335－338.［11］叶彩儿.几个非线性发展方程（组）的精确解与Painleve分析［D］.杭州：浙江大学，2003：28－31.［12］张卫国，刘刚，任迎春.非线性波动方程的孤波解与余弦周期波解［J］.上海理工大学学报，2008，30（1）：15－21.［13］ An J Y，Zhang W G.Exact periodic solutions to generalized BBM equation and relevant conclusions［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2006，22（3）：509－516.【相关文献】［1］ Kumpershmidt B A.A coupled Korteweg－de Vries equation with dispersion［J］.J Phys A：Math Gen，1985，（18）：571－573.［2］ Garder C S.The Korteweg－de Vries equation and generalizations IV［J］.Journal of Mathematical Physics，1971，12（4）：1548－1551.［3］ Konno K，Ichikawa Y H.A modified Korteweg－de Vries equation for ion acoustic waves［J］.J Phys Soc Japan， 1974，37（7）：1631－1636.［4］ Dodd R K，Eilbeckj C，Gibbon D J，et al.Solitons and nonlinear wave equations ［M］.London：Academic Press Inc Ltd，1982.［5］ Narayanamurti V，Varma C M.Nonlinear propagation of heat pulses in solids ［J］.Phys Rev Lett，1970，25（16）：1105－1108.［6］ Tappert F D，Varma C M.Asymptotic theory of selftrapping of heat pulses in solids ［J］.Phys Rev Lett，1970，25（16）：1108－1111.［7］ Zhang W G，Chang Q S，Fan E G.Methods of judging shape of solitary wave and solutions formula for some evolution equations with nonlinear terms of high order［J］.J Math And Appl，2003，287（1）：1－18.［8］ Lu B Q，Pan Z L，Qu B Z，et al.Solitary wave solutions for some systems of coupled nonlinear equations［J］.Physics Letters A，1993，180（1）：61－64.［9］ Xu X J，Zhang J F.New exact and explicit solitary wave solutions to a class of coupled nonlinear equations［J］.Communications in Nonlinear Science ＆Numerical Simulation，1998，3（3）：189－193.［10］ Ito M.Symmetries and conservation laws of a coupled nonlinear wave equation ［J］.Phys lett A，1982，91（7）：335－338.［11］叶彩儿.几个非线性发展方程（组）的精确解与Painleve分析［D］.杭州：浙江大学，2003：28－31.［12］张卫国，刘刚，任迎春.非线性波动方程的孤波解与余弦周期波解［J］.上海理工大学学报，2008，30（1）：15－21.［13］ An J Y，Zhang W G.Exact periodic solutions to generalized BBM equation andrelevant conclusions［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2006，22（3）：509－516.。