江苏省南京市溧水二高、秦淮中学2021届高三上学期期中联考数学(解析Word版)

2020-2021学年江苏省南京市溧水第二高级中学、秦淮中学、天印中学三校联考高三（上）期中物理试卷一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 2015年12月29日．“高分4号”对地观测卫星升空．这是中国“高分”专项首颗高轨道高分辨率、设计使用寿命最长的光学遥感卫星，也是目前世界上空间分辨率最高、幅宽最大的地球同步轨道遥感卫星．下列关于“高分4号”地球同步卫星的说法中正确的是（）A.该卫星定点在赤道上空B.该卫星定点在北京上空C.它的周期和地球自转周期相同，但高度和速度可以选择，高度增大，速度减小D.它的高度和速度是一定的，但周期可以是地球自转周期的整数倍2. 坐落在镇江新区的摩天轮高88m，假设乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动。

下列说法正确的是（）A.在最低点时，乘客所受重力大于座椅对他的支持力B.在摩天轮转动的过程中，乘客机械能始终保持不变C.在摩天轮转动的过程中，乘客重力的功率保持不变D.在摩天轮转动一周的过程中，合力对乘客做功为零3. 如图所示，物块以速度v0从粗糙斜面底端沿斜面上滑，达到最高点后沿斜面返回．下列v−t图像能正确反映物块运动规律的是（）A. B.C. D.4. 周期为2.0s的简谐横波沿x轴传播，该波在某时刻的图像如图所示，此时质点P沿y轴负方向运动，则该波（）A.沿x轴正方向传播，波速v＝10m/sB.沿x轴正方向传播，波速v＝20m/sC.沿x轴负方向传播，波速v＝10m/sD.沿x轴负方向传播，波速v＝20m/s5. 一定量的理想气体从状态a开始，经历等温或等压过程ab、bc、cd、da回到原状态，其p−T图象如图所示，其中对角线ac的延长线过原点O。

下列判断正确的是（）A.气体在状态a时的内能大于它在状态c时的内能B.气体在a、c两状态的体积不相等C.在过程da中，气体从外界吸收的热量小于气体对外界做的功D.在过程cd中，气体向外界放出的热量大于外界对气体做的功6. 如图所示，当一束一定强度某一频率的黄光照射到光电管阴极K上时，此时滑片P处于A、B中点，电流表中有电流通过，则（）A.若将滑动触头P向A端移动时，电流表读数一定增大B.若将滑动触头P向B端移动时，电流表读数有可能不变C.若用一束强度相同的紫外线照射阴极K时，电流表读数不变D.若用红外线照射阴极K时，电流表中一定没有电流通过7. 如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时的动能为（）A.1 2F m x0B.0C.π4F m x0 D.π4x028. 如图所示电路，当滑动变阻器R1的滑片向上滑动时，下列说法正确的是（）A.R3两端的电压减小B.电流表的示数变大C.R2的功率增大D.R1的电流增大二、多项选择题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

江苏省南京市秦淮区2020-2021学年度第一学期第一阶段质量检测（第三高级中学、第五高级中学、第二十七中学）期中联考高三数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知全集U=R ，集合M ={}13|<<-x x ，N ={}11|<<-x x ，则阴影部分表示的集合是（ ）A.[]11，- B ．(]13，- C ．(]13--， D ．()()∞+--∞-，，13 【答案】C【考点】集合的运算【解析】由题意阴影部分表示M 中去掉M ∩N 的部分，且M ∩N =N=()11，-，则阴影部分表示：(]13--，，故答案选C. 2．若复数i z -=1，则=-z z 1（ ） A ．1 B ．2 C ．22 D ．4【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意()211111111=+=--=-+=⋅-=-=-i i i i i i i i z z ，故答案选B. 3．已知函数()()x x f x x ln 22-+=的图象大致为（ ）【答案】B【考点】函数的图象 【解析】由题意该函数()()()x f x x f x x =-+=--ln 22，为偶函数，且非三角函数类型，则排除D 选项；因为()022>+-x x ，而x ln 可以取到负数，则排除C 选项；去特殊值()01=f ，且当()+∞→+∞→x f x ，，则排除A ，故答案选B.4．()()()432111x x x +++++的展开式中，含x 2的系数是（ ） A ．1 B ．3C ．6D ．10【答案】D【考点】二项式定理展开式 【解析】由题意()()()432111x x x +++++的展开式中，含x 2的系数为10242322=++C C C ，故答案选D.5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥βD ．若α β=m ，n ⊂α，则n ⊥β【答案】C【考点】立体几何的位置关系判断：平行与垂直【解析】对于A 选项，m 与n 可相交、异面，则选项A 错误；对于B 选项，m 与n 可异面，则选项B 错误；对于C 选项，若m ⊥α，m ∥n ，可推导出n ⊥α，又由n ⊂β，利用面面垂直的判定定理可推出α⊥β，则选项C 正确；对于D 选项，n 与β可平行、相交，则选项D 错误；故答案选C.6．已知奇函数()x f 的图象关于直线x =3对称，当[]30，∈x 时，()x x f -=，则()=-16f （ ）A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】D【考点】函数概念与基本性质【解析】由题意()x f 为奇函数，则()()x f x f -=-，又()x f 的图象关于直线x =3对称，则()()x f x f -=6，则有()()()x f x f x f --=-=6，即()()x f x f -=-6，所以()()()()()x f x f x f x f =--=--=-612，则周期为12，所以()()()()224416=-=-=-=-f f f f .故答案选D.7．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），()*3N n n ∈≥，．此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【考点】文化题：利用周期性求数列的项【解析】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3，故答案选A.8．已知函数[](()⎩⎨⎧∞+∈--∈+-，，，，0220211x x f x x ，若方程()a x x f +=在区间[]42，-内有3个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}02|<<-a aB ．{}02|≤<-a aC ．{}2102|<<<<-a a a 或D ．{}102|=<<-a a a 或【答案】D【考点】函数的概念与性质、函数方程（零点）【解析】由题意方程()a x x f +=在区间[]42，-内有3个不相等的实根，可等价于函数()x f y =与函数a x y +=的图象在[]42，-内有三个交点.因为当[]02，-∈x 时，()11+-=x x f ，当(]20，∈x 时，(]022，-∈-x ，所以()()()11222--=-=x x f x f ，因为当()42，∈x 时，()202，∈-x ，所以()()()31422--=-=x x f x f ， 如图，可画出函数()x f y =在[]42，-内的图象，有图象可知，当02<<-a 或a =1时，()x f y =与函数a x y +=的图象在[]42，-内有三个交点.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【答案】AC【考点】信息统计与理解应用【解析】对于A选项，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值，故选项A 正确；对于B 选项，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的数学建模能力指标值优于甲的直观想象能力指标值，故选项B 错误；对于C 选项，甲的六维能力指标值的平均值为()62343543461=+++++⨯，乙的六维能力指标值的平均值为()623434534561>=+++++⨯，所以乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平，所以选项C 正确；对于D 选项，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，所以选项D 错误；故答案选AC.10．若将函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=122cos πx x f 的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()x g 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．()x g 的最小正周期为πB ．()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上单调递减C ．12π=x 不是函数()x g 图象的对称轴D ．()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66ππ，上的最小值为21- 【答案】ACD【考点】三角函数的图象与性质【解析】由题意可知()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos 1282cos πππx x x g ，对于选项A ，()x g 的最小正周期为ππ=22，所以A 选项正确；对于选项B ，若()x g 单调递减，则[]Z k k k x ∈+∈+，，ππππ2232，解得Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∈，，ππππ36，所以()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡30π，上单调递减，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23ππ，上单调递增，所以B 选项错误；对于选项C ，当12π=x 时，103122cos 12±≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππg ，所以12π=x 不是函数()x g 图象的对称轴，故C 选项正确；对于选项D ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈66ππ，x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32032ππ，x ，则()x g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈121，，即()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66ππ，上的最小值为21-，故D 选项正确。

2021届江苏省南京市秦淮中学高三上学期期初调研数学试题一、单选题1．设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}1x x >- B ．{}11x x -<≤ C ．{}11x x -<< D ．{}12x x <<【答案】B【解析】化简集合B ，求出R C A ，利用交集的定义运算即可． 【详解】{}|1=≤R C A x x ，{}()(){}{}220=|210|12B x x x x x x x x =--<-+<=-<<则()R C A B ={}11x x -<≤故选：B 【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 2．若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–i B ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【解析】先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可. 【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A ．24 B ．36C ．48D ．64【答案】B【解析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和. 【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有133318C A =种不同的方案；当按照2:2:1进行分配，则有233318C A =种不同的方案. 故共有36种不同的派遣方案， 故选：B. 【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题. 4．如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BB 1，P 为B 1C 1的中点.则异面直线AC 与BP 所成的角为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】B【解析】取A 1B 1中点Q ，可得∠BPQ 就是异面直线AC 与BP 所成的角或补角，进而可证明△BPQ 是等边三角形，从而求得. 【详解】A 1B 1中点Q ，连接PQ ，BQ ，∵PQ ∥AC ，∴∠BPQ 就是，异面直线AC 与BP 所成的角或补角，又∵1111ABCD A B C D -为正四棱柱，且12AB BB = ,P 为11B C 中点， ∴111111,,,B B B P B Q B B B P B Q ==两两垂直，111,,,Rt PB Q Rt PB B Rt BB Q 全等，∴PQ PB BQ ==， ∴△BPQ 是等边三角形， ∴∠BPQ ＝60°，即异面直线AC 与BP 所成的角为60°， 故选：B. 【点睛】本题考查异面直线所成的角，属基础题.5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（ ） A ．0.6076 B ．0.7516 C ．0.3924 D ．0.2484【答案】A【解析】先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率. 【详解】两人投中次数相等的概率P ＝2211220.40.3+0.60.40.70.3C C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯+220.60.70.3924⨯=，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076. 故选：A . 【点睛】本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.6．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为（ ） A ．58- B ．18C ．14D ．118【答案】B【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=. 【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．7．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A ．60 B ．63C ．66D ．69【答案】C【解析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 8．设函数()()xxf x x e ae-=+的导函数为()'f x ，若()'f x 是奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．2e -B ．1e-C ．2D ．2e【答案】D 【解析】利用()'f x 为奇函数求得a 的值，由此求得()'1f 的值.【详解】依题意()()'x x x x fx e ae x e ae --=++-，由于()'f x 是奇函数，所以()'010f a =+=，解得1a =-，所以()()'x x x x f x e e x e e --=-++，所以()'1112f e e e e e=-++=.故选：D 【点睛】本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题.二、多选题9．为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点()11,x y 、()22,x y 、、()1010,x y 求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（ ）A ．若所有样本点都在直线21y x =-+上，则1r =B ．若所有样本点都在直线21y x =-+上，则2r =-C ．若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D ．若r 越小，则变量x 与y 的线性相关性越强 【答案】ABD【解析】根据相关系数与变量x 与y 的线性相关性之间的关系可判断出各选项的正误. 【详解】若所有样本点都在直线21y x =-+上，且直线斜率为负数，则1r =-，A 、B 选项均错误；若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABD. 【点睛】本题考查相关系数与线性相关性之间关系的判断，考查推理能力，属于基础题.10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则有（ ）A ．渐近线方程为y =B ．渐近线方程为3y x =± C ．60MAN ∠=︒D ．120MAN ∠=︒【答案】BC【解析】由离心率公式222 22c a b a a+=化简可得渐近线方程，通过求圆心A到渐近线的距离结合直角三角形可得到MAN∠的值.【详解】双曲线2222:1y,x y bC xa b a-==±的渐近线方程为离心率为23ca=，2222222224131,,333c a b b b ba a a a a则则，+==+===±故渐近线方程为33y x=±，取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得d APabc==,则cosabAP acPANAN b c∠===，所以221cos cos2212aMAN PANc∠=∠=⨯-=则60MAN∠=︒故选BC【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题.11．已知函数()()(0,0,0)f x Acos x Aωϕωϕπ=+>><<的图象的一个最高点为,312π⎛⎫-⎪⎝⎭，与之相邻的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，将()f x的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x的图象，则（）A．()g x为偶函数B．()g x的一个单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()g x 为奇函数D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点 【答案】BD【解析】先根据余弦函数的图象和性质，求得()f x 的解析式，再结合三角函数的图象变换，求得函数()g x 的解析式，再结合余弦函数的图象与性质，即可求解. 【详解】 由题意，可得()46124T πππ=--=，所以T π=，可得22w Tπ==， 所以()3cos(2)f x x ϕ=+，因为()3cos[2()]31212f ππϕ-=⨯-+=，所以2,6k k Z πϕπ-=∈，因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ，即()3cos(2)6f x x π=+，所以()3cos[2()]3cos(2)666g x x x πππ=-+=-， 可得函数()g x 为非奇非偶函数， 令222,6k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，可得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 当0k =时，函数()g x 的一个单调递增区间为5[,]1212ππ-； 由2,,62x k k Z πππ-=+∈，解得,3x k k Z ππ=+∈，所以函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点. 故选：BD 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．若0a >，0b >，则下面有几个结论正确的有（ ） A ．若1a ≠，1b ≠，则log log 2a b b a +≥B ．2a b ≥+C ．若142a b +=，则92a b +≥ D ．若22ab b +=，则34a b +≥ 【答案】BCD【解析】根据基本不等式，对选项逐一分析即可. 【详解】对于A ：当01,1a b <<>时，log 0,log 0a b b a <<，即log log 0a b b a +<，故A 不正确；对于B ：若0a >，0b >，由基本不等式得:222a b ab +≥，即有()()2222a b a b +≥+a b ≥=+≥a b =”时取等号，故B 正确；对于C ：由0a >，0b >，11412a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()1141415522922b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝+=+=， 当且仅当1442,b aa b a b +==，即3,32a b ==时取等号，故C 正确； 对于D ：由0a >，0b >，()22ab b a b b +=+=，即有()24b a b +=，根据基本不等式有：()324a b a b b +=++≥=，当且仅当22,2ab b a b b +=+=，即1a b ==时取等号，故D 正确.综上：BCD 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查基本不等式，应用基本不等时：“一正，二定，三相等”缺一不可，属于基础题．三、填空题13．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____.【答案】27n ⨯【解析】根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有(16)227+⨯=⨯只，类似的方法得到2个月后有22(16)727+⨯=⨯只，3个月后有327⨯只，根据以上分析进行归纳推理即可得n 个月后老鼠的只数n a . 【详解】由题意可得1个月后的老鼠的只数1(16)227a =+⨯=⨯,2个月后老鼠的只数222(16)727a =+⨯=⨯, 3个月后老鼠的只数2332(16)727a =+⨯=⨯…， n 个月后老鼠的只数27nn a =⨯.故答案为：27n ⨯. 【点睛】本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.14．函数()log 31a y x =+-.（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上（其中m ，0n >），则12m n+的最小值等于__________. 【答案】8【解析】根据函数平移法则求出点A ()2,1--，得21m n +=，再结合基本不等式即可求解 【详解】由题可知，()log 31a y x =+-恒过定点()2,1--，又点A 在直线 10mx ny ++=上，故21m n +=，()121242448n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当122n m ==时取到等号，故12m n+的最小值等于8 故答案为：8 【点睛】本题考查函数平移法则的使用，基本不等式中“1”的妙用，属于中档题15．已知椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，若直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，则圆O 的半径为___________【答案】1【解析】根据椭圆的性质写出点F 、P 的坐标，求出直线PF 的方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】由椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，则c =不妨取)F，(P ，则直线PF的方程：0y x -+=， 由直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，所以1R ==.故答案为：1 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质以及点到直线的距离公式，考查了基本运算能力，属于基础题.四、双空题16．棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E —BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E —BCD 的体积为_______，该正三棱锥内切球的半径为_______. 【答案】【解析】根据组合体的结构特征，设2AE R =，正三棱锥E BCD -侧棱长x ，列出方程组，求得,R x 的值，利用体积公式，即可求得三棱锥E BCD -的体积与表面积，再结合等体积法，即可求得内切球的半径，得到答案. 【详解】由棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合， 若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上， 所以多面体ABCDE 的外接球即为正四面体ABCD 的外接球， 且其外接球的直径为AE ，设2AE R =，正三棱锥E BCD -侧棱长x ，则()((2222222122R x x R ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩，解得R x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 由题意得证四面体ABCD的高为，外接球的半径为 设正三棱锥E BCD -的高为h ，因为AE h ==，所以h =因为底面BCD ∆的边长为12，所以EB EC ED ===则正三棱锥E BCD -三条侧棱两两垂直，可得正三棱锥E BCD -的表面积为108S =+体积为V＝21123⨯= 设正三棱锥E BCD -的内切球的半径为r ，由13S r ⋅=r =故答案为：. 【点睛】本题主要考查了组合体的结构各种，以及正三棱锥内切球的半径的求法，三棱锥的体积的计算，其中解答中熟练应用组合体的结构特征，以及球的性质是解答的关键，着重考查空间想象能力，以及推理与计算能力.五、解答题17．在①cos 220B B +=，②2cos 2b C a c =-，③b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】①；证明见解析【解析】选择①：由余弦降幂公式代入即可求得sin B ，结合a ，b ，c 成等差数列可得2b a c =+，3B π=，代入余弦定理公式，即可得2b ac =，结合等式2b a c =+可求得a c =，进而证明ABC ∆为等边三角形. 【详解】选择①cos 220B B +=，证明：则由余弦降幂公式可得212sin 20B B -+=，即(2sin sin 0B B =，由0B π<<可得sin B =， 又因为a ，b ，c 成等差数列，则B 为锐角， 则2b a c =+，3B π=，由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-， 代入可得()223b a c ac =+-，即2b ac =，则22a c ac +⎛⎫= ⎪⎝⎭，化简可得()20a c -=， 即a c =，又因为3B π=，所以ABC ∆为等边三角形. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题.18．记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，1n a +是4和n S 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记11(1)(1)n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）4(1)nnT n =+.【解析】（1）本小题先借n S 与n a 的关系判断数列{}n a 为等差数列，再求通项公式即可；（2）本小题直接运用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为1n a +是4和n S 的等比中项，所以2(1)4n n a S +=①，当2n ≥时，211(1)4n n a S --+=②，由①②得：2211(1)(1)44n n n n a a S S --+-+=-，化简得221(1)(1)n n a a --=+，即111n n a a --=+或者11(1)0n n a a --++=（舍去），故12n n a a --=(2)n ≥，数列{}n a 为等差数列，因为211(1)4a S +=，解得11a =，所以数列{}n a 是首项为1、公差为2的等差数列， 通项公式：21n a n =-. （2）∵ 111111(1)(1)2(22)41n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⋅++⎝⎭，∴12311111111(1)()()()42233414(1)n n nT b b b b n n n ⎡⎤=++++=-+-+-++-=⎢⎥++⎣⎦. 【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及数列的前n 项和的求法，考查等差数列的判定，考查裂项相消法求和，考查推理能力与计算能力，是中档题.19．根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围.为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下： 得分 [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 []90,100男性人数 49 12 13 11 6 3女性人数1 2 2 21 10 4 2（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率.现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为X，求X的概率分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，()n a b c d=+++.临界值表：【答案】（1）列联表见解析，有把握；（2）分布列见解析，()21 10E X=.【解析】（1）根据题中已知条件完善22⨯列联表，并计算出2χ的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）由题意可知7~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量X的分布列，并由此可计算出随机变量X的数学期望. 【详解】（1）由题意得列联表如下：不太了解 比较了解 合计男性 25 33 58女性 5 37 42合计30701002χ的观测值()22100253733511.29130704258χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为11.29110.828>，所以有99.9%的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关；（2）由题意得该校1名学生家长“比较了解”的概率为70710010=， 73,10XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()33731010k kk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0k =、1、2、3， 即X 的概率分布列如下表所示：X123P271000189100044110003431000所以()72131010E X =⨯=. 【点睛】本题考查利用独立性检验解决实际问题，同时也考查了利用二项分布求随机变量的分布列与数学期望值，考查数据处理能力，属于中等题.20．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A ，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，//DC EB ，1DC EB ==，4AB =.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 点为半圆的中点时，求二面角D AE B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）6-.【解析】（1）结合线面垂直判定定理证明DE ⊥平面ACD 即可；（2）采用建系法，以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系，求出平面DAE 和平面AEB 的法向量，结合向量夹角公式即可求解 【详解】（1）证明：∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC BC ⊥，又DC AC C ⋂＝，∴BC ⊥平面ACD ，∵//DC EB ，DC EB ＝，∴四边形DCBE 是平行四边形，∴//DE BC ，∴DE ⊥平面ACD ，又DE ⊂平面ADE ，∴平面ACD ⊥平面ADE . （2）当C点为半圆的中点时，AC BC ==以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则()001D ，，，()0E，()0A ，，()0B ，∴()AB =﹣，0,0,1BE =（），()0,DE =，(21)DA =-， 设平面DAE 的法向量为111,m x y z =（）,，平面ABE 的法向量为222,,n x y z =（）， 则00m DA m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，00AB BE n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，22200z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令11x=得(m =，令21x =得()1,1,0n =.∴,63m n cos m n m n⋅===⨯. ∵二面角D AE B --是钝二面角， ∴二面角D AE B --的余弦值为6-.【点睛】本题考查面面垂直的证明，建系法求解二面角的余弦值，属于中档题 21．已知函数321(2)()232a f x x x ax +=++. （1）当2a =时，求过坐标原点且与函数()y f x =的图像相切的直线方程； （2）当()0,2a ∈时，求函数()f x 在[]2,a a -上的最大值. 【答案】（1）4y x =；y x =；（2）32max 5()36f x a a =+. 【解析】（1）设出切点坐标，代入a 的值，表示出切线方程，根据切线过(0，0)，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可． 【详解】（1）设切点坐标为()00,x y ，当2a =时，321()243f x x x x =++， 则2()44f x x x '=++ 所以切线方程为322000000124(44)()3y x x x x x x x ---=++-， 又过原点(0，0)，所以3232000000124443x x x x x x ---=---， 32002203x x +=，解得00x =或03x =-， 当00x =时，切线方程为4y x =﹔ 当03x =时，切线方程为y x =. （2）因321(2)()232a f x x x ax +=++，所以()()()()2222f x x a x a x x a '=+++=++，令()0f x '=，得x a =-，2x =-，①当22a -≥-，即01a <≤时，()f x 在()2,a a --上单调递减，在(),a a -上单调递增，所以()()(){}max 2,f x max f a f a =-. 因3322382(2)244033f a a a a a a -=-++-=-<， 33223215()230326a f a a a a a a =+++=+>，所以()()2f a f a -<，所以32max 5()()36f x f a a a ==+. ②当22a -<-，即12a <<时，()f x 在()2,2a --上单调递增，在()2,a --上单调递减，在(),a a -上单调递增，所以()(){}max (2,f x max f f a =-.842(2)2442333f a a a -=-++-=-+<-，3322321523()233266a f a a a a a a =+++=+>， 所以()()max f x f a =. 综上可得：32max 5()()36f x f a a a ==+. 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22．已知点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点.求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用椭圆的定义求解即可；（2）由题意可知D ，E 两点与点P 不重合，设出D ，E 两点的坐标，求出直线PD 和PE ，设以MN 为直径的圆与直线32y =交于G ，H 两点，利用0GM GN ⋅=，可得出弦长为定值． 【详解】（1）依题意，椭圆的另一个焦点为()1,0F '-，且1c =.因为24a ==，所以2a =，b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）证明：由题意可知D ，E 两点与点P 不重合.因为D ，E 两点关于原点对称，所以设(),D m n ，()E m n --，，()1m ≠±， 设以MN 为直径的圆与直线32y =交于3,2G t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,(0)2H t t ⎛⎫-> ⎪⎝⎭两点，所以GM GN ⊥直线PD ：332(1)21n y x m --=--当0x =时，33212n y m -=-+-，所以3320,12n M m ⎛⎫- ⎪-+ ⎪- ⎪⎝⎭直线PE ：332(1)21n y x m +-=-+当0x =时，3+32+12n y m =-+，所以3320,12n N m ⎛⎫+ ⎪-+ ⎪+ ⎪⎝⎭所以32,1n GM t m ⎛⎫- ⎪=-- ⎪- ⎪⎝⎭，32,1n GN t m ⎛⎫+ ⎪=-- ⎪+ ⎪⎝⎭，因为GM GN ⊥，所以0GM GN ⋅=，所以2224904(1)n GM GN t m -⋅=+=-. 因为22143m n +=，即223412m n +=，224933n m -=-，所以2304t -=，所以2t =，所以322G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，32H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以GH =.所以以MN 为直径的圆被直线32y =. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查定值问题，考查数量积的坐标表示，属于中档题．。

江苏省南京市江宁区秦淮中学2021年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为()A．2 B．－1 C．1 D．－2参考答案：C2. 抛物线y2=8x的焦点到直线x﹣y=0的距离是（）A．B．2C．2 D．1参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意，由抛物线标准方程可得其焦点坐标，进而由点到直线距离公式计算可得答案．【解答】解：抛物线的方程为y2=8x，焦点为（2，0），焦点到直线x﹣y=0的距离d==；故选：A．【点评】本题考查抛物线的几何性质，关键是求出抛物线的焦点坐标．3. 已知集合A={﹣2，﹣1，1，2}，B={x|lgx≤1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，1，2} B．{﹣2，﹣1，1} C．{1} D．{1，2}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，1，2}，B={x|lgx≤1=lg10}={x|0＜x≤10}，∴A∩B={1，2}，故选：D．4. 已知偶函数满足，且在区间上为减函数，不等式的解集为() A．B．C． D .参考答案：【知识点】函数的奇偶性B4【答案解析】C 解析：解：根据题意，不等式f（log2x）＞f（1），∵偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为减函数，∴转化为-1＜log2x＜1或log2x＞-1，∴故选：C．【思路点拨】根据题意，不等式f（log2x）＞f（1），偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为减函数，转化为-1＜log2x＜1或log2x＞-1，即可求出不等式f（log2x）＞0的解集．5. 如图，在长方体中，点P是棱上一点，则三棱锥的左视图可能为（）主视方向A B C D参考答案：D在长方体中, 三棱锥的左视图中，、、的射影分别是、、.所以选D.6. 如图所示，该程序运行后输出的结果为（）A. B.C. D.参考答案：A7. 已知函数，若，则实数a 的取值范围是A ．B ．C ．D ．参考答案：A 略 8. 已知集合，.则（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A 略9. 已知平面向量，若，则实数的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：A 略10. 已知,那么 （ ） A ． B ．C ．D ．参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的所有零点之和为参考答案：412. 某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为 ．参考答案：13. 有下列命题：①若存在导函数，则；②若函数,则；③若函数，则；④若三次函数，则“”是“有极值点”的充要条件．其中真命题的序号是 参考答案： ③14. 直线l ：ρcos θ=t （常数t＞0）与圆（θ为参数）相切，则t= ．参考答案：±1解答： 解：直线l ：ρcos θ=t （常数t ＞0）化为x=t ，圆（θ为参数）化为x 2+（y ﹣1）2=1，∴圆心为C （0，1），半径r=1．∵直线l 与圆相切，∴，解得t=±1．故答案为±1．点评： 熟练掌握极坐标方程化为普通方程、点到直线的距离公式和直线与圆相切的充要条件是解题的15. 设函数，若f （a ）=2，则实数a= ．参考答案：﹣1【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】将x=a 代入到f （x ），得到=2．再解方程即可得．【解答】解：由题意，f （a ）==2，解得，a=﹣1． 故a=﹣1．【点评】本题是对函数值的考查，属于简单题．对这样问题的解答，旨在让学生体会函数，函数值的意义，从而更好的把握函数概念，进一步研究函数的其他性质． 16. 已知，则的值为______________.参考答案：17. 定义:对于区间,则为区间长度.若关于的不等式的解集是一些区间的并集，且这些区间长度的和不小于4，则实数的取值范围是 .参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省南京市溧水区第二高级中学、南渡中学联考2021届高三数学12月月考试题 理考试时间：120分钟 满分：160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．设集合{}{}20,11A x x B x x =-<<=-<<，则A B ⋃= ▲ ． . 2．已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为▲ ． 3．函数22()(log )1f x x =-的定义域为 ▲ .4．已知3sin()45x π+=，则sin 2x ＝ ▲ ． 5．若x 轴是曲线()ln 3f x x kx =-+的一条切线，则k = ▲ . 6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右焦点为,F 若以F 为圆心的圆05622=+-+x y x 与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ .7．已知函数(0)()1(0)xe xf x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式2()(2)f x f x <-的解集为 _▲ .8．如图，在扇形AOB 中，4OA =，0120AOB ∠=,P 为弧AB 上的一点，OP 与AB 相交于点C ,若8OP OA ⋅=，则OC AP ⋅的值为_ ▲ ．9． 已知{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和．若2345a a a a =，927S =，则1a 的值是 ▲ ．10.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 7tan A B = ,223a b c-= ，则c = ▲ ． 11．若C 为半圆直径AB 延长线上的一点，且2==BC AB ，过动点P 作半圆的切线，切点为Q ，若PQ PC 3=，则PAC ∆面积的最大值为_▲ ．12.已知椭圆22:14+=x E y ，椭圆E 内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点，则这个平行四边形面积的最大值为 ▲ ． 13．若实数y x ,满足1222=-+y xy x ，则222252y xy x yx +--的最大值为__▲ .14.已知函数()3231,f x x x =-+ ()()()22504680x x x g x x x x ⎧-+>⎪=⎨⎪---≤⎩，若方程()()()00g f x a a -=>有6个实数根(互不相同)，则实数a 的取值范围是__▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(a －c ，b ＋c )，n ＝(b －c ，a )，且m ∥n .(1) 求B ；(2) 若b ＝13，cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝33926，求a .16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ，PA ⊥PC ．点E ，F ，O 分别为线段PA ，PB ，AC 的中点，点G 是线段CO 的中点．（1）求证：FG ∥平面EBO ； （2）求证：PA ⊥BE ．17．（本小题满分14分）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点,C D 分别落在直线BC 下方点,M N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪． （1）当4EFP π∠=时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左顶点为(2,0)A -，离心率为12，过点A 的直线l 与椭圆E 交于另一点B ，点C 为y 轴上的一点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若ABC △是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程.ABCDFEPMN（第17题）yO A BCx19. （本小题满分16分）已知函数2()1ln ax f x x=+（0a ≠），e 是自然对数的底数． （1）当0a >时，求()f x 的定义域及单调增区间；（2）若对任意的12x ≥，1()2e b f x -≥（b ∈R ），求b a 的最大值；（3）若()f x 的极大值为2-，求不等式()e 0x f x +<的解集．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b 满足：对于任意正整数n ，当n ≥2时，22121n n n a b a n -+=+．（1）若(1)n n b =-，求222213511a a a a ++++的值； （2）若1n b =-，12a =，且数列{}n a 的各项均为正数．① 求数列{}n a 的通项公式；② 是否存在*k ∈N ，且2k ≥{}n a 中的项？ 若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由.数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分) 已知矩阵A= 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a = ，求实数a ，b 的值.22. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线 l ：2ρsin （θ一4）=m （m ∈R ），圆C 的参数方程为（t 为参数）．当圆心C 到直线l 2m 的值。

江苏省南京市溧水区第二高级中学、第三高级中学等三校联考2021届高三数学上学期期中试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．若复数z 满足z i ＝1－3i ，其中i 为虚数单位，则z ＝ ▲ ．3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取2004．执行如图算法框图，若输入a ＝4，b ＝12，则输出a 5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞渐近线方程为y ＝±3x6．任取x ∈{－2，2，4}，y ∈{－1，1，2}与b ＝(x ，y )平行的概率为 ▲ ．7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数， 则f (－4)的值是 ▲ ．8．已知数列{a n }是等比数列，且a 1a 3a 5＝8，a 7＝8，则a 1的值是 ▲ ．9．已知矩形ABCD 的边AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ， 则三棱锥D －ABC 的体积是 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－1，0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0交于A ，B 两点，若CA ⊥CB ，则直线l 的斜率是 ▲ ．11．已知α∈(0，π2)，且P (4，3)是α－π6终边上一点，则cos α的值是 ▲ ．12．实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是 ▲ ． 13．已知AB 是半径为3的圆M 的直径，点C 是圆周上除A ，B 外一点，若点P 满足PC →＝2CM →，则PA →·PB →的值是 ▲ ．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，－1＜x ≤0，x ，0＜x ≤1，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3b cos C ＝c sin B ． （1）求角C 的大小；（2）若c ＝27，a ＋b ＝10，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ． 求证：（1）DE ∥平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC ⊥平面A 1ACC 1．ED B 1A1C1CA17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为A ，B ，点C ，D 是椭圆上关于y 轴对称的两个不同的点，直线AC ，BD 交x 轴分别于点M ，N ，求证：OM →·ON →为定值．18．（本小题满分16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ．AB ，AD 的长分别为23m 和4m ， 上部是圆心为O 的劣弧CD ，∠COD ＝2π3．图1 图2 图3 图4 （1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC 与地面水平线l 所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值．y xO NMDC BA19．（本小题满分16分）等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ． （1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式； （3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式．20．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋2，g (x )＝ln x ，a ∈R ．（1）若曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线恰与曲线y ＝f (x )相切，求a 的值； （2）不等式f (x )≥xg (x )对一切正实数x 恒成立，求a 的取值范围；（3）已知a ＜2，若函数h (x )＝f (x )＋ag (x )＋2a 在(0，2)上有且只有一个零点，求a 的取值范围．2021-2022度第一学期高三期中考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换 已知x ，y ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0有一个属于特征值－2的特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，（1）求矩阵A ；（2）若矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求A －1B ．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，P 为曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)上的动点，Q 为曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－ 22t ，y ＝4＋2 2t ，(t 为参数)上的动点，求线段PQ 的最小值．C ．选修4—5：不等式选讲设a ，b ，c 为正实数，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32．APFE CBD【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，AP ＝AB ＝1，F ，E分别是PB ，PC 中点．（1）求DE 与平面PAB 所成角的正弦；（2）求平面ADEF 与平面PDE 所成锐二面角的值．23．（本小题满分10分）2021年6月，第十六届欧洲杯足球赛将在12个国家的13座城市举行.某体育网站组织球迷对德国、西班牙、法国、葡萄牙四支热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选出一支球队，现有三人参与竞猜.（1）若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率；（2）若三人中有一名女球迷，假设女球迷选择德国队的概率为13，男球迷选择德国队的概率为25，记X 为三人中选择德国队的人数，求X 的分布列和数学期望.南京市建邺高级中学、溧水第二高级中学期中考试高三数学参考答案 2021.11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{2，3} 2．-3+i 3．80 4．12 5．2 6．13 7．－2 8．1 9．24510．±77 11．43－310 12．27 13．72 14．(－94，－2]∪(0，12] 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．解：（1）因为cos sin C c B =，由正弦定理可得：cos sin sin B C CB = 所以tanC =4分 又因为()0,C π∈…………5分 所以3C π=…………6分（2）因为2222cos c a b ab C =+-2()3a b ab =+-…………8分所以 24ab =…………10分所以 1sin 2ABCSab C ==14分 16．证明：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， 1AA //1BB ，所以四边形11ABB A 是平行四边形，且11A B AB DE =所以D 为1A B 中点，…………2分 同理E 为1A C 中点， 所以//DE BC …………4分又因为DE ⊄平面11B BCC ，BC ⊂平面11B BCC ， 所以//DE 11B BCC …………6分ED B 1A 1C 1CBA（2）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1C C ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以1C C BC ⊥， 因为AC BC ⊥，1ACC C C =， 1AC C C ⊂、平面11A ACC所以BC ⊥平面11A ACC …………12分 又因为BC ⊂平面1A BC所以平面1A BC ⊥平面11A ACC …………14分17．解：（1）c a =，22b =…………2分解得：1a b c ===所以椭圆方程为：2212x y +=…………4分 （2）设00(,)D x y ，00(,)C x y - 则AC l ：0011y y x x -=+-…………6分 所以00(,0)1x M y -…………8分 同理00(,0)1x N y +…………10分 所以20201x OM ON y ⋅=-又因为220012x y +=，22002200212x x OM ON x y ⋅===---…………14分18．解：（1）如图，过O 作与地面垂直的直线交AB ，CD 于点1O ，2O ，交劣弧CD 于点E ， 1O E 的长即为拱门最高点到地面的距离． 在2Rt O OC ∆中，23O OC π∠=，23CO =，所以21OO =，圆的半径2R OC ==． 所以11225O E R O O OO =+-=．…………4分 答：拱门最高点到地面的距离为5m ．（2）在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P ． 当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离．连接OB由（1）知，在1Rt OO B ∆中，221123OB OO O B =+=…………6分． 以B 为坐标原点，水平直线l 为x 轴，建立如图所示的坐标系． ①当点P 在劣弧CD 上时，62ππθ<≤．由6OBx πθ∠=+，23OB =，由三角函数定义，得23cos ,23sin 66O ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则223sin()6h πθ=++． …………8分所以当62ππθ+=，即3πθ=时，h 取得最大值223+． …………10分②当点P 在线段AD 上时，06πθ≤≤．连接BD ，设CBD ϕ∠=，在Rt BCD ∆中，2227DB BC CD =+=则2321sin 727ϕ==，27cos 727ϕ==． 由DBx θϕ∠=+，得(27cos(),27sin())D θϕθϕ++．所以 27sin()4sin 23cos h θϕθθ=+=+． …………13分 又当06πθ<<时，4cos 23sin 4cos23sin3066h ππθ'=->-=>．所以4sin 23cos h θθ=+在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增．所以当6πθ=时，h 取得最大值5． 因为，所以h 的最大值为．…………15分综上，艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）m 。

江苏省南京市溧水高级中学2018届高三上学期期初模拟考试数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设集合{}{}2,3,1,2A B ==则AB _______．2．已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第______象限．3．我校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 . 4．甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心（白）”、“手背（黑）”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负，则一次游戏中甲胜出的概率是 .5．已知点F 为抛物线24y x =的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为 .6．若1,2,a b a ==|与b 的夹角为60°，若()()35a b ma b +⊥-，则实数m 的值为_______．7．已知等比数列{}n a 的公比2q,且462,,48a a 成等差数列,则{}n a 的前8项和为________8．按右面的程序框图运行后,输出的S 应为_______．9．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1,60,a A c ===，则ABC ∆的面积为 _______．10．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ①若//αβ，则l m ⊥； ②若αβ⊥，则//l m ； ③若//l m ，则αβ⊥； ④若l m ⊥，则//αβ. 其中正确命题的序号是_______．11．已知函数()2ln 3,12,1x x e x f x x ax x ⎧+-≥=⎨++<⎩有且仅有2个零点，则a 的范围是________．12．已知对满足42x y xy ++=的任意正实数,x y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为 .13．P 为圆()22:15C x y -+=上任意一点，异于点()2,3A 的定点B 满足PBPA为常数，则点B 的坐标为______．14．以C 为钝角的ABC ∆中，3,12BC BA BC =⋅=，当角A 最大时，ABC ∆面积为________．二、解答题 15．已知77(0)cos 2,sin()2299ππαβπβαβ∈∈=-+=，，（，），． （Ⅰ）求cos β的值； （Ⅱ）求sin α的值．16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PC ⊥，AB PB =，,E F 分别是PA ，AC 的中点．求证：（1）EF ∥平面PBC ；（2）平面BEF ⊥平面PAB ．17．如图，在海岸线l 一侧C 处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l 上设立了,A B 两个报名点，满足,,A B C 中任意两点间的距离为10km .公司拟按以下思路运作：先将,A B 两处游客分别乘车集中到AB 之间的中转点D 处(点D 异于,A B 两点)，然后乘同一艘轮游轮前往C 岛．据统计，每批游客A 处需发车2辆，B 处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2a 元，游轮每千米耗费12a 元．（其中a 是正常数）设∠CDA a =，每批游客从各自报名点到C 岛所需运输成本为S 元．(1) 写出S 关于a 的函数表达式，并指出a 的取值范围； (2) 问：中转点D 距离A 处多远时，S 最小？18．如图，椭圆22221x y a b+=(0)a b >>过点3(1,)2P ，其左、右焦点分别为12,F F ，离心率12e =，,M N 是椭圆右准线上的两个动点，且120FM F N ⋅=．（1）求椭圆的方程； （2）求MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论． 19．已知数列{}n a 中，112a =，点()()1,2n n n a a n N *+-∈在直线y=x 上. （1）计算234,,a a a 的值；（2）令11n n n b a a +--=，求证：数列{}n b 是等比数列；（3）设n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由.20．已知函数(1)()ln ,1a x f x x x R x -=-∈+ ． （1）若x=2是函数f （x ）的极值点，求曲线y=f （x ）在点（1,f （1））处的切线方程； （2）若函数f （x ）在(0,)+∞ 上为单调增函数，求a 的取值范围；（3）设m ，n 为正实数，且m>n ，求证：ln ln 2m n m nm n -+<- ．参考答案1．{1，2，3} 【解析】集合{}{}2,3,1,2A B ==，{}1,2,3A B ⋃=. 2．二 【解析】复数()()121213i,=3+i,13i 3i 22i z z z z =+∴-=+-+=-+，对应的点为()2,2-，∴在复平面内，12z z -对应的点在第二象限，故答案为二. 3．150 【解析】试题分析：该校教师人数为2400×160150160-＝150(人)．考点：分层抽样方法. 4．14【解析】试题分析：甲、乙、丙三人出示的手势共有8种情况，其中甲胜出包含2种情况，故概率为21.84= 考点：古典概型概率 5．43【解析】试题分析：由抛物线定义得：15,4,A A x x +==又点A 位于第一象限，因此4,A y =从而404.413AF k -==- 考点：抛物线定义 6．238【解析】1,2,,a b a b ==的夹角为60，12cos601a b ∴⋅=⨯=，()()()()35,350a b ma b a b ma b +⊥-∴+⋅-=，即2235350mama b a b b +⋅-⋅-=，353200m m ∴+--=，故238m =，故答案为238. 7．255 【解析】462,,48a a 成等差数列，5364112248,2248a a a q a q ∴=+∴=+，又等比数列{}n a 的公比2q，5311222248a a ∴=+，解得{}11,n a a =∴的前8项和为()()8181112255112na q S q-⨯-===--，故答案为255.8．40 【解析】0,1S i ==,313112,02=2T i S S T ∴=-=⨯-==+=+,11125i i ∴=+=+=<； 313215,25=7T i S S T ∴=-=⨯-==+=+,12135i i ∴=+=+=<； 313318,78=15T i S S T ∴=-=⨯-==+=+,13145i i ∴=+=+=<； 3134111,1511=26T i S S T ∴=-=⨯-==+=+,1415i i ∴=+=+=； 3135114,2614=40T i S S T ∴=-=⨯-==+=+,15165i i ∴=+=+=<；【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.∴输出40S =，故答案为40.9【解析】1,60,3a A c ===,∴由余弦定理可得2112cos 6033b b =+-⨯⨯⨯，220,3b b ∴-=∴=，13602ABC S sin ∆∴==，故答案为6.10．①③ 【详解】已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，对于①，若//αβ，得到直线l ⊥平面β，所以l m ⊥，故①正确；对于②，若αβ⊥直线l 在β内或者l β//，则l 与m 的位置关系不确定；对于③，若//l m ，则直线m α⊥，由面面垂直的性质定理可得αβ⊥，故③正确；对于④，若l m ⊥，则α与β可能相交，故④错误，故答案为①③. 【点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定.11．a =3a <- 【解析】设()ln 3,1xh x x e x =+-≥，()h x 在[)1,+∞上递增，由()()1020h h ⎧<⎪⎨>⎪⎩，可得()h x 在[)1,+∞上有一个零点，只需函数()22,1g x x ax x =++<，在(),1-∞有一个零点即可，0∆=时，a =()g x 有一个零点，符合题意，若>0∆，只需()10g <即可，可得1++3<0,<3a a -，a ∴的取值范围是a =<3a -，故答案为a =3a <-.12．17(,]4-∞ 【解析】试题分析：221210()x xy y ax ay a x y x y++--+≥⇒≤+++，而2422()42x y x y xy x y +++=≤⇒+≥（负舍），因此117()[,),4x y x y ++∈+∞+即实数a 的取值范围为17(,]4-∞ 考点：基本不等式求最值 13．33,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设()()00,,,,PA P x y B x y PBλ=，则()2215x y -+=，可得2242x y x +=+，① ()()()()222220023x x y y x y y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，② 由①②得()2200002224x x y y x y --+++2222617x y λλλ=--+，可得20200222022226417x y x y λλλ⎧-=-⎪-=-⎨⎪++=⎩，解得002323212x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，B ∴点坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为33,22⎛⎫⎪⎝⎭.14．3 【解析】过A 作AD BC ⊥，垂足为D ，则cos 312BA BC BA BC B BD BC BD ⋅==⋅==，4BD ∴=，又3,1BC CD =∴=，设()0AD y y =>，则24133tan 4441y yBAC y y y-∠==≤++，当且仅当4y y =，即2y =时取“=”，由正切函数的单调性可知此时BAC ∠也最大，综上所述，ABC ∆的面积为13232⨯⨯=，故答案为3. 【易错点晴】本题主要考查平面向量数列积公式、三角形面积公式及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 15．(Ⅰ) cos 13β=-(Ⅱ)13【分析】（Ⅰ）由二倍角公式求解即可；（Ⅱ）先求sin β，cos （αβ+），再配凑角sin α=sin(αββ+-)展开求解即可 【详解】 （Ⅰ） ∵cos21cos 22ββ+==711929⎛⎫+- ⎪⎝⎭=,又 ∵(,)2πβπ∈ ∴ cos 13β=-（Ⅱ）由(Ⅰ)知：sin β3== 由(0,)2πα∈、(,)2πβπ∈得αβ+∈（3,22ππ）cos （αβ+）=9==- sin α=sin(αββ+-)＝sin(αβ+)cos β－cos(αβ+)sin β＝79×13⎛⎫- ⎪⎝⎭－9⎛-⎝⎭×133=【点睛】本题考查同角的基本关系式，考查两角的正弦公式，考查角的变换的方法，考察运算能力，属于中档题和易错题．16．(1)证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由三角形中位线定理推导出//EF PC ，根据线面平行的判定定理可证明//EF 平面PBC ；（2）由已知条件推导出,PA BE PA EF ⊥⊥，可得平面PA ⊥ BEF ，由此能证明平面PAB ⊥平面BEF .试题解析：证明：⑴在APC ∆中，因为,E F 分别是,PA AC 的中点，所以EF ∥PC 又PC ⊂平面PAC ，EF ⊄平面PAC ，所以EF ∥平面PBC ； ⑵ 因为AB PB =，且点E 是PA 的中点，所以PA ⊥BE ； 又PA PC ⊥，EF ∥PC ，所以PA EF ⊥，因为BE ⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，BE EF E ⋂=，PA ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面BEF . 17．(1) 233ππα⎛⎫<<⎪⎝⎭；（2. 【解析】试题分析：（1）在ACD ∆中，求出相关的角，利用正弦定理，求出2103,sin CD AD sin sin πααα⎛⎫- ⎪⎝⎭==，表示出所需运输成本为S 元关于α的函数表达式；（2）利用函数表达式，求出函数的导数，通过导数的符号，判断单调性求解函数的最值. 试题解析：(1) 由题知在△ACD 中，∠CAD ＝3π，∠CDA ＝α，AC ＝10，∠ACD ＝23π－α.由正弦定理知10233CDAD sin sinsin ππαα==⎛⎫- ⎪⎝⎭，即CDAD ＝2103sin sin παα⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以S ＝4aAD ＋8aBD ＋12aCD ＝ (12CD －4AD ＋80)a＝2403sin sin παα⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦a ＋80a＝⎡⎢⎣a ＋60a 233ππα⎛⎫<< ⎪⎝⎭(2) S ′＝20a ，令S ′＝0得cos α＝13当cos α>13时，S ′<0； 当cos α13<时，S ′>0，所以当cos α＝13时，S 取得最小值，此时sin α，AD＝5，所以中转点C 距A处204+km 时，运输成本S 最小． 18．（1）12c e a ==，且过点3(1,)2P ， 22222191,4{2,,a b a c a b c +=∴==+解得2,{a b ==∴椭圆方程为22143x y +=.……………4分 (2)设点12(4,),(4,)M y N y 则1122(5,),(3,),FM y F N y ==1212150FM F N y y ⋅=+=， 1215y y ∴=-，又2111111515MN y y y y y y =-=-=+≥－MN ∴的最小值为……………………………………………10分(3)圆心C 的坐标为12(4,)2y y +，半径212y y r -=. 圆C 的方程为2221221()(4)()24y y y y x y +--+-=， 整理得：2212128()160x y x y y y y y +--+++=.…………………16分1215y y =-，22128()10x y x y y y ∴+--++=令0y =，得2810x x -+=，4x ∴=∴圆C过定点(4±.………………………………………16分【解析】（1）22143x y +=；（2）（3）圆C过定点(4 试题分析：（1）因为：12c e a ==且过点3(1,)2P ，列出关于a ，b 的方程，解得a ，b ．最后写出椭圆方程即可；（2）设点1244M y N y （，），（，）写出向量的坐标，利用向量的数量积得到1215y y =-，又2111111515MN y y y y y y =-=-=+≥－MN 的最小值；（3）利用圆心C 的坐标和半径得出圆C 的方程，再令y=0，得2810x x -+=从而得出圆C 过定点试题解析：（1）12c e a ==，且过点3(1,)2P ， 22222191,4{2,,a b a c a b c +=∴==+解得2,{a b ==∴椭圆方程为22143x y +=． 4分 (2)设点12(4,),(4,)M y N y 则1122(5,),(3,),FM y F N y ==1212150FM F N y y ⋅=+=， 1215y y ∴=-，又2111111515MN y y y y y y =-=-=+≥－MN ∴的最小值为 8分(3)圆心C 的坐标为12(4,)2y y +，半径212y y r -=． 圆C 的方程为2221221()(4)()24y y y y x y +--+-=， 10分 整理得：2212128()160x y x y y y y y +--+++=．1215y y =-，22128()10x y x y y y ∴+--++=12分令0y =，得2810x x -+=，4x ∴=∴圆C过定点(4． 14分 考点：椭圆的简单性质、圆与圆锥曲线的综合 19．(1)31135,,4816；（2）证明见解析；（3）2λ=. 【解析】试题分析：（1）根据点()1,2n n n a a +-在直线y x =上，可得12+-=n n a a n ，代入计算可得234,,a a a 的值；（2）利用111n n n b a a +-=--，及12+-=n n a a n ，可得()1111112112n n n n n n n b a a a a n n a b +++++=--=---=--=，即可证明数列{}n b 是等比数列；（3）求得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前三项，根据其成等比数列列方程求得λ，再验证即可求得结论.试题解析：（1）由题意，11212132,,21,.24n n a a n a a a a 又所以解得+-==-== 同理341135,,816a a == （2）因为12,n n a a n +-= 所以1112111111,22n n n n n n a n n a b a a a ++++++++--=--=--= ()111111112112,2n n n n n n n n n b b a a a a n n a b b 即++++++=--=---=--== 又121314b a a =--=-，所以数列{}n b 是以34-为首项，12为公比的等比数列.（3）由（2）得，11131********3,3.14222212n n n n n n b T -++⎛⎫-⨯- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-⨯=-⨯==⨯- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 又1111113,23,22n nn n n a n b n a n ++⎛⎫⎛⎫=--=-+⨯=-+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以所以()211113322233.122212nn n n n n n S n ⎛⎫⨯- ⎪+-⎝⎭=-+⨯=+--由题意，记{}1.,.n nn n n n S T c c c c nλ++=-要使数列为等差数列只要为常数 123313133122223323.22n nn n nn n n S T n c nn n λλλ+⎡⎤⎛⎫-⎛⎫+-+⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭+-⎢⎥⎝⎭⎛⎫⎣⎦===+-⨯⎪⎝⎭11114323,221n n n c n λ----⎛⎫=+-⨯ ⎪-⎝⎭ 则11111113223.221n n n n c c n n λ--⎛⎫-- ⎪⎛⎫-=+-⨯-⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭故当112,,.2n n n n S T c c n λλ-+⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭时为常数即数列为等差数列 20．(1)810x y +-= ；(2)2a ≤ ；（3）证明见解析 【解析】试题分析：（1）导函数为()()()222211x a x f x x x ++'-=+，由(2)0f '=，解得并检验94a =，再求得1(1)8k f '==，切点为（1,0），由点斜式可求得切线方程．（2）由题意可()()()2222101x a x f x x x +-+=≥+'在()0,+∞上恒成立，所以2(22)10x a x +-+≥在(0,)+∞上恒成立，分离参数得122a x x -≤+，所以()min 122a x x ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭，x ∈(0,)+∞．（3）由于是多个变量，所以利用变形，换元变成一个变量，变形为2(1)ln 01mm n m n n-->+，设2(1)()ln 1x h x x x -=-+．求导可证h(x)>0.试题解析：（1）()()()222211x a x f x x x ++'-=+，由题意知(2)0f '=，代入得94a =，经检验，符合题意． 从而切线斜率1(1)8k f '==，切点为（1,0），所以切线方程为810x y +-= （2）()()()222211x a x f x x x ++'-=+，因为f （x ）在(0,)+∞上为单调增函数，所以()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，即2(22)10x a x +-+≥在(0,)+∞上恒成立．当(0,)+∞时，由2(22)10x a x +-+≥，得122a x x-≤+． 设1(),g x x x =+x ∈(0,)+∞．，1()2g x x x=+≥． 所以当且仅当1x x=，即x=1时，g （x ）有最小值2．所以222a -≤，所以2a ≤．所以a 的取值范围是(,2]-∞．（3）要证ln ln 2m n m n m n -+<-，只需证112ln m mn n m n -+<，只需证2(1)ln 01m m n m n n-->+，设2(1)()ln 1x h x x x -=-+．由（2）知()h x 在(1,)+∞上是单调增函数，又1mn>．所以()(1)0mh h n>=，即2(1)ln 01m m n m n n-->+成立，所以ln ln 2m n m n m n -+<-【点睛】对于两个变量的不等式、函数的证明，我们有一种常见方法是通过换元的形式把两个变量化成一个变量，要注意新的变元的范围，如本题令mtn=．构造新的函数2(1)()ln1xh x xx-=-+，再进行证明．。

2020-2021南京市高三数学上期中模拟试卷带答案一、选择题1．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．下列命题正确的是A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或55．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1826．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1 B ．6C ．7D ．6或7 7．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．368．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．99．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．4037202010．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5211．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8112．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ）A ．49B ．378C ．7914D ．14924二、填空题13．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____． 14．设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122019201920192019[]a a a +++=L ____________． 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *=++∈，,求n a =.__________．16．在平面内，已知直线12l l P ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为____．17．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos2C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．18．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 19．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．20．设0x ＞，0y ＞，4x y +=，则14x y+的最小值为______． 三、解答题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S22．在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知()sin sin sin B C m A m +=∈R ,且240a bc -=．(1)当52,4a m ==时,求,b c 的值; (2)若角为锐角,求m 的取值范围．23．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+，.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 24．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 25．已知数列{}n a 满足：1=1a ，()*11,2,n n n a n a n N a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数设21n n b a -=． （1）证明：数列{}2n b +为等比数列；（2）求数列3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 26．已知函数()f x a b =⋅v v ，其中()()2cos 32,cos ,1,a x sin x b x x R ==∈v v．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,7a b c f A a ==2b c =，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n na a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

江苏省南京市三校2021届高三第一学期期中联考数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定的位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合[1,3)M =，(2,5]N =，则M N =（ ）A. []1,5B. ()2,3C. [)1,2D. (]3,52. 已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i-+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A.75B. 75-C. 15D. 15-3. 从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（ ） A. 20种B. 50种C. 80种D. 100种4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A. 80里B. 86里C. 90里D. 96里5. 若正数a 是一个不等于1的常数，则函数log a y x =与函数(0)a y x x =>在同一个坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C. D.6. 设 2.10.3a =，0.32.1b =，0.3log 2.1c =， 2.1log 0.3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A. a b c d >>>B. d c b a >>>C. b a c d >>>D. b a d c >>>7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:9C x y +=及圆C 内的一点()1,2P ，圆C 的过点P 的直径为MN ，若线段AB 是圆C 的所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为（ ）A. 8B. 16C. 4D. 438. 设()f x 是定义在R 上的函数，()(1)g x f x =+．若函数()g x 满足下列条件：①()g x 是偶函数；②()g x 在区间[)0,+∞上是增函数；③()g x 有一个零点为2，则不等式(1)()x f x +>0的解集是（ ） A. (3,)+∞ B. (1,)+∞C. (,1)(1,)-∞-+∞ D. (,1)(3,)-∞-+∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 在平面直角坐标系xOy 中，为了使方程2220x my +-=表示准线垂直于x 轴的圆锥曲线，实数m 的取值范围可以是（ ） A. (1,)+∞B. (,0)-∞C. (,)-∞+∞D. (0,)+∞10. 若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象上所有的点向右平移3π个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数22sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则实数ϕ的值可能是（ ） A.43πB.23π C. 23π-D. 43π-11. 设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ） A.11a b+2 B.21a b+的最小值为2 C. 12a b+的最小值为94D.111b a a b +≥++ 12. 设常数R a ∈，N n *∈，对于二项式(1)n x +的展开式，下列结论中，正确的是（ ）A. 若1a n<，则各项系数随着项数增加而减小 B. 若各项系数随着项数增加而增大，则a n >C. 若2a =-，10n =，则第7项的系数最大D. 若2a =7n =，则所有奇数项系数和为239三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上.13. 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:C y mx =的焦点F 作斜率为1的直线，与抛物线C 交于A ，B 两点．若弦AB 的长为6，则实数m 的值为__________.14. 今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是__________元．（四舍五入，精确到整数）15. 数学家研究发现，对于任意的x ∈R ，()357211sin (1)N 3!5!7!(21)!n n x x x x x x n n --*=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∈-，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x ，可以用这个展开式来求sin x 的近值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B 的仰角30BAC ∠=︒，气球的视角2α=︒，则该气球的高BC 约为_________米．（精确到1米）16. 如图所示，多面体ABCDEFGH 中对角面CDEF 是边长为6的正方形，//AB DC ，//HG DE ，且AB ，GH 到平面CDEF 的距离都是3，则该多面体的体积为___________.四、解答题：本题共6小题；共70分.将解答写在答题卡中相应的空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设函数2()434sin cos 1f x x x x =-+. （1）求()f x 最小正周期和值域；（2）在锐角ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若()1f A =，1a =，求ABC 周长的取值范围．18. 阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①1112n n a a +=+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的__________处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*N n ∈，都有_________；等比数列{}n b 中，对任意的*N n ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =，问：是否存在*N k ∈，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由．19. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是侧棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ．（1）求PA 的长；（2）求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．20. 在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．未感冒 感冒 使用血清 17 3 未使用血清146（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X ，试写出X 的分布列；（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A ，类B ）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：Ⅱ类1类2Ⅰ类Aab类Bcd有22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表（部分）()2P k χ≥0.50 0.40 0.25 015 0.10 0.05 0.025 0.010 0005 0.001k0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82821. 设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合： ①方程()0f x x -=有实数解； ②函数()f x 的导数fx 满足0()1f x '<<．（1）试判断函数sin ()24x x f x =+是否集合M 的元素，并说明理由； （2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：对于任意的区间[],m n ，都存在0[,]x m n ∈，使得等式()0()()()f n f m n m f x '-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解．（3）设1x 是方程()0f x x -=的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R ∈，当211x x -<，311x x -<时，有()()322f x f x -<．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 与双曲线22:13612y x C -=有共同的中心和准线，且双曲线C 的一条渐近线被椭圆E 截得的弦长为42 （1）求椭圆E 的方程；（2）若过点(0,)P m 存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，求实数m 的取值范围．（答案）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定的位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合[1,3)M =，(2,5]N =，则M N =（ ）A. []1,5B. ()2,3C. [)1,2D. (]3,5【答案】B2. 已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i-+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A.75B. 75-C. 15D. 15-【答案】D3. 从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（ ） A. 20种 B. 50种C. 80种D. 100种【答案】B4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A. 80里 B. 86里C. 90里D. 96里【答案】D5. 若正数a 是一个不等于1的常数，则函数log a y x =与函数(0)a y x x =>在同一个坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】C6. 设 2.10.3a =，0.32.1b =，0.3log 2.1c =， 2.1log 0.3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A. a b c d >>> B. d c b a >>>C. b a c d >>>D. b a d c >>>【答案】C7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:9C x y +=及圆C 内的一点()1,2P ，圆C 的过点P 的直径为MN ，若线段AB 是圆C 的所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为（ ）A. 8B. 16C. 4D. 43【答案】B8. 设()f x 是定义在R 上的函数，()(1)g x f x =+．若函数()g x 满足下列条件：①()g x 是偶函数；②()g x 在区间[)0,+∞上是增函数；③()g x 有一个零点为2，则不等式(1)()x f x +>0的解集是（ ） A. (3,)+∞ B. (1,)+∞C. (,1)(1,)-∞-+∞D. (,1)(3,)-∞-+∞【答案】A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 在平面直角坐标系xOy 中，为了使方程2220x my +-=表示准线垂直于x 轴的圆锥曲线，实数m 的取值范围可以是（ ） A. (1,)+∞ B. (,0)-∞C. (,)-∞+∞D. (0,)+∞【答案】AB10. 若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象上所有的点向右平移3π个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数22sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则实数ϕ的值可能是（ ）A.43π B.23π C. 23π-D. 43π-【答案】AC11. 设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ） A.11a b+的最小值为2 B.21a b+的最小值为2 C. 12a b+的最小值为94D.111b a a b +≥++ 【答案】BCD12. 设常数R a ∈，N n *∈，对于二项式(1)n a x +的展开式，下列结论中，正确的是（ ）A. 若1a n<，则各项系数随着项数增加而减小 B. 若各项系数随着项数增加而增大，则a n >C. 若2a =-，10n =，则第7项的系数最大D. 若2a =-，7n =，则所有奇数项系数和为239 【答案】BCD三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上.13. 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:C y mx =的焦点F 作斜率为1的直线，与抛物线C 交于A ，B 两点．若弦AB 的长为6，则实数m 的值为__________. 【答案】3±14. 今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是__________元．（四舍五入，精确到整数） 【答案】36720915. 数学家研究发现，对于任意的x ∈R ，()357211sin (1)N 3!5!7!(21)!n n x x x x x x n n --*=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∈-，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x ，可以用这个展开式来求sin x 的近值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B 的仰角30BAC ∠=︒，气球的视角2α=︒，则该气球的高BC 约为_________米．（精确到1米）【答案】8616. 如图所示，多面体ABCDEFGH 中对角面CDEF 是边长为6的正方形，//AB DC ，//HG DE ，且AB ，GH 到平面CDEF 的距离都是3，则该多面体的体积为___________.【答案】108四、解答题：本题共6小题；共70分.将解答写在答题卡中相应的空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设函数2()434sin cos 1f x x x x =-+. （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若()1f A =，1a =，求ABC 周长的取值范围．【答案】（1）T π=；[323,523]-++；（2）31,3]+.18. 阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①1112n n a a +=+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的__________处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*N n ∈，都有_________；等比数列{}n b 中，对任意的*N n ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =，问：是否存在*N k ∈，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由． 【答案】答案见解析19. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是侧棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ．（1）求PA的长；（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．【答案】（1）1；（26 .20. 在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．未感冒感冒使用血清17 3未使用血清14 6（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X，试写出X的分布列；（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A，类B）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：Ⅱ类1 类2 Ⅰ类A a b类B c d有22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++.临界值表（部分）()2P k χ≥ 0.50 0.40 0.25 015 0.10 0.05 0.025 0.010 0005 0.001k0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.21. 设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合：①方程()0f x x -=有实数解；②函数()f x 的导数f x 满足0()1f x '<<．（1）试判断函数sin ()24x x f x =+是否集合M 的元素，并说明理由； （2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：对于任意的区间[],m n ，都存在0[,]x m n ∈，使得等式()0()()()f n f m n m f x '-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解．（3）设1x 是方程()0f x x -=的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R ∈，当211x x -<，311x x -<时，有()()322f x f x -<．【答案】（1）是集合M 中的元素．理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 与双曲线22:13612y x C -=有共同的中心和准线，且双曲线C 的一条渐近线被椭圆E 截得的弦长为42（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点(0,)P m 存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22196y x +=或2231248y x +=；（2）答案不唯一见解析.。

2020-2021学年度第一学期南京三校联考高三期中三校联考数学试卷四、解答题：本题共6小题；共70分．将解答写在答题卡中相应的空白处．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）设函数()1cos sin 4cos 342+-=x x x x f ．（1）求()x f 的最小正周期和值域；（2）在锐角ABC ∆中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若()1=A f ，1=a ，求ABC ∆周长的取值范围．解：（1）因为()1322sin 22cos 3212sin 222cos 134++-=+-+⨯=x x x xx f 13262cos 4++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx所以()x f 的最小正周期为ππ==22T . 因为162cos 1≤⎪⎭⎫⎝⎛+≤-πx ，所以32513262cos 4323+≤++⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+-πx ． 所以，函数()x f 的值域为区间[]325,323++-． （2）由()1=A f ，得2362cos -=⎪⎭⎫⎝⎛+πA ． 因为A 为锐角，所以67626πππ<+<A ，所以6562ππ=+A ，即3π=A . 因为π=++C B A ，所以B C -=32π． 由正弦定理C c B b A a sin sin sin ==，得B b sin 332=，⎪⎭⎫ ⎝⎛-==B C c 32sin 332sin 332π， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++B B B B B c b a sin 21cos 23sin 332132sin sin 3321π ⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=6sin 21cos 23sin 233321πB B B . 因为ABC ∆为锐角三角形，所以20π<<B ，20π<<C ，即26232020πππππ<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<<<B B B 所以3263πππ<+<B ，所以16sin 23≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<πB ，即36sin 2113≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++<+πB ．所以ABC ∆周长的取值范围为区间(]3,13+.18．（本小题满分12分）阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①1211+=+n n a a ，②21+=+n n a a ，③12-=n n a S 中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的★_______处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，对任意的*N n ∈，都有★_______；等比数列{}n b 中，对任意的*N n ∈，都有0>n b ，n n n b b b 3212+=++，且11=b ，问：是否存在*N k ∈，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n b a b a ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由． 解：设等比数列{}n b 的公比为q ．因为对任意的*N n ∈，都有n n n b b b 3212+=++，所以322+=q q ，解得1-=q 或23． 因为对任意的*N n ∈，都有0>n b ，所以0>q ，从而23=q ． 又11=b ，所以123-⎪⎭⎫⎝⎛=n n b ．显然，对任意的*N n ∈，0>n b ．所以，存在*N k ∈，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n b a b a ≤，即kkn n b a b a ≤． 记nn n b a c =，*N n ∈．下面分别就选择①②③作为条件进行研究． 选①：因为对任意的*N n ∈，都有1211+=+n n a a ，即()22121-=-+n n a a ． 又21=a ，即0121≠-=-a ，所以02≠-n a ，从而21221=--+n n a a ，所以数列{}2-n a 是等比数列，公比为21，得1212-⎪⎭⎫⎝⎛-=-n n a ，即1212-⎪⎭⎫⎝⎛-=n n a所以1312--==n n n n n b a c ，从而()1231211--=++n n n n c c ． 由()1221123121≥⇔≥⇔≤--+n n nn ，得：21c c =，当1≥n 时，n n c c <+1 所以，当1=n 或2时，n c 取得最大值，即nnb a 取得最大值． 所以对任意的*N n ∈，都有1122b a b a b a n n =≤，即n n b a b a 11≤，n n b a b a 22≤， 所以存在2,1=k ，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n b a b a ≤．. 选②：因为对任意的*N n ∈，都有21+=+n n a a ，即21=-+n n a a ，所以数列{}n a 是等差数列，公差为2． 又11=a ，所以()12121-=-+=n n a n所以()032121>⎪⎭⎫⎝⎛-==-n n n n n b a c ，从而()()1231221-+=+n n c c n n ．由()()25521123122≥⇔≥⇔≤-+n n n n ，得：当2≤n 时，n n c c >+1；当3≥n 时，n n c c <+1所以，当3=n 时，n c 取得最大值，即nnb a 取得最大值． 所以对任意的*N n ∈，都有33b a b a n n ≤，即n n b a b a 33≤． 所以存在3=k ，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n b a b a ≤.选③：因为对任意的*N n ∈，都有12-=n n a S ，所以1211-=++n n a S ，从而()n n n n n n n a a a a S S a 2212121111-=---=-=++++，即n n a a 21=+. 又011>=a ，所以0>n a ，且21=+nn a a ， 从而数列{}n a 是等比数列，公比为2，得12-=n n a .所以0431>⎪⎭⎫⎝⎛==-n n n n b a c ，从而1431<=+n n c c ，所以n n c c <+1，所以，当1=n 时，n c 取得最大值，即nnb a 取得最大值． 所以对任意的*N n ∈，都有11b a b a n n ≤，即n n b a b a 11≤． 所以存在1=k ，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n b a b a ≤.19．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，⊥PA 底面ABCD ，点M 是侧棱PC 的中点，⊥AM 平面PBD ． （1）求PA 的长；（2）求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．解:方法一：设a PA =．在四棱锥ABCD P -中，因为底面ABCD 是边长为1的正方形，⊥PA 底面ABCD ，如图，以A 为坐标原点，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系xyz A -，则()0,0,0A ，()0,0,1B ，()0,1,1C ，()0,1,0D ，()a P ,0,0． 因为M 是侧棱PC 的中点，所以M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,21,21a所以⎪⎭⎫⎝⎛=2,21,21a AM ，()0,1,1-=BD ，()a BP ,0,1-=．（1）因为⊥AM 平面PBD ，即⊥AM 平面PBD ， 所以0=⋅=⋅BP AM BD AM ．所以02212=+-a ，解得1=a ． 所以1=PA ． （2）设平面AMD 的法向量为()z y x n ,,=． 因为()0,1,0=，⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,21,21，由()⎩⎨⎧=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00021000z x y z y x y AM取1=z ，得1-=x ，从而得到平面AMD 的一个法向量()1,0,1-=．PBC DAM （第19题）PB CD A Mxy z又()1,1,1--=，所以36322cos =⋅=⋅=CPn CP n CP n ． 设PC 与平面AMD 所成角的为θ，则36cos sin ==CP n θ. 因此，PC 与平面AMD 所成角的正弦值为36． 方法二：（1）设a PA =．连结AC ，交BD 于点O O ．连结PO ，与AM 交于点G ．在四棱锥ABCD P -中，因为底面ABCD 是边长为1的正方形，所以2==BD AC ，O 是AC 的中点，所以22=AO ． 因为⊥PA 底面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，所以AC PA ⊥． 所以2222+=+=a AC PA PC ，21222+=+=a AO PA PO ． 因为M 是侧棱PC 的中点，所以221212+==a PC AM ． 因为⊥AM 平面PBD ，⊂PO 平面PBD ，所以PO AM ⊥，即OG AG ⊥． 又AM ，PO 分别是PAC ∆的两条中线，所以G 是PAC ∆的重心． 所以231322+==a AM AG ，2131312+==a PO OG ． 在AOG ∆中，由222AO OG AG =+，得()21219129122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++a a ，解得1=a ． 即1=PA ．（2）取侧棱PB 的中点N ，连结MN ，AN ． 由（1）知，PB PA =，所以PB AN ⊥. 由M 是侧棱PC 的中点，得BC MN //．因为AD BC //，所以AD MN //，即M ，N ，A ，D 四点共面． 因为⊥PA 底面ABCD ，⊂AD 平面ABCD ，所以AD PA ⊥． 又在正方形ABCD 中，有AB AD ⊥，而⊂AB 平面PAB ，⊂PA 平面PAB ，且A PA AB = ，所以⊥AD 平面PAB ． 又⊂PB 平面PAB ，所以⊥AD 平面PAB ．因为⊂AN 平面AMD ，⊂AD 平面AMD ，且A AD AN = ， 所以⊥PB 平面AMD ，即⊥PN 平面AMD ． 所以PMN ∠就是PB 与平面AMD 所成的角．因为⊥PA 底面ABCD ，⊂AB 平面ABCD ，所以AB PA ⊥． 因为1==AB PA ，所以2=PB ，即22=PN ． 由（1）知2321==PC PM ．所以36sin ==∠PM PN PMN ． 因此，PC 与平面AMD 所成角的正弦值为36． 20．（本小题满分12分）在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X ，试写出X 的分布律；（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A ，类B ）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个22⨯列联表：有()()()()()d b c a d c b a bc ad n ++++-=22χ ，其中d c b a n +++=． 临界值表（部分）为解：（1）因为使用血清的人中感冒的人数为3，未使用血清的人中感冒的人数为6，一共9人，从这9人中选4人，其中使用血清的人数为X ，则随机变量X 的可能值为0，1，2，3．因为()4250494603===C C C X P ，()21101493613===C C C X P ，()1452492623===C C C X P ，()2113491633===C C C X P ， 所以随机变量X 的分布列为（2）将题中所给的22⨯列联表进行整理，得提出假设0H ：是否使用该种血清与感冒没有关系．根据2χ公式，求得()2903.193120201436174022≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ． 因为当0H 成立时，“708.02≥χ”的概率约为40.0，“323.12≥χ”的概率约为25.0，所以有%60的把握认为：是否使用该种血清与感冒有关系，即“使用该种血清能预防感冒”，得到这个结论的把握不到%75． 由于得到这个结论的把握低于%90，因此，我的结论是：没有充分的证据显示使用该种血清能预防感冒，也不能说使用该种血清不能预防感冒．21．（本小题满分12分）设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()x f 构成的集合： ①方程()0=-x x f 有实数解；②函数()x f 的导数()x f '满足()10<'<x f ． （1）试判断函数()4sin 2xx x f +=是否集合M 的元素，并说明理由； （2）若集合M 中的元素()x f 具有下面的性质：对于任意的区间[]n m ,，都存在[]n m x ,0∈x ，使得等式()()()()0x f m n m f n f '-=-成立，证明：方程()0=-x x f 有唯一实数解．（3）设1x 是方程()0=-x x f 的实数解，求证：对于函数()x f 任意的R x x ∈32,，当112<-x x ，113<-x x 时，有()()223<-x f x f ．解：（1）函数()4sin 2x x x f +=是集合M 中的元素．理由如下： ①方程()0=-x x f ，即024sin =-xx ． 显然0=x 是方程024sin =-xx 的实数解，因此，方程()0=-x x f 有实数解．②由于()4cos 21x x f +='，又1cos 1≤≤-x ，即434cos 2121≤+≤x ，所以()10<'<x f ．综上，函数()4sin 2xx x f +=是集合M 中的元素．（2）（反证法）由条件①知方程()0=-x x f 有实数解．假设方程()0=-x x f 有两个不相等的实数解α，β，不妨设βα<，则()αα=f ，()ββ=f ． 由函数()x f 的性质知，存在[]βα,0∈x ，使得()()()()0x f f f '-=-αβαβ，即()()0x f '-=-αβαβ． 又由条件②知()10<'<x f ，所以0=-αβ，即βα==，这与βα<矛盾． 因此，方程()0=-x x f 有唯一实数解．（3）对任意的R x x ∈32,，当112<-x x ，且113<-x x 时， 不妨设32x x ≤，则111321+<≤<-x x x x ．因为()10<'<x f ，所以()x f 在R 上是增函数，所以()()32x f x f ≤．令()()x x f x g -=，则()()01<-'='x f x g ，所以()()x x f x g -=是R 上的减函数， 所以()()32x g x g ≥，即()()3322x x f x x f -≥-， 所以()()()()2110112323=--+<-≤-≤x x x x x f x f ．因此，对任意的R x x ∈32,，当112<-x x ，且113<-x x 时，有()()223<-x f x f22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 与双曲线C ：1123622=-x y 有共同的中心和准线，且双曲线C 的一条渐近线被椭圆E 截得的弦长为24． （1）求椭圆E 的方程；（2）若过点()m P ,0存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，求实数m 的取值范围．解：（1）因为椭圆E 与双曲线C ：1123622=-x y 有共同的中心和准线，所以设椭圆E 的方程为()012222>>=+b a bx a y ． 令22b ac -=，由题知3612362+=c a ，得c a 332=，2233c c b -=． 由双曲线C 的方程1123622=-x y 得双曲线C 的渐近线的方程为x y 3±=．根据对称性，不妨设椭圆E 与渐近线x y 3=的交点为()11,y x A ，()22,y x B ．由⎪⎩⎪⎨⎧==-+xy c c x c y 313333222消去y ，整理得c c c x --=343922．所以cc c x x --=-34392221 ，所以()()cc c x x y y x x AB --=-+=-+-=3439431221221221． 由24343942=--c c c ， 得0381132=+-c c ，解得 3=c 或38， 所以椭圆E 的方程为16922=+x y 或1832422=+x y ． （2）方法一：对于椭圆E ：()012222>>=+b a bx a y ，设过点()m P ,0的两条互相垂直的直线中一条的斜率为k ，方程为m kx y +=．由⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y b x a y 12222，消去y ，整理得01212222222=-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a m a mkx x b a k ．由01411422222222222222≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛=∆b a m b a k a m b a k a mk 得2222ba m k -≥ ．① 当0≠k 时，同理得22221b am k -≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-，即22221b a m k -≥．② 当0222≤-ba m ，即a m ≤时，满足①②的k 存在，所以a m ≤满足条件． 当0222>-b a m ，即a m >时，满足①②的k 存在10222<-<⇔b a m ，即22b a m a +≤< 当0=k 时，0222≤-ba m ，即a m ≤，满足条件． 综上，22b a m +≤，即m 的取值范围是区间[]2222,b a b a ++-．若椭圆C 的方程为16922=+x y ，则实数m 的取值范围是区间[]15,15-；若椭圆C 的方程为1832422=+x y ，则实数m 的取值范围是区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3154,3154． 方法二：对于椭圆E ：()012222>>=+b a bx a y ，设过点()m P ,0的两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，如果其中的一条斜率为0，那么另一条一定垂直于x 轴；反之亦然．由平面几何知识知道：[]a a m ,-∈满足条件．当|m |＞a 时，设其中一条的斜率k ，显然k ＝0不满足条件，所以k ≠0，那么另一条的斜率为－1k．设其中一条直线的方程为m kx y +=．由⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y b x a y 12222．消去y ，整理得01212222222=-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a m a mkx x b a k ．由01411422222222222222≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛=∆b a m b a k a m b a k a mk 得2222b a m k -≥ ．①同理得22221b am k -≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-，即22221b a m k -≥．② 因为0222>-b a m ，所以，满足①②的k 存在10222<-<⇔ba m ，即22b a m a +≤<． 综上，22b a m +≤，即m 的取值范围是区间[]2222,b a b a ++-．若椭圆C 的方程为16922=+x y ，则实数m 的取值范围是区间[]15,15-； 若椭圆C 的方程为1832422=+x y ，则实数m 的取值范围是区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3154,3154． 方法三：对于椭圆E ：()012222>>=+b a bx a y ，由于点()m P ,0在椭圆E 的长轴所在的y 轴上，所以，当点P 在椭圆E 的长轴上，即a m ≤时，显然满足条件．当点P 不在椭圆E 的长轴上，即a m >时，根据椭圆的几何性质可以知道，当椭圆E 的过点()m P ,0的两条切线（线段）所成的角大于或等于直角时，过点P 存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点． 当椭圆存在过点P 的两条互相垂直的切线时，PQ 与y 轴的夹角为︒45，从而与x 轴的夹角也为︒45． 设一条切线的方程为m x y +=．由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m x y b x a y 12222．消去y ，整理得01211222222=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+a m a mx x b a ． 由011142222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆a m b a a m ，得 01122222=++b a m b a ，解得22b a m +±=. 由椭圆的平面几何性质知道，当22b a m a +≤<时，满足条件． 综上，m 的取值范围是区间[]2222,b a b a ++-． 若椭圆C 的方程为16922=+x y ，则实数m 的取值范围是区间[]15,15-； 若椭圆C 的方程为1832422=+x y ，则实数m 的取值范围是区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3154,3154．。