江苏省南京市秦淮中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题

2020-2021学年江苏省淮安市某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1. 向量a →=(1,−2)，b →=(2,−1)，则a →⋅b →=( ) A.5 B.3 C.4 D.−52. 集合A ={x|−1<x <3} ，B ={x|x 2+x −6<0,x ∈Z }，则A ∩B =( ) A.(−1,2) B.(−3,3) C.{0,1} D.{0,1,2}3. α=30∘是sin α=12的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4. 函数f (x )=ln x −2x +1的零点所在的大致区间是( ) A.(2,e ) B.(1,2) C.(e,3) D.(3,+∞)5. 函数f(x)=sin (2x +π3)，若x 1x 2<0，且f(x 1)+f(x 2)=0，则|x 2−x 1|的取值范围为( ) A.(π6,+∞) B.(π3,+∞)C.(2π3,+∞)D.(4π3,+∞)6. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (3,4)，则cos (2α+β)cos β+sin (2α+β)sin β的值是( ) A.−925B.725C.−725D.9257. 已知函数f(x)=sin ωx +√3cos ωx(ω>0)，x 1，x 2为函数f(x)的两个极值点，若|x 1−x 2|的最小值为π2，则( ) A.f(x)在(−5π12,π12)上单调递减B.f(x)在(−5π12,π12)上单调递增 C.f(x)在(−2π3,π3)上单调递减 D.f(x)在(−2π3,π3)上单调递增8. 已知函数f (x )={e −x +2mx +m, x <0,e x (x −1), x ≥0, (e 为自然对数的底)，若F (x )=f (x )+f (−x )且F (x )有四个零点，则实数m 的取值可以( ) A.1 B.2 C.e D.2e二、多选题已知向量a →=(2,−1)，b →=(−3,2)，c →=(1,1)，则( ) A.a →//b →B.(a →+b →)⊥c →C.a →+b →=c →D.c →=5a →+3b →下列函数中，存在极值点的是( ) A.y =x −1x B.y =2|x| C.y =−2x 3−x D.y =x ln x在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC =60∘, ∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =√3. 则下列说法正确的是( ) A.ac 的最小值是4B.ac 的最大值是4C.a +2c 的最小值是2+2√2D.a +2c 的最小值是3+2√2设函数f(x)=sin (ωx −π6)(ω>0)，已知f(x)在[0, π]有且仅有3个零点，下列结论正确的是( )A.在(0, π)上存在x 1，x 2，满足f(x 1)−f(x 2)=2B.f(x)在(0, π)有且仅有1个最小值点C.f(x)在(0,π2)单调递增D.ω的取值范围是[136,196]三、填空题等腰直角三角形ABC 中， ∠C =90∘,CA =CB =√2，则有CA →⋅AB →=________.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则bc=________.设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知(b +c)sin (A +C)=(a +c)(sin A −sin C)，设D 是BC 边的中点，且△ABC 的面积为√3，则AB →⋅(DA →+DB →)等于________.已知函数f(x)=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)是偶函数，将y =f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为y =g (x )．已知y =g (x )的图象相邻对称中心之间的距离为2π，则ω=________，若y =g (x )的图象在其某对称轴处对应的函数值为−2，则g(x)在[0,π]上的最大值为________． 四、解答题已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos C(a cos C +c cos A)+b =0. (1)求角C 的大小；(2)若b =2，c =2√3 ，求△ABC 的面积.如图，在△ABC 中，∠BAC =π3，AD →=2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →=mAC →+12AB →，若△ABC 的面积为2√3.(1)求m 的值；(2)求|AP →|的最小值．已知函数f(x)=log 121−ax x−1的图像关于原点对称，其中a 为常数．(1)求a 的值；(2)若当x ∈(1, +∞)时，f(x)+log 12(x −1)<m 恒成立，求实数m 的取值范围．如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =c(sin B +cos B)．(1)求∠ACB 的大小；(2)若∠ACB =∠ABC ，点A ，D 在BC 的异侧，DB =2,DC =1，求平面四边形ABDC 面积的最大值．某市近郊有一块大约500m ×500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S 平方米．(1)分别用x 表示y 及S 的函数关系式，并给出定义域；(2)请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S 最大，并求出最大值．已知函数f(x)=12x2−a ln x+1(a∈R).(1)若函数f(x)在[1,2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若−2≤a<0，对任意x1,x2∈[1，2]，不等式|f(x1)−f(x2)|≤m|1x1−1x2|恒成立，求实数m的取值范围.参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省淮安市某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题 1.【答案】 C【考点】平面向量数量积的运算 【解析】根据平面向量数量积的坐标运算公式求解即可. 【解答】解：由题意得a →⋅b →=1×2+(−2)×(−1)=4. 故选C . 2. 【答案】 C【考点】 交集及其运算 【解析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义求解即可得结果. 【解答】解：因为B ={x |−3<x <2,x ∈Z }={−2,−1,0,1}， 所以A ∩B ={0,1}. 故选C . 3.【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】“α=π6”⇒“sin α=12”，反之不成立，例如α=5π6．即可判断出结论．【解答】解：“α=30∘”⇒“sin α=12”，反之不成立，例如α=150∘．因此“α=30∘”是“sin α=12”的充分不必要条件． 故选B ． 4. 【答案】 B函数零点的判定定理【解析】根据函数的单调性，零点的存在性定理求解特殊函数值即可判断．【解答】解：∵函数f(x)=ln x−2x+1在(0, +∞)上连续且单调递增，且f(1)=0−2+1=−1<0，f(2)=ln2−1+1=ln2>0，∴f(1)f(2)<0，∴根据函数零点的存在性定理得出：零点所在区间是(1, 2).故选B.5.【答案】B【考点】正弦函数的对称性【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x1)+f(x2)=0⇔f(x1)=−f(x2)，|x2−x1|可视为直线y=m与函数y=f(x)、函数y=−f(x)的图象的交点的横坐标的距离，作出函数y=f(x)与函数y=−f(x)的图象如图所示，设A，B分别为直线y=m与函数y=f(x)、函数y=−f(x)的图象的两个相邻交点，因为x1x2<0，且当直线y=m过y=f(x)的图象与y轴的交点(0,√32)时，直线为y=√32，|AB|=π3，所以当直线y=m向上移动时，线段AB的长度会增加，当直线y=m向下移动时，线段AB的长度为π2，所以|x2−x1|>π3．故选B．6.C【考点】任意角的三角函数二倍角的正弦公式两角和与差的余弦公式【解析】.【解答】解：由题意，角α终边经过点P(3,4)，则由三角函数定义可求出sinα=45，cosα=35，于是由二倍角公式可求出cos2α=925−1625=−725，而cos(2α+β)cosβ+sin(2α+β)sinβ=cos[(2α+β)−β]=cos2α，所以cos(2α+β)cosβ+sin(2α+β)sinβ=−725.故选C.7.【答案】B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的单调性【解析】利用辅助角公式将函数f(x)化简为f(x)＝2sin(ωx+π3)，由题可知，最小正周期T＝π，从而求得ω的值和f(x)的解析式，再根据正弦函数的单调性即可得解．【解答】解：函数f(x)=sinωx+√3cosωx=2sin(ωx+π3)，由题意可知，T2=π2⇒T=π，即2πω=π，∴ω=2，∴f(x)=2sin(2x+π3)．令2x+π3∈(2kπ−π2, 2kπ+π2)，k∈Z，则函数f(x)的单调递增区间为(kπ−5π12, kπ+π12)，k∈Z，当k=0时，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(−512π,π12)，即B正确；令2x +π3∈(2kπ+π2, 2kπ+3π2)，k ∈Z ，则函数f(x)的单调递减区间为(kπ+π12, kπ+7π12)，k ∈Z ， 选项A 和C 的单调递减区间均不符合题意． 故选B . 8.【答案】 D【考点】利用导数研究函数的单调性 导数的几何意义函数的零点与方程根的关系 函数奇偶性的判断【解析】根据定义域为R ，且F (−x )=F (x )，可知函数F(x)是偶函数．所以只需研究x >0时函数F(x)有两个零点即可，然后再转化为两个函数图象交点的问题，结合导数研究函数的切线等，即可解决问题． 【解答】解：∵ 函数的定义域为R ，且F (−x )=f (−x )+f (x )=F (x )， ∴ 函数F (x )是偶函数，∵ f(x)={e −x +2mx +m ，x <0，e x (x −1)，x ≥0，（e 为自然对数的底），∴ f (−x )={e −x (−x −1)， x ≤0，e 2−2mx +m ， x >0，又因为F (x )有四个零点，所以只需研究x >0时函数F (x )=0有两个不等根即可，即e 2(x −1)+e x −2mx +m =0在(0,+∞)上有两个互异根， 即x e 2=2m (x −12) 在(0,+∞)上有两个根，令H (x )=x e 2，L (x )=2m (x −12)过定点(12,0),∵ H ′(x )=e x (x +1)>0，所以H (x )在(0,+∞)上是增函数， 下面求H (x )过(12,0)的切线斜率． 设切点为Q (t,t e t )，t >0， 则切线斜率为k =e t (t +1)，故切线为y −t e t =e t (t +1)(x −t )， 将(12,0)代入得：−t e t =e t (t +1)(12−t)， 即2t 2−t −1=0，解得：t =1或t =−12（舍），此时切线斜率k =2e ，作出H (x )与L (x )图象：可见，当L (x )与H (x )相切，即2m =2e 时，只有一个公共点； 当m >e 时，就会有两个交点．故m 的值可以为2e ． 故选D .二、多选题【答案】 B,D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算平面向量共线（平行）的坐标表示 平面向量的坐标运算 平行向量的性质【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力． 【解答】解：a →+b →=(−1,1)， (a →+b →)⋅c →=−1+1=0， 故(a →+b →)⊥c →．设c →=λ1a →+λ2b →(λ1,λ2∈R )，则(1,1)=λ1(2,−1)+λ2(−3,2)=(2λ1−3λ2,−λ1+2λ2)， 则{2λ1−3λ2=1,−λ1+2λ2=1,所以{λ1=5,λ2=3, 所以c →=5a →+3b →．故选BD . 【答案】 B,D【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】逐项根据极值的定义以及导数符号可得．【解答】解：A求导得，y′=1+1x2>0，函数在(−∞, 0)和(0, +∞)上单调递增，所以函数无极值点；B中x=0是函数的极小值点；C求导得，y′=−6x2−1<0恒成立，函数在R上递减，所以函数无极值点；D求导得，y′=1+ln x，当x∈(0, 1e)时，y′<0，当x∈(1e, +∞)时，y′>0，x=1e时，y′=0，所以x=1e是函数的极小值点.故选BD.【答案】A,D【考点】解三角形基本不等式在最值问题中的应用【解析】首先利用条件构造得到a×c=c+a，再由基本不等式求解即可. 【解答】解：由题意，BD为∠ABC的平分线，则由S△ABC=S△ABD+S△BCD，可知12AB⋅BC⋅sin60∘=12AB⋅BD⋅sin30∘+12BD⋅BC⋅sin30∘，化简得√3AB⋅BC=AB⋅BD+BC⋅BD，∵BD=√3，∴AB⋅BC=AB+BC，即a⋅c=c+a，则由基本不等式可知a+c≥2√ac，解得ac≥4，所以ac的最小值为4，故A正确，B错误；而由a⋅c=c+a可知a=cc−1，其中c>1，于是由基本不等式可知：a+2c=cc−1+2c=1+1c−1+2c=3+1c−1+2(c−1)≥3+2√2，当且仅当1c−1=2(c−1)，即c=1+√22时取等号，故D正确，C错误.故选AD.【答案】A,B【考点】正弦函数的周期性正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域【解析】由题意根据f(x)在区间[0, π]有3个零点画出大致图象，可得区间长度π介于周期[T+ |OA|, 32T+|OA|)，再用ω表示周期，得ω的范围．【解答】解：当x=0时，y=sin(−π6)=−12,又∵ω>0，∴画出函数f(x)=sin(ωx−π6)大致图象如图所示：又ω>0，所以x>0时f(x)在y轴右侧第一个最大值区间内单调递增，∵函数在[0, π]仅有3个零点时，∴(π，0)的位置在C∼D之间（包括C，不包括D），令f(x)=sin(ωx−π6)=0，则ωx−π6=kπ，解得：x=(π6+kπ)⋅1ω(k∈Z)，∴f(x)图象在y轴右侧与x轴的第一个交点横坐标为π6ω，最小正周期T=2πω，∴π6ω+T≤π<π6ω+32T，即π6ω+2πω≤π<π6ω+32⋅2πω，解得136≤ω<196，故D错误；可知在区间[0, π]上，函数f(x)达到最大值和最小值，∴ 存在x 1，x 2，满足f(x 1)−f(x 2)=2，故A 正确；由大致图象得，f(x)在(0, π)内有且只有1个最小值，故B 正确；∵ ω最小值为136，∴ 0<x <π2时，−π6<ωx −π6<17π12，又∵ 17π12∉(−π2, π2)， ∴ x ∈(0, π2)时，函数f(x)不单调递增，故C 错误．故选AB .三、填空题【答案】−2【考点】平面向量数量积的运算【解析】可画出图形，根据题意CA →⊥CB →，且|CA →|=√2，从而可得出CA →⋅AB →=CA →⋅(CB →−CA →)=−CA →2,进而求得结果.【解答】解：如图，可知CA →⊥CB →，且|CA →|=|CB →|=√2，∴ CA →⋅CB →=0，∴ CA →⋅AB →=CA →⋅(CB →−CA →)=CA →⋅CB →−(CA →)2=0−2=−2．故答案为：−2．【答案】6【考点】余弦定理正弦定理【解析】利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．【解答】解：∵ △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，∴ 由余弦定理、正弦定理可得{a 2−b 2=4c 2，cos A =b 2+c 2−a 22bc =−14， 解得3c 2=12bc ，∴ b c =6．故答案为：6.【答案】2【考点】解三角形平面向量数量积的性质及其运算律余弦定理正弦定理【解析】先根据正余弦定理求出A =2π3，bc ＝4，再将DA →，DB →化为AB →，AC →后用数量积可得． 【解答】解：∵ (b +c)sin (A +C)=(a +c)(sin A −sin C)，∴ (b +c)sin B =(a +c)(sin A −sin C)，∴ (b +c)b =(a +c)(a −c)，即b 2+c 2−a 2=−bc ，∴ cos A =b 2+c 2−a 22bc =−12， ∴ A =2π3，∴ S △ABC =12bc sin A ，即√3=12bc ×√32， ∴ bc =4，∴ AB →⋅(DA →+DB →)=AB →⋅[−12(AB →+AC →)+12CB →]=AB →⋅[−12(AB →+AC →)+12(AB →−AC →)] =−AB →⋅AC →=−bc ⋅cos A=−4×(−12) =2.故答案为：2.【答案】1,√3【考点】余弦函数的周期性由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换余弦函数的对称性【解析】利用函数为偶函数，求出φ=π2，根据三角函数平移变换规律得到g(x)=A cos(12ωx+ωπ6)，再利用周期性和最大最小值求出ω，A，求出g(x)解析式，再利用余弦函数性质求解即可．【解答】解：y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)为偶函数，则φ=π2+kπ(k∈Z)，又0<φ<π，∴ φ=π2，∴ f(x)=A sin(ωx+π2)=A cosωx．由题意得：g(x)=A cos(12ωx+ωπ6)，且y=g(x)相邻对称中心之间距离为2π，则T=4π，∴2π12ω=4π，∴ ω=1，∴ g(x)=A cos(12x+π6)．由g(x)在某对称轴处对应的函数值为−2，可得A=2．∴ g(x)=2cos(12x+π6)．∵ x∈[0,π]，则12x+π6∈[π6,2π3]，∴cos(12x+π6)∈[−12,√32]．∴ g(x)∈[−1,√3]．∴g(x)在[0,π]上的最大值为√3.故答案为：1；√3．四、解答题【答案】解：(1)△ABC中，∵2cos C(a cos C+c cos A)+b=0，由正弦定理可得2cos C(sin A cos C+sin C cos A)+sin B=0，∴2cos C sin(A+C)+sin B=0，即2cos C sin B+sin B=0.又0∘<B <180∘，∴ sin B ≠0，∴ cos C =−12，即C =120∘．(2)由余弦定理可得，(2√3)2=a 2+22−2×2a cos 120∘=a 2+2a +4，又a >0，∴ 解得a =2，∴ S △ABC =12ab sin C =√3，∴ △ABC 的面积为√3．【考点】两角和与差的正弦公式三角形的面积公式余弦定理正弦定理【解析】（1）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos C sin B +sin B =0, 可得cos C =12，即可得解C 的值．（2）由已知及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：(1) △ABC 中，∵ 2cos C (a cos C +c cos A )+b =0，由正弦定理可得2cos C (sin A cos C +sin C cos A )+sin B =0，∴ 2cos C sin (A +C )+sin B =0，即2cos C sin B +sin B =0.又0∘<B <180∘，∴ sin B ≠0，∴ cos C =−12， 即C =120∘．(2)由余弦定理可得，(2√3)2=a 2+22−2×2a cos 120∘=a 2+2a +4，又a >0，∴ 解得a =2，∴ S △ABC =12ab sin C =√3，∴ △ABC 的面积为√3．【答案】解：(1)AP →=AC →+CP →=AC →+kCD →=AC →+k(AD →−AC →)=AC →+k(23AB →−AC →) =2k 3AB →+(1−k )AC → =mAC →+12AB →，得到1−k =m ，2k 3=12， ∴ m =14．(2)结合△ABC 的面积为2√3，得到12|AC →|⋅|AB →|⋅√32=2√3， 得到|AC →|⋅|AB →|=8，∴ |AB →|=8|AC →|， ∴ |AP →|=√116|AC →|2+14|AB →|2+18⋅|AC →|⋅|AB →| =√1+116|AC →|2+16|AC →|2≥√3， 当且仅当116|AC →|2=16|AC →|2时等号成立， ∴ |AP →|的最小值为√3．【考点】解三角形基本不等式在最值问题中的应用向量的加法及其几何意义向量的模【解析】【解答】解：(1)AP →=AC →+CP →=AC →+kCD →=AC →+k(AD →−AC →)=AC →+k(23AB →−AC →) =2k 3AB →+(1−k )AC →=mAC →+12AB →，得到1−k =m ，2k 3=12， ∴ m =14． (2)结合△ABC 的面积为2√3，得到12|AC →|⋅|AB →|⋅√32=2√3， 得到|AC →|⋅|AB →|=8，∴ |AB →|=8|AC →|， ∴ |AP →|=√116|AC →|2+14|AB →|2+18⋅|AC →|⋅|AB →| =√1+116|AC →|2+16|AC →|2≥√3， 当且仅当116|AC →|2=16|AC →|2时等号成立， ∴ |AP →|的最小值为√3．【答案】解：(1)由题意可得，函数图像关于原点对称 ∴ f(x)为奇函数，∴ f(−x)=−f(x)，即log 121−ax x−1=−log 121+ax −x−1，化简得：1−a 2x 21−x 2=1，a 2x 2=x 2，在函数定义域内恒成立，∴ a 2=1，∴ a =±1，当a =1时，1−ax x−1=−1不合题意；当a =−1时，f (x )=log 121+x x−1，定义域是(−∞,−1)∪(1,+∞)，符合题意． ∴ a =−1.(2)∵ a =−1，∴ f(x)=log 121+x x−1，∵ 当x ∈(1, +∞)时，f(x)+log 12(x −1)<m 恒成立， ∴ log 121+x x−1+log 12(x −1)=log 12(1+x)<m 恒成立，而在(1,+∞)上，g(x)=log12(x+1)是减函数，g(1)=log12(1+1)=−1，∴g(x)<−1，∴m≥−1，即m的取值范围是[−1,+∞).【考点】函数恒成立问题对数函数的单调性与特殊点对数函数的值域与最值对数函数的定义域对数及其运算奇函数【解析】（1）根据奇函数性质和对数的运算性质即可解得（2）根据对数函数的单调性即可求出【解答】解：(1)由题意可得，函数图像关于原点对称∴f(x)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，即log121−axx−1=−log121+ax−x−1，化简得：1−a 2x21−x2=1，a2x2=x2，在函数定义域内恒成立，∴a2=1，∴a=±1，当a=1时，1−axx−1=−1不合题意；当a=−1时，f(x)=log121+xx−1，定义域是(−∞,−1)∪(1,+∞)，符合题意．∴a=−1.(2)∵a=−1，∴f(x)=log121+xx−1，∵当x∈(1, +∞)时，f(x)+log12(x−1)<m恒成立，∴log121+xx−1+log12(x−1)=log12(1+x)<m恒成立，而在(1,+∞)上，g(x)=log12(x+1)是减函数，g(1)=log12(1+1)=−1，∴g(x)<−1，∴m≥−1，即m的取值范围是[−1,+∞).【答案】解：(1)在△ABC中，∵a=c(sin B+cos B)，∴sin A=sin C(sin B+cos B)，∴sin(π−B−C)=sin C(sin B+cos B)，∴sin(B+C)=sin C(sin B+cos B)，∴sin B cos C+cos B sin C=sin C sin B+sin C cos B，∴sin B cos C=sin C sin B.又∵B∈(0, π)，故sin B≠0，∴cos C=sin C，即tan C=1．又∵C∈(0, π)，∴∠ACB=π4．(2)在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22−2×1×2×cos D=5−4cos D．又∠ABC=∠ACB=π4，∴△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC=12×BC×12×BC=14BC2=54−cos D.又∵S△BDC=12×BD×DC×sin D=sin D，∴S ABDC=54−cos D+sin D=54+√2sin(D−π4)，∴当D=3π4时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为54+√2．【考点】两角和与差的正弦公式诱导公式三角形的面积公式三角函数的最值解三角形余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系三角函数值的符号【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在△ABC中，∵a=c(sin B+cos B)，∴sin A=sin C(sin B+cos B)，∴sin(π−B−C)=sin C(sin B+cos B)，∴sin(B+C)=sin C(sin B+cos B)，∴sin B cos C+cos B sin C=sin C sin B+sin C cos B，∴sin B cos C=sin C sin B.又∵B∈(0, π)，故sin B≠0，∴cos C=sin C，即tan C=1．又∵C∈(0, π)，∴∠ACB=π4．(2)在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22−2×1×2×cos D=5−4cos D．又∠ABC=∠ACB=π4，∴△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC=12×BC×12×BC=14BC2=54−cos D.又∵S△BDC=12×BD×DC×sin D=sin D，∴S ABDC=54−cos D+sin D=54+√2sin(D−π4)，∴当D=3π4时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为54+√2．【答案】解：(1)由已知xy=3000，∴y=3000x，其定义域是(6, 500)．S=(x−4)a+(x−6)a=(2x−10)a，∵2a+6=y，∴a=y2−3=1500x−3，∴S=(2x−10)(1500x −3)=3030−(15000x+6x)，其定义域是(6, 500)．(2)S=3030−(15000x+6x)≤3030−2√6x⋅15000x=3030−2×300=2430，当且仅当15000x=6x，即x=50∈(6, 500)时，等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．【考点】基本不等式在最值问题中的应用根据实际问题选择函数类型【解析】（1）总面积为xy＝3000，且2a+6＝y，则y=3000x ，a=y2−3=1500x−3（其中6<x<500），从而运动场占地面积为S＝(x−4)a+(x−6)a，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积S＝3030−6x−15000x =3030−(6x+15000x)，由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．【解答】解：(1)由已知xy=3000，∴y=3000x，其定义域是(6, 500)．S=(x−4)a+(x−6)a=(2x−10)a，∵2a+6=y，∴a=y2−3=1500x−3，∴S=(2x−10)(1500x −3)=3030−(15000x+6x)，其定义域是(6, 500)．(2)S=3030−(15000x+6x)≤3030−2√6x⋅15000x=3030−2×300=2430，当且仅当15000x=6x，即x=50∈(6, 500)时，等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．【答案】解：(1)易知f(x)不是常值函数，因为f(x)=12x2−a ln x+1在[1,2]上是增函数，所以f′(x)=x−ax≥0恒成立，所以a≤x2，只需a≤(x2)min=1.(2)因为−2≤a<0,由(1)知，函数f(x)在[1,2]上单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，则|f(x1)−f(x2)|≤m|1x1−1x2|，可化为f(x2)+mx2≤f(x1)+mx1，设ℎ(x)=f(x)+mx =12x2−a ln x+1+mx，则ℎ(x1)≥ℎ(x2)，所以ℎ(x)为[1,2]上的减函数，即ℎ′(x)=x−ax −mx2≤0在[1,2]上恒成立，等价于m≥x3−ax在[1,2]上恒成立，设g(x)=x3−ax，所以m≥g(x)max，因为−2≤a<0，所以g′(x)=3x2−a>0，所以函数g(x)在[1,2]上是增函数，所以g(x)max=g(2)=8−2a≤12（当且仅当a=−2时等号成立）.所以m≥12，即m的最小值为12.【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)易知f(x)不是常值函数，因为f(x)=12x2−a ln x+1在[1,2]上是增函数，所以f′(x)=x−ax≥0恒成立，所以a≤x2，只需a≤(x2)min=1.(2)因为−2≤a<0,由(1)知，函数f(x)在[1,2]上单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，则|f(x1)−f(x2)|≤m|1x1−1x2|，可化为f(x2)+mx2≤f(x1)+mx1，设ℎ(x)=f(x)+mx =12x2−a ln x+1+mx，则ℎ(x1)≥ℎ(x2)，所以ℎ(x)为[1,2]上的减函数，即ℎ′(x)=x−ax −mx2≤0在[1,2]上恒成立，等价于m≥x3−ax在[1,2]上恒成立，设g(x)=x3−ax，所以m≥g(x)max，因为−2≤a<0，所以g′(x)=3x2−a>0，所以函数g(x)在[1,2]上是增函数，所以g(x)max=g(2)=8−2a≤12（当且仅当a=−2时等号成立）. 所以m≥12，即m的最小值为12.。

江苏省南京市秦淮区2020-2021学年度第一学期第一阶段质量检测（第三高级中学、第五高级中学、第二十七中学）期中联考高三数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知全集U=R ，集合M ={}13|<<-x x ，N ={}11|<<-x x ，则阴影部分表示的集合是（ ）A.[]11，- B ．(]13，- C ．(]13--， D ．()()∞+--∞-，，13 【答案】C【考点】集合的运算【解析】由题意阴影部分表示M 中去掉M ∩N 的部分，且M ∩N =N=()11，-，则阴影部分表示：(]13--，，故答案选C. 2．若复数i z -=1，则=-z z 1（ ） A ．1 B ．2 C ．22 D ．4【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意()211111111=+=--=-+=⋅-=-=-i i i i i i i i z z ，故答案选B. 3．已知函数()()x x f x x ln 22-+=的图象大致为（ ）【答案】B【考点】函数的图象 【解析】由题意该函数()()()x f x x f x x =-+=--ln 22，为偶函数，且非三角函数类型，则排除D 选项；因为()022>+-x x ，而x ln 可以取到负数，则排除C 选项；去特殊值()01=f ，且当()+∞→+∞→x f x ，，则排除A ，故答案选B.4．()()()432111x x x +++++的展开式中，含x 2的系数是（ ） A ．1 B ．3C ．6D ．10【答案】D【考点】二项式定理展开式 【解析】由题意()()()432111x x x +++++的展开式中，含x 2的系数为10242322=++C C C ，故答案选D.5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥βD ．若α β=m ，n ⊂α，则n ⊥β【答案】C【考点】立体几何的位置关系判断：平行与垂直【解析】对于A 选项，m 与n 可相交、异面，则选项A 错误；对于B 选项，m 与n 可异面，则选项B 错误；对于C 选项，若m ⊥α，m ∥n ，可推导出n ⊥α，又由n ⊂β，利用面面垂直的判定定理可推出α⊥β，则选项C 正确；对于D 选项，n 与β可平行、相交，则选项D 错误；故答案选C.6．已知奇函数()x f 的图象关于直线x =3对称，当[]30，∈x 时，()x x f -=，则()=-16f （ ）A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】D【考点】函数概念与基本性质【解析】由题意()x f 为奇函数，则()()x f x f -=-，又()x f 的图象关于直线x =3对称，则()()x f x f -=6，则有()()()x f x f x f --=-=6，即()()x f x f -=-6，所以()()()()()x f x f x f x f =--=--=-612，则周期为12，所以()()()()224416=-=-=-=-f f f f .故答案选D.7．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），()*3N n n ∈≥，．此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【考点】文化题：利用周期性求数列的项【解析】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3，故答案选A.8．已知函数[](()⎩⎨⎧∞+∈--∈+-，，，，0220211x x f x x ，若方程()a x x f +=在区间[]42，-内有3个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}02|<<-a aB ．{}02|≤<-a aC ．{}2102|<<<<-a a a 或D ．{}102|=<<-a a a 或【答案】D【考点】函数的概念与性质、函数方程（零点）【解析】由题意方程()a x x f +=在区间[]42，-内有3个不相等的实根，可等价于函数()x f y =与函数a x y +=的图象在[]42，-内有三个交点.因为当[]02，-∈x 时，()11+-=x x f ，当(]20，∈x 时，(]022，-∈-x ，所以()()()11222--=-=x x f x f ，因为当()42，∈x 时，()202，∈-x ，所以()()()31422--=-=x x f x f ， 如图，可画出函数()x f y =在[]42，-内的图象，有图象可知，当02<<-a 或a =1时，()x f y =与函数a x y +=的图象在[]42，-内有三个交点.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【答案】AC【考点】信息统计与理解应用【解析】对于A选项，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值，故选项A 正确；对于B 选项，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的数学建模能力指标值优于甲的直观想象能力指标值，故选项B 错误；对于C 选项，甲的六维能力指标值的平均值为()62343543461=+++++⨯，乙的六维能力指标值的平均值为()623434534561>=+++++⨯，所以乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平，所以选项C 正确；对于D 选项，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，所以选项D 错误；故答案选AC.10．若将函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=122cos πx x f 的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()x g 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．()x g 的最小正周期为πB ．()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上单调递减C ．12π=x 不是函数()x g 图象的对称轴D ．()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66ππ，上的最小值为21- 【答案】ACD【考点】三角函数的图象与性质【解析】由题意可知()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos 1282cos πππx x x g ，对于选项A ，()x g 的最小正周期为ππ=22，所以A 选项正确；对于选项B ，若()x g 单调递减，则[]Z k k k x ∈+∈+，，ππππ2232，解得Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∈，，ππππ36，所以()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡30π，上单调递减，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23ππ，上单调递增，所以B 选项错误；对于选项C ，当12π=x 时，103122cos 12±≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππg ，所以12π=x 不是函数()x g 图象的对称轴，故C 选项正确；对于选项D ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈66ππ，x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32032ππ，x ，则()x g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈121，，即()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66ππ，上的最小值为21-，故D 选项正确。

2021届江苏省南京市秦淮中学高三上学期期初调研数学试题一、单选题1．设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}1x x >- B ．{}11x x -<≤ C ．{}11x x -<< D ．{}12x x <<【答案】B【解析】化简集合B ，求出R C A ，利用交集的定义运算即可． 【详解】{}|1=≤R C A x x ，{}()(){}{}220=|210|12B x x x x x x x x =--<-+<=-<<则()R C A B ={}11x x -<≤故选：B 【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 2．若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–i B ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【解析】先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可. 【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A ．24 B ．36C ．48D ．64【答案】B【解析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和. 【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有133318C A =种不同的方案；当按照2:2:1进行分配，则有233318C A =种不同的方案. 故共有36种不同的派遣方案， 故选：B. 【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题. 4．如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BB 1，P 为B 1C 1的中点.则异面直线AC 与BP 所成的角为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】B【解析】取A 1B 1中点Q ，可得∠BPQ 就是异面直线AC 与BP 所成的角或补角，进而可证明△BPQ 是等边三角形，从而求得. 【详解】A 1B 1中点Q ，连接PQ ，BQ ，∵PQ ∥AC ，∴∠BPQ 就是，异面直线AC 与BP 所成的角或补角，又∵1111ABCD A B C D -为正四棱柱，且12AB BB = ,P 为11B C 中点， ∴111111,,,B B B P B Q B B B P B Q ==两两垂直，111,,,Rt PB Q Rt PB B Rt BB Q 全等，∴PQ PB BQ ==， ∴△BPQ 是等边三角形， ∴∠BPQ ＝60°，即异面直线AC 与BP 所成的角为60°， 故选：B. 【点睛】本题考查异面直线所成的角，属基础题.5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（ ） A ．0.6076 B ．0.7516 C ．0.3924 D ．0.2484【答案】A【解析】先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率. 【详解】两人投中次数相等的概率P ＝2211220.40.3+0.60.40.70.3C C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯+220.60.70.3924⨯=，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076. 故选：A . 【点睛】本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.6．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为（ ） A ．58- B ．18C ．14D ．118【答案】B【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=. 【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．7．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A ．60 B ．63C ．66D ．69【答案】C【解析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 8．设函数()()xxf x x e ae-=+的导函数为()'f x ，若()'f x 是奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．2e -B ．1e-C ．2D ．2e【答案】D 【解析】利用()'f x 为奇函数求得a 的值，由此求得()'1f 的值.【详解】依题意()()'x x x x fx e ae x e ae --=++-，由于()'f x 是奇函数，所以()'010f a =+=，解得1a =-，所以()()'x x x x f x e e x e e --=-++，所以()'1112f e e e e e=-++=.故选：D 【点睛】本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题.二、多选题9．为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点()11,x y 、()22,x y 、、()1010,x y 求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（ ）A ．若所有样本点都在直线21y x =-+上，则1r =B ．若所有样本点都在直线21y x =-+上，则2r =-C ．若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D ．若r 越小，则变量x 与y 的线性相关性越强 【答案】ABD【解析】根据相关系数与变量x 与y 的线性相关性之间的关系可判断出各选项的正误. 【详解】若所有样本点都在直线21y x =-+上，且直线斜率为负数，则1r =-，A 、B 选项均错误；若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABD. 【点睛】本题考查相关系数与线性相关性之间关系的判断，考查推理能力，属于基础题.10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则有（ ）A ．渐近线方程为y =B ．渐近线方程为3y x =± C ．60MAN ∠=︒D ．120MAN ∠=︒【答案】BC【解析】由离心率公式222 22c a b a a+=化简可得渐近线方程，通过求圆心A到渐近线的距离结合直角三角形可得到MAN∠的值.【详解】双曲线2222:1y,x y bC xa b a-==±的渐近线方程为离心率为23ca=，2222222224131,,333c a b b b ba a a a a则则，+==+===±故渐近线方程为33y x=±，取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得d APabc==,则cosabAP acPANAN b c∠===，所以221cos cos2212aMAN PANc∠=∠=⨯-=则60MAN∠=︒故选BC【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题.11．已知函数()()(0,0,0)f x Acos x Aωϕωϕπ=+>><<的图象的一个最高点为,312π⎛⎫-⎪⎝⎭，与之相邻的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，将()f x的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x的图象，则（）A．()g x为偶函数B．()g x的一个单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()g x 为奇函数D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点 【答案】BD【解析】先根据余弦函数的图象和性质，求得()f x 的解析式，再结合三角函数的图象变换，求得函数()g x 的解析式，再结合余弦函数的图象与性质，即可求解. 【详解】 由题意，可得()46124T πππ=--=，所以T π=，可得22w Tπ==， 所以()3cos(2)f x x ϕ=+，因为()3cos[2()]31212f ππϕ-=⨯-+=，所以2,6k k Z πϕπ-=∈，因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ，即()3cos(2)6f x x π=+，所以()3cos[2()]3cos(2)666g x x x πππ=-+=-， 可得函数()g x 为非奇非偶函数， 令222,6k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，可得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 当0k =时，函数()g x 的一个单调递增区间为5[,]1212ππ-； 由2,,62x k k Z πππ-=+∈，解得,3x k k Z ππ=+∈，所以函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点. 故选：BD 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．若0a >，0b >，则下面有几个结论正确的有（ ） A ．若1a ≠，1b ≠，则log log 2a b b a +≥B ．2a b ≥+C ．若142a b +=，则92a b +≥ D ．若22ab b +=，则34a b +≥ 【答案】BCD【解析】根据基本不等式，对选项逐一分析即可. 【详解】对于A ：当01,1a b <<>时，log 0,log 0a b b a <<，即log log 0a b b a +<，故A 不正确；对于B ：若0a >，0b >，由基本不等式得:222a b ab +≥，即有()()2222a b a b +≥+a b ≥=+≥a b =”时取等号，故B 正确；对于C ：由0a >，0b >，11412a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()1141415522922b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝+=+=， 当且仅当1442,b aa b a b +==，即3,32a b ==时取等号，故C 正确； 对于D ：由0a >，0b >，()22ab b a b b +=+=，即有()24b a b +=，根据基本不等式有：()324a b a b b +=++≥=，当且仅当22,2ab b a b b +=+=，即1a b ==时取等号，故D 正确.综上：BCD 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查基本不等式，应用基本不等时：“一正，二定，三相等”缺一不可，属于基础题．三、填空题13．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____.【答案】27n ⨯【解析】根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有(16)227+⨯=⨯只，类似的方法得到2个月后有22(16)727+⨯=⨯只，3个月后有327⨯只，根据以上分析进行归纳推理即可得n 个月后老鼠的只数n a . 【详解】由题意可得1个月后的老鼠的只数1(16)227a =+⨯=⨯,2个月后老鼠的只数222(16)727a =+⨯=⨯, 3个月后老鼠的只数2332(16)727a =+⨯=⨯…， n 个月后老鼠的只数27nn a =⨯.故答案为：27n ⨯. 【点睛】本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.14．函数()log 31a y x =+-.（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上（其中m ，0n >），则12m n+的最小值等于__________. 【答案】8【解析】根据函数平移法则求出点A ()2,1--，得21m n +=，再结合基本不等式即可求解 【详解】由题可知，()log 31a y x =+-恒过定点()2,1--，又点A 在直线 10mx ny ++=上，故21m n +=，()121242448n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当122n m ==时取到等号，故12m n+的最小值等于8 故答案为：8 【点睛】本题考查函数平移法则的使用，基本不等式中“1”的妙用，属于中档题15．已知椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，若直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，则圆O 的半径为___________【答案】1【解析】根据椭圆的性质写出点F 、P 的坐标，求出直线PF 的方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】由椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，则c =不妨取)F，(P ，则直线PF的方程：0y x -+=， 由直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，所以1R ==.故答案为：1 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质以及点到直线的距离公式，考查了基本运算能力，属于基础题.四、双空题16．棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E —BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E —BCD 的体积为_______，该正三棱锥内切球的半径为_______. 【答案】【解析】根据组合体的结构特征，设2AE R =，正三棱锥E BCD -侧棱长x ，列出方程组，求得,R x 的值，利用体积公式，即可求得三棱锥E BCD -的体积与表面积，再结合等体积法，即可求得内切球的半径，得到答案. 【详解】由棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合， 若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上， 所以多面体ABCDE 的外接球即为正四面体ABCD 的外接球， 且其外接球的直径为AE ，设2AE R =，正三棱锥E BCD -侧棱长x ，则()((2222222122R x x R ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩，解得R x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 由题意得证四面体ABCD的高为，外接球的半径为 设正三棱锥E BCD -的高为h ，因为AE h ==，所以h =因为底面BCD ∆的边长为12，所以EB EC ED ===则正三棱锥E BCD -三条侧棱两两垂直，可得正三棱锥E BCD -的表面积为108S =+体积为V＝21123⨯= 设正三棱锥E BCD -的内切球的半径为r ，由13S r ⋅=r =故答案为：. 【点睛】本题主要考查了组合体的结构各种，以及正三棱锥内切球的半径的求法，三棱锥的体积的计算，其中解答中熟练应用组合体的结构特征，以及球的性质是解答的关键，着重考查空间想象能力，以及推理与计算能力.五、解答题17．在①cos 220B B +=，②2cos 2b C a c =-，③b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】①；证明见解析【解析】选择①：由余弦降幂公式代入即可求得sin B ，结合a ，b ，c 成等差数列可得2b a c =+，3B π=，代入余弦定理公式，即可得2b ac =，结合等式2b a c =+可求得a c =，进而证明ABC ∆为等边三角形. 【详解】选择①cos 220B B +=，证明：则由余弦降幂公式可得212sin 20B B -+=，即(2sin sin 0B B =，由0B π<<可得sin B =， 又因为a ，b ，c 成等差数列，则B 为锐角， 则2b a c =+，3B π=，由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-， 代入可得()223b a c ac =+-，即2b ac =，则22a c ac +⎛⎫= ⎪⎝⎭，化简可得()20a c -=， 即a c =，又因为3B π=，所以ABC ∆为等边三角形. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题.18．记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，1n a +是4和n S 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记11(1)(1)n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）4(1)nnT n =+.【解析】（1）本小题先借n S 与n a 的关系判断数列{}n a 为等差数列，再求通项公式即可；（2）本小题直接运用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为1n a +是4和n S 的等比中项，所以2(1)4n n a S +=①，当2n ≥时，211(1)4n n a S --+=②，由①②得：2211(1)(1)44n n n n a a S S --+-+=-，化简得221(1)(1)n n a a --=+，即111n n a a --=+或者11(1)0n n a a --++=（舍去），故12n n a a --=(2)n ≥，数列{}n a 为等差数列，因为211(1)4a S +=，解得11a =，所以数列{}n a 是首项为1、公差为2的等差数列， 通项公式：21n a n =-. （2）∵ 111111(1)(1)2(22)41n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⋅++⎝⎭，∴12311111111(1)()()()42233414(1)n n nT b b b b n n n ⎡⎤=++++=-+-+-++-=⎢⎥++⎣⎦. 【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及数列的前n 项和的求法，考查等差数列的判定，考查裂项相消法求和，考查推理能力与计算能力，是中档题.19．根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围.为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下： 得分 [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 []90,100男性人数 49 12 13 11 6 3女性人数1 2 2 21 10 4 2（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率.现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为X，求X的概率分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，()n a b c d=+++.临界值表：【答案】（1）列联表见解析，有把握；（2）分布列见解析，()21 10E X=.【解析】（1）根据题中已知条件完善22⨯列联表，并计算出2χ的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）由题意可知7~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量X的分布列，并由此可计算出随机变量X的数学期望. 【详解】（1）由题意得列联表如下：不太了解 比较了解 合计男性 25 33 58女性 5 37 42合计30701002χ的观测值()22100253733511.29130704258χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为11.29110.828>，所以有99.9%的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关；（2）由题意得该校1名学生家长“比较了解”的概率为70710010=， 73,10XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()33731010k kk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0k =、1、2、3， 即X 的概率分布列如下表所示：X123P271000189100044110003431000所以()72131010E X =⨯=. 【点睛】本题考查利用独立性检验解决实际问题，同时也考查了利用二项分布求随机变量的分布列与数学期望值，考查数据处理能力，属于中等题.20．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A ，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，//DC EB ，1DC EB ==，4AB =.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 点为半圆的中点时，求二面角D AE B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）6-.【解析】（1）结合线面垂直判定定理证明DE ⊥平面ACD 即可；（2）采用建系法，以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系，求出平面DAE 和平面AEB 的法向量，结合向量夹角公式即可求解 【详解】（1）证明：∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC BC ⊥，又DC AC C ⋂＝，∴BC ⊥平面ACD ，∵//DC EB ，DC EB ＝，∴四边形DCBE 是平行四边形，∴//DE BC ，∴DE ⊥平面ACD ，又DE ⊂平面ADE ，∴平面ACD ⊥平面ADE . （2）当C点为半圆的中点时，AC BC ==以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则()001D ，，，()0E，()0A ，，()0B ，∴()AB =﹣，0,0,1BE =（），()0,DE =，(21)DA =-， 设平面DAE 的法向量为111,m x y z =（）,，平面ABE 的法向量为222,,n x y z =（）， 则00m DA m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，00AB BE n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，22200z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令11x=得(m =，令21x =得()1,1,0n =.∴,63m n cos m n m n⋅===⨯. ∵二面角D AE B --是钝二面角， ∴二面角D AE B --的余弦值为6-.【点睛】本题考查面面垂直的证明，建系法求解二面角的余弦值，属于中档题 21．已知函数321(2)()232a f x x x ax +=++. （1）当2a =时，求过坐标原点且与函数()y f x =的图像相切的直线方程； （2）当()0,2a ∈时，求函数()f x 在[]2,a a -上的最大值. 【答案】（1）4y x =；y x =；（2）32max 5()36f x a a =+. 【解析】（1）设出切点坐标，代入a 的值，表示出切线方程，根据切线过(0，0)，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可． 【详解】（1）设切点坐标为()00,x y ，当2a =时，321()243f x x x x =++， 则2()44f x x x '=++ 所以切线方程为322000000124(44)()3y x x x x x x x ---=++-， 又过原点(0，0)，所以3232000000124443x x x x x x ---=---， 32002203x x +=，解得00x =或03x =-， 当00x =时，切线方程为4y x =﹔ 当03x =时，切线方程为y x =. （2）因321(2)()232a f x x x ax +=++，所以()()()()2222f x x a x a x x a '=+++=++，令()0f x '=，得x a =-，2x =-，①当22a -≥-，即01a <≤时，()f x 在()2,a a --上单调递减，在(),a a -上单调递增，所以()()(){}max 2,f x max f a f a =-. 因3322382(2)244033f a a a a a a -=-++-=-<， 33223215()230326a f a a a a a a =+++=+>，所以()()2f a f a -<，所以32max 5()()36f x f a a a ==+. ②当22a -<-，即12a <<时，()f x 在()2,2a --上单调递增，在()2,a --上单调递减，在(),a a -上单调递增，所以()(){}max (2,f x max f f a =-.842(2)2442333f a a a -=-++-=-+<-，3322321523()233266a f a a a a a a =+++=+>， 所以()()max f x f a =. 综上可得：32max 5()()36f x f a a a ==+. 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22．已知点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点.求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用椭圆的定义求解即可；（2）由题意可知D ，E 两点与点P 不重合，设出D ，E 两点的坐标，求出直线PD 和PE ，设以MN 为直径的圆与直线32y =交于G ，H 两点，利用0GM GN ⋅=，可得出弦长为定值． 【详解】（1）依题意，椭圆的另一个焦点为()1,0F '-，且1c =.因为24a ==，所以2a =，b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）证明：由题意可知D ，E 两点与点P 不重合.因为D ，E 两点关于原点对称，所以设(),D m n ，()E m n --，，()1m ≠±， 设以MN 为直径的圆与直线32y =交于3,2G t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,(0)2H t t ⎛⎫-> ⎪⎝⎭两点，所以GM GN ⊥直线PD ：332(1)21n y x m --=--当0x =时，33212n y m -=-+-，所以3320,12n M m ⎛⎫- ⎪-+ ⎪- ⎪⎝⎭直线PE ：332(1)21n y x m +-=-+当0x =时，3+32+12n y m =-+，所以3320,12n N m ⎛⎫+ ⎪-+ ⎪+ ⎪⎝⎭所以32,1n GM t m ⎛⎫- ⎪=-- ⎪- ⎪⎝⎭，32,1n GN t m ⎛⎫+ ⎪=-- ⎪+ ⎪⎝⎭，因为GM GN ⊥，所以0GM GN ⋅=，所以2224904(1)n GM GN t m -⋅=+=-. 因为22143m n +=，即223412m n +=，224933n m -=-，所以2304t -=，所以2t =，所以322G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，32H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以GH =.所以以MN 为直径的圆被直线32y =. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查定值问题，考查数量积的坐标表示，属于中档题．。

2020-2021学年江苏省淮安市某校高三（上）10月第一学期第二次月考数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={−1,2}，B ={x|ax =1}，若B ⊆A ，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为( ) A.{1,12} B.{−1,12}C.{−1,0,12}D.{0,1,12}2. 函数f (x )=ln x +√x−1的定义域为（ ）A.[1,+∞)B.(0,+∞)C.(−∞,1)D.(1,+∞)3. 若sin (75∘+α)=√23，则cos (30∘−2α)=( )A.−59 B.−49C. 59D.494. 如图，已知点C 为△OAB 边AB 上一点，且AC =2CB ，若存在实数m ，n ，使得OC →=mOA →+nOB →，则m −n 的值为( )A.−13B.0C.13D.235. 《九章算术⋅衰分》中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中错误的是( ) A.甲付的税钱最多B.乙、丙两人付的税钱超过甲C.乙应出的税钱约为32D.丙付的税钱最少6. 函数f (x )=(x −1x )cos x 在其定义域上的图像大致是（ ）A.B.C.D.7. 设向量a →=(1, 1)，b →=(−1, 3)，c →=(2, 1)，且(a →−λb →)⊥c →，则λ=( ) A.3 B.2 C.−2 D.−38. 函数f (x )=ln x −2x −1x 的单调减区间为（ ）A.(1,+∞)B.(0,1)C.(−12,1)D.(−∞,−12)和(1,+∞)二、多选题在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =2√3，c =3，A +3C =π，则下列结论正确的是( ) A.cos C =√33B.sin B =√23C.a =3D.S △ABC =√2关于函数f(x)=sin 2x −cos 2x ，下列命题中为真命题的是( ) A.函数y =f(x)的周期为πB.直线x =π4是y =f(x)的一条对称轴C.点(π8, 0)是y =f(x)的图象的一个对称中心D.将y =f(x)的图象向左平移π8个单位，可得到y =√2sin 2x 的图象已知向量a →=(2,1)，b →=(1,−1)，c →=(m −2,−n)，其中m ，n 均为正数，且(a →−b →)//c →，下列说法正确的是( )A.a →与b →的夹角为钝角 B.向量a →在b →方向上的投影为√55 C.2m +n =4 D.mn 的最大值为2定义在R 上的奇函数f (x )满足f (1−x )=f (1+x )，则（ ） A.函数f (x )的图象关于原点对称 B.函数f (x )的图象关于直线x =1对称C.函数f (x )是周期函数且对于任意x ∈R ， f (x +2)=f (x )成立D.当x ∈(0,1]时， f (x )=e x −1，则函数f (x )在区间[1+4k,3+4k ](k ∈Z )上单调递减（其中e 为自然对数的底数） 三、填空题在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60∘，a2=bc，则sin B sin C=________.函数f(x)=cos(ωx−π3)(ω>0)的图象关于直线x=π2对称，则ω的最小值为________．已知条件p:|x+1|>2，条件q:|x|>a，且q是p的必要不充分条件，则实数a的范围是________.已知函数f(x)={2x,x≤a，x2,x>a.①若a=1，则不等式f(x)≤2的解集为________；②若存在实数b，使函数g(x)=f(x)−b有两个零点，则a的取值范围是________．四、解答题在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且√3ac =2−cos Asin C.(1)求角A的大小；(2)若cos(B+π6)=14，求cos C的值.已知函数f(x)={−x2+2x，x≥0，ax2+bx，x<0为奇函数．(1)求a−b的值；(2)若函数f(x)在区间[−1, m−2]上单调递增，求实数m的取值范围．函数f(x)=6cos2ωx2+√3sinωx−3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x 0)=8√35，且x 0∈(−103,23)，求f(x 0+1)的值．已知a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，其中a →=(1, 2)． (1)若c →=(−2, k)，且c → // a →，求c →的坐标；(2)若|b →|=√52，且a →+2b →与2a →−b →垂直，求a →与b →的夹角θ．某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器.(1)若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；(2)当容器的高为多少米吋，制造该容器的侧面用料最省？已知函数f(x)=ln x +ax +1，a ∈R ．(1)若函数f(x)在x =1处的切线为y =2x +b ，求a ，b 的值；(2)记g(x)=f(x)+ax ，若函数g(x)在区间(0,12)上有最小值，求实数a 的取值范围；参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省淮安市某校高三（上）10月第一学期第二次月考数学试卷一、选择题 1.【答案】 C【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论，分别求出a 的范围，即可得出结果． 【解答】解：A ={−1,2}，B ={x|ax =1}， B ⊆A ， 若B 为空集，则方程ax =1无解，此时a =0； 若B 不为空集，则a ≠0， 由ax =1解得x =1a ，∴ 1a =−1或2， 解得a =−1或a =12，综上，由实数a 的所有可能的取值组成的集合为{−1,0,12}.故选C . 2.【答案】 D【考点】函数的定义域及其求法 【解析】直接利用对数的真数为正数，根号下为非负数，分母不为零，构造不等式组即可解出. 【解答】解：由题意得：{x >0，x −1>0，解得x >1，所以函数f (x )的定义域为(1,+∞). 故选D . 3.【答案】 A【考点】 诱导公式三角函数的恒等变换及化简求值同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ sin (75∘+α)=√23， ∴ cos [90∘−(75∘+α)]=cos (15∘−α)=√23， ∴ cos (30∘−2α)=cos 2(15∘−α) =2cos 2(15∘−α)−1 =2×(√23)2−1 =−59.故选A . 4.【答案】 A【考点】平面向量的基本定理 【解析】结合已知及向量的线性表示可先利用OA →，OB →表示OC →，结合已知即可求解． 【解答】解：因为AC =2CB ，易得OC →=13OA →+23OB →，所以m −n =−13． 故选A . 5.【答案】 B【考点】 分层抽样方法 【解析】求出抽样比例，再计算乙应交的关税值． 【解答】解：根据分层抽样原理，可知甲付的税钱最多，丙付的税钱最少， 故A,D 正确；乙、丙两人付的税钱占总税钱的53109<12，不超过甲， 故B 错误；乙应付的税钱为100560+350+180×350≈32(钱)， 故C 正确. 故选B .6.【答案】 C【考点】 函数的图象 【解析】首先利用奇偶性排除选项，再利用正负分布排除选项. 【解答】解：因为f(−x)=(−x +1x )cos (−x)=−(x −1x )cos x =−f(x)， 所以函数f (x )为奇函数，故排除AD ；x −1x在(0,1)为负数，在(1,2π)为正数，而cos x 在(π2,3π2)为负数，在(0,π2)∪(3π2,2π)为正数，所以函数f (x )在(0,1)为负数，(1,π2)为正数，(π2,3π2)为负数，(3π2,2π)为正数，故排除B ， 故选C .7.【答案】 A【考点】平面向量的坐标运算数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】利用(a →−λb →)⊥c →，列出含λ的方程即可． 【解答】解：因为a →−λb →=(1+λ, 1−3λ)，(a →−λb →)⊥c →， 所以(1+λ, 1−3λ)⋅(2, 1)=2+2λ+1−3λ=0， 解得λ=3. 故选A . 8. 【答案】 A【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】直接求导，令导数小于零，即可解出单调减区间. 【解答】解：∵ f(x)=ln x −2x −1x (x >0)， ∴ f ′(x )=1x −2+1x 2=−2x 2+x+1x 2=−(2x+1)(x−1)x 2，令f ′(x )<0，解得：x <−12或x >1，又x>0，所以x>1，所以函数f(x)的减区间为(1,+∞).故选A.二、多选题【答案】A,D【考点】余弦定理正弦定理三角函数中的恒等变换应用同角三角函数间的基本关系【解析】直接利用已知条件，利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出结果．【解答】解：由于A+3C=π，则：A+B+C=A+3C，解得：B=2C．由于b=2√3，c=3，利用正弦定理：bsin B =csin C，则：bsin2C =csin C，整理得：2√32sin C cos C =3sin C，解得：cos C=√33，故A正确；故sin C=√63，所以sin B=sin2C=2sin C cos C=2√23，故B错误；由c2=a2+b2−2ab cos C，得a2−4a+3=0，解得：a=1或a=3，若a=c=3，则A=C=π4，可得B=π2，可得b=√a2+c2=√2c=3√2，矛盾，故C错误，则a=1.则S△ABC=12ab sin C=12×1×2√3×√63=√2．故D正确．故选AD.【答案】A,C,D【考点】两角和与差的正弦公式正弦函数的周期性正弦函数的对称性【解析】根据和差角公式化简函数f(x)的解析式，进而根据三角函数的图象和性质，逐一判断四个命题的真假，可得答案． 【解答】解：∵ f(x)=sin 2x −cos 2x =√2sin (2x −π4)，∴ ω=2，故T =2π2=π，故A 为真命题；当x =π4时，2x −π4=π4终边不在y 轴上，故直线x =π4不是y =f(x)的一条对称轴，故B为假命题；当x =π8时，2x −π4=0，终边落在x 轴上，故点(π8, 0)是y =f(x)的图象的一个对称中心，故C 为真命题；将y =f(x)的图象向左平移π8个单位，可得到y =√2sin [2(x +π8)−π4]=√2sin 2x 的图象，故D 为真命题； 故选ACD . 【答案】 C,D【考点】 向量的投影基本不等式在最值问题中的应用 平面向量数量积的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：A ，a →⋅b →=2×1+1×(−1)=1>0， 故a →，b →的夹角为锐角，A 错误； B ，向量a →在b →方向上的投影为：a →⋅b →|b →|=√12+(−1)2=√22，B 错误； C ，a →−b →=(1,2)，由(a →−b →)//c →，得1×(−n)−2×(m −2)=0， 即2m +n =4，C 正确；D ，由基本不等式得4=2m +n ≥2√2mn ，即mn ≤2， 当且仅当2m =n =2时取等号， 因此mn 的最大值为2，D 正确． 故选CD ． 【答案】 A,B,D 【考点】函数的对称性函数的周期性函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】利用函数的单调性，逐个判断即可.【解答】解：因为函数f (x )在R 为奇函数，故图象关于原点对称，故A 正确；又f(1−x)=f(1+x)，故函数f (x )关于x =1对称，故B 正确；则f (−x )=f (2+x )，f (−x )=−f (x )，所以f (x +2)=−f (x )，故C 错误；所以f (x +2)=−f (x )=f (x −2)，即f (x )=f (x +4)，故函数f (x )是周期为4的函数，设x ∈(1,2]，则2−x ∈(0,1]，所以f (x )=f (2−x )=e 2−x −1，为减函数，此时f (x )min =f (2)=1−1=0，设x ∈(2,3]，则x −2∈(0,1]，所以f (x )=−f (x −2)=−e x−2+1，为减函数，此时f (x )max =0，所以函数f (x )在区间[1,3]为减函数，又周期为4，所以函数f (x )在区间[1+4k,3+4k](k ∈Z )为单调递减，故D 正确.故选ABD .三、填空题【答案】34【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ A =60∘ ，a 2=bc ，∴ 由正弦定理，得sin B sin C =sin 2A =(√32)2=34. 故答案为：34. 【答案】23【考点】余弦函数的对称性【解析】根据函数的对称性建立方程关系，求出ω的表达式，进行求解即可．【解答】解：∵ f(x)=cos (ωx −π3)(ω>0)的图象关于直线x =π2对称，∴ π2ω−π3=kπ+π，即ω=2k +83， ∵ ω>0，∴ 当k =−1时，ω取得最小值为−2+83=23.故答案为：23.【答案】a ≤1【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】利用q 是p 的必要不充分条件求解即可．【解答】解：∵ p:|x +1|>2，∴ x >1 或 x <−3.①当 a ≥0 时，q:|x|>a ⇒x >a 或 x <−a ；②当 a <0 时，q:|x|>a ⇒x ∈R ，∵ q 是 p 的必要不充分条件，∴ p ⫋q ,∴ a <0 或 {a ≥0,a ≤1,−a ≥−3⇒0≤a ≤1，即 a ≤1．故答案为：a ≤1.【答案】(−∞, √2],(−∞, 2)∪(4, +∞)【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】第一空：将a ＝1代入可得f(x)解析式，进而可解得f(x)≤2的解析；第二空：分类讨论a 的情况即可．【解答】解：①当a =1时，f(x)={2x ,x ≤1，x 2,x >1，则令f(x)≤2，即有2x ≤2或x 2≤2，解得x ≤1或1<x ≤√2，故f(x)≤2的解集为(−∞, √2]；②由函数g(x)=f(x)−b 只有一个零点时，2x =x 2时，x =2或x =4，当a =2时，f(x)={2x ,x ≤2，x 2,x >2， 此时g(x)=f(x)−b 只有一个零点；结合图象可得2<a <4时最多有一个零点；当a <2时，g(x)有2个零点；同理当a=4时，f(x)={2x,x≤4，x2,x>4，g(x)=f(x)−b只有一个零点；当a>4时，有2个零点.故可得a的取值范围是(−∞, 2)∪(4, +∞). 故答案为：(−∞, √2]；(−∞, 2)∪(4, +∞).四、解答题【答案】解：(1)由正弦定理asin A =bsin B=csin C，且√3ac =2−cos Asin C，得√3sin Asin C =2−cos Asin C，则有√3sin A=2−cos A，即√3sin A+cos A=2，2sin(A+π6)=2,则sin(A+π6)=1，因为A∈(0,π)，则A+π6∈(π6,7π6),则A+π6=π2，即A=π3.(2)在△ABC中，因为A=π3，则B∈(0,2π3)，B+π6∈(π6,5π6),则sin(B+π6)>0.又因为cos(B+π6)=14，则sin(B+π6)=√1−cos2(B+π6)=√154.又在△ABC中，A+B+C=π，所以cos C=cos(π−A−B)=−cos(A+B)=−cos(B+π3)=−cos[(B+π6)+π6]=−cos(B+π6)cosπ6+sin(B+π6)sinπ6=−√32×14+12×√154=√15−√38.【考点】三角函数的化简求值正弦定理运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由正弦定理a sin A =b sin B =c sin C ， 且√3a c =2−cos A sin C ， 得√3sin Asin C =2−cos A sin C， 则有√3sin A =2−cos A ，即√3sin A +cos A =2，2sin (A +π6)=2,则sin (A +π6)=1， 因为A ∈(0,π)，则A +π6∈(π6,7π6),则A +π6=π2，即A =π3.(2)在△ABC 中，因为A =π3，则B ∈(0,2π3)， B +π6∈(π6,5π6),则sin (B +π6)>0. 又因为cos (B +π6)=14，则sin (B +π6)=√1−cos 2(B +π6)=√154. 又在△ABC 中，A +B +C =π，所以cos C =cos (π−A −B)=−cos (A +B)=−cos (B +π3) =−cos [(B +π6)+π6] =−cos (B +π6)cos π6+sin (B +π6)sin π6=−√32×14+12×√154 =√15−√38. 【答案】解：(1)令x <0，则−x >0，则f(x)=−f(−x)=−[−x 2−2x]=x 2+2x ，∴ a =1，b =2，∴ a −b =−1．(2)f(x)={−x 2+2x ，x ≥0,x 2+2x ，x <0,即有f(x)在[−1, 1]上递增，由于函数f(x)在区间[−1, m −2]上单调递增，∴ [−1, m −2]⊆[−1, 1]，∴ {m −2>−1,m −2≤1解得，1<m ≤3． 【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】（1）令x <0，则−x >0，运用已知解析式，结合奇函数的定义，即可得到a ，b 的值，进而得到a −b ；（2）求出f(x)的单调增区间，由区间的包含关系，得到不等式，解出即可．【解答】解：(1)令x <0，则−x >0，则f(x)=−f(−x)=−[−x 2−2x]=x 2+2x ，∴ a =1，b =2，∴ a −b =−1．(2)f(x)={−x 2+2x ，x ≥0,x 2+2x ，x <0,即有f(x)在[−1, 1]上递增，由于函数f(x)在区间[−1, m −2]上单调递增，∴ [−1, m −2]⊆[−1, 1]，∴ {m −2>−1,m −2≤1解得，1<m ≤3． 【答案】解：(1)由已知可得，f(x)=6cos 2ωx 2+√3sin ωx −3 =3cos ωx +√3sin ωx=2√3sin (ωx +π3)， 由于△ABC 为正三角形，∴ △ABC 的高为2√3，从而BC =4，∴ 函数f(x)的最小正周期T =4×2=8，即2πω=8，ω=π4， ∴ 函数f(x)的值域为[−2√3, 2√3]．(2)∵ f(x 0)=8√35， 由(1)得f(x 0)=2√3sin (π4x 0+π3)=8√35， 即sin (π4x 0+π3)=45，由x 0∈(−103,23)，知π4x 0+π3∈(−π2, π2)， ∴ cos (π4x 0+π3)=√1−(45)2=35．∴ f(x 0+1)=2√3sin (π4x 0+π4+π3)=2√3sin [(π4x 0+π3)+π4] =2√3[sin (π4x 0+π3)cos π4+cos (π4x 0+π3)sin π4] =2√3(45×√22+35×√22) =7√65． 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值正弦函数的定义域和值域【解析】(Ⅰ)将f(x)化简为f(x)＝2√3sin (ωx +π3)，利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f(x)的值域；(Ⅱ)由x 0∈(−103,23)，知π4x 0+π3∈(−π2, π2)，由f(x 0)=8√35，可求得即sin (π4x 0+π3)=45，利用两角和的正弦公式即可求得f(x 0+1)．【解答】解：(1)由已知可得，f(x)=6cos 2ωx 2+√3sin ωx −3 =3cos ωx +√3sin ωx=2√3sin (ωx +π3)，由于△ABC 为正三角形，∴ △ABC 的高为2√3，从而BC =4，∴ 函数f(x)的最小正周期T =4×2=8，即2πω=8，ω=π4，∴ 函数f(x)的值域为[−2√3, 2√3]．(2)∵ f(x 0)=8√35， 由(1)得f(x 0)=2√3sin (π4x 0+π3)=8√35， 即sin (π4x 0+π3)=45，由x 0∈(−103,23)，知π4x 0+π3∈(−π2, π2)， ∴ cos (π4x 0+π3)=√1−(45)2=35．∴ f(x 0+1)=2√3sin (π4x 0+π4+π3)=2√3sin [(π4x 0+π3)+π4] =2√3[sin (π4x 0+π3)cos π4+cos (π4x 0+π3)sin π4]=2√3(45×√22+35×√22) =7√65． 【答案】解：(1)∵ a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，a →=(1, 2)，c →=(−2, k)，且c → // a →，∴ −21=k 2，解得k =−4，∴ c →的坐标为(−2, −4)．(2)∵ |b →|=√52，且a →+2b →与2a →−b →垂直， ∴ (a →+2b →)⋅(2a →−b →)=2a →2+3a →⋅b →−2b →2=0，∵ |a →|=√12+22=√5，∴ 2×5+3a →⋅b →−2×54=0， 整理，得a →⋅b →=−52，∴ cos θ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−1，∵ θ∈[0, π]，∴ θ=π．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】（1）由向量平行的性质，能求出k ．（2）由向量垂直得(a →+2b →)•(2a →−b →)=0，由此能求出a →与b →的夹角θ．【解答】解：(1)∵ a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，a →=(1, 2)，c →=(−2, k)，且c → // a →，∴ −21=k 2，解得k =−4，∴ c →的坐标为(−2, −4)．(2)∵ |b →|=√52，且a →+2b →与2a →−b →垂直， ∴ (a →+2b →)⋅(2a →−b →)=2a →2+3a →⋅b →−2b →2=0，∵ |a →|=√12+22=√5，∴ 2×5+3a →⋅b →−2×54=0， 整理，得a →⋅b →=−52，∴ cos θ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−1，∵ θ∈[0, π]，∴ θ=π．【答案】解：设圆锥形容器的底面半径为r 米，高为ℎ米，母线为l 米，侧面积为S 平方米，容积为V 立方米，则V =36π.(1)由r =6，得V =13πr 2ℎ=36π，得ℎ=3， 所以S =πrl =πr√r 2+ℎ2=6π√62+32=18√5π，又底面积为πr 2=36π（平方米）.故该容器的表面积为(18√5π+36π)=18(2+√5)π平方米.答:该容器的表面积为18(2+√5)π平方米.(2)因为V =13πr 2ℎ=36π，得r 2=3×36ππℎ=108ℎ，其中ℎ>0， 所以S =πrl =πr√r 2+ℎ2=π√r 4+r 2ℎ2=π√1082ℎ2+108ℎℎ2 =π√1082ℎ2+108ℎ =π√108√108ℎ2+ℎ. 记f(ℎ)=108ℎ2+ℎ，令f ′(ℎ)=−216ℎ3+1=ℎ3−216ℎ3=0，得ℎ=6.当ℎ∈(0,6)时，f ′(ℎ)<0，f(ℎ)在(0,6)上单调递减；当ℎ∈(6,+∞)时，f ′(ℎ)>0, f(ℎ)在(6,+∞)上单调递增.所以，当ℎ=6时，f(ℎ)最小，此时S 最小.答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省.【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积利用导数研究函数的最值柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：设圆锥形容器的底面半径为r 米，高为ℎ米，母线为l 米，侧面积为S 平方米，容积为V 立方米，则V =36π.(1)由r =6，得V =13πr 2ℎ=36π，得ℎ=3， 所以S =πrl =πr√r 2+ℎ2=6π√62+32=18√5π， 又底面积为πr 2=36π（平方米）.故该容器的表面积为(18√5π+36π)=18(2+√5)π平方米. 答:该容器的表面积为18(2+√5)π平方米.(2)因为V =13πr 2ℎ=36π，得r 2=3×36ππℎ=108ℎ，其中ℎ>0， 所以S =πrl =πr√r 2+ℎ2=π√r 4+r 2ℎ2=π√1082ℎ2+108ℎℎ2 =π√1082ℎ2+108ℎ =π√108√108ℎ2+ℎ. 记f(ℎ)=108ℎ2+ℎ， 令f ′(ℎ)=−216ℎ3+1=ℎ3−216ℎ3=0，得ℎ=6.当ℎ∈(0,6)时，f ′(ℎ)<0，f(ℎ)在(0,6)上单调递减； 当ℎ∈(6,+∞)时，f ′(ℎ)>0, f(ℎ)在(6,+∞)上单调递增. 所以，当ℎ=6时，f(ℎ)最小，此时S 最小.答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省.【答案】解：(1)f ′(x)=1x −a x 2，则f ′(1)=1−a =2，解得a =−1，则f(x)=ln x −1x +1，此时f(1)=ln 1−1+1=0，则切点坐标为(1,0)，代入切线方程，得b =−2，所以a =−1，b =−2.(2)g(x)=f(x)+ax =ln x +a x +ax +1,g ′(x)=1x −a x 2+a =ax 2+x−a x 2. ①当a =0时，g ′(x)=1x >0，则g(x)在区间(0，12)上为增函数，则g(x)在区间(0，12)上无最小值.②当a ≠0时，方程ax 2+x −a =0的判别式Δ=1+4a 2>0，则方程有两个不相等的实数根，设为x 1,x 2， 由韦达定理得x 1x 2=−1，则两根一正一负，不妨设x 1<0<x 2. 设函数m(x)=ax 2+x −a(x >0).(i)若a >0.若x 2∈(0，12)， 则m(0)=−a <0，m(12)=a 4+12−a >0. 解得0<a <23，此时x ∈(0，x 2)时，m(x)<0，则g(x)递减； x ∈(x 2，12)时，m(x)>0，则g(x)递增. 当x =x 2时，g(x)取极小值，即为最小值. 若x 2≥12，则x ∈(0,12), m(x)<0， 则g(x)在(0，12)单调减，无最小值. (ii)若a <0，x ∈(0,x 2)时，m(x)>0，则g(x)递增； x ∈(x 2，+∞)时，m(x)<0，则g(x)递减. 在区间(0，12)上，g(x)不会有最小值.所以a <0不满足条件.综上，当0<a <23时，g(x)在区间(0，12)上有最小值.【考点】利用导数研究函数的最值根与系数的关系利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f ′(x)=1x −a x 2，则f ′(1)=1−a =2，解得a =−1，则f(x)=ln x −1x +1， 此时f(1)=ln 1−1+1=0，则切点坐标为(1,0)， 代入切线方程，得b =−2，所以a =−1，b =−2.(2)g(x)=f(x)+ax =ln x +a x +ax +1, g ′(x)=1x −a x 2+a =ax 2+x−a x 2.试卷第21页，总21页 ①当a =0时，g ′(x)=1x >0， 则g(x)在区间(0，12)上为增函数，则g(x)在区间(0，12)上无最小值. ②当a ≠0时，方程ax 2+x −a =0的判别式Δ=1+4a 2>0， 则方程有两个不相等的实数根，设为x 1,x 2，由韦达定理得x 1x 2=−1，则两根一正一负，不妨设x 1<0<x 2. 设函数m(x)=ax 2+x −a(x >0).(i)若a >0.若x 2∈(0，12)，则m(0)=−a <0，m(12)=a 4+12−a >0. 解得0<a <23，此时x ∈(0，x 2)时，m(x)<0，则g(x)递减；x ∈(x 2，12)时，m(x)>0，则g(x)递增.当x =x 2时，g(x)取极小值，即为最小值.若x 2≥12，则x ∈(0,12), m(x)<0，则g(x)在(0，12)单调减，无最小值.(ii)若a <0，x ∈(0,x 2)时，m(x)>0，则g(x)递增； x ∈(x 2，+∞)时，m(x)<0，则g(x)递减.在区间(0，12)上，g(x)不会有最小值. 所以a <0不满足条件.综上，当0<a <23时，g(x)在区间(0，12)上有最小值.。

江苏省南京市秦淮中学2021年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过点且与直线平行的直线方程是A．B．C．D．参考答案：D设所求的平行直线方程为，因为直线过点，所以，即，所以所求直线方程为，选D.2. 已知椭圆C：，的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为I，直线交x轴于点E，若，则椭圆C的离心率是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】连接和，分别运用角平分线定理和比例的性质、椭圆的定义和离心率公式，计算可得所求值．【详解】解：的内心为，连接和，可得为的平分线，即有，，可得，即有，即有，故选：B．【点睛】本题考查椭圆的定义和性质，主要是离心率的求法，考查角平分线定理的运用，以及运算能力，属于基础题．3. 已知，则sinα的值为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】三角函数的化简求值．【分析】采用两边平方，根据同角函数关系式和二倍角的公式可得答案．【解答】解：由，可得：（sin2+cos2﹣2sin cos）=即1﹣sinα=，∴sinα=．故选：A．4. 要得到函数的图象,可以将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位参考答案：B略5. 执行如图的程序，则输出的结果等于A. B. C. D.参考答案：C 【知识点】程序框图L1执行程序框图，有i=1，s=0，t=0第1次执行循环，有s=1，T=1第2次执行循环，有i=2，s=1+2=3，T=1+第3次执行循环，有i=3，s=1+2+3=6，T=1++第4次执行循环，有i=4，s=1+2+3+4=10，T=1++…第99次执行循环，有i=99，s=1+2+3+..+99，T=1+++…+此时有i=100，退出循环，输出T的值．∵T=1+++…+，则通项a n===，∴T=1+（1﹣）+（﹣）+（）+（）+…+（）=2=．∴输出的结果等于．故选：C．【思路点拨】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T的值，当i=100，退出循环，输出T的值．6. 执行如右图所示的程序框图，如输入，则输出的值为A.5B.C.9D.参考答案：D7. 已知函数，且，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】由函数，可得，得到函数为偶函数，图象关于y轴对称，又由由二次函数的性质可得，函数在上为单调递增函数，则函数在上为单调递减函数，再根据对数函数的性质，结合图象，即可求解．【详解】由题意，函数，满足，所以函数为定义域上的偶函数，图象关于y轴对称，又当时，，由二次函数的性质可得，函数在上为单调递增函数，则函数在上为单调递减函数，又由，，，根据对称性，可得，即，故选A．8. 设向量，，给出下列四个结论：①；②；③与垂直；④，其中真命题的序号是 ( )A. ①B. ③C. ①④D. ②③参考答案：B9. 若与－都是非零向量，则“·=·”是“⊥（－）”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C10. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知 P（A）=0.65，P（B）=0.2，P（C）=0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（）A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3参考答案：C【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】概率与统计．【分析】根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来．【解答】解：根据对立事件的概率和为1，得；∵事件A={抽到一等品}，且 P（A）=0.65，∴事件“抽到的不是一等品”的概率为P=1﹣P（A）=1﹣0.65=0.35．故选：C．【点评】本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，是基础题目．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，线段长度为，点分别在非负半轴和非负半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作矩形，，为坐标原点，则的取值范围是▲ .参考答案：略 12. 设分别为的三个内角A ，B ，C 所对边的边长，且满足条件，则的面积等于.参考答案： 略13. 中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台.参考答案：375 【分析】先求得元件1和2并联电路正常工作的概率，乘以元件3正常工作的概率，由此求得部件正常工作超过10000小时的概率.利用二项分布均值计算计算公式，计算出1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值.【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为，则部件正常工作超过10000小时的概率为，又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为台.故答案为：375【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查二项分布的识别和二项分布期望的计算，属于基础题. 14. 已知（），f ’(x )为f (x )的导函数，f ’(1)=2，则a =参考答案：215. 已知正项等比数列{an}满足：，若存在两项am ，an 使得＝4a1，则的最小值为_________.参考答案：略16. 动圆的圆心的轨迹方程是 .参考答案：17. 已知函数,若，则实数的取值范围是________ 参考答案：略.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年度第一学期高三期中三校联考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡指定的位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝[1，3)，N ＝(2，5]，则M ∩N ＝A ．[1，5]B ．(2，3)C ．[1，2)D ．(3，5]【答案】B【考点】集合的运算【解析】由集合的交集定义即可解出答案. 2．已知i 是虚数单位，设复数a ＋b i ＝2－i2＋i，其中a ，b ∈R ，则a ＋b 的值为A ．57B ．57-C ．51D ．51-【答案】D【考点】复数的运算【解析】由题意a ＋b i ＝2－i 2＋i ()()()5452222ii i i -=-+-=，则求得51541-=+-==b a b a ，，，故答案选D.3．从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有A ．20种B ．50种C ．80种D ．100种【答案】B 【考点】排列组合【解析】由题意可知到图书馆、食堂的志愿者选出4名或5名，根据分类计数原理可知，当选出4名同学时，为平均分配，即有3022222325=A A C C ；当选出5名同学时，可知一个地方为2名同学，一个地方为3名同学，则有20223325=A C C ，则每个地方至少去2名不同的安排方法共有30+20=50种，故答案选B.4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”你的计算结果是A ．80里B ．86里C ．90里D ．96里【答案】D【考点】文化题中数列的基础计算【解析】翻译为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请计算此人第二天走的路程。

南京师大附中2020/2021学年度第一学期十月质量检测试卷高三数学一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填在答卷纸相应位置上.1.记全集U=R，集合A= {x|x2≥16}，集合B= {x|2x≥2}，则(CuA)∩B=( )A.[4,+∞)B.(1，4]C.[1，4)D. (1，4)2.已知a= ，b=， c=0.5a-2，则a，b，c的大小关系为( )A.b<a< cB.a<b< cC. c<b<aD. c<a< b3.若cos(a+β)=，sin(β—)= ，a，β∈（0，）则cos（a+）=( )A. —B. —C.D. —4.我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为( )A.30B.60C.90D.1205.已知= (2sin130, 2sin770), |-=1，与-的夹角为则*=( )A. 2B. 3C. 4D.%6.函数f(x) =在[π,0)∪(0，π]的图象大致为7.设F1，F2分别为双曲线C: :=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过B的直线l与0:x2+y2=a2相切，l与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若PF2⊥x轴，则双曲线C的离心率为( )A. B.2 C.. D.48.对于函数y= f(x)，若存在区间[a,b]，当x∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0)，则称y= f(x)为k倍值函数.若f(x)=e x+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是( )A. (e+1, +∞)B. (e+2, +∞)C.(e+十∞)，D.(e+,十∞)二、多选题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答卷纸相应位置上.9.已知函数f(x)=sin(3x+φ) ()的图象关于直线x=对称,则( )A. 函数f(x+)为奇函数B. 函数f(x)在[,]上单调递増C. 若|f()−f()|=2,则|−|的最小值为D. 函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=−cos3x的图象10.2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好地提高服务质量，收集并整理了该超市2020年1月份到8月份线上收入和线下收入法人数据，并绘制如下的折线图.根据折线图，下列结论正确的有( )A.该超市这8个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值B.该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月C.该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现负相关D.从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是( ) A当0＜CQ＜时，S为四边形；B当CQ=时，S不为等腰梯形；C当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=D当CQ=1时，S的面积为．12. 关于函数f(x)=+ asinx, x∈(-π, +∞)，下列结论正确的有( )A.当a=1时，f(x) 在(O,f(0))处的切线方程为2x-y+1=0B.当a=1时，f(x)存在惟一极小值点C.对任意a>0，f(x)在(-π, +∞)上均存在零点D.存在a<0，f(x)在(-π, +∞)上有且只有一个零点三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答卷纸相应位置上.13.在的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数为__ _.14.已知函数f(x) = xlnx-有两个极值点，则实数a的取值范围是_ _15. 在三棱锥P- ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB= AC=1，PA=2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为__ _.16. 己知函数f(x)= 若函数F(x)= f(x) +a恰有2个零点，则实数a的取值范围是_______四、解答题：本大题共6小题，共计70分17.已知函数f(x)=alnx−b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在[,e]上的最大值。

南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数 学参考答案与评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．1．{-101}，， 2．2 3．38 4．－1 5．2214x y -=6．6.8 7．19 8．12 9 10．1311．0<a <4 12．3 13．[－65，0] 14．(1,0)- 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)解：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，所以BD ∥EF ．…………………… 3分因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以EF ∥平面ABD ．…………………… 6分（2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AE ⊥CD ．…………………… 8分因为BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以CD ⊥EF ，…………………… 10分又AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ．…………………… 12分又CD 平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD ．…………………… 14分16．(本小题满分14分)解：（1）因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α．…………………… 2分 由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125， 即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425． 所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925． 因为α∈(0，π2)，所以cos α＋sin α＝75．…………………… 5分 所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35， 从而t ＝sin 2α＝925．…………………… 7分 （2）因为t ＝1，且a • b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α．因为α∈(0，π2)，所以cos α≠0，从而tan α＝14．…………………… 9分 所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815．…………………… 11分 从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tan π41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237．…………………… 14分 17．(本小题满分14分)解：建立如图所示的平面直角坐标系，则D（1）小路的长度为OA OB AB ++，因为,OA OB 长为定值，故只需要AB 最小即可． 作OM AB ⊥于M ，记OM d =，则AB ==又d OD =≤，故AB =≥此时点D 为AB 中点．故小路的最短长度为4+(百米)．…………… 4分（2）显然，当广场所在的圆与△ABC 内切时，面积最大，设△ABC 的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为11()22ABC S AB AC BC r AB d ∆=++⋅=⋅，…………… 6分由弦长公式AB =2244AB d =-， 所以2222(16)4(4)AB AB r AB ⋅-=+，………………… 8分 设AB x =，则22222(16)(4)()444(4)x x x x r f x x x ⋅-⋅-===++（）， 所以3222228322(416)'()4(4)4(4)x x x x x x f x x x --+-⋅+-==++，……………… 10分又因为0d CD <≤，即0d <所以)x AB ⎡==⎣，……………… 12分所以222(416)'()04(4)x x x f x x -⋅+-=<+，所以max ()6f x f ==-即△ABC 的内切圆的面积最大值为(6-π．…………………… 14分18．(本小题满分16分)解：（1）A (a ，0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M (a 2，b 2)． 所以OM →＝(a 2，b 2)，AB →＝(－a ，b )． 因为OM →·AB →＝－32b 2，所以(a 2，b 2)·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2， 整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b ．…………………… 3分因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c ．所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32．…………………… 5分 （2）方法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1． 从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12．…………………… 7分 因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ．设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． 联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2．……………………… 9分直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2， ……………………… 11分所以k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2 ＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14， 即k 1·k 2为定值14．………………………16分 方法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1． 从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12．…………………… 7分 设C (x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1． 因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0． 联立⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，……………… 10分 解得x ＝x 0（舍去）或x ＝2y 0．所以点D 的坐标为(2y 0，12x 0)．……………………… 13分 所以k 1·k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1·k 2为定值14．……………………… 16分 19．(本小题满分16分)解：（1）因为f ′(x )＝e x －e －λln x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为f ′(1)＝0，又切点为(1，f (1))，即(1，0)，所以切线方程为y ＝0．………………………… 2分（2）g (x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx． 当λ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故此时g (x )无极值．………………………… 4分当λ＞0时，设h (x )＝e x －λx ，则h ′(x )＝e x ＋λx 2＞0恒成立， 所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增．………………………… 6分①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数， 因此存在唯一的x 0∈(λe，1)，使得h (x 0)＝0． ②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x 0＞0，使得h (x 0)＝0．…………………… 8分且当0＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0，当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，因此g (x )在x ＝x 0处有极小值．所以当函数g (x )存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)．…………………… 10分（3）g (x )＝f ′(x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx． 若g ′(x )≥0恒成立，则有λ≤x e x 恒成立．设φ(x )＝x e x (x ≥1)，则φ′(x )＝(x ＋1) e x ＞0恒成立，所以φ(x )单调递增，从而φ(x )≥φ(1)＝e ，即λ≤e ．…………………………… 12分 当λ≤e 时，g (x )在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，即f ′(x )≥0，从而f (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以f (x )≥f (1)＝0恒成立．…………………………… 14分当λ＞e 时，由（2）知，存在x 0∈(1，λ)，使得g (x )在(0，x 0)上单调递减，即f ′(x )在(0，x 0)上单调递减．所以当1＜x ＜x 0时，f ′(x )＜f ′(1)＝0，于是f (x )在[1，x 0)上单调递减，所以f (x 0)＜f (1)＝0．这与x ≥1时，f (x )≥0恒成立矛盾．因此λ≤e ，即λ的最大值为e ．…………………………… 16分20．(本小题满分16分)解：（1）由1n a λ+=，得211n n n n a a a a ++=+，所以22110n n n n a a a a ++--=， 两边同时除以2n a 可得：21110n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，……………………… 2分解得1n n a a +=．…………………………… 4分 因为0n a >，所以1n n a a +=为常数， 故数列{}n a．…………………… 6分 （2）当2λ=时，212n n n a a a +=+，得12(2)n n n a a a +=+，所以11122n n n n a b a a +==+．…………………………… 8分 11211223111111111()()()()()22222n n n n n n n n a a a a T b b b a a a a a ++++=⋅=⋅⋅==，…… 10分 又211111122n n n n n n n n a a b a a a a a +++===-⋅；……………………… 12分 所以121111112n n n n S b b b a a a ++=+++=-=-，………………… 14分 故1111111122()222n n n n n n n T S a a ++++++=⋅⋅+-=为定值． ………………… 16分 南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数 学 附 加 题参考答案与评分建议21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－2：矩阵与变换] (本小题满分10分)解：设矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2311,1002a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以23,1,,20 2.a b a c d c -+==⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩且解得1,5,2,4a b c d ====.所以1524M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………………… 5分 M 的特征多项式15()(1)(4)10(1)(6)024f λλλλλλλ--==---=+-=--, 所以λ＝6或－1．所以矩阵M 的特征值为6或－1．……………………… 10分B ．[选修4－4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解：曲线C 的普通方程为221124x y +=．…………………… 2分由曲线C 方程与直线20x y --=联立,可求得AB = 4分三角形P AB 的面积最大，即点P 到直线l 的距离d 最大．设,sin )P θθ，|4cos()2|d θπ+-，……… 6分 当cos()16θπ+=-，即2,6k k θ5π=π+∈Z 时，m a x d == 8分三角形P AB 的最大面积为192S AB d =⨯⨯=．………………… 10分 C ．[选修4－5：不等式选讲] (本小题满分10分)解：因为1a b c ++=，所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++． 所以要证明()()2211a b ++++()21613c +≥， 即证明22213a b c ++≥．……………………… 5分 因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++()2a b c ≥++-()2222a b c ++， 所以()2223a b c ++()2a b c ++≥．因为1a b c ++=，所以22213a b c ++≥．所以()()2211a b ++++()21613c +≥．……………………… 10分 22．(本小题满分10分)解：以A 为原点，AB 、AD 、AP 的方向分别作为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝b ，则：A (0,0,0)，B (b,0,0)，C (b,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)．（1）因为PC ＝(b,2，－1)，DB ＝(b ，－2,0)．易证得BD ⊥平面PAC ，从而PC ⊥DB ，……………………… 2分所以PC ·DB ＝b 2－4＝0，从而b ＝2．所以DB ＝(2，－2,0)是平面APC 的法向量．……………………… 4分现设n ＝(x ，y ，z )是平面BPC 的法向量，则n ⊥BC ，n ⊥PC ，即n ·BC ＝0，n ·PC ＝0． 因为BC ＝(0,2,0)，PC ＝(2,2，－1)，所以2y ＝0,2x －z ＝0．取x ＝1，则z ＝2，n ＝(1,0,2)．……………………… 6分（2）令θ＝〈n ，DB 〉， 则cos||||5DB DB θ⋅===n n 8分 sinθ，tan θ＝3． 由图可得二面角B －PC －A 的正切值为3．……………………… 10分23．(本小题满分10分)解：（1）因为 210122212121212121(1n n n n n n n C C C C ++++++++=++++，210122212121212121(1n n n n n n n C C C C +++++++-=-++-，又因为21(1n n n a ++=+，高三10月联考数学试卷参考答案与评分建议 第 11 页 共 11 页所以21(1n n n a +-=-，所以2121(1(1()()n n n n n n a a +++-=+-， 即222187n n n a b +-=-，所以228n n a b -能被7整除．…………………… 5分（2）由222187n n n a b +-=-得222187n n n b a +=+， 因为201111749(501)5050(1)50(1)(1)n n n nn n n n n n n nn C C C C ---==-=+-++-+-除最后一项外都是5的倍数，所以217n +用5除所得的余数是2或2-， 又因为2n a 是平方数，其末尾数可能是0,1,4,5,6,9， 所以2217n n a ++末尾数不可能是0或5， 因而不能被5整除，即28n b 不能被5整除，从而2n b 不能被5整除，所以n b 不能被5整除．………………………… 10分。

2020-2021学年江苏省南京市高一（上）10月月考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{2，3}，N＝{3，2}C．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1}D．M＝{2，3}，N＝{（2，3）}2．（4分）下列图象表示函数图象的是（）A．B．C．D．3．（4分）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}4．（4分）函数f（x）＝的值域是（）A．R B．[﹣8，1]C．[﹣9，+∞）D．[﹣9，1]5．（4分）已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（1，2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣1，1）6．（4分）若函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是（）A．（0，4]B．C．D．7．（4分）若函数f（x）是R上的偶函数，当x＜0时，f（x）为增函数，若x1＜0，x2＞0，且|x1|＜|x2|，则（）A．f（﹣x1）＞f（﹣x2）B．f（﹣x1）＜f（﹣x2）C．﹣f（x1）＞f（﹣x2）D．﹣f（x1）＜f（﹣x2）8．（4分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，实数a使得f（1﹣ax﹣x2）＜f（2﹣a）对于任意x∈[0，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣2，0]C．（﹣2﹣2，﹣2+2）D．[0，1]二、不定项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）9．（5分）下列四个关系中错误的是（）A．1⊆{1，2，3}B．{1}∈{1，2，3}C．{1，2，3}⊆{1，2，3}D．空集∅⊆{1}10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最大值为B．f（x）在（﹣1，0）是增函数C．f（x）＞0的解集为（﹣1，1）D．f（x）+2x≥0的解集为[0，3]三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）已知集合A＝{x|ax+1＝0}，B＝{﹣1，1}，若A∩B＝A，则实数a的所有可能取值的集合为．12．（5分）函数f（x）＝的定义域是．13．（5分）函数y＝|x2﹣4x|的单调减区间为．14．（5分）定义在R上的奇函数f（x），满足x＞0时，f（x）＝x（1﹣x），则当x≤0时，f （x）＝．四、解答题（本大题共3小题，共38分）15．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣4＞0}，B＝{x|2x2+x﹣6＞0}，求A∪（∁R B），A∩（∁R B）．16．（14分）小张周末自驾游．早上八点从家出发，驾车3个小时后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s（单位：km）与离家的时间t（单位：h）的函数关系为s（t）＝﹣5t（t﹣13）．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60km/h的速度沿原路返回．（Ⅰ）求这天小张的车所走的路程s（单位：km）与离家时间t（单位：h）的函数解析式；（Ⅱ）在距离小张家60km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．17．（14分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对任意a，b∈（0，+∞），都有f（a⋅b）＝f（a）+f（b）恒成立，当x＞1时，满足f（x）＞0．（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明；（2）若f（4）＝4，解关于实数m的不等式f（m2﹣2m﹣1）＜2．2020-2021学年江苏省南京市高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{2，3}，N＝{3，2}C．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1}D．M＝{2，3}，N＝{（2，3）}【分析】利用集合的三个性质及其定义，对A、B、C、D四个选项进行一一判断；【解答】解：A、M＝{（3，2）}，M集合的元素表示点的集合，N＝{3，2}，N表示数集，故不是同一集合，故A错误；B、M＝{2，3}，N＝{3，2}根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故B正确C、M＝{（x，y）|x+y＝1}，M集合的元素表示点的集合，N＝{y|x+y＝1}，N表示直线x+y＝1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故C错误；D、M＝{2，3} 集合M的元素是点（2，3），N＝{（5，4）}，集合N的元素是点（5，4），故D错误；故选：B．【点评】此题主要考查集合的定义及其判断，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道基础题．2．（4分）下列图象表示函数图象的是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的定义可知：对于x的任何值y都有唯一的值与之相对应．紧扣概念，分析图象．【解答】解：根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应而A、B、D都是一对多，只有C是多对一．故选：C．【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．3．（4分）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【分析】由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．【解答】解：集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m＝0，解得m＝3，即有B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．故选：C．【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题．4．（4分）函数f（x）＝的值域是（）A．R B．[﹣8，1]C．[﹣9，+∞）D．[﹣9，1]【分析】分别求出f（x）＝2x﹣x2，f（x）＝x2+6x在其定义域上的值域，故得到答案．【解答】解：f（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1，开口向下，最大值为f（﹣1）＝1，f（0）＝0，f（3）＝﹣3，故函数f（x）＝2x﹣x2的值域为[﹣3，1]，f（x）＝x2+6x＝（x+3）2﹣9，开口向上，函数f（x）＝x2+6x在[﹣2，0]上单调递增，f （﹣2）＝﹣8，f（0）＝0，故函数f（x）＝x2+6x的值域为[﹣8，0]，故函数f（x）＝的值域为[﹣8，1]．故选：B．【点评】本题主要考查了函数的值域的求法，属于基础题．5．（4分）已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（1，2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣1，1）【分析】由f（x）是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出y轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得负，得出f（x）的正负，由图象可求出x的范围得结果．【解答】解：（1）x＞0时，f（x）＜0，∴1＜x＜2，（2）x＜0时，f（x）＞0，∴﹣2＜x＜﹣1，∴不等式xf（x）＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（1，2）．故选：C．【点评】由函数的奇偶性得出整个图象，分类讨论的思想得出函数值的正负，数形结合得出自变量的范围．6．（4分）若函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是（）A．（0，4]B．C．D．【分析】根据函数的函数值f（）＝﹣，f（0）＝﹣4，结合函数的图象即可求解【解答】解：∵f（x）＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣）2﹣，∴f（）＝﹣，又f（0）＝﹣4，故由二次函数图象可知：m的值最小为；最大为3．m的取值范围是：[，3]，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，属于基础题．7．（4分）若函数f（x）是R上的偶函数，当x＜0时，f（x）为增函数，若x1＜0，x2＞0，且|x1|＜|x2|，则（）A．f（﹣x1）＞f（﹣x2）B．f（﹣x1）＜f（﹣x2）C．﹣f（x1）＞f（﹣x2）D．﹣f（x1）＜f（﹣x2）【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是偶函数，x∈R，当x＜0时，f（x）为增函数，故x＞0时，f（x）为减函数，∵|x1|＜|x2|，∴f（|x1|）＞f（|x2|），则f（﹣x1）＞f（﹣x2）成立，故选：A．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．8．（4分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，实数a使得f（1﹣ax﹣x2）＜f（2﹣a）对于任意x∈[0，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣2，0]C．（﹣2﹣2，﹣2+2）D．[0，1]【分析】解法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立，令g（x）＝x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可，分类讨论，求最值即可求出实数a的取值范围；解法二：由1﹣ax﹣x2＜2﹣a，得（1﹣x）a＜x2+1，对x讨论，再分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立令g（x）＝x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．g（x）＝x2+ax﹣a+1＝（x+）2﹣﹣a+1．①当﹣＜0，即a＞0时，g（x）min＝g（0）＝1﹣a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；②当0≤﹣≤1，即﹣2≤a≤0时，g（x）min＝g（﹣）＝﹣﹣a+1＞0，∴﹣2﹣2＜a＜﹣2+2，故﹣2≤a≤0；③当﹣＞1，即a＜﹣2时，g（x）min＝g（1）＝2＞0，满足，故a＜﹣2．综上a＜1．法二：由1﹣ax﹣x2＜2﹣a得（1﹣x）a＜x2+1，∵x∈[0，1]，∴1﹣x≥0，∴①当x＝1时，0＜2恒成立，此时a∈R；②当x∈[0，1）时，a＜恒成立．求当x∈[0，1）时，函数y＝的最小值．令t＝1﹣x（t∈（0，1]），则y＝＝＝t+﹣2，而函数y＝t+﹣2是（0，1]上的减函数，所以当且仅当t＝1，即x＝0时，y min＝1．故要使不等式在[0，1）上恒成立，只需a＜1，由①②得a＜1．故选：A．【点评】本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，利用函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键．注意要利用分类讨论的数学思想．二、不定项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）9．（5分）下列四个关系中错误的是（）A．1⊆{1，2，3}B．{1}∈{1，2，3}C．{1，2，3}⊆{1，2，3}D．空集∅⊆{1}【分析】首先确定二者之间是元素与集合，还是集合与集合，再判断所用符号即可．【解答】解：A应该为1∈{1，2，3}；B应该为{1}⊆{1，2，3}；C：{1，2，3}⊆{1，2，3}，正确；D空集∅⊆{1}，正确；故选：AB．【点评】本题考查了集合与元素，集合与集合之间的关系的判断与应用，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最大值为B．f（x）在（﹣1，0）是增函数C．f（x）＞0的解集为（﹣1，1）D．f（x）+2x≥0的解集为[0，3]【分析】由偶函数的定义求得x＜0时，f（x）的解析式，由二次函数的最值求法，可判断A；由x＜0时，f（x）的单调区间可判断B；讨论x＜0，x≥0，由二次不等式的解法可判断C、D．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2，可得x＜0时，f（x）＝f（﹣x）＝﹣x﹣x2，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2＝﹣（x﹣）2+，即x＝时，f（x）取得最大值，故A 正确；且f（x）在（﹣1，﹣）递增，在（﹣，0）递减，故B错误；当x≥0时，f（x）＝x﹣x2＞0，解得0＜x＜1；当x＜0时，f（x）＝﹣x﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜0，所以f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（0，1），故C错误；当x≥0时，f（x）+2x＝3x﹣x2≥0，解得0≤x≤3；当x＜0时，f（x）+2x＝x﹣x2≥0，解得x∈∅．所以f（x）+2x≥0的解集为[0，3]，故D正确．故选：AD．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）已知集合A＝{x|ax+1＝0}，B＝{﹣1，1}，若A∩B＝A，则实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1}．【分析】根据题中条件：“A∩B＝A”，得到B是A的子集，故集合B可能是∅或B＝{﹣1}，或{1}，由此得出方程ax+1＝0无解或只有一个解x＝1或x＝﹣1．从而得出a的值即可【解答】解：由于A∩B＝A，∴A＝∅或A＝{﹣1}，或{1}，∴a＝0或a＝1或a＝﹣1，∴实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1}故答案为：{﹣1，0，1}【点评】本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，方程的根的概念等基本知识，考查了分类讨论的思想方法，属于基础题12．（5分）函数f（x）＝的定义域是（﹣∞，1）．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：依题意，得1﹣x＞0，解得x＜1，∴函数的定义域是（﹣∞，1）故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围：注意分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．13．（5分）函数y＝|x2﹣4x|的单调减区间为（﹣∞，0），（2，4）．【分析】画出函数y＝|x2﹣4x|的图象，利用图象写出单调区间．【解答】解：画出函数y＝|x2﹣4x|的图象，由图象得单调减区间为：（﹣∞，0），（2，4）故答案为：（﹣∞，0），（2，4）【点评】本题考查了函数的单调性，画出图象是关键，属于基础题．14．（5分）定义在R上的奇函数f（x），满足x＞0时，f（x）＝x（1﹣x），则当x≤0时，f （x）＝x（x+1）．【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，设x＜0，则﹣x＞0，由函数的奇偶性和解析式可得f（x）＝﹣f（﹣x）＝x（x+1），综合2种情况即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）（1+x），又由函数为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝x（x+1），综合可得：当x≤0时，f（x）＝x（x+1）；故答案为：x（x+1）【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意f（0）＝0，属于基础题．四、解答题（本大题共3小题，共38分）15．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣4＞0}，B＝{x|2x2+x﹣6＞0}，求A∪（∁R B），A∩（∁R B）．【分析】利用集合的交、并、补集的混合运算求解．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣4＞0}＝{x|x＞2或x＜﹣2}，B＝{x|2x2+x﹣6＞0}＝{x|x＞或x＜﹣2}，∴∁R B＝{x|﹣2}，A∪（∁R B）＝{x|x或x＞2}，A∩（∁R B）＝∅．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．16．（14分）小张周末自驾游．早上八点从家出发，驾车3个小时后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s（单位：km）与离家的时间t（单位：h）的函数关系为s（t）＝﹣5t（t﹣13）．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60km/h的速度沿原路返回．（Ⅰ）求这天小张的车所走的路程s（单位：km）与离家时间t（单位：h）的函数解析式；（Ⅱ）在距离小张家60km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．【分析】（Ⅰ）根据题意，可得分段函数解析式，关键是确定返回时函数的解析式；（Ⅱ）利用分段函数解析式，建立方程，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，0＜t≤3时，s（t）＝﹣5t（t﹣13），当t＝3时，s（3）＝150；3＜t≤8时，s（t）＝150；∵150÷60＝2.5，∴8＜t≤10.5时，s（t）＝150+（t﹣8）×60＝60t﹣330；∴s（t）＝；（Ⅱ）0＜t≤3时，令﹣5t（t﹣13）＝60，则t＝1或12，所以t＝1，即九点小张的车途经该加油站；8＜t≤10.5时，60t﹣330＝150+150﹣60，则t＝9.5，即17：30小张的车途经该加油站．【点评】本题考查函数模型的构建，考查函数解析式的运用，考查利用数学知识解决实际问题，确定函数的解析式是关键．17．（14分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对任意a，b∈（0，+∞），都有f（a⋅b）＝f（a）+f（b）恒成立，当x＞1时，满足f（x）＞0．（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明；（2）若f（4）＝4，解关于实数m的不等式f（m2﹣2m﹣1）＜2．【分析】（1）设0＜x1＜x2，根据f（x2）＝f（）+f（x1）即可得出f（x）的单调性；（2）根据f（x）的单调性和定义域列不等式组解出m的范围．【解答】解：（1）f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明如下：设x1，x2是（0，+∞）上任意两个数，且x1＜x2，则f（x2）＝f（•x1）＝f（）+f（x1），∴f（x2）﹣f（x1）＝f（），∵0＜x1＜x2，∴＞1，∴f（）＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．（2）∵f（4）＝f（2×2）＝f（2）+f（2）＝4，∴f（2）＝2，∴f（m2﹣2m﹣1）＜2⇔f（m2﹣2m﹣1）＜f（2），由（1）知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，∴0＜m2﹣2m﹣1＜2，解得：﹣1＜m＜1﹣或1+＜m＜3．【点评】本题考查了抽象函数单调性判断及应用，属于中档题．。