下载文档原格式
第三讲 函数与不等式问题【考点透视】1．了解映射的概念，理解函数的概念．2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程．3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数． 4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质．5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质． 6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 7．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力．8．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式．9．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题．10．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力． 11．能较灵活的使用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．12．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、分析几何等各部分知识中的使用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在使用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．【例题分析】 1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会使用用函数的定义域解决有关问题. 例1．已知函数()f x 的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅ 命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.解：函数()f x =的定义域M={}1,x x < g(x)=ln(1)x +的定义域N={}1,x x >-∴M ∩N={|11}x x -<<． 故选C例2.函数y ( )（A ）(3,+∞) （B ）[3, +∞) （C ）(4, +∞) （D ）[4, +∞) 命题意图: 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.解：由20 4.log 20x x x >⎧⇒>⎨->⎩，故选D.2.求函数的反函数求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的理解.例3．函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是（ ） （A）,020xx y x ⎧≥⎪=< （B）2,00x x y x ≥⎧=< （C）,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩（D）2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ 命题意图: 本题主要考查有关分段函数的反函数的求法.()121:2,.(),(0);22,0,()0.,020.yxy x x f x x y x y f x x xx y x --=∴=∴=≥=-<∴=<⎧≥⎪∴=⎨⎪<⎩解又故选C.例4．已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ． 命题意图: 本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识.解：()()11112,,.2222y x a x y a y x a x a =-∴=+∴=+=+与3y bx =+比较得a =6，1.2b =故填162；3.复合函数问题复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数分析式的求法来求复合函数的值.二是使用已知函数定义域求复合函数的定义域.例5．对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②Ｄ．③命题意图: 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力.解：22()(2),(2)f x x f x x =-∴+=是偶函数，又函数2()(2)f x x =-开口向上且在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数．故能使命题甲、乙均为真的函数仅有2()(2)f x x =-．故选Ｃ例6．函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________.命题意图: 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力. 解：由()()12f x f x +=,得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+.4.函数的单调性、奇偶性和周期性函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.例7．已知函数()1,1xf x a z =-+，若()f x 为奇函数，则a =________.命题意图: 本题主要考查函数的分析式的求解以及函数的奇偶性使用. 常规解法：由f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即,0121121=+-++--x xa a .2112212112112121=++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∴-x x x x a 应填21.巧妙解法：因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,即.21,01210=∴=+-a a 应填21.点评：巧妙解法巧在利用了f(x)为奇函数,所以f(0)=0,这一重要结论.例8． ()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件命题意图: 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关知识.解 先证充分性：因为()f x ，()g x 均为偶函数， 所以()(),f x f x -=()()g x g x -=，有()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=，所以 ()h x 为偶函数．反过来，若()h x 为偶函数，()f x ()g x 不一定是偶函数．如2()h x x =，(),f x x =2()g x x x =-，故选B.方法二：可以选取两个特殊函数进行验证． 故选B点评：对充要条件的论证，一定既要证充分性，又要证必要性，二着缺一不可．同时，对于抽象函数，有时候可以选取特殊函数进行验证． 5.函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.例9．函数y=1+a x (0<a <1)的反函数的图象大致是 ( )（A ） （B ） （C ） （D ）命题意图: 本题主要考查对数函数的图象，互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识.解：∵y=1+a x (0<a <1),∴()()1log (1),01a f x x a -=-<<.此函数图象是由函数()()log ,01a f x x a =<<向右平移一个单位得到的.故选A. 6. 函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样. 这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养读者的思维和创新能力. 例10．已知.|1|)(22kx x x x f ++-= （Ⅰ）若k = 2，求方程0)(=x f 的解；（Ⅱ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明.41121<+x x命题意图：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。
复合函数的性质文／董裕华复合函数是函数知识的综合和拓展，在高中数学教学中已经涉及到许多这方面知识，在国内外数学竞赛中复合函数问题也频频出现，但现行中学数学教材中没有作出系统研究．本文拟讨论形如ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］的复合函数的性质及其应用．一、基础知识1．定义．设函数ｙ＝ｆ（ｕ），当ｕ∈Ｐ时，ｆ（ｕ）∈Ｑ；ｕ又是ｘ的函数，ｕ＝ｇ（ｘ），当ｘ∈Ｍ时，ｕ∈Ｐ．从集合Ｍ中每一个给定的ｘ，通过Ｐ中唯一的元素ｕ与集合Ｑ中唯一的元素ｙ相对应，则ｙ也是ｘ的函数，称为这两个函数的复函数，记为ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］．其中ｙ＝ｆ（ｕ）叫做复合函数的外函数，ｕ＝ｇ（ｘ）叫做复合函数的内函数，集合M叫做这个复合函数的定义域．形如ｆｎ（ｆｎ－1（ｆｎ－2（…ｆ2（ｆ1（ｘ））…）））的函数叫做多重复合函数，它可以看成是函数ｕ＝ｆｎ－i（ｆｎ－i－1（…ｆ2（ｆ1（ｘ））…））与ｙ＝ｆｎ（ｆｎ－1…ｆｎ－i＋1（ｕ）…）的复合函数．2．单调性．函数ｕ＝ｇ（ｘ）在集合Ｍ上有定义，ｕ∈Ｐ；ｙ＝ｆ（ｕ）在Ｐ上有定义．如果ｇ（ｘ）在M上递增，ｆ（ｕ）在Ｐ上递增（减），那么ｆ［ｇ（ｘ）］在Ｍ上也递增（减）；如果ｇ（ｘ）在Ｍ上递减，ｆ（ｕ）在Ｐ上递增（减），那么ｆ［ｇ（ｘ）］在Ｍ上递减（增）．3．奇偶性．如果ｕ＝ｇ（ｘ）为奇函数，ｙ＝ｆ（ｕ）为奇（偶）函数，则复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］为奇（偶）函数；如果ｕ＝ｇ（ｘ）为偶函数，ｙ＝ｆ（ｕ）有意义，则复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］必为偶函数．4．反函数．如果内函数ｕ＝ｇ（ｘ）和外函数ｙ＝ｆ（ｕ）都分别是其定义域到值域上一一对应的函数，那么复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］的反函数为ｙ＝ｇ－1［ｆ－1（ｘ）］．证明见文［1］．5．周期性．函数ｕ＝ｇ（ｘ）是集合Ｒ上的周期函数，ｕ∈Ｍ；ｆ（ｕ）在Ｍ上有定义，则复合函数ｆ［ｇ（ｘ）］也是Ｒ上的周期函数．内函数为周期函数，复合函数必为周期函数；若外函数为周期函数，复合函数却未必是周期函数．例如1975年加拿大第七届中学生数学竞赛第7题，问ｓｉｎ（ｘ2）是周期函数吗?回答显然是否定的．综合复合函数的周期性、单调性、奇偶性，不难发现复合函数还有以下性质：6．若内函数ｕ＝ｇ（ｘ）的最小正周期为Ｔ0，ｕ∈Ｄ，外函数ｙ＝ｆ（ｕ）是Ｄ上的单调函数，则复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］也是最小正周期为Ｔ0的周期函数．7．若函数ｆ（ｕ）的最小正周期为Ｔ0，ｇ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ（ａ≠0），则复合函数ｆ［ｇ（ｘ）］也为周期函数，最小正周期为Ｔ0／｜ａ｜．8．若ｇ（ｘ）为奇函数，当ｆ（ｘ）与φ（ｘ）均为偶函数时，复合函数φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ≠0）为周期函数，2ａ是它的一个周期；当ｆ（ｘ）与φ（ｘ）奇偶性相异时，复合函数φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ≠0）也为周期函数，4ａ是它的一个周期．9．若ｇ（ｘ）为偶函数，ｆ（ｘ）在Ｒ上有定义，当φ（ｘ）为偶函数时，复合函数φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ≠0）为周期函数，2ａ是它的一个周期；当φ（ｘ）为奇函数时，复合函数φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ ≠0）也为周期函数，4ａ是它的一个周期．现证明一种情形．ｆ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ）、φ（ｘ）均为偶函数时，由φ（－ｘ）＝ｆ［ｇ（－ｘ＋ａ）］＝ｆ［ｇ（ｘ－ａ）］，又φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］，得ｆ［ｇ（ｘ－ａ）］＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］，即φ（ｘ－2ａ）＝φ（ｘ）．φ（ｘ）为周期函数，2ａ是它的一个周期．其余情形类似可证．例1 Ｐ（ｘ）和Ｑ（ｘ）为二实系数多项式，它们对一切实数ｘ满足恒等式Ｐ［Ｑ（ｘ）］＝Ｑ［Ｐ（ｘ）］，若方程Ｐ（ｘ）＝Ｑ（ｘ）无实数解，证明：方程Ｐ［Ｐ（ｘ）］＝Ｑ［Ｑ（ｘ）］亦无实数解．导析：学生观察题目后，容易闪现出一个念头，即设出多项式Ｐ（ｘ）和Ｑ（ｘ），但Ｐ［Ｐ（ｘ）］、Ｑ［Ｑ（ｘ）］等难以表示．思维受阻后，学生转而考虑反证法．假设Ｐ［Ｐ（ｘ）］＝Ｑ［Ｑ（ｘ）］有解，设其解为ａ，则由Ｐ［Ｐ（ａ）］＝Ｑ［Ｑ（ａ）］很难确定下一步证题方向，同样无功而返．这时教师可提醒学生：Ｐ（ｘ）＝Ｑ（ｘ）无实数解的实质是什么?学生很快想到Ｐ（ｘ）－Ｑ（ｘ）或者恒为正，或者恒为负．不妨设Ｐ（ｘ）＞Ｑ（ｘ），由此Ｐ［Ｐ（ｘ）］＞Ｑ［Ｐ（ｘ）］，Ｐ［Ｑ（ｘ）］＞Ｑ［Ｑ（ｘ）］．又Ｐ［Ｑ（ｘ）］＝Ｑ［Ｐ（ｘ）］，得Ｐ［Ｐ（ｘ）］＞Ｑ［Ｑ（ｘ）］．这已是学生熟悉的问题，可由学生整理完成．例2 已知ｆ（ｘ＋1）＝｜ｘ－1｜－｜ｘ＋1｜，如果ｆ［ｆ（ａ）］＝ｆ（1993）＋1，求ａ．导析：从条件看，多数同学会想到ｆ（1993）＝ｆ（1992＋1）＝－2，由此ｆ（ａ）＝｜ａ－2｜－｜ａ｜，ｆ［ｆ（ａ）］＝｜｜ａ－2｜－｜ａ｜－2｜－｜｜ａ－2｜－｜ａ｜｜．现在要去掉绝对值符号，就非常困难了．教师适时引导学生：如果先去绝对值符号呢?ｆ（ｘ）＝｜ｘ－2｜－｜ｘ｜=由于ｆ［ｆ（ａ）］＝ｆ（1 993）＋1＝－2＋1＝－1，学生便会想到此时0≤ｆ（ａ）≤2，从而2－2ｆ（ａ）＝－1，ａ＝1／4．例3函数ｆ（ｘ）在Ｒ上有定义，且满足：①ｆ（ｘ）是偶函数，ｆ（0）＝993；②ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ－1）是奇函数．试求ｆ（1992）的值．导析：学生很容易想到ｆ（1992）＝ｇ（1993）＝－ｇ（－1993）＝－ｆ（1994）．本来求ｆ（1992）就很烦，化成ｆ（1994）更显繁，不少学生畏难而退．能否找出函数变化规律呢?也就是说把数据一般化，能否证得ｆ（ｘ）＝－ｆ（ｘ＋2）呢?学生会恍然大悟，ｆ（ｘ）是周期为4的函数!至此思路已经畅通．由特殊到一般，再由一般到特殊，这是人类认识世界、改造世界的规律，也是解竞赛题的常用策略．本题也可直接用基础知识8，只要令φ（ｘ）＝ｘ，则ｆ（ｘ）＝ｇ［φ（ｘ＋1）］即可求解．二、综合应用复合函数是单一函数的整合与拓展，它以代数式、数列、几何等知识为支撑，以方程、不等式等形式为载体，以函数的性质为纽带，加之应用广泛，在竞赛命题中自然就颇受青睐．复合函数问题常通过换元法、待定系数法、特殊值法变形求解，与自然数有关的命题也可通过数学归纳法获证．例4是否存在函数ｆ∶Ｒ→Ｒ；ｇ∶Ｒ→Ｒ，使得对所有的ｘ∈Ｒ，都有ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｘ2，ｇ［ｆ（ｘ）］＝ｘ3？导析：既然对所有ｘ∈Ｒ，都有这两个函数关系，学生首先想到用特殊值去验证．根据本题特点选择0和1，得ｆ［ｇ（0）］＝0，ｇ［ｆ（0）］＝0；ｆ［ｇ（1）］＝1，ｇ［ｆ（1）］＝1．现在问题转化为要求ｆ（0）、ｆ（1）、ｇ（0）、ｇ（1）．经过一番“折腾”，学生摸索出ｆ（0）＝ｆ｛ｇ［ｆ（0）］｝＝［ｆ（0）］2，ｆ（1）＝ｆ｛ｇ［ｆ（1）］｝＝［ｆ（1）］2．那么ｆ（0）究竟等于0还是1?ｆ（1）又等于几?ｆ（ｘ）表达式又是什么?这时学生能够推得ｆ（ｘ3）＝ｆ｛ｇ［ｆ（ｘ）］｝＝［ｆ（ｘ）］2，这是一个一般性结论，学生还能观察出ｆ（－1）＝［ｆ（－1）］2．这样ｆ（0）、ｆ（1）、ｆ（－1）的值都只能在0和1中选择，因此ｆ（0）、ｆ（1）、ｆ（－1）至少有两个相等，究竟又是哪两个相等呢?正当“山穷水尽”之时，再揣摩一下题目中的“是否存在”，这是不是意味着上述结论不一定成立?至此问题的解决进入最后阶段，由于ｇ［ｆ（0）］、ｇ［ｆ（1）］、ｇ［ｆ（－1）］不等，故ｆ（0）、ｆ（1）、ｆ（－1）也互不相等．更一般地，对于任意ｘ1≠ｘ2，ｆ（ｘ1）≠ｆ（ｘ2），因此满足条件的函数关系不存在．例5确定所有的函数ｆ：Ｒ→Ｒ，其中Ｒ是实数集，使得对任意ｘ，ｙ∈Ｒ，恒有ｆ［ｘ－ｆ（ｙ）］＝ｆ［ｆ（ｙ）］＋ｘｆ（ｙ）＋ｆ（ｘ）－1成立．（1999年第四十届IMO试题）导析：和上题一样，先用特殊值代入验算．学生自然先考虑ｘ＝ｙ＝0的情形．得出ｆ［－ｆ（0）］＝ｆ［ｆ（0）］＋ｆ（0）－1．ｆ（0）的值又如何求呢?学生仍然会考虑特殊情况，再令ｘ＝ｆ（ｙ），得ｆ（0）＝2ｆ（ｘ）＋ｘ2－1，从而ｆ（0）＝1．容易验证ｆ（ｘ）＝1－ｘ2／2符合题意．这是从特殊情形推出的结果，现在还需要解决的问题是有没有满足条件的其他函数?不妨设函数ｆ像的集合为Ａ．我们的目标是求ｆ（ｘ）表达式．令ｙ＝0，则ｆ（0）∈Ａ且为常数，记为ｍ，则ｆ（ｘ－ｍ）－ｆ（ｘ）可以表示为ｘ的一次函数：ｆ（ｘ－ｍ）－ｆ（ｘ）＝ｍｘ＋ｆ（ｍ）－1．也就是说对任意ｘ∈Ｒ，ｍｘ＋ｆ（ｍ）－1∈Ｒ，ｆ（ｘ－ｍ）－ｆ（ｘ）∈Ｒ．换句话讲对任意ｘ∈Ｒ，都存在ｙ1，ｙ2∈Ａ，使得ｘ＝ｙ1－ｙ2．因此ｆ（ｘ）＝ｆ（ｙ－ｙ2）＝ｆ（ｙ1）＋ｆ（ｙ2）＋ｙ1ｙ2－1．①那么ｆ（ｙ1）、ｆ（ｙ2）又如何表示?由上述1分析知只要令ｘ＝ｆ（ｙ），便得ｆ（ｘ）＝（－ｘ2＋ｍ＋1）／2．② 把ｆ（ｙ1）、ｆ（ｙ）表达式代入①，即可求得ｆ（ｘ）＝ｍ－ｘ2／2．再令ｘ＝0，则ｍ＝1．从而对任意ｘ∈Ｒ，2都有ｆ（ｘ）＝1－ｘ2／2．例6设ｎ为自然数集合，ｋ∈Ｎ，如果有一个函数ｆ：Ｎ→Ｎ是严格递增的，且对于每一个ｎ∈Ｎ，都有ｆ［ｆ（ｎ）］＝ｋｎ．求证：对每一个ｎ∈Ｎ，都有2ｋｎ／（ｋ＋1）≤ｆ（ｎ）≤（ｋ＋1）ｎ／2．导析：条件是关于复合函数的等式，结论却是关于ｆ（ｘ）的不等式，学生首先能考虑寻找ｆ（ｎ）与ｆ［ｆ（ｎ）］之间的关系．由已知，ｆ（ｎ）≥ｎ，则ｆ［ｆ（ｎ）］≥ｆ（ｎ）≥ｎ，故ｋ≥1，而2ｋｎ／（ｋ＋1）＝ｎ／（1／2＋1／2ｋ）≥ｎ，这对证题没有帮助．再回到已知“ｆ严格递增且取自然数值”，就是说ｆ（ｎ＋1）≥ｆ（ｎ）＋1，进而对任意ｍ∈Ｎ，都有ｆ（ｎ＋ｍ）≥ｆ（ｎ）＋ｍ．既然ｆ（ｎ）≥ｎ，不妨设ｆ（ｎ）＝ｎ＋ｍ（ｍ是非负整数），则ｆ［ｆ（ｎ）］≥ｆ（ｎ）＋ｍ＝ｆ（ｎ）＋ｆ（ｎ）－ｎ，从而ｆ（ｎ）≤（ｋ＋1）ｎ／2．对于左式，实质是要证明ｆ［ｆ（ｎ）］≤（ｋ＋1）ｆ（ｎ）／2，这已是水到渠成的事情．本题多次运用换元思想，进行“换位思考”，这也是解复合函数竞赛试题的常用手段．例7设ｆ（ｎ）为一个在所有正整数集合Ｎ上有定义且在Ｎ上取值的函数．证明：如果对每一个ｎ，ｆ（ｎ＋1）＞ｆ［ｆ（ｎ）］，则对每一个ｎ，ｆ（ｎ）＝ｎ．导析：本题和上题恰好相反，是由不等关系推相等关系．根据所求，学生较易想到的是反证法．假设ｆ（ｎ）≠ｎ，不妨先考虑ｆ（ｎ）＞ｎ的情形，得ｆ［ｆ（ｎ）］＞ｆ（ｎ），而ｆ（ｎ＋1）≥ｆ（ｎ）＋1，至此已别无它法．调整思路，比较本题和上题，上题已知ｆ是Ｎ→Ｎ上严格增函数，本题结论函数ｆ也是单调增函数．所以可以尝试先证明ｍ≥ｎ时，ｆ（ｍ）≥ｆ（ｎ）．由于是与自然数有关的命题，可以考虑用数学归纳法证明．当ｎ＝1时，ｆ（2）＞ｆ［ｆ（1）］，而ｆ［ｆ（1）］≥ｆ（1）又怎么证?这又回到上面老路上．退一步讲，对任意ｍ≥ｎ，欲证ｆ（ｍ）≥ｆ（ｎ）比较困难，能否证得ｆ（ｍ）≥ｎ？事实上如果证得ｆ（ｍ）≥ｎ，则ｆ（ｎ）≥ｎ也必定成立，这离ｆ（ｎ）＝ｎ反而更接近．当ｎ＝1时结论显然成立．设ｎ＝ｋ（ｋ∈Ｎ）时结论成立，即ｍ≥ｋ时，ｆ（ｍ）≥ｋ．则当ｎ＝ｋ＋1，即ｍ≥ｋ＋1时，ｍ－1≥ｋ，ｆ（ｍ－1）≥ｋ，从而ｆ（ｍ）＞ｆ［ｆ（ｍ－1）］≥ｋ．由于ｆ（ｍ）取值为正整数，因此ｆ（ｍ）≥ｋ＋1，命题成立．这样ｆ（ｎ）≥ｎ．现在证明ｆ（ｎ）＞ｎ不可能．若ｆ（ｎ）＞ｎ，即ｆ（ｎ）≥ｎ＋1，则ｆ［ｆ（ｎ）］≥ｆ（ｎ＋1），这与已知矛盾．接下来，就由学生对上述思路进行梳理、整合．三、强化训练1．若＝ｘ，求Ｆ（ｘ）．2．已知ｆ（ｘ）＝｜1－2ｘ｜，ｘ∈［0，1］，求方程ｆ｛ｆ［ｆ（ｘ）］｝＝（1／2）ｘ的解的个数．3．若ａ＞0，ａ≠1，Ｆ（ｘ）为Ｒ上的奇函数，判定函数Ｇ（ｘ）＝的奇偶性．4．设ｆ（ｘ）＝（1＋ｘ）／（1－3ｘ），ｆ1（ｘ）＝ｆ［ｆ（ｘ）］，ｆ2（ｘ）＝ｆ［ｆ1（ｘ）］，…，ｆn（ｘ）＝ｆ［ｆn－1（ｘ）］，…，求ｆ1991（4．7）．5．设ｙ＝ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的函数，且对任意ａ，ｂ∈Ｒ，都有ｆ［ａｆ（ｂ）］＝ａｂ，求ｆ（2000）．6．设ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的函数，Ｍ＝｛ｘ｜ｆ（ｘ）＝ｘ｝，Ｎ＝｛ｘ｜ｆ［ｆ（ｘ）］＝ｘ｝．（1）求证ＭＮ；（2）若ｆ（ｘ）在Ｒ上是增函数，判断Ｍ＝Ｎ是否成立，并证明你的结论．7．全体正整数集是两个不相交子集｛ｆ（1），ｆ（2），…，ｆ（ｎ），…｝与｛ｇ（1），ｇ（2），…，ｇ（ｎ），…｝的并集，其中ｆ（1）＜ｆ（2）＜…＜ｆ（ｎ）＜…，ｇ（1）＜ｇ（2）＜…＜ｇ（ｎ）＜…，且对于所有ｎ＞1，有ｇ（ｎ）＝ｆ［ｆ（ｎ）］＋1，求ｆ（240）．参考答案与提示1．（1－ｘ）／（1＋ｘ）．提示：用换元法．2．8个．提示：分类讨论．先分两类：ｆ（ｘ）＝对于ｆ［ｆ（ｘ）］，也可类似分成四个区间讨论，因为ｆ（ｘ）在上述两区间值域仍为［0，1］．至于ｆ｛ｆ［ｆ（ｘ）］｝要分八个区间分别求解．3．奇函数．提示：可先证明是奇函数．4．4．7．提示：由ｆ1（ｘ）＝（ｘ－1）／（3ｘ＋1），ｆ2（ｘ）＝ｘ，ｆ3（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ4（ｘ）＝ｆ1（ｘ），由此可以类推，归纳出规律，ｆ3ｍ＋k（ｘ）＝ｆk（ｘ）（ｍ，），从而ｆ1991（4．7）＝ｆ3×663＋2（4．7）＝ｆ2（4．7）＝4．7．5．±2000．提示：用特殊值法．先令ａ＝1，得ｆ［ｆ（ｂ）］＝ｂ；再令ａ＝ｆ（ｂ），得ｆ［ｆ2（ｂ）］＝ｂｆ（ｂ）．而ｆ［ｂｆ（ｂ）］＝ｂ2＝ｆ｛ｆ［ｆ2（ｂ）］｝＝ｆ2（ｂ），故｜ｆ（ｂ）｜＝｜ｂ｜．6．（1）对任一ｘ∈Ｍ，ｆ（ｘ）＝ｘ，于是ｆ［ｆ（ｘ）］＝ｆ（ｘ）＝ｘ，即ｘ∈Ｎ，故ＭＮ．（2）成立．设ｆ（ｘ）为增函数，若ｘＭ，则ｆ（ｘ）＞ｘ或ｆ（ｘ）＜ｘ；前者导出ｆ［ｆ（ｘ）］＞ｆ（ｘ）＞ｘ，后者导出ｆ［ｆ（ｘ）］＜ｆ（ｘ）＜ｘ，故总有ｘＮ，因此ＮＭ．结合（1），Ｍ＝Ｎ．7．388．解答见文［2］．参考文献1．甘大旺．复合函数的反函数．中学数学，2000，22．单土尊．数学奥林匹克题典．南京：南京大学出版社，1995（本期“高中竞赛初级讲座”特邀编辑刘康宁）。
序轴法——复合函数单调区间的一种简捷求法复合函数是高中数学中的一类重要函数，讨论复合函数的单调性，求出其单调区间是复合函数问题中的一类重要问题。
而一些书刊上对复合函数单调区间的求法过于繁琐，本文介绍一种求复合函数单调区间的简捷方法，供大家参考。
本文介绍的复合函数单调区间求法的理论依据是下面的 定理（判定定理）：若)(,),(),(1211x x x y F u F u F n n +=== 都是单调函数，则n 次复合函数][}{)(121x y F F F n += 在其定义域内也是单调函数，且它为增函数的充要条件是),(1x y F=),(21x Fu =)(,1x F u n n += 中减函数的个数为偶数；它为减函数的充要条件是)(,),(),(1211x x x y F u F u F n n +=== 中减函数的个数为奇数。
[]1下面我们先通过一个例子来说明具体的方法。
例1． 已知x x x f 228)(-+=，若)2()(2x f x g -=，求函数)(x g 的单调区间。
（89年高考理科（11）改编--原题为选择题）解：令t=2x 2-,则82)(2++-=t t f t ，故)(x g 是由这两个函数复合而成的，定义域为实数集R 。
当,1<t 即1122-<⇔<-x x 或1>x 时，)(t f ； 当,1≥t 即11221≤≤-⇔-≥x x 时， )(t f ； 当0<x 时，)(x t ；当0≥x 时，)(x t 。
将-1,0.1按大小顺序标在以向右为正方向的有向直线上（由于不考虑单位，只考虑顺序，故称这条直线为“序轴”），再把各层函数的增减性用升、降箭头标在相应区间上方，然后，在序轴下方的相应区间，根据复合函数单调性的判定定理，用箭头标出复合函数的单调性。
如（图1）)(x t ： )(t f ：)(x g ： -1 0 1 x（图1）由图1可知，)(x g 的递增区间为](1,-∞-，[0，1]；递减区间为（-1，0），（1，+)∞。
函数与不等式的联系在数学中，函数和不等式是两个常见而重要的概念。
函数描述了一种输入与输出之间的关系，而不等式则描述了数值之间的大小关系。
尽管看似截然不同，然而函数和不等式之间存在着密切的联系。
本文将从不同的角度来探讨函数与不等式之间的联系，并讨论在解决数学问题时如何使用这种联系。
一、函数与不等式的图像表示函数可以通过图像来表示，而不等式也可以在坐标系中用图形表示。
当我们将一个函数和一个不等式在同一坐标系中绘制时，这两者之间的联系就显现出来了。
考虑一个简单的一元一次函数y = kx + b和一个一元一次不等式y > kx + b，其中k和b为实数。
可以发现，这两者的图像都是一条直线，只是函数表示的是直线上的所有点，而不等式则表示直线上方的点。
因此，即使二者在形式上不同，但其图像表达了相似的理念。
二、函数与不等式的解集一个函数的解集是其定义域内满足关系式的所有输入值组成的集合。
类似地，一个不等式的解集是满足不等式关系的所有数值组成的集合。
函数的解集可以通过求解函数的方程来得到，而不等式的解集则需要通过求解不等式来得到。
不过，需要注意的是，在解不等式时，解集往往是一个区间，而不是一个离散的集合。
在这个意义上，函数和不等式的解集有一些区别，但它们的解集概念都依赖于满足给定关系的输入值。
三、函数的增减性与不等式的大小关系函数的增减性是指函数值随着自变量的变化而增加或减少的性质。
而不等式则描述了数值之间的大小关系。
这两者之间存在着紧密的联系。
考虑一个简单的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数，且a ≠ 0。
当a > 0时，函数是开口向上的，且在定义域内单调递增；当a < 0时，函数是开口向下的，且在定义域内单调递减。
与之对应的是，当a > 0时，不等式ax^2 + bx + c > 0表示一个开口向上的抛物线上方的数值范围；当a < 0时，不等式ax^2 + bx + c < 0表示一个开口向下的抛物线下方的数值范围。
初中数学知识点必备：不等式学校数学学问点：不等式1用小于号或大于号表示大小关系的式子，叫做不等式(inequality)。
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
能使不等式成立的x的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集(solution set)。
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式(linear inequality of one unknown)。
不等式的性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的`方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向转变。
三角形中任意两边之差小于第三边。
三角形中任意两边之和大于第三边。
不等式(组)1、不等式：用不等号(“”、“≤”、“”、“≥”、“≠”)表示不等关系的式子。
2、不等式的基本性质：(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向转变。
3、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
4、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的全部解，组成这个不等式的解集。
提示大家：解不等式指的是求不等式解集的过程叫做解不等式。
学校数学学问点：不等式21.二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数项的次数是1，这样的方程是二元一次方程.留意：一般说二元一次方程有很多个解.2.二元一次方程组：两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组.3.二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解.留意：一般说二元一次方程组只有解(即公共解).4.二元一次方程组的解法：(1)代入消元法；(2)加减消元法；(3)留意：推断如何解简洁是关键。
5.一次方程组的应用：(1)对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能简单一些，但解方程组可能比较麻烦，反之则难列易解(2)对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值；(3)对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可以求出任何两个未知数的关系。
复合函数复合函数是中学数学里，深化函数概念、提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具，是进一步学习高等数学的重要基础，也是历年高考常考不衰的热点。
但高中数学教材未作介绍，而其他教辅资料上也仅给出描述性的非严格定义，因此，高一数学教学与高考数学复习中，介绍有关内容很有必要。
一、复合函数的概念我们常见的复合函数的描述性定义是：如果y 是u 的函数，而u 又是x 的函数，即)(u f y =，)(x g u =，那么y 关于x 的函数)]([x g f y =叫做函数f 和g 的复合函数，u 叫做中间变量。
例如x y 2sin =它与x y sin =不同，不是基本初等函数，而是由三角函数u y sin =和一次函数x u 2=经过“复合”而成的一个函数。
由于上述定义中对“复合”的定义没有明确界定，因而很多同学对复合函数的概念似是而非，含混不清，为此，我们精读这个定义，字斟句酌，纠错补缺，以使我们正确理解复合函数的概念。
1、由字面理解“复合”本来是指“合在一起，结合起来”的意思，但在复合函数的定义中，对复合步骤的方式有特殊的约定。
它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来，得到的形如)()(x g b x f a ⋅±⋅或)()(x g b x f a ⋅⋅⋅的函数，而是专指把几个映射，像工厂中的生产流水线，依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射，构作的一个复合映射确定的函数。
这里的几个映射可以相同，也可以不同，但只能是常数与基本初等函数间进行的幂运算、指数运算、对数运算、三角运算、反三角运算等。
自变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射，一直到通过全部映射。
例如，复合函数x y 2sin =是自变量x 先“乘2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y 关于x 的一个函数x y 2sin =，因此有人说复合函数是函数的函数。
为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数。
