复合函数单调性的判断

函数单调性的判定方法
函数单调性的判断方法有导数法、定义法、性质法和复合函数同增异减法。

首先对函
数进行求导，令导函数等于零，得X值，判断X与导函数的关系，当导函数大于零时是增
函数，小于零是减函数。

(1)证明一个函数的单调性的'方法：定义法，导数法；
(2)推论一个函数的单调性的常用方法：定义法，导数法，图象法，化归常用函数法，运用无机函数单调性规律。

3.常用复合函数单调性规律：
(1)若函数f(x),g(x)在区间d上均为减(减至)函数，则函数f(x)+g(x)在区间d上仍
为减(减至)函数。

(2)若函数f(x)在区间d上为增(减)函数，则函数-f(x)在区间d上为减(增)函数。

(3)无机函数f[g(x)]的单调性的推论分后两步：ⅰ考量函数f[g(x)]的定义域；ⅱ利
用内层函数t=g(x)和外层函数y=f(t)确认函数f[g(x)]的单调性，法则就是“同增异减至”，即为内外函数单调性相同时为增函数，内外层函数单调性恰好相反时为减至函数。

复合函数的单调性的判断方法
复合函数的单调性判断：依y=f(u)，u=φ(x)的单调性来决定。

即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。

判断复合函数单调性的步骤
⑴求复合函数的定义域；
⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；
⑶判断每个常见函数的单调性；
⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；
⑸求出复合函数的单调性。

复合函数的单调性判断说明
1、讨论函数的单调性必须在定义域内进行，即函数的单调区间是其定义域的子集，因此讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域。

2、函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点。

关于复合函数的单调性问题函数单调性是函数的核心内容之一，也是高考中重点考查的知识，又多以考查复合函数的单调性居多. 复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=f[g(x)]是增(减)函数，可概括为“同增异减” .为了帮助学生对复合函数的单调性进一步有一个全面的认识，本文结合几道例题，对复合函数的单调区间的求法及单调性的应用加以归纳总结，供学生在学习中参考.一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：例1已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是( )(A).(0,1) (B).(1,2)(C).(0,2) (D). 2，+∞)解：设y= logau，u=2-ax，∵a是底数，所以a>0，∵函数y=loga u在u∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax在区间x∈[0,1]上是减函数，∴y= logau是u∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，令g(x)= 2-ax，由{g(0)=2-a·0>0g(1)=2-a·1>0 ，解得a0知函数的定义域为x ＜1或x＞3因y=㏑u在u∈(0,+∞)上是增函数，而u= x2－4x+3在x∈(-∞，1)上是减函数，在(3，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，函数y=㏑(x2－4x+3) 在x∈(-∞，1)上是减函数，在(3，+ ∞)上是增函数。

例3讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。

解：函数定义域为R。

令u=x2-4x+3，y=0.8u。

指数函数y=0.8u在(-∞，+∞)上是减函数，u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，∴函数y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。

三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：例4 在下列各区间中，函数y=sin(x+π4)的单调递增区间是( )(A).[π2，π](B).[0，π4] (C).[-π，0](D). [π4，π2]解：令y=sinu，u=x+π4，∵y=sinu在u ∈[2kπ- π2，2kπ+ π2](k∈Z)上单调递增，在u ∈[2kπ- π2，2kπ+π2](k∈Z)上单调递增，而u=x+π4在R上是增函数，根据函数单调性的复合规律，由2kπ- π2≤x+π4≤2kπ+ π2得2kπ- 3π4≤x≤2kπ+π4，当k=0时，- 3π4≤x≤π4，故选(B) .例5讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。

复合函数单调性的判定方法定理设y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的减函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同．证明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x1＜x2＜b，则有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是减函数得f[g(x1)]＞f[g(x2)]，故f[g(x)]在(a，b)上是减函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是增函数．(2)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x1＜x2＜b，则有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是增函数，得f[g(x1)]＜f[g(x2)]，所以f[g(x)]在(a，b)上是增函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是减函数．由此定理可知，复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础．若能对各种初等函数的图象了如指掌，则对复合函数的单调性的判定将大有裨益．我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性，判定它的单调区间和函数值域，再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性．例1讨论函数f(x)＝log0.5(x2＋4x＋4)的单调性．解 f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f(x)可视为y＝log0.5u与u＝x2＋4x＋4复合而成．u的图象是以x＝－2为对称轴，开口向上的抛物线，在(－∞，－2)上为减函数，在(－2，＋∞)上为增函数．又y＝log0.5u在其定义域上是减函数，故f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．例2试求函数f(x)＝2x2的单调区间．解函数f(x)＝2x2可视为f(u)＝2u与u＝x2复合而成．函数u ＝x2在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，且u≥0．函数f(u)＝2u在u≥0时为增函数．所以，f(x)在(－∞，0]上为减函数．在[0，＋∞)上为增函数．推论由有限个简单函数复合而成的多重复合函数，若在所讨论的区间内每个简单函数均有意义，且均为严格单调函数．当其中减函数的个数是偶数时，则复合函数是增函数；当减函数的个数是奇数时，则复合函数是减函数．(1)若0＜a＜1．当x＜－1时，在构成复合函数的三个函数中，u和v＝x2－x－2是减函数，则f(x)是增函数．当x＞2时，y＝logau是减函数，则f(x)在构成复合函数的三个函数中，只有y＝loga是减函数．(2)若a＞1，当x＜－1时，构成复合函数的三个函数中只有一个函数y＝logu是减函数，则f(x)是减函数．当x＞2时，构成a复合函数的三个函数都是增函数，则f(x)是增函数．。

复合函数单调性一般地，设函数)(x g =ω在区间M 上有意义，函数)(ωf y =在区间N 上有意义，且当M x ∈时，N ∈ω有以下四种情况：（1）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数；（2）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；（3）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；（4）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数。

注意：内层函数)(x g =ω的值域是外层函数)(ωf y =的定义域的子集。

规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。

即我们所说的“同增异减”规律。

求y=122)21(--x x 的单调区间.解 ： 设y=u)21(.由u ∈R,u=x 2－2x －1,解得原复合函数的定义域为x ∈R.因为y=u)21(在定义域R 内为减函数,二次函数u=x 2－2x －1的单调性与复合函数的单调性相反.易知,u=x 2－2x －1=(x －1)2－2在x ≤1时单调减，由x ∈R, (复合函数定义域)x ≤1， (u 减)解得x ≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间. y=x17.0;((－∞，0)，(0，+∞)均为单调增区间.)y=232x -;(－∞，0)为单调增区间，(0，+∞)为单调减区间) y=3)31(+x ,((－∞，+∞)为单调减区间.)y=227x x -；((－∞，1)为单调增区间，(1，+∞)为单调减区间.)指数运算和指数函数1.根式的性质（1）当n 为奇数时，有a a n n = （2）当n 为偶数时，有⎩⎨⎧<-≥==)0(,)0(,a a a a a a n n （3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零2.幂的有关概念(1)正整数指数幂：)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a n n(2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1*∈≠=-N p a a ap p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a n m n m且(5)负分数指数幂 n mn ma a 1=-)1,,,0(>*∈>n N n m a 且(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义3.有理指数幂的运算性质(1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=⋅+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>=(3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>⋅=4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数。

复合单调性和单调区间的判别步骤
一、两层复合
第一步：求定义域
第二步：确定内外层函数的解析式。

第三步：画出内外图像对称轴，对称零点分区间。

内层图像分上下，❶❹上❷❸下，外层图像分左右，❷❸左❶❹右；同号增减定把复合断。

第四步：理清突变点，指的是内层函数的零点或者是区间端点。

如果零点不知道，根据内外层函数相互示解。

结论：
1、一种关系：内层的y 轴相当于u ，u 相当于外层x 轴；外层y 轴的增减就是复合函数单调性；
2、最终定论：（1）复合函数的单调性最终由外层u 的增减变化和外层图像的增减来确定。

（2）内层函数的单调区间就是复合函数的单调区间；
3、一个原则：不论是定内层函数的单词性还是外层函数的单调性，其原则都是“同增异减”.
4、序号对应：内层图像分上下，上❶❹下❷❸，外层图像分左右，左❷❸右❶❹
内层图像和外层图像决定复合函数的单调性，内层区间就是复合函数的单调区间。

复合单调性的判别
1、一次函数+二次函数 2
325-
=⇐=u x 突变点
2、根含二次类 02
3=⇐-=u x 突变点
3、根含分式类
4、抽像一次类
5、抽象二次类
6、内外二次类
•
7、抽象分式类
分三类讨论突变点有两个
三、三层复合函数的单调性的判断
如果氢前两层看成一个整体，先把前两层进行复合，依旧遵行同增异减，复合后再和第三层复合依旧遵循同增异减的规律，若只有一层递减则整体递减。

，这点其实像正负数乘法的规律因为减减为增抵消了
由于根式不改变内层函数的单调性。

所以我们可以把分式函数看居是两层。

求解复合函数单调性【引理证明】已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =,)(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <，故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. 【方法技巧】1．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。

为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 2．复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ 确定函数的定义域；ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。

ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。

【例题演练】例1、 求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则)32(log 121211--=x x y )32(log 222212--=x x y---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为}.31,1|{-<>x x x 或则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.若31-<x ，∵1232--=x x u 为减函数. ∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。

复合函数单调性的判定方法定理设y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的减函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同．证明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x1＜x2＜b，则有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是减函数得f[g(x1)]＞f[g(x2)]，故f[g(x)]在(a，b)上是减函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是增函数．(2)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x1＜x2＜b，则有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是增函数，得f[g(x1)]＜f[g(x2)]，所以f[g(x)]在(a，b)上是增函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是减函数．由此定理可知，复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础．若能对各种初等函数的图象了如指掌，则对复合函数的单调性的判定将大有裨益．我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性，判定它的单调区间和函数值域，再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性．例1讨论函数f(x)＝log0.5(x2＋4x＋4)的单调性．解f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f(x)可视为y＝log0.5u与u＝x2＋4x＋4复合而成．u的图象是以x＝－2为对称轴，开口向上的抛物线，在(－∞，－2)上为减函数，在(－2，＋∞)上为增函数．又y＝log0.5u在其定义域上是减函数，故f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．例2试求函数f(x)＝2x2的单调区间．解函数f(x)＝2x2可视为f(u)＝2u与u＝x2复合而成．函数u＝x2在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，且u≥0．函数f(u)＝2u在u≥0时为增函数．所以，f(x)在(－∞，0]上为减函数．在[0，＋∞)上为增函数．推论由有限个简单函数复合而成的多重复合函数，若在所讨论的区间内每个简单函数均有意义，且均为严格单调函数．当其中减函数的个数是偶数时，则复合函数是增函数；当减函数的个数是奇数时，则复合函数是减函数．(1)若0＜a＜1．当x＜－1时，在构成复合函数的三个函数中，y＝log a u和v＝x2－x－2是减函数，则f(x)是增函数．当x＞2时，在构成复合函数的三个函数中，只有y＝log a u是减函数，则f(x)是减函数．(2)若a＞1，当x＜－1时，构成复合函数的三个函数中只有一个函数y＝log a u是减函数，则f(x)是减函数．当x＞2时，构成复合函数的三个函数都是增函数，则f(x)是增函数．。

复合函数的单调性
例1.（1）判断y=单调性。

解：判断函数y 的定义域，易知定义域为R 设u=,y= (将原函数分解为内函数和外函数) 由u==知u 在（-∞，-2]上为减函数，(-2,+∞)在上为增函数， y=为减函数 （分别判断内外函数的单调性） ∴原函数的增区间为（-∞，-2],减区间为（-2，+∞）
（2）判断32x y -=单调性
小结：求指数型复合函数单调性步骤：
第一步，确定复合函数的定义域，即看内外函数对自变量x 的限制，然后解不等式，求交集。

第二步，将原函数分解为初等函数y=f(u),g(x)的形式，
第三步，分别y=f(u),g(x)的单调区间
第四步，根据“同增异减”给出原函数的单调区间。

练习1.
（1）函数y=的单调递增区间为（ ）
A,(-∞,0] B[0,+∞) C(-∞,-1] D[1,+∞)（2 ) 函数y=2(x 3)2+的单调递增区间为____________________
（3）求函数y=232x
x a -++的单调区间
例2.求y=的单调区间
2412x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭
2x 4x +12u ⎛⎫ ⎪⎝⎭
2x 4x +2
(x 2)4+-12u
⎛⎫ ⎪⎝⎭
2112x -⎛⎫ ⎪⎝
⎭
练习2.
求12y ⎛=
⎪⎝⎭
例3.求函数y=的单调区间与值域
练习3.求函数y=的单调区间与值域
21223x x +-+x 11242x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

复合函数单调性的判断))((x g f y =以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.1求函数y=21log （4x-x 2）的单调区间.2、 求函数()231x y =的单调性及最值3.在区间(－∞，0)上为增函数的是 A.)(log 21x y --= B.x x y -=1 C.y =－(x +1)2 D.y =1+x 23、求函数)12(log )(21+=x x f 的单调区间.4、（1）函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________；（2）函数)34(log )(221-+-=x x x f 的递减区间为_________5、设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是 （ ）（A ）)(1x f y -= （B ）)(2x f y = （C ）)(log 21x f y = （D ）2)]([x f y =7、下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是 （ ）（A ）842+-=x x y （B ）)(log 21x y -=（C ）12+-=x y （D ）x y -=120.函数342-+-=x x y 的单调增区间是 A.［1，3］ B.［2，3］ C.［1，2］ D.(－∞，2]21.函数y=在区间[4，5]上的最大值是_______，最小值是_______。

21.若函数f (x )在R 上是减函数，那么f (2x －x 2)的单调增区间是 A.(－∞，1］ B.［－1，+∞) C.(－∞，－1］ D.［1，+∞)31.函数y=log a2(x2-2x-3)当x<-1时为增函数，则a的取值范围是A.a>1B.-1<a<1C.-1<a<1且a 0D.a>1或a<-1例7.若f(x)=log a(3-ax)在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是_______。