一次函数之存在性问题

一次函数的应用—线段和差、存在性问题一、一次函数线段和差最值问题【知识点】1. 最短路径原理【原理1】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小。

连AB，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为AB．【原理2】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作 B 关于l 的对称点B＇连A B＇，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【原理3】作法作图原理在直线l 上求一点P，使作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB .PBPA－（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式；（2）求三角形周长最小值；（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。

3. 口诀：“和小异，差大同”（一）一次函数线段和最小值问题【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy中，y轴上有一点P，它到点(4,3)A，(3,1)B 的距离之和最小，则点P的坐标是()A．(0,0)B．4(0,)7C．5(0,)7D．4(0,)5的值最大 .【原理4】作法作图原理在直线l 上求一点P，使的值最大 .作B 关于l 的对称点B＇作直线A B＇，与l交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤A B＇ .PB PA－PB PA－PB PA－★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)B-，在x轴上存在点P到A，B两点的A，点(2,1)距离之和最小，则P点的坐标是．★★☆练习2．如图，直线34120+-=与x轴、y轴分别交于点B、A两点，以线段AB为边在第一象限x y内作正方形ABCD．若点P为x轴上的一个动点，求当PC PD+的长最小时点P的坐标．★★☆例题2．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3∆的周长最小时，求点E OB=，D为边OB的中点，若E为x轴上的一个动点，当CDEOA=，4的坐标()A ．(3,0)-B ．(1,0)C ．(0,0)D ．(3,0)★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C 是y 轴上的一个动点，连接AC 、BC ，当ABC ∆的周长最小值时，ABC ∆的面积为 ．★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边 在第二象限内作正方形ABCD ．（1）求点A 、B 的坐标，并求边AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）在x 轴上找一点M ，使MDB ∆的周长最小，请求出M 点的坐标，并直接写出MDB ∆的周长最小值．（二）一次函数线段差最大值问题【例题讲解】★★☆例题1．已知，如图点(1,1)A，(2,3)B-，点P为x轴上一点，当||PA PB-最大时，点P 的坐标为()A．1(,0)2B．5(,0)4C．1(,0)2-D．(1,0)★★☆练习1．平面直角坐标系中，已知(4,3)A、(2,1)B，x轴上有一点P，要使PA PB-最大，则P点坐标为★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(6,0)，点P在一次函数1322y x =+的图象上运动，则PB PA -的最大值为( )A ．2B ．233C ．4D ．143【题型知识点总结】一次函数最短路径问题注意事项：1. 根据“和小异，差大同”判断是否需要作对称；2. 作对称时注意要选取动点运动的直线为对称轴作某一定点的对称点。

一次函数与平行四边形1.线段中点公式平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1，y 1)，点B 坐标为(x 2，y 2)，则线段AB 的中点P 的坐标为 （2,22121y y x x ++） 例：如图，已知点A (-2，1)，B (4，3)，则线段AB 的中点P 的坐标是________.2.线段的平移平面内，线段AB 平移得到线段A'B' ，则①AB ∥A'B' ，AB =A'B' ；②AA'∥BB'，AA'= BB'. 如图，线段AB 平移得到线段A'B' ，已知点A (-2，2)，B (-3，-1)， B' (3，1)，则点A'的坐标是________.%例：如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点坐标分别为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)，已知其中3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标"例：如图，已知□ABCD 中A (-2，2)，B (-3，-1)， C (3，1)，则点D 的坐标是________. 方法一：利用线段平移总结：x 1-x 2= x 4-x 3，y 1-y 2= y 4-y 3 或者 x 4-x 1= x 3-x 2，y 4-y 1= y 3-y 2 等方法二：利用中点公式总结：x 1+x 3= x 2+x 4，y 1+y 3= y 2+y 4类型一：三定一动例1 、如图，平面直角坐标中，已知中A(-1，0)，B(1，-2)，C (3，1)，点D是平面内一动点，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_________________________________.*总结：三定一动问题，可以通过构造中点三角形得以解决.说明：若题中四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标只有一个结果________【例1】．一次函数y ＝x +3与y ＝﹣x +q 的图象都过点A （m ，0），且与y 轴分别交于点B 、C ．（1）试求△ABC 的面积；（2）点D 是平面直角坐标系内的一点，且以点A 、C 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D 的坐标；（3）过△ABC 的顶点能否画一条直线，使它能平分△ABC 的面积若能，求出直线的函数关系式，若不能，说明理由．【解答】解：（1）将点A （m ，0）代入y ＝x +3中，得$m +3＝0，解得m ＝﹣3，即点A （﹣3，0），将点A （﹣3，0）代入y ＝﹣x +q 中，得q ＝﹣3，∴点B （0，3）、C （0，﹣3），故S =12×BC ×AO ＝9；（2）满足条件的D 点坐标为D （﹣3，6）、D （﹣3，﹣6）、D （3，0）；（3）若过点A ，则得直线l ：y ＝0；若过点C ，则得直线l ：y ＝﹣3x ﹣3；@若过点B ，则得直线l ：y ＝3x +3．例2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线PA 是一次函数y ＝x +m （m ＞0）的图象，直线PB 是一次函数y ＝﹣3x +n （n ＞m ）的图象，点P 是两直线的交点，点A 、B 、C 、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用m 、n 分别表示点A 、B 、P 的坐标及∠PAB 的度数；（2）若四边形PQOB 的面积是112，且CQ ：AO ＝1：2，试求点P 的坐标，并求出直线PA 与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D ，使以A 、B 、P 、D 为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在直线y ＝x +m 中，令y ＝0，得x ＝﹣m ．∴点A （﹣m ，0）．…在直线y ＝﹣3x +n 中，令y ＝0，得x =x 3． ∴点B （x 3，0）． 由{x =x +x x =−3x +x ，得{x =x −x 4x =x +3x 4，∴点P （x −x 4，x +3x 4）． 在直线y ＝x +m 中，令x ＝0，得y ＝m ，∴|﹣m |＝|m |，即有AO ＝QO ．又∵∠AOQ ＝90°，∴△AOQ 是等腰直角三角形，∴∠PAB ＝45°．（2）∵CQ ：AO ＝1：2，,∴（n ﹣m ）：m ＝1：2，整理得3m ＝2n ，∴n =32m ， ∴x +3x 4=32x +3x 4=98m ， 而S 四边形PQOB ＝S △PAB ﹣S △AOQ =12（x 3+m ）×（98m ）−12×m ×m =1132m 2=112， 解得m ＝±4，∵m ＞0，∴m ＝4，∴n =32m ＝6，∴P （12，92）． ！∴PA 的函数表达式为y ＝x +4，PB 的函数表达式为y ＝﹣3x +6．（3）存在．过点P 作直线PM 平行于x 轴，过点B 作AP 的平行线交PM 于点D 1，过点A 作BP 的平行线交PM 于点D 2，过点A 、B 分别作BP 、AP 的平行线交于点D 3．①∵PD 1∥AB 且BD 1∥AP ，∴PABD 1是平行四边形．此时PD 1＝AB ，易得x 1(132，92)； ②∵PD 2∥AB 且AD 2∥BP ，∴PBAD 2是平行四边形．此时PD 2＝AB ，易得x 2(−112，92)；③∵BD 3∥AP 且AD 3∥BP ，此时BPAD 3是平行四边形．】∵BD 3∥AP 且B （2，0），∴y BD 3＝x ﹣2．同理可得y AD 3＝﹣3x ﹣12{x =x −2x =−3x −12， 得{x =−52x =−92，∴x 3(−52，−92)．3．如图，在等边△ABC 中，BC ＝8cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm /s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动，设运动时间为t （s ）．（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：△ADE ≌△CDF ；（2）填空：#①当t 为 s 时，以A 、F 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形；②当t 为 s 时，四边形ACFE 是菱形．【解答】（1）证明：∵AG ∥BC ，∴∠EAD ＝∠DCF ，∠AED ＝∠DFC ，∵D 为AC 的中点，∴AD ＝CD ，∵在△ADE 和△CDF 中，{∠xxx =∠xxx∠xxx =∠xxx xx =xx，∴△ADE ≌△CDF （AAS ）；（2）解：①当点F 在C 的左侧时，根据题意得：AE ＝tcm ，BF ＝2tcm ，·则CF ＝BC ﹣BF ＝6﹣2t （cm ），∵AG ∥BC ，∴当AE ＝CF 时，四边形AECF 是平行四边形，即t ＝8﹣2t ，解得：t =83； 当点F 在C 的右侧时，根据题意得：AE ＝tcm ，BF ＝2tcm ，则CF ＝BF ﹣BC ＝2t ﹣8（cm ），∵AG ∥BC ，∴当AE ＝CF 时，四边形AEFC 是平行四边形，即t ＝2t ﹣8，]解得：t ＝8；综上可得：当t =83或8s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形．②若四边形ACFE 是菱形，则有CF ＝AC ＝AE ＝8，则此时的时间t ＝8÷1＝8（s ）；故答案是：83或8；8．|4．已知，Rt △OAB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴和y 轴上，如图1，A ，B 坐标分别为（﹣2，0），（0，4），将△OAB 绕O 点顺时针旋转90°得△OCD ，连接AC 、BD 交于点E ．（1）求证：△ABE ≌△DCE ．（2）M 为直线BD 上动点，N 为x 轴上的点，若以A ，C ，M ，N 四点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M 点的坐标．（3）如图2，过E 点作y 轴的平行线交x 轴于点F ，在直线EF 上找一点P ，使△PAC 的周长最小，求P 点坐标和周长的最小值．【分析】（1）由A 、B 的坐标可求得AO 和OB 的长，由旋转的性质可求得OC 、OD 的长，从而可求得∠AEB ＝90°，再由勾股定理可求得CD 和AB 的长，可求得AB ＝CD ，可证得△ABE ≌△DCE ；（2）由B 、D 坐标可求得直线BD 解析式，当M 点在x 轴上方时，则有CM ∥AN ，则可求得M 点纵坐标，代入直线BD 解析式可求得M 点坐标，当M 点在x 轴下方时，同理可求得M 点纵坐标，则可求得M 点坐标；）（3）由AE ＝DE 可知A 、D 关于EF 对称，连接CD 交EF 于点P ，则P 点即为满足条件的点，由C 、D 坐标可求得直线CD 的解析式，则可求得P 点坐标，利用勾股定理可分别求得AC 和CD 的长，则可求得此时△PAC 的周长．【解答】解：（1）∵A （﹣2，0），B （0，4），∴OA ＝2，OB ＝4，∵将△OAB 绕O 点顺时针旋转90°得△OCD ，∴OC ＝OA ＝2，OD ＝OB ＝4，AB ＝CD ，∴∠ACO ＝∠ECB ＝∠CBE ＝45°，∴∠CEB ＝90°，∴∠AEB ＝∠CED ，且CE ＝BE ，在Rt △ABE 和Rt △DCE 中：{xx =xx xx =xx∴Rt △ABE ≌Rt △DCE （HL ）；（2）由（1）可知D （4，0），且B （0，4），∴直线BD 解析式为y ＝﹣x +4，当M 点在x 轴上方时，则有CM ∥AN ，即CM ∥x 轴，∴M 点到x 轴的距离等于C 点到x 轴的距离，∴M 点的纵坐标为2，在y ＝﹣x +4中，令y ＝2可得x ＝2，∴M （2，2）；当M 点在x 轴下方时，同理可得M 点的纵坐标为﹣2，(在y ＝﹣x +4中，令y ＝﹣2可求得x ＝6，∴M 点的坐标为（6，﹣2）；综上可知M 点的坐标为（2，2）或（6，﹣2）；（3）由（1）可知AE ＝DE ，∴A 、D 关于直线EF 对称，连接CD 交EF 于点P ，则PA ＝PD ， ∴PA +PC ＝PD +PC ＝CD ，∴满足△PAC 的周长最小，∵C （0，2），D （4，0），∴可设直线CD 解析式为y ＝kx +2，∴4k +2＝0，解得k =−12， ∴直线CD 解析式为y =−12x +2，∵A （﹣2，0），D （4，0），∴F （1，0），即直线EF 解析式为x ＝1，在y =−12x +2中，令x ＝1可得y =32， ∴P （1，32）， 在Rt △AOC 中，由勾股定理可求得AC ＝2√2， 在Rt △COD 中，由勾股定理可求得CD =√22+42=2√5， ∴PA +PC +AC ＝CD +AC ＝2√5+2√2， 即△PAC 的周长最小值为2√5+2√2．。

专题十五 一次函数中的（特殊图形）存在性问题考点一 直角三角形存在性问题【方法点拨】分类讨论哪个角为直角，一般分三种情况，简称“两垂线+一圆”1．如图1，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（﹣4，4），点B 的坐标为（4，0）．（1）求直线AB 的解析式；（2）点M 是坐标轴上的一个点，若AB 为直角边构造直角三角形△ABM ，请求出满足条件的所有点M 的坐标；（3）如图2，以点A 为直角顶点作∠CAD ＝90°，射线AC 交x 轴的负半轴与点C ，射线AD 交y 轴的负半轴与点D ，当∠CAD 绕点A 旋转时，OC ﹣OD 的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．【思路点拨】（1）由A 、B 两点的坐标利用待定系数法可求得直线AB 的解析式；（2）分别过A 、B 两点作AB 的垂线，与坐标轴的交点即为所求的M 点，再结合相似三角形的性质求得OM 的长即可求得点M 的坐标；（3）过A 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，可证明△AEC ≌△AFD ，可得到EC ＝FD ，从而可把OC ﹣OD 转化为FD ﹣OD ，再利用线段的和差可求得OC ﹣OD ＝OE +OF ＝8；【解析】解：（1）设直线AB 的解析式为：y ＝kx +b （k ≠0）．∵点A （﹣4，4），点B （0，2）在直线AB 上，∴{−4k +b =4b =2，解得{k =−12b =2， ∴直线AB 的解析式为：y =−12x +2；（2）∵△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形，∴有∠BAM ＝90°或∠ABM ＝90°，①当∠BAM ＝90°时，如图1，过A 作AB 的垂线，交x 轴于点M 1，交y 轴于点M 2，则可知△AEM 1∽△BEA ，∴M 1E AE =AE BE ，由（1）可知OE ＝OB ＝AE ＝4，∴M 1E 4=48，解得M 1E ＝2， ∴OM 1＝2+4＝6，∴M 1（﹣6，0），∵AE ∥y 轴，∴M 1EM 1O =AEOM 2，即26=4OM 2，解得OM 2＝12，∴M 2（0，12）；②当∠ABM ＝90°时，如图2，过B 作AB 的垂线，交y 轴于点M 3，设直线AB交y轴于点E，则由（1）可知E（0，2），∴OE＝2，OB＝4，由题意可知△BOE∽△M3OB，∴OEOB =OBOM3，即24=4OM3，解得OM3＝8，∴M3（0，﹣8），综上可知点M的坐标为（﹣6，0）或（0，12）或（0，﹣8）；（3）不变．理由如下：过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H，如图3．则∠AGC＝∠AHD＝90°，又∵∠HOC＝90°，∴∠GAH＝90°，∴∠DAG+∠DAH＝90°，∵∠CAD＝90°，∴∠DAG+∠CAG＝90°，∴∠CAG＝∠DAH．∵A （﹣4，4），∴OG ＝AH ＝AG ＝OH ＝4．在△AGC 和△AHD 中{∠AGC =∠AHD AG =AH ∠CAG =∠DAH∴△AGC ≌△AHD （ASA ），∴GC ＝HD ．∴OC ﹣OD ＝（OG +GC ）﹣（HD ﹣OH ）＝OG +OH ＝8．故OC ﹣OD 的值不发生变化，值为8．【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质及分类讨论思想等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出M 点的位置是解题的关键，在（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．2．已知，如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求经过点E 、D 的直线解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ，使得EF ＝2GO ，请求出此时OG 的长度．（3）对于（2）中的点G ，在直线ED 上是否存点P ，使得点P 与点D 、G 构成的△DPG 是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）只要证明△ADE ∽△BCD ，可得AD BC =AE DB ，求出AE 即可解决问题；（2）由△ADE ≌△RDG ，可得AF ＝RG ，设OG ＝m ，则AF ＝GR ＝2﹣m ，构建方程即可解决问题；（3）分两种情形①作GP ⊥BE 于P ，则△PDG 是直角三角形．②作P ′G ⊥DG 交直线DE 于P ′，则△DGP ′是直角三角形．分别根据一次函数利用方程组确定交点坐标即可；【解析】解：（1）如图1中，∵四边形ABCO 是矩形，∴∠OAB ＝∠B ＝90°，∵∠AOD ＝∠DOC ＝45°，∴OA ＝AD ＝2，DB ＝1，∵DE ⊥DC ，∴∠EDC ＝90°，∴∠ADE +∠BDC ＝90°，∵∠BDC +∠BCD ＝90°，∴∠ADE ＝∠DCB ，∴△ADE ∽△BCD ，∴AD BC =AE DB ，∴AE ＝1，∴E （0，1），设直线DE 的解析式为y ＝kx +b ，则有{b =12k +b =2， 解得{k =12b =1∴直线DE 的解析式为y =12x +1（2）如图2中，作DR ⊥OC 于R ．易知△ADE≌△RDG，∴AF＝RG，设OG＝m，则AF＝GR＝2﹣m，∴EF＝1+2﹣m＝3﹣m，∵EF＝2OG，∴3﹣m＝2m，∴m＝1，∴OG＝1．（3）如图3中，①作GP⊥BE于P，则△PDG是直角三角形．∵G（1，0），GP⊥BE，∴直线PG的解析式为y＝﹣2x+2，由{y =12x +1y =−2x +2，解得{x =25y =65， ∴P （25，65）． ②作P ′G ⊥DG 交直线DE 于P ′，则△DGP ′是直角三角形，∵直线DG 的解析式为y ＝2x ﹣2，∴直线GP ′的解析式为y =−12x +12，由{y =−12x +12y =12x +1，解得{x =−12y =34， ∴P ′（−12，34）， 综上所述，满足条件的点P 坐标为（25，65）或（−12，34）． 【点睛】本题考查一次函数综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．考点二 等腰三角形存在性问题【方法点拨】分类讨论哪两条边相等，一般分三种情况，简称“两圆+一中垂线”1．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴与y 轴上，已知OA ＝6，OB ＝10．点D 为y 轴上一点，其坐标为（0，2），点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿线段AC ﹣CB 的方向运动，当点P 与点B 重合时停止运动，运动时间为t 秒．（1）当点P 经过点C 时，求直线DP 的函数解析式；（2）①求△OPD 的面积S 关于t 的函数解析式；②如图②，把长方形沿着OP 折叠，点B 的对应点B ′恰好落在AC 边上，求点P 的坐标．（3）点P 在运动过程中是否存在使△BDP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）设直线DP 解析式为y ＝kx +b ，将D 与C 坐标代入求出k 与b 的值，即可确定出解析式；（2）①当P 在AC 段时，三角形ODP 底OD 与高为固定值，求出此时面积；当P 在BC 段时，底边OD 为固定值，表示出高，即可列出S 与t 的关系式；②当点B 的对应点B ′恰好落在AC 边上时，关键勾股定理即可求出此时P 坐标；（3）存在，分别以BD ，DP ，BP 为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P 坐标即可．【解析】解：（1）∵OA ＝6，OB ＝10，四边形OACB 为长方形，∴C （6，10）．设此时直线DP 解析式为y ＝kx +b ，把（0，2），C （6，10）分别代入，得{b =26k +b =10， 解得{k =43b =2则此时直线DP 解析式为y =43x +2；（2）①当点P 在线段AC 上时，OD ＝2，高为6，S ＝6；当点P 在线段BC 上时，OD ＝2，高为6+10﹣2t ＝16﹣2t ，S =12×2×（16﹣2t ）＝﹣2t +16；②设P （m ，10），则PB ＝PB ′＝m ，如图2，∵OB ′＝OB ＝10，OA ＝6，∴AB ′=√OB′2−OA 2=8，∴B ′C ＝10﹣8＝2，∵PC ＝6﹣m ，∴m 2＝22+（6﹣m ）2，解得m =103 则此时点P 的坐标是（103，10）；（3）存在，理由为： 若△BDP 为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，①当BD ＝BP 1＝OB ﹣OD ＝10﹣2＝8，在Rt △BCP 1中，BP 1＝8，BC ＝6，根据勾股定理得：CP 1=√82−62=2√7，∴AP 1＝10﹣2√7，即P 1（6，10﹣2√7）；②当BP 2＝DP 2时，此时P 2（6，6）；③当DB ＝DP 3＝8时，在Rt △DEP 3中，DE ＝6，根据勾股定理得：P 3E =√82−62=2√7，∴AP 3＝AE +EP 3＝2√7+2，即P 3（6，2√7+2），综上，满足题意的P 坐标为（6，6）或（6，2√7+2）或（6，10﹣2√7）．【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．2．如图①，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，点A坐标为（14，0），点B在第一象限，∠BAO＝45°，AB＝8√2．D为射线OB上一点，过D作直线l∥y轴交OA于E，交射线AB于G．（1）求B点坐标；（2）当D为线段OB中点时，在直线l上找点P，当△PBD为等腰三角形，请直接写出P点坐标；（3）如图②，F为AO中点，当S△BDF＝2S△BDG时，求D点坐标．【思路点拨】（1）先求出BH＝AH＝8，进而求出OH＝6，即可得出结论；（2）先设出点P坐标，进而表示出DP，BP，BD，再分三种情况讨论建立方程求解即可得出结论；（3）先求出OF，直线OB，AB的解析式，进而设出点D的坐标，表示出S△BDG=12|m﹣14|×|6﹣m|，S△BDF ＝|143m﹣28|，最后用面积关系建立方程求解即可得出结论．【解析】解：（1）如图①，过点B作BH⊥OA于H，∵∠BAO＝45°，AB＝8√2，∴BH＝AH=1√2AB＝8，∵A（14，0），∴OA＝14，∴OH＝OA﹣AH＝6，∴B（6，8）；（2）∵DE ⊥OA ，∴DE ∥BH ，∵点D 是OB 中点，∴DE =12BH ＝4，OE =12OH ＝3，∴D （3，4），设P （3，m ），∵B （6，8），∴DP ＝|m ﹣4|，BD ＝5，BP 2＝（m ﹣8）2+9，∵△PBD 为等腰三角形，∴①DP ＝BD ，∴|m ﹣4|＝5，∴m ＝9或m ＝﹣1，∴P （3，9）或（3，﹣1），②DP ＝BP ，∴（m ﹣4）2＝（m ﹣8）2+9，∴m =578， ∴P （3，578）③BD ＝BP ，∴25＝（m ﹣8）2+9，∴m ＝4（舍）或m ＝12，∴P （3，12），即：满足条件的点P （3，9）或（3，﹣1）或（3，578）或（3，12）；（3）如图由（1）知，B （6，8），∴直线OB 的解析式为y =43x ，∵A （14，0），∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +14，∵点F 是OA 中点，∴OF =12OA ＝7，设点D （m ，43m ），∴G （m ，﹣m +14）， ∴S △BDG =12|﹣m +14−43m |×|6﹣m |=12|m ﹣14|×|6﹣m |， S △BDF ＝|S △BOF ﹣S △DOF |＝|12×7×8−12×7×43m |＝|143m ﹣28|，∵S △BDF ＝2S △BDG ，∴|143m ﹣28|＝212|m ﹣14|×|6﹣m |， ∴m ＝4或m ＝8， ∴D （4，163）或（8，323）．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，分类讨论的思想，解本题的关键是用方程的思想解决问题．考点三 等腰直角三角形存在性问题【方法点拨】分类讨论哪个角为直角且哪两条边相等1．正方形OABC 的边长为1，把它放在如图所示的直角坐标系中，点M （t ，0）是x 轴上一个动点（t ≥1），连接BM ，在BM 的右侧作正方形BMNP ；直线DE 的解析式为y ＝2x +b ，与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，当△PDE 为等腰直角三角形时，点P 的坐标是 （2，4）或（2，1） ．【思路点拨】过点P 作PF ⊥BC 交CB 的延长线于点F ，根据同角的余角相等可得∠ABM ＝∠FBP ，然后利用“角角边”证明△ABM 和△FBP 全等，根据全等三角形对应边相等可得BF ＝AB ，PF ＝AM ，然后根据正方形OABC 的边长为2以及点M （t ，0）表示出点P 的坐标，再利用直线DE 的解析式求出点D 、E 的坐标，然后分①DE 是斜边时，利用勾股定理以及两点间的距离公式分别表示出PD 、PE 、DE 的平方，再根据等腰直角三角形的三边关系，②PD 是斜边时，过点P 作PF ⊥y 轴于点F ，然后利用“角角边”证明△EDO 和△PEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得EF ＝DO ，PC ＝EO ，然后用b 、t 表示并求解即可得到点P 的坐标．【解析】解：如图，过点P 作PF ⊥BC 交CB 的延长线于点F ，∵四边形OABC 与四边形BMNP 都是正方形，∴∠ABM +∠MBF ＝90°，∠FBP +∠MBF ＝90°，∴∠ABM ＝∠FBP ，在△ABM 和△FBP 中，{∠ABM =∠FBP∠BAM =∠F =90°BM =BP，∴△ABM ≌△FBP （AAS ），∴BF ＝AB ，PF ＝AM ，∵正方形OABC 的边长为1，点M （t ，0），∴BF ＝1，PF ＝t ﹣1，点P 到x 轴的距离为t ﹣1+1＝t ，∴点P 的坐标为（2，t ），又∵当y ＝0时，2x +b ＝0，解得x =−b 2，当x ＝0时，y ＝b ，∴点D （−b 2，0），E （0，b ），①DE 是斜边时，PD 2＝（b 2+2）2+t 2，PE 2＝（b ﹣t ）2+22，DE 2＝（b 2）2+b 2， ∵△PDE 是等腰直角三角形，∴PD 2＝PE 2，且PD 2+PE 2＝DE 2，即（b 2+2）2+t 2＝（b ﹣t ）2+22，且（b 2+2）2+t 2+（b ﹣t ）2+22＝（b 2）2+b 2， 14b 2+2b +4+t 2＝b 2﹣2bt +t 2+4，且14b 2+2b +4+t 2+b 2﹣2bt +t 2+4=14b 2+b 2， 整理得，b =83（t +1）且t 2﹣b （t ﹣1）+4＝0，∴t 2−83（t +1）（t ﹣1）+4＝0，整理得，t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝﹣2（舍去），∴点P 的坐标是（2，2）；②PD 是斜边时，∵△PDE 是等腰直角三角形，∴PE ⊥DE ，且PE ＝DE ，过点P 作PF ⊥y 轴于点F∵∠DEO +∠PEO ＝90°，∠DEO +∠EDO ＝90°，∴∠PEO ＝∠EDO ，在△EDO 和△PEF 中，{∠PEO =∠EDO ∠DOE =∠EFP =90°PE =DE，∴△EDO ≌△PEF （AAS ），∴EF ＝DO =b 2，PC ＝EO ＝b ，又∵点P （2，t ），∴b ＝2，b ﹣t =b 2，解得t=b2=12×2＝1，∴点P坐标为（2，1），此时点C、F重合，点M、A重合，综上所述，点P的坐标为（2，4）或（2，1）．故答案为：（2，2）或（2，1）．【点睛】本题是一次函数的综合题型，主要利用了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直线与坐标轴的交点的求解，勾股定理的应用，综合题但难度不大，要注意分情况讨论．2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（a，﹣a），与y轴交于点B（0，b），其中a，b满足（a+2）2+√b−3=0．（1）求直线l2的解析式；（2）在平面直角坐标系中第二象限有一点P（m，5），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标；（3）已知平行于y轴且位于y轴左侧有一动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，点Q为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点Q的坐标．【思路点拨】（1）由偶次方及被开方数非负，可求出a 、b 的值，进而可得出点A 、B 的坐标，由点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线l 2的解析式；（2）由△AOP 和△AOB 等底及S △AOP ＝S △AOB ，可得出点P 到AO 的距离与点B 到AO 的距离相等，分点P 在l 1的右侧及点P 在l 1的左侧两种情况考虑：①当点P 在l 1的右侧时，设点P 为P 1，则P 1B ∥l 1，根据平行线的性质结合点B 的坐标可得出直线P 1B 的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P 1的坐标；②当点P 在l 1的左侧时，设点P 为P 2，设直线y ＝5与直线l 1交于点E ，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E 的坐标，再由点E 为P 1P 2中点，可求出点P 2的坐标；（3）设动直线为x ＝t ，由题可得﹣2＜t ＜0，则点M 的坐标为（t ，﹣t ），点N 的坐标为（t ，12t +3），进而可得出MN 的长度．分∠NMQ ＝90°、∠MNQ ＝90°及∠MQN ＝90°三种情况，利用等腰直角三角形的性质可求出点M 、N 、Q 的坐标，此题得解．【解析】解：（1）∵a 、b 满足（a +2）2+√b −3=0，∴a +2＝0，b ﹣3＝0，∴a ＝﹣2，b ＝3，∴点A 的坐标为（﹣2，2），点B 的坐标为（0，3）．设直线l 2的解析式为y ＝kx +c （k ≠0），将A （﹣2，2）、B （0，3）代入y ＝kx +c ，得：{−2k +c =2c =3，解得：{k =12c =3， ∴直线l 2的解析式为y =12x +3．（2）∵S △AOP ＝S △AOB ，∴点P 到AO 的距离与点B 到AO 的距离相等，且点P 位于l 1两侧（如图1）．①当点P 在l 1的右侧时，设点P 为P 1，则P 1B ∥l 1，∴直线P 1B 的解析式为：y ＝﹣x +3，当y ＝5时，有﹣x +3＝5，解得：x ＝﹣2，∴点P 1的坐标为（﹣2，5）；②当点P 在l 1的左侧时，设点P 为P 2，设直线y ＝5与直线l 1交于点E ，则点E 的坐标为（﹣5，5），∵点E 为P 1P 2中点，∴点P 2的坐标为（﹣8，5）．综上所述：点P 的坐标为（﹣2，5）或（﹣8，5）．（3）设动直线为x ＝t ，由题可得﹣2＜t ＜0，则点M 的坐标为（t ，﹣t ），点N 的坐标为（t ，12t +3）， ∴MN =32t +3（如图2）．①当∠NMQ ＝90°时，有MN ＝MQ ，即32t +3＝﹣t ， 解得：t =−65，∴点M 的坐标为（−65，65）． ∵MQ ∥x 轴，∴点Q 的坐标为（0，65）； ②当∠MNQ ＝90°时，有MN ＝NQ ，即32t +3＝﹣t ， 解得：t =−65，∴点N 的坐标为（−65，125）． ∵NQ ∥x 轴，∴点Q 的坐标为（0，125）；③当∠MQN ＝90°时，点Q 到MN 的距离=12MN ，即﹣t =12×（32t +3），解得：t =−67，∴点M 的坐标为（−67，67），点N 的坐标为（−67，187）．∵△MNQ 为等腰直角三角形，∴点Q 的坐标为（0，127）．综上所述：点Q 的坐标为（0，65）或（0，125）或（0，127）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、偶次方及被开方数的非负性、三角形的面积、一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）分点P 在l 1的右侧及点P 在l 1的左侧两种情况求出点P 的坐标；（3）分∠NMQ ＝90°、∠MNQ ＝90°及∠MQN ＝90°三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出点Q 的坐标．3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：y ＝k 1x +2√3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，OA =√3OB ，直线l 2：y ＝k 2x +b 经过点C （1，−√3），与x 轴、y 轴和线段AB 分别交于点E 、F 、D 三点．（1）求直线l 1的解析式；（2）如图①：若EC ＝ED ，求点D 的坐标和△BFD 的面积；（3）如图②：在坐标轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图1中，作CM⊥OA于M，DN⊥CA于N．由△CME≌△DNE（AAS），推出CM＝DN由C（1，−√3），可得CM＝DN=√3，再利用待定系数法即可解决问题；（3）分点P在y轴或x轴两种情形分别求解即可解决问题；【解析】解：（1）∵直线y＝k1x+2√3与y轴B点，∴B（0，2√3），∴OB＝2√3，∵OA=√3OB＝6，∴A（6，0），把A（6，0）代入y＝k1x+2√3得到，k1=−√33，∴直线l1的解析式为y=−√33x+2√3．（2）如图1中，作CM⊥OA于M，DN⊥CA于N．∵∠CME＝∠DNE＝90°，∠MEC＝∠NED，EC＝DE，∴△CME≌△DNE（AAS），∴CM＝DN∵C （1，−√3），∴CM ＝DN =√3，当y =√3时，√3=−√33x +2√3， 解得x ＝3，∴D （3，√3），把C （1，−√3），D （3，√3）代入y ＝k 2x +b ，得到{k 2+b =−√33k 2+b =√3， 解得{k 2=√3b =−2√3， ∴直线CD 的解析式为y =√3x ﹣2√3，∴F （0，﹣2√3），∴S △BFD =12×4√3×3＝6√3．（3）①如图③﹣1中，当PC ＝PD ，∠CPD ＝90°时，作DM ⊥OB 于M ，CN ⊥y 轴于N ．设P （0，m ）．∵∠DMP ＝∠CNP ＝∠CPD ＝90°，∴∠CPN +∠PCN ＝90°，∠CPN +∠DPM ＝90°，∴∠PCN ＝∠DPM ，∵PD ＝PC ，∴△DMP ≌△NPC （AAS ），∴CN ＝PM ＝1，PN ＝DM ＝m +√3，∴D （m +√3，m +1），把D 点坐标代入y =−√33x +2√3，得到：m +1=−√33（m +√3）+2√3，解得m ＝4√3−6，∴P （0，4√3−6）．②如图③﹣2中，当PC＝PC，∠CPD＝90时，作DM⊥OA于M，CN⊥OA于N．设P（n，0）．同法可证：△DMP≌△PNC，∴PM＝CN=√3，DM＝PN＝n﹣1，∴D（n−√3，n﹣1），把D点坐标代入y=−√33x+2√3，得到：n﹣1=−√33（n−√3）+2√3，解得n＝2√3∴P（2√3，0）．综上所述，满足条件的点P坐标为（0，4√3−6）或（2√3，0）【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．4．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a，b满足b=√a2−4+√4−a2+16a+2（1）求直线AB的解析式；（2）第一象限内是否存在一点M，使△ABM是等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2过点A的直线y＝kx﹣2k交y轴负半轴于点P，N点的横坐标为﹣1，过点N的直线y=k2x−k2交AP于点M，交x轴于点C，求证：NC＝MC．【思路点拨】（1）由二次根式的被开方数是非负数可以求得a 、b 的值．则易求点A 、B 的坐标．设直线AB 的方程为y ＝kx +b （k ≠0），将其分别代入该解析式列出关于k 、b 的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；（2）需要分类讨论：当AB 为底和当AB 为腰时，分别求得点M 的坐标；（3）将y ＝kx ﹣2k 与y =k 2x −k 2联立求出M 的坐标为（3，k ），由条件可求得N 的坐标为（﹣1，﹣k ），C 的坐标为（1，0），作CG ⊥x 轴于G 点，MH ⊥x 轴于H 点，可证△NGC ≌△MHC ，得NC ＝MC ．【解析】解：（1）依题意，得：{a 2−4≥04−a 2≥0a +2≠0，解得a ＝2；则b ＝4．所以A （2，0），B （0，4），设直线AB 解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A 与B 坐标代入得：{2k +b =0b =4， 解得：{k =−2b =4， 则直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +4；（2）如图1，分三种情况：①如图1，当BM ⊥BA ，且BM ＝BA 时，过M 作MN ⊥y 轴于N ，∵BM ⊥BA ，MN ⊥y 轴，OB ⊥OA ，∴∠MBA ＝∠MNB ＝∠BOA ＝90°，∴∠NBM +∠NMB ＝90°，∠ABO +∠NBM ＝90°，∴∠ABO ＝∠NMB ，在△BMN 和△ABO 中{∠MNB =∠BOA ∠NMB =∠ABO BM =AB，∴△BMN ≌△ABO （AAS ），MN ＝OB ＝4，BN ＝OA ＝2，∴ON ＝2+4＝6，∴M 的坐标为（4，6 ）；②如图2当AM ⊥BA ，且AM ＝BA 时，过M 作MN ⊥x 轴于N ，△BOA ≌△ANM （AAS ），同理求出M 的坐标为（6，2）；③如图4，当AM⊥BM，且AM＝BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，则△BHM≌△AMN，∴MN＝MH，设M（x，x），由勾股定理得，（x﹣2）2+x2＝（4﹣x）2+x2，解得，x＝3；∴M点的坐标为（3，3）综上所知M点的坐标为（4，6）（6，2）（3，3）；（3）将y＝kx﹣2k与y=k2x−k2联立求出M的坐标为（3，k），由条件可求得N的坐标为（﹣1，﹣k），C的坐标为（1，0），作CG⊥x轴于G点，MH⊥x轴于H点，可证△NGC≌△MHC，得NC＝MC．【点睛】本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．。

例题精讲考点一：一次函数中等腰三角形存在性问题【例1】．如果一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，M点在x轴上，并且使得以点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形，则M点的坐标为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（﹣，0）．解：一次函数y＝﹣x+6中令x＝0，解得y＝6；令y＝0，解得x＝8，∴A（8，0），B（0，6），即OA＝8，OB＝6，在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：AB＝10，分四种情况考虑，当BM＝BA时，由BO⊥AM，根据三线合一得到O为MA的中点，此时M1（﹣8，0）；当AB＝AM时，由AB＝10，得到OM＝﹣2或18，此时M2（﹣2，0），M3（18，0）；当MA＝MB时，∵A（8，0），B（0，6），∴AB的中点的坐标为（4，3），设直线AB的垂直平分线的解析式为y＝x+b，代入（4，3）得3＝+b，解得b＝﹣，∴直线AB的垂直平分线的解析式为y＝x﹣，令y＝0，解得x＝，此时M4（，0）．综上，这样的M点有4个，分别为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（，0）．故答案为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（，0）．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．解：∵在y＝﹣x+3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝3，∴N（3，0），M（0，3），∴OM＝ON＝3，∵AN＝2AM，∴A（1，2），∴OA＝＝，当AO＝OB时，则OB＝，∴点B的坐标为（﹣，0）或（，0）；②当AO＝AB时，设点B的坐标为（m，0），则＝，整理得，（1﹣m）2＝1，解得m＝2或m＝0（舍去），∴点B的坐标为（2，0）．综上所述：点B的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．（1）求点C的坐标．（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△OPC是等腰三角形时P的坐标．解：（1）联立两直线解析式成方程组，得，解得：，∴点C的坐标为（4，4）；（2）设点P（m，0），而点C（4，4），点O（0，0）；PC2＝（m﹣4）2+16，PO2＝m2，OC2＝42+42＝32；当PC＝PO时，（m﹣4）2+16＝m2，解得：m＝4；当PC＝OC时，同理可得：m＝0（舍去）或8；当PO＝OC时，同理可得：m＝±4；故点P的坐标为（4，0）或（8，0）或（4，0）或（﹣4，0）．考点二：一次函数中直角三角形存在性问题【例2】．已知点A、B的坐标分别为（2，2）、（5，1），试在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形．解：当△ABC为直角三角形时，设点C坐标为（x，0），分三种情况：①如果A为直角顶点，则AB2+AC2＝BC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2+（2﹣x）2+22＝（5﹣x）2+1，解得：x＝，②如果B为直角顶点，那么AB2BC2＝AC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2+（5﹣x）2+1＝（2﹣x）2+22，解得x＝，③如果C为直角顶点，那么AB2＝AC2+BC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2＝（2﹣x）2+22+（5﹣x）2+1，解得x＝3或4，综上可知，使△PAB为直角三角形的点C坐标为（，0）或（，0）或（3，0）或（4，0）．变式训练【变2-1】．如图，一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），且与x轴相交于点B．若点P 是x轴上的一点，且满足△ABP是直角三角形，则点P的坐标是（1，0）或（3，0）．解：∵一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），∴2＝k+1，解得k＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+1．∴当∠APB＝90°时，P1（1，0）；当∠BAP＝90°时，∵一次函数的解析式为y＝x+1，∴设直线AP的解析式为y＝﹣x+b，∵A（1，2），∴2＝﹣1+b，解得b＝3，∴直线AP的解析式为y＝﹣x+3，∴当y＝0时，x＝3，∴P2（3，0）．综上所述，点P的坐标是（1，0）或（3，0）．【变2-2】．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（﹣2，﹣4）．（1）关于x、y的方程组的解为．（2）求△ABD的面积；（3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵一次函数y＝x﹣2的图象与一次函数y＝4x+b的图象交于点D，且点D的坐标为（﹣2，﹣4），∴关于x、y的方程组的解是，∴关于x、y的方程组的解是，故答案为：；（2）把点D的坐标代入一次函数y＝4x+b中得：﹣8+b＝﹣4，解得：b＝4，∴B（0，4），∵A（0，﹣2），∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，＝＝6；∴S△ABD（3）存在，如图1，当点E为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于E，∵D（﹣2，﹣4），∴E（﹣2，0）；当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E；当点D为直角顶点时，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，作DF⊥x轴于F，设E（t，0），当y＝0时，4x+4＝0，∴x＝﹣1，∴C（﹣1，0），∵F（﹣2，0），∴CE＝﹣1﹣t，EF＝﹣2﹣t，∵D（﹣2，﹣4），∴DF＝4，CF＝﹣1﹣（﹣2）＝1，在Rt△DEF中，DE2＝EF2+DF2＝42+（﹣2﹣t）2＝t2+4t+20，在Rt△CDF中，CD2＝12+42＝17，在Rt△CDE中，CE2＝DE2+CD2，∴（﹣1﹣t）2＝t2+4t+20+17，解得t＝﹣18，∴E（﹣18，0），综上，点E的坐标为：（﹣2，0）或（﹣18，0）．考点三：一次函数中平行四边形存在性问题【例3】．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，3），B（﹣2，﹣1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）将A（1，3）、B（﹣2，﹣1），代入y＝kx+b得：，解得，∴一次函数的表达式为y＝x+；（2）在y＝x+中，令x＝0得y＝，∴OD＝，＝OD•|x A|＝××1＝，∴S△AODS△BOD＝OD•|x B|＝××2＝，＝S△BOD+S△AOD＝；∴△AOB的面积S△AOB（3）存在，理由如下：在y＝x+中，令y＝0得y＝﹣，∴C（﹣，0），设M（m，n），而B（﹣2，﹣1），O（0，0），①以OB、CM为对角线，则OB的中点即是CM的中点，如图：∴，解得，∴M（﹣，﹣1）；②以BC、OM为对角线，则BC的中点即是OM的中点，如图：∴，解得，∴M（﹣，﹣1）；③以BM、CO为对角线，则BM的中点即是CO的中点，如图：∴，解得，∴M（，1）；综上所述，M的坐标为：（﹣，﹣1）或（﹣，﹣1）；或（，1）．变式训练【变3-1】．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当B'C'经过点D时，求△BCD平移的距离及点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，∴∠OCB+∠OBC＝90°，∠OCB+∠ECD＝90°，∴∠OBC＝∠ECD．∵将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，∴BC＝CD．在△BOC和△CED中，，∴△BOC≌△CED（AAS）．（2）解：∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，∴点B的坐标为（0，3），点A的坐标为（6，0）．设OC＝m，∵△BOC≌△CED，∴OC＝ED＝m，BO＝CE＝3，∴点D的坐标为（m+3，m）．∵点D在直线y＝﹣x+3上，∴m＝﹣（m+3）+3，解得：m＝1，∴点D的坐标为（4，1），点C的坐标为（1，0）．∵点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，0），∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3．设直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+b，将D（4，1）代入y＝﹣3x+b，得：1＝﹣3×4+b，解得：b＝13，∴直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+13，∴点C′的坐标为（，0），∴CC′＝﹣1＝，∴△BCD平移的距离为．（3）解：设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，﹣n+3）．分两种情况考虑，如图3所示：①若CD为边，当四边形CDQP为平行四边形时，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴点P1的坐标为（0，）；当四边形CDPQ为平行四边形时，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴点P2的坐标为（0，）；②若CD为对角线，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴点P的坐标为（0，）．综上所述：存在，点P的坐标为（0，）或（0，）．考点四：一次函数中矩形存在性问题【例4】．Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，在直角△AOB中，AB＝＝＝10；（2）∵BC平分∠ABO，CD⊥AB，AO⊥BO，∴OC＝CD，设OC＝x，则AC＝8﹣x，CD＝x．∵△ACD和△ABO中，∠CAD＝∠BAO，∠ADC＝∠AOB＝90°，∴△ACD相似于△ABO，∴，即，解得：x＝3．即OC＝3，则C的坐标是（﹣3，0）．设AB的解析式是y＝kx+b，根据题意得解得：则直线AB的解析式是y＝x+6，设CD的解析式是y＝﹣x+m，则4+m＝0，则m＝﹣4．则直线CE的解析式是y＝﹣x﹣4；（3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B，易知BC的直线方程为y＝2x+6，设M1（m，2m+6），P1（x，y），因为A（﹣8，0），B（0，6），则AM12＝（m+8）2+（2m+6）2，＝5m2+40m+100，BM12＝m2+（2m+6﹣6）2＝5m2，AB＝10，根据AB2+AM12＝BM12得100+5m2+40m+100＝5m2，m＝﹣5，∴M1（﹣5，﹣4），根据平移规律可以解得P1（3，2）②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2＝AM22+BM22，即100＝5m2+40m+100+5m2，m ＝﹣4或m＝0（舍去），∴M2（﹣4，﹣2），根据平移规律可以解得P2（﹣4，8）综上可得，满足条件的P点的坐标为P1（3，2）或P2（﹣4，8）．变式训练【变4-1】．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求点H到x轴的距离；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）x2﹣4x+3＝0，解得：x＝3或1，故BC＝1，OC＝3，即点C（0，3）、点A（﹣1，0），则点B（﹣1，3），点D（3，0），点E（3，1），将B、D点的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线BD的表达式为：y＝﹣x+…①；（2）同理可得：直线OE的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：y＝，即点H到x轴的距离为：；（3）直线BD的表达式为：y＝﹣x+，则点F（0，），①当FD是矩形的一条边时，当点M在x轴上时，∵MF⊥BD，则直线MF的表达式为：y＝x+，当y＝0，x＝﹣，即点M（﹣，0），点F向右平移3个单位向下平移单位得到D，则点M向右平移3个单位向下平移单位得到N，则点N（，﹣）；当点M在y轴上时，同理可得：点N（﹣3，﹣）；②当FD是矩形的对角线时，此时点M在原点O，则点N（3，）；综上，点N的坐标为：（，﹣）或（﹣3，﹣）或（3，）．考点五：一次函数中菱形存在性问题【例5】．如图1，直线y＝x+6与x，y轴分别交于A，B两点，∠ABO的角平分线与x轴相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）在直线BC上有两点M，N，△AMN是等腰直角三角形，∠MAN＝90°，求点M 的坐标；（3）点P在y轴上，在平面上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于直线y＝x+6，令x＝0，得到y＝6，∴B（0，6），令y＝0，得到x＝﹣8，∴A（﹣8，0）．∵A（﹣8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝10，过点C作CH⊥AB于H，设OC＝t，∵BC平分∠ABO，∠AOB＝90°，∴CH＝OC＝t，＝S△ABC+S△BCO，∵S△ABO∴OA•OB＝AB•CH+OC•OB，∴6×8＝10t+6t，∴t＝3，∴OC＝3，∴C（﹣3，0）；（2）设线BC的表达式为：y＝kx+b，∵B（0，6），C（﹣3，0），∴直线BC的表达式为：y＝2x+6，设点M（m，2m+6）、N（n，2n+6），过点M作MF⊥x轴于点F，过点N作NE⊥x轴于点E，∵△AMN为等腰直角三角形，故AM＝AN，∵∠NAE+∠MAF＝90°，∠MAF+∠AMF＝90°，∴∠NAE＝∠AMF，∵∠AFM＝∠NEA＝90°，AM＝AN，∴△FMA≌△EAN（AAS），∴EN＝AF，MF＝AE，即﹣2n﹣6＝m+8，2m+6＝8+n，解得：m＝﹣2，n＝﹣6，故点M的坐标为（﹣2，2）、点N（﹣6，﹣6）；由于M，N的位置可能互换，故点N的坐标为（﹣2，2）、点M（﹣6，﹣6）；综上所述，点M的坐标为（﹣2，2）或（﹣6，﹣6）；（3）设点P（0，p），∴BP2＝（p﹣6）2，AP2＝82+p2，①当AB是边时，如图，∵点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，∴BP＝AB＝10，BP′＝AB＝10，OB＝OP″，∵B（0，6），∴P（0，16），P′（0，﹣4），P″（0，﹣6），∵A（﹣8，0），∴Q（﹣8，10），Q′（﹣8，﹣10），Q″（8，0）；②当AB是对角线时，如图，∵点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，∴AP＝BP，∴BP2＝AP2，∴（p﹣6）2＝82+p2，解得p＝﹣，∴P（0，﹣），∵A（﹣8，0），B（0，6），∴Q（﹣8，）；综上所述，点Q的坐标为（﹣8，10）或（﹣8，﹣10）或（8，0）或（﹣8，）．变式训练【变5-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣2），与直线CD交于点A（m，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F，若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵点A（m，2）在直线y＝x+4上∴m+4＝2解得m＝﹣2∴点A的坐标为（﹣2，2）设直线AB的解析式为y＝kx+b∴解得∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2；（2）如图1，由题意设点E的坐标为（a，a+4），则∵EF∥y轴，点F在直线y＝﹣2x﹣2上∴点F的坐标为（a，﹣2a﹣2）∴EF＝|a+4﹣（﹣2a﹣2）|＝|3a+6|，∵以点O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，且EF∥OC∴EF＝OC∵直线y＝x+4与y轴交于点C∴点C的坐标为（0，4）∴OC＝4，即|3a+6|＝4解得：a＝﹣或a＝﹣∴点E的坐标为（﹣，）或（﹣，）；（3）如图2，当BC为对角线时，点P，Q都是BC的垂直平分线，且点P和点Q关于BC对称，∵B（0，﹣2），C（0，4），∴点P的纵坐标为1，将y＝1代入y＝x+4中，得x+4＝1，∴x＝﹣3，∴P''（﹣3，1），∴Q''（3，1）当CP是对角线时，CP是BQ的垂直平分线，设Q（m，n），∴BQ的中点坐标为（，），代入直线y＝x+4中，得+4＝①，∵CQ＝CB，∴m2+（n﹣4）2＝36②，联立①②得，（舍）或，∴Q'（﹣6，4），当PB是对角线时，PC＝BC＝6，设P（c，c+4），∴c2+（c+4﹣4）2＝36，∴c＝3（舍）或c＝﹣3，∴P（﹣3，﹣3+4），设Q（d，e）∴（﹣3+0）＝（0+d），（﹣3+4﹣2）＝（e+4），∴d＝﹣3，e＝﹣3﹣2，∴Q（﹣3，﹣3﹣2），即：点Q的坐标为（3，1），（﹣6，4）或（﹣3，﹣3﹣2）．1．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）．解：当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣3，即A（﹣3，0），B（0，4），OA＝3，OB＝4，由勾股定理得：AB＝5，有三种情况：①以A为圆心，以AB为半径交x轴于两点，此时AC＝AB＝5，C的坐标是（2，0）和（﹣8，0）；②以B为圆心，以AB为半径交x轴于一点（A除外），此时AB＝BC，OA＝OC＝3，C的坐标是（3，0）；③作AB的垂直平分线交x轴于C，设C的坐标是（a，0），A（﹣3，0），B（0，4），∵AC＝BC，由勾股定理得：（a+3）2＝a2+42，解得：a＝，∴C的坐标是（，0），故答案为：（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）．2．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，1），连接OA，点P是x轴上的一动点，如果△OAP是等腰三角形，请你写出符合条件的点P坐标P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．解：设P（x，0），当OA＝AP时，∵A（2，1），∴P1（4，0）；当OA＝OP时，∵A（2，1），∴OA＝＝，∴P2（，0），P3（﹣，0）；当AP＝OP时，∵P（x，0），（2，1），∴（2﹣x）2+12＝x2，解得x＝，∴P4（，0）．综上所述，P点坐标为：P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．故答案为：P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．解：如图，①当BC为对角线时，易求M1（3，2）；②当AC为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；③当AB为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM．则|M y|＝OC＝2，|M x|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．综上所述，符合条件的点D的坐标是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．故答案为：（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．4．如图，一次函数y＝k2x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y＝k1x的图象相交于点A（3，4），且OA＝OB．（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．解：（1）∵正比例函数y＝k1x的图象经过点A（3，4），∴3k1＝4，∴k1＝，∴正比例函数解析式为y＝x．如图1中，过A作AC⊥x轴于C，在Rt△AOC中，OC＝3，AC＝4，∴AO＝＝5，∴OB＝OA＝5，∴B（0，﹣5），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝3x﹣5．（2）如图1中，过A作AD⊥y轴于D，∵A（3，4），∴AD＝3，＝；∴S△AOB（3）当OP＝OA时，P1（﹣5，0），P2（5，0），当AO＝AP时，P3（6，0），当PA＝PO时，线段OA的垂直平分线为y＝﹣，∴，满足条件的点P的坐标（﹣5，0）或（5，0）或（6，0）或．5．直线l1交x轴于点A（6，），交y轴于B（0，6）．（1）如图，折叠△AOB，使BA落在y轴上，折痕所在直线为l2，直线l2与x轴交于C 点，求C点坐标及l2的解析式；（2）在直线l1上找点M，使得以M、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足条件的M点的坐标．解：∵点A（6，0），交y轴于B（0，6）．∴OA＝6，OB＝6，∴tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝30°，∴∠OBA＝60°，∵折叠△AOB，∴∠OBC＝∠ABC＝30°，∴BC＝2OC，BO＝OC＝6，∴OC＝2，∴点C（2，0），设直线BC解析式为：y＝kx+b，解得：∴直线BC解析式为：y＝﹣x+6；（2）当点M与点B重合时，由（1）可知：∠AMC＝∠MAC＝30°，∴CM＝AC，∴△ACM是等腰三角形，∴当M为（0，6）时，△ACM是等腰三角形，∵OC＝2，OA＝6，∴AC＝4，若AM＝AC＝4，如图1：过点M作MH⊥AC，∵∠MAH＝30°，∴MH＝AM＝2，AH＝2MH＝6，∴OH＝6﹣6或6+6，∴点M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）若AM＝MC，如图2，过点M作MH⊥AC，∵AM＝MC，MH⊥AC，∴AH＝CH＝2，∴OC＝4，∵∠MAH＝30°，∴AH＝MH，∴MH＝2，∴点M（4，2），综上所述：点M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）或（4，2）或（0，6）．6．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+8k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，6）．（1）求点A的坐标；（2）如图1，将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点C，求直线BC的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC上有一点M，坐标平面内有一点P，若以A、B、M、P 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点P的坐标．解：（1）令y＝kx+8k＝0，解得x＝﹣8，故点A的坐标为（﹣8，0）；（2）过点A作AD⊥AB交BC于点D，过点A作y轴的平行线交过点B与x轴的平行线于点M，交过点D与x轴的平行线于点N，∵∠ABC＝45°，故△ABD为等腰直角三角形，则AD＝AB，∵∠BAM+∠DAN＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，∴∠BAM＝∠ADN，∵∠BMA＝∠AND＝90°，∴△BMA≌△AND（AAS），∴AN＝BM＝8，ND＝AM＝6，故点D的坐标为（﹣2，﹣8），设直线BC的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线BC的表达式为y＝7x+6；（3）设点M的坐标为（m，7m+6），点P（s，t），而点A、B的坐标分别为（﹣8，0）、（0，6），①当AB是边时，点A向右8个单位向上6个单位得到点B，同样，点M（P）向右8个单位向上6个单位得到点P（M），且AB＝BP（AB＝BM），则或，解得或或（不合题意的值已舍去）；故点P的坐标为（﹣8，7）或（﹣﹣8，﹣7）或（6，﹣2）；②当AB是对角线时，由中点坐标公式和AM＝BM得：，解得，故点P的坐标为（﹣7，7）；综上，点P的坐标为（﹣8，7）或（﹣﹣8，﹣7）或（6，﹣2）或（﹣7，7）．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，6）．（1）求一次函数的解析式；（2）求△BOC的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵将点C（m，6）代入y＝x，∴6＝m，∴m＝4，∴C（4，6），设一次函数的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x+3；（2）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，∴B（0，3），＝OB•|x C|＝×3×4＝6；∴S△BOC（3）在x轴上存在一点P，使得△ABP是等腰三角形，理由如下：∵A（﹣4，0），B（0，3），∴AB＝5，OA＝4，当B为等腰三角形顶角顶点时，P点与A点关于y轴对称，∴P（4，0）；当A为等腰三角形顶角顶点时，AP＝AB＝5，∴P（﹣9，0）或P（1，0）；当P为等腰三角形顶角顶点时，设P（t，0），∵PA＝PB，∴（t+4）2＝t2+9，解得t＝﹣，∴P（﹣，0），综上所述：P点坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．8．如图，已知一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点A（﹣6，0），交y轴于点B．（1）求m的值与点B的坐标（2）问在x轴上是否存在点C，使得△ABC的面积为16？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．（3）问在x轴是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形，求出点P坐标．（4）一条经过点D（0，2）和直线AB上的一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分，请求出这条直线的函数表达式．解：（1）把点A（﹣6，0）代入y＝x+m，得m＝8，∴点B坐标为（0，8）．（2）存在，设点C坐标为（a，0），由题意•|a+6|•8＝16，解得a＝﹣2或﹣10，∴点C坐标（﹣2，0）或（﹣10，0）．（3）如图1中，①当AB＝AP时，AP＝AB＝＝10，可得P1（﹣16，0），P2（4，0）．②当BA＝BP时，OA＝OP，可得P3（6，0）．③当PA＝PB时，∵线段AB的垂直平分线为y＝﹣x+，可得P4（，0），综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣16，0）或（4，0）或（6，0）或（，0）．（4）如图2中，设过点D的直线交AB于E，设E（b，），由题意BD•（﹣b）＝××6×8，∴b＝﹣4，∴点E坐标（﹣4，），设直线DE的解析式为y＝kx+b则有，解得，∴这条直线的函数表达式y＝﹣x+2．9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线y＝kx于P（2，a）．（1）求点A、B的坐标；（2）若Q为x轴上一动点，△APQ为等腰三角形，直接写出Q点坐标；（3）点C在直线AB上，过C作CE⊥x轴于E，交直线OP于D，我们规定若C，D，E 中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则称C，D，E三点为“和谐点”，求出C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标．解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，∴点B的坐标为（0，2）；当y＝0时，有﹣x+2＝0，解得：x＝4，∴点A的坐标为（4，0）；（2）∵一次函数y＝﹣x+2的图象交直线y＝kx于P（2，a）．∴a＝﹣×2+2＝1，∴点P的坐标为（2，1），设点Q（m，0），而点A、P的坐标分别为：（4，0）、（2，1），则AP＝＝，AQ＝|4﹣m|，PQ＝，当AP＝AQ时，则＝|4﹣m|，解得m＝4±，∴点Q（4±，0）；当AP＝PQ时，＝，解得m＝0或4（舍去），∴点Q（0，0）；当PQ＝AQ时，即＝|4﹣m|，解得：m＝，∴点Q（，0）；综上，点Q的坐标为（4±，0）或（0，0）或（，0）；（3）∵y＝kx过P（2，1）．∴2k＝1，解得k＝，∴y＝x，设点C的坐标为（n，﹣n+2），则点D的坐标为（n，n），点E的坐标为（n，0），∴CD＝|﹣n+2﹣n|＝|2﹣n|，DE＝|n|，CE＝|﹣n+2|＝|n﹣2|，当D为CE的中点时，CD＝DE，∴|2﹣n|＝|n|，解得n＝或4（舍去），∴点C的坐标为（，）；当C为DE的中点时，CD＝CE，∴|2﹣n|＝|n﹣2|，解得n＝或0（舍去），∴点C的坐标为（，）；当E为CD的中点时，DE＝CE，∴|n|＝|n﹣2|，无解；综上，C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标为（，）或（，）．10．如图所示，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）．（1）求△AOB的面积；（2）动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当动点M在x轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，，解得x＝．令x＝0，y＝．∴A（，0），B（0，）．＝．∴△AOB的面积为12．（2）∵动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，∴AM＝t．当0≤t≤时，OM＝，OC＝．∴＝＝．当t＞时，OM＝t﹣．∴＝＝．综上，△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式：S＝．（3）在平面直角坐标系中存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形．①当AC，AM为菱形的边时，情况一：如图1，当点M在点A的左侧时，Rt△AOC中，＝，∴NC＝AC＝．∵NC∥AM，∴点N（，）．情况二，如图1′，当点M在点A的右侧时，由情况一同理可得点N的坐标为．②当AC为菱形的对角线时，如图2，此时M，O重合，四边形OANC为正方形，则点N（，）．③如图3，当AC为菱形的边，AM为菱形的对角线时，此时点C，N关于x轴对称，∴点N（0，﹣）．综上，在平面直角坐标系中存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，此时点N的坐标为：（，），，（，），（0，﹣）．11．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两点，连接BC，且OC＝OB．（1）求点A的坐标及直线BC的函数关系式；（2）点M在x轴上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的坐标；（3）若点P在x轴上，平面内是否存在点Q，使点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于直线y＝﹣x+4，令x＝0的y＝4，令y＝0得x＝4，∴A（4，0），B（0，4），∴OB＝OA＝4，∵OC＝OB，∴OC＝3，∴C（﹣3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+4．（2）如图1中，当点M在点A的左边时，∵OB＝OA＝4，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝45°，∴∠CBO+∠MBA＝∠MBA+∠MBO＝45°，∴∠CBO＝∠OBM，∵∠CBO+∠BCO＝90°，∠BMO+∠OBM＝90°，∴∠BCO＝∠BMO，∴BC＝BM，OC＝OM＝3，∴M（3，0），作点M关于直线AB的对称点N，作直线BN交x轴于M1，则∠M1BA＝∠MBA，点M1满足条件．∵N（4，1），B（0，4），∴直线BN的解析式为y＝﹣x+4，令y＝0，得x＝，∴M1（，0），综上所述，满足条件的点M的坐标为（3，0）或（，0）．（3）如图2中，∵BC＝＝5，当BC为菱形的边时，四边形CP1Q1B，四边形CP3Q3B，四边形BCQ2P2是菱形，此时Q1（﹣5，4），Q3（5，4），Q2（0，4），当BC是菱形的对角线时，四边形CP4BQ4是菱形，可得Q4（﹣，4）．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（﹣5，4）或（5，4）或（0，﹣4）或．12．已知，一次函数y＝的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．（1）求点A，点B的坐标．（2）求点C到直线l的距离．＝S△BCP，求点P的坐标．（3）若S△AOC（4）若点E是直线y＝上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标．解：（1）∵一次函数y＝的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，∴令y＝0，则＝0，∴x＝8，令x＝0，则y＝6，∴点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，6）；（2）解：得，，∴点C（3，），则C到直线l的距离为6﹣＝；＝×8×＝15＝S△BCP＝×BP×（y P﹣y C）＝BP×，（3）∵S△AOC解得：BP＝，故点P（，6）或（﹣，6）；（4）设点E（m，m）、点P（n，6）；①当∠EPA＝90°时，当点P在y轴右侧时，当点P在点E的左侧时，如图1，∵∠MEP+∠MPE＝90°，∠MPE+∠NPA＝90°，∴∠MEP＝∠NPA，AP＝PE，∵△EMP≌△PNA（AAS），则ME＝PN＝6，MP＝AN，即m﹣n＝6，m﹣6＝8﹣n，解得：m＝，当点P在点E的右侧时，如图，同理可得m＝16，当∠EAP＝90°时，当点P在y轴左侧时，如图2，同理可得：m﹣8＝6，m＝8﹣n，解得：m＝14，故点E（14，）；故点E（，）或（14，）或（16，20）；如图3，同理可得：△AMP≌△ANE（AAS），故MP＝EN，AM＝AN＝6，即m＝n﹣8，|8﹣m|＝6，解得：m＝2或14（不合题意舍去），故点E（2，）；综上，E（，）或（16，20）或（2，）或（14，）．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．解：（1）∵直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，∴联立得，解得，∴点A（1，1），∵直线y＝﹣x+与x轴交于点B，∴令y＝0，得﹣x+＝0，解得x＝3，∴B（3，0），（2）存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形．①如图1，过点A作平行于x轴的直线，过点O作平行于AB的直线，两直线交于点C，∵AC∥x轴，OC∥AB，∴四边形CABO是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，∴C（﹣2，1），②如图2，过点A作平行于x轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，∵AC∥x轴，BC∥AO，∴四边形CAOB是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，∴C（4，1），③如图3，过点O作平行于AB轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，∵OC∥AB，BC∥AO，∴四边形CBAO是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AO＝BC，OC＝AB，作AE⊥OB，CF⊥OB，易得OE＝EF＝FB＝1，∴C（2，﹣1），（3）在直线OA上，存在一点D，使得△DOB是等腰三角形，①如图4，当OB＝OD时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°∴DE＝OE＝，∴D（﹣，﹣），②如图5，当OD＝OB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°∴DE＝OE＝，∴D（，），③如图6，当OB＝DB时，∵∠AOB＝∠ODB＝45°，∴DB⊥OB，∵OB＝3，∴D（3，3），④如图7，当DO＝DB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵∠AOB＝∠OBD＝45°，∴OD⊥DB，∵OB＝3，∴OE＝，AE＝，∴D（，）．综上所述，在直线OA上，存在点D（﹣，﹣），D（，），D（3，3）或D（，），使得△DOB是等腰三角形，14．如图，经过点B（0，2）的直线y＝kx+b与x轴交于点C，与正比例函数y＝ax的图象交于点A（﹣1，3）（1）求直线AB的函数的表达式；（2）直接写出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；（3）求△AOC的面积；（4）点P是直线AB上的一点，且知△OCP是等腰三角形，写出所有符合条件的点P的坐标．解：（1）依题意得：，解得，∴所求的一次函数的解析式是y＝﹣x+2．（2）观察图形可知：不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；x＜﹣1．（3）对于y＝﹣x+2，令y＝0，得x＝2∴C（1，0），∴OC＝2．＝×2×3＝3．∴S△AOC（4）①当点P与B重合时，OP1＝OC，此时P1（0，2）；②当PO＝PC时，此时P2在线段OC的垂直平分线上，P2（1，1）；③当PC＝OC＝2时，设P（m．﹣m+2），∴（m﹣2）2+（﹣m+2）2＝4，∴m＝2±，可得P3（2﹣，），P4（2+，﹣），综上所述，满足条件的点P坐标为：（1，1）或（0，2）或P（2+，﹣）或（2﹣，）．15．如图1，已知直线l1：y＝kx+4交x轴于A（4，0），交y轴于B．（1）直接写出k的值为﹣1；（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线l2：经过AB的中点P，点Q（t，0）为x轴上一动点，过Q作QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；（3）如图3，已知点M（﹣1，0），点N（5m，3m+2）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求点N坐标．解：（1）把A（4，0）代入y＝kx+4，得0＝4k+4．解得k＝﹣1．故答案是：﹣1；（2）∵在直线y＝﹣x+4中，令x＝0，得y＝4，∴B（0，4），∵A（4，0），∴线段AB的中点P的坐标为（2，2），代入，得n＝1，∴直线l2为，∵QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，Q（t，0），∴M（t，﹣t+4），，∴，MQ＝|﹣t+4|＝|t﹣4|，∵MN＝2MQ，∴，分情况讨论：①当t≥4时，，解得：t＝10．②当2≤t＜4时，，解得：．③当t＜2时，，解得：t＝10＞2，舍去．综上所述：或t＝10．（3）在x轴上取一点P（1，0），连接BP，作PQ⊥PB交直线BN于Q，作QR⊥x轴于R，∴∠BOP＝∠BPQ＝∠PRQ＝90°，∴∠BPO＝∠PQR，∵OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵M（﹣1，0），∴OP＝OM＝1，∴BP＝BM，∴∠OBP＝∠OBM＝∠ABN，∴∠PBQ＝∠OBA＝45°，∴PB＝PQ，∴△OBP≌△RPQ（AAS），∴RQ＝OP＝1，PR＝OB＝4，∴OR＝5，∴Q（5，1），∴直线BN的解析式为，将N（5m，3m+2）代入，得3m+2＝﹣×5m+4解得，∴．16．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC＝1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM 的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）x2﹣（+1）x+＝0，（x﹣）（x﹣1）＝0，解得x1＝，x2＝1，∵OA＜OB，∴OA＝1，OB＝，∴A（1，0），B（0，），∴AB＝2，又∵AB：AC＝1：2，∴AC＝4，∴C（﹣3，0）；（2）∵AB＝2，AC＝4，BC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，即∠ABC＝90°，由题意得：CM＝t，CB＝2．①当点M在CB边上时，S＝2﹣t（0≤t）；②当点M在CB边的延长线上时，S＝t﹣2（t＞2）；（3）存在．①当AB是菱形的边时，如图所示，在菱形AP1Q1B中，Q1O＝AO＝1，所以Q1点的坐标为（﹣1，0），在菱形ABP2Q2中，AQ2＝AB＝2，所以Q2点的坐标为（1，2），在菱形ABP3Q3中，AQ3＝AB＝2，所以Q3点的坐标为（1，﹣2），②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，AP42＝AO2+P4O2，即x2＝12+（﹣x）2，解得x＝，所以Q4（1，）．综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（﹣1，0），Q2（1，2），Q3（1，﹣2），Q4（1，）．17．如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C 在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠BCO＝∠CDE，在△BOC和△CED中，。

2021年第02期总第495期数理化解题研究一次函数背景下的存在性问题王帅兵(河南省郑州市孜文教育信息咨询有限公司450000)摘 要：一次函数是八年级数学的学习内容，在平面直角坐标系中，研究点和直线的动态特征，以及在动 态情境下产生的几何图形存在性问题，是考察学生思维能力的有效载体，已成为考试的重难点.本文将结合具 体题目，从不同方面探讨存在性问题的解法.关键词：一次函数;存在性；对称；两圆一线；弦图中图分类号:G632 文献标识码：A 文章编号：1008 -0333(2021)02 -0017 -02一、两定一动型，注意好“一上一下”两定一动型,是指在给定两个点的情况下,另一点在一条线上运动所产生的面积问题,解决这类问题，要做好 题目分析,有一边与坐标轴平行时直接求解;没有边与坐 标轴平行时，用好“铅锤法”(或“割补法”)，同时注意好 “ 一一上 —下”.例1如图1所示,一次 函数y 二2% +4的图像与坐标 轴分别交于点A 、B ,在一次函数的图象上是否存在一点P , 使得A AOP 的面积为3？思路分析由题设条件，易求出点A 和点0坐标分别为(-2,0)和(0,0),点P 为直 图1线上一动点，不妨设其坐标为(%,y ),当点P 位于%轴上方时,S △A0P 二2 ； y 二3 ,解得y 二3,代入表达式y 二2% + 4 可得点P 坐标为(-1 /2,3).由于坐标系中的对称性，点 P 也可以位于%轴下方，此时可求出点P 的坐标为 (-7/2,-3).综上，点 P 坐标为(-1/2,3)或者(-7/2, -3).一例2如图2所示，直线y 二1 /2%与直线y 二-% + 3 相交于点A ,点B 是直线y 二1 /2%上的一个点，且横坐标 为4.如果点P 是直线y 二-% +3上的一个动点，且满足 △ABP 的面积为9,那么点P 的坐标为 .思路分析 如图2,易求出点A 和点B 坐标分别为(2,1) 和(4,2).如图3,过点P 向%轴做垂线交直线AB 于点F ,设点P ( a , - a +3),那么点F 坐标为(a , ； a )，则A ABP 的面积为："F x ( %B 一 ％a)(3 -a - 2 a )(4 -2)-----------「 - 9.解得 a 二-4,点P 的坐标为(-4,7).同理，如图4时,可得点P 的坐标 为(8,-5).综上，点P 的坐标为(-4,7)或(8,-5).二、等腰三角形，用好“两圆一线”在一次函数的背景下,等腰三角形的存在性问题可 以借助图形的基本性质来解,利用同端点、等长度作圆和 线段垂直平分线.例 3 如图 5 所示, 直线 y - % + 4 与坐标轴交于点 A 和点B ，在%轴上是否存在点P ,使得A ABP 为等腰三角 形？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标.图5 图6思路分析如图6所示,分别以点A 和点B 为圆心 作圆，同时作出线段AB 的垂直平分线，可得与%轴的4个 交点：P ］、戶2、P 3和P 4.分别求解,可得其坐标分别为P 1( -4-4 2 ,0)、P 2(0,0)、P s (4 2 -4,0)心4,0).三、直角三角形，利用顶点来分类对于直角三角形的存在性,可以利用顶点来分类，然 后结合具体条件求解.例4如图7所示,在平面直角坐标系％oy 中，三角收稿日期：2020 -10 -15作者简介：王帅兵(1988. 7 -)，男，河南省鲁山人，本科，从事数学教学研究.17数理化解题研究2021年第02期总第495期板的直角顶点P的坐标为(2,2),一条直角边与兀轴的正半轴交于点A,另一直角边与y轴交于点B,三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当MA为直角三角形时，请求出所有满足条件的点B的坐标.思路分析分析题设条件可得，乙POA二45°,不可能为直角，'FOA的另两个角可以是直角.如图8,当OA丄AP时，可求出点B的坐标为(0,2);如图9,当OP丄PA时，点B和点O重合，点B坐标为(0,0).综上所述，点B的坐标为(0,2)或(0,0).图7图8图9四、等腰直角三角形，借助弦图轻松解等腰直角三角形的分类问题，可以在构造基本直角的情况下，借助弦图求解.例5如图10所示，直线y二-2兀+4与坐标轴交于点A和点B,在第一象限内是否存在点P,使得A ABP为等腰直角三角形？思路分析由题设条件易得,A(2,0)、B(0,4),OA二2,OB二4.利用心A AOB作弦图，如图11所示,其中P】、P2、戶3是满足条件的点.利用弦图中的全等三角形的性质,以及线段长与坐标的相互转化,可得三点的坐标分别为:P1(4,6)、P2(6,2)、P3(3,3).五、全等三角形，对应后综合求解全等三角形的存在性问题,要注意好顶点的对应，然后借助多种基本方法解题.例6如图12所示，在平面直角坐标系中作矩形OABC,点B坐标为(4,8),将A ABC对折,使点A与点C 重合,折痕交AB于点D,坐标系内是否存在点P(除点B 外),使A APC与A ABC全等？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.思路分析由题设条件易得点A与点C的坐标分别为(4,0)、(0,8),直线AC表达式为:y二-2%+8.由矩形性质可得A AOC=△CBA,此时点P与点O重合,坐标为(0,0).由翻折性质可得△ADB'^A CDB',此时,如图13, 18可以延长CP，过点A作CP丄AP于点P,利用等面积法可得点P坐标为(；，?)•如图14,作A ABC关于直线AC 的对称图形，此时，过点P作PQ丄y轴于点Q,利用等面积法可得点P坐标为(-12,24).六、等距离轨迹问题,借助坐标轴三角形构造相似在一次函数背景下的等距离轨迹问题，可以借助一次函数图像与坐标轴的交点,构造相似图形,求出点的坐标，进而找到点所在直线的表达式.例7如图15所示，直线y二2%+6与坐标轴分别交于点A和点B，在平面直角坐标系中是否存在一点,使得点P到直线AB的距离等于25，若存在，请求出点P所在轨迹的表达式;若不存在，请说明理由.思路分析到直线AB距离等于25的点的集合是与直线AB平行的两条直线.由题设条件易得，点A和点B 的坐标分别为(-3,0)和(0,6).如图16,过点B作直线AB的垂线-，在直线-上分别截取BP】二BP?二25,再分别过点P1和点P2作垂直于直线z1的直线z2和z3,直线12和人即为点P的轨迹.因为直线J和厶与直线AB平行,要求其表达式，只要求出点P1和点P2的坐标即可,此时,过点P1作P1Q1丄y轴于点Q1，则△P1Q1B^△BOA,可得P1Q1二4,BQ1二2,可得点P1坐标为(4,4),可求出心:y二2%-4.同理可求出厶：y二2%+16.综上,解决一次函数的存在性问题，一定要研究好背景图形，调用基本技巧和方法,构图确定位置，画图解答.参考文献：[1]王玉新.学好一次函数，善于梳理总结是关键[J].数学学习与研究，2019(19)：135.[2]王淑艳.一次函数解初中几何动点问题[J].理科爱好者，2019(4)：147.[责任编辑:李璟]。

一次函数与三角形的存在性问题1．如图，直线y=2x+m（m＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），直线y=﹣x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y=2x+m（m＞0）相交于点D，若AB=4．（1）求点D的坐标；（2）求出四边形AOCD的面积；（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，求点E的坐标．2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与x轴交于A、与y轴交于B，点C（a，b），其中a＜b，且a、b是方程x2﹣7x+12=0的两根．（1）求直线AC的解析式；（2）点D为直线AC与y轴的交点，请求出△ABD和△BCD的周长差；（3）点E是线段AC上一动点，是否存在点E，使△COE为直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，34OBOA，点C(x,y)是直线y＝kx＋3上与A、B不重合的动点。

（1）求直线y=kx+3的解析式；（2）当点C运动到什么位置时，△AOC的面积是6；（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。

4、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A （0，m）、C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）2+=0，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求A、C两点的坐标；（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；（3）当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标并求t的值；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，A（18，0），B（12，8），C（0，8），动点P、Q分别从原点O、点B 同时出发，动点P沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1的单位长度的速度向C运动，当点Q到达C点时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒），直线PQ与直线AB交于点D．（1）直接写出线段AB的长为；（2）求直线AB的函数表达式；（3）当t=2时，求直线PQ的表达式以及点D的坐标；（4）直接写出所有t的值，使得此时△ADP是等腰三角形．6．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为多少时，△PQB为直角三角形．。

专题二：一次函数中等腰直角三角形存在性问题方法总结类型二、等腰直角三角形以(,)A A A x y 、(,)c c C x y 为三角形的边，在平面内找一点B 使得△ABC为等腰直角三角形（二定一动）一.找法：画圆和作垂直平分线①以A 直角顶点，即有23B B 、点；②以C 直角顶点，即有14B B 、点；③以AC 为斜边，即有56B B 、点；二、算法：利用三垂直模型进行计算(,)A A A x y 、(,)B B B x y 、(,)C C C x y 、(,)M M M x y 、(,)M M C x y由MBC ≌NCA可得：MB CN MC AN ==可推出B M C N M C A Nx x y y y y x x -=-⎧⎨-=-⎩例题1、如图，已知直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点A （-3,0）、点B （0,2），以点A 为直角顶点，AB 为直角边作等腰直角△ADB ，线段AD 所在直线交y 轴于点P.（1）求直线AB 的解析式；（2）求△BDP 得面积；（3）点C 在x 轴上，D 在x 轴下方时，且△BOC 也是等腰直角三角形，动点M 在y 轴上，若使MC MD -取最大值，求出这个最大值及此时点M 的坐标.【答案】（1）AB 解析式：2+23y x = （2）①1(1,3)D -- 算法：利用1AOB AID ≅ 设1(,)D m n 20(3)0(3)0m n -=--⎧⎨--=-⎩解得13m n =-⎧⎨=-⎩ 则1(1,3)D -- 同理2(5,3)D -（3）根据题意，如图：12(2,0)(2,0)C C -、（两种情况答案一样，自行分类分析）当11,,C D M 三点共线时，MC MD -取最大值，最大值为11C D 11C D 解析式：36y x =--则M （0，-6）11max 10MC MD C D -==练习：1.已知直线1:l y x b =-+与x 轴交于点A ，直线2416:33l y x =-与x 轴交于点B ，直线12l l 、交于点C ，且C 点的横坐标为1．（1）求直线1l 的解析式和点A 的坐标．（2）直线1l 与y 轴交于点D ，将1l 向上平移9个单位得3l ，3l 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，点P 为3l 上一动点，连接AP 、BP ，当△ABP 的周长最小时，求△ABP 的周长和点P 的坐标．（3）将1l 绕点C 逆时针旋转，使旋转后的直线4l 过点G （-2,0），过点C 作5l 平行于x 轴，点M 、N 分别为直线4l 、5l 上两个动点，是否存在点M 、点N ，使△BMN 是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）将1x =代入直线41633y x =-，得4161433y =⨯-=-， 故点C 的坐标为(1,4)-，将C 的坐标(1,4)-代入直线y x b =-+得，41b -=-+， 解得3b =-，∴直线1:3l y x =--，令0y =，则30x --=，解得3x =-，故点A 的坐标为(3,0)-，（2）直线3l 为1l 向上平移9个单位所得，故直线3l 的解析式为：6y x =-+，令0x =，得6y =，令0y =，得6x =，故点E ，点F 的坐标分别为(6,0)，(0,6)， 直线2416:33l y x =-与x 轴交于点B ， 令0y =，得4x =，故B 点的坐标为(4,0)，取点B 关于3l 的对称点Q ，设点Q 的坐标为(,)a b ，则线段BQ 的中点坐标为(2a b +，)2b 在直线3l ， ∴622b a b +=-+，（1） 且(1)14b a ⋅-=--即14b a =-，（2） 联立（1）（2）得622b a b b +⎧=-+⎪⎪⎨⎪，解得：62a b =⎧⎨=⎩， (6,2)Q ∴，直线AQ 的解析式：2293y x =+， 当ABP ∆的周长最小时，即AP BP +最小， 连接AQ ，交直线3l 于点P ，此时AP BP +最小，最小值为22(63)(20)85AQ =++-=，7AB =，此时ABP ∆的周长为785+，由22936y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩解得48111811x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， P ∴点坐标为48(11，18)11， （3）设4l 的解析式：y mx n =+，将(1,4)C -，(2,0)G -，代入y mx n =+得，024m n m n =-+⎧⎨-=+⎩，解得4383m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 4l ∴的解析式为：4833y x =--， 1︒当点M 在直线4l 的上方时，设点(,4)N n -，点48(,)33M s s --， 过点N ，B 分别作y 轴的平行线，过点M 作x 轴的平行线，三条直线分别交于R ，S 两点，如图则R ，S 的坐标分别为48(,)33n s --，48(4,)33s --， RM s n ∴=-，48433RN s =--，4MS s =-，4833SB s =--， 90NMB ∠=︒，90NMR SMB ∴∠+∠=︒，90BMS MBS ∠+∠=︒，90S R ∠=∠=︒，MB MN =，()MNR MBS AAS ∴∆≅∆，RM SB ∴=，RN SM =， 即4833s n s -=--，484433s s --=-， 解得8s =-，16n =-，∴点M 的坐标为(8,8)-，2︒当点M 在直线4l 的下方时，设点(,4)N n -，点48(,)33M s s --， 过点N ，B 分别作y 轴的平行线，过点M 作x 轴的平行线，三条直线分别交于R ，S 两点，如图则R ，S 的坐标分别为48(,)33n s --，48(4,)33s --， RM n s ∴=-，48433RN s =+-，4MS s =-，4833SB s =+， 90NMB ∠=︒，90NMR SMB ∴∠+∠=︒，90BMS MBS ∠+∠=︒，NMR MBS ∴∠=∠，90S R ∠=∠=︒，MB MN =，()MNR MBS AAS ∴∆≅∆，RM SB ∴=，RN SM =，即4833n s s -=+，484433s s +-=-， 解得407s =，16n =， ∴点M 的坐标为40(7，72)7-， 综上点M 的坐标为(8,8)-或40(7，72)7-，练习2：7．（2020春•官渡区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线13:4l y x =与直线2:(0)l y kx b k =+≠相交于点(,3)A a ，直线2l 与y 轴交于点(0,5)B -． （1）求直线2l 的函数解析式；（2）将OAB ∆沿直线2l 翻折得到CAB ∆，使点O 与点C 重合，AC 与x 轴交于点D ．求证：四边形AOBC 是菱形；（3）在直线BC 下方是否存在点P ，使BCP ∆为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）直线3?:4l y x =与直线?:l y kx b =+相交于点(,3)A a ， (4,3)A ∴， 直线交?l 交y 轴于点(0,5)B -，5y kx ∴=-，把(4,3)A 代入得，345k =-，2k ∴=，∴直线2l 的解析式为25y x =-；（2）22345OA =+=，OA OB ∴=，将OAB ∆沿直线?l 翻折得到CAB ∆，OB OC ∴=，OA AC =，OA OB BC AC ∴===，∴四边形AOBC 是菱形；（3）如图，过C 作CM OB ⊥于M ，则4CM OD ==，5BC OB ==，3BM ∴=，(4,2)C ∴-， 过1P 作1PN y ⊥轴于N ， BCP ∆是等腰直角三角形， 190CBP ∴∠=︒，1MCB NBP ∴∠=∠， 1BC BP =，BCM ∴∆≅△1()PBN AAS ， 4BN CM ∴==， 1(3,9)P ∴-；同理可得，2(7,6)P -，37(2P ，11)2-． 综上所述，点P 的坐标是(3,9)-或(7,6)-或7(2P ，11)2-．。

3一次函数之存在性问题（一）（讲义）➢课前预习1.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为( ，1)，P 为y 轴上一点，且△POA 为等腰三角形，则满足条件的点P 的坐标为．2.如图是乐乐的五子棋棋盘的一部分（5×5 的正方形网格），以点D，E 为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC 全等，这样的格点三角形最多可以画出个．1➢知识点睛1.存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查．2.存在性问题的处理思路：①分析不变特征分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类．②分类画图求解分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．③结果验证回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点、线、图形；函数背景往往研究点坐标、表达式等．3.等腰三角形存在性的不变特征及特征下操作要点举例：两定一动连接两个定点得定线段，定线段在等腰三角形中作腰或底进行分类（两圆一线），通常借助腰相等或者“三线合一”进行求解．4.全等三角形存在性的特征分析及特征下操作要点：分析两三角形的不变特征及对应关系，根据不确定的对应关系进行分类，通常借助边、角的对应相等进行求解．➢精讲精练1.如图，直线y=kx-4 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，且OB4．OA 3点 C 在第一象限，且在直线y=kx-4 上，△AOC 的面积是6．（1）求点C 的坐标．（2）x 轴上是否存在点P，使△POC 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，直线y=2x+3 与y 轴交于点A，与直线x=1 交于点B．（1）求点A，B 的坐标．（2）在直线x=1 上是否存在点P，使△ABP 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2 3.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的边 OC ，OA 分 别与 x 轴、y 轴重合，AB ∥OC ，∠BCO =45°，BC = 4 ，点 C 的坐标为(-6，0)，直线 BD 交 y 轴正半轴于点 D ，且 OD =2．（1） 求直线 BD 的表达式．（2） 若 P 是直线 BD 上的一个动点，是否存在点 P ，使以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，直线y =1x + 2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是2直线y =1x + 2 上的一个动点，过点P 作直线AB 的垂线，分2别交x 轴、y 轴于点E，F，是否存在点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，直线y=-x+2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点C 是直线y=-x+2 上的一个动点（不与点A 重合）．过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于点D，是否存在点C，使△BCD 与△AOB 全等？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．5 5 2 2 2 2 2 【参考答案】➢ 课前预习 1. (0，2)或(0，-2) 2. 4➢ 知识点睛1. 运动的结果 ➢ 精讲精练1. （1）点 C 的坐标为(6，4)；（2）存在，点 P 的坐标为( -2 0)或( 13，0).3，0)，( 2，0)，(12，2. （1）点 A 的坐标为(0，3)，点 B 的坐标为(1，5)； （2）存在，点 P 的坐标为(1，5 + )，(1，5 - )，(1，1)或(1， 15).43. （1）直线 BD 的表达式为 y = -x + 4 ；（2）存在，点 P 的坐标为(2，0)，( ，2 - )，( - ， 2 + 2 )或(1，1).4. 存在，点 P 的坐标为( - 12 ， 4 )或( 4 ， 12)5 5 5 55. 存在，点 C 的坐标为( - ，2 + )，( 2 ，2 - )或(-2，4).13 13 2。