一次函数特殊平行四边形存在性

一次函数与平行四边形1.线段中点公式平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1，y 1)，点B 坐标为(x 2，y 2)，则线段AB 的中点P 的坐标为 （2,22121y y x x ++） 例：如图，已知点A (-2，1)，B (4，3)，则线段AB 的中点P 的坐标是________.2.线段的平移平面内，线段AB 平移得到线段A'B' ，则①AB ∥A'B' ，AB =A'B' ；②AA'∥BB'，AA'= BB'. 如图，线段AB 平移得到线段A'B' ，已知点A (-2，2)，B (-3，-1)， B' (3，1)，则点A'的坐标是________.%例：如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点坐标分别为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)，已知其中3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标"例：如图，已知□ABCD 中A (-2，2)，B (-3，-1)， C (3，1)，则点D 的坐标是________. 方法一：利用线段平移总结：x 1-x 2= x 4-x 3，y 1-y 2= y 4-y 3 或者 x 4-x 1= x 3-x 2，y 4-y 1= y 3-y 2 等方法二：利用中点公式总结：x 1+x 3= x 2+x 4，y 1+y 3= y 2+y 4类型一：三定一动例1 、如图，平面直角坐标中，已知中A(-1，0)，B(1，-2)，C (3，1)，点D是平面内一动点，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_________________________________.*总结：三定一动问题，可以通过构造中点三角形得以解决.说明：若题中四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标只有一个结果________【例1】．一次函数y ＝x +3与y ＝﹣x +q 的图象都过点A （m ，0），且与y 轴分别交于点B 、C ．（1）试求△ABC 的面积；（2）点D 是平面直角坐标系内的一点，且以点A 、C 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D 的坐标；（3）过△ABC 的顶点能否画一条直线，使它能平分△ABC 的面积若能，求出直线的函数关系式，若不能，说明理由．【解答】解：（1）将点A （m ，0）代入y ＝x +3中，得$m +3＝0，解得m ＝﹣3，即点A （﹣3，0），将点A （﹣3，0）代入y ＝﹣x +q 中，得q ＝﹣3，∴点B （0，3）、C （0，﹣3），故S =12×BC ×AO ＝9；（2）满足条件的D 点坐标为D （﹣3，6）、D （﹣3，﹣6）、D （3，0）；（3）若过点A ，则得直线l ：y ＝0；若过点C ，则得直线l ：y ＝﹣3x ﹣3；@若过点B ，则得直线l ：y ＝3x +3．例2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线PA 是一次函数y ＝x +m （m ＞0）的图象，直线PB 是一次函数y ＝﹣3x +n （n ＞m ）的图象，点P 是两直线的交点，点A 、B 、C 、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用m 、n 分别表示点A 、B 、P 的坐标及∠PAB 的度数；（2）若四边形PQOB 的面积是112，且CQ ：AO ＝1：2，试求点P 的坐标，并求出直线PA 与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D ，使以A 、B 、P 、D 为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在直线y ＝x +m 中，令y ＝0，得x ＝﹣m ．∴点A （﹣m ，0）．…在直线y ＝﹣3x +n 中，令y ＝0，得x =x 3． ∴点B （x 3，0）． 由{x =x +x x =−3x +x ，得{x =x −x 4x =x +3x 4，∴点P （x −x 4，x +3x 4）． 在直线y ＝x +m 中，令x ＝0，得y ＝m ，∴|﹣m |＝|m |，即有AO ＝QO ．又∵∠AOQ ＝90°，∴△AOQ 是等腰直角三角形，∴∠PAB ＝45°．（2）∵CQ ：AO ＝1：2，,∴（n ﹣m ）：m ＝1：2，整理得3m ＝2n ，∴n =32m ， ∴x +3x 4=32x +3x 4=98m ， 而S 四边形PQOB ＝S △PAB ﹣S △AOQ =12（x 3+m ）×（98m ）−12×m ×m =1132m 2=112， 解得m ＝±4，∵m ＞0，∴m ＝4，∴n =32m ＝6，∴P （12，92）． ！∴PA 的函数表达式为y ＝x +4，PB 的函数表达式为y ＝﹣3x +6．（3）存在．过点P 作直线PM 平行于x 轴，过点B 作AP 的平行线交PM 于点D 1，过点A 作BP 的平行线交PM 于点D 2，过点A 、B 分别作BP 、AP 的平行线交于点D 3．①∵PD 1∥AB 且BD 1∥AP ，∴PABD 1是平行四边形．此时PD 1＝AB ，易得x 1(132，92)； ②∵PD 2∥AB 且AD 2∥BP ，∴PBAD 2是平行四边形．此时PD 2＝AB ，易得x 2(−112，92)；③∵BD 3∥AP 且AD 3∥BP ，此时BPAD 3是平行四边形．】∵BD 3∥AP 且B （2，0），∴y BD 3＝x ﹣2．同理可得y AD 3＝﹣3x ﹣12{x =x −2x =−3x −12， 得{x =−52x =−92，∴x 3(−52，−92)．3．如图，在等边△ABC 中，BC ＝8cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm /s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动，设运动时间为t （s ）．（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：△ADE ≌△CDF ；（2）填空：#①当t 为 s 时，以A 、F 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形；②当t 为 s 时，四边形ACFE 是菱形．【解答】（1）证明：∵AG ∥BC ，∴∠EAD ＝∠DCF ，∠AED ＝∠DFC ，∵D 为AC 的中点，∴AD ＝CD ，∵在△ADE 和△CDF 中，{∠xxx =∠xxx∠xxx =∠xxx xx =xx，∴△ADE ≌△CDF （AAS ）；（2）解：①当点F 在C 的左侧时，根据题意得：AE ＝tcm ，BF ＝2tcm ，·则CF ＝BC ﹣BF ＝6﹣2t （cm ），∵AG ∥BC ，∴当AE ＝CF 时，四边形AECF 是平行四边形，即t ＝8﹣2t ，解得：t =83； 当点F 在C 的右侧时，根据题意得：AE ＝tcm ，BF ＝2tcm ，则CF ＝BF ﹣BC ＝2t ﹣8（cm ），∵AG ∥BC ，∴当AE ＝CF 时，四边形AEFC 是平行四边形，即t ＝2t ﹣8，]解得：t ＝8；综上可得：当t =83或8s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形．②若四边形ACFE 是菱形，则有CF ＝AC ＝AE ＝8，则此时的时间t ＝8÷1＝8（s ）；故答案是：83或8；8．|4．已知，Rt △OAB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴和y 轴上，如图1，A ，B 坐标分别为（﹣2，0），（0，4），将△OAB 绕O 点顺时针旋转90°得△OCD ，连接AC 、BD 交于点E ．（1）求证：△ABE ≌△DCE ．（2）M 为直线BD 上动点，N 为x 轴上的点，若以A ，C ，M ，N 四点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M 点的坐标．（3）如图2，过E 点作y 轴的平行线交x 轴于点F ，在直线EF 上找一点P ，使△PAC 的周长最小，求P 点坐标和周长的最小值．【分析】（1）由A 、B 的坐标可求得AO 和OB 的长，由旋转的性质可求得OC 、OD 的长，从而可求得∠AEB ＝90°，再由勾股定理可求得CD 和AB 的长，可求得AB ＝CD ，可证得△ABE ≌△DCE ；（2）由B 、D 坐标可求得直线BD 解析式，当M 点在x 轴上方时，则有CM ∥AN ，则可求得M 点纵坐标，代入直线BD 解析式可求得M 点坐标，当M 点在x 轴下方时，同理可求得M 点纵坐标，则可求得M 点坐标；）（3）由AE ＝DE 可知A 、D 关于EF 对称，连接CD 交EF 于点P ，则P 点即为满足条件的点，由C 、D 坐标可求得直线CD 的解析式，则可求得P 点坐标，利用勾股定理可分别求得AC 和CD 的长，则可求得此时△PAC 的周长．【解答】解：（1）∵A （﹣2，0），B （0，4），∴OA ＝2，OB ＝4，∵将△OAB 绕O 点顺时针旋转90°得△OCD ，∴OC ＝OA ＝2，OD ＝OB ＝4，AB ＝CD ，∴∠ACO ＝∠ECB ＝∠CBE ＝45°，∴∠CEB ＝90°，∴∠AEB ＝∠CED ，且CE ＝BE ，在Rt △ABE 和Rt △DCE 中：{xx =xx xx =xx∴Rt △ABE ≌Rt △DCE （HL ）；（2）由（1）可知D （4，0），且B （0，4），∴直线BD 解析式为y ＝﹣x +4，当M 点在x 轴上方时，则有CM ∥AN ，即CM ∥x 轴，∴M 点到x 轴的距离等于C 点到x 轴的距离，∴M 点的纵坐标为2，在y ＝﹣x +4中，令y ＝2可得x ＝2，∴M （2，2）；当M 点在x 轴下方时，同理可得M 点的纵坐标为﹣2，(在y ＝﹣x +4中，令y ＝﹣2可求得x ＝6，∴M 点的坐标为（6，﹣2）；综上可知M 点的坐标为（2，2）或（6，﹣2）；（3）由（1）可知AE ＝DE ，∴A 、D 关于直线EF 对称，连接CD 交EF 于点P ，则PA ＝PD ， ∴PA +PC ＝PD +PC ＝CD ，∴满足△PAC 的周长最小，∵C （0，2），D （4，0），∴可设直线CD 解析式为y ＝kx +2，∴4k +2＝0，解得k =−12， ∴直线CD 解析式为y =−12x +2，∵A （﹣2，0），D （4，0），∴F （1，0），即直线EF 解析式为x ＝1，在y =−12x +2中，令x ＝1可得y =32， ∴P （1，32）， 在Rt △AOC 中，由勾股定理可求得AC ＝2√2， 在Rt △COD 中，由勾股定理可求得CD =√22+42=2√5， ∴PA +PC +AC ＝CD +AC ＝2√5+2√2， 即△PAC 的周长最小值为2√5+2√2．。

专题训练4 平行四边形的存在性问题针对训练1、 如图已知抛物线y=-x 2-2x+3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 顶点为P.若以A 、C 、P 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标2、 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标3、 将抛物线c1:y=23x 3-+沿x 轴翻折，得到抛物线c2如图所示现将抛物线c1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ：将抛物线c2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D E 在平移过程中，是否存在以点A 、N 、F,M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理曰如图，4、 抛物线y=25x bx c 4-++与y 轴交于点A （0,1），过点A 的直线与抛物线交于为一点B （3.2），过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是x 轴正半轴上的一动点，过点P 作PN ⊥x 轴交直线AB 于点M ，交抛物线于点N 设OP 的长度为m ，连结CM 、BN ，当m 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度过点P作PD∥BC，交AB于点D，连结PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=，PD=（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度6、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（4,0）、B（0,3），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴上的一动点，且满足O=2x，连结DE，以DE、DA 为边作平行匹边形DEFA（1）如果平行四边形DEFA为矩形，求m的值（2）如果平行四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值真题演练7、（18衢州24）如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6,8），直线CD交AB于点D（6，3），交x轴于点C（12,0）（1）求直线CD的函数表达式；（2）动点P在x轴上从点（-10,0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O、B、M、Q为顶点的四边形是菱形？并求出此时t的值8、（19连云港26）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线L1：y=x 2+bx+c 过点C （0，-3），与抛物线L2：y=213222x x --+的一个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q 分别是抛物线L1，L2上的动点（1）求抛物线L1的函数表达式（2）若以A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求点P 的坐标；（3）设点R 为抛物线L1上另一个动点，且CA 平分∠PCR 若OQ ∥PR ，求点Q 的坐标9、（19南充25）抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （-1,0）、点B （-3,0）与y 轴交于点C ，且OB=OC （如图所示） （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且∠POB=∠ACB ，求点P 的坐标；（3）抛物线上有两点M 、N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为m+4.点D 是抛物线上M 、N 之间的动点，过点D 作y 轴的平行线交MN 于点①求DE 的最大值 ②点D 关于点E 的对称点为F ，当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形？10（17泰安28）如图是将抛物线y=-x 2平移后得到的抛物线，其中对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为A （-1,0），另一个交点为B ，与y 轴的交点为C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N 为抛物线上一点，且BC ⊥NC ，求点N 的坐标；（3）点P 是抛物线上一点，点Q 是一次函数y=2x+2的图象上一点，若四边形OAPQ 为平行四边形，这样的点P 、Q 是否存在？若存在，分别求出点P 、Q 的坐标；若不存在，请说明理由模拟训练11、（2018年长沙市中考模拟（三）第26题）如图，已知抛物线y=x2-2x+a（a<0）与y轴相交于点A，顶点为M直线y=2x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线M相交于点N.（1）试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标；（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，AN与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线y=x2-2x+a上是否存在一点P，使得以P、A、 C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由12、（2019年内蒙古准格尔旗中考模拟第24题）如图所示，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A （-1,0）、C（2,3）两点，其顶点为D（1）求抛物线及直线AC的函数关系式（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶4O点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，直接写出△APC的面积的最大值及此时点P的坐标专题预测13、如图，在平面直角坐标系中，矩形1BC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（3.33）。

例题精讲考点一：一次函数中等腰三角形存在性问题【例1】．如果一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，M点在x轴上，并且使得以点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形，则M点的坐标为．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为．【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．（1）求点C的坐标．（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△OPC是等腰三角形时P的坐标．考点二：一次函数中直角三角形存在性问题【例2】．已知点A、B的坐标分别为（2，2）、（5，1），试在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形．【变2-1】．如图，一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），且与x轴相交于点B．若点P 是x轴上的一点，且满足△ABP是直角三角形，则点P的坐标是．【变2-2】．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（﹣2，﹣4）．（1）关于x、y的方程组的解为．（2）求△ABD的面积；（3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．考点三：一次函数中平行四边形存在性问题【例3】．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，3），B（﹣2，﹣1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．变式训练【变3-1】．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当B'C'经过点D时，求△BCD平移的距离及点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．考点四：一次函数中矩形存在性问题【例4】．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．变式训练【变4-1】．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求点H到x轴的距离；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点五：一次函数中菱形存在性问题【例5】．如图1，直线y＝x+6与x，y轴分别交于A，B两点，∠ABO的角平分线与x轴相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）在直线BC上有两点M，N，△AMN是等腰直角三角形，∠MAN＝90°，求点M 的坐标；（3）点P在y轴上，在平面上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．变式训练【变5-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣2），与直线CD交于点A（m，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F，若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．1．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，1），连接OA，点P是x轴上的一动点，如果△OAP是等腰三角形，请你写出符合条件的点P坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为．4．如图，一次函数y＝k2x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y＝k1x的图象相交于点A（3，4），且OA＝OB．（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．5．直线l1交x轴于点A（6，0），交y轴于B（0，6）．（1）如图，折叠△AOB，使BA落在y轴上，折痕所在直线为l2，直线l2与x轴交于C 点，求C点坐标及l2的解析式；（2）在直线l1上找点M，使得以M、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足条件的M点的坐标．6．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+8k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，6）．（1）求点A的坐标；（2）如图1，将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点C，求直线BC的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC上有一点M，坐标平面内有一点P，若以A、B、M、P 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点P的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，6）．（1）求一次函数的解析式；（2）求△BOC的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点A（﹣6，0），交y轴于点B．（1）求m的值与点B的坐标（2）问在x轴上是否存在点C，使得△ABC的面积为16？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．（3）问在x轴是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形，求出点P坐标．（4）一条经过点D（0，2）和直线AB上的一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分，请求出这条直线的函数表达式．9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线y＝kx于P（2，a）．（1）求点A、B的坐标；（2）若Q为x轴上一动点，△APQ为等腰三角形，直接写出Q点坐标；（3）点C在直线AB上，过C作CE⊥x轴于E，交直线OP于D，我们规定若C，D，E 中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则称C，D，E三点为“和谐点”，求出C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标．10．如图所示，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）．（1）求△AOB的面积；（2）动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当动点M在x轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两点，连接BC，且OC＝OB．（1）求点A的坐标及直线BC的函数关系式；（2）点M在x轴上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的坐标；（3）若点P在x轴上，平面内是否存在点Q，使点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知，一次函数y＝的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．（1）求点A，点B的坐标．（2）求点C到直线l的距离．＝S△BCP，求点P的坐标．（3）若S△AOC（4）若点E是直线y＝上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．14．如图，经过点B（0，2）的直线y＝kx+b与x轴交于点C，与正比例函数y＝ax的图象交于点A（﹣1，3）（1）求直线AB的函数的表达式；（2）直接写出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；（3）求△AOC的面积；（4）点P是直线AB上的一点，且知△OCP是等腰三角形，写出所有符合条件的点P 的坐标．15．如图1，已知直线l1：y＝kx+4交x轴于A（4，0），交y轴于B．（1）直接写出k的值为；（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线l2：经过AB的中点P，点Q（t，0）为x轴上一动点，过Q作QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；（3）如图3，已知点M（﹣1，0），点N（5m，3m+2）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求点N坐标．16．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC＝1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM 的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C 在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D 处．（1）点A的坐标是，点B的坐标是，AB的长为；（2）求点C的坐标；＝S△OCD，直接写出点M的坐标．（3）点M是y轴上一动点，若S△MAB（4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，直角坐标系中，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（3，0），点B（0，﹣4），过D（0，8）作平行x轴的直线CD，交AB于点C，点E（0，m）在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在x轴正半轴上，且AG＝AF．（1）求直线AB的函数表达式．（2）当点E恰好是OD中点时，求△ACG的面积．（3）是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．20．如图直线l：y＝kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C两点，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．（1）求k的值．（2）若点P是直线l在第二象限内一个动点，当点P运动到什么位置时，△PAC的面积为3，求出此时直线AP的解析式．（3）在x轴上是否存在一点M，使得△BCM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C（﹣4，﹣4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD＝10（1）求点D的坐标和直线l的解析式；（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（不必书写解题过程）22．直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B、C两点，且＝．（1）求点B的坐标和k的值；（2）若点A时第一象限内的直线y＝kx﹣4上的一动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，一次函数y1＝x+n与x轴交于点B，一次函数y2＝﹣x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，﹣）．（1）则点B的坐标为，点C的坐标为；（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，4），与直线y＝﹣x﹣1在第四象限相交于点B，连接OB，△AOB的面积为6．（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；（2）已知点M在直线AB右侧，且△MAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出符合条件的点M的坐标．25．综合与探究：如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2：y＝kx+b（k≠0）交于点C（1，m）与x轴交于点B．（1）求直线l2对应的函数解析式；（2）请直接写出不等式kx+b＜x+3的解集；（3）若点N在平面直角坐标系内，则在直线l1上是否存在点F使以A，B，F，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．26．一次函数y＝kx+（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（1，0）、B（0，m）两点．（1）求一次函数解析式和m的值；（2）将线段AB绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处．点P在直线AB上，直线CP把△ABC分成面积之比为2：1的两部分．求直线CP的解析式；（3）在第二象限是否存在点D，使△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝k2x的图象交点为C（3，4）．（1）求正比例函数与一次函数的关系式．（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．（3）在y轴上是否存在一点P使△POC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标．28．在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝﹣x+3与坐标轴相交于A，B两点，直线l2：y2＝kx+b（k≠0）与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E的横坐标为2．已知OC＝，点P是直线l2上的动点．（1）求直线l2的函数表达式；（2）过点P作x轴的垂线与直线l1和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P点的坐标；（3）若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．29．（1）认识模型：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）应用模型：①已知直线y＝﹣2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B顺时针旋转90度，得到线段CB，求点C的坐标；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（5，4），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣3上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形ADPQ是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．30．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，点B的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC、BC于点E、D，且点D的坐标是（，6）．（1）求BF的长度；（2）如图2，点P在第二象限，且△PDE≌△CED，求直线PE的解析式；（3）若点M为直线DE上一动点，在x轴上是否存在点N，使以M、N、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。

八年级数学培优第十三讲平行四边形与一次函数第十二讲平行四边形与一次函数考点•方法•破译⒈理解并掌握平行四边形的定义、性质、和判定方法，并运用它们进行计算与证明.⒉理解三角形中位线定理并会应用.⒊了解平行四边形是中心对称图形.经典•考题•赏析【例3】（南昌）如图:在平面直角坐标系中,有A（0,1）,B（－1,0）,C（1,0）三点.⑴若点D与A、B、C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D 的坐标；⑵选择⑴中符合条件的一点D，求直线BD的解析式．【解法指导】已知固定的三个点，作平行四边形应有三种可能性，如图所示，因而本题D点坐标应有三种可能性．【解】⑴D1（2，1）D2（－22，1）D3（0，－1）⑵若选择D3（0，－1），可求得解析式：y ＝－x－1【变式题组】已知固定的三个点，作平行四边形时应有三种可能性，如图所示，因而本题D点坐标应有三种可能性．【解】⑴D1（2，1）D2（－2，1）D3（0，－1）⑵若选择D3（0，－1），可求得解析式：y ＝－x－1【变式题组】3＋3与y01．如图，直线l1:y ＝－x2轴交于点A，与直线l2交于x轴上同一点B，直线l2交y轴于点3C，且点C与点A关于x轴对称．⑴求直线l2的解析式；⑵设D（0，－1），平行于y轴的直线x＝t分别交直线l1和l2于点E、F．是否存在t的值，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．02．如图，在直角坐标系中，A（1，0），B（3，1x上是否0），P是y轴上一动点，在直线y＝2存在点Q，使A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．4503．（四川资阳）若一次函数y ＝2x －1和反比例函数y ＝x k 2的图象都经过点（1，1）．⑴求反比例函数的解析式；⑵已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标；⑶利用⑵的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．【例4】（齐齐哈尔）如图1.在四边形ABCD 中,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME＝∠CNE（不需证明）(温馨提示:在图1中，连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．)问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB 与CD相交于点O,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于M、N，判断∆OMN的形状，请直接写出结论．67问题二:如图3，在∆ABC 中，AC >AB ,D 点在AC 上，AB ＝CD ,E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ,若∠EFC ＝60°,连接GD ,判断∆AGD 的形状并证明.【解法指导】出现中点，联想到三角形中位线是常规思路，因为三角形中位线不仅能进行线段的替换，也可通过平行进行角的转移．【解】⑴△OMN 为等腰三角形．⑵△AGD 为含有30°的直角三角形．证明：连接BD ，取BD 的中点M ，连接FM 、EM ．∵AF ＝FD ，BM ＝MD ∴MF //21AB 同理ME //21CD ．∵AB ＝CD ∴MF ＝ME ，RP D CB A EF又∵∠2＝∠1＝60°，∴△MEF为等边三角形，∴∠4＝∠3＝60°，∠5＝60°∴△AGF为等边三角形∴FG＝FD∴∠ADG＝30°∴△AGD为含有30°的直角三角形．【变式题组】01．（扬州）如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（)A、线段EF的长逐渐增大B、线段EF的长逐渐减小C、线段EF的长不变D、线段EF的长与点P的位置有关02．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平89分线， BD ⊥AD 于D ,AB ＝12,AC ＝22,则MD 的长为（ ）.A .3B .4C .5D .6【例5】（浙江竞赛）如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°,点M 在BC 上，且BM ＝AC ,点N 在AC 上，且AN ＝MC ,AM 与BN 相交于点P ,求证：∠BPM ＝45°.【解法指导】题中相等线段关联性不强，能否把相等的线段（或角）通过改变位置，将分散的条件集中，从而构造全等三角形解决问题．【解】方法一、如图2，过M 作 ME AN ,连接BE ,EN ,则得 AMEN , ∴ME ⊥BC ,AM ＝EN在△AMC 和△BEM 中 ，AC ＝BN ,∠BNE＝∠C＝90°, ME＝MC∴△AMC≌△BEM∴BE＝AM＝EN,∠3＝∠4 ∵∠1＝∠2,∠1＋∠4＝90°∴∠2＋∠3＝90°, ∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE＝45°,∴∠BPM＝45°方法2：如图3，过B作BF AN,连接AF,FM也可证得．【变式题组】01．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC,延长边AB到点D,延长CA到点E,连接DE，若AD＝BC＝CE＝DE,求∠BAC的度数．10演练巩固反馈提高05．（浙江金华）某广场有一个形状是平行四边形的花坛（如图）分别种有红黄蓝绿橙紫6得颜色的花，如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH ∥AD,那么下列说法错误的是A．红花，绿花种植面积一定相等B.紫花，橙花种植面积一定相等C.红花，蓝花种植面积一定相等D.蓝花，黄花种植面积一定相等06．（陕西）如图，l1∥l2BE∥CF, BA⊥l1DC⊥l2,下面四个结论中①AB＝DC;②BE＝CF③S△ADE＝S△DCF④S□ABCD ＝S□BCFE,其中正确的有（）A.4个B .3个C.2个D .1个07．(成都）已知四边形ABCD,有以下四个条件：①AB∥CD②AB＝CD③BC∥AD④BC＝AD从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD为平行四边形的选法种数有（）A.6种B.5种C.4种D.3种08．（厦门）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点，AD＝BC,∠PEF＝180,则∠PFE的度数为________09．.如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD中，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A恰好落在CD上的F点，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝3,AC＝4,将△ABC沿直线BC向右平移2.5个单位得到△DEF,AC与DE相交于点G,连接AD,AE,则下列结论中成立的是____①四边形ABED是平行四边；②△AGD≌△CGE③△ADE为等腰三角形④AC平分∠EAD11．(长春）如图□ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝AE.求证:△ABC≌△EAD若AE平分∠DAB,∠EAC＝25°,求∠AED的度数．12．(荆州)如图，□ABCD内一点E满足ED⊥AD于D,且∠EBC＝∠EDC,∠ECB＝45°,找出图中一条与EB相等的线段，并加以证明．13．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F,连接DC,AE.⑴求证：△ADE≌△DFC⑵过点E作EH∥DC交DB于点G ,交BC于点H,连接AH,求∠AHE的度数．。

特殊四边形存在性问题平行四边形：如果已知三个定点，则形成三条定线段，把每条定线段看成对角线，利用对角形互相平分解决。

如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．菱形：通常转化为等腰三角形存在问题。

矩形：通常转化为直角三角形存在问题。

正方形：通常转化为等腰直角三角形存在问题。

针对训练1．如图，已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P ．若以A 、C 、P 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝－x 2+2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．3.如图（1），抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为（﹣2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）①若点D 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，连接CD ，以OE 为直径作⊙M ，如图（2），试求当CD 与⊙M 相切时D 点的坐标；②点F 是x 轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G ，使A 、C 、G 、F 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．21y x x c 4=-++4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 经过A (－1,0)、B (0,3)两点，与x 轴交于另一点C ，顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式及点C 、D 的坐标；（2）经过点B 、D 两点的直线与x 轴交于点E ，若点F 是抛物线上一点，以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点F 的坐标；（3）如图2，P （2，3）是抛物线上的点，Q 是直线AP 上方的抛物线上一动点，求△APQ 的最大面积和此时Q 点的坐标．5.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA ，OC 的长是一元二次方程x 2﹣18x+72=0的两根（OA ＞OC ），BE=5，tan ∠ABO=．（1）求点A ，C 的坐标；（2）若反比例函数y=的图象经过点E ，求k 的值； （3）若点P 在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q ，使以点C ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q 的个数，并直接写出位于x 轴下方的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．43kx6.将抛物线c 1：2y =x 轴翻折，得到抛物线c 2，如图所示．现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．7．已知平面直角坐标系xOy （如图），一次函数334y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图像上，且MO ＝MA ．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长； （2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数334y x =+的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．8.如图，直线y=x ﹣4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ，连接BC ．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标； （2）点M 在抛物线上，连接MB ，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M 的坐标；（3）点P 从点C 出发，沿线段CA 由C 向A 运动，同时点Q 从点B 出发，沿线段BC 由B 向C 运动，P 、Q 的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q 点到达C 点时，P 、Q 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D ，使P 、Q 运动过程中的某一时刻，以C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D 的坐标；若不存在，说明理由．9．已知抛物线2(2)y a x b =-+ (0)ab <的顶点为A ，与x 轴的交点为B ，C （点B 在点C 的左侧）．（1)直接写出抛物线对称轴方程；（2）若抛物线经过原点，且△ABC 为直角三角形，求a ，b 的值；（3）若D 为抛物线对称轴上一点，则以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，请求出a ，b 满足的关系式；若不能，说明理由．21y x bx c 3=++10．如图，已知双曲线6yx与直线AB交于A、B两点，与直线CD交于C、D两点．（1）求证四边形ACBD是平行四边形；（2）四边形ACBD可能是矩形吗？可能是正方形吗？（3）如果点A的横坐标为3，点C的横坐标为m(m＞0)，四边形ACBD的面积为S，求S与m的之间的关系式．。

“一般”与“特殊”我们常把要研究的对象分为“一般对象”或“特殊对象”，例如，当我们把平行四边形看作一般对象时，矩形、菱形和正方形就是其中的几种特殊对象，即几种特殊的平行四边形.又如，当我们把一次函数y=kx+b（k≠0）看作一般对象时，正比例函数y=kx（k≠0）就是一种特殊对象，即一种特殊的一次函数.一般对象与特殊对象的关系是：一般对象中包含了特殊对象.一般对象的性质，指的是其中各个特殊对象都具有的共性.例如，任一平行四边形都有“对边相等”“对角相等”“对角线互相平分”等性质.特殊对象存在于一般对象之中，特殊对象不仅具有一般对象都具有的共性，而且还有自己的特性.例如，矩形不仅具有平行四边形的所有性质，而且还有“四个角都是直角”“两条对角线相等”等特性，这些特性并非任一平行四边形都会具有.我们研究对象时，有两种不同的途径.一种是从研究一般对象发展到研究特殊对象，另一种是从研究特殊对象发展到研究一般对象，我们需要根据研究对象的特点，选择适当的研究途径，一、“从一般到特殊”的研究途径举例回顾人教版初中数学教科书的第十八章《平行四边形》，大家会发现教科书展现的是“从一般到特殊”的研究途径.这章的第一节，从认识平行四边形的定义出发，以平行四边形的基本特征（两组对边分别平行）为基础，推导出平行四边形的性质，并由性质的逆命题推导出判定一个四边形是平行四边形的条件（“两组对边分别相等”“两组对角分别相等”“对角线互相平分”“一组对边平行且相等”等）.这章的第二节，依次认识矩形、菱形和正方形.矩形是有一个角是直角的平行四边形.相对于一般平行四边形，矩形特殊在“有一个角是直角”.根据这一特征，再加上一般平行四边形的共性，就能推导出矩形的特性以及判定方法.菱形是有一组邻边相等的平行四边形.相对于一般平行四边形，菱形特殊在“有一组邻边相等”，根据这一特征，再加上一般平行四边形的共性，就能推导出菱形的特性（“四条边都相等”“对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角”等）以及判定方法.正方形是四条边都相等并且四个角都相等的四边形，它既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以它不仅具有一般平行四边形的共性，而且具有矩形和菱形的特性，在认识了平行四边形、矩形和菱形之后，对正方形这种特殊性更强的平行四边形的认识就水到渠成了.平行四边形、矩形、菱形和正方形的包含关系，可以用图1来表示.图1直观地显示出一般对象（平行四边形）包含了特殊对象（矩形和菱形），特殊对象又包含了更特殊的对象（正方形）.由图l可以看出，特殊对象处于一般对象范围之内的特定区域，这表示它除具有一般对象的属性之外，还具有特定的性质，一般地说，如果对象4包含对象B，那么A的外延（即范围）大，B的外延小；A的内涵（即属性）少，B的内涵多.纵观这章的体系结构，“先研究一般平行四边形，再研究特殊平行四边形”这一“从一般到特殊”的发展脉络十分清晰，三、“从特殊到一般”的研究途径举例回顾人教版初中数学教科书第十九章《一次函数》第二节“一次函数”，大家会发现教科书展现的是“从特殊到一般”的研究途径.这节的第一小节，从认识正比例函数的定义出发，以正比例函数的基本对应关系y=kx（k≠0）为基础，由描点法得出正比例函数的图象是通过原点的一条直线.而由“k>0时，图象经过第一、三象限，从左到右上升；k0时，随着x的增大y也增大；k<0时，随着x的增大y反而减小）.至此，完成了用“定义一图象一性质”这一模式研究正比例函数的过程.这节的第二小节，在正比例函数关系y=kx（k≠0）的基础上，添加常数6，使函数关系发展成为y=kx+b（k≠0），引出了一般的一次函数的定义.按一次函数的定义可知，正比例函数是一种特殊的一次函数，其特殊性在于常数b=0.在研究一次函数的图象时，教科书没有重复描点法这一“原始的”方法，而是引导我们发现y=kx与y=kx+b（k≠0）的联系，借助正比例函数的图象得出一般的一次函数的图象.具体的认识过程是，先提出问题：画函数y=-6x和y=-6x+5的图象，由于y=-6x是正比例函数，其图象是第一小节已经研究过的问题，我们很容易得出它是过原点和点（1，-6）的一条直线.对比两个函数的解析式，可以联想到一次函数y=-6x+5的图象是平行于直线y=-6x并且比它高5个单位的一条直线（图2）.进一步，容易得出一般的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象为过点（0，b）和点（1，k+b）的一条直线，掌握了一次函数的图象后，联系正比例函数的增减性，借助图象的直观描述，容易得出一次函数的增减性（k>0时，随着x的增大y也增大；k<0时，随着x的增大y反而减小）.至此，完成了用“定义一图象一性质”这一模式研究一次函数的过程.纵观这节的体系结构，“先研究正比例函数这种特殊的一次函数，再研究一般的一次函数”这一“从特殊到一般”的发展脉络十分清晰，三“由浅入深，由简至繁，由易到难”进行研究“从一般到特殊”和“从特殊到一般”是两种过程相反的研究途径，但它们并非是“一对一错”的对立关系，它们各自都有用武之地，关键在于要用得恰到好处，要适合研究的对象，“由浅入深，由简至繁，由易到难”是一般研究过程的规律，不论是“从一般到特殊”，还是“从特殊到一般”，都应遵循这样的规律.例如，矩形、菱形和正方形是特殊的平行四边形，它们的内涵比一般平行四边形更多，性质更复杂，判定条件更严苛，而且对它们的研究不能脱离对一般平行四边形的认识，因此“从一般到特殊”地研究平行四边形是符合认识规律的，又如，正比例函数y=kx（k≠0）是特殊的一次函数，与一般的一次函数y=kx+b（k≠0）相比，正比例函数所具有的b=0的特征使其在形式上更简单，由此其图象的位置也更容易确定（必定过原点）.正是由于这些特性，使正比例函数成为一次函数中最简单的特殊对象，而且在认识它的基础上很容易扩展到一般的一次函数，因此“从特殊到一般”地研究一次函数是符合认识规律的，俗话说“到什么山唱什么歌”“看菜吃饭，量体裁衣”，研究不同的对象，有可能采取不同的研究途径，要具体问题具体分析，没有一成不变的方法.同学们，回顾并总结研究问题的方法，对于提高研究问题的能力非常有益.认识一般对象与特殊对象的辩证关系，对于更全面地认识事物十分重要.。

一次函数与四边形存在性【学习目标】1．熟练运用一次函数解决特殊四边形存在问题；2．体会数形结合的思想方法；体会一次函数与几何图形的内在联系．平行四边形问题:（注意点的顺序）1.给三点，先连接三点构成三角形；然后以每边为对角线构造平行四边形；以中点公式或者平移法求点坐标。

2.给两点，分为边和对角线讨论，充分利用平行四边形对边平行且相等，对角线平分两个全等三角形来做。

1.在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为．（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为．（2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．2.已知点A、B、C、D可以构成平行四边形，且点A（－1，0），点B（0，3），点C（3，0），则第四个顶点D的坐标为_________________________；xy BCA O举一反三：1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，以线段AB 为边作菱形ABCD （点C 、D 在第一象限），且点D 的纵坐标为9． （1）求点A 、点B 的坐标； （2）求直线DC 的解析式；（3）除点C 外，在平面直角坐标系xOy 中是否还存在点P ，使点A 、B 、D 、P 组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，函数122+=x y 的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点C ，且点C 为线段OB 的中点． （1）求直线AC 的表达式；（2）如果四边形ACPB 是平行四边形，求点P 的坐标．3. 如图10，直线102+-=x y 与x 轴交于点A ，又B 是该直线上一点，满足OA OB =， （1）求点B 的坐标；（2）若C 是直线上另外一点，满足AB=BC ，且四边形OBCD 是平行四边形，试画出符合要求的大致图形，并求出点D 的坐标.4.已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形ABCD ，且AD ∥BC ，AB=CD ，点A 在y 轴正半轴上，点B 、C 在x 轴上（点B 在点C 的左侧），点D 在第一象限，AD=3，BC=11，梯形的高为2，双曲线y=经过点D ，直线y=kx +b 经过A 、B 两点．O BA x yD（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）求双曲线y=和直线y=kx+b的解析式；（3）点M在双曲线上，点N在y轴上，如果四边形ABMN是平行四边形，求点N的坐标．5.如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（0，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴于点C，射线AD交y轴的负半轴于点D．当∠CAD绕着点A旋转时，OC﹣OD的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；（3）如图2，点M（﹣4，0）是x轴上的一个点，点P是坐标平面内一点．若A、B、M、P四点能构成平行四边形，请写出满足条件的所有点P的坐标（不要解题过程）．菱形问题:（注意点的顺序）一般给两点，一动点在某直线上，另一点在平面直角坐标系中。

一次函数与菱形存在性问题平行四边形性质：1、边：对边平行且相等；2、角：对角相等，邻角互补；3、对角线：互相平分。

1、在平面直角坐标中，有点O(0,0),A(-1,1),B(2,2).(1)求点C,使四边形OABC是平行四边形.yC某(2)求点C,使以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形.yC1(2,2)(-1,1)C2某(0,0)C3菱形性质：1、边：对边平行，邻边相等；2、角：对角相等，邻角互补；3、对角线：互相平分，互相垂直。

2、如图，D(4,0)和E(0,4),若点Q在直线DE上，在平面直角坐标系中求点P,使以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形.y(0,4)E.(0,0)..A(4,0)D..P(一)当以已知线段OD为对角线作OD的垂直平分线，交直线DE于Q,某轴于A。

∴OA=2,即A(2,0)Q(2,2)设DE所在直线为：y=k某+b某将D(4,0)和E(0,4)代入∴DE直线为：y=-某+4在y=-某+4中，令某=2,解得y=2,∴Q(2,2)2、如图，D(4,0)和E(0,4),若点Q在直线DE上，在平面直角坐标系中求点P,使以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形.yP1Q3Q1P3(4,0)A某(二)当已知线段OD为边(1)在DE上截取DQ1=DO,作菱形ODQ1P1。

∴OP1=OD=4∵直线DE:y=-某+4∴∠ED0=45°∴∠P1OA=45°Rt△OAP1中，由Sin45°=∴OA=AP1=22∴P1(22,2)222P2Q2∴P2(22,22)3、已知直线y=2某+4与某轴，y轴分别交于A、B两点，y轴上有一点M,平面内是否存在一点N,使以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由.(一)当已知线段AB为对角线yB解：取AB中点C,过C作CM⊥AB,交y轴与点M。

取CN=CMNC..MO方法1:MN⊥AB,K1·2=-1K将C点坐标代入；方法2:在Rt△OAM中，设OM=某某A则AM=BM=4-某.使用勾股定理3、已知直线y=2某+4与某轴，y轴分别交于A、B两点，y轴上有一点M,平面内是否存在一点N,使以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由.y(二)当已知线段AB为边M2在y轴上截取BM2=BA,BM1=MA,N2(0,4)BA(-2,0),B(0,4),AB=作菱形ABM1N1和ABM2N2。

一次函数与平行四边形存在性问题1．坐标系中的平行四边形：（1）对边平行且相等2. 线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点A坐标为(x1,y1)，点B坐标为(x2,y2)，则线段AB的中点坐标为(221xx+,221yy+).2.1平行四边形顶点坐标公式□ABCD的顶点坐标分别为A(x A,y A)、B(x B,y B)、C(x C,y C)、D(x D,y D)，则：x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D.证明：如图2，连接AC、BD，相交于点E．∵点E为AC的中点，∴E点坐标为(2CA xx+,2CA yy+).又∵点E为BD的中点，∴E点坐标为(2DB xx+,2DB yy+).∴x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D.即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．以上两条可统一为：总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等方法归纳：1、列出四个点坐标2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组3、验证点是否符合题意如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段OA，OC的长分别是m，n且满足（m﹣6）2+＝0，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E处（1）求线段OD的长；（2）求点E的坐标；（3）DE所在直线与AB相交于点M，点N在x轴的正半轴上，以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形时，求N点坐标．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B 的坐标分别A（32-，0）、B（32-，2），∠CAO=30°．（1）求对角线AC所在的直线的函数表达式；（2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标；（3）在平面内是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与y轴交于点A，过B（6，1）的直线l2与直线l1交于点C（m，﹣5）．（1）求直线l2的解析式；（2）若点D是第一象限位于直线l2上的一动点，过点D作DH∥y轴交l1于点H．当DH＝8时，试在x轴上找一点E，在直线l1上找一点F，使得△DEF的周长最小，求出周长的最小值；（3）如图2，将直线l2绕点A逆时针旋转90°得到直线l3，点P是直线l3上一点，到y轴的距离为2且位于第一象限．直线l2与x轴交于点M，与y轴交于点N，将△OMN沿射线NM方向平移2个单位，平移后的△OMN记为△O'M'N'．在平面内是否存在一点Q，使得以点M′，C，P，Q顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l2：y＝﹣x+与x轴交于点B，与直线l1：y＝x+b交于点C，C 点到x轴的距离CD为2，直线l1交x轴于点A．（1）求直线l1的函数表达式；（2）如图2，y轴上的两个动点E、F（E点在F点上方）满足线段EF的长为，连接CE、AF，当线段CE+EF+AF 有最小值时，求出此时点F的坐标以及CE+EF+AF的最小值；（3）如图3，将△ACB绕点B逆时针方向旋转60°，得到△BGH，使点A与点H对应，点C与点G对应，将△BGH沿着直线BC平移，平移后的三角形为△B′G′H′，点M为直线AC上的动点，是否存在分别以C、O、M、G′为顶点的平行四边形，若存在，请求出M的坐标；若不存在，说明理．。

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平行四边形存在性问题
平行四边形存在性问题 第一篇
主讲人： 日 期：2022-11-15
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平行四边形存在性问题
平行四边形存在性问题分类
类型一、三定点一动点
此种情况是三个点固定，另外一个动点可能在正比例函数、一次函数、反比例 函数、二次函数上，也可能在x轴、y轴或者坐标平面上。
问题是先找动点位置，再求出动点坐标可以使这四个点构成平行四边形；
B、P两点为对点，则B、P中点坐标 5 x0 ， 2 y0
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4 2 5 x0
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2
2
2
2
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平行四边形存在性问题
例题解析：如图，抛物线y= - x2 + x +2 与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C
，点P是平面内一点，判断有几个点P能使以点A、B、C、P为顶点的四边形是平
C
则P1、P2、P3就是所求的动点的具体位置，可以使四 边形ABCP为平行四边形。
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1 平行四边形存在性问题
问题二：如图，在平面直角坐标系中，已知□ABCD的顶点坐标分别是A（-4，2）， B（-5，-2），C（2，1），如何确定点P（x0，y0）？
y
A（-4，2）
7
O
7
B（-5，-2）
P（x0，y0）
顶点的四边形是平行四边形，求出P点坐标。
y
第一步：先求出A（1，0），B （0，1），C（-1，-1），
连接A、B、C组成三角形
P1
第二步：过A点做BC平行线，
（0，1）B
P3
O
C
（-1，-1）
A（1，0）
过B点做AC平行线，
过C点做BC平行线， 则三条平行线的三个交点即为P1、P2、 x 第P三3 步：利用点的平移法或者对点法进行点P坐标求解 ∴ P1（2，2），P2（-2，0），P3（0，-2）

1平行四边形存在性Ø知识点睛1.存在性问题处理框架：①研究背景图形．②根据不变特征，确定分类标准．③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解．④结果验证．2.平行四边形存在性问题特征举例：①三定一动，连接定点出现三条定线段．定线段分别作为平行四边形的________，利用________确定点的坐标．②两定两动，连接定点出现一条定线段．若定线段作为平行四边形的________，则通过________确定点的坐标；若定线段作为平行四边形的________，则定线段绕________旋转，利用________________确定点的坐标．Ø精讲精练1.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(4，0)，点C 在y 轴正半轴上，且OB =2OC ．若M 是坐标平面内一点，且以点M ，A ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形，则点M 的坐标为_____________________．2.如图，在平面直角坐标系中，已知A (3，0)，B (0，1)，C (2，2)，若D 是坐标平面内一点，且以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标为______________．CB A yOxxC BAy O3. 如图，在平面直角坐标系中，直线323y x =+与坐标轴分别交于点A ，B ，点C 在y 轴正半轴上，且12OA AC =，直线CD ⊥AB 于点P ，交x 轴于点D ．在坐标平面内是否存在点M ，使得以点B ，P ，D ，M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由．xy ABCD OPxy ABCD OP4. 如图，在平面直角坐标系中，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点C 的坐标为(0，2-)．若点D 在直线AB 上运动，点E 在直线AC 上运动，当以点O ，A ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形时，求点D 的坐标．的坐标．y xCB AO5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是直角梯形，是直角梯形，BC ∥OA ，∠OCB =90°，AB =5，BC =1，直线112y x =-+经过点A ，且与y轴交于点D ．若M 是直线AD 上的一个动点，则在x 轴上是否存在点N ，使得以点O ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．标；若不存在，请说明理由．y xCB AO y x DC BA O y xD C BAO6. 如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，四边形四边形OABC 是矩形，顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，顶点B 的坐标为(3，4)，点E 在OC 边上，点F 的坐标为(2，4)．将矩形OABC 沿直线EF 折叠，点C 落在AB 边上的点G 处，若点N 在x 轴上，则直线EF 上是否存在点M ，使得以点F ，G ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由．GF OAB C E xy GFOAB CE xy【参考答案】Ø 知识点睛 1. ①对角线①对角线 平移②边②边 平移平移 对角线对角线 其中点其中点 中点坐标公式 Ø 精讲精练1. (3,2)，(-3,2)，(5，-2) 2. (5,1)，(-1,3)，(1，-1) 3. 存在存在 (53，3)，(33-，3)，(3-，-3) 4. (125，65)，(285，-65) 5. 存在存在 (-3，0)，(7,0)，(3,0) 6. 存在存在 (4333-，3)，(4313-，3-)，(4313+，83-) 。

例1：（2014•江岸区模拟）已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角 线AC上的两点，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L7： 平行四边形的判定与性质．
【分析】先连接BD，交AC于O，由于四边形 ABCD是平行四边形，易知OB＝OD，OA＝ OC，而AE＝CF，根据等式性质易得OE＝OF， 再根据两组对角线互相平分的四边形是平行四 边形可证之．
解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点，
（2）当四边形 BEDF 是菱形时，BE＝DE＝DF，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD.
设 BE＝x，则 DE＝x，AE＝6－x，
∴∠OBE＝∠ODF.
在 Rt△ADE 中，DE2＝AD2＋AE2，
又∵∠BOE＝∠DOF，
【分析】由已知条件得到AE∥CF，∠1＝∠2 ＝90°，根据线段的和差得到BE＝DF，根据 全等三角形的性质得到AE＝CF，由平行四边 形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF，∠1＝∠2＝90°， ∵BF＝DE， ∴BF﹣EF＝DE﹣EF， 即：BE＝DF， 在Rt△ABE和Rt△CDF中，， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）， ∴AE＝CF， ∵AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴ND∥AM， ∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME， 又∵点E是AD边的中点， ∴DE＝AE， ∴△NDE≌△MAE， ∴ND＝MA， ∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）解：①当AM的值为1时，四边形AMDN是 矩形．理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝2． ∵AM＝AD＝1， ∴∠ADM＝30° ∵∠DAM＝60°， ∴∠AMD＝90°， ∴平行四边形AMDN是矩形； 故答案为：1；

平行四边形与一次函数代几综合平行四边形与一次函数可以在几个方面进行综合：
1. 几何关系，平行四边形是一个四边形，其对边平行且相等，
因此可以通过几何方法来研究平行四边形的性质和特点。

一次函数
则是代表了直线的数学关系，可以通过斜率和截距等参数来描述直
线的性质。

因此，可以研究平行四边形与一次函数在几何上的关系，比如平行四边形的对角线是否与一次函数的图像有关系，或者平行
四边形的边界是否可以表示为一次函数的方程等。

2. 坐标系中的表示，平行四边形可以在坐标系中用坐标点表示
其顶点，而一次函数则可以表示为y=ax+b的形式。

通过坐标系，可
以研究平行四边形的顶点坐标与一次函数的斜率和截距之间的关系，从而探讨它们之间的数学联系。

3. 数学问题，可以通过数学方法来研究平行四边形与一次函数
的关系，比如求解平行四边形的对角线与一次函数的交点坐标，或
者求解一次函数与平行四边形边界的交点等问题。

综上所述，平行四边形与一次函数可以在几何关系、坐标系中
的表示以及数学问题等多个方面进行综合研究，从而深入探讨它们之间的关系和联系。

学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期时 间主 题 第2讲-一次函数与平行四边形学习目标1．熟练运用一次函数解决特殊四边形存在问题；2．体会数形结合的思想方法；体会一次函数与几何图形的内在联系．教学内容上次课预习内容，让每个孩子将自己准备的问题展示给大家看，（下面两个例题给选择，时间够就两个都讲，不够就选讲）1． 已知点A 、B 、C 、D 可以构成平行四边形，且点A （－1，0），点B （0，3），点C （3，0），则第四个顶点D 的坐标为_________________________；参考答案：（4，3）或（—4，3）或（2，—3）；2．已知一次函数334y x =-+的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，如果点C 在y 轴上，存在点D 使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形，则D 的坐标为 ．xy BCA OxyD 2D 3D 1BCA Oy参考答案：123(4,0),(4,5),(4,5)D D D --；例题1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 为菱形，点A 的坐标为（0，1），点D 在y 轴上，经过点B 的直线4+-=x y 与AC 相交于横坐标为2的点E ． （1）求直线AC 的表达式； （2）求点B 、C 、D 的坐标．参考答案：（1）∵点直线4y x =-+经过横坐标为2的点E ，∴E （2，2）． 由点A （0，1），设直线AC 的表达式为1y kx =+， ∴1221,2k k =+=； ∴直线AC 的表达式为112y x =+． （2）设点C 的坐标为（2,1m m +），∵在菱形ABCD 中，BC //AD ，∴点B 的坐标为（2,24m m -+）．∵BA ＝BC ，∴22BA BC =； ∴222(20)(241)(124)m m m m -+-+-=++-．∴21260,0(),6m m m m -===舍去． ∴点B 、C 的坐标分别为（12,8-）、（12,7）． ∵AD ＝BC ＝15，∴OD ＝16， ∴D （0，16）．例题2：如图，在平面直角坐标系中，点C （－3,0），B （0，3），且∠OBA ＝∠BCO ，直线BA 与x 正半轴交于点A 。

平面直角坐标系中平行四边形的存在性问题一、教材分析平行四边形作为特殊的四边形,它不仅在八年级的“出镜率”很高，也一直是中考试题的主角，尤其是在综合了函数知识后动态研究它的存在性问题，对学生分析问题和解决问题的要求较高.通常借助于函数图像探究满足某些条件的平行四边形是否存在，主要考查平行四边形的判定和性质、函数解析式的确定和性质等基础知识,考查识图作图、运算求解、数学表达等能力,考查数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法.二、学情分析学生已经学习过平面直角坐标系、正比例函数、反比例函数、一次函数以及平行四边形和特殊的平行四边形的相关知识.他们对于以上内容的知识点掌握情况还是比较好的，绝大部分学生在解决单独一个内容的题目时还是不存在问题的.但是，当把知识点进行串联之后，学生面对此类综合应用题时，还是稍显难色.因此，我在设计本堂课的时，就想通过例题的讲解，引导学生积累解综合应用题的经验，从而提高学生解数学题目的能力.三、教学目标1．在掌握平行四边形的判定方法的基础上，能够根据题目的具体情况选择不同的判定方法，解决平面直角坐标系中的平行四边形存在性问题.2．经历例题探究过程，初步理解求解平面直角坐标系中平行四边形四边形存在性问题的一般思路.3．通过坐标系中平行四边形存在性问题的学习，再次感受分类讨论思想和数形结合思想在问题中的引用，进一步提高对较为复杂的数学问题的分析、解决能力.四、教学重点平面直角坐标系中平行四边形顶点的确立五、教学难点平面直角坐标系中的平行四边形存在性问题的分类六、教学过程1.例1如图，在平面直角坐标系中，A（3,0）、B（0，-3）、C（-1,0）,点M为平面直角坐标系上的一点，问：如果四边形ABCM为平行四边形，求点M的坐标.变式：如图，在平面直角坐标系中，A（3,0）、B（0，-3）、C（-1,0）,点M为平面直角坐标系上的一点，如果以A、B、C、M为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标.2.例2已知y轴上一点A(0，2)，点P为第一象限内一点，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形（1）求点P的坐标；(2)在(1)的条件下，点M在直线．．AP上．在平面内是否存在点N，使以O、A、M、N为顶点的四边形为菱形?若存在，直接写出所有．．满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由3.总结求解平面直角坐标系中四边形存在性问题的几种常见方法以及分类讨论的思想.4.补充内容（有时间就讲）回到例1，利用平行四边形对角线互相平分这个性质，介绍中点坐标计算公式.七、作业布置1.已知一次函数113y x=+的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B．点C的坐标为(2,0).（1）点D为平面内一点，若四边形ABCD是平行四边形，求满足条件的D点坐标．（2）点D为平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的D点坐标．2.如图，在直角坐标平面内，函数（x＞0，m是不为0的常数）的图像经过A（1,4）、B（a，b），其中a＞1，过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，联结AD,DC,CB.（1）若△ABC的面积为4，求点B的坐标；（2）当A、B、C、D四点构成平行四边形时，求点B的坐标.备用图3.如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB.（1）若E是x轴的点，且S△AOE=，求经过D、E两点的直线的解析式；（2）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由.备用图。

一次函数与特殊平行四边形专题1、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A〔4，0〕，B〔0，3〕．点C的坐标为〔0，m〕，其中m＜2，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD=2OC，连结DE，以DE，DA为边作▱DEFA．〔1〕图中AB= ；BE= 〔用m的代数式表示〕．〔2〕假设▱DEFA为矩形，求m的值；〔3〕是否存在m的值，使得▱DEFA为菱形？假设存在，直接写出m的值；假设不存在，请说明理由．2、在平面直角坐标系中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置，OB=10，BC=6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD〔含端点〕交于点E，与边OB〔含端点〕或其延长线交于点F．请答复：〔1〕如图1，假设点E的坐标为〔0，4〕，求点A的坐标；〔2〕将矩形沿直线y=- 1 x/2+n折叠，求点A的坐标；〔3〕将矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上〔含端点〕，直接写出k的取值范围．3、如图，在平面直角坐标系中，直线y=- 3 x/4+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为〔4，0〕，四边形ABCD是正方形．〔1〕填空：b= ；〔2〕求点D的坐标；〔3〕点M是线段AB上的一个动点〔点A、B除外〕，试探索在x上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？假设不存在，请说明理由；假设存在，请求出点N的坐标．4、如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点D在边0C上，点E在边OA上，把矩形沿直线DE翻折，使点O落在边AB上的点F处，且AF/AE=4/3．假设线段OA=8，又2AB=30A．请解答下列问题：(1)求点B、F的坐标：(2)求直线ED的解析式：(3)在直线ED、FD上是否存在点M、N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，假设存在，请直接写出点M的坐标；假设不存在，请说明理由．4、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是〔-3，0〕，〔0，6〕，动点P从点O 出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动。

一次函数与平行四边形存在性问题问题描述在平面几何中，我们知道一次函数可以用来表示一条直线的方程，而平行四边形则是具有平行边的四边形。

我们现在想研究以下问题：一次函数是否存在与平行四边形的边平行的斜率？解决方案我们将通过讨论一次函数的斜率和平行四边形的边进行分析。

一次函数的斜率一次函数可以用如下的一般方程表示：y = mx + c其中，`m` 表示斜率，`c` 表示截距。

斜率 `m` 是函数直线斜率的关键参数，它决定了直线的倾斜程度。

我们知道，当两条直线的斜率相等时，它们是平行的。

平行四边形的边平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边是平行的。

我们可以定义平行四边形的边为 `AB` 和 `CD`，并假设它们是平行的。

讨论现在，我们来探讨一次函数是否可能存在与平行四边形的边平行的斜率 `m`。

假设 `AB` 和 `CD` 是平行四边形的边，我们可以通过求解两个点的斜率来判断函数的斜率是否与平行四边形的边平行。

假设点 `A` 的坐标为 `(x1, y1)`，点 `B` 的坐标为 `(x2, y2)`，我们可以计算出两点的斜率 `m_AB`：m_AB = (y2 - y1) / (x2 - x1)同理，如果点 `C` 的坐标为 `(x3, y3)`，点 `D` 的坐标为 `(x4, y4)`，我们可以计算出另一条边的斜率 `m_CD`：m_CD = (y4 - y3) / (x4 - x3)如果 `m_AB` 等于 `m_CD`，那么一次函数存在与平行四边形的边平行的斜率。

总结通过对一次函数的斜率和平行四边形的边进行分析，我们得出结论：一次函数存在与平行四边形的边平行的斜率。

请注意，此结论仅在满足题设条件的情况下成立，具体问题具体分析。

此解决方案仅提供了一种可能的方法，具体问题的解决需要进一步讨论和推导。

参考资料：。