(完整版)一次函数与等腰三角形的存在性问题

一次函数的应用—线段和差、存在性问题一、一次函数线段和差最值问题【知识点】1. 最短路径原理【原理1】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小。

连AB，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为AB．【原理2】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作 B 关于l 的对称点B＇连A B＇，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【原理3】作法作图原理在直线l 上求一点P，使作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB .PBPA－（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式；（2）求三角形周长最小值；（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。

3. 口诀：“和小异，差大同”（一）一次函数线段和最小值问题【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy中，y轴上有一点P，它到点(4,3)A，(3,1)B 的距离之和最小，则点P的坐标是()A．(0,0)B．4(0,)7C．5(0,)7D．4(0,)5的值最大 .【原理4】作法作图原理在直线l 上求一点P，使的值最大 .作B 关于l 的对称点B＇作直线A B＇，与l交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤A B＇ .PB PA－PB PA－PB PA－★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)B-，在x轴上存在点P到A，B两点的A，点(2,1)距离之和最小，则P点的坐标是．★★☆练习2．如图，直线34120+-=与x轴、y轴分别交于点B、A两点，以线段AB为边在第一象限x y内作正方形ABCD．若点P为x轴上的一个动点，求当PC PD+的长最小时点P的坐标．★★☆例题2．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3∆的周长最小时，求点E OB=，D为边OB的中点，若E为x轴上的一个动点，当CDEOA=，4的坐标()A ．(3,0)-B ．(1,0)C ．(0,0)D ．(3,0)★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C 是y 轴上的一个动点，连接AC 、BC ，当ABC ∆的周长最小值时，ABC ∆的面积为 ．★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边 在第二象限内作正方形ABCD ．（1）求点A 、B 的坐标，并求边AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）在x 轴上找一点M ，使MDB ∆的周长最小，请求出M 点的坐标，并直接写出MDB ∆的周长最小值．（二）一次函数线段差最大值问题【例题讲解】★★☆例题1．已知，如图点(1,1)A，(2,3)B-，点P为x轴上一点，当||PA PB-最大时，点P 的坐标为()A．1(,0)2B．5(,0)4C．1(,0)2-D．(1,0)★★☆练习1．平面直角坐标系中，已知(4,3)A、(2,1)B，x轴上有一点P，要使PA PB-最大，则P点坐标为★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(6,0)，点P在一次函数1322y x =+的图象上运动，则PB PA -的最大值为( )A ．2B ．233C ．4D ．143【题型知识点总结】一次函数最短路径问题注意事项：1. 根据“和小异，差大同”判断是否需要作对称；2. 作对称时注意要选取动点运动的直线为对称轴作某一定点的对称点。

特殊三角形存在性知识点睛1.存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果．2.存在性问题处理框架：①研究背景图形．②分析不变特征，确定分类标准．③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解．④结果验证．3.不变特征举例：①等腰三角形以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定点的位置．②等腰直角三角形根据直角顶点确定分类标准，然后借助两腰相等或者45°角确定点的位置．精讲精练1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(-3，4)，P是x轴上的一个动点，则当△AOP是等腰三角形时，点P的坐标为____________．2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．将△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点O 落在AB 上的点D 处，折痕交x 轴于点E ． （1）求点D 的坐标．（2）x 轴上是否存在点P ，使得△PAD 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3. 直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，且43OB OA =．点C 在第一象限，是直线y =kx -4上的一个动点，当△AOC 的面积为6时，x 轴上是否存在点P ，使△ACP 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，直线334y x=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，在第一象限内是否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，直线y=x轴、y轴分别交于点A，B，点C在点A左侧，是x轴上一点，且满足AC=OA，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在第二象限内是否存在点P，使得△PAD是等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，Q是直线x=3上的一个动点，y轴正半轴上是否存在点P，使△APQ为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】 知识点睛1.运动的结果2.坐标或表达式 精讲精练1.(5,0)，(-5,0)，(-6，0)，(256-，0)2.（1）(-3（2）存在 (，0)，(-6-0)， (0，0)，(-4，0)3.存在(8，0)，(-2，0)，(9，0)，(436，0)4.存在(7，4)，(3，7)，(72，72)5.存在3，3)，6，3+)，6.存在(0，1)，(0，3)，(0，4)。

在总结回顾环节，我发现学生对今天所学知识点的掌握程度还是不错的。但我也注意到，有些学生在提问环节显得有些紧张，可能是因为担心自己的问题过于简单。在今后的教学中，我要努力营造一个轻松、自由的学习氛围，让学生敢于提问，勇于表达自己的疑惑。
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了《一次函数之等腰直角三角形的存在性》，整体来看，学生的学习效果还是不错的。但在教学过程中，我也发现了一些值得思考的问题。
首先，我发现有些学生对一次函数图像与等腰直角三角形之间的关系理解不够深入。在讲解过程中，我尽量用生动的例子和形象的比喻来帮助他们理解，但显然，这部分内容对于他们来说还是有一定难度的。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生的需求，尽可能用简单易懂的方式讲解难点，让他们能够真正消化吸收。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数和等腰直角三角形的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k是斜率，b是y轴截距。等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它的两条腰相等且与底边成直角。在一次函数图像中，等腰直角三角形的存在性与函数的斜率有关。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何在一次函数图像中找出等腰直角三角形，以及它如何帮助我们解决实际问题。
-运用逻辑推理和分析数据的能力，解决一次函数图像中等腰直角三角形的定位问题。
举例解释：
-解释斜率为1或-1时，图像上的点与原点的连线和x轴或y轴形成的特殊角度题时，指导学生如何从问题描述中提取关键信息，构建一次函数模型，并利用等腰直角三角形的性质进行解答。
其次，在实践活动环节，学生们的参与度很高，但部分小组在讨论时显得有些拘谨，可能是因为对等腰直角三角形在实际生活中的应用不够了解。在今后的教学中，我会多设计一些与实际生活紧密相关的案例，让学生在实践中更好地理解理论知识。

【八年级压轴精选】一次函数背景下的存在性问题与最值问题，一题通关！展开全文自编一题，融合多种存在性问题和最值问题，若有兴趣补充编题的请留言，八下内容，解法要避开相似。

1、求解析式①用尺规作出直线BC和点D，②求直线BC的解析式，③求点D坐标；2、存在性问题(1)全等三角形存在性：①P为平面内一动点，且满足△ABC与△ABP全等，求点P坐标；②P为直线BC上一动点，Q为x轴上一动点，且满足△ABC与△CQP全等，求点P坐标(2)等腰三角形存在性：P为直线BC上一动点，△ABP为等腰三角形，求点P坐标；(3)直角三角形存在性：直线l过原点，且与BC平行，P为直线l上一动点，△ABP为直角三角形，求点P坐标；(4)等腰直角三角形存在性：P为第二象限内上一动点，△ABP为等腰直角三角形，求点P坐标；(5)等边三角形存在性（九年级用）P为第二象限内上一动点，△ABP为等边三角形，求点P坐标；(7)平行四边形存在性：①三定一动：P为平面内一动点，且以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求点P坐标；②两定两动：P为直线AB上一动点，Q为y轴上一动点，且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P、Q的坐标；(8)菱形存在性：P为直线BC上一动点，Q为平面内一动点，且以A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，求点P、Q的坐标；(9)矩形存在性：直线l过原点，且与BC平行，P为直线l上一动点，Q为平面内一动点，且以A、B、P、Q为顶点的四边形为矩形，求点P、Q的坐标；本讲先来解析部分小题：1、求解析式①用尺规作出直线BC和点D，②求直线BC的解析式，③求点D坐标；（考查内容：尺规作图、图形折叠、待定系数法求解析式，勾股定理或等积法求线段长）①折叠想到重合，全等，可得BC为∠ABO平分线，完成基本作图作已知角的角平分线即可，由D、O重合，可知BD=BO，CD=CO，CD⊥AB，所以在AB上截取BD=BO或CD=CO，或过C作CD⊥AB 于D(此法较繁)②待定系数法求直线解析式，需知两点，已知B（0，6）只要知道点C坐标，算OC长，八年级求线段长两种方法：勾股和等积，如下：再来解析2（7），考查平行四边形存在性，解法参考我之前文章：“平四”存在性问题探究2(7)平行四边形存在性：①三定一动：P为平面内一动点，且以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求点P坐标；②两定两动：P为直线AB上一动点，Q为y轴上一动点，且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P、Q的坐标；②码字太累，手写版本：上面方法优点：1、不会漏解，2、无需画图(5)等边三角形存在性（九年级用）P为第二象限内上一动点，△ABP为等边三角形，求点P坐标；解法参考我之前文章：一题5解。

解题技巧与方法JIETI JIQIAO YU FANGFA员猿源 数学学习与研究 2022.12◎肖 杜1 罗 丽2∗ (1.重庆市南开两江中学校,重庆 401135;2.西南大学银翔实验中学,重庆 401533)【摘要】等腰三角形的存在性问题一直是中学数学的重点、难点,对学生的数学能力要求很高,又往往出现在压轴题中,让许多学生望而却步.本文从等腰三角形产生的原理上归类分析,先从常规的两圆一线说起,再到平移、旋转.特别是旋转过程中产生的等腰三角形,利用圆这个工具,能有效解决找不到、找不全的问题.【关键词】等腰三角形;存在性;两圆一线;平移;旋转在中考数学的压轴题中,等腰三角形的存在性问题是一个热门考点,也一直是教学中的重点、难点内容,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,让许多学生望而却步.本文从等腰三角形产生的原理上进行归类分析,谈谈解决此类问题的常用方法和策略.类型一 两圆一线产生等腰三角形1.如图1-1,点A 的坐标为(1,1),点B 的坐标为(4,3),在x 轴上存在一点C ,使△ABC 是等腰三角形,求出点C 的坐标.解析 分三种情况讨论△ABC :①AB =AC ②BA =BC ③CA =CB图1-1①当AB =AC 时,即以点A 为圆心,AB 长为半径画圆,与x 轴的交点即为此时的C 点(如图1-2),由图可知,此时的C 点有两个,分别记为C 1,C 2.过点A 作AH ⊥x 轴于点H ,AB =13,所以AC 1=AC 2=13,图1-2所以H (1,0),HC 1=HC 2=23,所以C 1(1-23,0),C 2(1+23,0).②当BA =BC 时,即以点B 为圆心,AB 长为半径画圆,与x 轴的交点即为此时的C 点(如图1-3),由图可知,此时的C 点有两个,分别记为C 3,C 4.图1-3过点B 作BH ⊥x 轴于点H ,所以BC 3=BC 4=AB =13,H (4,0),所以HC 3=HC 4=2,所以C 3(2,0),C 4(6,0).③当CA =CB 时,此时点C在AB 的垂直平分线上,所以AB 的垂直平分线与x 轴的交点即为此时的C 点(如图1-4),记为C 5.设点C 5的坐标为(x ,0),图1-4所以C 5A =(x -1)2+1,C 5B =(x -4)2+9,则(x -1)2+1=(x -4)2+9解得x =236,所以C 5236,0().综上,点C 的坐标为(1-23,0)或(1+23,0)或(2,0)或(6,0)或236,0().类型二 平移变换中的等腰三角形2.如图2-1,直线AB :y =-33x -1交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,将直线AB 沿x 轴翻折交y 轴于点C.将直线BA 沿射线AC 平移分别交AC 于点H ,交x 轴于点K ,当△OKH 为等腰三角形时,请写出OK 的长,并说明理由.图2-1解析 由题中给出的直线AB 的解析式可知,∠CAO =∠BAO =30°,从这个特殊的角度出发,通过平移、讨论,大致确定K ,H 的位置,通过几何计算,解决问题.JIETI JIQIAO YU FANGFA解题技巧与方法员猿缘数学学习与研究 2022.12①当KO =KH 时,根据平移,先大致确定两个位置,如图2-2,2-3所示,在图2-2中,过点H 作HM ⊥x 轴于点M ,因为∠HAK =∠HKA =30°,图2-2所以HA =HK ,AK =2MK =23HM ,KO =KH =2HM ,所以AO =23+2HM =3所以OK =2HM =3-32.在图2-3中,过点H 作HM ⊥x 轴于点M ,因为∠HAK =∠HKA =30°,图2-3所以HA =KH =KO ,AK =2MK =23HM.因为AK =AO +KO =AO +HK =3+2HM ,所以23=3+2HM ,所以HM =3+34,所以OK =2HM =3+32.②当OK =OH 时,如图2-4所示,过点H 作HM ⊥x 轴于点M ,图2-4因为∠HAK =∠HKA =30°,所以HA =HK =2HM ,OH =OK =2OM ,AM =KM =3OM ,所以AO =4OM =3,所以OM =34,所以OK =32.综上,OK 的长为3-32或3+32或32.为什么没有讨论HO =HK 呢?实际上若HO =HK ,则∠HOK =∠HKO =30°,而∠HAO =30°,显然矛盾,因此舍去了.类型三 旋转变换中的等腰三角形3.如图3-1,在平面直角坐标y =-2x -2与x轴交于点A ,与y 轴交于点C ,直线y -2与x 轴交于点B ,点E 是点A 关于y 轴的对称点,连接CE ,将△BCE 绕点E 旋转,旋转后点B ,C 的对应点分别为点B′,C′,在旋转过程中,直线B′C′与x 轴交于点M 、与直线BC 交于点N.当△BMN 是以MN 为腰的等腰三角形时,求BM 的长度.图3-1解析 在直线BC 绕点E 旋转的过程中,点E 到直线BC 的距离保持不变,过点E 作EH ⊥BC 于点H ,以点E 为圆心,EH 的长为半径作圆,记r =EH =3-12,则直线B′C′始终保持与☉E 相切,而∠MBN =30°不变.在旋转过程中,利用∠MNB 与∠NMB 的变化趋势确定所在位置.利用这个方法,不容易漏掉某些存在的情况,能帮助我们找出所有的解.①如图3-2,记此时的M ,N 为M 1,N 1,∠M 1N 1B =∠M 1BN 1=30°,所以∠EM 1N 1=60°,图3-2所以r EM 1=32,EM 1=2-33,所以BM 1=231-2-33=733-3.②如图3-3,记此时的M ,N 为M 2,N 2,∠M 2N 2B =∠M 2BN 2=30°,图3-3解题技巧与方法JIETI JIQIAO YU FANGFA员猿远 数学学习与研究 2022.12所以r EM 2=32,EM 2=2-33,所以BM 2=23-1+2-33=533+1.③如图3-4,记此时的M ,N 为M 3,N 3,∠N 3M 3B =∠M 3BN 3=30°,图3-4所以EM 3=2r =23-1,所以BM 3=23-1+23-1=43-2.综上,BM 的长为733-3或533+1或43-2.4.如图4-1,四边形OABC 是边长为6的正方形,点P为OA 边上任意一点(与点O ,A 不重合),连接CP ,若OP =23,把△OCP 绕点O 顺时针旋转一周的过程中,设旋转后的三角形为△OC′P′,直线C′P′与直线OB 的交点为Q ,当△OP′Q 为等腰三角形时,写出点Q 的坐标,并说明理由.图4-1解析由题可知,∠PCO =30°,∠COP =90°,在Rt △OCP 旋转的过程中,角度和边长均不发生变化,又OP =23,OC =6,从而点O 到线段CP 的距离不变,设点O 到线段CP 的距离为r ,则r =3.以点O 为圆心,r 为半径作圆,则在旋转过程中,CP 始终与☉O 相切,利用旋转过程中OQ 的长度变化趋势以及Q 点位置变化确定Q 点大致位置,再利用△OP′Q 为等腰三角形及∠AOB =45°,计算出Q 点的坐标.①如图4-2,记此时的P′,C′,Q 为P′1,C′1,Q 1,因为OP′1=OQ 1=23,∠AOB =45°,所以x Q1=y Q 1=232=6,所以Q 1(6,6).图4-2②如图4-3,记此时的P′,C′,Q 为P′2,C′2,Q 2,因为∠OP′2C′2=60°,所以∠Q 2P′2O =120°.图4-3又P′2O =P′2Q 2=23,所以OQ 2=OC′2=23×3=6,x Q 2=y Q 2=-62=-32,所以Q 2(-32,-32.③如图4-4,记此时的P′,C′,Q 为P′3,C′3,Q 3,因为OP′3=OQ 3=23∠Q 3P′3O =60°,所以此时的△Q 3P′3O 为等边三角形,当然,不难算出x Q 3=y Q3=-232=-6,所以Q 3(-6,-6).图4-4图4-5④如图4-5,记此时的P′,C′,Q 为P′4,C′4,Q 4,因为∠OP′4C′4=60°,所以∠Q 4P′4O =120°.又P′4O =P′4Q 4=23,所以OQ 4=OC′4=23×3=6,x Q 4=y Q 4=62=32,所以Q 4(32,32).综上,点Q 的坐标为(6,6)或(-32,-32)或(-6,-6)或(32,32).通过上面的例题,我们总结经验,发现等腰三角形的存在性问题找对、找全并不是太难,关键在于找到其中不变的量以及变化的量的变化趋势,同时要有克服困难的勇气,不断尝试突破,找到一些规律,也就慢慢熟练解题了.【参考文献】[1]刘正荣,董建功.关于等腰三角形存在性问题的解题策略初探[J ].中小学数学(初中版),2012(5):34-36.[2]于芸.等腰三角形存在性问题的解题策略[J ].中学数学研究(华南师范大学版),2013(20):34-35.[3]左效平.例析一次函数图像截出的等腰三角形问题[J ].初中数学教与学,2016(15):33-35.。

课前预习
如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角是30°，请在 直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形。这样的点能找到几个？ 请找出所有符合条件的点C。
C3 l
C1 C4 A
B C2
合作交流，探索新知
如图，直线 y 3 x 3与x轴、y轴分别交于A、B两点.
4
（1）直接写出A、B两点的坐标; （2）在x轴上是否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是
y
B
O
A
x
2、本节课涉及了哪些数学思想或方法？
（1）.数形结合思想
（2）.分类讨论思想
（3）.方程思想
课后练习，巩固提高
1、如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的边OC，OA
分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，
BC= ，点C的坐标为(-9，0)．
（1）求点B的坐标．
件的点；
存（2象．在的2为）交点底在点P：，就x做轴是使已上符以知合是线A条否、段件的的垂点直．平分线，中垂线y与所要求的图
B、P为顶点的三角
形是等腰三角形？
若存在，求出点P的
B 3 4-m
坐标；若不存在， 请说明理由；
P3
P1 O m P4 4-mA
P2
x
合作解交决存流在，性问探题小索策新略：知 如图假若，设能直存导线在出合→y 理推 的理3结论x 果证3与，→就得x轴做出、出结“论y轴存。分在别”的交判于断A；、B两点. 导出矛盾，就做4出不存在的判断。
B
么问题？你能解决它吗？
O
A
x
合作交流，探索新知
如图，直线 y 3 x 3与x轴、y轴分别交于A、B两点.

2019-2020一次函数与等腰三角形存在性专题（含解析）一、单选题1．一次函数分别交轴、轴于，两点，在轴上取一点，使为等腰三角形，则这样的点最多有几个（）A.5B.4C.3D.22．如图，直线y=x+与x轴、y轴分别交于点A、B，在坐标轴上找点P，使△ABP为等腰三角形，则点P的个数为（）A.2B.4C.6D.83．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y＝x上．若以A、B、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．34．在平面直角坐标系中，已知点A(－4，0)，点B(4，0)，若点C在一次函数122y x=-+的图象上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（）A.5个B.4个C.3个D.2个二、填空题5．如图，一次函数1y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A B 、，点M 在x 轴上，要使ABM ∆是以AB 为腰的等腰三角形，那么点M 的坐标是_____．6．如图，已知直线334y x =-+与坐标轴相交于A 、B 两点，动点P 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向运动，当点P 的运动时间是__________秒时，PAB ∆是等腰三角形．三、解答题7．已知正比例函数y ＝kx 经过点A ，点A 在第四象限，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为点H ，点A 的横坐标为3，且△AOH 的面积为3．（1）求正比例函数的表达式；（2）在x 轴上能否找到一点M ，使△AOM 是等腰三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线24y x =-+ 与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B 。

（1）求点A 和点B 的坐标；（2）若点P 在x 轴上，且BOP 1S AOB 2∆=∆ 求点P 的坐标。

（3）在y 轴是否存在点M ，使三角形MAB 是等腰三角形，若存在。

一次函数与三角形的存在性问题1．如图，直线y=2x+m（m＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），直线y=﹣x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y=2x+m（m＞0）相交于点D，若AB=4．（1）求点D的坐标；（2）求出四边形AOCD的面积；（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，求点E的坐标．2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与x轴交于A、与y轴交于B，点C（a，b），其中a＜b，且a、b是方程x2﹣7x+12=0的两根．（1）求直线AC的解析式；（2）点D为直线AC与y轴的交点，请求出△ABD和△BCD的周长差；（3）点E是线段AC上一动点，是否存在点E，使△COE为直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，34OBOA，点C(x,y)是直线y＝kx＋3上与A、B不重合的动点。

（1）求直线y=kx+3的解析式；（2）当点C运动到什么位置时，△AOC的面积是6；（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。

4、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A （0，m）、C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）2+=0，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求A、C两点的坐标；（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；（3）当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标并求t的值；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，A（18，0），B（12，8），C（0，8），动点P、Q分别从原点O、点B 同时出发，动点P沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1的单位长度的速度向C运动，当点Q到达C点时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒），直线PQ与直线AB交于点D．（1）直接写出线段AB的长为；（2）求直线AB的函数表达式；（3）当t=2时，求直线PQ的表达式以及点D的坐标；（4）直接写出所有t的值，使得此时△ADP是等腰三角形．6．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为多少时，△PQB为直角三角形．。

∴
∵AE=2，
∴
∴
又∵ ，
BC=OE=1，
∴
②如图，当AB为底时，作线段AB的垂直平分线，交直线x=-1于
点 ，并记AB的中点为D．
易得直线 的表达式为：y=x
∴ ．
综上，符合题意的点P的坐标为：
．
故选C．
试题难度：三颗星知识点：略
5.如图，直线 与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是坐标轴上一动点，若使△ABP为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )
A.8个B.6个
C.4个D.2个
答案：B
解题思路：
特征：
A，B为定点，P为坐标轴上的动点，
定线段AB当腰当底来分类，
当腰时利用两圆来找点，当底时利用一线来找点.
操作：
①当AB为腰时，以点A为圆心，AB长为半径作圆，与x轴交于点P1，P2，与y轴交于点P3；再以点B为圆心，AB长为半径作圆，与x轴的交点与P2重合（因为△ABP2是等边三角形），与y轴交于点P4，P5；
A.
B.
C.
D.
答案：D
解题思路：
研究背景图形：
由直线y=-x+2知，B（0，2），A（2，0），∠OAB=45°，
∴∠OBA=45°，
特征：
O，B为定点，P为直线AB上的动点.
定线段OB当腰当底来分类，
当腰时利用两圆来找点，当底时利用一线来找点.
操作：
①如图，当OB为腰时，分别以点O，B为圆心，OB长为半径作圆，与直线AB分别交于点P1，P2，P3，
则有 ，
∴
∴
在等腰 中，
∴ ，
∴
②如图，当AB为底时，作线段AB的垂直平分线，与y轴交于点P4，
在等腰 中， ，

3一次函数之存在性问题（一）（讲义）➢课前预习1.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为( ，1)，P 为y 轴上一点，且△POA 为等腰三角形，则满足条件的点P 的坐标为．2.如图是乐乐的五子棋棋盘的一部分（5×5 的正方形网格），以点D，E 为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC 全等，这样的格点三角形最多可以画出个．1➢知识点睛1.存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查．2.存在性问题的处理思路：①分析不变特征分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类．②分类画图求解分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．③结果验证回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点、线、图形；函数背景往往研究点坐标、表达式等．3.等腰三角形存在性的不变特征及特征下操作要点举例：两定一动连接两个定点得定线段，定线段在等腰三角形中作腰或底进行分类（两圆一线），通常借助腰相等或者“三线合一”进行求解．4.全等三角形存在性的特征分析及特征下操作要点：分析两三角形的不变特征及对应关系，根据不确定的对应关系进行分类，通常借助边、角的对应相等进行求解．➢精讲精练1.如图，直线y=kx-4 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，且OB4．OA 3点 C 在第一象限，且在直线y=kx-4 上，△AOC 的面积是6．（1）求点C 的坐标．（2）x 轴上是否存在点P，使△POC 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，直线y=2x+3 与y 轴交于点A，与直线x=1 交于点B．（1）求点A，B 的坐标．（2）在直线x=1 上是否存在点P，使△ABP 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2 3.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的边 OC ，OA 分 别与 x 轴、y 轴重合，AB ∥OC ，∠BCO =45°，BC = 4 ，点 C 的坐标为(-6，0)，直线 BD 交 y 轴正半轴于点 D ，且 OD =2．（1） 求直线 BD 的表达式．（2） 若 P 是直线 BD 上的一个动点，是否存在点 P ，使以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，直线y =1x + 2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是2直线y =1x + 2 上的一个动点，过点P 作直线AB 的垂线，分2别交x 轴、y 轴于点E，F，是否存在点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，直线y=-x+2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点C 是直线y=-x+2 上的一个动点（不与点A 重合）．过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于点D，是否存在点C，使△BCD 与△AOB 全等？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．5 5 2 2 2 2 2 【参考答案】➢ 课前预习 1. (0，2)或(0，-2) 2. 4➢ 知识点睛1. 运动的结果 ➢ 精讲精练1. （1）点 C 的坐标为(6，4)；（2）存在，点 P 的坐标为( -2 0)或( 13，0).3，0)，( 2，0)，(12，2. （1）点 A 的坐标为(0，3)，点 B 的坐标为(1，5)； （2）存在，点 P 的坐标为(1，5 + )，(1，5 - )，(1，1)或(1， 15).43. （1）直线 BD 的表达式为 y = -x + 4 ；（2）存在，点 P 的坐标为(2，0)，( ，2 - )，( - ， 2 + 2 )或(1，1).4. 存在，点 P 的坐标为( - 12 ， 4 )或( 4 ， 12)5 5 5 55. 存在，点 C 的坐标为( - ，2 + )，( 2 ，2 - )或(-2，4).13 13 2。

学生做题前请先回答以下问题问题1：什么是存在性问题？通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查__________.问题2：一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：①_______________，把函数信息（即坐标或解析式）转化为几何信息.②分析___________，确定___________.③____________________________________.一次函数之等腰直角三角形存在性（二）（北师版）一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P是平面内一点且在直线AB下方，若使△ABP为等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.（-3，1），（-2，3）或B.（1，-1），（2，1）或C.（1，-1），（2，1），（-3，1）或（-2，3）D.（1，-1），（2，1）（-3，1），（-2，3），或答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题2.如图，直线y=2x-4与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P是平面内一点，若△ABP是以线段AB为直角边的等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.(6，-2)或(4，-6)B.(-2，2)，(4，-6)或（3，-3）C.(-2，2)，(6，-2)，(-4，-2)或(4，-6)D.(-2，2)，(6，-2)，(-4，-2)，(4，-6)，（3，-3）或（1，-1）答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题3.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，1），点M是直线y=4上的一个动点，点N是直线y=-2上的一个动点，且点M，N均在y轴右侧，当△AMN是等腰直角三角形时：（1）点M的坐标为( )A.(3，4)B.(3，4)，(6，4)或(9，4)C.(3，4)或(3，-4)D.(3，4)，(3，-4)，(6，4)或(9，4)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题4.（上接第3题）（2）点N的坐标为( )A.(3，-2)，(9，-2)或(6，-2)B.(-3，-2)或(3，-2)C.(3，-2)D.(3，-2)，(-3，-2)，(9，-2)或(6，-2)答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：回顾本套试题，主要训练的什么内容？问题2：等腰直角三角形存在性的特征是什么？分类标准是什么？对应的操作如何进行？。

一次函数之等腰直角三角形的存在性（习题）
1.如图，直线y =-1
x + 2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点D 3
是线段OA 的中点，点P 是第一象限内一点，且使△BDP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．
2.如图，直线AB：y=-x+b 交y 轴于点A(0，4)，交x 轴于点B，
直线l 垂直平分OB 交AB 于点D，交x 轴于点E，点P 是直线l 上一点，且在点D 的上方，PD=4．
（1）求点P 的坐标；
（2）以PB 为直角边作等腰直角△PBQ，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．
3.如图，直线y=-2x+4 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是
直线x=5 上的一个动点，点Q 是射线AB 上的一个动点，若△APQ 为等腰直角三角形，则点Q 的坐标为．
4.如图，直线l1：y=-x+10 与y 轴交于点A，与直线l2：y 1 x 2
交于点B，点C 是线段AB 上的一动点，过点C 作y 轴的平行线交直线l2 于点D，点P 是y 轴上一动点，且满足△CDP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．
【参考答案】
1. (2，5)，(5，3)，( 5
，
5
)．
2 2
2. （1）点P 的坐标为(2，6)；
（2）点Q 的坐标为(-4，4)，(8，8)，(-2，-2) 或(10，2)．
3. ( 1
，3)，(-4，12)，(-1，6)；
2
4. (0，6)，(0，2)，(0，30
)．7。

一次函数存在性之等腰三角形知识点精讲1．存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.2．存在性问题处理框架：①研究背景图形．②分析不变特征，确定分类标准．③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解.④结果验证．3．不变特征举例：①等腰三角形以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定点的位置．两个定点一动点构成等腰三角形的策略方法一①首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点．（若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况），先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（标横表纵），按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程．解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这个题意)．方法二①(两圆一线）或（两圆一垂）当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点，若所画弧与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在，②当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在，用以上方法即可找出所有符合条件的点．特殊①y＝x＋b与x轴所夹的锐角为45°；②y＝±3x＋b与x轴所夹的锐角为60°；③y＝±33x＋b与x轴所夹的锐角为30°.注意：函数与坐标轴夹角为特殊角要进行简单的过程书写，不可以直接用．函数是一个工具，将几何与函数有机的结合，特殊三角形角的边长关系：30°，60°，90°的直角三角形比例为1：2：3．120°的等腰三角形比例为1：1：3．45°，45°，90°比例为1：1：2．典型例题例1．已知一次函数y＝33x＋1与x轴，y轴交于A，B两点，点M在坐标轴上，若△ABM是等腰三角形，则符合条件的点M有个．【答案】6【分析】在平面直角坐标系中，画出直线y ＝33x ＋1，分别以点A 、B 为圆心，以AB 的长为半径画圆，两圆与坐标轴的交点即为M 点，此外AB 的垂直平分线与坐标轴的交点也符合题意． 【详解】解：如图所示，△ABM 是等腰三角形，则符合条件的点M 有6个．故答案为：6．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．例2．已知一次函数y ＝x ＋3与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在坐标轴上，若△ABP 是等解三角形，则符合条件的点P 的坐标．以AB 定长为腰的等腰三角形，分别以定点A ，B 为圆心，AB 长为半松画圆即可．以AB 定长为底的等腰三角形，做AB 的垂直平分线即可．P 的坐标分别为P 1(－3－32，0)，P 2(3，0)，P 3(32－3，0)，P 4(0，0)，P 5(0，－3)， P 6(0，32＋3)，P 7(0，－32＋3）．例3．已知直线y ＝3x ＋3与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，在坐标轴上取一点P ，使得△P AB 是等腰三角形，则符合条件的点P 的坐标．AB O xy M 1M 2M 3M 4 M 5xyAB O P 1P 2P 3P 4 P 5 P 6P 7 P 3P 6B y【答案】P 1(－33，0)，P 2(3，0)，P 3(0，)，P 4(－23＋3，0)，P 5(0，－3)，P 6(0，1)．例4．已知：如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为长方形，A （10，0），C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是等腰三角形时．求P 点的坐标．【答案】（2，4），P 2（2.5，4），P 3（3，4），P 4（8，4）．【解析】试题分析：由矩形的性质得出∠OCB ＝90°，OC ＝4，BC ＝OA ＝10．分情况讨论：①当PO ＝PD 时；②当OP ＝OD 时；③当DP ＝DO 时．根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P 的坐标．试题解析：解：∵四边形OABC 是长方形，∴∠0CB ＝90°，OC ＝4，BC ＝OA ＝10． ∵D 为OA 的中点，∴OD ＝AD ＝5．①当PO ＝PD 时，点P 在OD 的垂直平分线上，∴点P 的坐标为(2.5，4）．②当OP ＝OD 时，如解图①所示，则OP ＝OD ＝5，PC ＝52－42＝3，∴点P 的坐标为(3，4).③当DP ＝DO 时，过点P 作PE ⊥OA 于点E ，则∠PED ＝90°，DE ＝52－42＝3． 分两种情况讨论：当点E 在点D 的左侧时，如解图②所示． 此时OE ＝5－3＝2．∴点P 的坐标为（2，4）．xyA BCODP xyA BCO DPxyA BCODPE当点E 在点D 的右侧时，如解图③所示．此时OE ＝5＋3＝8．∴点P 的坐标为（8，4）． ∴P 1（2，4），P 2（2.5，4），P 3（3，4），P 4（8，4）．例5．如图，一次函数y ＝－34x ＋3的图象与x 轴和y 轴分别交于点A 和B ，再将△AOB 沿直线CD 对折，使点A 与点B 重合、直线CD 与x 轴交于点C ，与AB 交于点D ． （1）点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）求OC 的长度；（3）在x 轴上有一点P ，且△P AB 是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，3）； （2）OC ＝78；（3）P 点坐标为（78，0），（－4，0），（－1，0），（9，0）．【解答】解：（1）令y ＝0，则x ＝4；令x ＝0，则y ＝3， 故点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，3）． （2）设OC ＝x ，则AC ＝CB ＝4－x ，∵∠BOA ＝90°，∴OB 2＋OC 2＝CB 2，32＋x 2＝（4－x ）2，解得x ＝78，∴OC ＝78．（3）设P 点坐标为（x ，0），当P A ＝PB 时，(x －4)2＝x 2＋9，解得x ＝78；xyABCOyB当P A ＝AB 时，(x －4)2＝42＋9，解得x ＝9或x ＝－1； 当PB ＝AB 时，x 2＋9＝42＋9，解得x ＝－4． ∴P 点坐标为（78，0），（－4，0），（－1，0），（9，0）．例6． 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为(0，5)、(0，2)、(4，2)，直线l 的解析式为y ＝kx ＋5－4k ． （1）当直线l 经过点B 时，求一次函数的解析式； （2）通过计算说明：不论k 为何值，直线l 总经过点D ；（3）直线l 与y 轴交于点M ，点N 是线段DM 上的一点，且△NBD 为等腰三角形，试探究：当函数y ＝kx ＋5－4k 为正比例函数时，点N 的个数有 个．【答案】（1）y ＝34x ＋2；（2）详见解答；（3）2． 【解析】（1）将点B 的坐标代入解析式可求解；（2）由题意可得D (4，5)，由y ＝kx ＋5－4k ＝k (x －4)＋5可知，当x －4＝0时，不论k 为何值，直线l 总经过点D (4，5)，即可得结论；（3）由题意可求k ＝54，即可求点O 与点M 重合，等腰三角形的性质可求点N 的个数． 【详解】（1）∵ 直线l 经过点B (0，2)， ∴ 2＝5－4k ，解得 k ＝34，∴ 一次函数的解析式为：y ＝34x ＋2；（2）∵点A 、B 、C 的坐标分别为(0，5)、(0，2)、(4，2)， ∴ 点D (4，5)，∵ y ＝kx ＋5－4k ＝k (x －4)＋5 ∴ 当x ＝4时，y ＝5，∴不论k 为何值，直线l 总经过点D (4，5)，即不论k为何值，直线l总经过点D；（3）∵函数y＝kx＋5－4k为正比例函数，∴5－4k＝0，解得k＝54，∴函数的解析式为：y＝54 x，∴点M与点O重合，如图，即BM＝2，∴△NBD为等腰三角形，∴作BD的垂直平分线交DO于点N，或以点D为圆心，BD为半径作圆，交线段DO于点N∴点N的个数为2．故答案为：2．本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，正比例函数性质，等腰三角形的性质，熟练运用一次函数的性质解决问题时本题的关键．例7．如图，一次函数y＝－x＋1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点M在x轴上，要使△ABM是以AB为腰的等腰三角形，那么点M的坐标是．【答案】1，0)，(1，0)，或(－1，0) ．【解析】分别令一次函数y＝－x＋1中x＝0，y＝0，求出点的坐标，设出点M的坐标(m，0)，根据两点间的距离公式表示出AB、AM和BM的长度，分别AB＝BM与AB＝AM两种情况来考虑，由此可得出关于m的方程，解关于m的方程即可得出结论．【详解】令一次函数y＝－x＋1中y＝0，则－x＋1＝0，解得x＝1，∴点A的坐标为(1，0)；令一次函数y＝－x＋1中x＝0，则y＝1，∴点B的坐标为(0，1) ．设点M的坐标(m，0)，则AB AM＝1m-，BM，△ABM是以AB为腰的等腰三角形分两种情况：①AB＝BM1m-，解得m1，或m1，此时点M的坐标为1，0)，(1，0)；②AB＝AM，解得m＝－1，或m＝1（舍去），此时点M的坐标为(－1，0) ．综上可知点M的坐标为1，0)，(1，0)，或(－1，0) ．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，解题的关键是分AB＝BM与AB＝AM两种情况来考虑．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，有两点间的距离公式表示出三角形三边长度，再根据等腰三角形的性质找出关于m的方程是关键．相似题1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(－3，4)，P是x轴上的一个动点，则当△AOP是等腰三角形时，点P的坐标为．(5，0)，(－5，0)，(－6，0)，(－256，0)， 2．一次函数y＝＋1的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第一象限内作等边△ABC ． （1）求△ABC 的面积和点C 的坐标；（2）如果在第二像限内有一点P (a ，12)，试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积；（3）在x 轴上是否存在点M ，，使△MAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：根据条件，A 、B 两点的坐标分别为，0)，(0，1) ． （1）在△ABC 中，由勾股定理，得 AB ＝2．所以正△ABC，从而的面积是12×2． （2）过P 作PD ⊥OB 于D ，则四边形ABPO 的面积的关于S ＝12×OB ×OA ＋12×OB ×PD ＝12a )＝12－a ) ． 当△ABP 的面积与面积△ABC 相等时，四边形ABPO 的面积－△AOP 的面积＝△ABC 的面积，即12a)－12×12，解得a＝．（3）符合要求的点M的坐标分别是(，0)，2，0)，，0)，＋2，0) ．3．已知A(－3，0)，B (0，4) ，点B在x轴上，且AB＝4．（1）求点B的坐标，在平面直角坐标系中画出△ABC，并求出△ABC的面积；（2）在y轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在请画出点Q的所有位置，并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）根据A(－3，0)，C(0，4)，点B在x轴上，且AB＝4，可知点B的横坐标与点A的横坐标的差的绝对值为4，从而可以求得点B的坐标，从而可以求△ABC的面积．（2）根据已知条件可以将各种情况在坐标系中表示出来，从而可以直接写出点的坐标．解答：（1）∵A(－3，0)，C(0，4)，点B在x轴上，且AB＝4，∴设点B的坐标为(x，0)，|x－(－3) |＝4．，解得x＝－7 或x＝1．∴点B的坐标为(－7，0)或(1，0)．在平面直角坐标系中画出△ABC，如下图所示：∴ []11(3)(7)482AB C S ∆=⨯---⨯=，[]211(3)482AB C S ∆=⨯--⨯=，即△ABC 的面积为8．（2）在y 轴上存在点Q ，使得△ACQ 是等腰三角形． 如下图所示：使得△ACQ 是等腰三角形，点Q 的坐标为：(0，9)，(0，－4)，(0，78)，(0，－1) ．点评：本题考查坐标与图形的性质、三角形的面积、等腰三角形的判定，解题的关键是能根据图形写出各点的坐标，能根据坐标求出相应图形的面积，利用数学中分类讨论的思想考虑问题要全面．4．已知一次函数y ＝mx ＋2m ＋8与x 轴、y 轴交于点A 、B ，若图象经过点C (2，4)．过点C 作x 轴的平行线，交y 轴于点D ，在△OAB 边上找一点E ，使得△DCE 构成等腰三角形，则点E 的坐标为 ．【答案】(0，6)或(0，2) 或(24或(24或(1，0) 或(1，5) ．【解析】∵一次函数y＝mx＋2m＋8的图象经过点C(2，4)，∴4＝2m＋2m＋8，解得m＝－1，∴一次函数为y＝－x＋6，∵与x轴、y轴交于点A、B，∴A(6，0)，B(0，6)，如图∵C(2，4)，点C在直线AB上，以D为圆心，以2为半径作圆，交OB于B和E2，此时E(0，6)或(0，2)，以C为圆心，以2为半径作圆，交AB于E3和E4，此时E(24，或(24，作DC的垂直平分线交OA于E5，交AB于E6，此时E(1，0) ，或(1，5)，综上，点E坐标(0，6)或(0，2) 或(24或(24或(1，0) 或(1，5)．课后追踪1．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝2x＋6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是直线AB上的一点，它的坐标为(m，4)，经过点C作直线CD∥x轴交y轴于点D．(1)求点C的坐标及线段AB的长;(2)已知点P是直线CD上一点．请从A、B两个题目中任选一题作答．A．①若△POC的面积为4，求点P的坐标；②若△POC是直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．B．①若△P AB的面积为6，求点P的坐标；②若△P AB是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．备用图分析(1) 把(m，4)代入y＝2x＋6得2m＋6＝4，即可求出点C坐标，求出A、B两点坐标，利用两点间距离公式即可求出AB的长．(2) A：①利用三角形的面积公式求出PC的长即可解决问题，注意两解，②分两种情形讨论即可①P是直角顶点，②O是直角顶点．B：①利用三角形的面积公式求出PC的长即可解决问题．②利用两圆一线可得满足条件的点有5个，分别求解即可．解：（1）把(m，4)代入y＝2x＋6得2m＋6＝4，∴m＝－1，∴点C(－1，4)，在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝6，AB＝（2）A：①∵OD⊥CP，∴S△POC＝12×CP×OD＝4，∵OD＝4，∴CP＝2，∴点P1(－3，4)，P2(1，4) ．②∵∠OCP一定不是直角，∴当∠OPC＝90°时，点P恰好就在点D位置，∴P1(0，4)，∵直线OC的解析式为y＝－4x，∴直线OP的解析式为y＝14 x，∵y＝4时，x＝16，∴P2(16，4)，B：①∵OB⊥CP，∴S△P AB＝12×CP×OB＝6，∵OB＝4，∴CP＝2，∴点P1(－3，4)，P2(1，4)．②如图，由图中的两圆一线可知满足条件的点P坐标为P1(3，4)，P2－3，4)，P3(－72，4)，P4，4)，P5(4)．质、勾股定理.2.已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象与直线y ＝平行且经过点(2,，与x 轴、y 轴分别交于A . B 两点。

学生做题前请先回答以下问题问题1：什么是存在性问题？问题2：一次函数背景下解决存在性问题的思考方向是什么？问题3：等腰直角三角形根据什么分类？如何确定点的位置？一次函数之等腰直角三角形存在性（北师版）一、单选题(共6道，每道16分)1.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P是第四象限内一点，且△ABP为等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题2.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，点.点P是平面内一点，若△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题3.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，点D是线段OA的中点，点P 是第一象限内一点，且使△BDP是等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.（2，5），（5，2），B.（2，5），（5，3），C.（2，8），（8，2），（4，4）D.（2，5），（5，3），（4，4）答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题4.如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a，b满足.若第二象限内存在点M，使△ABM是等腰直角三角形，则点M的坐标为( )A.（-6，2），（-4，6），B.（6，2），（4，6），C.（-6，2），（-4，6），D.（-4，2），（-4，2），答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题5.如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=6，过点A的直线AD交BC于点D，交y轴于点G，△AOG的面积为△ABC面积的．（1）过点C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足为E．则点F的坐标为( )A.（0，2）B.（0，4）C.（2，0）D.（4，0）答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合6.（上接试题5）（2）在（1）的条件下，点P是平面内一点，若△CFP是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.(4，4)，(-2，2)B.(6，8)，(8，2)，(4，4)C.(6，8)，(8，2)，(-2，2)D.(6，8)，(8，2)，(4，4)，(-6，4)，(-4，-8)，(-2，2)答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题。

一次函数之等腰三角形存在性（北师版）1. 如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是 x 轴上的动点， )若使△ABP 为等腰三角形，则点 P 的坐标是(A. C.B. D.12342. 如图，直线 y=x+3 与 y 轴交于点 A，与直线 x=1 交于点 B，点 P 是直线 x=1 上的动点， 若使△ABP 为等腰三角形，则点 P 的坐标是()A.B. D.C. 3.(本小题 16 分) 如图，直线与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是线段 AB 上的动点， )A. B.若使△OAP 为等腰三角形，则点 P 的坐标是( C. 4.( 如图，直线 D.与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，过点 O 作 OC⊥AB 于点 C，点 P 是线段 OA 上的动点， )A. D. B.若使△PAC 为等腰三角形，则点 P 的坐标是(C.5. 如图，直线 y=-x+2 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是直线 AB 上的动点，若使△BOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标是( C. )A. D. B.56-6weldform apcIyvu;zkqC7BxSjDT0 ： 行 执 照 遵 货 供 、 位 单 施 各 请 求 要 下 如 本 对 针 特 部 踪 跟 ,我 作 工 计 审 算 结 的 目 项 地 基 发 所 究 研 学 科 通 交 省 东 山 好 搞 stnghi()1.52b43为6.(本小题 18 分) 如图，直线 为等腰三角形，则符合条件的点 P 共有(与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是坐标轴上一动点，若使△ABP ) A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个一次函数应用题（四）（北师版）1. 甲、乙两辆摩托车同时从相距 60km 的 A，B 两地出发，相向而行．图中 ， 离 s（km）与行驶时间 t（h）的函数关系，则两车相遇时乙车行驶了( 分别表示甲、乙两辆摩托车到 A 地的距 B. 6 C. 24 D. 36)km. A.12342.(本小题 12 分) A，B，C 三地位于一条笔直高速公路的同侧，B 地在 A 地与 C 地之间，A，C 两地相距 560 千米，A，B 两地相距 20 千米．甲、乙两车分别从 A 地、B 地前往 C 地．如图，分别表示甲、乙两车离 A 地的距离 s（千米）与乙 车行驶时间 t（小时）之间的关系，则两车相遇时甲行驶了( )小时． A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 53.(本小题 12 分) 甲、乙两地距离 300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段 OA 表示货车离 甲地的距离 y（km）与时间 x（h）之间的关系，折线 BC-CD-DE 表示轿车离甲地的距离 y（km）与时间 x（h）之间的关 系，根据图象，轿车从甲地出发后经过( )小时追上货车．A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 4.(本小题 12 分) 为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线 OA-AB-BC 反 映了每户每月用电电费 y（元）与用电量 x（度）之间的函数关系．在每月用电量超过 200 度时，每多用 1 度电要比第 二档多付电费 m 元，小刚家某月用电 290 度，交电费 207 元，则 m=( )．A. 0.1 B. 0.2 C. 0.7 D. 0.9 5.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为 x(h)，两车之间的距离 为 y(km)，图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系，则两车相遇之后又经过( )小时，两车相距为 270km．A. 1B.C.D.或567 、8 （千米）与甲车行驶时6.(本小题 13 分) 甲、乙两车出发去 A 地，乙提前出发，甲、乙两车到出发地的距离间 x（小时）的函数关系如图所示，若甲到达 A 地后则立即按原路线原速度返回，则甲车在返回途中与乙车相遇时距离 A 地( )千米． A. 24 B. 60 C. 120 D. 156 7.(本小题 13 分) 甲、乙两地相距 60 千米，上周日上午小明骑自行车从甲地前往乙地，2 小时后，小明的父亲骑摩托 车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程 y（千米）与小明行驶的时间 x（小时）之间的函数关系如图所示， 小明父亲出发(-6weldform apcIyvu;zkqC7BxSjDT0 ： 行 执 照 遵 货 供 、 位 单 施 各 请 求 要 下 如 本 对 针 特 部 踪 跟 ,我 作 工 计 审 算 结 的 目 项 地 基 发 所 究 研 学 科 通 交 省 东 山 好 搞 stnghi()1.52b43为)小时后，行进中的两车相距 12 千米．A.B.C.D.8.(本小题 13 分) 教室里放有一台饮水机,饮水机上有两个放水管.课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水.假设接水过 程中水不发生泼洒,每个同学所接的水量都是相等的.两个放水管同时打开时,他们的流量相同.放水时先打开一个水管, 过一会儿,再打开第二个水管,放水过程中阀门一直开着.饮水机的存水量 y(升)与放水时间 x(分钟)的函数关系如图所 示.如果打开第一个水管后,2 分钟时恰好有 4 个同学接水结束,接着打开第二个水管，则课间 10 分钟内最多还有 ( )个同学能及时接完水？ A. 42 B. 32 C. 29 D. 25一次函数单元测试（五）（北师版）1.(本小题 10 分) 直线 y=kx+b 过点 （ 5， 2） 且与直线 y=-2x 相交于点 A （2， a） ， 则两直线与 x 轴所围成的面积为( A. 4 2.如图，一次函数 B. 8 C. 16 D. )的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，以线段 AB 为边在第一象限内作等腰 Rt△ABC， )A. B. C. D.∠BAC=90°，则 AC 所在直线的解析式为(2 3 5 6 3. 如图，点 A，B 的坐标分别为（1，0），（0，1），点 P 是第一象限内直线 y=-x+3 上的一个动点，当点 P 的横坐标 逐渐增大时，四边形 OAPB 的面积( ) A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 先减小后增大 D. 始终不变 4. 已知正比例函数和一次函数的图象都经过 M(3，4)，且正比例函数和一次函数的图象与 y 轴围成的面积为 12，则该 一次函数的解析式为( )A. B. C. D.5. 如图，把 Rt△ABC 放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点 A，B 的坐标分别为（1，0），（4，0）， 将△ABC 沿 x 轴向右平移， 当点 C 落在直线 y＝2x-6 上时， 线段 BC 扫过的面积为( 6. 如图，直线 AB： B 与 CD 交于点 P，若 )A. 4 B. 8 C. 16 D.与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，直线 CD：y=x+b 与 x 轴、y 轴分别交于点 C，D．直线 A ，则点 P 的坐标是( )A. （8，5） B. （5，8） C. （4，3） D. （3，4）7. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标是（4，0），点 P 在直线 y＝-x+m 上，且 AP＝OP＝4，则 m 的值 为( ) A. 4 或-4 B. C. 或 D.8.(本小题 10 分) 如图，在平面直角坐标系中，直线交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 C 是线段 AB 的中 )点，连接 OC，然后将直线 OC 绕点 C 逆时针旋转 30°交 x 轴于点 D，则直线 CD 的表达式为(-6weldform apcIyvu;zkqC7BxSjDT0 ： 行 执 照 遵 货 供 、 位 单 施 各 请 求 要 下 如 本 对 针 特 部 踪 跟 ,我 作 工 计 审 算 结 的 目 项 地 基 发 所 究 研 学 科 通 交 省 东 山 好 搞 stnghi()1.52b43为A.B.C.D.8 9.(本小题 10 分) 如图，直线 于点 去，则 ，过点 y=x+1 与 x 轴、y 轴分别交于 P， 于点 B. ，再过点 C.9 两点，直线 经过点 P 且与 y 轴交 ，…，依此规律作下作平行于 x 轴的直线交 ) A.作平行于 y 轴的直线交 于点 D. )的长为(10 若直线 y＝x+b，x＝1，x＝4 和 x 轴围成的四边形的面积等于 9，则 b 的值为( A. B. -1 C. D. -4 或-1一次函数之动点问题测试（一）（北师版）1.(本小题 12 分) 已知：如图，线段 AB 的长为 18 厘米，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以 2 厘米/秒的速度向点 B 运动， 动点 Q 从点 B 出发，沿 BA 以 1 厘米/秒的速度向点 A 运动．P，Q 两点同时出发，当点 P 到达点 B 时，点 P，Q 同时停止 运动．设点 P 运动的时间为 t 秒，用 t 表示线段 PQ 的长度为 = ．( ) ；若 P，Q 两点相距 6 厘米，则经过的时间 t   A. 当 B. 当 C. 当 D. 当秒时，PQ=18-3t；当 秒时，PQ=18-3t；当 秒时，PQ=18-3t；当 秒时，PQ=18-3t；当秒时，PQ=3t-18．t=4 秒 秒时，PQ=3t-18．t=8 秒 秒时，PQ=3t-18．t=4 秒或 t=8 秒 秒时，PQ=3t-18．t=4 秒或 t=8 秒2.(本小题 12 分) 已知：如图，线段 AB=20 厘米．点 P 自点 A 沿线段 AB 以 2 厘米/秒的速度向点 B 运动，同时点 Q 自 点 B 沿线段 BA 以 3 厘米/秒的速度向点 A 运动，当 Q 运动到点 A 时，两点同时停止运动．设点 Q 运动的时间为 t 秒， 用 t 表示线段 PQ 的长度为 ；若 P，Q 两点相距 5 厘米，则经过的时间 t= ．( )  -6weldform apcIyvu;zkqC7BxSjDT0 ： 行 执 照 遵 货 供 、 位 单 施 各 请 求 要 下 如 本 对 针 特 部 踪 跟 ,我 作 工 计 审 算 结 的 目 项 地 基 发 所 究 研 学 科 通 交 省 东 山 好 搞 stnghi()1.52b43为A. 当秒时，PQ=20-5t；当秒时，PQ=5t-20．t=3 秒或 t=5 秒 C. PQ=5t-20．t=5 秒 秒时，PQ=5t-20．t=3 秒B. PQ=20-5t．t=3 秒 D. 当 秒时，PQ=20-5t；当3.(本小题 12 分) 如图，在矩形 ABCD 中，AB=20cm，BC=4cm，动点 P 以 3cm/s 的速度从 B 点出发，沿 BA 方向向点 A 移动， 同时动点 Q 以 1cm/s 的速度， 沿 CD 方向向点 D 移动， 当其中一点到达终点时， 另一点也随之停止运动， 设运动时间为 t(s)， 则当 t 为( )s 时，线段 PQ 恰好平分矩形 ABCD 的面积． A. 3 B. 4 C. 5 D. 63 4.已知：如图，在等边△ABC 中，AB=8，D 为边 BC 上一点，且 BD=6．动点 P 从点 C 出发沿 CA 边以每秒 2 个单位的速度 向点 A 运动，连接 AD，BP，设点 P 运动的时间为 t 秒．若△BPA≌△ADB，则 t 的值为( )A. 6 1 B. 3 C. 2 D.455.(本小题 13 分) 已知：如图，在长方形 ABCD 中，AB=DC=6，AD=BC=12，点 E 为边 AD 上一点，且 AE=10．动点 P 从点 B 出发，沿 BC 边向终点 C 以每秒 2 个单位的速度运动，连接 AP，DP，设点 P 运动的时间为 t 秒．若运动到某一时刻， △DCP≌△CDE，则 t 的值为( ) A. 10 B. 5 C. 2 D. 16.(本小题 13 分) 已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点 P 从点 A 出发沿 AD 向点 D 以每秒 1 个单位的速度运动，动点 Q 从点 C 出发沿 CB 向点 B 以每秒 2 个单位的速度运动，P，Q 同时出发，当点 P 停止 运动时，点 Q 也随之停止，连接 PQ，DQ．设点 P 的运动时间为 t 秒，当 t 为( A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 )秒时，△PDQ≌△CQD．677.(本小题 13 分) 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点 D 为 AB 的中点．点 P 在线段 BC 上以每秒 2cm 的速度由点 B 向点 C 运动，同时点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动．设点 P 运动时间为 t 秒，当 t 的值为( )时，△BPD 与△CQP 全等．A.B.C.D.-6weldform apcIyvu;zkqC7BxSjDT0 ： 行 执 照 遵 货 供 、 位 单 施 各 请 求 要 下 如 本 对 针 特 部 踪 跟 ,我 作 工 计 审 算 结 的 目 项 地 基 发 所 究 研 学 科 通 交 省 东 山 好 搞 stnghi()1.52b43为8.(本小题 13 分) 已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB=4cm，BC=6cm，点 E 为 AB 中点，如果点 P 在线段 BC 上以每秒 2cm 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点 Q 在线段 CD 上由点 C 向点 D 运动．设点 P 的运动时间为 t 秒，若某一时刻△BPE 与△CQP 全等，则点 Q 的运动速度是( )A.B.C.D.一次函数之面积问题综合应用（北师版）1. 如图，已知直线 经过点 A（2，0）与点 B（0，1），另一条直线 经过点 B，且与线段 OA 相交于点 P（a，0），若△A PB 的面积为 ，则 a 的值是( ) A. B. C. 或 D. 或12352.(本小题 12 分) 如图，在平面直角坐标系中，有 A(0，5)，B（5，0），C(0，3)，D（3，0）且 AD 与 BC 相交于点 E，连接 AB，则△ABE 的面积是()A.B.C.D. ，若△APB3.(本小题 12 分) 如图，已知直线 经过点 A（2，0）与点 B（0，1），如果在第二象限内有一点 P 的面积为 3，则 a 的值是(-6weldform apcIyvu;zkqC7BxSjDT0 ： 行 执 照 遵 货 供 、 位 单 施 各 请 求 要 下 如 本 对 针 特 部 踪 跟 ,我 作 工 计 审 算 结 的 目 项 地 基 发 所 究 研 学 科 通 交 省 东 山 好 搞 stnghi()1.52b43为)A.B. -2C. -5 D. -84.(本小题 12 分) 直线与 x 轴、y 轴分别交于 A，B，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰 Rt△ABC， ，且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，则 a 的值为( )且∠BAC＝90°．如果在第二象限内有一点 PA.B.C.D.5.(本小题 13 分) 如图，△AOB 的顶点 A(2，1)，B（10，1），直线 CD⊥x 轴且将△AOB 的面积二等分． 若 D（m，0），则 m 的值为()A.B.C. 4D.6.( 已知直线 y＝2x+3 与直线 y＝-2x-1 交于点 C，点 P 是第二象限内直线 BC 上的动点．若△APC 的面积是 6， 则点 P 的坐标为( ) A. （2，-5） B. （-4，7） C. （2，-5）或（-4，7） D. （-3，56 7.(本小题 13 分) 如图，直线 交于点 C，△ABC 的面积为(7 与 y 轴交于点 A，与直线 ) A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 交于点 B，且直线 与x轴8.(本小题 13 分) 如图，A，B 分别是 x 轴上位于原点左右两侧的点，且点 B 的坐标为（5，0）， 点 M（2，p）在第一象限， 直线 MA 交 y 轴于点 C（0， 2），已知△AOM 的面积为 6，则直线 BM 的斜率 k 的值是()A.B.C. -1 D. 1一次函数之面积问题（转化法）（北师版）1.(本小题 14 分) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（0，6），B（3，0），C（0，4），若 点 P 是 x 轴上一动点，且 ，则点 P 的坐标为( )A. （1，0）或（5，0） B. （2，0）或（4，0） C. （0，1）或（0，5） D. （0，2）或（0，4）12342.(本小题 14 分) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（0，3），B（-3，2），C（-2，1）， 若点 P 是 y 轴上一动点，且，则点 P 的坐标为( B. C.) D.A.-6weldform apcIyvu;zkqC7BxSjDT0 ： 行 执 照 遵 货 供 、 位 单 施 各 请 求 要 下 如 本 对 针 特 部 踪 跟 ,我 作 工 计 审 算 结 的 目 项 地 基 发 所 究 研 学 科 通 交 省 东 山 好 搞 stnghi()1.52b43为3. 如图， 直线 y=2x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于 A， B 两点， 点 M 是 OB 的中点， 点 P 是直线 AM 上一动点， 若 则点 P 的坐标为( -3），)A. （0,0）或（0,8） B. （0,0）或（-4,0） C. （2,4）或（-6,-4） D. （1,3）或（-5,4.(本小题 14 分) 如图，直线 y=-2x+2 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰 Rt △ABC，且∠BAC=90°，在 x 轴上找一点 P，使 A. B. C. ，则点 P 的坐标为( D. )5.(本小题 14 分) 如图，直线与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B 两点，以 AB 为直角边在第二象限内作等腰 Rt ，则点 P 的坐标为( )△ABC，∠BAC=90°，点 P 为直线 x=1 上的动点．若 A. B.C. （1,4）或（1，-1） D. （1,3）或（1，0）5 6. 如图，直线67与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰 Rt△ABC，∠BAC=90°，点 P 是直线 y=1 上一动点，若△ABP 的面积与△ABC 的面积相等且点 P 在第二象限，则点 P 的坐标为 ( ) A. （-4,1） B. （-8,1） C. （-4,1）或（8,1） D. （-8,1）或（12,1） 7.(本小题 16 分) 如图，直线 等边△ABC，若平面内有一点 P(m， A. B. C. 与 x 轴，y 轴分别交于 A,B 两点，以 AB 为边在 AB 上侧作 )，使得△ABP 与△ABC 的面积相等，则 m 的值为( D. )-6weldform apcIyvu;zkqC7BxSjDT0 ： 行 执 照 遵 货 供 、 位 单 施 各 请 求 要 下 如 本 对 针 特 部 踪 跟 ,我 作 工 计 审 算 结 的 目 项 地 基 发 所 究 研 学 科 通 交 省 东 山 好 搞 stnghi()1.52b43为。

B
3 4-m
P3
P1 O m P4 4-mA
P2
x
如图，直线 y 3 x 3 与x轴、y轴分别交于A、B两点.
4
（2）在x轴上是否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
变式一：如果改变点P的位置或者
△ABP的形状？你可以提出什么问
题？你能解决它吗？
4
（1）直接写出A、B两点的坐标; （2）在x轴上是否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是
等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
y
构造等腰三角形的方法： 通常要考虑以已知的线段“为腰”或者“为底”两种情况。 1．为腰：分别以已知线段的两个端点为圆心，以已知的 线段长为半径画圆，圆与所要求的图象的交点就是符合条 件的点； 2．为底：做已知线段的垂直平分线，中垂线与所y要求的图 象的交点就是符合条件的点．
19.2.3一次函数与 方程、不等式
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如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角是30°，请在 直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形。这样的点能找到几个 ？请找出所有符合条件的点C。
C3 l
C1 C4 A
B C2
例：如图，直线 y 3 x 3 与x轴、y轴分别交于A、B两点.
y
B
O
A
x
如图，直线 y 3 x 3 与x轴、y轴分别交于A、B两点.
4
变式二：在第一象限是否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是以 AB为腰的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由；
y
B
O
A
x
变式三：若动点 C是直线AB （不与A、B两