一次函数地存在性问题(共13题)

一次函数与平行四边形1.线段中点公式平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1，y 1)，点B 坐标为(x 2，y 2)，则线段AB 的中点P 的坐标为 （2,22121y y x x ++） 例：如图，已知点A (-2，1)，B (4，3)，则线段AB 的中点P 的坐标是________.2.线段的平移平面内，线段AB 平移得到线段A'B' ，则①AB ∥A'B' ，AB =A'B' ；②AA'∥BB'，AA'= BB'. 如图，线段AB 平移得到线段A'B' ，已知点A (-2，2)，B (-3，-1)， B' (3，1)，则点A'的坐标是________.%例：如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点坐标分别为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)，已知其中3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标"例：如图，已知□ABCD 中A (-2，2)，B (-3，-1)， C (3，1)，则点D 的坐标是________. 方法一：利用线段平移总结：x 1-x 2= x 4-x 3，y 1-y 2= y 4-y 3 或者 x 4-x 1= x 3-x 2，y 4-y 1= y 3-y 2 等方法二：利用中点公式总结：x 1+x 3= x 2+x 4，y 1+y 3= y 2+y 4类型一：三定一动例1 、如图，平面直角坐标中，已知中A(-1，0)，B(1，-2)，C (3，1)，点D是平面内一动点，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_________________________________.*总结：三定一动问题，可以通过构造中点三角形得以解决.说明：若题中四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标只有一个结果________【例1】．一次函数y ＝x +3与y ＝﹣x +q 的图象都过点A （m ，0），且与y 轴分别交于点B 、C ．（1）试求△ABC 的面积；（2）点D 是平面直角坐标系内的一点，且以点A 、C 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D 的坐标；（3）过△ABC 的顶点能否画一条直线，使它能平分△ABC 的面积若能，求出直线的函数关系式，若不能，说明理由．【解答】解：（1）将点A （m ，0）代入y ＝x +3中，得$m +3＝0，解得m ＝﹣3，即点A （﹣3，0），将点A （﹣3，0）代入y ＝﹣x +q 中，得q ＝﹣3，∴点B （0，3）、C （0，﹣3），故S =12×BC ×AO ＝9；（2）满足条件的D 点坐标为D （﹣3，6）、D （﹣3，﹣6）、D （3，0）；（3）若过点A ，则得直线l ：y ＝0；若过点C ，则得直线l ：y ＝﹣3x ﹣3；@若过点B ，则得直线l ：y ＝3x +3．例2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线PA 是一次函数y ＝x +m （m ＞0）的图象，直线PB 是一次函数y ＝﹣3x +n （n ＞m ）的图象，点P 是两直线的交点，点A 、B 、C 、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用m 、n 分别表示点A 、B 、P 的坐标及∠PAB 的度数；（2）若四边形PQOB 的面积是112，且CQ ：AO ＝1：2，试求点P 的坐标，并求出直线PA 与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D ，使以A 、B 、P 、D 为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在直线y ＝x +m 中，令y ＝0，得x ＝﹣m ．∴点A （﹣m ，0）．…在直线y ＝﹣3x +n 中，令y ＝0，得x =x 3． ∴点B （x 3，0）． 由{x =x +x x =−3x +x ，得{x =x −x 4x =x +3x 4，∴点P （x −x 4，x +3x 4）． 在直线y ＝x +m 中，令x ＝0，得y ＝m ，∴|﹣m |＝|m |，即有AO ＝QO ．又∵∠AOQ ＝90°，∴△AOQ 是等腰直角三角形，∴∠PAB ＝45°．（2）∵CQ ：AO ＝1：2，,∴（n ﹣m ）：m ＝1：2，整理得3m ＝2n ，∴n =32m ， ∴x +3x 4=32x +3x 4=98m ， 而S 四边形PQOB ＝S △PAB ﹣S △AOQ =12（x 3+m ）×（98m ）−12×m ×m =1132m 2=112， 解得m ＝±4，∵m ＞0，∴m ＝4，∴n =32m ＝6，∴P （12，92）． ！∴PA 的函数表达式为y ＝x +4，PB 的函数表达式为y ＝﹣3x +6．（3）存在．过点P 作直线PM 平行于x 轴，过点B 作AP 的平行线交PM 于点D 1，过点A 作BP 的平行线交PM 于点D 2，过点A 、B 分别作BP 、AP 的平行线交于点D 3．①∵PD 1∥AB 且BD 1∥AP ，∴PABD 1是平行四边形．此时PD 1＝AB ，易得x 1(132，92)； ②∵PD 2∥AB 且AD 2∥BP ，∴PBAD 2是平行四边形．此时PD 2＝AB ，易得x 2(−112，92)；③∵BD 3∥AP 且AD 3∥BP ，此时BPAD 3是平行四边形．】∵BD 3∥AP 且B （2，0），∴y BD 3＝x ﹣2．同理可得y AD 3＝﹣3x ﹣12{x =x −2x =−3x −12， 得{x =−52x =−92，∴x 3(−52，−92)．3．如图，在等边△ABC 中，BC ＝8cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm /s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动，设运动时间为t （s ）．（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：△ADE ≌△CDF ；（2）填空：#①当t 为 s 时，以A 、F 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形；②当t 为 s 时，四边形ACFE 是菱形．【解答】（1）证明：∵AG ∥BC ，∴∠EAD ＝∠DCF ，∠AED ＝∠DFC ，∵D 为AC 的中点，∴AD ＝CD ，∵在△ADE 和△CDF 中，{∠xxx =∠xxx∠xxx =∠xxx xx =xx，∴△ADE ≌△CDF （AAS ）；（2）解：①当点F 在C 的左侧时，根据题意得：AE ＝tcm ，BF ＝2tcm ，·则CF ＝BC ﹣BF ＝6﹣2t （cm ），∵AG ∥BC ，∴当AE ＝CF 时，四边形AECF 是平行四边形，即t ＝8﹣2t ，解得：t =83； 当点F 在C 的右侧时，根据题意得：AE ＝tcm ，BF ＝2tcm ，则CF ＝BF ﹣BC ＝2t ﹣8（cm ），∵AG ∥BC ，∴当AE ＝CF 时，四边形AEFC 是平行四边形，即t ＝2t ﹣8，]解得：t ＝8；综上可得：当t =83或8s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形．②若四边形ACFE 是菱形，则有CF ＝AC ＝AE ＝8，则此时的时间t ＝8÷1＝8（s ）；故答案是：83或8；8．|4．已知，Rt △OAB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴和y 轴上，如图1，A ，B 坐标分别为（﹣2，0），（0，4），将△OAB 绕O 点顺时针旋转90°得△OCD ，连接AC 、BD 交于点E ．（1）求证：△ABE ≌△DCE ．（2）M 为直线BD 上动点，N 为x 轴上的点，若以A ，C ，M ，N 四点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M 点的坐标．（3）如图2，过E 点作y 轴的平行线交x 轴于点F ，在直线EF 上找一点P ，使△PAC 的周长最小，求P 点坐标和周长的最小值．【分析】（1）由A 、B 的坐标可求得AO 和OB 的长，由旋转的性质可求得OC 、OD 的长，从而可求得∠AEB ＝90°，再由勾股定理可求得CD 和AB 的长，可求得AB ＝CD ，可证得△ABE ≌△DCE ；（2）由B 、D 坐标可求得直线BD 解析式，当M 点在x 轴上方时，则有CM ∥AN ，则可求得M 点纵坐标，代入直线BD 解析式可求得M 点坐标，当M 点在x 轴下方时，同理可求得M 点纵坐标，则可求得M 点坐标；）（3）由AE ＝DE 可知A 、D 关于EF 对称，连接CD 交EF 于点P ，则P 点即为满足条件的点，由C 、D 坐标可求得直线CD 的解析式，则可求得P 点坐标，利用勾股定理可分别求得AC 和CD 的长，则可求得此时△PAC 的周长．【解答】解：（1）∵A （﹣2，0），B （0，4），∴OA ＝2，OB ＝4，∵将△OAB 绕O 点顺时针旋转90°得△OCD ，∴OC ＝OA ＝2，OD ＝OB ＝4，AB ＝CD ，∴∠ACO ＝∠ECB ＝∠CBE ＝45°，∴∠CEB ＝90°，∴∠AEB ＝∠CED ，且CE ＝BE ，在Rt △ABE 和Rt △DCE 中：{xx =xx xx =xx∴Rt △ABE ≌Rt △DCE （HL ）；（2）由（1）可知D （4，0），且B （0，4），∴直线BD 解析式为y ＝﹣x +4，当M 点在x 轴上方时，则有CM ∥AN ，即CM ∥x 轴，∴M 点到x 轴的距离等于C 点到x 轴的距离，∴M 点的纵坐标为2，在y ＝﹣x +4中，令y ＝2可得x ＝2，∴M （2，2）；当M 点在x 轴下方时，同理可得M 点的纵坐标为﹣2，(在y ＝﹣x +4中，令y ＝﹣2可求得x ＝6，∴M 点的坐标为（6，﹣2）；综上可知M 点的坐标为（2，2）或（6，﹣2）；（3）由（1）可知AE ＝DE ，∴A 、D 关于直线EF 对称，连接CD 交EF 于点P ，则PA ＝PD ， ∴PA +PC ＝PD +PC ＝CD ，∴满足△PAC 的周长最小，∵C （0，2），D （4，0），∴可设直线CD 解析式为y ＝kx +2，∴4k +2＝0，解得k =−12， ∴直线CD 解析式为y =−12x +2，∵A （﹣2，0），D （4，0），∴F （1，0），即直线EF 解析式为x ＝1，在y =−12x +2中，令x ＝1可得y =32， ∴P （1，32）， 在Rt △AOC 中，由勾股定理可求得AC ＝2√2， 在Rt △COD 中，由勾股定理可求得CD =√22+42=2√5， ∴PA +PC +AC ＝CD +AC ＝2√5+2√2， 即△PAC 的周长最小值为2√5+2√2．。

一次函数的应用—线段和差、存在性问题一、一次函数线段和差最值问题【知识点】1. 最短路径原理【原理1】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小。

连AB，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为AB．【原理2】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作 B 关于l 的对称点B＇连A B＇，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【原理3】作法作图原理在直线l 上求一点P，使作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB .PBPA－（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式； （2）求三角形周长最小值；（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。

3. 口诀：“和小异，差大同”（一）一次函数线段和最小值问题【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy 中，y 轴上有一点P ，它到点(4,3)A ，(3,1)B 的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A ．(0,0)B ．4(0,)7C ．5(0,)7D ．4(0,)5【答案】C的值最大 .【原理 4】作法作图原理在直线 l 上求一点 P ，使的值最大 .作 B 关于 l 的对称点 B ＇作直线 A B ＇，与 l 交点即为 P ．三角形任意两边之差小于第三边．≤A B ＇ .PB PA －PB PA －PB PA －【解析】解：作A 关于y 轴的对称点C ，连接BC 交y 轴于P ，则此时AP PB +最小，即此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，(4,3)A ，(4,3)C ∴-，设直线CB 的解析式是y kx b =+，把C 、B 的坐标代入得：3413k bk b =-+⎧⎨-=+⎩，解得：47k =-，57b =，4577y x ∴=-+，把0x =代入得：57y =， 即P 的坐标是5(0,)7，故选：C ．【备注】本题考查了轴对称-最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出P 的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目．★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)A ，点(2,1)B -，在x 轴上存在点P 到A ，B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是 ．【答案】(1,0)-【解析】解：作A 关于x 轴的对称点C ，连接BC 交x 轴于P ，则此时AP BP +最小，A 点的坐标为(2,3)，B 点的坐标为(2,1)-，(2,3)C ∴-，设直线BC 的解析式是：y kx b =+，把B 、C 的坐标代入得：2123k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩．即直线BC 的解析式是1y x =--，当0y =时，10x --=，解得：1x =-，P ∴点的坐标是(1,0)-．故答案为：(1,0)-．【备注】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题的应用，关键是能找出P 点，题目具有一定的代表性，难度适中．★★☆练习2．如图，直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ．若点P 为x 轴上的一个动点，求当PC PD +的长最小时点P 的坐标．【答案】详见解析【解析】解：直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，则点A 、B 的坐标分别为：(0,3)，(4,0)，如图所示，过点C 作CH x ⊥轴交于点H ，90ABO BAO ∠+∠=︒，90ABO CBH ∠+∠=︒，CBH BAO ∴∠=∠，又90AOB CHB ∠=∠=︒，AB BC =，()AOB BHC AAS ∴∆≅∆，4CH OB ∴==，3HB OA ==，故点(7,4)C ，同理可得点(3,7)D ，确定点C 关于x 轴的对称点(7,4)C '-，连接C D '交x 轴于点P ，则此时PC PD +的长最小，将点C '、D 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：116144y x =-+， 当0y =时，6111x =，故点61P，0)．(11【备注】本题考查的是一次函数上坐标点的特征，涉及到点的对称性、正方形性质等，本题的难点在于：通过证明三角形全等，确定点C、D的坐标．★★☆例题2．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3OB=，D为边OB的中点，若E为x轴上的一个动点，当CDE∆的周长最小时，求点E OA=，4的坐标()A．(3,0)-B．(1,0)C．(0,0)D．(3,0)【答案】B【解析】解：如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE．若在边OA上任取点E'与点E不重合，连接CE'、DE'、D E''由DE CE D E CE CD D E CE DE CE'+'=''+'>'='+=+，可知CDE∆的周长最小．OB=，D为边OB的中点，42∴=，OD∴，(0,2)D在矩形OACB 中，3OA =，4OB =，D 为OB 的中点，3BC ∴=，2D O DO '==，6D B '=，//OE BC ，Rt ∴△D OE Rt '∽△D BC '，∴OE D OBC D B '=' 即236OE = 1OE =，∴点E 的坐标为(1,0)故选：B ．【备注】此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C 是y 轴上的一个动点，连接AC 、BC ，当ABC ∆的周长最小值时，ABC ∆的面积为 ．【答案】3【解析】解：如图，作点A 关于y 轴的对称点A '，连接A B '交y 轴于点C '，此时ABC ∆'的周长最小，设直线A B ' 的解析式为y kx b =+，(1,4)A '-，(3,0)B ，∴430k b k b -+=⎧⎨+=⎩，1k ∴=-，3b =，∴直线A B ' 的解析式为3y x =-+，当0x =时，3y =，(0,3)C ∴'，ABC AA BAA C S SS∆'''∴=-11242122=⨯⨯-⨯⨯ 413=-=．所以ABC ∆'的面积为3．故答案为：3．【备注】本题考查了轴对称、最短路线问题、坐标与图形性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边 在第二象限内作正方形ABCD ．（1）求点A 、B 的坐标，并求边AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）在x 轴上找一点M ，使MDB ∆的周长最小，请求出M 点的坐标，并直接写出MDB ∆的周长最小值．【答案】详见解析【解析】解： （1）对于直线122y x =+， 令0x =，得到2y =；令0y =，得到4x =-，(4,0)A ∴-，(0,2)B ，即4OA =，2OB =， 则224225AB =+=；（2）过D 作DE x ⊥轴，过C 作CF y ⊥轴，四边形ABCD 为正方形，AB BC AD ∴==，90ABC BAD BFC DEA AOB ∠=∠=∠=∠=∠=︒，90FBC ABO ∠+∠=︒，90ABO BAO ∠+∠=︒，90DAE BAO ∠+∠=︒，FBC OAB EDA ∴∠=∠=∠，()DEA AOB BFC AAS ∴∆≅∆≅∆，2AE OB CF ∴===，4DE OA FB ===，即426OE OA AE =+=+=，246OF OB BF =+=+=，则(6,4)D -，(2,6)C -；（3）如图所示，连接BD ，找出B 关于y 轴的对称点B '，连接DB '，交x 轴于点M ，此时BM MD DM MB DB +=+'='最小，即BDM ∆周长最小，(0,2)B ，(0,2)B ∴'-，设直线DB '解析式为y kx b =+，把(6,4)D -，(0,2)B '-代入得：642k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得：1k =-，2b =-，∴直线DB '解析式为2y x =--，令0y =，得到2x =-，则M 坐标为(2,0)-， 此时MDB ∆的周长为21062+．【备注】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾 股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，对称性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握 性质及定理是解本题的关键（二）一次函数线段差最大值问题【例题讲解】★★☆例题1．已知，如图点(1,1)A ，(2,3)B -，点P 为x 轴上一点，当||PA PB -最大时，点P的坐标为( )A ．1(,0)2B ．5(,0)4C ．1(,0)2-D ．(1,0)【答案】A【解析】解：作A 关于x 轴对称点C ，连接BC 并延长交x 轴于点P ， (1,1)A ，C ∴的坐标为(1,1)-，连接BC ，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，∴123k b k b +=-⎧⎨+=-⎩， 解得：21k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：21y x =-+， 当0y =时，12x =， ∴点P 的坐标为：1(2，0)，当B ，C ，P 不共线时，根据三角形三边的关系可得：||||PA PB PC PB BC -=-<，∴此时||||PA PB PC PB BC -=-=取得最大值．故选：A ．【备注】此题考查了轴对称、待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．此题难度较大，解题的关键是找到P 点，注意数形结合思想与方程思想的应用．★★☆练习1．平面直角坐标系中，已知(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，要使PA PB -最大，则P 点坐 标为【答案】(1,0)【解析】解：(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，||PA PB AB ∴-，∴当A ，B ，P 三点共线时，PA PB -最大值等于AB 长，此时，设直线AB 的解析式为y kx b =+，把(4,3)A 、(2,1)B 代入，可得3412k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得11k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为1y x =-，令0y =，则1x =，P ∴点坐标为(1,0)，故答案为：(1,0)． 【备注】本题主要考查了坐标与图形性质，利用待定系数法求得直线AB 的解析式是解决问题的关键． ★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(6,0)，点P 在一次函数1322y x =+的图象上运动，则PB PA -的最大值为( )A ．2B ．233C ．4D ．143【答案】C【解析】解：如图，作点A 关于直线1322y x =+的对称点K ，连接AK 交直线于H ，连接PK ．AK PH ⊥，(0,4)A ，∴直线AK 的解析式为24y x =-+，由132224y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩， (1H ∴，20，AH KH =，(2,0)K ∴．PB PA PB PK KB ∴-=-，∴当点P 在BK 的延长线上时，P B P K BK '-'=的值最大，最大值为624-=，故选：C ．【备注】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题 属于中考常考题型．【题型知识点总结】一次函数最短路径问题注意事项：1. 根据“和小异，差大同”判断是否需要作对称；2. 作对称时注意要选取动点运动的直线为对称轴作某一定点的对称点。

一次函数之矩形存在性问题问题背景研究一个一次函数$f(x)=kx+b$，其中$k$和$b$是常数。

现在有一个问题：对于任意$k$和$b$，是否存在一条与$x$轴和$y$轴分别相交于四个整点的矩形，使得这个矩形内部恰好有两个整点落在$f(x)$上？问题解答我们可以分两步来回答这个问题。

首先，回忆一下函数图像中与$x$轴和$y$轴相交于整点的情形。

不难发现，$f(x)=kx+b$与$x$轴相交于$x=-\frac{b}{k}$，与$y$轴相交于$(0,b)$。

因此，只要存在一个解，满足$-\frac{b}{k}$和$0$都是整数，即可得到一条相交于四个整点的直线。

其次，我们来看如何确定这个直线是否与$f(x)$恰好有两个整点的交点。

由于$f(x)$是一次函数，在$x$增大的过程中，它的取值是连续变化的。

因此，如果$f(x)$在某个区间内恰好取到了两个整数，那么在这个区间内必然存在一个值$x_0$，使得$f(x_0)$就是这两个整数的平均值。

因此，我们只需要找到这样一个区间，使得这个区间的两个整数均落在$f(x)$上，即可得到一条与$f(x)$恰好有两个整点的相交点。

综上，我们可以得出结论：对于任意$k$和$b$，都存在一条与$x$轴和$y$轴分别相交于四个整点的矩形，使得这个矩形内部恰好有两个整点落在$f(x)$上。

结论说明这个结论具有较强的普遍适用性。

首先，由于我们并没有对$k$和$b$的取值范围进行限制，因此这个结论适用于所有一次函数$f(x)=kx+b$的情况。

其次，由于我们利用了$f(x)$的连续性，因此这个结论也适用于所有连续函数的情况。

最后，由于我们没有涉及到任何特定的整点或整数的性质，因此这个结论也是普遍成立的。

参考文献无。

一次函数之存在性问题（讲义）一、知识点睛存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查______________ .一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：1. 把函数信息（______________ ）转化为几何信息；2. 分析特殊状态的形成因素，画出_____________________ ；3. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的____________ 建立等式来解决问题．二、精讲精练1. 如图，直线y 33x 3与x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第3一象限内的点，由点P，O，B组成了一个含60°角的直角三角形，则点P 的坐标为______________ ．2. 如图，直线y=kx- 4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且OC 4.OB 3 （1）求点B的坐标和k 的值．（2）若点A是第一象限内直线y=kx- 4 上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△ AOB的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在一点P，使△ POA是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.3. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x 轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=6 2 ，点C的坐标为（- 9，0）．（1）求点 B 的坐标．（2）若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式．（3）若点P 是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4. 如图，直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，OB 3，点C是直OA 4线y=kx+3上与A，B不重合的动点．过点C的另一直线CD 与y轴相交于点D，是否存在点C使△ BCD 与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．0），P（x，y）是直线y 1 x 2 上的一个动点2（点P不与点 A 重合）．（1）在点P的运动过程中，试写出△ OPC的面积S与x 之间的函数关系式．2）当点P运动到什么位置时，△ OPC的面积为27？求出8此时点P 的坐标．3）过P作AB的垂线与x轴、y 轴分别交于E，F两点，是否存在这样的点P，使△ EOF≌△ BOA？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5. 如图，参考答案】、知识点睛存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果. 一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：4. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息；5. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；6. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题．二、精讲精练1．（1，3）或（3，3）或（3，3）或（3，3 3）4 4 4 4 42．（1）B（3，0），k 43（2）A（6，4）13（3）P1（2 13，0）或P2（- 2 13，0）或P3（12，0）或P4（，0）33．（1）B（- 3，6）（2）y=- x+3（3）P1（3，0）或P2（52，3 32）或P3（32，3 32）或P4（3，3）2 2 2 2 2 212 6 12 244．（12，6）或（12，24）或（ 4，6）5 5 5 53x 3 （x 4）34x 3 （x 4）3x 3 （x 4）5．（1）17 9 1 92）P1（17，9）或P2（1，9）2 4 2 44 12 12 43）P1（，）或P2（- ，）5 5 5 5OC 11. 如图，直线 y=kx- 1与x 轴、 y 轴分别交于点 B ，点C ，且 OC 1 ．OB 2 3一次函数之存在性问题（随堂测试）（1）求点B 的坐标和 k 的值． （2）若点 A （x ，y ）是第一象限内直线 y=kx- 1 上的一个动点， 则当点 A 运动到什么位置时，△ AOB 的面积是 2？（3）在（ 2）成立的情况下， x 轴上是否存在点 P ，使△ POA 是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由．【参考答案】11．（1）B （2，0）， k 12（2）A （6，2）（3） P 1（2 10，0）或P 2（- 2 10，0）或P 3（12，0）或P 4（ 10，0）一次函数之存在性问题（作业）6. 如图，直线y x 4与x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第二象限内的点，若点P，O，A 组成了一个含30°角的直角三角形，则点P的坐标为7. 如图，将Rt△AOB 放入平面直角坐标系中，点x轴上，点B在y轴上，OB= 2 3 ，∠ BAO=30°，将△ AOB沿直线BE 折叠，使得边OB落在AB上，点O与点 D 重合．1）求直线BE 的解析式．2）求点 D 的坐标．3）x轴上是否存在点P，使△ PAD 是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.6. 如图，直线y x 4与x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第二象限内的点，若点P，O，A 组成了一个含30°角的直角三角形，则点P的坐标为8. 如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A，点B，已知A（2，0），B（0，4），线段CD 的两端点在坐标轴上滑动（点 C 在y 轴上，点D在x 轴上），且CD=AB．（1）求直线AB 的解析式；（2）当点 C 在y轴负半轴上，且△ COD 和△AOB全等时，求点 D 的坐标．9. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=- x+8 与x 轴、y 轴分别交于点A，点B，点P（x，y）是直线AB上一动点（点P不与点A重合），点C的坐标为（6，0），O 是坐标原点，设△ PCO 的面积为S．（1）求S 与x 之间的函数关系式．（2）当点P 运动到什么位置时，△ PCO的面积为15？（3）过点P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于点E，点F，是否存在这样的点P，使△ EOF≌△ BOA？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案】（ 1，3）或（- 3，3）或（ 4，4 3）或1．（ 4，4 3） 32．（1）y 3x 2 3（2）D（- 3，3）（3）P1（ 4，0）或P2（ 6 2 3，0）或P3（ 6 2 3，0）或P4（ 0，0）3．（1）y=- 2x+4（2）D1（ 4，0）或D2（- 2，0）或D3（2，0）或D4（ 4，0）3x 24 （x 8）4．（1）S3x 24 （x 8）（2）（3，5）或（13，-5）（3）（0，8）一次函数之动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题的特征是 ______________ ，主要考查运动的_____ ．1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①________________________ 把函数信息（）转化为基本图形的信息；②________________________ 分析运动过程，注意_____ ，确定对应的________________________________ ；③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案．2. 解决具体问题时会涉及_________________ ，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s=vt直接表达 ______ 或________ ；②根据研究几何特征的需求进行表达，既要利用 ________________ ，又要结合__________ ．二、精讲精练31. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线y x 3 与x 轴、y4轴分别交于A，B两点．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 的运动时间为t 秒．（1）求OA，OB 的长．（2）过点P 与直线AB垂直的直线与y 轴交于点E，在点P 的运动过程中，是否存在这样的点P，使△ EOP≌△AOB？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．2. 如图，直线y= 3x+4 3与x轴、y轴分别交于A，B 两点，直线BC与x轴交于点C，∠ABC=60°．（1）求直线BC的解析式．（2）若动点P 从点 A 出发沿AC方向向点C运动（点P 不与点A，C重合），同时动点Q 从点C出发沿折线CB—BA 向点A 运动（点Q不与点A，C重合），动点P的运动速度是每秒1 个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2 个单位长度．设△APQ的面积为S，运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（3）当t=4时，y轴上是否存在一点M，使得以A，Q，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3. 如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，11），C（0，5），点D为线段BC 的中点．动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA—AB—BD 的路线运动，至点 D 停止，设运动时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式．（2）若动点P在线段OA上运动，当t为何值时，四边形1OPDC 的面积是梯形COAB 面积的？43）在动点P 的运动过程中，设△ OPD的面积为S，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．4. 如图，直线y 3x 4 3与x轴交于点A，与直线y 3 x交于点P．3（1）求点P 的坐标．（2）求△ OPA的面积．（3）动点 E 从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿OA 方向向终点A 运动，过点E作EF⊥x 轴交线段OP或线段PA于点F，FB⊥y轴于点B．设运动时间为t 秒，矩形OEFB5. 如图，直线 l 的解析式为 y=- x+4，它与 x 轴、y 轴分别交于 A ，B 两点，平 行于直线 l 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴的正方向以每秒 1个单位长度的 15速度运动，它与 x 轴、 y 轴分别交于 M ，N 两点，设运动时间为 t 秒（0< t<4）．（1）求 A ，B 两点的坐标；（ 2）用含 t 的代数式表示△ MON 的面积 S 1；（3）以 MN 为对角线作矩形 OMPN ，记△ MPN 和△ OAB 重三、回顾与思考【参考答案】一、知识点睛速度已知，过程．1．①坐标或表达式；②状态转折，时间范围．2．线段长的表达；①已走路程，未走路程；②动点的运动情况，基本图形信息． 二、精讲精练 1．（1）OA=4，OB=3；叠部分的面积为t=1 或 t=7y 3x 4 3 M 1(0，4 3 8)或M 2(0，4 3 8)或M 3 (0， 4 3)或M 4(0，3y x 5 4t 32（2） 2．（1）（2）（3）3．（1） （2） （3） 4．（1） （2）（3） 5．（1） （2） （3） 4t (0 t ≤ 8)S 2t 48 (8 t ≤19)2t 48 (19 t 24)P(3， 3)233t 2S 65 3t 2 16 3t 24 32A(4，0), B(0，4)S1 1t 2212t 2S 2 23t 28t 8 2 (0 t ≤ 2)(2 t 4)(0 t ≤ 3) (3 t 4)(0 t ≤ 4)(4 t 8)一次函数之动点问题（随堂测试）1. 如图，直线 l 1：y 3x 2 3与x 轴、y 轴分别交于 A ，B 两点，直线 l 2： y 3x 63与 x 轴交于点 C ，与直线 l 1交于点 P ．（1）求点 P 的坐标．（2）动点 M 从点 C 出发，以每秒 2 个单位的速度沿折线 CP-PB 向点 B 匀速运动（点 M 不与点 C 重合），设△ OMC 的面积 为 S ，运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 自变量 t 的取值范围．1（3）当 t 为何值时，△ OMC 的面积是△ APC 面积的 ？ 4参考答案】1．（1） P （2，4 3）3）2）3 3t 3 3t 24 3 (0 t ≤ 4) (4 t ≤ 6)一次函数之动点问题（作业）1. 如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线y=- x+b过点B且与x 轴交于点 C ．（1）求直线BC的表达式．（2）若动点P从点C出发沿CA方向向点 A 运动（点P不与点A，C重合），同时动点Q从点A出发沿折线AB- BC向点C运动（点Q不与点A，C重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒 2 个单位长度，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设△ CPQ 的面积为S，运动时间为t秒，求S与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．2. 已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC∥AB，∠AOC=90°，AB=4，AO=8，OC=10，以O为原点建立平面直角坐标系，点D为线段BC的中点．动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度，沿折线AO- OC- CD向终点 D 运动，设运动时间为t 秒．（1）求点 D 的坐标；（2）在动点P的运动过程中，设△ OPD的面积为S，求S与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．yO A x3. 如图，直线y x 4 2与x轴交于点A，与直线y x交于点B．（1）求点 B 的坐标．（2）判断△ OAB的形状并说明理由．（3）动点D从原点O出发，以每秒 2 个单位的速度沿OA向终点A运动（点D不与点O，A重合），过点D作DC⊥x轴，交线段OB或线段BA于点C，CE ⊥y轴于点E．设运动t秒时，矩形ODCE与△OAB重叠部分的面积为S，求S 与t 之间的函数关系式．参考答案】1．( 1) y x 412t2 (0 t ≤ 4)2) S 212t 2 4t (4 t 8)22．（1）D（4，7）(0 ≤ t 2)9(2 t ≤ )29 23( t )243．(1) B(2 2，2 2)2）△OAB是等腰直角三角形3)S t223t 2 16t 16 (0 t≤ 2) (2 t 4)14t 28 2) S 8t 16一次函数应用题（讲义）一、知识点睛1. 理解题意：结合图象依次分析 ______________ 的实际意义，把函数图象与____________ 对应起来，可借助示意图（如线段图）等梳理信息．2. 利用___________ 解决问题：把所求问题转化为函数元素，利用表达式进行求解；另外当实际场景发生变化时，要分析 _________________________ 或者 ________________________ ．3. 结合实际场景验证所求结果．二、精讲精练1. 一辆快车和一辆慢车分别从A，B 两站同时出发，相向而行．快车到达 B 站后，停留1小时，然后原路原速返回 A 站，慢车到达 A 站即停运休息．如图表示的是两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数图象．请结合图象信息，解答下列问题：（1）直接写出快车、慢车的速度及A，B 两站间的距离；（2）求快车从B站返回A站时，y与x之间的函数关系式；（3）出发几小时，两车相距200 千米？请直接写出答案．2. 在一条笔直的公路上有A，B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从 B 地到 A 地，到达 A 地后立即按原路返回．如图是甲、乙两人离 B 地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：（1）写出A，B 两地之间的距离；（2）求出点M 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两人之间保持的距离不超过3km 时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x 的取值范围．3. 2013 年夏，某地发生特大暴雨灾害，受其影响，某药品的需求量急增．如图所示，平常对某种药品的需求量y1（万件）、供应量y2（万件）与价格x （元/件）分别近似满足下列函数关系式：y1=- x+70，y2=2x- 38，需求量为0 时，即停止供应．当y1=y2 时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量．（1）求该药品的稳定价格与稳定需求量．（2）价格在什么范围内，该药品的需求量低于供应量？（3）由于灾情严重，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来提高供货价格，以提高供应量．根据调查统计，需将稳定需求量增加 6 万件，政府应对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量？4. 甲船从 A 港出发顺流匀速驶向 B 港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向 B 港．乙船从 B 港 出发逆流匀速驶向 A 港．已知救生圈漂流的速度和水流速度相同，甲、乙 两船在静水中的速度相同，甲、乙两船到 A 港的距离 y 1，y 2（km ）与行驶时 间 x （ h ）之间的函数图象如图所示．（ 1）乙船在逆流中行驶的速度为 __________ ；（2）求甲船在逆流中行驶的路程；（3）求甲船到 A 港的距离 y 1与行驶时间 x 之间的函数关系式；（4）救生圈落入水中时，甲船到 A 港的距离是多少？2 2.5 3.5 4 x/h 24 y/km甲5. 如图1 是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x （分钟）之间的关系如图 2 所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）图 2 中折线AB—BC表示__ 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示 ___ 槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点 B 的纵坐标表示的实际意义是2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？3）若乙槽的底面积为36 平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积．4）若乙槽中铁块的体积为112 立方厘米（壁厚不计），求甲槽的底面积（直图 2 接写出结果）．三、回顾与思考参考答案】一、知识点睛1 ．轴、点、线，实际场景2 ．函数图象，函数图象的变化，构造函数图象 二、精讲精练 1)快车的速度是 120km/h ；慢车的速度是 80km/h ；A ，B 两地之间的距离是 1200km ． 40x 1320 (11≤ x ≤15) y 120x 2520 (15 x ≤ 21) 5 小时， 7 小时， 58 小时． 3 A ，B 两地之间的距离是 30 km ； 22 M (2 ，20) ，两车出发 2 小时后相遇，此时距离 B 地 20km ； 33 3 11 5 15 该商品的稳定价格是 36 元，稳定需求量是 34 万件． 36<x <70 9元 6km/h 3km 1．2．3．4． 5． 2)3)1)2)3)1)2)3)1)2)3)4)1)2)3)4)3≤ x ≤ 11或 9≤x ≤2． 5 9x 6x 30 15 9x 2 (0≤ x ≤ 2) (2 x ≤ 2.5) (2.5 x ≤ 3.5) 27 km 2 乙，甲，乙槽中铁块的高度是 14 厘米； 注水 2 分钟时，甲乙两个水槽中水的深度相同； 84 立方厘米； 60 立方厘米．一次函数应用题（随堂测试）1. 甲、乙两个港口相距72千米，一艘轮船从甲港出发，顺流航行 3 小时到达乙港，休息1小时后立即返回；一艘快艇在轮船出发 2 小时后从乙港出发，逆流航行 2 小时到达甲港，并立即返回（掉头时间忽略不计）．已知水流速度是2千米/ 时，下图表示轮船和快艇距甲港的距离y（千米）与轮船出发时间x（小时）之间的函数关系式，结合图象解答下列问题：（顺流速度=船在静水中速度+水流速度；逆流速度=船在静水中速度- 水流速度）（1）轮船在静水中的速度是____千米/ 时，快艇在静水中的速度是___ 千米/ 时；（2）求快艇返回时的解析式，并写出自变量的取值范围；（3）快艇出发多长时间，轮船和快艇在返回途中相距12千米？【参考答案】1．（1）22；38．（2）y=40x-160（4≤x≤ 5.8）．（3）3或 3.4．一次函数应用题（作业）1. 甲、乙两车分别从A，B 两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶．甲车途经C地时休息一小时，然后按原速度继续前进到达 B 地；乙车从 B 地直接到达 A 地，如图是甲、乙两车离B地的距离y（千米）与甲车出发时间x （小时）的函数图象．（1）直接写出a，m，n 的值；（2）求出甲车离 B 地的距离y（千米）与甲车出发时间x（小时）的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当两车相距120 千米时，乙车行驶了多长时间？2. 某地区一种商品的需求量y1（万件）、供应量y2（万件）与价格x（元/件）分别近似满足下列函数关系式：y1=- x+60，y2=2x- 36．当需求量为0 时，即停止供应．当y1=y2 时，该商品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量．（1）求该商品的稳定价格与稳定需求量．（2）当价格在什么范围时，该商品的需求量低于供应量？（3）当需求量高于供应量时，政府常通过对供应方提供价格补贴来提高供货价格，以提高供应量．现若要使稳定需求量增加 4 万件，政府应对每件商品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量？3. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢y 与2BC y x变量x 的取值范围．参考答案】1．（1）a=90；m=1.5；n=3.5；120x 300 （0≤ x≤ 1.5）（2）y 120 （1.5 x≤ 2.5）120x 420 （2.5 x≤ 3.5）（3）1小时或 3 小时．2．（1）该商品的稳定价格是32 元，稳定需求量是28 万件．（2）32< x <60．（3）6 元．3．（1）960km；当慢车行驶6 个小时时，快车到达乙地；80km/h ，160km/h ．（2）y=240x- 960（4≤ x≤ 6）．。

专题：平面直角坐标系+等腰三角形平面直角坐标系内，在一条直线上找一动点与一条线段构成等腰三角形的方法：1.作已知线段的垂直平分线，即垂直平分线与已知直线的交点为所找点2.以已知线段的端点为圆心，线段长为半径画圆，圆与已知直线的交点为所找点平面直角坐标系内，在一条直线l 上找一动点P 与线段AB 的两个端点构成等腰三角形。

如图1：作线段AB 的垂直平分线与直线l 相交，即交点为所找P 点。

如图2：以点A 为圆心，线段AB 长为半径画圆，圆与已知直线l 相交，即交点为所找点P 点如图3：以点B 为圆心，线段AB 长为半径画圆，圆与已知直线l 相交，即交点为所找点P 点解题方法：模型一：等腰直角三角形方法：利用全等三角形求坐标（一线三垂直“K”模型）模型二：一般等腰三角形1.利用勾股定理建立方程。

（关键：构建直角三角形）2.利用两点之间的距离公式建立方程。

（关键：两点之间的距离公式）已知：A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，()()2212212AB 则y y x x -+-=：专题：一次函数中等腰三角形的存在性问题例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B。

（1）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．（2）在y轴上是否存在一点P使△P AB为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标．对应练习：1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y＝﹣x+2交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，2）；作等腰直角三角形PBC，使PC＝BC，求出点P的坐标．2．如图，已知点D（﹣1，0），直线l1的解析式为y＝﹣x+6，经过点C（2，n），与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）如图1，若直线l2经过点D，与直线l1交于点C，求直线l2的解析式；（2）点M是x轴上一动点，若△CDM为等腰三角形，求点M的坐标；3．如图1，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，顶点C在正比例函数y＝x上，顶点B的坐标为（m，n），且m、n满足＝﹣（n﹣）2．（1）求点B、C的坐标；（2）在y轴上存在一点D，使得以O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，求D点的坐标；4．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，对角线AC所在直线解析式为y＝﹣x+15，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处．（1）求点E的坐标；（2）在y轴上是否存在点P，使△PBE为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。

一次函数与等腰三角形的存在性问题训练
1 如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A，点B，在第一象限是否
存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2 已知，如图，在平面直角坐标系中，A、B两点坐标分别为A（4，0），B （0，8），直线y=2与直线AB交于点C，与y轴交于点D；
（1）求直线AB的解析式；
（2）点E是直线AB上的一个动点，问：在y轴上是否存在点F，使得△DEF 为等腰直角三角形？若存在，请求出点E及对应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
3 如图，四边形OABC的顶点A（0，4），B（﹣2，4），C（﹣4，0）．过作B、C直线l，将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于D，与y轴交于点E．探究：当直线l向左或向右平移时（包括直线l与BC直线重合），在直线AB 上是否存在P，使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
4 如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t，使它与直线y=x和直线y=﹣x+2分别交于点D、E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形？若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因．。

2021年第02期总第495期数理化解题研究一次函数背景下的存在性问题王帅兵(河南省郑州市孜文教育信息咨询有限公司450000)摘 要：一次函数是八年级数学的学习内容，在平面直角坐标系中，研究点和直线的动态特征，以及在动 态情境下产生的几何图形存在性问题，是考察学生思维能力的有效载体，已成为考试的重难点.本文将结合具 体题目，从不同方面探讨存在性问题的解法.关键词：一次函数;存在性；对称；两圆一线；弦图中图分类号:G632 文献标识码：A 文章编号：1008 -0333(2021)02 -0017 -02一、两定一动型，注意好“一上一下”两定一动型,是指在给定两个点的情况下,另一点在一条线上运动所产生的面积问题,解决这类问题，要做好 题目分析,有一边与坐标轴平行时直接求解;没有边与坐 标轴平行时，用好“铅锤法”(或“割补法”)，同时注意好 “ 一一上 —下”.例1如图1所示,一次 函数y 二2% +4的图像与坐标 轴分别交于点A 、B ,在一次函数的图象上是否存在一点P , 使得A AOP 的面积为3？思路分析由题设条件，易求出点A 和点0坐标分别为(-2,0)和(0,0),点P 为直 图1线上一动点，不妨设其坐标为(%,y ),当点P 位于%轴上方时,S △A0P 二2 ； y 二3 ,解得y 二3,代入表达式y 二2% + 4 可得点P 坐标为(-1 /2,3).由于坐标系中的对称性，点 P 也可以位于%轴下方，此时可求出点P 的坐标为 (-7/2,-3).综上，点 P 坐标为(-1/2,3)或者(-7/2, -3).一例2如图2所示，直线y 二1 /2%与直线y 二-% + 3 相交于点A ,点B 是直线y 二1 /2%上的一个点，且横坐标 为4.如果点P 是直线y 二-% +3上的一个动点，且满足 △ABP 的面积为9,那么点P 的坐标为 .思路分析 如图2,易求出点A 和点B 坐标分别为(2,1) 和(4,2).如图3,过点P 向%轴做垂线交直线AB 于点F ,设点P ( a , - a +3),那么点F 坐标为(a , ； a )，则A ABP 的面积为："F x ( %B 一 ％a)(3 -a - 2 a )(4 -2)-----------「 - 9.解得 a 二-4,点P 的坐标为(-4,7).同理，如图4时,可得点P 的坐标 为(8,-5).综上，点P 的坐标为(-4,7)或(8,-5).二、等腰三角形，用好“两圆一线”在一次函数的背景下,等腰三角形的存在性问题可 以借助图形的基本性质来解,利用同端点、等长度作圆和 线段垂直平分线.例 3 如图 5 所示, 直线 y - % + 4 与坐标轴交于点 A 和点B ，在%轴上是否存在点P ,使得A ABP 为等腰三角 形？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标.图5 图6思路分析如图6所示,分别以点A 和点B 为圆心 作圆，同时作出线段AB 的垂直平分线，可得与%轴的4个 交点：P ］、戶2、P 3和P 4.分别求解,可得其坐标分别为P 1( -4-4 2 ,0)、P 2(0,0)、P s (4 2 -4,0)心4,0).三、直角三角形，利用顶点来分类对于直角三角形的存在性,可以利用顶点来分类，然 后结合具体条件求解.例4如图7所示,在平面直角坐标系％oy 中，三角收稿日期：2020 -10 -15作者简介：王帅兵(1988. 7 -)，男，河南省鲁山人，本科，从事数学教学研究.17数理化解题研究2021年第02期总第495期板的直角顶点P的坐标为(2,2),一条直角边与兀轴的正半轴交于点A,另一直角边与y轴交于点B,三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当MA为直角三角形时，请求出所有满足条件的点B的坐标.思路分析分析题设条件可得，乙POA二45°,不可能为直角，'FOA的另两个角可以是直角.如图8,当OA丄AP时，可求出点B的坐标为(0,2);如图9,当OP丄PA时，点B和点O重合，点B坐标为(0,0).综上所述，点B的坐标为(0,2)或(0,0).图7图8图9四、等腰直角三角形，借助弦图轻松解等腰直角三角形的分类问题，可以在构造基本直角的情况下，借助弦图求解.例5如图10所示，直线y二-2兀+4与坐标轴交于点A和点B,在第一象限内是否存在点P,使得A ABP为等腰直角三角形？思路分析由题设条件易得,A(2,0)、B(0,4),OA二2,OB二4.利用心A AOB作弦图，如图11所示,其中P】、P2、戶3是满足条件的点.利用弦图中的全等三角形的性质,以及线段长与坐标的相互转化,可得三点的坐标分别为:P1(4,6)、P2(6,2)、P3(3,3).五、全等三角形，对应后综合求解全等三角形的存在性问题,要注意好顶点的对应，然后借助多种基本方法解题.例6如图12所示，在平面直角坐标系中作矩形OABC,点B坐标为(4,8),将A ABC对折,使点A与点C 重合,折痕交AB于点D,坐标系内是否存在点P(除点B 外),使A APC与A ABC全等？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.思路分析由题设条件易得点A与点C的坐标分别为(4,0)、(0,8),直线AC表达式为:y二-2%+8.由矩形性质可得A AOC=△CBA,此时点P与点O重合,坐标为(0,0).由翻折性质可得△ADB'^A CDB',此时,如图13, 18可以延长CP，过点A作CP丄AP于点P,利用等面积法可得点P坐标为(；，?)•如图14,作A ABC关于直线AC 的对称图形，此时，过点P作PQ丄y轴于点Q,利用等面积法可得点P坐标为(-12,24).六、等距离轨迹问题,借助坐标轴三角形构造相似在一次函数背景下的等距离轨迹问题，可以借助一次函数图像与坐标轴的交点,构造相似图形,求出点的坐标，进而找到点所在直线的表达式.例7如图15所示，直线y二2%+6与坐标轴分别交于点A和点B，在平面直角坐标系中是否存在一点,使得点P到直线AB的距离等于25，若存在，请求出点P所在轨迹的表达式;若不存在，请说明理由.思路分析到直线AB距离等于25的点的集合是与直线AB平行的两条直线.由题设条件易得，点A和点B 的坐标分别为(-3,0)和(0,6).如图16,过点B作直线AB的垂线-，在直线-上分别截取BP】二BP?二25,再分别过点P1和点P2作垂直于直线z1的直线z2和z3,直线12和人即为点P的轨迹.因为直线J和厶与直线AB平行,要求其表达式，只要求出点P1和点P2的坐标即可,此时,过点P1作P1Q1丄y轴于点Q1，则△P1Q1B^△BOA,可得P1Q1二4,BQ1二2,可得点P1坐标为(4,4),可求出心:y二2%-4.同理可求出厶：y二2%+16.综上,解决一次函数的存在性问题，一定要研究好背景图形，调用基本技巧和方法,构图确定位置，画图解答.参考文献：[1]王玉新.学好一次函数，善于梳理总结是关键[J].数学学习与研究，2019(19)：135.[2]王淑艳.一次函数解初中几何动点问题[J].理科爱好者，2019(4)：147.[责任编辑:李璟]。

专题04一次函数中的特殊平行四边形存在性问题类型一、菱形问题(1)如图1，请直接写出点A 的坐标，并求出直线AB 的解析式．(2)如图2，直线2y x b =+是线段AB 的垂直平分线，垂足为点D ，且交y 轴于点C ，连接BC 线CD 上的一动点，当点P 使得32ACP ACD S S =△△时，请求出符合条件的点P 坐标．(3)在（2）的条件下，若点P 在直线CD 上且在第三象限内，在平面内是否存在其它点Q ，使得以点P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()0,2A ，122y x =-+(2)()3,3或者()3,9--(1)求A C 、两点坐标；(2)若点M 是直线CB 上一点，且(3)点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点直接写出点Q 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(1,0)A ，(3,0)C -∵(1,0),(0,3),(3,0),,A B C M m ⎛- ⎝∴1(3)4AC =--=，3OB =，MD ∴23ABC S = ，12ACM S AC MD = △∴(,3)F m ，BF m =，33MF =∵90ABC ∠=︒，∴90ABM ∠=︒，即ABM 是直角三角形，∴AB BP PQ AQ ===∴()1,2Q ；②如图所示，以AP 为对角线，四边形同理，AB BP PQ ==∴()1,2Q -；③如图所示，以AB 为对角线，四边形在Rt AOB △中，OA =∴根据菱形的性质可知，∵30ABO ∠=︒，∴30PAH QAH ∠=∠=∴AB BQ QP AP ====∴(0,3),(1,0)P Q --；综上所述，点P 是y 轴上的点，坐标平面内存在点为()1,2或()1,2-或21,⎛ ⎝∴存在，点Q 坐标为(1,(1)如图1，求点E 坐标和直线CE 的解析式；(2)点P 为x 轴正半轴上的动点，设OP t =．①如图2，当点P 在线段OA （不包含端点A ，O ）上运动时，过点P 作直线l ∥y 的线段长为d ．求d 关于t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；∵OP t=，∴31,6,,43 G t t H t t ⎛⎫⎛-+-+ ⎪⎝⎭⎝∴136634d t t⎛⎫=-+--+=⎪⎝⎭②当CE 为对角线时，如图，∵四边形CPEG 是菱形，∴设CP PE n ==，则OP =在直角三角形O C P 中，根据勾股定理可得当CE 为边时，如图，∵四边形CEPG 是菱形，∴∵CG PE ∥，∴(10,6G 综上，点G 的坐标是25⎛【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、勾股定理、折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识，具有较强的综合性，熟练掌握相关图形的性质、熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式、灵活应用数形结合思想是解题的关键．类型二、矩形存在性问题(1)求直线BD的表达式；(2)求OFH的面积；(3)点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2833 y x =+(2)64 21(3)存在，N点坐标为208,93⎛⎫-⎪⎝⎭或104,3⎛⎫--⎪⎝⎭或84,3⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）根据旋转的性质求出D点坐标，根据矩形的性质求出B 析式即可；（2）分别求出80,,(4,2)3F E⎛⎫⎪⎝⎭，先确定直线OE的解析式，从而求出∵MF FD FO MD ⊥⊥，，∴90MFD ∠=°，FOM DOF ∠=∠(1)求A，B，C三点的坐标；(2)点D是折线B A C--上一动点．①如图（1），当点D是线段AB的中点时，在y轴上找一点E，使ED EB+最小；用直尺和圆规画出点位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点E的坐标；点D 是AB 的中点，(0,6)A ，(6,0)B ，(3,3)D \，6,90OA OB AOB ==∠=︒ ，AOB ∴ 为等腰直角三角形，即BAO ∠=∠在BOF 与AOC 中，FBO CAO ∠=∠⎧类型三、正方形存在性问题(1)求点A ，点B 的坐标；(2)若AOC BCP S S =△△，求点P 的坐标；(3)若点E 是直线54y x =上的一个动点，在平面内是否存在点F ，使四边形APEF 点E 的坐标；若不存在，请说明理由．99⎝⎭②当点P 在点E 的右侧时，如图同理可得AMP PNE ≌△△，∴6NE PM ==，NP AM =，即65684m n m n +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得：16m =，5204m =，【点睛】本题考查了一次函数综合问题，一次函数与坐标轴交点问题，正方形的性质，三角形面积问题，坐标与图形，熟练掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键．例2．如图，在平面直角坐标系中，直线（0k ≠）交于点P ，4OC OD OA ==(1)求直线CD 的解析式；(2)连接OP 、BC ，若直线AB 上存在一点Q ，使得(3)将直线CD 向下平移1个单位长度得到直线，直线角坐标系中，是否存在点M ，使以点O ，E ，N ，M 标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4y x =-+；∵3AC=，点P的坐标为∴12PQC P S AC y=⨯+△∴点N 的坐标为(0,3)，∴点M 的坐标为(3,3)；当3OE =作为矩形OEMN ∴点F 的坐标为3(,0)2，∵tan 11OEN ∠=-=，∴45OEN ∠=︒，∵ON NE ⊥，∴ONE ∆是等腰直角三角形，(1)求直线l 的解析式；(2)求证：ABC 是等腰直角三角形；(3)将直线l 沿y 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与存在点P ，使得A B P ''△是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点【答案】(1)142y x =-+∴90DPE A PB ''∠=∠=︒，∴A PD B PE ''∠=∠，∵90A FP CEB ''∠=∠=︒，∴A FP CEB '' ≌，∴4,PE PF A F B E ''===，此时点P 的坐标为()44--，；同理此时点P 的坐标为()44-，；如图，若以点B '为直角顶点时，过点P 作同理A OB B GP ''' ≌，∴44OB PG OF t '====+，B '∴8t =-或0（舍去），∴8B G OA ''==，∴12OG =，∴此时点P 的坐标为()412--，；如图，若以点B '为直角顶点时，过点同理PB M A B O ''' ≌，∴44B M B O t ''===+，82PM OA t '==+，∴0=t （舍去）；如图，若以点A '为直角顶点时，同理A PF B A O ''' ≌，∴,PF A O B O A F '''==，∴4482t t --=---，解得：8t =-，∴8PF =，此时点P 的坐标为()48-，；如图，若以点A '为直角顶点时，同理A PF B A O ''' ≌，(1)求直线1l的解析式；(2)设2P m（，），求ABP的面积S (3)当ABP的面积为3时，则以点【答案】(1)114y x =-+(2)当12m>时，21S m=-；当m90CBF PBE CFB PEB BC BP ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴CBF PBE AAS ≌（）．∴2BF CF PE EB ====．∴426OF OB BF =+=+=．∴62C （，）；如图3，PBC 是等腰直角三角形，∴PE CE =，∴22C （，-），∴以点B 为直角顶点作等腰直角BPC △，点C 的坐标是62（，）或22（，-）．当123m -=时，1m =-，可得21P （，-），同法可得32C （，）或52-（，）．综上所述，满足条件的点C 坐标为62（，）或22（，-）或（3，2）或52（，-）．【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，同时考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．2．如图1，在平面直角坐标系中，△ABO 为直角三角形，∠ABO ＝90°，∠AOB ＝30°，OB ＝3，点C 为OB 上一动点．∵将△OAB绕点O顺时针旋转，∴BO=B'O=3，∠AOB=∠A'OB'=30°，∵将△OAB绕点O顺时针旋转，∴∠BOB'=∠AOA'=90°，OB=OB'=3，∴点B'在y轴上，∴点B'（0，-3），如图，由中心对称的性质可得：点B'的坐标综上所述：点B '的坐标()03-，或332⎛- ⎝，【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，一次函数的性质等知识，中心对称的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．．如图，在平面直角坐标系中，直线y =与直线CD 交于点(),3A m ．(1)求直线AB 的解析式；(2)点E 是射线CD 上一动点，过点E 作EF y ∥轴，交直线平行四边形，请求出点E 的坐标；(3)设P 是射线CD 上一点，在平面内是否存在点Q ，使以直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．∵()0,3B -，()0,6C ∴直线PQ 的解析式是直线32y =，M 令362y x =-+=，解得92x =，∴点P 的坐标是93,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点P 的坐标是(,6b b -+∵BC BP =，即()20b -解得：9b =或0b =(此时点∴点P 的坐标是()9,3-∴9PQ BC ==，设点P 的坐标是(,b b -+解得：922b =或b =-又∵9PQ =，∴点Q 的坐标是综上所述：点Q 的坐标为：【点睛】本题考查待定系数法求直线的解析式，一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的性质，（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线【答案】（1）见解析；（2）点【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，AD l ⊥，∴90ACB ADC ∠=∠=︒，∵ACE ADC CAD ∠=∠+∠，ACE ACB BCE ∠=∠+∠，∴CAD BCE ∠=∠，∵90ADC CEB ∠=∠=︒，AC BC =，∴()AAS ACD CBE ≌ ，∴AD CE =，CD BE =；（2）解：如图2，过点F 作FM y ⊥轴，垂足为M ，过点G 作GN x ⊥轴于点N ，交MF 的延长线于J ，∵()3,1G -，∴3ON =，1GN =，由已知可得OG GF =，且90OGF ∠=︒，∵FM y ⊥轴，GN x ⊥轴，∴90JMO MON JNO ∠=∠=∠=︒，∴四边形JMON 是矩形，∴90ONG FJG ∠=∠=︒，JM ON =，∴90FGJ OGN OGN GON ∠+∠=∠+∠=︒，∴FGJ GON ∠=∠，∵OG GF =，90ONG FJG ∠=∠=︒，∴()AAS GJF ONG ≌ ，∴3GJ ON ==，1JF GN ==，∴3JM ON ==，过点3P 作3P E x ⊥轴于点E ，由（1）知3P EN NOM ≌ ，∴33P E ON ==，1NE OM ==，∴314OE =+=，∴()343P ，，同理可得()42,3P -．综上所述点P 的坐标为()34，或()32-，或()41，或（()2,1--）．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法．5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数(0)y kx b b =+≠的图象经过(1,0)A -，(0,2)B ，D 三点，点D 在x 轴上方，点C 在x 轴正半轴上，且5OC OA =，连接，BC CD ，已知2ADC ABC S S =△△．(1)求直线AB 的表达式；(2)求点D 的坐标；(3)在线段AD CD ，上分别取点M ，N ，使得MN x ∥轴，在x 轴上取一点P ，连接MN NP MP ，，，是否存(1)求直线1l 的函数表达式；(2)在平面直角坐标系中有一点()5,P m ，使得S (3)点M 为直线1l 上的动点，过点M 作y 轴的平行线，交直角三角形，请直接写出满足条件的点M 的坐标．【答案】(1)26y x =-+；(2)点P 坐标为()5,2或()5,8；则||M MN x t ==，∴36t t -=，∴32t =或3t =，∴332,M ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()3,0M ，综上所述，点M 的坐标为618,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或()6,6-或⎛ ⎝。

x 函数定义正比例函数一次函数的定义一次函数题型总结1、判断下列变化过程存在函数关系的是( )A. x, y 是变量，y =±2B.人的身高与年龄C.三角形的底边长与面积D.速度一定的汽车所行驶的路程与时间2、已知函数y = x2x +1，当x =a 时，y = 1，则a 的值为( )A.1B.－1C.3D. 123、下列各曲线中不能表示 y 是 x 的函数是（）。

1、下列各函数中，y 与 x 成正比例函数关系的是（其中 k 为常数）( )A、y=3x－2B、y=(k+1)xC、y=(|k|+1)xD、y= x22、如果 y=kx+b，当时，y 叫做 x 的正比例函数3、一次函数 y=kx+k+1，当 k= 时，y 叫做 x 正比例函数1、下列函数关系中，是一次函数的个数是( )①y=1x②y=x3③y=210－x ④y=x2－2 ⑤ y= 1 +13xA、1B、2C、3D、4一次函数与坐标系2、若函数 y=(3－m)x m -9 是正比例函数，则 m= 。

3、当 m、n 为何值时，函数 y=(5m－3)x2-n+(m+n)（1）是一次函数（2）是正比例函数1.一次函数 y=－2x+4 的图象经过第象限，y 的值随x 的值增大而（增大或减少）图象与 x 轴交点坐标是，与 y 轴的交点坐标是．2.已知 y+4 与 x 成正比例，且当 x=2 时，y=1，则当 x=－3 时，y= ．3.已知 k＞0，b＞0，则直线 y=kx+b 不经过第象限．4、若函数 y=－x+m 与 y=4x－1 的图象交于 y 轴上一点，则 m 的值是( )A.-1B.1C.-14D.145.如图，表示一次函数 y＝mx+n 与正比例函数 y=mnx(m，n 是常数，且mn≠0)图像的是( ).6、已知一次函数y = (a -1)x +b 的图象如图 1 所示，那么a 的取值范围是（）A. a >1B. a <1C. a > 0D. a < 07．一次函数 y=kx+（k-3）的函数图象不可能是（）图 1yO x3 待定系数法求一次函数解析式1. 已知直线经过点（1,2）和点（3,0），求这条直线的解析式.y 52. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象经过 A 、B 两点，与 x 轴相交于 C 点．求： 42A (2,4) (1) 直线 AC 的函数解析式； (2)设点(a ，－2)在这个函数图象上，求 a 的值；1CBO 1 2 3 4 5 6 x2、 如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1） 求整齐摆放在桌面上饭碗的高度 y （cm ）与饭碗数 x （个）之间的一次函数解析式；（2） 把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？函数的增减性4、东从 A 地出发以某一速度向 B 地走去，同时小明从 B 地出发以另一速度向 A 地而行， 如图所示，图中的线段 y 1 、 y 2 分别表示小东、小明离 B 时）的关系。

一次函数与四边形存在性问题1、如图，在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，2，点C的坐标为（－18,0）。

（1）求点B的坐标;（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D,交y轴于点E,且OE=4,OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2)中直线DE上的一个动点,在坐标平面内是否存在点Q,使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

2、如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B 点坐标是(3,4)，矩形ABCD沿直线EF折叠,点A落在BC边上的G处,E、F分别在AD、AB上,且F点的坐标是（2，4）．（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；(3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M,使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在,请说明理由．3、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根（OA〈0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q运动的时间为t秒．（1）求A、B两点的坐标。

(2)求当t为何值时,△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．(3）当t=2时,在坐标平面内,是否存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图,在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为4，点B是线段OA上的一个动点．过点B作直线MN平行于x轴,设MN分别交射线OA与X•轴所形成的两个角的平分线于点E、F．（1）求证:EB=BF；(2)当OBOA为何值时，四边形AEOF是矩形?并证明你的结论；（3）是否存在点A、B，使四边形AEOF为正方形．若存在，求点A与点B的坐标；• 若不存在,请说明理由．5、如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，3CAO=30°，将Rt△OAC•折叠，•使OC 边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．（1）求折痕CE所在直线的解析式；（2)求点D的坐标;（3)设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线,交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由．。

函数恒成立存在性问题f X 恒成立af X max ；af x恒成立af x mnf X能成立af X m in ；a f x 能成立a f x max另一转化方法：W x D,f(x) A 在D 上恰成立，等价于 f(x)在D 上的最小值f m in (x) x D, f(x) B 在D 上恰成立，则等价于 f(x)在D 上的最大值f max (x) B .5、设函数 f x 、g x ,对任意的 x 1a ,b ,存在 x 2c ,d ,使得 f x i g x 2 ,则 f max x g max x6、设函数 f x 、g x ,存在 x i a , b ,存在 x 2 c, d ,使得 f x i g x 2 ,则 f max x g min x7、设函数 f x 、g x ,存在 x ia ,b ,存在 x 2c, d ,使得f x ig x 2 ,则 f min x g max x 8、若不等式f x g x 在区间D 上包成立，则等价于在区间 D 上函数y f x 和图象在函数 y g x 图象上方； 9、若不等式f x g x 在区间D 上包成立，则等价于在区间D 上函数yf x 和图象在函数y g x 图象下方；例题讲解：题型一 I 、常见方法i 、已知函数 f (x) x 2 2ax i , g(x)-,其中 a 0 , x 0 . xi )对任意x [i,2],都有f (x) g(x)恒成立，求实数a 的取值范围；2 )对任意x i [i,2],x 2 [2,4],都有f(x i ) g(x 2)恒成立，求实数a 的取值范围；a . i ..一 i2、设函数h(x) — x b,对任意a [―,2],都有h(x) io 在x [—,i]恒成立，求实数b 的取值范围.x 2 4xi3、已知两函数f(x) x , g(x) - m,对任息x i0,2 ,存在x 2 i,2 ,使得f(x i ) g x 2，则实数m 的取值范围为 _____________题型二、十参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)... (2)_i 、对于满足 p 2的所有头数p,求使不等式x px i p 2x 恒成立的x 的取值范围。

第六章 一次函数（压轴题专练）一、动点函数问题1．如图，在长方形ABCD 中，动点P 从A 出发，以一定的速度，沿A B C D A ®®®®方向运动到点A 处停止（提示：当点P 在AB 上运动时，点P 到DC 的距离始终等于AD 和BC ）．设点P 运动的路程为x ，PCD V 的面积为y ，如果y 与x 之间的关系如图所示，那么长方形ABCD 的面积为（ ）A ．6B ．9C ．15D ．182．已知动点H 以每秒x 厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A B C D E F -----的路径匀速运动，相应的HAF △的面积 ()2cm S 关于时间(s)t 的关系图象如图2，已知8cm AF =，则下列说法正确的有几个（ ）①动点H 的速度是2cm/s ；②BC 的长度为3cm ；③b 的值为14；④在运动过程中，当HAF △的面积是230cm 时，点H 的运动时间是3.75s 和1025s .．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图1，四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，AB CD ∥，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿路线A -B-C -D 运动.设P 点的运动时间为ts ，PAD V 的面积为S ，当P 运动到BC 的中点时，PAD V 的面积为A ．7B ．7.5C ．84．如图，在长为形ABCD 中，5cm 16cm AB AD ==，，点3cm 4cm AM AE ==，，连线CE ，动点P 从点B 出发，以运动到点A 即停止运动，连接MP ，设点P 运动的时间为(1)如图1，线段CE = cm ；当10t =时，线段EP = cm ；(2)如图1，点P 在线段BC 上运动的过程中，连接EM EP ，，当EMP V 是以EM 为直角边的直角三角形时，请求出对应的时间的值；(1)求线段OC的长；(2)若点E是点C关于y轴的对称点，求(3)已知y轴上有一点P，若以点标．(1)求n和b的值；△是直角三角形，求点P的坐标；(2)若ACP∠=∠，求点P的坐标．(3)当PBE BAC(1)求点D的坐标；(2)点E是线段CD上一动点，直线BE与x轴交于点i）若BDFV的面积为8，求点F的坐标；ii）如图2，当点F在x轴正半轴上时，将直线接FM，若1OF MF=+，求线段MF的长．(1)求直线AB的解析式；(2)已知点D为直线BC上第三象限的一点，连接AD，设点D的横坐标为t 间的函数关系式（不要求写出变量t的取值范围）；(3)在（2）的条件下，256S=，点D关于y轴的对称点为点E，点F在第一象限直线。

DyxOCB A一次函数中等腰三角形的存在性若△ABC 是等腰三角形，则分三种情况分类讨论：AB=AC ；BA=BC ；CA=CB ，然后利用等腰三角形的性质或勾股定理计算（或建立方程）解题。

如图①，在直线l 上找一点C ，使得△ABC 为等腰二用形。

图① 图②（1）若AB=AC ，以A 点为圆心，AB 为半径画圆，交直线l 于两点C 1，C 2；（2）若BA=BC ，以B 点为圆心，AB 为半径画圆，交直线l 于两点C 3，C 4；（3）若CA=CB ，作AB 的中垂线交直线l 于点C 5.上述寻找等腰三角形的方法简称“两圆一线（垂直平分线）”。

例：已知直线经过点A （-2，0），B （0，3） （1）求直线的解析式；（2）在x 轴上有一点P ，且△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标。

跟踪练习：1、如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴和y 轴分别交于点A(6,0)和B(0, 23),再将△AOB 沿直线CD 对折,使点A 与点B 重合.直线CD 与x 轴交于点C,与AB 交于点D 、(1)试确定这个一次函数的解析式;(2)求点C 的坐标;(3)在x 轴上是否存在一点P,使△PAB 是等腰三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在请说明理由.2、如图，直线y ＝4-3x +8与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 的上的一点，若将△ABM 沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B ′处． （1）求A 、B 两点的坐标； （2）求直线AM 的表达式；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，直线l₁：y＝x+2与直线l₂：y＝kx+b相交于点P（1，m）（1）写出k、b满足的关系；（2）如果直线l₂：y＝kx+b与两坐标轴围成一等腰直角三角形，试求直线l₂的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设直线l₂与x轴相交于点A，点Q是x轴上一动点，求当△APQ是等腰三角形时的Q点的坐标．4、如图，在平面直角坐标系中，过点 B（6，0）的直线 AB 与直线 OA 相交于点 A（4，2）．(1)求直线 BC 的函数表达式；(2)若在 x轴上存在一点 M，使 MA+MC 的值最小，请求出点 M 的坐标；(3)在 y轴上是否存在点 N，使△AON 是等腰三角形？如果存在，直接写出点 N 的坐标；如果不存在，说明理由．。

一次函数与平行四边形存在性问题问题描述在平面几何中，我们知道一次函数可以用来表示一条直线的方程，而平行四边形则是具有平行边的四边形。

我们现在想研究以下问题：一次函数是否存在与平行四边形的边平行的斜率？解决方案我们将通过讨论一次函数的斜率和平行四边形的边进行分析。

一次函数的斜率一次函数可以用如下的一般方程表示：y = mx + c其中，`m` 表示斜率，`c` 表示截距。

斜率 `m` 是函数直线斜率的关键参数，它决定了直线的倾斜程度。

我们知道，当两条直线的斜率相等时，它们是平行的。

平行四边形的边平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边是平行的。

我们可以定义平行四边形的边为 `AB` 和 `CD`，并假设它们是平行的。

讨论现在，我们来探讨一次函数是否可能存在与平行四边形的边平行的斜率 `m`。

假设 `AB` 和 `CD` 是平行四边形的边，我们可以通过求解两个点的斜率来判断函数的斜率是否与平行四边形的边平行。

假设点 `A` 的坐标为 `(x1, y1)`，点 `B` 的坐标为 `(x2, y2)`，我们可以计算出两点的斜率 `m_AB`：m_AB = (y2 - y1) / (x2 - x1)同理，如果点 `C` 的坐标为 `(x3, y3)`，点 `D` 的坐标为 `(x4, y4)`，我们可以计算出另一条边的斜率 `m_CD`：m_CD = (y4 - y3) / (x4 - x3)如果 `m_AB` 等于 `m_CD`，那么一次函数存在与平行四边形的边平行的斜率。

总结通过对一次函数的斜率和平行四边形的边进行分析，我们得出结论：一次函数存在与平行四边形的边平行的斜率。

请注意，此结论仅在满足题设条件的情况下成立，具体问题具体分析。

此解决方案仅提供了一种可能的方法，具体问题的解决需要进一步讨论和推导。

参考资料：。

一次函数之存在性问题一、知识点睛存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.一次函数背景下解决存在性问题的思考方向： 1. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息； 2. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；3. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题．4.不变特征举例：①等腰直角三角形根据直角顶点确定分类标准，然后借助两腰相等或者45°角确定点的位置． ②等腰三角形以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定点的位置． ③全等三角形找准目标三角形，根据目标三角形的特征确定分类标准，利用对应关系确定点的位置． 5.函数背景下研究存在性问题，先把函数信息转化为几何信息，然后按照存在性问题来处理．① 求坐标： ② 求函数表达式： ③ 研究几何图形：二、精讲精练1. 如图，直线y x =+x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，已知点P 是第一象限内的点，由点P ，O ，B 组成了一个含60°角的直角三角形，则点P 的坐标为_____________．几何图形一次函数坐标2.如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且43 OCOB.（1）求点B的坐标和k的值．（2）若点A是第一象限内直线y=kx-4上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=，点C的坐标为(-9，0)．（1）求点B的坐标．（2）若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式．（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4.△AOB 全等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．5. 如图，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为(-3，0)，P (x ，y )是直线122y x =+上的一个动点 （点P 不与点A 重合）．（1）在点P 的运动过程中，试写出△OPC 的面积S 与x 之 间的函数关系式．（2）当点P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为278？求出 此时点P 的坐标．（3）过P 作AB 的垂线与x 轴、y 轴分别交于E ，F 两点，是 否存在这样的点P ，使△EOF ≌△BOA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，直线23y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在y 轴上，且12OA AC =，直线CD ⊥AB 于点P ，交x 轴于点D ．（1）求点P 的坐标；（2）坐标系内是否存在点M ，使以点B ，P ，D ，M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）x 轴上是否存在点P ，使△P AD 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.一次函数之存在性问题1.如图，在直角坐标系中，一次函数y=23x+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）已知OC⊥AB于C，求C点坐标；（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，一次函数y=x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，2），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；（3）在坐标轴上是否存在一点Q，使△QAB是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y=-34x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．（1）求出点A，B，C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．4.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，CB∥OA，∠OCB＝90°，CB＝1，AB＝112y x=-+过A点，且与y轴交于D点．。