一次函数之存在性问题
知识点睛
函数背景下研究存在性问题，先把函数信息转化为几何信息，然后按照存在性问题来处理．
几何图形
一次函数坐标
1.
如图，直线2y x =
+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在y 轴上，且12
OA AC =，直线CD ⊥AB 于点P ，交x 轴于点D ． （1）求点P 的坐标；
（2）坐标系是否存在点M ，使以点B ，P ，D ，M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
2. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且4
3
OC OB =． （1）求B 点的坐标和k 的值．
（2）若点A （x ，y ）是第一象限的直线y =kx -4上的一个动点,则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？
（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，OA=6，OB=12，点C是直线y=2x
与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD
=
（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；
（2）求直线AD的解析式；
（3）P是直线AD上的一个动点，在平面是否存在点Q，使以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4. 如图，直线1
22
y x =
+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为（-3,0）
，P （x ，y ）是直线1
22
y x =
+上的一个动点（点P 不与点A 重合）
． （1）在P 点运动过程中，试写出△OPC 的面积S 与x 的函数关系式；
（2）当P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为27
8
，求出此时点P 的坐标；
（3）过P 作AB 的垂线分别交x 轴、y 轴于E ，F 两点，是否存在这样的点P ，使△EOF ≌△BOA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
6.如图，在直角坐标系中，一次函数y
=
23
x +的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ． （1）已知OC ⊥AB 于C ，求C 点坐标；
（2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
x
x
7.如图，一次函数y
=+x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限有一点P（m
，
2
），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当
△APB与△ABC面积相等时m的值；
（3）在坐标轴上是否存在一点Q，使△QAB是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．
8.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y=-3
4
x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，
点D是直线AC上的一个动点．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
9.如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=
1
6
2
x
-+分别与x轴、y轴交于点B，C，且与直线
l2:y=1
2
x交于点A．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面是否存在点Q，使以O，C，P，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于B，C两点，且
1
2 OC
OB
=.
（1）求B点的坐标和k的值．
（2）若点A（x，y）是第一象限的直线y=kx-1上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是2？
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11.如图，将Rt△AOB放入平面直角坐标系中，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点B
（3）x轴上是否存在点P，使△PAD是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）求点G的坐标；
（2）求直线EF的解析式；
（3）坐标系是否存在点M，使以点A，E，F，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
13.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于点A，B，点P（x，y）是直线AB上一动点（点P不与点A重合），点C（6，0），O是坐标原点，设△PCO的面积为S．
（1）求S与x的函数关系式．
（2）当点P运动到什么位置时，△PCO的面积为15？
（3）过点P作AB的垂线分别交x轴、y轴于点E，F，是否存在这样的点P，使△EOF ≌△BOA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
