第二节一阶微分方程

由通解公式得该方程的通解
y = Cx e ,
. 代入通解， 将初始条件 y(1) = e 代入通解， 得 C = 1. 故所求.
1 2 x
2.一阶线性非齐次方程的解法 .
将 设 y = C(x)y1 是非齐次方程的解， y = C(x)y1 是非齐次方程的解， 的解) (其中 y1 是齐次方程 y′ + P (x) y = 0 的解)及其导数 ′ y′ = C ′(x) y1 + C(x) y′1 代入方程 ′ ′
dy 1 − 2 x y = 0, + 2 dx x 1− 2x , 这是一个线性齐次方程， 且 P ( x ) = 这是一个线性齐次方程， 2 x 1 2 1 2 − ∫ P ( x )dx = ∫ − 2 dx = ln x + , 则 x x x
例 7 求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 满足初始 的特解. 条件 y|x=1 = e 的特解. 将所给方程化为如下形式： 解 将所给方程化为如下形式：
C1
两边积分， 两边积分，得 化简得
1 y = ±e ⋅ , x 1 C1 令 C 2 = ±e , 则 y = C 2 , C 2 ≠ 0. x
C2 另外， 也是方程的解， 另外，y = 0 也是方程的解， 所以 y = x 为任意常数． 中的 C2 可以为 0， 因此 C2 为任意常数． ，
这样， 这样，方程的通解是
e
− ∫ P ( x )dx
=e ,
− x 2 x 2
x 2
∫ Q( x )e
∫ P ( x )dx
1 x dx = ∫ e e dx = e , 2
x 2 x 2 x 2
代入通解公式， 代入通解公式，得原方程的通解为
y = (C + e )e = Ce + e .
x
求解初值问题． 例 9 求解初值问题． xy′ + y = cos x , y( π) = 1. 使用常数变易法求解． 解 使用常数变易法求解． 将所给的方程改写成下列形式： 将所给的方程改写成下列形式：
解
分离变量得
dy = − kd x , y( y − a )
即
1 1 ( − )dy = − kadx . y−a y
两边积分， 两边积分，得
y−a ln = − kax + ln C . y
经整理， 经整理，得方程的通解为
a y= , − kax 1 − Ce
也可写为
a y= . − kax 1 + Ce
若 Q (x)
0，则方程成为 ，
y′ + P ( x ) y = 0,
②
称为一阶线性齐次微分方程，简称 线性齐次方程 ， 线性齐次方程， 称为一阶线性齐次微分方程 ， 简称线性齐次方程 若 Q (x) 0，则称方程 ① 为一阶线性非齐次微分 ，
方程，简称线性非齐次方程 通常方程 ② 称为方程 方程，简称线性非齐次方程. 线性非齐次方程 ① 所对应的线性齐次方程. 所对应的线性齐次方程
y = Ce ∫
− P ( x ) dx
.
的通解. 例 6 求方程 y′ + (sin x)y = 0 的通解 ′ 解 所给方程是一阶线性齐次方程，且
P(x) = sin x， 则 ，
− ∫ P ( x )dx = − ∫ sin xdx = cos x ,
由通解公式即可得到方程的通解为
y = Cecos x .
即
y 2 = C ( x − 1) 2 + 1
代入， 为所求之通解. 为所求之通解. 将初始条件 y(0) = 2 代入， C = 3. 得 . 故所求特解为
y = 3( x − 1) + 1.
2 2
dy = − ky ( y − a ) 的通解 (其中 k 与 例 4 求方程 dx a 均是正的常数 ).
y′ + P ( x ) y = Q ( x ),
且含有一个任意常数， 且含有一个任意常数 ， 所以它是一阶线性非齐次方程
y′ + P ( x ) y = Q( x )
的通解 在运算过程中， 在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为
y1 = e ∫ , 于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成： 于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：
C ( x ) = ∫ cos xdx = sin x + C .
因此， 因此，原方程的通解为
1 C 1 y = (sin x + C ) = + sin x . x x x
将初始条件 y(π) = 1 代入，得 C = π， 所以 ， 代入， 所以， π 所求的特解， 所求的特解，即初值问题的解为
我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示 被积函数的一个原函数， 被积函数的一个原函数，而把积分所带来的任意常 数明确地写上. 数明确地写上
例 1 求方程 y′ = (sin x − cos x ) 1 − y 2 的通解 . 解 分离变量， 分离变量，得
dy 1− y
两边积分，得 两边积分，
2
= (sin x − cos x )dx ,
y( x − 1)dy = ( y 2 − 1)dx .
分离变量，得 分离变量，
dx y dy = , 2 y −1 x −1
两边积分， 两边积分，有
1 1 2 ln( y − 1) = ln( x − 1) + ln C . 2 2
化简，得 化简，
y 2 − 1 = C ( x − 1) 2 ,
− P ( x ) dx
C + Q( x)e∫ P( x)dxdx. ∫ 上述讨论中所用的方法， 上述讨论中所用的方法，是将常数 C 变为待定 函数 C(x)， 再通过确定 C(x) 而求得方程解的方法， ， 而求得方程解的方法， 称为常数变易法 常数变易法. 称为常数变易法. y =e ∫
−
1 y
1 y
1 dy = f ( x )dx g( y )
的形式，使方程各边都只含有一个变量 的形式，使方程各边都只含有一个变量.
(2) 两边积分 ) 两边同时积分， 两边同时积分，得
1 dy , 左边 = ∫ g( y )
右边 = ∫ f ( x )dx .
故方程通解为
∫
1 dy = ∫ f ( x )dx + C . g( y )
arcsin y = −(cos x + sin x ) + C ,
这就是所求方程的通解． 这就是所求方程的通解．
y 例 2 求方程 y′ = − 的通解 . x 分离变量， 解 分离变量，得
dy 1 = − dx , y x 1 ln | y |= ln + C1 , x 1 C1 | y |= e ⋅ , x
− P( x)dx
的通解. 例 8 求方程 2y′ - y = ex 的通解 ′ 使用常数变易法求解． 解法一 使用常数变易法求解． 将所给的方程改写成下列形式： 将所给的方程改写成下列形式：
y′ − 1 1 x y= e , 2 2
这是一个线性非齐次方程， 这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方 程的通解为 x
第七章 微 分 方 程
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量方程 二、一阶线性微分方程
一阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y′) = 0. ′
一、可分离变量方程
例如： 例如：形如 y′ = f (x) g (y) ′
的微分方程，称为可分离变量方程. 的微分方程，称为可分离变量方程 可分离变量方程 (1) 分离变量 ) 将方程整理为
y = Ce 2 ,
设所给线性非齐次方程的解为 y = C ( x )e , 将 y 及 y′ 代入该方程，得 ′ 代入该方程，
1 x C ′( x )e = e , 2
x 2
x 2
于是， 于是，有
1 C ( x ) = ∫ e dx = e + C , 2
x 2 x 2
因此， 因此，原方程的通解为
y = C ( x )e = Ce + e x .
解法二 解法二 运用通解公式求解． 运用通解公式求解．
1 1 x y′ − y = e , 2 2
x 2
x 2
将所给的方程改写成下列形式： 将所给的方程改写成下列形式：
则
1 1 x P ( x ) = − , Q( x ) = e , 2 2
则
1 x − ∫ P ( x )dx = ∫ dx = , 2 2
1.一阶线性齐次方程的解法 .
一阶线性齐次方程
y′ + P ( x ) y = 0
是可分离变量方程. 分离变量，得 是可分离变量方程. 分离变量， dy = − P ( x )dx , y 两边积分， 两边积分，得
ln y = − ∫ P ( x )dx + ln C ,
所以，方程的通解公式为 所以，
1 y = ( π + sin x ). x
例 10 解
的通解. 求方程 y2dx + (x - 2xy - y2)dy = 0 的通解
将原方程改写为
dx 1 − 2 y x = 1, + 2 dy y
这是一个关于未知函数 x = x(y) 的一阶线性非齐次 方程， 方程， 其中 P ( y ) = 1 − 2 y , 它的自由项 Q(y) = 1. y2
二、一阶线性微分方程
一阶微分方程的下列形式
y′ + P ( x ) y = Q( x )
①
称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程. 称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程. 其中 一阶线性方程 P(x)、Q (x) 都是自变量的已知连续函数.它的特点 都是自变量的已知连续函数. 、 是：右边是已知函数， 右边是已知函数， 左边的每项中仅含 y 或 y′， ′ 且均为 y 或 y′ 的一次项. ′ 的一次项.