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数学建模之微分方程建模与平衡点理论

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微分方程的平衡点及稳定性分析

微分方程的平衡点及稳定性分析
， （） ４
者 可 以不 一致 ， 比如 说 ， 线性 近 似方 程 的平衡 点 为 中心 时 ， 用其 它 的方 法来判 断（ ） 要 ４ 式平 衡 点 的稳
１２ 判 定 平 衡 点 稳 定 性 的 方 法 ．
① 间接法 ： 定义３ 的方法称为间接法。 ②直接法 ： 不求方程式（ 的解 ） １ ） ０的方法 ， 称
为直接法。 方法： 在 将 ） 。 处作泰勒展开， 只取一
次项 ， 有微 分方 程 （ ） 近似 为 １可
变化规律 ， 预测它的未来形态时 ， 要建立对象 的动 态模 型 ， 常 要用到 微分方 程模 型 。 通 而稳 定性 模 型 的对象仍是动态过程 ，而建模 的目的是研究时间 充分 长 以后 过程 的变 化趋 势— — 平衡 状 态是 否 稳 定。 稳定性模型不求解微分方程 ， 而是用微分方程
） ） （） １
①羞 ０ ０则称 ）， ＜ 。 为方程（和（的稳定的 １ ３ ） ） 平
衡点。
ｏ 则称 为方 程（） ３的不稳 定 的平 ， １和（） 衡点。
定义２ 代数方程 ） 的实根 。 ： ＝ ０ 称为微分方
程（） １的平衡 点 。 定 义 ３从 某 领 域 的任 意 值 出发 ， 方 程 （ ） ： 使 １
。 ｏ 作 泰勒 展 开 ， ，） ｙ处 只取 一 次项 ， （在 Ｐ 。 。 得 ４ ） ０ ，） Ｙ
的线 性近 似方 程 为 ：
贝 ） 却 ｒ０ 则根据定理 １ｘ Ｏ Ｉ ＝＞ ， ， 是不稳定的平衡 ＝
点 ． Ｉ 一ｒＯ 是稳定的平衡点。 厂） ＜，
分 析 ： 平衡 点 的稳 定性 来 看 ， 从 随着 时 间 的推 移 ， 口的增 长在 人 处 趋于 稳定 ， 也就 是人 口达

数学建模之机理模型建立的平衡原理

数学建模之机理模型建立的平衡原理

k x1 +1 = 1.22×1011n/(1.22×1011 + n)
得到迭代关系 X k+1 = Φ(X k ) 稳定性条件||J(x)||<1 是迭代函数的Jacobi矩阵。 ||J(x)||<1。 Jacobi矩阵 稳定性条件||J(x)||<1。J是迭代函数的Jacobi矩阵。 总的捕鱼量为
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3 ≤ t ≤ 1
0 x4e−(r4 +E4 )t x4(t) = −2E4 −r4 (t−2) 0 3 x4e 3 e
不考虑新生鱼， 不考虑新生鱼，年末和年初鱼群数量的关系为
1 0 x1 = x1 e−r1 x = x e
1 2
0 −r2 2
x =x e
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3 ≤ t ≤1
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3≤ t ≤1
x4e−(r4 +E4 )t x4(t) = −2E4 −r4 (t−2) 3 x4e 3 e
例3：棒球球棒的SWEETSPOT的确定
问题：
由盐的数量守恒得到
p (t + ∆t )V (t + ∆t ) − p(t )V (t ) = ∫
等式两端同除以△ 等式两端同除以△t取极限得到
t + ∆t
t
pi (τ )ri (τ )dτ − ∫
t + ∆t
t
po (τ )ro (τ )dτ
d p(t )V (t ) = pi (t )ri (t ) − po (t )ro (t ) dt
1 3Байду номын сангаас
r 0.84 E4 − 3 − 0 3 3 3

《微分方程数学建模》课件

《微分方程数学建模》课件

实际问题的转化
了解如何将实际问题转化为数学模型， 培养建模思维。
边界条件的确定
掌握边界条件的重要性，学会确定合适 的边界条件来求解微分方程。
数学建模实例
弹性材料的振动问题
通过建立微分方程模型，分析弹 性材料的振动特性和共振现象。
传染病传播模型
运用微分方程建模技巧，研究传 染病在人群中的传播规律和防控 策略。
《微分方程数学建模》 PPT课件
这份PPT课件将带领您深入了解微分方程数学建模，并探讨其应用与意义。通 过丰富的实例和技巧，让您轻松掌握数学建模的要点。
微分方程数学建模简介
微分方程简述
了解微分方程的基本概念和定义，掌握它在数学建模中的核心作用。
微分方程的应用和意义
探索微分方程在科学、工程和社会问题中的广泛应用，体会它的重要性。
4 高阶线性微分方程
探讨高阶线性微分方程的常见形式和特殊解 法，拓宽解题思路。
5 常系数齐次线性微分方程
学习处理常系数齐次线性微分方程的技巧和 常见应用场景。
建立微分方程模型
1
变量的择和定义
2
学习选择和定义适当的变量来建立准确
和有效的微分方程模型。
3
模型的求解方法
4
了解常见微分方程模型的解法，探索解 析和数值解的求解技巧。
相关教材
推荐一些优秀的教材，帮助 您进一步学习微分方程和数 学建模。
网络资源
介绍一些优质的网络资源， 供您查阅更多有关微分方程 数学建模的资料。
城市汽车拥堵问题的建模
通过建立微分方程模型，解析城 市交通拥堵的成因和调控方案。
总结
1 微分方程数学建模的重要性
总结微分方程在解决实际问题中的重要作用和应用前景。

数学建模微分方程模型

数学建模微分方程模型

我国是世界第一人口大国，地球上每九 个人中就有二个中国人，在20世纪的一段 时间内我国人口的增长速度过快，如下表：
年 1908 1933 4.7 1953 6.0 1964 7.2 1982 10.3 1990 11.3 2000 12.95
人口（亿）3.0
有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进 入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社 会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理 想来说，也是我们义不容辞的责任。
1.人口模型
问题的提出 假设和定义 模型的建立 分析和求解 结论和讨论

1 问题的提出
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一， 一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着 人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于 零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽 视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的 推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显 示：
模型的缺点
缺点：当t→∞时，I(t) → n，这表示所有的人最
终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合
原因：这是由假设〔1)所导致，没有考虑病人可
以治愈及病人病发身亡的情况。 思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。
模型三 有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再
次被传染而成为病人。 模型假设： （1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)， 则： s(t)+i(t)＝1 （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 μ(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称1/ μ为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每 天治愈2人， μ ＝1/5，则每位病人平均生病时间为 1/ μ ＝5天)。

数学建模竞赛课件---微分方程模型

数学建模竞赛课件---微分方程模型
微分方程在生物学、物理学、化学和经济学等领域都有广泛的应用。它们可以用于模拟生物生长、物体 运动、热传导和经济增长等现象。
案例分析
通过几个具体案例，展示微分方程在建模竞赛中的应用。包括鱼的增长模型、自由落体问题、热传导问 题和稳定的经济增长模型。
结语
微分方程是数学建模竞赛中必不可少的工具，对于解决复杂问题具有重要作 用。通过系统学习和实践，可以掌握微分方程的解法和应用。
一阶微分方程
一阶微分方程是最基本的微分方程类型之一，包括可分离变量、齐次线性、 一阶线性和变量分离法等。掌握这些求解方法可以解决许多实际问题。
高阶微分方程
高阶微分方程是一阶微分方程的延伸，包括齐次线性、非齐次线性、常系数 和变系数等类型。熟练掌握这些求解方法可以应对更加复杂的建模问题。
微分方程在建模中的应用
数学建模竞赛课件---微分 方程模型
本课件介绍微分方程模型在数学建模竞赛中的重要性和应用。内容包括微分 方程的定义、分类、解法，以及在生物学、物理学、是数学中的重要工具，可用于描述自然现象和科学问题。它们分为 常微分方程和偏微分方程，并可以按类型进行分类。了解微分方程的解法对 于建模竞赛至关重要。

数学建模作业实验2微分方程实验

数学建模作业实验2微分方程实验

数学建模作业(实验2微分方程实验)基本实验1．微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随t 增加的运动方向，确定平衡点，并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：,,,+1,(1)(2)(3)(4);2;2;2.dx dx dx dxx x y x dt dt dt dt dy dy dy dy y y x y dt dt dt dt ⎧⎧⎧⎧==-==-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪===-=-⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩解答解：（1）由平衡点的定义可得，f （x ）=x=0，f （y ）=y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为1001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12=1=1λλ，；由根与系数的关系可得：1212()2010p q λλλλ=-+=-<==>，且24p q >，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。

自治系统相应轨线为：（2）由平衡点的定义可得，f （x）=-x=0，f （y ）=2y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为-1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12=-1=2λλ，；由根与系数的关系可得：121210-(2<0)p q λλλλ=-+=-<==，，平衡点（0，0）是不稳定的。

自治系统相应轨线为：（3）由平衡点的定义可得，f （x ）=y=0，f （y ）=-2x=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为0120A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，显然其特征值为121.4142=4142=-1.i i λλ，；由根与系数的关系可得：12120 1.41420()p q λλλλ=-+===>，，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。

自治系统相应轨线为：（4）由平衡点的定义可得，f （x ）=-x=0，f （y ）=-2y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为-100-2A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12==-12-λλ，；由根与系数的关系可得：1212()3020p q λλλλ=-+=>==>，且24p q >，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是稳定的。

数学建模之微分方程建模与平衡点理论

数学建模之微分方程建模与平衡点理论

微分方程列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。

（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。

（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

一、模型的建立与求解 1.1传染病模型 （1）基础模型假设：t 时刻病人人数()x t 连续可微。

每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t =时有0x 个病人。

建模：t 到t t +∆病人人数增加()()()x t t x t x t t λ+∆-=∆ （1）0,(0)dxx x x dtλ== （2） 解得：0()t x t x e λ= （3）所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。

（2）SI 模型假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。

人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。

2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。

有效接触后健康者变为病人。

依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)* λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模：di N Nsi dtλ= （4）由于()()1s t i t += （5）设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型0(1),(0)dii i i i dtλ=-= （6） 解得：01()111kti t e i -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭（7）用Matlab 绘制图1()~i t t ，图2 ~di i dt图形如下，结论：在不考虑治愈情况下①当12i =时didt 达到最大值m di dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这时101ln 1m t i λ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭②t →∞时人类全被感染。

数学建模 微分方程模型讲解

数学建模 微分方程模型讲解

量在初始阶段的增长情况比较相符。
（2）由（3—19）式推得，t=0 时显然 x=0,这一结果自然与
事实不符。产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推
销的，然而，在最初产品还没卖出之时，按照自然推销的方式，
便不可能进行任何推销。事实上，厂家在产品销售之初，往往是
通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。
? 1. 新产品推销模型 ? 一种新产品问世，经营者自然要关心产
品的卖出情况。下面我们根据两种不同 的假设建立两种推销速度的模型。
模型 A 假设产品是以自然推销的方式卖出，换句话说，被卖出的产品
实际上起着宣传的作用， 吸引着未来购买的消费者。 设产品总数与时刻 t 的关
系为 x(t), 再假设每一产品在单位时间内平均吸引 k 个顾客，则 x(t) 满足微
样，从根本上解决了模型 A 的不足。 由（3—20）式易看出， dx ? 0 ，即 x(t) 是关于时刻 t 的单调增
dt
加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少。另外，
对（3—20）式两端求导，得
d 2x dt 2
?
k(M
?
2 x)
dx dt
故令 d 2x
dt 2
?
0 ，得到 x(t0 ) ?
Nm N0
)e? n
易看出，当t→? 时，当Ｎ（t） →Ｎm。这个模型称为Logistic 模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是 Logistic 模型的的图形。
你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。
捕鱼问题
在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多，
根据上面的假设，我们建立模型
dS ? P ? A(t) ? ??1 ? S (t) ?? ? ? S(t )

常微分方程平衡点及稳定性研究.

常微分方程平衡点及稳定性研究.

本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。

这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。

在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。

所以我们讨论了通过Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。

在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型()()()() ().11N tN t r t N tcN t ττ--=--的平衡点1x=的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。

关键词：自治系统平衡点稳定性全局吸引性AbstractIn this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium 1x=of the following delay single population model()()()() ().11N tN t r t N tcN t ττ--=--is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature.Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity摘要 (I)Abstract (I)目录 (II)第1章引言 (1)第2章微分方程平衡点及稳定性分析 (3)2.1 平衡点及稳定性定义 (3)2.2 自治系统零解的稳定性 (4)2.2.1 V函数 (4)2.2.2 Liapunov稳定性定理 (5)2.3 非自治系统的稳定性 (8)2.3.1 V函数和k类函数 (8)2.3.2 零解的稳定性 (10)2.4 判定一阶微分方程平衡点稳定性的方法 (14)2.4.1 相关定义 (14)2.4.2 判定平衡点稳定性的方法 (14)2.5 判定二阶微分方程平衡点稳定性的方法 (15)2.5.1 相关定义 (15)2.5.2 判定平衡点稳定性的方法 (15)第3章一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性 (17)3.1 差分方程(3-7)的全局渐近稳定性 (17)3.2 微分方程(3-1)的全局吸引性 (19)第4章常微分方程稳定性的一个应用 (23)第5章结论 (25)参考文献 (27)致谢 (29)第1章引言20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，在自然科学（如物理化学生物天文）和社会科学（如工程经济军事）中的大量问题都可以用微分方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态时，要建立对象的动态模型，通常要用到微分方程模型，而稳定性模型的对象仍是动态过程，而建模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定。

数学建模微分方程模型

数学建模微分方程模型

数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。

它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。

在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。

微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。

这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。

在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。

根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。

每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。

微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。

例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。

人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。

建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。

求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。

数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。

对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。

建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。

这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。

随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。

例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。

未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。

微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。

通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。

数学建模之机理模型建立的平衡原理

数学建模之机理模型建立的平衡原理

数学建模之机理模型建立的平衡原理机理模型建立的平衡原理是指根据物理、化学、生物等领域的基本原理与规律，通过建立数学方程组或动力学方程，描述系统内部各个因素之间的相互作用和调控机制，以达到系统的平衡状态。

机理模型建立的平衡原理涉及到许多重要的概念和方法，在此我将着重介绍以下几个方面：1.平衡状态的定义：在机理模型建立中，平衡状态是指系统的各个因素之间达到相对稳定的状态，即系统处于一个无明显变化的状态。

平衡状态可以是静态平衡，即系统中各个因素之间的变化速度为零；也可以是动态平衡，即系统中各个因素之间的变化速度相互抵消，使得系统整体保持相对稳定。

2.平衡原理的表达：平衡原理可以通过一系列的数学方程或动力学方程来表示，这些方程描述了系统内部各个因素之间的相互作用和调控关系。

常用的数学工具包括微分方程、偏微分方程、差分方程等。

通过对这些方程的求解，可以推导出系统平衡时各个因素之间的关系，从而揭示系统的机理。

3.平衡条件的确定：机理模型的建立需要确定系统平衡的条件。

一般来说，平衡条件可以通过平衡态的守恒方程来确定，守恒方程描述了系统中一些物质或能量的产生、消耗和传递过程。

在平衡状态下，守恒方程达到平衡时，系统处于相对稳定的状态。

4. 稳定性分析：在机理模型建立过程中，需要对系统的稳定性进行分析。

稳定性分析一般包括线性稳定性和非线性稳定性两方面。

线性稳定性分析主要是通过线性化的方法，将系统的非线性方程线性化，从而判断系统平衡时的稳定性。

非线性稳定性分析则需要对系统的非线性方程进行分析，例如通过构造Lyapunov函数，判断系统在平衡状态附近的稳定性。

5.参数估计与模拟：机理模型的建立需要通过实验或观测数据对模型中的参数进行估计，以获得最合理的模型描述。

参数估计可以通过最小二乘法、极大似然估计等方法进行。

同时，通过对模型的数值模拟，可以验证模型的合理性，并对系统的动态行为进行预测和分析。

总之，机理模型建立的平衡原理是数学建模中的重要环节之一、通过建立数学方程组或动力学方程，描述系统内部各个因素之间的相互作用和调控机制，可以揭示系统的平衡状态和稳定性，为实际问题的研究和解决提供指导和依据。

数学建模平衡点稳定性

数学建模平衡点稳定性

微分方程平衡点及其稳定性理论这里简单介绍下面将要用到的有关内容：一、 一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程()dx f x dt= （1） 右端不显含自变量t ，代数方程()0f x = （2）的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足0lim ()t x t x →∞= （3） 则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。

判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。

将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为：0'()()dx f x x x dt=- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。

0x 也是（4）的平衡点。

关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论：若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。

若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是0'()0()f x t x t ce x =+ （5）其中C 是由初始条件决定的常数。

二、 微分方程组的平衡点和稳定性方程的一般形式可用两个一阶方程表示为112212()(,)()(,)dx t f x x dt dx t g x x dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （6）右端不显含t ，代数方程组1212(,)0(,)0f x x g x x =⎧⎨=⎩ （7） 的实根0012(,)x x 称为方程（6）的平衡点。

记为00012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足101lim ()t x t x →∞= 202lim ()t x t x →∞= （8） 则称平衡点00012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐近稳定）。

微分方程模型

微分方程模型
人口将按指数规律无 限增长！
r0
r0
x(t ) x0
x(t ) 0
人口将始终保持不变！ 人口将按指数规律减少直 至绝灭！
2 T ln r
人口倍增时间
Malthus模型预测美国人口
Malthus模型预测美国人口
Malthus模型预测的优缺点
优点 缺点 原因 短期预报比较 准确 不适合中长期预报 预报时假设人口增长率 r 为常数。没有考虑环 境对人口增长的制约作用。
机动
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结束
医学(流行病,传染病问题)模型,经济(商业销 售,财富分布,资本主义经济周期性危机)模 型,战争(正规战,游击战)模型等。 下面,我们给出如何利用方程知识建立 数学模型的几种方法。
机动
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结束
1.利用题目本身给出的或隐含的等量 关系建立微分方程模型。这就需要我们仔 细分析题目,明确题意,找出其中的等量关 系,建立数学模型。 2.从一些已知的基本定律或基本公式出 发建立微分方程模型.我们要熟悉一些常用 的基本定律,基本公式.例如力学中的牛顿第 二运动定律，电学中的基尔霍夫定律等.从 这些知识出发我们可以建立相应的微分方 程模型。
到t t时刻, 除去死亡的人外 , 活着的都变成了
r dr1 , r dr dr1 区间内的人, t t时刻年龄在
即p(r dr 1 , t dt) dr.这里dr 1 dt.
而在这段时间內死去的 人数为 r , t pr , t drdt, 它们之间的关系为 : pr , t dr pr dr 1 , t dt dr r , t p r , t drdt r , t pr , t drdt

微分方程的稳定性与解存在性分析

微分方程的稳定性与解存在性分析

微分方程的稳定性与解存在性分析在数学领域中，微分方程是研究物理、工程、经济和生物等领域中数学建模的一种重要工具。

微分方程的稳定性和解的存在性是微分方程理论中的核心概念。

本文将对微分方程的稳定性和解的存在性进行分析。

一、微分方程的稳定性分析微分方程的稳定性描述了解的行为在不同条件下的稳定情况。

稳定性的分析通常包括平衡点的稳定性和解的稳定性两个方面。

1. 平衡点的稳定性平衡点是微分方程中解保持不变的点。

考虑一个一阶常微分方程dy/dt=f(y)，当f(y)=0时，y的值处于平衡点。

为了判断平衡点的稳定性，有以下三种情况：a) 当f'(y)<0时，该平衡点是稳定的。

意味着当y离开平衡点时，解会回到平衡点附近。

b) 当f'(y)>0时，该平衡点是不稳定的。

当y离开平衡点时，解将远离平衡点。

c) 当f'(y)=0时，无法确定平衡点的稳定性，需要进行进一步的分析。

2. 解的稳定性除了平衡点的稳定性，我们还可以研究解本身的稳定性。

一般来说，稳定解具有以下特征：a) 收敛性：解在特定的条件下趋于一个有限的值。

b) 渐进稳定：解在无穷远处趋于零。

通过稳定性分析，我们可以判断系统是否具有趋于稳定状态的性质，这对于系统控制、优化问题等具有重要意义。

二、微分方程的解存在性分析解的存在性是对微分方程是否能找到满足特定条件的解进行研究。

下面介绍两个常见的解存在性定理。

1. 皮卡-林德勒夫定理对于连续函数f(x,t)和初始条件x(t0)=x0，如果f(x,t)满足利普希茨条件，则方程dx/dt=f(x,t)在区间[t0,t1]上存在唯一的解。

利普希茨条件是指存在一个常数L，使得对于t∈[t0,t1]和x1、x2∈Rn，满足|f(x1,t)-f(x2,t)|≤L|x1-x2|。

2. 广义皮卡-林德勒夫定理对于非线性连续函数f(x)和初始条件x(t0)=x0，如果f(x)满足利普希茨条件，且满足一定的增长条件，则方程dx/dt=f(x)在区间[t0,t1]上存在解。

数学建模-稳定性问题

数学建模-稳定性问题

微分方程平衡点的稳定性除了几何方法， 微分方程平衡点的稳定性除了几何方法，还可以通过 解析方法来讨论，所用工具为以下一些定理。 解析方法来讨论，所用工具为以下一些定理。
解析方法 定理1 定理1 设xo是微分方程
dx = f (x)的平衡点： 的平衡点： dt
o 若 f ' ( x ) < 0,则xo是渐近稳定的 o 若 f '(x ) > 0 ,则xo是渐近不稳定的
3
1 = 34 > 0, 21
1 21 0
0 3 = 986 > 0 29
= 29 0
故(5.4.29)的根均具有负实部，因此方程组(5.4.28) 的零解是渐近稳定的。
下面考虑非线性微分方程组
（2） △=0，则λ1=λ2: ） ， ① λ有两个线性无关的特征向量 有两个线性无关的特征向量 当p>0时，零点不 稳定 时 当p<0时，零点稳定 时
如果λ只有一个特征向量 ② 如果 只有一个特征向量 当p≥0时，零点不 稳定 时 当p>0时，零点稳定 时 （2） △<0，此时 λ1, 2 = a ± iβ ( 2a = p,2 β = − ∆ ) ） ， 若a>0，零点稳定 ， 若a=0，有零点为中心的周期解 ， 综上所述：仅当 综上所述：仅当p<0且q>0时， （3.30）零点才是渐近稳定 且 时 ） 的；当p=0且q>0时（3.30）有周期解，零点是稳定的中心（非 且 时 ）有周期解，零点是稳定的中心（ 渐近稳定）；在其他情况下，零点均为不稳定的。 ）；在其他情况下 渐近稳定）；在其他情况下，零点均为不稳定的。 非线性方程组（3.29）平衡点稳定性讨论可以证明有下面 非线性方程组（ ） 定理成立: 定理成立 定理2 定理 若（3.30）的零点是渐近稳定的，则（3.29）的平衡点 ）的零点是渐近稳定的， ） 也是渐近稳定的； 也是渐近稳定的；若（3.30）的零点是不稳定的，则（3.29） ）的零点是不稳定的， ） 的平衡点也是不稳定的。 的平衡点也是不稳定的。

数学建模公选课：第五讲-微分方程模型

数学建模公选课：第五讲-微分方程模型
一种高精度的数值求解微分方程的方法，通过迭代逼近微分方程的解。
详细描述
龙格-库塔方法具有较高的精度和稳定性，适用于求解各种复杂的一阶和二阶常微分方程。
04
微分方程模型的应用实例
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常使用微分方程来描述人口随时间变化的规律。该模型基于假设，如人口增长率与当 前人口数量成正比，来建立微分方程。通过求解该微分方程，可以预测未来人口数量。
模型建立
如何根据实际问题建立合适的微分方 程模型是一个挑战。
02
高维问题
对于高维微分方程，如何求解是一个 难题。
01
03
非线性问题
非线性微分方程的求解更加复杂和困 难。
未来展望
随着科学技术的发展，微分方程模型 的应用领域将更加广泛，求解技术也 将更加成熟和多样化。
05
04
多尺度问题
如何处理不同时间尺度的微分方程是 一个挑战。
数学建模公选课：第五讲 -微分方程模型
• 微分方程模型简介 • 微分方程模型的建立 • 微分方程模型的求解方法 • 微分方程模型的应用实例 • 微分方程模型的发展趋势与展望
01
微分方程模型简介
微分方程的基本概念
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的数学表达式，通常表示为包含未知函 数及其导数的等式。
05
微分方程模型的发展趋势与展望
微分方程模型在各领域的应用前景
物理领域
描述物体的运动规律，如牛顿 第二定律、波动方程等。
经济领域
分析市场供需关系和预测经济 趋势。
工程领域
预测和控制系统的动态行为， 如电路、机械系统等。
生物医学领域

微分方程模型——数学建模真题解析

微分方程模型——数学建模真题解析
练习：如果例2中的桶是漏斗形的(倒圆锥)或球形 的，计算水深的变化规律。
练习题： 1、在一所大学，某个教师每天从图书馆借出一本 书，而图书馆每周收回所借图书的10%。2年后， 这个教师手中有大约多少本图书馆的书？ 2、某学院的教育基金，最初投资P元，以后按利 率r的连续复利增长。另外，每年在基金开算的时 间，都要投入新的资本A/年求7年的累计资金数 量。 另外，如果每年在基金开算的时间，把其中20% 用于奖学金的发放，求7年后累计资金数量。 3、一场降雪开始于中午前的某个时刻，降雪量稳 定。某人从正午12点开始清扫人行道，他的铲雪 速度(m3/小时)和路面宽度都不变，到下午2点他 扫了1000米，到下午4点又清扫了500米。雪是什 么时间开始下的？另外，如果他在下午4点开始回 头清扫，什么时间回到开始清扫的地点？
2004C题 饮酒驾车 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检 疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定， 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／ 百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是 小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或 等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等 于100毫克／百毫升）。 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合 新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒， 为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭 遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑， 为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
微分方程基础
微分方程是含有函数及其导数的方程。 如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则 称为常微分方程。否则称为偏微分方程。

数学建模之微分方程建模与平衡点理论

数学建模之微分方程建模与平衡点理论

数学建模之微分方程建模与平衡点理论-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN微分方程列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。

（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。

（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

一、模型的建立与求解1.1传染病模型（1）基础模型假设：t 时刻病人人数()x t 连续可微。

每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t =时有0x 个病人。

建模：t 到t t +∆病人人数增加()()()x t t x t x t t λ+∆-=∆ （1）0,(0)dxx x x dtλ== （2） 解得：0()t x t x e λ= （3）所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。

（2）SI 模型假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。

人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。

2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。

有效接触后健康者变为病人。

依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)* λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模：diNNsi dtλ= （4） 由于()()1s t i t += （5）设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型0(1),(0)dii i i i dtλ=-= （6） 解得：01()111kti t e i -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭（7）用Matlab 绘制图1()~i t t ，图2~dii dt图形如下，结论：在不考虑治愈情况下①当12i =时di dt 达到最大值m di dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这时101ln 1m t i λ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭②t →∞时人类全被感染。

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微分方程列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。

（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。

（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

一、模型的建立与求解传染病模型（1）基础模型假设：t 时刻病人人数()x t 连续可微。

每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t =时有0x 个病人。

建模：t 到t t +∆病人人数增加()()()x t t x t x t t λ+∆-=∆ （1）0,(0)dxx x x dtλ== （2） 解得：0()t x t x e λ= （3）所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。

（2）SI 模型假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。

人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。

2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。

有效接触后健康者变为病人。

依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)* λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模：diNNsi dtλ= （4） 由于()()1s t i t += （5）设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型0(1),(0)dii i i i dtλ=-= （6） 解得：01()111kti t e i -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭（7）用Matlab 绘制图1()~i t t ，图2~dii dt图形如下，结论：在不考虑治愈情况下 ①当12i =时didt 达到最大值m di dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这时101ln 1m t i λ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭②t →∞时人类全被感染。

未考虑治愈情况。

（3）SIS 模型假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。

人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。

2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。

有效接触后健康者变为病人。

3.在所有病人中，每天有比例μ的人能被治愈，治愈后看作可被感染的健康者，传染病的平均传染期为1μ。

依据：患病人数的变化率= Nsi λ（患病人数的变化率）-Ni μ(治愈率） 建模：diNNsi Ni dtλμ=- （8）0(1),(0)dii i i i i dtλμ=-- = （9） 令σ为整个传染期内每位病人有效接触的平均人数，σλμ=。

则有11dii i dt λσ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（10） 用Matlab 绘制出~dii dt（图3，图5）和 i~t （图4，图6）。

结论：1σ=为一个阈值。

①1σ>，()i t 极限值1()1i σ∞=-为增函数，()i t 的增减性由0i 的大小确定。

②1σ≤，病人比例()i t 越来越小，最终趋于0。

（4）SIR 模型（某些疾病患者治愈后获得了很强的免疫力，不会再次被感染） 假设：①总人数N 不变，将人群分为健康者，病人，和病愈免疫的移除者，他们在总人数中所占的比例依次为()s t ，()i t ，()r t 。

②λ为病人的日接触率，μ为日治愈率，σλμ=为传染期接触数。

建模：由假设1得()()()1s t i t r t ++= （11）drNNi dtμ= （12） 令t=0时健康者与病人所占比例分别为0000(0),(0)s s i i >>，则有00,(0),(0)disi i i i dt ds si s s dtλμλ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩ （13）利用Matlab 绘制出()i t ，()s t （图7），~i s （图8）图形，~i s 图形称为相轨线。

相轨线分析：利用相轨线讨论解()i t ，()s t 的性质。

~s i 平面称为相平面，相轨线在其上的定义域为(,)s i D ∈为(){},0,0,1D s i s i s i =≥≥+≤ （14）消去方程中的dt ，并由σ得到011,s s di ii ds sσ==-= （15）解得：()0001ln si s i s s σ=+-+（16） 在定义域D 内，相轨线是上式所表示的曲线，如图9所示，其中箭头表示随着时间t 的增加()s t 和()i t 的变化趋势。

下面分析()s t 、()i t 和()r t 的变化情况（t →∞时它们的极限值分别记做,s i ∞∞和r ∞）①不论初始条件00,s i 如何，病人最终会消失，0i ∞= ，证明：首先，由式（13），0ds dt ≤，而()0s t ≥，所以s ∞存在；由式（11），0dr dt≥，而()1r t ≤，所以r ∞存在；由式（11）得i ∞存在。

其次，若0i ε∞=>，则由式（11），对于充分大的t 有2drdtεμ>，导致r ∞=∞，与r ∞存在相矛盾。

从图形来看，无论相轨线从何点出发，最终都将与s 轴相交。

②令式（16）中0i =，则最终未被感染的健康者的比例是s ∞，s ∞为方程0001ln 0s s i s s σ∞∞+-+= （17） 在(0,1/)σ内的根，在图形上表示为相轨线与s 轴在(0,1/)σ内交点的横坐标。

③若01/s σ>，则()i t 先增加，当1/s σ=时，()i t 达到最大值0001(1ln )i s i s σσ∞=+-+ （18）然后()i t 减小且趋于0，()s t 单调减小至s ∞，如图中由1P 出发的相轨线。

④若01/s σ≤，则()i t 单调减小至0，()s t 单调减小至s ∞，如图中由2P 出发的相轨线。

结论：①若病人比例有一段时间增长即认为传染病在蔓延，则1/σ为一个阈值，01/s σ>时蔓延。

可以通过减小σ 使01/s σ≤，使传染病不蔓延。

②01/s σ>，σ减小时，s ∞增加，也能控制蔓延程度。

捕鱼模型考察一个渔场，其中鱼量在天然环境下按一定规律增长、如果捕捞量恰好等于增长量，那么渔场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续． ①产量模型假设：()x t 为渔场中鱼量。

1.无捕捞时，鱼的的增长服从logistic 规律，即 ()()1x x t f x rx N ⎛⎫==-⎪⎝⎭（19）其中：r 表示固有增长率，N 表示环境容许的最大鱼量，()f x 表示单位时间的增长量。

2. 用E 表示单位时间捕捞率，单位时间捕捞量和渔场鱼量()x t 成正比，则有单位时间捕捞量为()h x Ex = （20）建模：捕捞情况下渔场鱼量满足()()1x x t F x rx Ex N ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭（21）其中：()()()F x f x h x =-。

判断()x t 的稳定条件，求式（21）的平衡点，分析其稳定性。

令式（21）为0，得两个平衡点：01(1),0E x N x r=-= （22）稳定性判断01(),()F x E r F x r E ''=-=-当E r <时01()0,()0F x F x ''<>，则0x 点稳定，1x 点不稳定。

当E r >时01()0,()0F x F x ''><，则1x 点稳定，0x 点不稳定。

分析：用E 表示捕捞率，r 表示固有增长率。

①当E r <时，可使鱼量稳定在0x ，获得稳定产量。

②当E r >时，1x 稳定，渔场干枯。

根据（19），（20）式分别绘制曲线()y f x =及()()y h x E x ==，使用Matlab 绘制图形如下所示，得两曲线交点为P ，则P 横坐标为稳定平衡点0x ，纵坐标为稳定条件下单位时间的产量，当交点位于抛物线顶点时获得最大的持续产量，此时的稳定平衡点为*02N x =， 单位时间的最大持续产量为4m rN h =，捕捞率*2rE =。

结论：将捕捞率控制在固有增长率r 的一半，即使渔场鱼量保持在最大鱼量的一半时，能够获得最大的持续产量。

②效益模型（经济效益=总收入收入-成本）假设：鱼销售单价p ，单位捕捞率费用是c ，单位时间收入为T ，成本为S ，单位利润为R ，则有()T ph x pExS cER T S pEx cE ====-=- （23）建模：在稳定条件0x x =下，将式（22）代入式（23）得()()()(1)ER E T E S E pNE cE r=-=-- （24） 求出使利润最大的捕捞强度为12R r c E pN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（25）最大利润下的渔场稳定鱼量R x 和单位时间的持续产量R h 22R N cx p=+ （26） 222(1)14R R R x rN c h rx N p N⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭（27） 结论：当有最大效益时，捕捞率和持续产量都减小，渔场应保持的稳定鱼量增加，捕捞成本越大或销售价格越低所需减少增大的部分越大。

③捕捞过度：封闭式捕捞追求利益最大，开放式捕捞只追求利润。

令式（24）中()0R E =,解S E ,则1S c E r pN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(28）当S E E <时，利润()0R E >经营者加大捕捞强度，当S E E >，()0R E <经营者减小捕捞强度，S E 为盲目捕捞下的临界强度。

或利用Matlab 绘制~(),()E T E S E 曲线如图（12），则(),()T E S E 交点横坐标即为S E 。

二、微分方程与平衡点理论一阶微分方程设一阶微分方程为()()x t f x = （1）求解方程()=0f x 即可出平衡点0x x =。

再判断平衡点0x 是否稳定。

判断平衡点的常用方法有以下两种 （1）直接法将()f x 在0x 点作泰勒展开，仅取一次项，则得方程（1）的近似线性方程为()()()'0x t f x x x =- （2）所以，0x 也是方程（2）的平衡点。

令()'0=f x a ，则方程（2）的一般解为()0at x t ce x c =+为常数对于0x 点的稳定性有如下结论：如果()'00f x <，则0x 对于方程（2）和（1）都是稳定的； 如果()'00f x >，则0x 对于方程（2）和（1）都是不稳定的； （2）间接法如果存在0x 某个邻域内的任意值，使方程（1）的解()x t 满足()0lim t x t x →∞= （3）那么0x 是稳定的，否则0x 是不稳定的。