1.1.2 从自然数到有理数

完整版)最新版浙教版数学七年级上册各章节重难点第一章有理数1.1 从自然数到有理数正数是指大于零的数，负数是指小于零的数，而零既不是正数也不是负数。

正整数、零和负整数统称为整数，而负分数和正分数则统称为分数。

整数和分数合在一起就是有理数。

1.2 数轴数轴是指规定了原点、单位长度和正方向的直线。

任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示。

如果两个数符号不同，其中一个数称为另一个数的相反数。

在数轴上，互为相反数（零除外）的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

1.3 绝对值绝对值是指一个数在数轴上对应的点到原点的距离。

一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，而零的绝对值是它本身。

互为相反数的两个绝对值相等。

需要注意的是，任何数的绝对值都大于或等于零（非负数）。

1.4 有理数的大小比较一般地，我们可以得出以下结论：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。

两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。

第二章有理数的运算2.1 有理数的加法同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加等于零，一个数与零相加仍得这个数。

在有理数运算中，加法的交换律和结合律仍然成立。

2.2 有理数的减法减去一个数，等于加上这个数的相反数。

有理数加减混合运算的一般步骤是先利用减法法则，将减法转换为加法，再利用加法的交换律和分配律，使计算简便。

2.3 有理数的乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与零相乘，积为零。

若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数。

在有理数的乘法中，乘法交换律、分配律和结合律仍然成立。

2.4 有理数的除法两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

零除以任何一个不为零的数都等于零。

代数式的值有时需要用“整体”代入的技巧来求解，特别是当无法求出字母的值时。

精心整理1.1从自然数到分数【教学目标】✍知识目标：1．理解自然数、分数的产生和发展的实际背景。

2．通过身边的例子体验自然数与分数的意义和在计数、测量、标一、新课引入小学里，我们学习了自然数和分数，这节课我们就来回顾一下这部分的内容：从自然数到分数。

二、新课过程用多媒体展示杭州湾大桥效果图，并显示以下报道：世界上最长的跨海大桥——杭州湾大桥于2003年6月8日奠基，这座设计日通车量为8万辆，全长精心整理精心整理精心整理36千米的6车道公路斜拉桥，是中国大陆的第一座跨海大桥，计划在5年后建成通车。

师问：你在这段报道中看到了哪些数？它们都属于哪一类数？学生很快解决这两个问题之后，由上面这几个数，师生共同得出自然数的几个应用：得多少蛋糕？（18 ）（2）小明的身高是168厘米，如果改用米作单位，应怎样表示？（1.68米）精心整理精心整理由于分配和测量等实际需要而产生了分数（如第（1）题）和小数（如第（2）题），它们是表示量的两种不同方式，分数小数之间可以互相转化。

分数可以化为小数，因为分数可以看作两个整数相除 如35 =3÷5=0.6，13 =0.333…反过来小学里学过的小数都可以化为分数，如0.31=31100由上题可以看到许多实际问题可以通过自然数和分数的运算得到解决。

例2 （多媒体展示）详见书本合作学习第2题师：请同学们思考我们要解决的问题涉及哪几个量？他们之间有怎样的数量关系？生：有销售总额度，发行成本，社会福利资金，中奖者奖金精心整理精心整理他们之间的关系：销售总额度=发行成本+社会福利资金+中奖者奖金发行成本=15% × 销售总额度（1）中奖者奖金总额：4000-15%×4000-1400=2000（万元）（2）以小组为单位进行探究活动，而后由一学生回答给出解题思路思路 思路2000行。

也可以用2000×6%-1400×10%=120-140算式中被减数小于减数，能否用已学过的自然数和分数来表示结果？看来数还需作进一步的扩展，这就是我们下节课要讲的内容，在很多实际生活中，还存在着许多自然数、分数还不能满足人们生活和生产实际的需要的例子，请精心整理举个例子？（气温零上温度与零下温度的表示，飞机上升5米与下降5米的表示等）课内练习见书本1和2 （注第2题首先让学生了解一米有多长，再估计）四、探究学习1 ．由于商场在搞活动，一件衣服的价格先上涨了10%，后又下降了10%，✍情感态度与价值观：通过提供适当的情景资料，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作讨论中，学会交流与合作，提高创新能力；通过分析问题，解决问题，使学生体验数的发展历程.【教学重点、难点】✍重点：会应用正负数表示生活中具有相反意义的量；有理数的分类。

1.1 从自然数到有理数（2）前事不忘，后事之师。

《战国策·赵策》圣哲学校蔡雨欣知识技能1.通过丰富实例，体会对自然数和分数作扩充是生活与生产实际的必然需要；2.建立正、负数的概念，体会其实际意义；3.理解有理数的概念，会对有理数进行分类；4.会用正、负数或零表示生活实际中的量。

数学思考能独立思考，体会分类、归纳的基本数学思想和严谨的数学思维方式。

问题解决1．初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。

2．在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。

3．能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。

情感态度1.课堂中充足的生活与生产实例，让学生体会到“数学源于生活，又应用于生活”，感受数学的实用性与广泛用途，增强他们对数学的好奇心和求知欲；2.正、负数的表示，让学生感受到数字的简约美；教学重难点教学重点有理数概念。

教学难点正、负数概念的建立过程。

教学方法教法讨论法、探究法。

学法教师适当引导，学生探索、交流、讨论。

（一）复习引入，温故知新复习小学学习过的数。

为建立负数的概念做铺垫。

师：大家想一想，在小学里，学习过哪些数？生：自然数、整数、分数、奇数、偶数、质数（素数）、合数。

（请同学一个一个回答）师：恩，大家学习了这么多数，那我们下面来看一个科普视频。

播放科普视频《探索月球》片段，请同学在观看的同时找一找视频中不熟悉的数字。

看看谁发现了陌生的朋友？于是发现了视频中前面带“减号”的数字，听到了“负223度”的表达。

设疑：为什么多了“减号”？导入新课《有理数》。

【《探索月球》的视频给学生扩充科普知识的同时，让学生带着问题去观赏与寻找，培养了学生有意识观察事物的能力，生动的影像更是增强了学生探究新知的兴趣，带动了课堂气氛。

】（二）交流讨论，探索新知师：视频中提到的“123度”和“-233度”分别表示什么？利用PPT呈现以下内容（1）今日最高气温5度，最低气温零下4度；（2）小王向行驶了3千米，向西行驶了2千米；（3）爸爸从8楼到地下1层的车库；（4）新疆乌鲁木齐市高于海平面918米，吐鲁番盆地最低点低于海平面 155米。

数学数的顺序在数学中，数的顺序是指将一组数字按照一定的规则进行排列的过程。

数的顺序在数学中有着重要的意义，不仅可以方便我们进行计数和比较，还可以应用到各种数学问题的解决中。

下面将从不同的角度讨论数的顺序。

一、自然数的顺序自然数是指从1开始的整数，即1、2、3、4、5……以此类推。

自然数的顺序是最基本的顺序，也是我们最早接触到的。

在自然数的顺序中，每个数都比前一个数大1，形成了一个递增的数列。

自然数的顺序无限延展，没有最大的自然数。

二、整数的顺序整数包括正整数、零和负整数，即……-3、-2、-1、0、1、2、3……以此类推。

整数的顺序也是递增的，其中正整数按照1、2、3、4……的顺序排列，负整数则按照-1、-2、-3、-4……的顺序排列。

整数的顺序在数轴上呈现出左边是负数、中间是零、右边是正数的结构。

三、有理数的顺序有理数包括整数和分数，可以表达为p/q的形式，其中p和q是整数，q不等于0。

在有理数的顺序中，比较两个有理数的大小可以通过找到它们的公共分母，然后比较分子的大小来进行。

例如，我们可以比较1/2和3/4，它们的公共分母是4，因此1/2可以写为2/4，比较2和3，可以知道3/4比1/2更大。

四、无理数的顺序无理数是无法表示为有限小数或循环小数的实数，例如π和√2。

无理数的顺序通常是通过近似值来比较的。

我们可以使用数学方法来逼近无理数的值，从而比较它们的大小。

虽然无理数本身无法精确表示，但我们可以通过有理数的逼近来确定它们在数轴上的位置。

五、实数的顺序实数是有理数和无理数的集合，它们包括上述所有类型的数字。

实数的顺序是在数轴上进行的，数轴上的每个点表示一个实数。

我们可以通过比较数轴上两个点所对应的实数的位置来确定它们的大小关系。

在数学中，数的顺序是我们研究数字性质的基础。

通过学习数的顺序，我们可以更好地理解数字之间的关系，进行数的比较和排序。

数的顺序在数学运算、代数、几何等各个领域都有广泛的应用，对于解决问题和推导结论非常重要。

1.1 从自然数到分数【教学目标】✍知识目标：1．理解自然数、分数的产生和发展的实际背景。

2．通过身边的例子体验自然数与分数的意义和在计数、测量、标号和排序等方面的应用。

✍能力目标：会运用自然数、分数（小数）的计算解决简单的实际问题，并从实际中体验由于需要而再次将数进行扩充的必要性。

✍情感目标：1．通过同学之间的交流、讨论，以面对面互动的形式，完成合作交流，培养良好的与人合作的精神，感受集体的力量，体验成功的喜悦。

2．从具体的例子使学生感受数学来源于生活，生活离不开数学，从而增加学习数学的兴趣。

【教学重点、难点】✍重点：自然数和分数的意义及运用自然数、分数的计算解决简单的实际问题。

✍难点：用自然数、分数（小数）的计算解决简单的实际问题。

【教学过程】一、新课引入小学里，我们学习了自然数和分数，这节课我们就来回顾一下这部分的内容：从自然数到分数。

二、新课过程用多媒体展示杭州湾大桥效果图，并显示以下报道：世界上最长的跨海大桥——杭州湾大桥于2003年6月8日奠基，这座设计日通车量为8万辆，全长36千米的6车道公路斜拉桥，是中国大陆的第一座跨海大桥，计划在5年后建成通车。

师问：你在这段报道中看到了哪些数它们都属于哪一类数学生很快解决这两个问题之后，由上面这几个数，师生共同得出自然数的几个应用：⑴属于计数如8万辆、5年后、6车道 ⑵表示测量结果如全长36千米 ⑶表示标号和排序如2003年6月8日、第一座等显示以下练习让学生口答下列语句中用到的数，哪些属于计数哪些表示测量结果哪些属于标号和排序（1）2002年全国共有高等学校2003所。

（标号和排序 计数）（2）小明哥哥乘1425次列车从北京到天津，然后乘15路公交车到了小明家。

（标号和排序 标号和排序）（3）香港特别行政区的中国银行大厦高368米，地上70层，至1993年为止是世界上第5高楼。

（测量结果，计数，标号和排序，标号和排序）做完练习之后师：随着生活和生产的需要，自然数已经不能满足实际需要了。

七年级（上册）1. 有理数1.1. 从自然数到有理数分数都可以化为小数。

分数在化成小数时, 结果可能是有限小数, 也可能是无限循环小数。

大于0的数, 叫正数；小于0的数, 叫负数；0既不是正数也不是负数。

整数和分数统称为有理数。

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫负分数正分数分数负整数自然数零正整数整数有理数 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 1.2. 数轴像这样规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。

任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。

如果两个数只有符号不同, 那么我们称其中一个数为另一个数的相反数, 也称这两个数互为相反数。

0的相反数是0。

1.3. 在数轴上, 表示互为相反数（0除外）的两个点, 位于原点的两侧, 并且到原点的距离相等。

1.4. 绝对值我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

一个数a 的绝对值表示为|a|。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

互为相反数的两个数的绝对值相等。

1.5. 有理数的大小比较在数轴上表示的两个数, 右边的数总比左边的数大。

2. 正数都大于0, 负数都小于0, 正数大于负数。

3. 两个正数比较大小, 绝对值大的数大；两个负数比较大小, 绝对值大的数反而小。

4. 有理数的运算4.1. 有理数的加法同号两数相加, 取与加数相同的符号, 并把绝对值相加。

异号两数相加, 取绝对值较大的加数的符号, 并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加, 仍得这个数。

加法交换律：两个数相加, 交换加数的位置, 和不变。

a +b = b + a加法结合律: 三个数相加, 先把前面两个数相加, 或者先把后两个数相加, 和不变。

( a + b ) + c = a + ( b + c )4.2.有理数的减法减去一个数, 等于加上这个数的相反数。