从自然数到有理数.ppt

1.有限小数和无限循环小数能转化为分数。 2.无限不循环小数不能转化为分数。 3.所有的有限小数,无限循环小数都可以看成是分数. 0.101 和 0.101001000100001……都是分数，对 吗？
..
从温州出发到杭州，再从杭州出发到北京， 已知从杭州出发时间为18：25，温州去杭州 的路程为400千米，车速是10千米/时。在杭 州逗留了40~50分钟，求最迟什么时候从温 州出发?
400千米 温州 杭州 逗留40~50分钟 北京
排序：为了表示某一种顺序的数据。 如年份、月份、名次等.
标号：人为的编号，像门牌号、学号、 座位号、车牌号、邮政编码、城市的公 共汽车路线等 测量：一般地,借助工具得到的数据
1.能否把下列分数化成小数？ 1 3 0.6 0.3 5 3 问：是否所有的分数都可以化为小数？ 所有的分数都可以化为小数！ 2.能否把下列小数化成分数？
排序
下列句子中用到的数，哪些属于计数和 计数 测量？哪些属于标号和排序？
1、2002年全国共有高等学校 2003所； 标号
测量 2、小明哥哥乘1425次列车从北京到天津；
3、香港特别行政区的中国银行大夏高368米， 地上Байду номын сангаас0层，至1993年为止，是世界第5高楼。
计数 排序
排序
计数：一般地,用数数的方法得到的数据
●
157 3.14＝ 50
1 0.1＝ 9
●

＝
问：是否所有的分数都可以化为小数？ 不是所有的小数都可以化为分数！ 有些小数可以化为分数
不是所有的小数都可以化为分数！
有限小数 ------------------------可以化为分数 无限循环小数 --------可以化为分数 小数 无限小数 无限不循环小数(如 ) --不能化为分数

元具有相反意义的量不唯一，可以是亏损400元，也
可以是亏损100元等。
新知探究 知识点2 具有相反意义的量及其表示 重点
典例3 下列选项中，是具有相反意义的量的是( C )
A.身高增加1 cm与体重减少1 kg
B.海平面以上与海平面以下
C.向东5 m与向西8 m
D.存入100元与降价10元
新知探究 知识点2 具有相反意义的量及其表示 重点
0米
_____。
新知探究 知识点2 具有相反意义的量及其表示 重点
（3）手机移动支付给生活带来便捷，若规定收款为正，则+37元
收款37元
付款111元
表示__________，−111元表示___________。
（4）从山脚测山高为300 m，山脚高出海平面50 m。若以海平面
+350 m
为基准，山脚的高度记作+50 m，则山高记作________；若以山脚
第1章 有理数
1.1 从自然数到有理数
七上数学 ZJ
学习目标
1.了解从自然数到有理数的发展过程，感受数学与现实生活的
联系。
2.理解正数、负数和零的意义，会判断一个数是正数还是负数。
3.理解生活中具有相反意义的量，会用正数和负数表示具体情
境中具有相反意义的量，培养应用意识。
4.理解有理数的意义，能按一定的标准对有理数进行分类，体
3
用大于零的数前面放
负数 上负号“-”来表示的
数。
2
−60，−0.5,−
3
注意
正数前的“+”
常省略不写。
负数前的“-”不
能省略不写。
新知探究 知识点3 正数和负数 重点
数的

A： 18/75=6/25=0.24元/千克 B ：24/120=0.2元/千克 答：B包装每千克的价格更低。
课堂总结
归纳小结、反思提高
1.谈一谈：请学生回忆这节课主要 学了哪些内容，你感受最深的是什 么？ 2.读一读：课本第15页的阅读材料
亲亲爱爱的的读读者者：： 1、学盛生而年活不思重相则来信罔，眼，一泪思日，而难眼不 再 泪学晨并则。不殆及代。时表宜软20自弱.7.勉。12，270.岁.172.月1.22不072.待1020人.92:。025。0099:0:055:0039J:0u5l-:20030J9u:l0-25009:05 春亲去爱春的又读回者，： 20、.7一世.1年上27之没.1计有2.在绝20于望20春的09，处:0一境50日 ，9:之只05计有:0在对3J于处ul晨境-20。绝0二望9:0〇的5二人〇。年二七〇月二十〇二年日七月20十20二年日7月201220日年星7月期1日2日 春去春又回，新新桃桃换换旧旧符符。。在在那那桃桃花花 32星、期莫千日等里闲之，行白，了始少于年足头下， 。空20悲20切年。7月12日星期日
2.张大妈在超市买了一袋洗衣粉，发现包装袋 上标有“净重500 5克”，张大妈看不懂是 什么意思，你能帮她解释清楚吗？
课后作业
3.如图一个台阶要铺地毯,则至少 要买地毯___m.
0.9m
2.8m
课后作业
4.一种商品有两种不同规格的包装,A种 商品的质量为75千克,价格为18元；B 种商品质量为120千克价格24元；哪一 种包装每千克的价格更低?
新课引入
大家想一想，在小学里，学习过哪些数？
自然数、整数、 分数、奇数、偶 数、质数（素 数）、合数。
新课引入
自然数概念指用以计量事物的件 数或表示事物件数的数 。 即用数 码0，1，2，3，4，……所表示的 数 。自然数由0开始 ， 一个接一 个，组成一个无穷集体。

怎样才能确定分辨出两堆东西哪堆多、哪堆少？
最简单的方法是把两堆东西一对一地进行比较。这种一对一对应的比较方法， 可以说是人类最早的对“数”的体验。这种体验不仅可以比较两堆东西的多 与少，而且还可以发现相等的关系。
出生 ——检测各项健康指标，量身高，称
体重。
幼儿园——数数，画三角形，圆，方块，搭
积木，折纸。
3.四个同学每两个人握一次 手,一共握手的次数为 _______6____
2.妈妈的一万元存款到期了,按规定 她可以得到2%的利息,但同时必须向 国家缴纳20%的利息税.则她缴纳的
金额是( c )
A.80元 B.60元 C.40元 D.20元
4.计算:
( 2 4 9 1 ) 8 ( 1 0 3 9 0 9 ) 7 9
变化后奖金总额为：2000 ×（1-6%）=1880万元
变化后：（福利资金+奖金总额+发行成本） =1540+1880+4000 ×15%=4020万元
因为4020万元>4000万元，所以这个方案不可行
思考：能否用如下算式求解：2000 ×6%- 1400
× 10%=120-140，此时能否运算？能否用我们已 学过的自然数和分数来表示结果呢？
5.如图一个台阶要铺地毯,则至少要 买地毯___2_.6__m.
0.8m
1.8m
2.希望小学购买60个足球,现有甲、乙、丙 三个商店可以选择，三个商店同品牌足球 的单价都是25元，但各个商店的优惠方法 不同
甲店：买10个足球免费赠送2个，不足10个 不赠送。
乙店：一律“七五”折优惠
丙店：购物满200元，返还现金30元，
解： （1）能，4000-4000×15%-1400=2000（万元）

D365 北京南－温州南 07：50－20：32
小慧原打算买一张K101次硬卧下的车票，这样她 还剩下160元.后来小慧想改买D365次列车的二等软 座票，小慧的钱够吗？ 列算式：418＋160－586＝578－586
自然数和分数已经不能满足人们生产和生活的需要,数还 需要做进一步的扩展!
头脑风暴
杭州湾跨海大桥于2008年5月1日 全线通车.这座6车道公路斜拉桥设计 日通车量为8万辆，时速100千米/时， 全长36千米，使用年限为100年，是 当时世界上最长、工程量最大的跨海 大桥。 你在这段报道中看到了哪些数？请找出这些数，并说明它 们哪些表示计数和测量，哪些表示标号或排序.
解： 6，8，100，36，100表示计数和测量； 2008，5，1表示排序；
68 17 1 1.68= 1 100 25
小数与分数是同一种数,只是表示方式不同而已 ! 说明:初中阶段，小数，分数就统归为分数
你能帮小慧列出算式吗？如果用自然数怎样列算式？ 用分数呢？
解:用自然数列算式:
400100 4(时)
18小时25分 4时 50分 13时35分
用分数式列算式:
1、一种商品有两种不同规格的包装， 其质量和价格如图所示。请问哪一种 包装每克的价格更低？你会选择哪一 种规格？为什么？ 2、如图所示的正方形的边长为2，用分数表示下列各图 形的面积.
头脑风暴
3. 商店里有单价分别为1元，1元5角，2元2角的 三种贺卡.小明每种先买了5张，为了凑成整元， 小明又买了1张贺卡. (1)用元作单位，各种贺卡的单价应怎样表示？ (2)小明一共支付了多少钱？
在这段内容中你看到了哪些自然数？
7， 2000，5130 这些自然数各起着哪一方面的作用？ 7在“公元前7世纪”中表示 “标号或排序” 2000表示“计数”，5130表示“测量”.

04 课 堂 练 习
04 课 堂 练 习
【例2】 初中一年级女生仰卧起坐满分标准为50个，个数为54 个记为+4个，则个数为46个应记为( ) A.-6个 B.-4个 C.4个 D.+46个
B
04 课 堂 练 习
-2
+0.3 0
0
-1.2 -1
+0.5 -0.4
04 课 堂 练 习
【例4】 小虫从某地点0出发在一直线上来回爬行，假定向右爬 行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程 依次为（单位：厘米）+5,-3,+ 10,-8,-6,-9,+12,10，问:小虫是否回到原点0?
2.（1）-2.5 3.2 0 （2）918 -154
03 新 知 讲 解
例 暑假第一周，小慧零花钱的收支情况如下： 星期一妈妈给零花钱10元;星期二买练习本用去3元;星期三买卡通笔 用去2.8元;星期四无收入也无支出；星期五买矿泉水用去2元；星期 六获得校报投稿稿酬5元;星期日买发夹用去6.9元。 观察她的记录表，回答下列问题： （1）请用正数、负数或0填写下表。
06 作 业 布 置
【必做】3.下列说法正确的个数是 ( ) ①加正号的数是正数，加负号的数是负数; ②任意一个正数，前面加上“-”号，就是一个负数; ③0是最小的正数; ④大于0的数是正数; A.0 B.1 C.2 D.3
06 作 业 布 置
【必做】3.①不正确。加正号的数不一定是正数，例如+ （-3）仍然是负数，同理加负号的数也不一定是负数。 ②正确。任意一个正数前面加上“-”号确实会变成负数。 ③不正确。0既不是正数也不是负数，它是一个特殊的数 。 ④正确。大于零的数确实是正数。 综上所述，正确的说法有两个，因此正确答案是选项C。

⑵一个数的绝对值是它的相反数，这个数是什么数？
⑶一个数的绝对值一定是正数吗？ ⑷一个数的绝对值不可能是负数，对吗？
⑸绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数 这句话对吗？例3 请你回答下列问题：
⑴有没有最大的有理数，有没有最小的有理 数，为什么？ ⑵有没有绝对值最小的有理数？若有，请把 它写出来 ⑶大于-1.5且小于4.2的整数有_____个，它 们分别是____; ⑷若a>0,b<0,a<|b|,则你能比较a,b,-a,-b这四 个数的大小吗?
6、有理数的绝对值的意义是什么？如果两 个数互为相反数，那么它们的绝对值有什 么关系？试举例说明。
7、有理数的大小怎样比较？请用数轴说明。
例1 下列给出的各数，哪些是正数？哪些是负 数？哪些是整数？哪些是分数？哪些是有理数？
17 3 8.4,22, ,0.3, ,9 6 5
练习1
判断表中各数属于什么数，在相应的空格内打“√”
正数集合
分数集合
例2 填一填：
右图是一个正方体纸盒的展开图，请把-10，7， 10，-2，-7，2分别填入六个正方形，使得按虚线 折成正方体后，相对面上的两个数互为相反数
练一练：
1、填表
2.05 100
7 8
8 9
相反数
绝对值
0
-1000 -2.05
练习2
回答下列问题：
⑴一个数的绝对值是它本身，这个数是什么？
德，妾身永生难忘。”“没有别の事情，你退下去吧。”“回爷，妾身这就退下咯。”虽然口中说着这就退下咯，但是水清根本没办法退下去，来の时候就是因 为跪伤咯腿而站不住，才需要继续跪着回复这番话，现在又继续跪咯有半各多时辰，她更是起不来身咯。此时の水清万分尴尬和困窘，起不来身，又没有奴才在 身边帮忙，总不能让他来扶她吧，急得她咬咯半天嘴唇，也没想出来壹各法子。半天不见她退下去，他直纳闷：“你怎么还不退下？不是没有事情咯吗？”“回 爷，妾身の腿跪时间长咯，实在是站不起来，要不„„”王爷这才想起来，她来之前就跪咯两各时辰，刚刚又说咯这么半天の话，她要是能自己站起来才是怪事 呢，那正好说明她在院外の时候壹定是偷奸耍滑，没有好好跪请。现在虽然证明咯她の诚实，但是摆在他面前の壹各难题是，她如何从书院回到怡然居去！总不 能是他将她抱回去吧，虽然名义上她是自己の诸人，可是，他这壹辈子都要离她远远の，绝不会碰她壹根指头。奴才们？壹各太监抱着侧福晋，成何体统！丫 环？丫环能有多大の力气，还不半路上就给摔咯？王爷真是聪明，只是短短の转念之间就解决咯这各棘手の难题：“秦顺儿。”“奴才在。”“去，把春凳抬来， 再派两各太监，送侧福晋回怡然居。”第壹卷 第412章 原谅当婉然听说雍亲王府の侧福晋给她来送贺礼の时候，她の心中无比の愧疚。她此生愧对爹娘、愧对 兄长，可是她最愧对の，就是凝儿！好不容易才嫁咯如此般配の王爷，她竟然丧心病狂地去抢咯凝儿の夫君，她就是下咯十八层地狱，也洗刷不尽此生深重の罪 孽。但是水清，不但不痛恨她，责骂她，怨恨她，还给她送来咯贺礼，这让她还有啥啊脸面来面对如此善良の凝儿！假设不是为咯爹爹和娘亲，不是为咯王爷， 她真应该早早就咯断残生！翠珠也随婉然壹并来到咯保善大人の府邸。贴身看管の两各丫环寸步不离身，翠珠只能是负责壹些外围の事情。毕竟将来婉然嫁进咯 二十三贝子府，还得是由她来当陪嫁丫环，因此只要婉然和二十三小格の成亲礼结束，两各看管丫环の任务也就算完成咯。此时，翠珠正手捧着“水清”の贺礼 进咯屋，递给咯焦急等待中の仆役。婉然壹看到那剔红の漆盒，就觉得怎么这么眼熟？待她打开壹看，头嗡地壹声就炸咯：这不是凝儿の嫁妆吗？她迷惑不解地 望向翠珠：“这是二仆役送来の？”“是啊，仆役。”“王府派人送来の？”“是の，苏大总管亲自送来の，说侧福晋还等着回话呢。”可是，这明明就是五年 前の时候，年府送给雍亲王四福晋の新年重礼啊！当时她和年夫人壹起去の王府，对这件头面重礼既震惊万分又赞叹不已，特别是那各凤凰造型，打造得栩栩如 生，头顶红碧玺，口含白珍珠，尾镶七彩石，特别是那尾翅，还会随着晃动而壹颤壹动。这是她从来也不曾见过の样式，立即就被深深地吸引。当年夫人告诉她 这是水清の嫁妆时，她简直是惊诧万分，继而开始埋怨年夫人，为啥啊要挪用凝儿の嫁妆：“娘亲，凝儿马上就要嫁人咯，您怎么还要拿这壹件啊！”“唉，这 也是没有办法の事情。时间这么紧，手头根本没有壹件能压得住场面の重礼。娘也不同意，可是凝儿非要让带上这件。唉，这也没办法，老爷也点头答应咯，咱 们只能是赶快再去寻咯新の来，希望能寻得到。”“可是，四福晋又不需要再嫁人，送咯她，真是凭白地糟践咯好东西。”“好咯，事已至此，这也是万般无奈 の事情。咱们抓紧时间再赶快给凝儿寻壹套就是。”现在，这套首饰就放在婉然の手上，令她百思不得其解，明明已经送给咯四福晋，怎么现在又变成咯凝儿送 给她の贺礼咯？望着婉然呆呆地想心事，翠珠有点儿着急咯：“仆役，苏总管等着回信呢。”“那你就跟他说，谢谢侧福晋。”虽然想咯两天也没有想通，但有 壹点她是明白の，这套首饰在成亲之前送来，壹定是要作为她の头面首饰，让她在出嫁の那天戴上。她忽然想起咯水清の头面首饰，水清出嫁那天戴の正是婉然 の那套，不管是啥啊原因，两各人最终用上の，竟然就是对方の头面首饰，这怎么能不令她感叹万千，唏嘘不已？如若这首饰真の是凝儿送来の，那就是说，凝 儿原谅咯她，是吗？凝儿，你原谅姐姐咯吗？第壹卷 第413章 寻价水清从书院回到怡然居の第二天，就赶快差彩蝶去苏培盛那里问壹下，昨天由她向王爷差借 の那份贺礼需要她向府里支付好些银子。月影の腿也跪伤咯，现在水清只能让彩蝶临时充当她の大丫环。苏培盛壹见彩蝶，立即就晓得她是为啥啊而来。不过， 昨天王爷向他交代这件事情の时候，他真以为自己听错咯：“爷，年侧福晋要花银子买那份贺礼？”“对，你按照市面の行价，公事公办、秉公处理就 行。”“那奴才啥啊时候去办？”“看侧福晋の吧，她这两天腿脚不太利落，不差这几天。”苏培盛退下来以后，真是棘手至极。这可是他苏培盛在王府里当咯 这么多年の差以来，从来没有遇到过の新情况！历来都是王爷寻到咯啥啊奇珍异玩，赏赐给各院の主子们，博她们壹笑也好，对她们服侍有功进行奖赏也好，总 归他都是只出不进、只赔不赚。虽然他不是花钱如流水の人，但他也从来不是吝啬之人，特别是对诸人。可是，这各年侧福晋，不但从来都没有得到过王爷の任 何赏赐，现在更是因为壹件贺礼，竟然需要她自己花银子向府里来购买！这简直就是闻所未闻，甚至可以说是天下奇闻 ； .au/ 驾照翻译

• 康托尔的超限数
超限数是大于所有有限数（但不必为绝对无限）的基数 或序数，分别叫做超穷基数和超穷序数。
• 罗宾逊的非标准实数系
是罗宾逊推出的超实数R * ，即非标准实数系，他的基本
思青想是将“无限小”和“无限大” 作为R 以外的超实
数衣。
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16
总结中学中涉及到的数系的扩充
• 自然数中减法产生了（
12
实数系R 复数系C
观察方程 x，2 它在1 R中没有解，为此，并i 定义： i2 1
为了让符号 能i 像普通的实数那样进行加、乘，我
们造出形如 a b这i样的符号，这里的 a是, 任b
意两个实数， 称a 为 复bi数， 称为虚数i 单位。
系是具备这样的性质的。
青 衣
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6
数系扩充的原则
• 原则三：旧数系是新数系的一部分，而且把旧数 系的元素看成新数系时，服从同样的运算规律， 及构成一种“嵌入”。
• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，旧数系N是新数系Z中 的一部分，而且N中的元素还是符合Z中的运算规律的。
青
衣
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• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，整数系Z失去了自然数
系N中任何子集都有最小元素的良序性质，但是获得对减
法封闭的特性。
青 衣
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5
数系扩充的原则
原则二:用旧数系为材料构成一个对 象，称之为新数，定义并验证这些
新数符合扩张的要求，或者具有新
数应具备的性质。
例如：将自然数系扩充到整数系，扩张的 要求是满足减法运算的需要，所以整数
7
自然数系N 整数系Z
青
衣
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月球表面白天气温可高达123℃， 夜晚可低至－233℃. 图中阿波罗 11号的宇航员登上月球后不得不 穿着既防寒又御热的太空服.
上面123℃和－233℃这两个量分 别表示什么吗？
你留意了吗？ 在日常生活和生产实践中，我们经常会遇到具
有相反意义的量，如：
温度有“零上”和“零下” 路程有“向东”和“向西” 水位变化有“升高”和“降低” 经营情况有“盈利” 和“亏损” 说明： 具有相反意义的量的含义：一是两个量，数字部分 可以不相等；二是必须要具有相反的意义，缺一不可.
用心理解！
为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的 量规定为正，用过去学过的数（零除外），如123，15， 3.14等来表示，这样的数叫做正数.正数前面可加正号 “＋”来表示（“+”常省略不写）；把另一种与之意义 相反的量规定为负，用过去学过的数（零除外）前面放 上负号“－”来表示，
如23， 360， 2， 0.5等， 这样的数叫做负数. 3
想一想
1，为什么学了自然数还要学分数？ 2，有了自然数、分数够了吗？为什么？ 3，分数与小数怎么样相互转化？
1.1从自然数到有理数
下列句子中用到的数，哪些属于计数和
排序 测量？哪些属于标号和排序？
计数
1、2002年全国共标号有高等学校2003所；
2、小明哥哥乘1425次列车从北京到天津测；量
3、香港特别行政区的中国银行大夏高368米， 地上70层，至1993年为止，是世界第5高楼.
整数
正整数 零
自然数
有理数 分数
负整数 正分数
负分数
数的分类
正整数
正有理数
有理数
零
正分数
负整数
负有理数
负分数

第一章 有理数
1.1 从自然数到有理数
第1课时 数的认识
1 课堂讲解 自然数的意义、分数的意义、生活中
的数
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
我国的长城始建于公元前7世纪，前后修造了 2 000余年.明长 城从山海关到嘉峪关，实际长度为5 130千米（合一万零二百六十 里），故被称为万里长城.
（来自《点拨》）
知1－讲
【例1】昨天股市上涨100点，今天下跌40点．其中的 自然数表示( A ) A．计数 B．测量 C．标号 D．排序
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
表示计数和测量的数可以进行数的运算；表示 标号和排序的数有时是指代作用，即对事物进行区 别，一般不能进行数的运算．
（来自《点拨》）
知识点 1 自然数的意义
知1－讲
在小学里我们已经学过自然数0，1，2，3，4， 5，….自然数在计数和测量中有着广泛的应用，如 节前语中，我国长城“修造了2 000余年”，“实际长 度为5 130千米”等.
归纳
知1－讲
自然数在计数和测量中有着广泛的应用，人 们还常常用自然数来给事物__标__号____或__排__序___．
无限循环小数 无限不循环小数
必做：
1.请完成教材P6 作业题T1-T5 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
（来自《点拨》）
知2－练
2 由于测量和分配等实际需要而产生____________和 ____________，数是随着生产和生活的需要而不断 发展的，生活中处处有数学．
3 分数可以看成两个________相除，因此分数都可以 化为小数．反过来，我们在小学里学过的小数(π除 外)也都可以化为分数．

1.1从自然数到有理数2
思考1：
月球表面白天气温可高 达123℃，夜晚可低至－ 233℃. 图中阿波罗11号的 宇航员登上月球后不得不 穿着既防寒又御热的太空 服。
上面123℃和－233℃这两个量 分别表示什么吗？
具有相反意义的量的含义：
一是两个量，数字部分可以不相等； 二是必须要具有相反的意义，缺一不可。
3.如果+3表示转盘沿逆时针方向转3圈，那么-6表 示_转___盘____沿__顺___时___ 针___方____向_ _转____6_圈__ 。
记住啦！
我们学过的数中又来新成员了：
1，2，3，称为正整数； 相应的，1， 2， 3，称为负整数； 1 ，2，5，称为正分数； 234 相应的， 1 ， 2， 5，称为负分数。
；
6.非负数集合 7,0,33 4,0.01, 67,20000,2 7 2
；
7.有理数集合 2 0 ,7 , 7 5 2 ,0 ,3 3 4 , 2 .7 5 ,0 .0 1 , 6 7 , 7 4 ,2 0 0 0 0 ,2 7 2 .
练一练:
1、判断表中各数分别是什么数，在相应的空 格内打“√”：
练一练:
1.填空：
(1)汽车在一条南北走向的高速公路上行驶，规定 向北行驶的路程为正。汽车向北行驶75km，记做 __7_5___km（或_+_7_5_km），汽车向南行驶100km， 记做__－__1_0_0__km;
(2)如果向银行存入50元记为50元，那么－30.50元 表示_从__银__行__取__出__3__0_.5__0_元_____； (3)规定增加的百分比为正，增加25%记做__2_5_%___，
234
特别提醒：零既不是正数，也不是 负数！

我国的长城 始建于公元 前7世纪， 前后修造了 2000余年。 明长城从山 海关到嘉峪 关，实际长 度为5130千 米（合一万 零二百六十 里），故被 称为万里长 城。
计数和测量
修造了2000余年 实际长度为5130千米
计数：个数 测量：长度、体积、质量、温度等
标号或排序
公元前7世纪
排序：年份、名次等 标号：学号、门牌号、邮编等
北京—温州 北京南—温州南
发时—到时
23:16—05:10 07:50—20:32
运行时间
1天5小时54分 12小时42分
参考票价
硬卧上391元，硬卧 中405元，硬卧下 418元 二等软座586元
小慧原打算买一张K101次硬卧下的车票，这样她还剩 160元。后来小慧想改买D365次列车的二等软座票，小慧 的钱够吗？ 418+160-586=578-586 算式中被减数小于减数，在这种情况下，能否进行 运算？运算的结果是什么？
400÷100=4(时) 18时25分-4时-50分=13时35分
用自然数列算式:
400 4 ( 时) 100 用分数列算式: 5 5 7 (时) 18 4 13 12 6 12
2. 夏令营结束后，小慧想买一张从北京直达温州的火车 票，车次和票价如下表。
车次
K101 D365
出发—直达
数的出现是由原始人所看到的一头一头牛，一个一个的果实都包含 着数量的关系。但当时人类对周围存在着的数量关系的认识识不深，只 有一些模糊的感觉。最初，人类只能认识“有”还是“沒有”，后来渐 渐分辨出“多”与“少”。这种对“多”与“少”的判断还是十分粗略， 算不上是“数”的活动。随着人类生活的不断进步，人们对鉴别“多” 与“少”的要求也逐步提高。怎样才能确定分辨出两堆东西哪堆多、哪 堆少？最简单的方法是把两堆東西一对一地进行比较。 这种一对一对应的比较方法，可以 说是人类最早的对“数”的体验。这种体验不 仅可以比较两个东西的多与少，而且还 可以发现相等的关系。屈指数“数”世 界上许多国家至今还保留着用手势表示 数目的习惯，尽管表示方法有许多不同 之处，但表示一至五的手势，几乎都是 伸出和弯曲一只至五只手指。这 说明在数的形成过程中，人类曾 经经历过一个屈指或伸指可「数」 的阶段（成语：屈指可数）。

如 零上6℃,记作：+6℃或6℃,读作“正6” 零下3℃， 记作：-3℃,读作“负3” 你还能举出类似的例子吗？
注意：零既不是正数， 也不是负数。
-1、-2、-3、-4 ......，称为负整数； 1 2 、 、 1 3 、4.5„„ ，称为负分数 2 3 4 （注意：“－”不能漏）
（因为根据上节课的知识 －4.5 也是分数）
10%, 想一想：（） 1 10%的含义是什么？
(2)请你算出该羽绒服的最高价和最底价. (3)如果以标准价为基础,超过标准价的部分记为“+” ,底于标准价的部分记为“-”,该羽绒服的价格浮动范 围又可怎样表示?
所给各数均为有理数.
练习1、说出符合下列条件的有理数: (1)既是正数,又是整数 (2)是正数,但不是整数 (3)是整数,但不是正数 (4)既不是整数,又不是正数
练习3、把下列各数填入相应的位置
3 22 11, 7.3, , 12, 0.3, 0, 200%, 2006, , 2.5, 5 7
月球表面白天温度可高达123℃， 夜晚可低至－233℃。图中阿波罗11 号的宇航员登上月球后不得不穿着既 防寒又御热的太空服。
你觉得－233中的“－”表示什么意义？ 123℃ 和－233℃这两个量分别表示什么？ 你还在哪些地方见到过用带“－” 号的数来表示某一种量？
世界最高峰——珠穆朗玛 峰海拔高8848米，历史最低温 度为-60℃；吐鲁番盆地最低海 拔-155米，历史最高气温49.6℃。
自然数
有理数
猜谜语
气象万千 壹元整 谎报成绩
合法开支
数的概念随着生产和生活的需 要而不断发展
古人打猎——有了自然数 一个西瓜两人分——有了分数
买东西3元太便宜4元太贵——有 了小数

巩固练习
2.零是整数吗?自然数一定是整数吗? 自然数一定是正整数吗?整数一定是 自然数吗?
零是整数；自然数一定是整数；自然数不一定是 正整数，因为零也是自然数；整数不一定是自然数， 因为负整数不是自然数。
巩固练习
2.如果一个数不是负数，那么这数 正数或零 可能是________________. 3.如果一个是不是正数，那么这个 负数或零 数可能是______________. 记住： 零和正数统称为非负数！
有理数的定义
整数和分数统称有理数。
整数
有理数 分数
正整数 自然数 零 负整数 正分数 负分数
有理数的定义
例 下列给出的各数，哪些是正数？哪些是负数？哪些
是整数？哪些是分数？哪些是有理数？
17 3 -8.44，22，+ ，0.33，0，，-9 6 5
解:
17 22 , + , 0.33是正数; 6
3 -8.4 , - , -9 是负数; 5
22 , 0, －9 是整数;
3 17 -8.4 , + , 0.33 , 是分数; 6 5
以上所给各数均为有理数.
有理数的定义
2、判断表中各数分别是什么数，在相应的空格内打“√”。
正整数 整数 分数 正数 负数 有理数
2003
4 3
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
零和负数统称为非正数！
第一章 有理数
正数和负数的定义
规定：0既不是正数也不是负数。
正数和负数的功能
表示具有相反意义的量。
1.规定盈利为正,某公司去年亏损了2.5万元,记作 －2.5 万元,今年盈利3.2万元,记作_______ +3.2 万元;学科 ________ 网 zxxk

4.按要求填空
（1）某厂去年亏损2.5万元，记作－2.5万元；则今年盈 利4.1万元，记作 +4.1万元 .
（2）若向东走100m，记作+100m；那么－70m表
示 向西走70m 重 减小了2kg . . （3）若+3表示体重增加了3kg，那么－2表示体
5.下表是某日上海发行的部分债券行情表，试说 明各债券当天涨跌情况。 名称 99国债 99国债 99国债 01通化 01三峡 债券 （1） （2） （3） 债券
0, 680, －2000, +12, －23, ＋3.2,
2 －155, 25%, －12%, － 3
1 2
正整数 有 }自然数 整数 0 理 有理数 负整数 数 (根据定义) 分 正分数 分数 类 负分数
说明：①分类的标准不同，结果也不同；②分类 的结果应无遗漏、无重复；③零是整数，但零既 不是正数，也不是负数.
挑战自我
小聪、小明、小慧三位同学分别记录了一周中各天收支 情况如下表（记收入为正，单位：元）：
星期 学生
一 10 8 12
二 -5.20 0 -5
三 0 0 -2.50
四 -4.80 0 -3
五 5 -6 6
六 -3 -1 -7.50
日 -3 0 0
结余 -1 1 0
小聪 小明 小慧
根据上表回答下列问题： (1)说出小聪这一行中10， －5.20，0， －4.80，5， －3各数的实际意义. (2)说出星期五这一列中－6，6的实际意义 (3)说出最后一列中, －1，1，0的实际意义.
星期 学生
一 10 8 12
二 -5.20 0 -5
三 0 0 -2.50
四 -4.80 0 -3

议一议 生活中你见过带有“－”的数吗?
比6０高的得分与比6０低的得分” “零上温度与零下温度 “赢利额与亏损额”都是 具有相反意义的量．
在日常生活和生产中我们常遇到一些这样
的量： 具有相反意义
①气温从零上8℃降到零下 10℃ ②企业盈利100万元和亏损200万元 ③汽车向南行驶2.5千米和向北行驶3.5千米 ④股票指数上涨100点或下降150点 ⑤水上升1.2米和下降0.7米
都是零
6、在一条东西向的跑道上，小亮向东走了6米， 记作+6米，又向西走了8米，此时他的位置可以
记作__-_2_米______
7、在某次数学成绩分析中,如果某学生 成绩超过班平均分5分记为+5分,那么-10 分表示 低于班平均分10分 ;若该班级平均 分为80分 ,则记作-10分的同学的实际分 数是 70 分;若班级平均分是72分,则记 作-10的同学实际得分是 62 分.
例1、如果温度上升8 ℃记做+8 ℃ ，
下降3 ℃记做-3 ℃ ，
那么下列各数分别表示什么？
（1）+5 ℃ （2） -6.82 ℃ （3）0 ℃
解： （1）温度上升5 ℃ （2）温度下降6.82 ℃ （3）温度不变
为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的 量规定为正，用大于零的数如123，15，3.14等来 表示，这样的数叫做正数。正数前面可加正号 “＋”来表示（常省略不写）；
5
4
1.正正数集数合 7
33 4
0.01
+67
2.负负数数集合-20
3.分正数分集数合
3
3 4
4.负负分分数数集合
7
2 5
-2.75
22
7 20.01-2.775

挑战自我
某商场因季节因素，将某品牌的空调的 售价上涨了10%，后又因季节因素而重新下 调了10%。问下调后的空调售价与上涨前比 是贵了，还是便宜了？
368表示测量结果,70属于记数,1993属于排序,5属于排序.
4. 绍兴的区号是0575，邮编是312000;
0575,312000都属于标号.
计数：一般地,用数数的方法得到的数据.
排序：为了表示某一种顺序的数据。 如年份、月份、名次等.
标号：人为的编号，像门牌号、学号、 座位号、车牌号、邮政编码、城市的公 共汽车路线等.
做一做：
下列句子中用到的自然数，哪些属于计数？ 哪些表示测量结果？哪些属于标号或排序？
1、2002年全国共有高等学校2003所； 2002属于排序,2003属于记数.
2、小明哥哥乘1425次列车从北京到天津；
1425属于标号.
3、香港特别行政区的中国银行大厦高368米，地 上70层，至1993年为止，是世界第5高楼。
去40-50分钟时间。
18： 25出
发
18时25分-4时-50分=13时35分
2、用分数列算式： 400 4(时） 100
18 5 4 5 13 7 (时） 12 6 12
夏令营结束后，小慧想买一张从北京直达温州 的火车票，车次和票价如下表：
车次 出发—到达 发时—到时 运行时间
参考票价
能否用小学里学过的自然数和分数来表示？
1、自然数可以用来计数、测量、标号或排序；分 数在实际应用中，起着分配和测量结果的作用
2、分数和这个分数化成的小数是同一种数，只是表示 方式不同而已，但小数的范围广,有些分数和小数之间 是可以互相转化的。
3、了解自然数和分数是由于人们生活和生产实践的 需要而产生的，但光有自然数和分数仍旧是不够的， 数还需作进一步的扩展。

03
新知讲解
我们还学习过分数和小数，
它们是由于测量和分配等实际需要而产生的。
做一做
1.小华和她的7名朋友一起过生日，平均分享一块生日蛋糕，每人可得
多少蛋糕？
2.小明的身高是168厘米，如果改用米作单位，应怎样表示？
03
新知讲解
1.小华和她的7名朋友一起过生日，平均分享一块生日蛋糕，每人可得多少蛋糕
(1)分数
2
化
5
为小数为
(2)小数0.125化为分数为
(3)折扣:七折化为百分数为
(1)0.4
(2)
1
8
(3)70%
；
；
。
06
作业布置
【必做】2.某商店有两个进价不同的物品都卖了100元，其中一个盈利20%
，另一个亏损20%.在这次买卖中，这家商店(
A.不赔不赚
B.赚了
C.赔了
)
D.与卖的价钱有关，无法确定
解析：盈利 20%的物品的进价为100÷(1+20%)=
250
(
3
亏损 20%的物品的进价为100÷(1-20%)=125(元)，
∴总进价为
250
+
3
125=
625
(
3
元)
∵总售价为100+100=200(元)，
∴所以这家商店赔了，故选C
625
>
3
200,
元)
06
作业布置
【必做】3.按一定规律排列的列数依次为
03
新知讲解
在小学，我们已经学过自然数0,1,2,3,4,5，…。
自然数在计数和测量中应用广泛，如节前语中，我国长城“修造了