高中数学简单几何图形与表面积公式

高中数学学考公式大全高中数学学考常用公式及结论必修1：一、集合1、含义与表示：集合中元素具有确定性、互异性和无序性。

集合可以分为有限集和无限集。

集合可以用列举法、描述法和图示法表示。

2、集合间的关系：若对于任意的x∈A，都有x∈B，则称A是B的子集，记作A⊆B。

若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的真子集，记作A⊂B。

若A⊆B且B⊆A，则A=B。

3.元素与集合的关系：属于∈，不属于∉，空集为∅。

4、集合的运算：并集由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为A∪B；交集由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为A∩B；补集在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，记为A'或C。

5．集合{a1,a2,…,an}的子集个数共有2^n个；真子集有2^n–1个；非空子集有2^n–1个。

6.常用数集：自然数集N，正整数集N*，整数集Z，有理数集Q，实数集R。

二、函数的奇偶性1、定义：若对于任意的x∈定义域，有f(–x) =–f(x)，则称函数f为奇函数；若对于任意的x∈定义域，有f(–x) =f(x)，则称函数f为偶函数。

2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．三、函数的单调性1、定义：对于定义域为D的函数f(x)，若任意的x1,x2∈D，且x1f(x2)时，称f(x)为减函数。

2、复合函数的单调性：同增异减。

四、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质1、顶点坐标公式：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，对称轴为x=-b/2a，最大（小）值为f(-b/2a)。

2、二次函数的解析式的三种形式：一般式f(x)=ax2+bx+c(a≠0)；顶点式f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)；两根式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。

高中数学几何公式大全在高中数学中，几何学是一门重要的数学分支。

几何学研究的是空间中的图形和形状的性质、变换以及其关系。

几何学的公式是解决几何问题的基础，本文将为您介绍一些高中数学几何公式。

1.平面几何公式1.1.面积公式-矩形面积公式：面积=长×宽-正方形面积公式：面积=边长×边长-三角形面积公式：面积=（底边长×高）/2-任意多边形面积公式：如果已知多边形所有顶点的坐标，可以使用行列式的方法计算面积。

1.2.周长公式-矩形周长公式：周长=2×(长+宽)-正方形周长公式：周长=4×边长-三角形周长公式：周长=边1+边2+边3-任意多边形周长公式：周长=边1+边2+...+边n1.3.直角三角形公式-勾股定理：a²+b²=c²，其中a、b为直角边，c为斜边。

- 正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c为三角形边长，A、B、C为对应的角度。

- 余弦定理：c²=a²+b²-2ab*cosC，其中a、b、c为三角形边长，C为对边的角度。

2.立体几何公式2.1.体积公式-立方体体积公式：体积=边长³-球体体积公式：体积=(4/3)πr³，其中r为球的半径-圆柱体体积公式：体积=πr²h，其中r为底面半径，h为高度-锥体体积公式：体积=(1/3)πr²h，其中r为底面半径，h为高度2.2.表面积公式-立方体表面积公式：表面积=6边长²-球体表面积公式：表面积=4πr²- 圆柱体表面积公式：表面积=2πrh+2πr²，其中r为底面半径，h为高度- 锥体表面积公式：表面积=πrl+πr²，其中r为底面半径，l为斜高以上只是高中数学几何公式的一部分，还有许多其他公式未在此列出。

掌握这些公式可以帮助高中生更好地解决几何问题，提高几何学习的效果。

高中数学公式大全立体几何与空间向量高中数学公式大全：立体几何与空间向量一、立体几何立体几何是数学中研究三维空间中的几何图形及其性质的分支，对于高中生来说，常见的立体几何包括了体积、表面积等方面的内容。

下面是一些常用的立体几何公式：1. 立方体体积公式立方体是一种边长相等的六个正方形围成的立体。

其体积公式为：V = 边长³。

2. 正方体体积公式正方体是一种六个面都是正方形的立体。

其体积公式为：V = 底面积 ×高。

3. 长方体体积公式长方体是一种六个面都是矩形的立体。

其体积公式为：V = 长 ×宽×高。

4. 圆柱体积公式圆柱体是一种底面为圆形的立体。

其体积公式为：V = π × 半径² ×高。

5. 圆锥体积公式圆锥体是一种底面为圆形，顶点和底面中心连线垂直于底面的立体。

其体积公式为：V = 1/3 × π × 半径² ×高。

6. 球体积公式球体是一种所有点到球心的距离都相等的立体。

其体积公式为：V= 4/3 × π × 半径³。

7. 棱柱表面积公式棱柱是一种顶面和底面是平行的多边形，侧面是平行四边形的立体。

其表面积公式为：S = 底面积 + 侧面积。

8. 棱锥表面积公式棱锥是一种底面为多边形，侧面是由底面上的点和顶点连线形成的三角形的立体。

其表面积公式为：S = 底面积 + 侧面积。

二、空间向量空间向量是指具有大小和方向的箭头，可以表示空间中的位移、速度、加速度等物理量。

在高中数学中，空间向量常用于解决线性相关、平面垂直、平面平行等问题。

下面是一些常用的空间向量公式：1. 两点之间的距离公式设空间中的两点为A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，则两点之间的距离公式为：AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)。

高中数学立体几何知识点总结一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。

其中，这条直线称为旋转体的轴。

（二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形1.3 棱柱的面积和体积公式ch S =直棱柱侧（c 是底周长，h 是高）S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义（1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高） 正四面体：对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题。

以下是一些常见的高中数学中使用的体积和面积公式的大全：
平面图形的面积公式：
矩形的面积：$A = l \times w$，其中$l$ 为矩形的长度，$w$ 为矩形的宽度。

正方形的面积：$A = s^2$，其中$s$ 为正方形的边长。

三角形的面积（海伦公式）：$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，其中$s$ 为半周长，$a$、$b$、$c$ 为三角形的边长。

任意形状的多边形的面积：可以使用分割成三角形或梯形等简单形状的方法计算。

立体图形的体积公式：
直方体的体积：$V = l \times w \times h$，其中$l$、$w$、$h$ 分别为直方体的长度、宽度和高度。

正方体的体积：$V = s^3$，其中$s$ 为正方体的边长。

圆柱体的体积：$V = \pi r^2 h$，其中$r$ 为圆柱体的底面半径，$h$ 为圆柱体的高度。

圆锥体的体积：$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$，其中$r$ 为圆锥体的底面半径，$h$ 为圆锥体的高度。

球体的体积：$V = \frac{4}{3} \pi r^3$，其中$r$ 为球体的半径。

这些公式只是一些常见的示例，实际上数学中还有很多其他的体积和面积公式，具体取决于不同的几何图形和问题。

记住在使用这些公式时，确保使用正确的单位和适当的数值代入。

高中数学必修2知识点总结归纳整理高中数学必修二空间几何体1.1 空间几何体的结构棱柱棱柱是由两个平行的底面和若干个四边形侧面组成的几何体。

底面多边形的边数不同，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

棱柱可以用各顶点的字母表示，例如五棱柱ABCDE或用对角线的端点字母表示，例如ABCDE。

棱柱的几何特征是：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面和对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

棱锥棱锥是由一个多边形底面和若干个三角形侧面组成的几何体。

底面多边形的边数不同，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

棱锥可以用各顶点的字母表示，例如五棱锥P-ABCDE。

棱锥的几何特征是：侧面和对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

棱台棱台是由一个平行于底面的平面截取棱锥而成的几何体。

底面多边形的边数不同，可以分为三棱台、四棱台、五棱台等。

棱台可以用各顶点的字母表示，例如四棱台ABCD-A'B'C'D'。

棱台的几何特征是：上下底面是相似的平行多边形；侧面是梯形；侧棱交于原棱锥的顶点。

圆柱圆柱是由一个矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。

圆柱的几何特征是：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。

圆锥圆锥是由直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。

圆锥的几何特征是：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。

圆台圆台是由一个平行于圆锥底面的平面截取圆锥而成的几何体。

圆台的几何特征是：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。

球体球体是由半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。

球体的几何特征是：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。

1.2 空间几何体的三视图和直观图1.中心投影与平行投影中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影。

高中数学立体几何笔记
一、几何体的基本概念
1、几何体：所谓几何体就是具有体积和表面积的平面图形组合而成的物体。

2、六面体：六面体是指拥有六个相等的面的几何体，例如正方体、立方体等。

六面
体的中心角都是90度，每一个角的夹角都是120度。

4、多面体：多面体指拥有三个以上的不同大小的平面图形组合而成的物体，例如棱柱、棱台等。

二、立体几何公式
1、体积：体积是指容器内部物质所占用的空间，以立方厘米为单位。

体积公式一般
主要有三角形和正多面体两种，推导时要根据物体的实际状态进行计算。

2、表面积：表面积指物体表面覆盖的地方，以平方厘米为单位，其公式也有很多种，也要根据物体实际的状态来推导出合理的公式。

3、代数公式：在计算立体几何中，有一些特殊的概念和计算方式，其中包括体积、
表面积、角度、体积系数等，熟练掌握其公式可以帮助学生理解立体几何，并能更加准确
的计算出几何图形的真实体积、表面积等物理参数。

棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积高中数学　1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．导语　在初中我们学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式及其表面积的求法，那么对于一个一般的棱柱或棱锥、棱台，它们的体积及表面积又如何来计算呢？一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积问题　我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、三棱锥、棱台的展开图是什么样子的？提示　知识梳理　多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们各个面的面积的和．例1　已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm 和6 cm ，高为 cm ，求此正三棱台的表面积．32解　如图所示，画出正三棱台ABC －A 1B 1C 1，其中O 1，O 为正三棱台上、下底面的中心，D ，D 1分别为BC ，B 1C 1的中点，则OO 1为正三棱台的高，DD 1为侧面梯形BCC 1B 1的高，四边形ODD 1O 1为直角梯形，所以DD 1＝＝＝，所OO 21＋(OD －O 1D 1)2(32)2＋(3－32)23以此三棱台的表面积S 表＝S 侧＋S 底＝3××(3＋6)×＋×32＋×62＝ (cm 2)．12334349934反思感悟　求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用(1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形．(2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形．跟踪训练1　已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S －ABCD 如图所示，求它的侧面积、表面积．解　∵四棱锥S －ABCD 的各棱长均为5，∴各侧面都是全等的正三角形．设E 为AB 的中点，连接SE (图略)，则SE ⊥AB ，∴S 侧＝4S △SAB ＝4×AB ×SE ＝2×5×＝25，S表＝S 侧＋S 底1252－(52)23＝25＋25＝25(＋1)．33二、棱柱、棱锥、棱台的体积知识梳理　几何体体积说明棱柱V 棱柱＝ShS 为棱柱的底面积，h 为棱柱的高棱锥V 棱锥＝Sh 13S 为棱锥的底面积，h 为棱锥的高棱台V 棱台＝(S ′＋＋S )h13S ′S S ′，S 分别为棱台的上、下底面面积，h 为棱台的高例2　(1)已知高为3的三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( )A. B.1412C. D.3634答案　D解析　设三棱锥B 1－ABC 的高为h ，则＝S △ABC h ＝××3＝.1B ABCV 锥－△△13133434(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm 和10 cm ，侧面面积为780 cm 2.求其体积．解　正四棱台的大致图形如图所示，其中A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20cm ，取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，则E1E 为斜高．设O 1，O 分别是上、下底面的中心，则四边形EOO 1E 1为直角梯形．∵S 侧＝4××(10＋20)×EE 1＝780(cm 2)，12∴EE 1＝13 cm.在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝A 1B 1＝5 cm ，OE ＝AB ＝10 cm ，1212∴O 1O ＝＝12(cm)．132－(10－5)2故该正四棱台的体积为V ＝×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm 3)．13反思感悟　求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)．常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥．利用正棱锥的有关知识来解决问题．跟踪训练2　如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1－BB 1D 1D 的体积为________．答案　13解析　由题意可知四棱锥A 1－BB 1D 1D 的底面是矩形，边长为1和，四棱锥的高为2A 1C 1＝，1222则四棱锥A 1－BB 1D 1D 的体积为V ＝×1××＝.1322213三、简单组合体的表面积与体积例3　现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍，若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？解　由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PO 1＝8 m.因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝·A 1B ·PO 1＝×62×2＝24 (m 3)，正四棱柱132113ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288 (m 3)，所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312 (m 3)，故仓库的容积是312 m 3.反思感悟　求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．跟踪训练3　如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截去三棱锥A 1－ABD ，求剩余的几何体A 1B 1C 1D 1－DBC 的表面积和体积．解　由图可知△A 1BD 是边长为a 的等边三角形，其面积为a 2，232故所求几何体A 1B 1C 1D 1－DBC 的表面积S ＝＋3S △1A BDS △DBC ＋3＝a 2＋3××a 2＋3a 2＝a 2.1111A B C D S △△△32123＋92几何体A 1B 1C 1D 1－DBC 的体积V ＝－＝a 3－××a ×a ×a1111ABCD A B C D V －△△△1A ABDV 锥－△△1312＝a 3.561．知识清单：(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．(2)棱柱、棱锥、棱台的体积．(3)组合体的表面积与体积．(4)棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系．2．方法归纳：等体积法、割补法．3．常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚．1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm ，则长方体的体积为( )A ．27 cm 3 B ．60 cm 3 C ．64 cm 3 D ．125 cm 3答案　B解析　V 长方体＝3×4×5＝60(cm 3)．2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的( )A.B.1213C. D ．不确定14答案　B解析　令正方体棱长为a ，则V 正方体＝a 3，V S －ABCD ＝×a 2×a ＝a 3，1313∴V 四棱锥S －ABCD ＝V 正方体．133．已知正四棱锥，其底面边长为8，侧棱长为，则正四棱锥的侧面积为( )41A ．48 B ．64 C ．80 D ．120答案　C4．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积为________．答案　6＋22解析　V 棱台＝×(2＋4＋)×3132×4＝×3×(6＋2)132＝6＋2.2课时对点练1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )A ．48 B ．64 C ．16 D ．966答案　B2．已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是( )A ．8 B ．16 2C ．8＋12 D ．8＋1622答案　D3．一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为( )A. B ．2 C. D ．31213答案　B解析　设棱柱的高为h ，底面积为S ，则棱锥的高为h ，底面积为S ，故二者的体积之比为32＝＝＝2.V 1V 2Sh13×32Sh214.如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A. B.1312C. D.2334答案　C解析　∵V 三棱锥C －A ′B ′C ′＝V 三棱柱ABC －A ′B ′C ′＝，1313∴V 四棱锥C －AA ′B ′B ＝1－＝.13235．正四棱柱的侧棱长为5，它的体对角线的长为，则这个棱柱的表面积是( )43A ．15 B ．60 2C ．78 D ．602答案　C解析　如图所示，正四棱柱的侧棱长为AA 1＝5，对角线长为BD 1＝，则(AB )4322＋52＝43，解得AB ＝3，所以这个棱柱的表面积为2×3×3＋4×5×3＝78.6．(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上下两部分的高之比为1∶2，则关于上下两几何体的说法正确的是( )A ．侧面积之比为1∶4 B ．侧面积之比为1∶8C ．体积之比为1∶27 D ．体积之比为1∶26答案　BD解析　依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.7．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC 的中点，则三棱锥3A －B 1DC 1的体积为______．答案　1解析　∵正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC 的中点，3∴底面B 1DC 1的面积为×2×＝.1233三棱锥A －B 1DC 1的高就是底面正三角形的高.3三棱锥A －B 1DC 1的体积为××＝1.13338．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm 和18cm ，侧棱长为13cm ，则其表面积为______ cm 2.答案　1 012解析　易知正四棱台侧面为等腰梯形，其高为＝12，所以正四棱台的表面积132－52S ＝4××(8＋18)×12＋82＋182＝1 012(cm 2)．129．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积．解　如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，体对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9，∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92，∴a 2＝200，b 2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB 2＝2＋2＝＝＝64，(AC 2)(BD 2)a 2＋b 24200＋564∴AB ＝8.∴直四棱柱的侧面积S 侧＝4×8×5＝160.直四棱柱的底面积S 底＝AC ·BD ＝20.127直四棱柱的表面积S 表＝160＋2×20＝160＋40.7710.如图，正六棱锥被过棱锥高PO 的中点O ′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO ′和较小的棱锥PO ′.(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；(2)若大棱锥PO 的侧棱长为12 cm ，小棱锥的底面边长为4 cm ，求截得的棱台的侧面面积和表面积．解　(1)由题意知S 小棱锥侧∶S 大棱锥侧＝1∶4，则S 大棱锥侧∶S 小棱锥侧∶S 棱台侧＝4∶1∶3.(2)如图所示，∵小棱锥的底面边长为4 cm ，∴大棱锥的底面边长为8 cm ，又PA ＝12 cm ，∴A 1A ＝6 cm.又梯形ABB 1A 1的高h ′＝62－22＝4(cm)，2∴S 棱台侧＝6××4＝144(cm 2)，4＋8222∴S 棱台表＝S 棱台侧＋S 上底＋S 下底＝144＋24＋96＝(144＋120)(cm 2)．2332311.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m 2，互相平行的两个侧面的距离为1 m ，则这个六棱柱的体积为( )A. m 3B. m 333434C ．1 m 3D. m 312答案　B解析　设正六棱柱的底面边长为am ，高为hm ，则2ah ＝1，a ＝1，解得3a ＝，h ＝，所以六棱柱的体积V ＝×2×6×＝(m 3)．333234(33)323412．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的表面积是( )A.a 2 B.a 2 C.a 2 D.a 23＋34343＋326＋34答案　A解析　如图，PA ，PB ，PC两两垂直且PA ＝PB ＝PC ，△ABC 为等边三角形，AB ＝a ，∴PA ＝PB ＝PC ＝a ，22∴表面积为×a 2＋×2×3＝a 2＋a 2＝a 2.3412(22a)34343＋3413．如图，三棱台ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1∶AB ＝1∶2，则三棱锥A 1－ABC ，A 1－B 1C 1B ，A 1－C 1BC 的体积之比为( )A ．1∶1∶1B ．2∶1∶1C ．4∶2∶1D ．4∶1∶2答案　D解析　设三棱台的高为h ，则由题可知三棱锥A 1－ABC 的体积V 1＝×h ×S △ABC ，三棱锥13A 1－B 1C 1B 的体积V 2＝×h ×＝×h ××S △ABC ，三棱锥A 1－C 1BC 的体积13111A B C S △1314V 3＝2V 2，所以三棱锥A 1－ABC ，A 1－B 1C 1B ，A 1－C 1BC 的体积之比为4∶1∶2.14.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M －EFGH 的体积为________．答案　112解析　连接AD 1，CD 1，B 1A ，B 1C ，AC (图略)，∵E ，H 分别为AD 1，CD 1的中点，∴EH ∥AC ，EH ＝AC .12∵F ，G 分别为B 1A ，B 1C 的中点，∴FG ∥AC ，FG ＝AC ，12∴EH ∥FG ，EH ＝FG ，∴四边形EHGF 为平行四边形，又EG ＝HF ，EH ＝HG ，∴四边形EHGF 为正方形．又四棱锥M －EFGH 的高为，12∴四棱锥M －EFGH 的体积为×2×＝.13(22)1211215.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为________．答案　36解析　易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1，2∴S 表＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36.2∴该几何体的表面积为36.16．在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E －ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M －EBC 的体积为多少？解　设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2，连接MD ，因为M 是AE 的中点，所以V M －ABCD ＝V ，所以V E －MBC ＝V －V E －MDC .1212而V E －MBC ＝V B －EMC ，V E －MDC ＝V D －EMC ，所以＝＝.VE －MBC VE －MDC VB －EMC VD －EMC h 1h 2因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，所以＝.h 1h 232所以V E －MBC ＝V M －EBC ＝V .310。