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7．1简单几何体的侧面积学习目标 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，把握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培育空间想象能力和思维能力．知识点一圆柱、圆锥、圆台的表面积试探1 圆柱OO′及其侧面展开图如下，那么其侧面积为多少？表面积为多少？试探2 圆锥SO及其侧面展开图如下，那么其侧面积为多少？表面积为多少？试探3 圆台OO′及其侧面展开图如下，那么其侧面积为多少？表面积为多少？梳理圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式知识点二直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积试探1 类比圆柱侧面积的求法，你以为如何求直棱柱的侧面积？若是直棱柱底面周长为c，高为h，那么直棱柱的侧面积是什么？试探2 正棱锥的侧面展开图如图，设正棱锥底面周长为c，斜高为h′，如何求正棱锥的侧面积？试探3 以下图是正四棱台的展开图，设下底面周长为c，上底面周长为c′，你能依照展开图，归纳出正n棱台的侧面面积公式吗？梳理棱柱、棱锥、棱台侧面积公式类型一旋转体的侧面积(表面积)例1 (1)一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积为( )A．3πB．4πC．2π＋4 D．3π＋4(2)圆台的上、下底面半径别离为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________cm2.(结果中保留π)反思与感悟圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将那个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．跟踪训练1 (1)圆柱的侧面展开图是两边长别离为6π和4π的矩形，那么圆柱的表面积为( )A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部份，那么这两部份侧面积的比为( )A．1∶1B．1∶2C．1∶3D．1∶4类型二多面体的侧面积(表面积)及应用例2 某几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积等于( )A．8＋2 2 B．11＋22C．14＋2 2 D．15反思与感悟多面体中的有关计算通常转化为平面图形(三角形或特殊的四边形)来计算，关于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影组成的直角三角形，或由棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的投影组成的直角三角形．跟踪训练2 已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边长都是8 cm，求它的侧面积．类型三组合体的侧面积(表面积)命题角度1 由三视图求组合体的表面积例3 某几何体的三视图(单位：cm)如下图，那么此几何体的表面积是________cm2.反思与感悟关于此类题目：(1)将三视图还原为几何体；(2)组合体的表面积应注意重合部份的处置．跟踪训练3 一个几何体的三视图如下图(单位：m)，那么该几何体的表面积为________m2.命题角度2 由旋转形成的组合体的表面积例4 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求此旋转体的表面积．反思与感悟 (1)关于由大体几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的阻碍．(2)关于从大体几何体中切掉或挖掉的部份组成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的转变．跟踪训练4 已知△ABC 的三边长别离是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积．1．一个圆锥的表面积为πa m 2，且它的侧面展开图是一个半圆，那么圆锥的底面半径为( ) A.2a 2 m B.3a 3 m C.a 2 m D.5a 5m 2．一个正三棱台的上、下底面边长别离为3 cm 和6 cm ，高是32 cm.那么三棱台的侧面积为( ) A ．27 3 cm 2B.2732cm 2C.32cm 2D. 3 cm 23．一个几何体的三视图(单位长度：cm)如下图，那么此几何体的表面积是( )A ．(80＋162)cm 2B ．84 cm 2C ．(96＋162)cm 2D ．96 cm 24．假设圆台的上下底面半径别离是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，那么圆台的母线长是________．5．正三棱锥S －ABC 的侧面积是底面积的2倍，它的高SO ＝3，求此正三棱锥的侧面积．1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，确实是说将已知条件尽可能归结到轴截面中求解．而关于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解． 3．S 圆柱表＝2πr (r ＋l )；S 圆锥表＝πr (r ＋l )；S 圆台表＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2)．答案精析问题导学 知识点一试探1 S 侧＝2πrl ，S 表＝2πr (r ＋l )． 试探2 底面周长是2πr ，利用扇形面积公式得S 侧＝12×2πrl ＝πrl ， S 表＝πr 2＋πrl ＝πr (r ＋l )．试探3 圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，xx ＋l ＝r R，解得x ＝rR －rl . S 扇环＝S 大扇形－S 小扇形＝12(x ＋l )×2πR －12x ·2πr ＝π[(R －r )x ＋Rl ]＝π(r ＋R )l ，因此，S 圆台侧＝π(r ＋R )l ，S 圆台表＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2)．梳理 2πr 22πrl 2πr (r ＋l ) πr 2πrl πr (r ＋l ) πr ′2πr 2π(r ′l ＋rl ) π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl ) 知识点二 试探1利用直棱柱的侧面展开图求棱柱的侧面积．展开图如图，不难求得S 直棱柱侧＝ch . 试探 2 正棱锥的侧面积确实是展开图中各个等腰三角形面积之和，不宝贵到S正棱锥侧＝12ch ′.试探3 S 正棱台侧＝12n (a ＋a ′)h ′＝12(c ＋c ′)h ′.题型探讨例1 (1)D (2)1 100π 解析 (1)由三视图可知， 该几何体为：故表面积为πr 2＋2πr 2l ＋l 2＝π＋2π＋4＝3π＋4. (2) 如下图，设圆台的上底面周长为c ， 因为扇环的圆心角是180°， 故c ＝π·SA ＝2π×10， 因此SA ＝20，同理可得SB ＝40， 因此AB ＝SB －SA ＝20， 因此S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 ＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22 ＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2)．故圆台的表面积为1 100π cm 2.跟踪训练1 (1)C [由题意，圆柱的侧面积S 侧＝6π×4π＝24π2. ①当以边长为6π的边为母线时，4π为圆柱底面周长，那么2πr ＝4π， 即r ＝2，因此S 底＝4π， 因此S 表＝S 侧＋2S 底＝24π2＋8π ＝8π(3π＋1)．②当以边长为4π的边为母线时，6π为圆柱底面周长，那么2πr ＝6π， 即r ＝3，因此S 底＝9π， 因此S 表＝S 侧＋2S 底＝24π2＋18π ＝6π(4π＋3)．](2)C [如下图，PB 为圆锥的母线，O 1，O 2别离为截面与底面的圆心．因为O 1为PO 2的中点，因此PO 1PO 2＝PA PB ＝O 1A O 2B ＝12， 因此PA ＝AB ，O 2B ＝2O 1A . 又因为S 圆锥侧＝π·O 1A ·PA ，S 圆台侧＝π·(O 1A ＋O 2B )·AB ，则S 圆锥侧S 圆台侧＝O 1A ·PA O 1A ＋O 2B ·AB ＝13.] 例2 B[该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱．S 表＝2×12×(1＋2)×1＋2×1＋2×1＋2×2＋2×2＝11＋22，应选B.]跟踪训练2 解 方式一在Rt△B 1FB 中，B 1F ＝h ′，BF ＝12(8－4)＝2(cm)， B 1B ＝8 cm ，∴B 1F ＝82－22＝215(cm)，∴h ′＝B 1F ＝215 cm.∴S 正棱台侧＝12×4×(4＋8)×215＝4815(cm 2)．方式二 延长正四棱台的侧棱交于点P ，如图，设PB 1＝x cm ， 则xx ＋8＝48， 得x ＝8 cm. ∴PB 1＝B 1B ＝8 cm ， ∴E 1为PE 的中点．∴PE 1＝82－22＝215(cm)．PE ＝2PE 1＝415 cm.∴S 正棱台侧＝S 大正棱锥侧－S 小正棱锥侧 ＝4×12×8×PE －4×12×4×PE 1＝4×12×8×415－4×12×4×215＝4815(cm 2)． 例3 138解析 将三视图还原为长方体与直三棱柱的组合体，再利用表面积公式求解．该几何体如下图，长方体的长，宽，高别离为6 cm ，4 cm,3 cm ，直三棱柱的底面是直角三角形，边长别离为 3 cm ，4 cm,5 cm ，因此表面积S ＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5×3＋4×3＋2×12×4×3＝99＋39＝138(cm 2)．跟踪训练3 12π＋42π例4 解 如下图，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥组成的．在直角梯形ABCD 中，AD ＝a ，BC ＝2a ，AB ＝(2a －a )tan 60°＝3a ，DC ＝2a －a cos 60°＝2a ， 又DD ′＝DC ＝2a ，则S 表＝S 圆柱表＋S 圆锥侧－S 圆锥底＝2π·2a ·3a ＋2π·(2a )2＋π·a ·2a －πa 2＝(9＋43)πa 2.跟踪训练4 解 如图，在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB ，垂足为点D .由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，知AC 2＋BC 2＝AB 3，则AC ⊥BC .因此BC ·AC ＝AB ·CD ，因此CD ＝125， 记为r ＝125， 那么△ABC 以AB 为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r ＝125，母线长别离是AC ＝3，BC ＝4，因此S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π. 当堂训练1．B2．B [如图，O 1，O 别离是上、下底面中心，那么O 1O ＝32cm ，连接A 1O 1并延长交B 1C 1于点D 1，连接AO 并延长交BC 于点D ，过D 1作D 1E ⊥AD 于点E .在Rt△D 1ED 中，D 1E ＝O 1O ＝32cm ， DE ＝DO －OE ＝DO －D 1O 1＝13×32×(6－3) ＝32 (cm)， DD 1＝D 1E 2＋DE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝ 3 (cm)， 因此S 正三棱台侧＝12(c ＋c ′)·DD 1＝2732(cm 2)．] 3．A5．解设正三棱锥底面边长为a ，斜高为h ′，如下图，过O 作OE ⊥AB ，连接SE ， 则SE ⊥AB ，且SE ＝h ′. 因为S 侧＝2S 底， 因此12×3a ×h ′＝34a 2×2. 因此a ＝3h ′.因为SO ⊥OE ，因此SO 2＋OE 2＝SE 2.因此32＋(36×3h ′)2＝h ′2. 因此h ′＝23，因此a ＝3h ′＝6.因此S底＝34a2＝34×62＝9 3.因此S侧＝2S底＝18 3.。
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．圆柱的一个底面积为，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )．π．π．ππ解析：设底面半径为，高为，则π＝，且π＝.∴圆柱侧面积为π＝π＝π.答案：．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )．＋．．＋．解析：由三视图知原几何体是一个底面边长为，高是的正四棱锥．如图：∵＝，＝，∴＝.又∵侧＝×××＝，底＝×＝，∴表＝侧＋底＝＋.答案：．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )．＋．＋．＋．＋解析：从所给的三视图可以得到该几何体的直观图，如图所示，结合图中的数据，利用勾股定理计算出各边的长度，进而求出面积．表＝底＋侧＝××＋××＋××＋××＝＋.答案：．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是π，则母线长为( )．．．．解析：设圆台的上、下底面圆半径分别为，，母线长为，则π(＋)＝π，即(＋)＝.又∵＝(＋)，∴＝，即＝，∴＝.答案：二、填空题(每小题分，共分)．如图，在一个几何体的三视图中，主视图和左视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形(如下图)，根据图中标注的长度，可以计算出该几何体的表面积是．解析：如图，该几何体为底面为等腰直角三角形的直棱柱．由图知＝，＝，⊥.∴表＝·＋××＋×＝＋.答案：＋．如图所示，一个正方体的棱长为，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为的圆柱。
