简单几何体表面积

《简单几何体的表面积与体积》说课稿各位老师，大家好：今天我说课的内容是《简单几何体的表面积与体积》。

本节位于必修课程主题三几何与代数对应立体几何初步这一单元。

本节之前从形的角度认识了空间几何体，接下来将从度量的角度进一步认识空间几何体。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学分析、教学评价等六方面加以分析和说明。

一、说教材分析。

1. 内容结构：2.内容分析：本节主要内容是简单几何体的表面积和体积的计算方法，是在前面学习了基本立体图形的分类、概念、结构特征、平面表示的基础上，从度量的角度进一步认识简单几何体．也是研究生产、生活中更复杂形状的物体的表面积和体积的基础。

本节内容包括棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积．3.育人价值：在实际教学过程中，在对简单几何体的表面积与体积公式的了解与使用公式解决简单的实际问题过程中，提高学生逻辑推理、数学运算、直观想象等素养和空间想象等能力，让学生体会数学来源于生活，激发学习激情。

二、说学情分析。

1.学生在小学、初中阶段已经学习了正方体、长方体、圆柱的表面积和体积以及圆锥体积的计算方法．2.通过之前的学习，学生已经熟悉一些平面图形和空间几何体的互化的思想，尤其是空间几何问题向平面问题的转化。

3.学习圆的面积公式时“分割、近似替代、求和、取极限”这种思想已有体现，现在需要学生进一步体会这种重要思想方法。

三、说教学目标。

目标：1）.掌握简单几何体的表面积和体积公式，并能利用这些公式解决简单的实际问题； 简单几何体的表面积和体积 柱体、椎体、台体的表面积和体积 球的表面积和体积（第三课时） 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积（第二课时） 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(第一课时) 球的体积球的表面积2）.柱体、锥体、台体、球的体积公式的推导过程，掌握探究过程中的类比、一般化与特殊化、极限等数学思想方法，并尝试使用这些数学思想方法进行数学学习．目标分析：（1）学生能结合基本立体图形的结构特征掌握简单几何体的表面积和体积公式；能从联系的角度认识柱体、锥体、台体的体积公式的联系。

表面积的算法
表面积是一个物体表面所占据的空间大小，通常用平方单位来表示。

在日常生活中，我们经常需要计算物体的表面积，比如房屋的墙面积、汽车的车身面积等等。

因此，掌握表面积的算法是非常重要的。

对于简单的几何体，如正方体、长方体、圆柱体等，计算表面积的算法比较简单。

以正方体为例，它的表面积等于六个面积之和，即
2a²+2b²+2c²，其中a、b、c分别为正方体的三条棱长。

同样地，长方体的表面积等于2ab+2bc+2ac，圆柱体的表面积等于2πrh+2πr²，其中r为圆柱体的底面半径，h为圆柱体的高。

对于复杂的几何体，如球体、锥体、棱锥体等，计算表面积的算法就比较复杂了。

以球体为例，它的表面积等于4πr²，其中r为球体的半径。

对于锥体和棱锥体，它们的表面积分别为πr(l+r)和πr(l+r+s)，其中r为锥体或棱锥体的底面半径，l为锥体或棱锥体的斜高，s为棱锥体的棱长。

除了几何体的表面积，我们还需要掌握曲面的表面积计算方法。

曲面的表面积通常用积分来计算，需要掌握一定的数学知识。

以旋转曲面为例，它的表面积等于2π∫yds，其中y为曲线到旋转轴的距离，ds为曲线的微元弧长。

掌握表面积的算法对于我们日常生活和工作都非常重要。

我们需要根据不同的几何体和曲面，选择合适的算法来计算表面积，以便更
好地应用于实际问题中。

几何体的表面积计算几何体是我们在数学学习中经常遇到的一个概念，它是由平面图形沿着一条封闭曲线绕成的立体图形。

在计算几何体的体积和表面积时，我们需要掌握一些基本公式和方法。

本文将介绍几种常见几何体的表面积计算方法，并附上相应公式以便读者可以灵活运用。

一、立方体的表面积计算立方体是最简单的几何体之一，它的六个面都是正方形。

当我们知道立方体的边长时，可以使用以下公式计算其表面积：表面积 = 6 ×边长^2二、长方体的表面积计算长方体是另一个常见的几何体，它的六个面由矩形构成。

计算长方体的表面积时，需要知道它的长、宽和高。

可以使用以下公式计算：表面积 = (2 ×长 ×宽) + (2 ×长 ×高) + (2 ×宽 ×高)三、正方体的表面积计算正方体是一种特殊的立方体，它的六个面都是正方形且边长相等。

若已知正方体的边长，则可以使用以下公式计算其表面积：表面积 = 6 ×边长^2四、圆柱体的表面积计算圆柱体由两个平行且相等的圆和一个连接两个圆的曲面组成。

计算圆柱体的表面积时，需知道底面圆的半径和圆柱体的高。

可以使用以下公式计算：表面积= 2πr^2 + 2πrh其中，r为底面圆的半径，h为圆柱体的高。

五、球体的表面积计算球体是三维空间中的一个曲面，它的表面全是由曲线线圈构成的。

计算球体的表面积时，需要知道它的半径。

可以使用以下公式计算：表面积= 4πr^2其中，r为球体的半径。

六、圆锥的表面积计算圆锥是由一个圆锥面和一个底面为圆的锥体组成。

计算圆锥的表面积时，需知道锥体的高、底面圆的半径和母线长度。

可以使用以下公式计算：表面积= πr^2 + πrL其中，r为底面圆的半径，L为母线的长度。

七、正四面体的表面积计算正四面体是由四个全等的三角形构成的立体图形。

计算正四面体的表面积时，需要知道它的边长。

可以使用以下公式计算：表面积= √3 × 边长^2我们通过以上七个例子介绍了常见几何体的表面积计算方法，并提供了相应的公式。

几何体的表面积计算几何体的表面积是指该几何体所有外部表面的总面积。

在几何学中，我们常常需要计算各种几何体的表面积，以便对物体进行测量、建模或解决实际问题。

本文将介绍几个常见几何体的表面积计算方法。

一、立方体的表面积计算立方体是最简单的几何体之一，具有六个完全相等的正方形面。

对于一个边长为a的立方体，其表面积S可以通过公式S=6a^2进行计算。

二、长方体的表面积计算长方体是由长方形延长而成的几何体，其有三对相等的矩形面。

一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么其表面积S可以通过公式S=2(ab+ac+bc)来计算。

三、球体的表面积计算球体是一个完全由半径为r的圆所围成的几何体，其表面积是所有表面的总面积。

一个球体的表面积S可以通过公式S=4πr^2来计算，其中π是圆周率，约等于3.14159。

四、圆柱体的表面积计算圆柱体由两个平行的圆面和一个连接两个圆面的侧面组成。

如果圆柱体的底面半径为r，高度为h，那么其表面积S可以通过公式S=2πr^2+2πrh来计算。

五、圆锥体的表面积计算圆锥体由一个底面为圆形的圆锥和一个侧面组成。

如果圆锥体的底面半径为r，侧面的长度为l，那么其表面积S可以通过公式S=πr^2+πrl来计算。

六、正四面体的表面积计算正四面体是最简单的等边三角形组成的几何体，它有四个面。

如果正四面体的边长为a，那么其表面积S可以通过公式S=√3a^2来计算。

七、正六面体的表面积计算正六面体是由六个完全相等的正方形所围成的几何体。

如果正六面体的边长为a，那么其表面积S可以通过公式S=6a^2来计算。

八、正八面体的表面积计算正八面体是由八个完全相等的正等边三角形所围成的几何体。

如果正八面体的边长为a，那么其表面积S可以通过公式S=2√3a^2来计算。

需要注意的是，表面积的计算需要根据具体几何体的形状和特征使用适当的公式，并注意正确使用单位。

同时，对于不规则的几何体，可以将其分解成若干规则的几何体进行计算，然后将结果加总得到最终的表面积。

第二节简单几何体的表面积和体积复习目标学法指导1.柱、锥、台体的表面积和体积公式.2.球的表面积和体积公式.3.一些简单组合体表面积和体积的计算.4.柱、锥、台体之间关系.(发展要求)1.搞清楚几何体的表面积包括侧面积和底面积.2.求侧面积时,往往需要研究侧面展开图.3.会分解简单组合体为常见的柱、锥、台,进一步求出面积、体积.4.所有公式均不要求记忆.空间几何体的表面积和体积公式如下表面积体积S表=S侧+2S底表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和棱柱的底面积为S,高为h,V=S·hV柱=S·hS=S′V台=13(S′+S S +S)h S表=S侧+S底棱锥的底面积为S,高为h,V=13S ·h S ′=0 V 锥=13S ·hS 表=S 侧+ S 上底+S 下底棱台的上、下底面 面积分别为S ′,S,高为h, V=13(S ′+ S S+S)h圆柱的底面半径和母线长分别为r,lS 表=2πr 2+2πrl 圆柱的高为h,V=πr 2h圆锥的底面半径和母线长分别为r,l S 表=πr 2+πrl 圆锥的高为h,V=13πr 2h圆台的上、下底面半 径和母线长分圆台的高为h,V=13π(r ′2+别为r,r′,l,S表=π(r′2+r2+r′l+rl)r′r+r2)h球球半径为R,S球=4πR2V球=43πR31.概念理解(1)表面积应为侧面积和底面积的和,要注意组合体中哪些部分暴露或遮挡.(2)求空间几何体体积的常用方法①公式法:直接根据相关的体积公式计算.②等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.③割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体.2.求面积或体积中相关联的结论几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,①正方体的外接球,则3②正方体的内切球,则2R=a;③球与正方体的各棱相切,则2(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=222a b c ++.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是( A )(A)4πS (B)2πS (C)πS (D)23πS 解析:由πr 2=S 得圆柱的底面半径是πS , 故侧面展开图的边长为2π·πS =2πS,所以圆柱的侧面积是4πS.故选A.2.正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC 的中点,则三棱锥A-B 1DC 1的体积为 . 解析:如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, 因为AD ⊥BC,AD ⊥BB 1, BB 1∩BC=B,所以AD ⊥平面B 1DC 1. 所以11A B DC V-=1113B DC S ∆·AD=13×12×233=1. 答案:13.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为 cm 3,表面积为 cm 2.解析:由三视图可得该几何体为二分之一圆锥, 圆锥的底面半径为1,高为2,所以可得该几何体的体积为12×13×π×12×2=π3, 该几何体的表面积为12×π×12+12π×114++12×2×2=)51π2+2.答案: π3)51π2+24.已知正四棱锥O-ABCD 32,3,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积是 . 解析:设O 到底面的距离为h,则13×3×32,解得32()()2233+62262h ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭6故球的表面积为4π×62=24π.答案:24π5.(2019·浙江宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形,侧视图为直角三角形,则该三棱锥的表面积为,该三棱锥的外接球体积为.解析:由三视图得几何体的直观图如图.所以S表=2×12×2×2+12×3512×3 1153如图,作DE⊥DB,以D为原点,DB所在直线为x轴,DE所在直线为y 轴,DA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则3设球心坐标为(x,y,z),因为(x-2)2+y2+z2=x2+y2+z2,①x2+y2+(z-2)2=x2+y2+z2,②(x+1)23)2+z2=x2+y2+z2,③所以x=1,y=3,z=1,所以球心的坐标是(1,3,1), 所以球的半径是()222131++=5.所以球的体积是43π×(5)3=2053π.答案:4+15+32053π考点一几何体的表面积[例1] (1)(2018·金丽衢十二校联考)某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形,俯视图是边长为2的正方形,则此四面体的最大面的面积是( )(A)2 23(D)4(2)(2019·湖州模拟)某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧,则该几何体的表面积为( )(A)4π3(B)5π3(C)4π3(D)5π3(3)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π,则其母线与轴的夹角的大小为;(4)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形,若四棱锥S-ABCD的体积取值范围为4383],则该四棱锥外接球表面积的取值范围是.解析:(1)因为几何体为一个四面体,六条棱长分别为2223所以四面体的四个面的面积分别为12×2×2=2,12×2×2212×2×221 2×22sin π33因此四面体的最大面的面积是3.故选C.(2)由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16,两个底面面积之和为2×12×2×3=23;半圆柱的侧面积为π×4=4π,两个底面面积之和为2×12×π×12=π,所以几何体的表面积为5π+16+23,故选D.(3)设圆锥底面半径为r,母线长为l,母线与轴夹角为θ, 则=22π122rl r l r⋅-2π,r l=3,即sin θ=3,θ=π3. 解析:(4)四棱锥S-ABCD 中,可得AD ⊥SA,AD ⊥AB ⇒AD ⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD,过S 作SO ⊥AB 于O,则SO ⊥平面ABCD, 设∠SAB=θ, 故S ABCDV-=13S 四边形ABCD ·SO=83sin θ, 所以sin θ∈[3,1]⇒θ∈[π3,2π3]⇒-12≤cos θ≤12, 在△SAB 中,SA=AB=2, 则有SB=221cos θ-,所以△SAB 的外接圆半径r=2sin SBθ=21cos θ-,将该四棱锥补成一个以SAB 为一个底面的直三棱柱,得外接球的半径R=21r +⇒S=4πR2=4π(21cos θ++1), 所以S ∈[28π3,20π]. 答案:(1)C (2)D (3)π3答案:(4)[28π3,20π] (1)已知几何体的三视图求其表面积,一般是先根据三视图判断空间几何体的形状,再根据题目所给数据与几何体的表面积公式,求其表面积.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.1.(2019·浙江十校联盟)如图所示,已知某几何体的三视图及其尺寸(单位:cm),则该几何体的表面积为( C )(A)15π cm2(B)21π cm2(C)24π cm2(D)33π cm2解析:由三视图可知,则该几何体是一个圆锥,圆锥的底面半径为3,母线长为5,故该几何体的表面积为S表=πr2+πrl=π×32+π×3×5=24π(cm2).故选C.2.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( A )(A)81π4(B)16π(C)9π(D)27π4解析:易知球心在正四棱锥的高上,设球的半径为R,则(4-R)2+(2)2=R2, 解得R=94,所以球的表面积为4π×(94)2=814π.故选A.考点二几何体的体积[例2] (1)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )(A)12cm3(B)1 cm3(C)16 cm3 (D)13cm3(2)(2018·天津卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD 外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H, M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.解析:(1)由题意,根据给定的三视图可知,该几何体表示一个底面为腰长为1的等腰直角三角形,高为1的三棱锥, 如图所示,所以该三棱锥的体积为V=13×12×1×1×1=16(cm 3),故选C.解析:(2)依题意,易知四棱锥M-EFGH 是一个正四棱锥,且底面边长为2,高为12. 故M EFGHV=13×(2)2×12=112. 答案:(1)C 答案:(2)112(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解,其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( D )(A)60 (B)30 (C)20 (D)10解析:如图,把三棱锥A-BCD 放到长方体中,长方体的长、宽、高分别为5,3,4,△BCD 为直角三角形,直角边分别为5和3,三棱锥A-BCD 的高为4,故该三棱锥的体积V=13×12×5×3×4=10.故选D.考点三 与面积、体积相关的综合问题[例3] (1)若一个正四面体的表面积为S 1,其内切球的表面积为S 2,则12S S = ;(2)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,点A,B,C,D 折叠后对应点为A ′,B ′,C ′,D ′,使B ′D ′=a,则三棱锥D ′-A ′B ′C ′的体积为 .解析:(1)设正四面体棱长为a,则正四面体的表面积为 S 1=43a 23a2,正四面体的高2233a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6a,由13r ·S 1=1332·h 知r=146a. 因此内切球的表面积为S 2=4πr 2=2π6a,则12S S 2236a a 63.解析:(2)如图所示,正方形ABCD 及折叠后的直观图.易知在直观图中,A ′B ′=B ′C ′=C ′D ′=D ′A ′=a, 且A ′D ′⊥D ′C ′,A ′B ′⊥B ′C ′, 取A ′C ′的中点E,连接D ′E,B ′E, 则D ′E ⊥A ′C ′,D ′E=EB ′=2a,所以D ′E ⊥EB ′,所以D ′E ⊥平面A ′B ′C ′. D ′E 即为三棱锥D ′-A ′B ′C ′的高. 故D A B C V''''-=13S △A ′B ′C ′·D ′E =13×12×a ×a ×2a=2a 3.答案:(1)63 答案:(2)2a 3(1)①解决与球有关问题的关键是球心及球的半径,在球中球心与截面圆圆心的连线、截面圆圆心与截面圆周上一点、该点与球心的连线构成一个直角三角形.②解决多面体(或旋转体)的外接球、内切球问题的关键是确定球心在多面体(或旋转体)中的位置,找到球半径(或直径)与几何体相关元素之间的关系.有时将多面体补形为正(长)方体再求解.(2)求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.1.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为( C ) (A)3172 (B)210(C)132(D)310解析:如图,由球心作平面ABC 的垂线, 则垂足为BC 的中点M.又AM=12BC=52,OM=12AA 1=6, 所以球O 的半径 R=OA=22562⎛⎫+ ⎪⎝⎭=132. 故选C.2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 ,体积是 .解析:本题考查空间几何体的三视图、体积和表面积的计算.由三视图得该几何体为底面是以上底为1,下底为3,高为3的直角梯形,高为3的直四棱柱,则其表面积为2×3×1+32+3×3+1×3+3×3+3×13=33+313,体积为3×3×1+32=18.答案:33+31318考点四易错辨析[例4] (2019·浙江绍兴模拟)如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( )(A)5π3 (B)8π3(C)10π3(D)12+2π3解析:由题得,几何体是水平放置的一个圆柱和半个球,所以该几何体的体积为V=43π×13×12+π×12×2=83π,故选B.正确解决此类问题应注意确认几何体的形状时,要紧扣三视图,不能凭感觉去确定.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为4,且底面是边长为2的正三角形,用一平面截此棱柱,与侧棱AA1,BB1,CC1分别交于三点M,N,Q,若△MNQ 为直角三角形,则该直角三角形斜边长的最小值为( C ) 2(B)3 3(D)4解析:如图,不妨设N在B处,AM=h,CQ=m,则有MB2=h2+4,BQ2=m2+4,MQ2=(h-m)2+4,由MB2=BQ2+MQ2,得m2-hm+2=0.则Δ=h2-8≥0,即h2≥8,所以该直角三角形的斜边MB≥23.故选C.类型一几何体的表面积1.如图是一个封闭几何体的三视图,则该几何体的表面积为( C )(A)7π cm2(B)8π cm2(C)9π cm2(D)11π cm2解析:依题意,题中的几何体是从一个圆柱中挖去一个半球后所剩余的部分,其中圆柱的底面半径是1 cm、高是 3 cm,球的半径是1 cm,因此该几何体表面积等于12×(4π×12)+π×12+2π×1×3=9π(cm2).故选C.2.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( B )(A)28+65(B)30+65(C)56+125(D)60+125解析:根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图如图,此几何体为一个底面为直角三角形,高为4的三棱锥,因此表面积为S=12×(2+3)×4+12×4×5+12×4×(2+3)+12×5415 5故选B.类型二几何体的体积3.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )(A)72π(B)48π(C)30π(D)24π解析:由三视图知该几何体是由一个半球和一个圆锥构成的组合体,所以其体积为V=12×43π×33+13π×32×4=30π.故选C.4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( D )(A)π2(B)1+π2(C)1+π(D)2+π解析:由三视图可得,该几何体是一个长方体和半个圆柱的组合体,则该几何体的体积为V=12×2+12×π×12×2=2+π,故选D.5.(2018·全国Ⅲ卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为3则三棱锥D-ABC体积的最大值为( B )3333解析:由等边△ABC的面积为3323,所以AB=6,所以等边△ABC的外接圆的半径为r=33AB=23.设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d=22R r-=1612-=2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6=183.故选B.6.(2019·名校协作体模拟)某几何体的三视图(单位:mm)如图所示,则它的体积是cm3,表面积是cm2.解析:由三视图得该几何体底面是一个以上底为2,下底为4,高为3的直角梯形,高为33的四棱锥,则其体积为13×33×2+42×3=93(cm3),表面积为1 2×3×33+2+42×3+12×3×2+12×3×4+12×5×33=(18+63)(cm2).答案:93(18+63)7.(2018·江苏卷)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.解析:由题意知所给的几何体是棱长均为2的八面体,它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的,正四棱锥的高为1,所以这个八面体的体积为2V 正四棱锥=2×13×(2)2×1=43.答案:43类型三 面积、体积综合问题8.(2018·浙江绍兴质量调测)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( A )(A)83 (B)8 (C)203(D)6 解析:如图所示,在棱长为2的正方体中,题中的三视图对应的几何体为四棱锥P-ADC 1B 1,其中P 为棱A 1D 1的中点,则该几何体的体积11P ADC B V -=211P DB C V -=211D PB C V-=2×13×11PB C S∆×DD 1=83. 故选A.9.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为( C )(A)33(B)23(C)3 (D)1解析:由题意知,如图所示,在棱锥S-ABC中,△SAC,△SBC都是有一个角为30°的直角三角形,且3,SC=4,所以3作BD⊥3×3)2×3. SC于D点,连接AD,易证SC⊥平面ABD,因此V=13故选C.。

几何体表面积几何体是指由直线和曲线围成的三维空间中的图形。

在几何学中，我们常常需要计算几何体的面积，以便了解其大小和形状。

本文将详细介绍各种常见几何体的表面积计算方法。

一、圆的表面积计算公式圆是最简单的几何体之一，其表面积仅包括一个面，即圆的周长。

圆的表面积计算公式如下：S = 2πr其中，S表示圆的表面积，π为圆周率，r为圆的半径。

通过将半径代入公式，即可得到圆的表面积。

二、长方体的表面积计算公式长方体是一种最基本的立体图形，其表面积由六个矩形面积组成。

长方体的表面积计算公式如下：S = 2lw + 2lh + 2wh其中，S表示长方体的表面积，l为长方体的长度，w为宽度，h为高度。

通过代入相关数值，即可计算出长方体的表面积。

三、正方体的表面积计算公式正方体是一种六个面都是正方形的长方体。

其表面积由六个正方形面积组成。

正方体的表面积计算公式如下：S = 6a^2其中，S表示正方体的表面积，a为正方体的边长。

通过将边长代入公式，即可计算出正方体的表面积。

四、球体的表面积计算公式球体是一种不规则的几何体，其表面积由许多曲面组成。

球体的表面积计算公式如下：S = 4πr^2其中，S表示球体的表面积，π为圆周率，r为球体的半径。

通过将半径代入公式，即可计算出球体的表面积。

五、圆柱体的表面积计算公式圆柱体是由两个圆面和一个侧面组成的几何体。

圆柱体的表面积由两个圆面积和一个矩形面积组成。

圆柱体的表面积计算公式如下：S = 2πrh + 2πr^2其中，S表示圆柱体的表面积，π为圆周率，r为圆的半径，h为圆柱体的高度。

通过将半径和高度代入公式，即可计算出圆柱体的表面积。

六、锥体的表面积计算公式锥体是由一个圆锥面和一个底面组成的几何体。

锥体的表面积由一个圆锥面积和一个底面积组成。

锥体的表面积计算公式如下：S = πrl + πr^2其中，S表示锥体的表面积，π为圆周率，r为底面圆的半径，l为锥体的斜高。

通过将半径和斜高代入公式，即可计算出锥体的表面积。

数学第二册讲练测（人教A版2019必修第二册）专题10简单几何体的表面积与体积知识点课前预习与精讲精析核心知识点1：多面体的表面积1．柱体的表面积(1)侧面展开图：棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长，如图①所示；圆柱的侧面展开图是矩形，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长，如图②所示．(2)面积：柱体的表面积S表＝S侧＋2S底．特别地，圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积S侧＝2πrl，表面积S表＝2πr(r＋l)．【知识微点评】表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，常把多面体展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积，侧面积是指侧面的面积，与表面积不同．一般地，表面积＝侧面积＋底面积．2．锥体的表面积(1)侧面展开图：棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，则侧面积为各个三角形面积的和，如图①所示；圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，如图②所示．(2)面积：锥体的表面积S表＝S侧＋S底．特别地，圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积S侧＝πrl，表面积S表＝πr(l＋r)．3．台体的表面积(1)侧面展开图：棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的和，如图①所示；圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，如图②所示．(2)面积：台体的表面积S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底．特别地，圆台的上、下底面半径分别为r ′、r ，母线长为l ，则侧面积S 侧＝π(r ＋r ′)l ，表面积S 表＝π(r 2＋r ′2＋rl ＋r ′l )．核心知识点2：多面体的体积1．柱体的体积(1)棱柱(圆柱)的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)柱体的底面积S ，高为h ，其体积V ＝Sh .特别地，圆柱的底面半径为r ，高为h ，其体积V ＝πr 2h ．2．锥体的体积(1)棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)锥体的底面积为S ，高为h ，其体积V ＝13Sh .特别地，圆锥的底面半径为r ，高为h ，其体积V ＝13πr 2h ． 3．台体的体积(1)圆台(棱台)的高是指两个底面之间的距离．(2)台体的上、下底面面积分别是S ′、S ，高为h ，其体积V ＝13(S ＋SS ′＋S ′)h .特别地，圆台的上、下底面半径分别为r 、r ′，高为h ，其体积V ＝13π(r 2＋rr ′＋r ′2)h ． 核心知识点3：球的表面积和体积1．球的体积球的半径为R ，那么它的体积V ＝ 43πR 3． 2．球的表面积球的半径为R ，那么它的表面积S ＝ 4πR 2．3．与球有关的组合体问题(1)若一个长方体内接于一个半径为R 的球，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2(a 、b 、c 分别为长方体的长、宽、高)，若正方体内接于球，则2R ＝3a (a 为正方体的棱长)；(2)半径为R 的球内切于棱长为a 的正方体的每个面，则2R ＝a ．【知识微点评】对球的表面积与体积公式的几点认识：(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有惟一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．1．已知正方体外接球的体积是，那么该正方体的内切球的表面积为．【解析】解：设正方体外接球的半径为R，∵正方体外接球的体积是π，∴πR3，解得R＝2．设正方体的棱长为a，则a＝4，解得a，∴该正方体内切球的半径r，∴该正方体内切球的表面积为S＝4πr2＝4ππ．故答案为：π．2．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为6，AB＝4，点D为棱BB1的中点，则四棱锥C﹣A1ABD的表面积是，正三棱柱的体积为．【解析】解：正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为AA1＝6，AB＝4，点D为棱BB1的中点，如图所示，则四棱锥C﹣A1ABD的表面积是：SS△ABC+S△BCD（6+3）×4423×46×44＝36+42；．故答案为：36+42；．3．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4π的正方形，则这个圆柱的表面积和体积分别为．【解析】解：设圆柱的底面半径为r、母线长为l，∵圆柱的侧面展开图是一个边长为4π的正方形，∴2πr＝l＝4π，得r＝2、l＝4π，∴圆柱的表面积为S＝2πr2+2πrl＝8π+16π2；体积V＝πr2l＝π•22•4π＝16π2，故答案为：8π+16π2，16π2．4．如图，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，长1.6m，底面外接圆半径是0.46m，制造这个滚筒需要m2铁板（精确到0.1m2）．【解析】解：因为此正六棱柱底面外接圆半径为0.46m，所以正六边形的边长是0.46m．设正六边形的周长为C，所以．所以S表＝S侧+2S底＝4.416+20.462×6≈5.5．故制造这个滚筒约需要 5.5m2铁板．故答案为：5.5．5．用一张（4×8）cm2的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则该圆柱的表面积为．【解析】解：（1）若圆柱的高为4cm，则圆柱的底面半径rcm，故圆柱的表面积为32+2πr2＝24（cm2），（2）若圆柱的高为8cm，则圆柱的底面半径rcm，故圆柱的表面积为32+2πr2＝24（cm2），故答案为：32cm2或32cm2．必考必会题型1：柱体、锥体、台体的表面积与体积【典型例题】已知直三棱柱底面的一边长为2cm，另两边长都为3cm，侧棱长为4cm，它的侧面积为，体积为．【解析】解：如图，ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝4．它的侧面积为：4×（2+3+3）＝32cm2．∴24＝8cm3．故答案为：32cm2；8cm3．【题型强化】现有一个圆锥形的钢锭，底面半径为3，高为4．某工厂拟将此钢锭切割加工成一个圆柱形构件，并要求将钢锭的底面加工成构件的一个底面，则可加工出的圆柱形构件的最大体积为．【解析】解：设该圆锥形钢锭内接圆柱的底面半径为x（0＜x＜3），高为h（0＜h＜4），则，即h＝4，所以内接圆柱的体积V＝πx2（4）＝4π（x2x3），（0＜x＜3），则V'＝4π（2x﹣x2），令V'＝0，解得x＝2或x＝0（舍去），当0＜x＜2时，V'＞0，单调递增，当2＜x＜3时，V'＜0，单调递减，故当x＝2时，V取极大值也为最大值，所以可加工出的圆柱形构件的最大体积为．故答案为：．【收官验收】如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路线长为．【解析】解：正三棱柱的侧面展开图如图所示的矩形，矩形的长为3，宽为1，则其对角线AA1 的长为最短路程．因此蚂蚁爬行的最短路程为：．故答案为：．【名师点睛】1.求解棱锥的表面积和体积时，注意棱锥的四个基本量，即底面边长、高、斜高、侧棱，并注意高、斜高、底面边心距所成的直角三角形的应用.2.求解圆锥的表面积和体积时，除应用“圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长”求出母线长和底面半径外，还需注意“圆锥的轴截面是等腰三角形”的应用.1.求解正棱台的表面积和体积时，注意棱台的五个基本量(上下底面边长、高、斜高、侧棱)，并注意两个直角梯形(高、侧棱与上下底面外接圆半径所成的直角梯形，高、斜高与上下底面边心距所成的直角梯形)的应用.常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决问题.2.求解圆台的表面积和体积时，注意其轴截面是等腰梯形的应用.求圆台的表面积的关键在于求侧面积，“还台为锥”是解题的常用策略，利用侧面展开图将空间问题平面化也是解决问题的重要方法.必考必会题型2：球的表面积与体积【典型例题】如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则．【解析】解：半径为r的实心铁球的体积是，由题意可知，升高的水的体积是：πR2r，则，∴，则．故答案为：．【题型强化】我国古代数学名著《九章算术》中相当于给出了已知球的体积V．求其直径d的一个近似公式d．规定：“一个近似数与它准确数的差的绝对值叫这个近似数的绝对误差，相对误差指的是测量所造成的绝对误差与被测量[约定]真值之比．”那么用这个公式所求的直径d结果的相对误差是．【解析】解：设球的直径为d，则V，由近似公式求得的直径的近似值为，绝对误差为||d，相对误差为．故答案为：．【收官验收】把一个半径为R的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1：3：4，则其中最小球的半径为．【解析】解：原球的体积为：，把一个半径为R的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1：3：4，最小球的体积为：，设小球的半径为r，可得，所以rR．故答案为：．【名师点睛】计算球的表面积和体积的关键都是确定球的半径，要注意把握表面积公式()和体积公式()中系数的特征和半径次数的区别.必要时需逆用表面积公式和体积公式得到球的半径.注意：计算与球有关的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免遗漏或重叠.必考必会题型3：球的切、接问题【典型例题】设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是．【解析】解：正方体的表面积为24，设正方体的列出为a，所以6a2＝24，解得a＝2，所以正方体的体对角线的长度为2，外接球的半径为．所以外接球的体积：4．故答案为：4．【题型强化】在正四棱锥P﹣ABCD中，，若四棱锥P﹣ABCD的体积为，则该四棱锥外接球的体积为．【解析】解：设AC，BD的交点为E，球心为O，设AB＝a，∵，则AEa，P Aa，∴PEa，∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，∴•a2•PE⇒a＝4，在RT△OBE中，OB2＝OE2+EB2⇒R2＝（8﹣R）2+16⇒R＝5，∴该四棱锥外接球的体积为：π．故答案为：．【收官验收】已知一个球的体积是，则它的内接正方体的表面积为．【解析】解：由题意，正方体的体对角线的长度，是外接球的直径，球的体积是，所以4，解得R，正方体的体对角线的长度为2，所以正方体的棱长为：a，则，所以a＝2，所以正方体的表面积为：6×2×2＝24．故答案为：24．【名师点睛】球与几何体的切、接问题的解题思路1.球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上，解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解.2.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面)，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系.必考必会题型4：实际应用问题【典型例题】“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图），其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠表面积S＝2πRh，其中R为球的半径，h球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则的值为（结果用S、C表示）﹒【解析】解：如图，由（R﹣h）2+r2＝R2，可得h＝R，由已知可得，①，C＝2πr，得C2＝4π2r2②，①②两式对应相除得，可得，设，得，整理得，，即m，∴．故答案为：．【题型强化】早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把sin36°按计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于．【解析】解：由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设其半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为l，则，得，所以正五棱锥的顶点到底面的距离是，所以R2＝r2+（R﹣h）2，即，解得．所以该正二十面体的外接球表面积为，而该正二十面体的表面积是，所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于．故答案为：．【收官验收】《九章算术》是古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．《九章算术》卷五记载：“今有刍甍（音：刍chú甍méng），下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”译文：今有如图所示的屋脊状楔体PQ﹣ABCD，下底面ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点O，PQ∥AB，AB＝4，AD＝3，PQ＝2，OR＝1（长度单位：丈）．则楔体PQ﹣ABCD的体积为（体积单位：立方丈）．【解析】解：将楔体PQ﹣ABCD分成一个三棱柱、两个四棱锥，则V三棱柱3立方丈，2V四棱锥2立方丈，故V楔体PQ﹣ABCD＝V三棱柱+2V四棱锥＝3+2＝5立方丈．故答案为：5立方丈．【名师点睛】解体积、表面积的实际应用题的关键点对于实际应用问题，解题的关键是正确建立数学模型，然后利用表(侧)面积或体积公式即可求解.另外，正确作出截面图，找出其中的等量关系也是常用的方法.与球有关的实际应用问题一般涉及容积问题，解题的关键是正确作出截面图，找出其中的等量关系.另外，利用总体积不变，正确建立等量关系，也是常用的方法.11/11。