陕西省宝鸡市园丁中学2015届高三上学期第一次质检数学试卷(理科)

宝鸡园丁中学2015届高三第一次质量检测数学试卷（理）考试时间120分钟，卷面总分150分（2014年11月）第Ⅰ卷 （选择题共50分）一选择题（每小题5分，共50分）1. 已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则( )A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 2.如果执行右面的算法语句输出结果是2，则 输 入的x 值是（ ）A. 0B. 0或2C.2D.1-或23. 函数2()(1)23f x m x mx =-++为偶函数，则()f x 在区间(－5，－3)上( )A ．先减后增B ．先增后减C ．单调递减D ．单调递增 4．函数2()log 4f x x x =+-的零点所在的区间是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(1, 2) C ．(2, 3) D ．(3, 4)5. 函数2()ln(1)f x x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D6.设a ，b ，c 均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c7.二项式30的展开式的常数项为第（ ）项A ． 17B ．18C ．19D ．208. 在区间[]0,10内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[]0,10内的概率是（ ）A ．110BC ． 40πD ．4π9. 已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y bx a =+必过（ ）A. （2, 2）点B.（1.5,0）点C.（1, 2）点D.（1.5,4）点 10.设()f x 是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又(3)f -＝0，则()x f x ⋅>0的解集是( )A ．{x |－3<x <0，或x >3}B ．{x |x <－3，或0<x <3}C ．{x |x <－3，或x >3}D ．{x |－3<x <0，或0<x <3}第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二．填空题（每小题5分，共25分）11. 若集合A ＝{x ∈R |2ax ＋a x ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝ .12. 一个家庭有两个孩子，记A={至少有一个男孩}，B={两个都是男孩}，则()P B A = .13. 若不等式2(1)log a x x -<在(0,1)x ∈内恒成立，则实数a 的取值范围是 。

2015年陕西省宝鸡市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合M={x|lnx＞0}，N={x|-3≤x≤3}，则M∩N=（）A.（1，3]B.[1，3）C.（1，3）D.[1，3]2.若z∈C，且（1+i）z=3+4i，则复数z的虚部是（）A. B. C.i D.i3.对任意实数a、b、c，给出下列命题：①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；②“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件；③“a＜5”是“a＜3”的必要条件；④“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件．其中真命题的个数是（）A.4B.3C.4D.14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A. B. C. D.15.设a=log37，b=23.3，c=0.83.3，则（）A.b＜a＜cB.c＜a＜bC.c＜b＜aD.a＜c＜b6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值等于（）A.1B.C.D.7.下列函数中，满足f（xy）=f（x）+f（y）的单调递增函数是（）A.f（x）=log2xB.f（x）=x2C.f（x）=2xD.f（x）=x 8.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加志愿者活动，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的推选法共有（）A.140种B.34种C.35种D.120种9.设x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（）A.（0，]B.B[-，]C.（1，]D.（1，]10.函数y=sin（2x+φ）的图象沿x 轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A. B. C.0 D.11.已知抛物线y2=8x 的焦点与椭圆+y2=1的一个焦点重合，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.12.函数g（x）=log2x，关于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0在（0，2）内有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A.（-∞，4-2）∪（4+2，+∞）B.（4-2，4+2）C.（-，-）D.（-，-）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若（ax2-）9的展开式中常项等于84，则实数a= ______ （用数字作答）．14.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点（1，3），则a，b的值分别为 ______ ．15.观察等式：①×13+×12+×1=12，②×23+×22+×2=12+22，③×33+×32+×3=12+22+32，…以上等式都是成立的，照此写下去，第2015个成立的等式是 ______ ．16.若目标函数z=kx+2y 在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是______ ．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知等差数列{a n}的公差不为零，a3=5，且a1，a7，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1+a3+a5+…+a2n-1．18.已知在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=CD=DE=2，F为CD的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；（Ⅱ）求平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小；（Ⅲ）求点A到平面BCD的距离的取值范围．19.某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加市青年联合会志愿者．（Ⅰ）所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分别列及数学期望；（Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．20.在平面直角坐标系x O y中，圆C过点（0，-1），（3+，0），（3-，0）（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）是否存在实数a，使得圆C与直线x+y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=x2-2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求实数a 的取值范围．22.选修4-1：几何证明选讲如图，圆O为△ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交圆O于点D，交BC的延长线于点F，DE是BD的延长线，连接CD．（Ⅰ）求证：∠EDF=∠CDF；（Ⅱ）求证：AB2=AF•AD．23.（选做题）在直角坐标系x O y中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin （θ+）=，圆C 的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．24.选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|．（1）证明：-3≤f（x）≤3；（2）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集．。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．其中第Ⅱ卷第22、23、24题为三选一，其它题为必考题．考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{0,1,2}A =,{1,}B m =.若AB B =,则实数m 的值是（ ☆ ）A.0B.0或2C.2D.0或1或2 【答案】B考点：集合间的关系2．如图,在复平面内,复数1z ,2z 对应的向量分别是OA ,OB ,则复数12z z 对应的点位于（ ☆ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【答案】D考点：复数的运算3．若向量(1,2)=-a ,(2,1)=b ,(4,2)--c =,则下列说法中错误．．的是（ ☆ ） A. a b ⊥ B. 向量a 与向量c 的夹角为90︒ C. b ∥c D.对同一平面内的任意向量d ,都存在一对实数12,k k ,使得12k k =d b+c 【答案】D考点：向量的夹角4．在△ABC 中,已知3C π=,4b =,△ABC 的面积为则c =（ ☆ ）A.【答案】C 【解析】试题分析：232232s i n 21=⇒=⨯==a a C ab S ，由余弦定理得12cos 2222=-+=C ab b ac ，故32=c 考点：解三角形5．已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（ ☆ ）A.12π-B.13π-C.16π-D.112π- 【答案】C考点：几何概型6．一个四面体的顶点在空间直角坐标系o xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的主视图时，以zox 平面为投影面，则得到主视图可以为（ ☆ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】考点：三视图7．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是74,则（☆ ）A.3a =B.4a =C.5a =D.6a = 【答案】A考点：程序框图8．函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，那么()f x 的图像最有可能的是（ ☆ ）【答案】A 【解析】试题分析：由()f x '的图像可知()f x 在（-2,0）上是单调递增的，在)2,(--∞，),0(+∞单调递减，故选A考点：函数的图象、导数9．已知x ,y 满足03040x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≤⎩（ ☆ ）A.【答案】B 【解析】考点：线性规划10．已知命题p :存在a R ∈，曲线221x ay +=为双曲线；命题q :102x x -≤-的解集是{|12}x x <<．给出下列结论中正确的有（ ☆ ）①命题“p 且q ”是真命题； ②命题“p 且(⌝q )”是真命题； ③命题“(⌝p )或q ”为真命题； ④命题“(⌝p )或(⌝q )”是真命题． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B考点：命题真假判断11．如右图二面角βα--y 的大小为o60，平面β上的曲线1C 在平面α上的正射影为曲线2C ，2C 在直角坐标系xOy 下的方程221x y +=()01x ≤≤，则曲线1C 的离心率（ ☆ ）A.1=eB.1>eC.23=e D.21=e【答案】C考点：正投影、圆锥曲线的离心率 12．设函数[],0()(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，其中][x 表示不超过x 的最大整数,如[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=，若直线1k y x =+()k o >与函数y ()f x =的图象恰有两个不同的交点,则k 的取值范围是 （ ☆ ）A.[2,3)B.[3,)∞C.[2,3]D.(2,3] 【答案】D 【解析】考点：函数与方程第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设5260126(1)(12)-+=+++鬃?x x a a x a x a x ,则2a = ☆ ． 【答案】30考点：二项式定理的应用14．函数2π())4cos 4f x x x =-+的最小值为 ☆ ．【答案】2【解析】试题分析：2)42sin(222cos 142cos 2sin )(++=+⨯+-=πx x x x x f ，所以)(x f 的最小值为2考点：三角函数的性质15．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数,在(0,)+∞上单调递减,且(2)0f =,若(1)0f x -≤，则x 的取值范围为 ☆ ．【答案】[1,1)[3,)-+∞【解析】试题分析：作出辅助图，易知21≥-x 或012<-≤-x ，解得11<≤-x 或3≥x 考点：函数的性质16．椭圆221(y 0)94x y +=≥绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 ☆ ． 【答案】π16考点：旋转体体积三、解答题：（本大题5小题，每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知{}n a 是一个单调递增的等差数列，且满足2421a a =,1510a a +=，数列{}n c 的前n 项和为1n n S a =+()N n *∈，数列{}n b 满足2n n n b c =.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和.【答案】(Ⅰ) 21(*)N n a n n =-∈；(Ⅱ) 24(12)2412n n n T +⨯-==--考点：数列及其求和18．某市为了了解“陕西分类招生考试”宣传情况，从,,,A B C D四所中学的学生当中随机抽取50名学生参加问卷调查，已知,,,A B C D四所中学各抽取的学生人数分别为15,20,10,5. (Ⅰ)从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学的概率；(Ⅱ)在参加问卷调查的50名学生中,从来自,A C两所中学的学生当中随机抽取两名学生,用ξ表示抽得A中学的学生人数,求ξ的分布列及期望值.【答案】(Ⅰ)350212257P==；(Ⅱ)56考点：概率与统计19．在梯形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD =，AD AB ==AB BC ⊥，如图把ABD∆沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD . （Ⅰ）求证:CD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若点M 为线段BC 中点,求点M 到平面ACD 的距离．B【答案】(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ)22考点：立体几何的综合应用20．设(,)M x y 到定点F 的距离和它到直线3x =距离的比是2． （Ⅰ）求点(,)M x y 的轨迹方程；（Ⅱ）O 为坐标原点,斜率为k 的直线过F 点,且与点M 的轨迹交于点11(,)A x y ,22(,)B x y ,若121240x x y y +=,求△AOB 的面积．【答案】(Ⅰ) 2214x y +=；(Ⅱ) 1由12||2AB x =-==原点O 到直线AB的距离1d ===所以112AOB S AB d ∆=⋅= ……………………………… 12分 考点：轨迹方程及圆锥曲线定值问题21．设函数()e ,xf x =2()()1g x f x ax bx =---,其中e 为自然对数的底数. (Ⅰ)已知12,R x x ∈,求证:[]12121()()()22x x f x f x f ++≥； (Ⅱ)函数()h x 是()g x 的导函数，求函数()h x 在区间[0,1]上的最小值． 【答案】(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ) 见解析考点：函数与导数的综合应用请考生从第22、23、24题中任选一题做答．多答按所答的首题进行评分．22．（本题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.已知圆内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE 为圆O的切线．（Ⅰ）求∠BAE 的度数；CD BD EC（Ⅱ）求证:2=【答案】(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ) 见解析考点：平面几何的证明23．（本题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程. 坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数).以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆C 的极坐标方程； (Ⅱ)射线:4OM πθ=与圆C 的交点为O 、P 两点，求P 点的极坐标.【答案】(Ⅰ) 2cos ρθ=；(Ⅱ) )4π考点：参数方程24．（本题满分10分）选修4—5: 不等式选讲. (Ⅰ)设函数1()=||||(0)f x x x a a a-++>.证明：()2f x ≥； (Ⅱ)若实数z y x ,,满足22243x y z ++=,求证: 23x y z ++≤【答案】(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ) 见解析考点：不等式证明。

陕西省宝鸡市园丁中学2017-2018学年高三上学期第一次质检数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．设集合A={x|x＞1}，B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B等于( )A．{x|x＞2} B．{x|0＜x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|0＜＜1}考点：交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：先解一元二次不等式化简集合B，再与集合A求A∩B即可．解答：解：∵集合B={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，又A={x|x＞1}，∴A∩B={x|1＜x＜2}，故选C．点评：本题考查解不等式，考查集合的运算，考查学生的计算能力，属于基础题．2．下列各图形中，是函数的图象的是( )A．B． C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：函数是特殊的映射，对每一个x值，只能有唯一的y与之对应，函数y=f（x）的图象也是，由此逐一分析四个图象，可得答案．解答：解：函数y=f（x）中，对每一个x值，只能有唯一的y与之对应，∴函数y=f（x）的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点故A，B，C均不正确故选D点评：深刻理解函数的概念是解决问题的关键，并不是任意一个图都可以作为函数图象的．这一点要特别注意3．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为( )A．10 B．8 C．3 D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．4．已知函数f（x）=，则=( )A．B．C．9 D．﹣9考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：先由函数的解析式求出f（）=﹣2，可得要求的式子即f（﹣2）=3﹣2，运算求得结果．解答：解：由题意可得f（）==﹣2，f[（f（）]=f（﹣2）=3﹣2=，故选A．点评：本题主要考查利用分段函数求函数的值的方法，体现了分类讨论的数学思想，对数的运算性质，属于中档题．5．函数y=log2|x|的大致图象是( )A．B．C．D．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数y的解析式，利用排除法，容易得出结论．解答：解：∵函数y=log2|x|=，当x＞0时，y=log2x是增函数，图象上升，排除B、C；又函数y=log2|x|是偶函数，图象关于y轴对称，排除D．故选：A．点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应用排除法，是基础题．6．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论．解答：解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件．B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件．C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件．故选：B．点评：本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．7．设f（x）=3x﹣x2，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是( )A．[0，1]B．[1，2]C．[﹣2，﹣1]D．[﹣1，0]考点：二分法求方程的近似解．分析：令f（x）=3x﹣x2=0，得3x=x2，分别作出函数y=3x，t=x2的图象观察图象的交点所在区间即可．解答：解：∵f（﹣1）=3﹣1﹣（﹣1）2=﹣1=﹣＜0，f（0）=30﹣02=1＞0，∴f（﹣1）•f（0）＜0，∴有零点的区间是[﹣1，0]．【答案】D点评：二分法是求方程根的一种基本算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点．8．函数y=（x﹣1）2的导数是( )A．﹣2 B．（x﹣1）2C．2（x﹣1）D．2（1﹣x）考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：根据函数的导数公式进行求解即可得到结论．解答：解：∵y═（x﹣1）2，∴y′=2（x﹣1），故选：C点评：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式．9．设a，b，c，d∈R．且a＞b，c＞d，且下列结论中正确的是( )A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．考点：不等关系与不等式．专题：证明题．分析：A、设a，b，c，d∈R．且a＞b，c＞d，根据同向不等式的可加性知，A正确；B、C、D三个选项分别令a、b、c、d取特殊值，可知它们不正确．解答：解：A、设a，b，c，d∈R．且a＞b，c＞d，根据同向不等式的可加性知，A正确；B、令a=2，b=0，c=0，d=﹣3，可知B、C不正确；D、令a=﹣1，b=﹣2，c=﹣1，d=﹣2，可知D不正确．故选A．点评：考查不等式的基本性质，注意要说明一个不正确时，只要举出一个反例即可，属基础题．10．设f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则x•f（x）＞0的解集是( )A．{x|﹣3＜x＜0，或x＞3} B．{x|x＜﹣3，或0＜x＜3}C．{x|x＜﹣3，或x＞3} D．{x|﹣3＜x＜0，或0＜x＜3}考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：先由函数性质得出函数f（x）在（﹣∞，0）内是增函数，且f（3）=0，然后分析f （x）符号，解不等式．解答：解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）内是增函数，又∵f（﹣3）=0，∴f（3）=0，∴当x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f（x）＜0；当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＞0；∴x•f（x）＞0的解集是（﹣∞，﹣C3）∪（3，+∞）故选：C．点评：本题考查函数性质，主要是单调性和奇偶性，利用函数性质求解不等式．二．填空题（每小题5分，共25分）11．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=﹣2．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：当x＞0时，f（x）=x2+，可得f（1）．由于函数f（x）为奇函数，可得f（﹣1）=﹣f（1），即可得出．解答：解：∵当x＞0时，f（x）=x2+，∴f（1）=1+1=2．∵函数f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了函数奇偶性，属于基础题．12．若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素，则a=4．考点：集合中元素个数的最值．专题：规律型．分析：集合A只有一个元素，分别讨论当a=0和a≠0时对应的等价条件即可解答：解：∵A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素，∴若a=0，方程等价为1=0，等式不成立，不满足条件．若a≠0，则方程满足△=0，即a2﹣4a=0，解得a=4或a=0（舍去）．故答案为：4点评：本题主要考查集合元素个数的应用，将集合问题转化为方程根的个数问题是解决本题的关键，要对a进行讨论．13．若指数函数f（x）=（a﹣2）x为减函数，则实数a的取值范围为（2，3）．考点：指数函数单调性的应用．专题：函数的性质及应用．分析：指数函数f（x）=（a﹣2）x为减函数，其底数应满足0＜a﹣2＜1，解之即得．解答：解：∵指数函数f（x）=（a﹣2）x为减函数，∴0＜a﹣2＜1，解得2＜a＜3，即实数a的取值范围为（2，3）．故答案为（2，3）．点评：本题考查指数函数的性质，当其为减函数时，底数应大于0且小于1，这是此类题常见的考查方式14．已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的同侧，则a的取值范围是{a|a＜﹣7或a＞24}．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：根据点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的同侧，得出（9﹣2+a）（﹣12﹣12+a）＞0，求出a的取值范围．解答：解：∵点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的同侧，∴（9﹣2+a）（﹣12﹣12+a）＞0，解得a＜﹣7或a＞24；∴a的取值范围是{a|a＜﹣7或a＞24}．故答案为：{a|a＜﹣7或a＞24}．点评：本题考查了二元一次不等式（组）表示平面区域的问题，解题时应根据题意列出不等式，从而求出结果，是基础题．15．下列函数中：①y=﹣x2+1②y=﹣lg|x|③④y=e﹣x既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是：①②．考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：运用定义和常见函数的奇偶性和单调性，即可得到既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的函数．解答：解：对于①，有f（﹣x）=f（x），为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故①对；对于②，有f（﹣x）=f（x），为偶函数，当x＞0时，y=﹣lgx，为减函数，故②对；对于③，f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增，故③错；对于④，f（﹣x）≠f（x），不为偶函数，故④错．故答案为：①②点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查运用定义判断的方法，属于基础题．三．解答题（第16，17，18，19题每小题各12分，第20小题13分，第21小题14分，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知关于x的不等式＜0的解集为M．（1）当a=1时，求集合M；（2）当3∈M且5∉M时，求实数a的范围．考点：其他不等式的解法；元素与集合关系的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）当a=1时，＜0，解得x的范围，可得M．（2）由3∈M，可得＜0，解得a的范围①，由5∉M，可得＜0不成立，解得a的范围②，把①②取交集，可得实数a的范围．解答：解：（1）当a=1时，＜0，解得1＜x＜5，∴M=（1，5）．…（2）∵3∈M，∴＜0，解得a＜，或a＞3．①…∵5∉M，∴＜0不成立，即a＜1，或a＞5不成立，∴1≤a≤5，②…由①②知1≤a＜，或3＜a≤5，即实数a的范围为[1，）∪（3，5]．…点评：本题主要考查分式不等式的解法，元素与集合的关系判断，属于中档题．17．（1）若a，b为实数，且a+b=2，求3a+3b的最小值；（2）利用基本不等式证明不等式：已知a＞3，求证a+≥7；（3）已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求的最小值．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）利用基本不等式的性质、指数运算法则即可得出；（2）变形利用基本不等式的性质即可得出；（3）利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答：（ 1 ）解：∵3a＞0，3b＞0且a+b=2，∴由基本不等式得：，当且仅当3a=3b且a+b=2，即a=b=1取等号．∴3a+3b的最小值是6．（2）证明：∵a＞3，∴；当且仅当，即a=5时等号成立．（3）解：∵=（）•1=（）•（x+y）=13+≥25，当且仅当且x+y=1，即取等号，∴得最小值为25．点评：本题考查了指数运算性质、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于基础题．18．解关于x的不等式：（x+a）（x﹣2a+1）＜0．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：讨论a=时，a＞时，a＜时，原不等式的解集情况，从而求出答案来．解答：解：方程（x+a）（x﹣2a+1）=0的解为x1=﹣a，x2=2a﹣1当时，不等式解为Φ；当时，解集为{x|﹣a＜x＜2a﹣1}当时，解集为{x|2a﹣1＜x＜﹣a}点评：本题考查了含有字母系数的不等式的解法问题，解题时应对字母系数进行分类讨论，是易错题．19．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，求每次应购买的吨数x．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；不等式的解法及应用．分析：确定一年的总运费、一年的总运费与储存费用之和，利用基本不等式，即可求得结论．解答：解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，≥160，当即x=20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，确定函数的模型是关键．20．已知函数f（x）=2x3﹣ax2+6在x=1时取得极值（1）求a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）的极大值和极小值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：（1）先求出导数f′（x）=6x2﹣2ax，由f′（1）=0得a=3，令f′（x）＞0得出函数的增区间，令f′（x）＜0得出函数的减区间；（2）由（1）得：x=0时函数取得极大值，x=1时函数取得极小值，直接代入函数的解析式求出极值即可．解答：解：（1）f′（x）=6x2﹣2ax又∵f′（1）=0，∴a=3则f（x）=2x3﹣3x2+6∴f′（x）=6x2﹣6x令f′（x）＞0即6x2﹣6x＞0 得x＜0 或x＞1令f′（x）＜0即6x2﹣6x＜0 得0＜x＜1∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，0）和（1，+∞），函数f（x）的单调减区间为：（0，1）（2）由（1）得：x=0时函数取得极大值，x=1时函数取得极小值，则函数f（x）极大值=f（0）=6函数f（x）极大值=f（1）=5．点评：本题主要考查了函数的极值问题及导数的应用，利用导数作为工具去研究函数的性质非常方便．21．设函数f（x）=2x3﹣9x2+12x+8c（1）当c=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出导数，求出切线的斜率和切点坐标，再由点斜式方程，即可得到；（2）求出导数，求出单调区间得到极值，求出端点处的函数值，即可得到最大值，再由恒成立思想，解不等式，即可得到c的范围．解答：解：（1）当c=1时，f（x）=2x3﹣9x2+12x+8∵f（0）=8，∴切点坐标为（0，8）又∵f′（x）=6x2﹣18x+12∴f（0）=12∴切线方程为：y﹣8=12（x﹣0）即12x﹣y+8=0；（2）∵f′（x）=6x2﹣18x+12，f′（x）＞0即6x2﹣18x+12＞0解得x＜1或x＞2，f′（x）＜0，即6x2﹣18x+12＜0解得1＜x＜2，又∵0≤x≤3，∴f（x）的增区间为：[0，1）和（2，3]，减区间为（1，2）；由函数单调性可知：x=1时，函数∴f（x）取得极大值，即f（1）=8c+5，x=2时，f（x）取得极小值，即f（2）=8c+4；又∵f（0）=8c，f（3）=8c+9∴f（x）max=8c+9又∵对于任意的0≤x≤3，都有f（x）＜c2成立，则，即：8c+9＜c2解得：c＜﹣1或c＞9∴c的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．点评：本题考查导数的运用：求切线方程，求单调区间和极值，最值，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值，属于中档题．。

2015年陕西省宝鸡市高考数学一模试卷（理科）答案和解析【答案】1.A2.B3.D4.A5.B6.C7.A8.B9.C 10.B 11.D 12.D13.114.-1和315.×20153+×20152+×2015=12+22+32+42+…+2015216.（-4，2）17.解：（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公差为d，由题意，a72=a1a5，即（a1+6d）2=a1（a1+4d），又a3=a1+2d=5（d≠0），得a1=9，d=-2故a n=-2n+11．（Ⅱ）令S n=a1+a3+a5+…+a2n-1，由（1）知a2n-1=-4n+13，故{a2n-1}是首项为9，公差为-4的等差数列．∴S n ===-2n2+11n．18.解：（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面ACD，AB∥DE，∴DE⊥平面ACD，∵AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又∵AC=AD=CD，F为CD中点，∴AF⊥CD．∵DE⊂平面CDE，CD⊂平面CDE，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．（Ⅱ）如图，以F为原点，过F平行于DE的直线为x轴，FC，FA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，∵AC=2，∴A（0，0，），设AB=x，所以B（x，0，），C（0，1，0）所以=（x，0，0），=（0，1，-），设平面ABC 的一个法向量为=（a，b，c），则由⋅=0，⋅=0，得a=0，b =c，不妨取c=1，则=（0，，1）．∵AF⊥平面CDE，∴平面CDE的一个法向量为（0，0，）．∴cos ＜，＞==，∴＜，＞=60°．∴平面ABC与平面CDE所成的小于90°的二面角的大小为60°．（Ⅲ）设AB=x，则x＞0．∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD．又∵AF⊥CD，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，AB∩AF=A，∴CD⊥平面ABF．∵CD⊂平面BCD，∴平面ABF⊥平面BCD．连BF，过A作AH⊥BF，垂足为H，则AH⊥平面BCD．线段AH的长即为点A到平面BCD的距离．在R t△AFB中，AB=x，AF=CD=，∴BF=，∴AH==∈（0，）．19.（本小题满分12分）解：（I）ξ得可能取值为0，1，2，由题意P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，…（3分）∴ξ的分布列、期望分别为：ξ0 1 2pEξ=0×+1×+2×=1．…（6分）（II）设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C．…（8分）男生甲被选中的种数为，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为．∴P（C）===．…（11分）在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为．…（12分）20.解：（Ⅰ）设圆的方程为x2+y2+D x+E y+F=0，把点（0，-1），（3+，0），（3-，0）分别代入，得：，解得D=-6，E=8，F=7，∴圆C的方程为x2+y2-6x+8y+7=0．（Ⅱ）联立，得2x2+（2a-14）x+a2-8a+7=0，∵圆C与直线x+y+a=0交于A，B两点，∴△=（2a-14）2-8（a2-8a+7）＞0，解得-5＜a＜7，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=7-a，x1x2=，y1y2=（-x1-a）（-x2-a）=，∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=2=0，∴+（7-a）a+a2=0，整理，得a2-a+7=0，△′=1-28＜0，方程无解，∴不存在实数a，使得圆C与直线x+y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB．21.解：（1）…（2分）当a≥0时，由于x∈（0，+∞），f′（x）＞0，所以函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），…（4分）当a＜0时，令f'（x）=0，得．当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表：所以函数f（x）的单调增区间为（0，），函数f（x ）的单调减区间为…（6分）（2）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max…（8分）因为g（x）=x2-2x+2=（x-1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max=2…（9分）由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）…（10分）当a＜0时，f（x ）在上单调递增，在上单调递减，故f（x ）的极大值即为最大值，，…（11分）所以2＞-1-ln（-a），解得．…（12分）22.解：（1）∵∠EDF=∠ADB，∠ADB=∠ACB，∠CDF=∠ABC，AB=AC，∴∠EDF=∠CDF；（2）∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ACF+∠ACB=180°，∴∠ADC=∠ACF，∴△ADC∽△ACF，∴，AC2=AD•AF，∴AB2=AD•AF．23.解：（1）由ρsin （θ+）=，得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y-1=0．由得C：圆心（-，-）．∴圆心C的极坐标（1，）．（2）在圆C ：的圆心到直线l的距离为：∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，∴．r =2-∴当r =2-时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．24.解：（1）f（x）=|x-2|-|x -5|=．当2＜x＜5时，-3＜2x-7＜3．所以-3≤f（x）≤3．（2）由（1）可知，当x≤2时，f（x）≥x2-8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，f（x）≥x2-8x+15的解集为{x |5-≤x＜5}；当x≥5时，f（x）≥x2-8x+15的解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f（x）≥x2-8x+15的解集为{x |5-≤x≤6}．【解析】1. 解：∵M={x|lnx＞0}={x|x＞1}又∵N={x|-3≤x≤3}，∴M∩N={x|1＜x≤3}=（1，3]故选：A解对数不等式可化简M，取交集可得．本题考查集合的交集，属基础题．2. 解：∵（1+i）z=3+4i，∴==，其虚部为．故选：B．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．3. 解：①若c=0时，a=1，b=2．，满足ac=bc，但a=b不成立，则“a=b”是“ac=bc”的充要条件错误；②若a=b=v=c=0，满足b2=ac，但a，b，c成等比数列错误，故②错误；③“a＜5”是“a＜3”的必要条件，正确；④若a=2，b=-2满足a＞b，但“a2＞b2”不成立，故④错误．故正确命题是③，故选：D根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．4. 解：由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的三棱锥，底面面积S=×2×2=2，高h=2，故棱锥的体积V=S h =，故选：A由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的三棱锥，分别求出底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．5. 解：∵1＜a=log37＜2，b=23.3＞2，c=0.83.3＜1．∴c＜a＜b．故选：B．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．6. 解：执行程序框图，有S=1，k=1不满足条件k＞2015，不满足条件s＜1，S=，k=2不满足条件k＞2015，满足条件s＜1，S=，k=3不满足条件k＞2015，满足条件s＜1，S=，k=4不满足条件k＞2015，满足条件s＜1，S=1，k=5不满足条件k＞2015，不满足条件s＜1，S=，k=6…观察规律可知，S的取值以4为周期，由于2014=503*4+2，故有：k=2014，不满足条件k＞2015，满足条件s＜1，S=，k=2015不满足条件k＞2015，不满足条件s＜1，S=，k=2016满足条件k＞2015，退出循环，输出S 的值为，故选：C．执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=2016时，满足条件k＞2015，退出循环，输出S的值为．本题主要考查了程序框图和算法，其中判断S的取值规律是解题的关键，属于基本知识的考查．7. 解：根据对数函数的图象和性质，可知A为单调递增函数，D为单调递减函数，根据指数函数的图象和性质，可知C为单调递增函数，根据幂函数的图象和性质，可知B：f（x）=x2（-∞，0）为单调减函数，在（0，+∞）为单调递减函数，因为2x+2y≠2xy，故不满足f（xy）=f（x）+f（y），f（x）+f（y）=log2x+log2y=f（x）=log2xy=f（xy），故选：A根据指数函数对数函数幂函数的图象和性质，判断函数的单调性，再利用对数和指数的运算性质即可得到答案本题考查了指数函数对数函数幂函数的图象和性质，属于基础题．8. 解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加志愿者活动，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35-1=34种；故选：B根据题意，选用排除法，分3步，①计算从7人中，任取4人参加志愿者活动选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．本题考查计数原理的运用，注意对于本类题型，可以使用排除法，即当从正面来解所包含的情况比较多时，则采取从反面来解，用所有的结果减去不合题意的结果．9. 解：因为x为三角形中的最小内角，所以0＜x ≤y=sinx+cosx =sin（x +）∴sin（x +）≤11＜y ≤故选：C由x为三角形中的最小内角，可得0＜x ≤而y=sinx+cosx =sin（x +），结合已知所求的x的范围可求y的范围．本题主要考查了辅助角公式的应用，正弦函数的部分图象的性质，属于基本知识的考查．10. 解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x +）=sin[2（x +）+φ]=sin（2x ++φ），∵f（x +）为偶函数，∴+φ=k π+，∴φ=k π+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选B．利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x 轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．本题考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．11. 解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0）；故c=2，b=1，a =；故e ==；故该椭圆的离心率为；故选D．由题意，抛物线y2=8x的焦点为（2，0），从而求离心率．本题考查了抛物线的定义及椭圆的定义，属于基础题．12. ∵g（x）=log2x在（0，2）上单调递增，且g（x）＜1；故|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0在（0，2）内有三个不同实数解可化为t2+mt+2m+3=0有两个根，分别在（0，1），[1，+∞）上或在（0，1），{0}上；当若在（0，1），{0}上，则2m+3=0，则m =-；故t=0或t =；不成立；若在（0，1），{1}上；则1+m+2m+3=0，故m =-；故t2+mt+2m+3=0的解为t =或t=1；成立；若在（0，1），（1，+∞）上，则；解得-＜m＜-；故选D．由题意|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0在（0，2）内有三个不同实数解可化为t2+mt+2m+3=0有两个根，分别在（0，1），[1，+∞）上或在（0，1），{0}上；从而分别讨论即可．本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．13. 解：T r+1=C9r×（-1）r×a9-r×x18-3r．令18-3r=0，∴r=6．∴T r+1=C96×（-1）6×a9-6=84，∴a=1．故答案为：1．利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项列出方程求出a．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14. 解：把（1，3）代入直线y=kx+1中，得到k=2，求导得：y′=3x2+a，所以y′|x=1=3+a=2，解得a=-1，把（1，3）及a=-1代入曲线方程得：1-1+b=3，则b的值为3．故答案为：-1和3．因为（1，3）是直线与曲线的交点，所以把（1，3）代入直线方程即可求出斜率k的值，然后利用求导法则求出曲线方程的导函数，把切点的横坐标x=1代入导函数中得到切线的斜率，让斜率等于k列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，然后把切点坐标和a的值代入曲线方程，即可求出b的值．此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．15. 解：由已知中的等式：观察等式：①×13+×12+×1=12，②×23+×22+×2=12+22，③×33+×32+×3=12+22+32，…归纳可得：第n 个成立的等式是：×n3+×n2+×n=12+22+32+42+…+n2，当n=2015时，第2015个成立的等式是：×20153+×20152+×2015=12+22+32+42+…+20152故答案为：×20153+×20152+×2015=12+22+32+42+…+20152根据已知中的式子，分析等式两边各项的底数变化情况与式子编号之间的关系，归纳出规律后，可得答案．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．16. 解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx+2y得y =-x +，要使目标函数z=kx+2y仅在点B（1，1）处取得最小值，则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方，∴目标函数的斜率-大于x+y=2的斜率且小于直线2x-y=1的斜率即-1＜-＜2，解得-4＜k＜2，即实数k的取值范围为（-4，2），故答案为：（-4，2）．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出k的取值范围．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数仅在点（1，1）处取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键．17.（Ⅰ）通过等差数列以及等比数列的关系，求出首项与公差，然后求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用等差数列的求和公式直接求解a1+a3+a5+…+a2n-1．本题考查等差数列与等比数列的应用，数列的通项公式的求法以及数列求和，考查计算能力．18. （Ⅰ）根据题意可得：DE⊥平面ACD，所以DE⊥AF，又AF⊥CD，再结合线面垂直的判定定理可得答案．（Ⅱ）建立空间坐标系，分别求出两个平面的法向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．（Ⅲ）设AB=x，则x＞0，根据题中的条件可得：平面ABF⊥平面BCD．连BF，过A作AH⊥BF，垂足为H，则AH⊥平面BCD ，再利用解三角形的有关知识可得：∴AH=，即可得到答案．此题实质上是一个底面为直角梯形且有一个侧面与底面垂直的四棱棱，通过图形位置的变化，考查学生在新的几何载体中，寻找发现线面之间的平行与垂直关系．第（Ⅱ）问把平行问题与作二面角的棱有机结合起来，通过二面角与点到平面距离的计算，考查学生计算能力，规范表示能力．19.（I）ξ得可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列、期望．（II）设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C ．男生甲被选中的种数为，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为．由此能求出在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率．本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，考查数据处理能力．20.（Ⅰ）设圆的方程为x2+y2+D x+E y+F=0，把点（0，-1），（3+，0），（3-，0）分别代入，能求出圆C的方程．（Ⅱ）联立，得2x2+（2a-14）x+a2-8a+7=0，由此利用根的判别式和根与系数的关系，结合已知条件推导出不存在实数a，使得圆C与直线x+y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB．本题考查圆的方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要注意待定系数法的合理运用．21.（1）先求f（x）的导数，再对参数a进行讨论，利用导数函数值的正负，从而可求f（x）的单调区间；（2）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是利用导数确定函数的单调性22.（1）由∠EDF=∠ADB，∠ADB=∠ACB，∠CDF=∠ABC，AB=AC，能够证明∠EDF=∠CDF．（2）由∠ADC+∠ABC=180°，∠ACF+∠ACB=180°，知∠ADC=∠ACF，故△ADC≌△ACF，由此能够证明AB2=AD•AF．本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．23.（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值，最后列出关于r的方程即可求出r值．本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．24.（1）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x-2|-|x-5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（2）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．本题考查绝对值不等式的解法，通过对x的范围分类讨论去掉函数式中的绝对值符号是关键，考查转化与分类讨论思想，属于中档题．。

2015年陕西省宝鸡市九校联考高考数学一模试卷（理科）答案和解析【答案】1.B2.D3.D4.C5.C6.A7.A8.A9.B 10.B 11.C 12.D13.3014.2-15.[-1，1）∪[3，+∞）16.16π17.解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则依题知d＞0．由2a3=a1+a5=10，又可得a3=5．由a2a4=21，得（5-d）（5+d）=21，可得d=2．所以a1=a3-2d=1．可得a n=2n-1（n∈N*）…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得S n=a n+1=2n当n≥2时，c n=S n-S n-1=2n-2（n-1）=2当n=1时，c1=S1=2满足上式，所以c n=2（n∈N*）所以，即，因为，b1=4所以数列{b n}是首项为4，公比为2的等比数列．所以前n 项和…（12分）18.解：（Ⅰ）从50名学生中随机抽取两名学生的取法共有种，来自同一所中学的取法共有，∴从50名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为．（Ⅱ）因为50名学生中，来自A，C两所中学的学生人数分别为15，10．依题意得，ξ的可能取值为0，1，2，，，，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2pξ的期望值为…（12分）19.解：（Ⅰ）证明：因为AD∥BC，BC=2AD ，，AB⊥BC，所以，∠DBC=∠ADB=45°，=2，BD2+CD2=BC2，所以CD⊥BD．因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，所以CD⊥平面ABD．…（6分）（Ⅱ）解：点M为线段BC中点，点M到平面ACD的距离就是B到平面ACD的距离的一半，由（Ⅰ）可知：CD⊥平面ABD，∴AB⊥CD，又AB⊥BC，BC∩CD=C，可得AB⊥平面ACD，BA就是B到平面ACD的距离，∵AB=，∴点M到平面ACD 的距离为：．得点M到平面ACD 的距离为．…（12分）20.解：（Ⅰ）由已知M（x，y）到定点F （，0）的距离和它到直线x =距离的比是．得化简得点M（x，y ）的轨迹方程为．（Ⅱ）设直线AB 的方程为．联立方程组消去y 并整理得，故，又x1x2+4y1y2=0，所以，可得，所以由原点O到直线AB 的距离所以21.解：（Ⅰ）证明：∵==．∴．…（6分）（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax2-bx-1=e x-ax2-bx-1，h（x）=g'（x）=e x-2ax-b，h'（x）=e x-2a（1）当时，∵x∈[0，1]，1≤e x≤e，∴2a≤e x恒成立，即h'（x）=e x-2a≥0，h（x）在[0，1]上单调递增，所以h（x）≥h（0）=1-b．（2）当时，∵x∈[0，1]，1≤e x≤e，∴2a＞e x恒成立，即h'（x）=e x-2a＜0，h（x）在[0，1]上单调递减，所以h（x）≥h（1）=e-2a-b．（3）当时，h'（x）=e x-2a=0得x=ln（2a）h（x）在[0，ln2a]上单调递减，在[ln2a，1]上单调递增，所以h（x）≥h（ln2a）=2a-2aln2a-b…（12分）22.证明：（Ⅰ）在△EAB与△ECA中，因为AE为圆O的切线，所以∠EBA=∠EAC因为∠E公用，所以∠EAB=∠E CA，因为△ADC为正三角形，所以∠BAE=∠ECA=120°；（Ⅱ）因为AE为圆O的切线，所以∠ABD=∠CAE．因为△ACD为等边三角形，所以∠ADC=∠ACD，所以∠ADB=∠ECA，所以△ABD∽△EAC．所以=，即AD•CA=BD•EC．因为△ACD为等边三角形，所以AD=AC=CD，所以CD2=BD•EC．23.解：（Ⅰ）圆C的普通方程是（x-1）2+y2=1，又x=ρcosθ，y=ρsinθ所以圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ…（5分）（Ⅱ）解法1：因为射线的普通方程为y=x，x≥0联立方程组消去y并整理得x2-x=0 解得x=1或x=0，所以P点的坐标为（1，1）所以P 点的极坐标为…（10分）解法2：把代入ρ=2cosθ得所以P 点的极坐标为…（10分）24.证明：（Ⅰ）由a＞0，有当且仅当a=1时取等号．所以f（x）≥2…（5分）（Ⅱ）∵x2+4y2+z2=3，由柯西不等式得：[x2+（2y）2+z2]（12+12+12）≥（x+2y+z）2（当且仅当即时取“=”号）整理得：（x+2y+z）2≤9，即|x+2y+z|≤3…（10分）【解析】1. 解：∵A∩B=B，∴B⊆A．当m=0时，B={1，0}，满足B⊆A．当m=2时，B={1，2}，满足B⊆A．∴m=0或m=2．∴实数m的值为0或2．故选：B．由A∩B=B，得B⊆A，然后利用子集的概念求得m的值．本题考查了交集及其运算，考查了子集的概念，是基础题．2. 解：由复数的几何意义知z1=-2-i，z2=i，则z1z2=（-2-i）i=-2i-i2=1-2i，对应的点的坐标为（1，-2）位于第四象限，故选：D．根据复数的几何意义先求出z1，z2即可．本题主要考查复数的几何意义以及复数的基本运算，比较基础．3. 解：∵向量=（1，-2），=（2，1），=（-4，-2），∴•=1×2-2×1=0，∴⊥，A正确；同理可得•=1×（-4）-2×（-2）=0，∴⊥，B正确；∵=-2，∴∥，C正确；∵∥，∴和不能作基底，D错误．故选：D由向量的平行垂直关系和平面向量基本定理，逐个选项验证即可．本题考查平面向量的共线和垂直，以及平面向量基本定理，属基础题．4. 解：由三角形的面积公式S=，以及C=，b=4，△ABC 的面积为，则，∴a=2由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C得：c2=4+16-2×=12，解得：c =2，故答案为：C利用三角形的面积公式即可求出a的值，利用余弦定理列出关系式，即可得到c的值此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．5. 解：∵三角形的三边长分别是5，5，6，∴三角形的高AD=4，则三角形ABC的面积S=×6×4=12，则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2，对应的区域为图中阴影部分，三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，圆的半径为2，则阴影部分的面积为S1=12-×π×22=12-2π，则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为=1-，故选：C．分别求出该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的对应事件的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键，考查转化思想以及计算能力．6. 解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以z O x平面为投影面，则得到正视图为：故选A由题意画出几何体的直观图，然后判断以z O x平面为投影面，则得到正视图即可．本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力7. 解：模拟执行程序，可得S=1，k=1不满足条件k＞a，S=，k=2不满足条件k＞a，S=，k=3不满足条件k＞a，S=，k=4由题意，此时满足条件4＞a，退出循环，输出S 的值为，故选：A．模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=，k=4时，由题意此时满足条件4＞a，退出循环，输出S 的值为，结合选项即可得解．本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8. 解：由导函数图象可知，f（x）在（-∞，-2），（0，+∞）上单调递减，在（-2，0）上单调递增，故选A．由导函数图象可知，f（x）在（-∞，-2），（0，+∞）上单调递减，在（-2，0）上单调递增；从而得到答案．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．9. 解：∵变量x，y 满足约束条件，可行域如图：目标函数为，其几何意义是可行域内的点到（2，-1）距离；点P（2，-1）到直线x-y=0的距离公式可得：d ==，结合图形可得的最小值：．故选：B．作出不等式组表示的平面区域；通过的几何意义：可行域内的点到（2，-1）距离；结合图象求出（2，-1）到直线x-y=0的距离即可．本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，此题是一道中档题，有一定的难度，画图是关键．10. 解：当a＜0时，曲线x2+ay2=1为双曲线，故命题p：“存在a∈R，曲线x2+ay2=1为双曲线”为真命题；≤0的解集是{x|1≤x＜2}故命题q ：“≤0的解集是{x|1＜x＜2}”为假命题；命题“p且q”是假命题，即①错误；命题“p且（¬q）”是真命题，即②正确；命题“（¬p）或q”为假命题，即③错误；命题“（¬p）或（¬q）”是真命题，即④正确．故选：B．根据双曲线的标准方程可判断命题p，解分式不等式可判断命题q，进而根据复合命题真假判断的真值表逐一判断四个命题的真假，可得答案．本题以命题的真假判断为载体考查了复合命题的真假，双曲线的标准方程，解分式不等式等知识点，难度不大，属于基础题．11. 解：二面角α-y-β的大小为60°，平面β上的曲线C1在平面α上的正射影为曲线C2，C2在直角坐标系x O y下的方程x2+y2=1（0≤x≤1），可得b=1，a=2，所以c =．∴e ==．故选：C．利用二面角的平面角求出椭圆的长半轴，结合短半轴的长，求出半焦距的值，即可求解椭圆的离心率．本题考查椭圆的离心率的求法，基本知识的考查．12. 解：画出函数，g（x）=（x+1）（k＞0）的图象，若直线ky=x+1（k＞0）与函数y=f（x）的图象恰有两个不同的交点，结合图象可得：k PA ≤＜k PC，∵k PA ==，k PC ==．∴2＜k≤3．故选D．画出函数，g（x）=（x+1）（k＞0）的图象，利用斜率和题意可得：k PA ≤＜k PC，解出k的取值范围即可．正确画出函数图象、得出斜率k满足的条件是解题的关键．13. 解∵（1-x）（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，而（1+2x）5展开式的通项为∴（1-x）（1+2x）5=展开式中含x2的项为=30x2∴a2=30故答案为：30要求a2，只要求解展开式中的含x2项的系数，根据题意只要先求出（1+2x）5的通项，即可求解本题主要考查了二项展开式的通项在求解指定项中的应用，解题的关键是寻求指定项得到的途径14. 解：函数f（x）=sin（2x -）+4cos2x =sin2xcos -cos2xsin +4•=sin2x+cos2x +2=sin（2x +）+2，故函数的最小值为-+2，故答案为：．利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x +）+2，再利用正弦函数的值域求得它的最小值．本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的值域，属于基础题．15. 解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，∴函数f（x）在（-∞，0）上为减函数，且f（-2）=f（2）=0，作出函数f（x）的草图如图：在则f（x）≤0的解为x≥2或-2≤x＜0，由x-1≥2或-2≤x-1＜0，得x≥3或-1≤x＜1，故不等式f（x-1）≤0的解集是[-1，1）∪[3，+∞），故答案为：[-1，1）∪[3，+∞）根据函数奇偶性和单调性之间的关系先求出f（x）≤0解，即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，利用数形结合是解决本题的关键．16. 解：旋转体的体积为；故答案为：16π．利用定积分在几何中的应用解答；所求为2．本题考查了定积分的应用；将f（x）旋转得到几何体的体积为π．17.（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，利用条件求出a3=5．结合a2a4=21，求出d，然后求解a n．（Ⅱ）由（Ⅰ）求出S n=2n，通过c n=S n-S n-1，推出c n ，表示出，判断数列{b n}是等比数列．然后求解前n项和．本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，等比数列的判定，数列求和的方法，考查计算能力．18.（Ⅰ）利用组合求出从50名学生中随机抽取两名学生的方法数，来自同一所中学的取法数，然后求解概率．（Ⅱ）求出来自A，C两所中学的学生人数分别为15，10．推出ξ的可能取值为0，1，2，时的概率，写出分布列然后求解期望．本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，古典概型的概率的求法，考查计算能力．19.（Ⅰ）通过勾股定理证明CD⊥BD．然后通过平面与平面垂直的性质定理证明CD⊥平面ABD．（Ⅱ）通过点M为线段BC中点，点M到平面ACD的距离就是B到平面ACD的距离的一半，说明BA就是B到平面ACD的距离，求出结果即可．本题考查直线与平面垂直的判断，点到平面的距离的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.（Ⅰ）直接利用已知条件考查方程，化简即可求点M（x，y）的轨迹方程；（Ⅱ）设出直线AB的方程，与椭圆联立方程组消去y并整理利用韦达定理，结合x1x2+4y1y2=0，求出|AB|．原点O到直线AB的距离，然后求AOB的面积．本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．21.（Ⅰ）通过作差法化简表达式，利用配方法推出差值大于等于0，即可．（Ⅱ）求出函数的导数，通过h（x）=f'（x），利用新函数的导数h'（x）=e x-2a，利用（1）当，h（x）在[0，1]上的单调性，推出h（x）≥1-e．（2）当时，推出h（x）≥-2a．（3）当时，通过导数求解h（x）≥2a-2aln2a-e．本题考查函数的导数的应用，不等式的证明，函数的单调性已经函数的导数在闭区间上的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．22.（Ⅰ）证明∠EBA=∠EAC，可得∠EAB=∠ECA，利用△ADC为正三角形，即可求∠BAE的度数；（Ⅱ）先证明△ABD∽△EAC，可得AD•CA=BD•EC，再结合△ACD为等边三角形，所以AD=AC=CD，即可得出结论本题考查三角形相似的判断，考查圆的切线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23.（Ⅰ）通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，直接把圆的普通方程化为极坐标方程即可．（Ⅱ）解法1：求出射线OM的普通方程为y=x，x≥0，与圆的方程联立，求出P点的坐标为（1，1），转化为极坐标即可．解法2：把代入ρ=2cosθ即可求解P点的极坐标．本题考查圆的极坐标方程与普通方程的互化，点的极坐标与极坐标的转化，考查计算能力．24.（Ⅰ）通过绝对值三角不等式，已经基本不等式，即可证明f（x）≥2；（Ⅱ）利用已知条件构造柯西不等式，然后证明即可．本题考查不等式的证明，基本不等式以及柯西不等式的应用，考查推理与计算能力．。

2015年陕西省宝鸡市高考数学三模试卷（理科）答案和解析【答案】1.A2.B3.A4.D5.A6.A7.B8.C9.A 10.A 11.C 12.B13.14.a15.16.（0，+∞）17.（共13分）解：（Ⅰ）∵=cos（0+φ）∴φ的值是．…（2分）∵=cos（πx0+）∴2π-=πx0+，可得x0的值是．…（5分）（Ⅱ）由题意可得：．…（7分）所以=…（8分）==．…（10分）因为，所以．所以当，即时，g（x ）取得最大值；当，即时，g（x ）取得最小值．…（13分）18.（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴PD⊥AC又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，BD∩PD=D∴AC⊥平面PBD，∵DE⊂平面PBD∴AC⊥DE…（6分）（II）解：分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=t ，则由（I）知：平面PBD 的法向量为，令平面PAB 的法向量为，则根据得∴因为二面角A-PB-D 的余弦值为，则，即，∴…（9分）∴设EC与平面PAB所成的角为θ，∵，∴…（12分）19.解：（Ⅰ）∵椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为，∴c=1，=，∴a =，∴b ==1-----------------（3分）∴椭圆的方程为．-----------------（4分）（Ⅱ）设点P（m，0）（-≤m ≤），则直线l的方程为y=x-m，-----------------（2分）代入椭圆方程，消去y，得3x2-4mx+2m2-2=0-----------------（4分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，----------------（6分）∴|PA|2+|PB|2=（x1-m）2+y12+（x2-m）2+y22=2[（x1+x2）2-2x1x2-2m（x1+x2）+2m2]=2[（）2--2m ×+2m2]=-m2+-----------------（8分）∵-≤m ≤，即0≤m2≤2∴当m=0时，（|PA|2+|PB|2）max =，|PA|2+|PB|2的最大值为．---------------（10分）20.（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p ++q=1．…（2分）又因为，所以q =．…（3分）（Ⅱ）解：记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，…（4分）则，且A，B独立．由上表可知，，P（B）=p．所以…（5分）==．…（6分）因为，所以．…（7分）又因为，q≥0，所以．所以．…（8分）（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X的分布列为：X 4 0 -2P…（9分）则．…10分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y的分布列为：Y 2 0 -1P…（11分）则．…（12分）因为EX＞EY，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．…（13分）21.解：（1）由题意h（x）=x-lnx-2（x＞1），则h'（x）=1-所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，所以h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）（2）因为f（x）=x+xlnx，可知k ＜对任意x＞1恒成立，即k ＜对任意x＞1恒成立令g（x）=，求导g'（x）=由（1）知，h（x）=x-lnx-2，h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0所以函数g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．因之，[g（x）]min=g（x0）=，从而k＜[g（x）]min=x0∈（3，4），故整数的最大值为3；（3）证明：由（2）可知，xlnx＞2x-3（x＞1），取x=k（k≥2，k∈N*），则有：2ln2＞2×2-3，3ln3＞2×3-3，…，klnk＞2k-3，将上式各式子相加得：2ln2+3ln3+…+klnk＞2（2+3+4+…+k）-3（k-1）=k2-2k+1=（k-1）2，即，可得，，从而有：==．22.证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF又AB=AC∴∠ABC=∠A CB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；（II）由（I）得∠ADB=∠ABF，∵∠BAD=∠FAB，∴△BAD∽△FAB，∴=，∴AB2=AD•AF，∵AB=AC，∴AB•AC=AD•AF，∴AB•AC•DF=AD•AF•DF，根据割线定理DF•AF=FC•FB，∴AB•AC•DF=AD•FC•FB．23.解：（1）消去参数θ，得曲线C的标准方程：（x-1）2+y2=1．由得：ρcosθ-ρsinθ=0，即直线l的直角坐标方程为：x-y=0．（2）圆心（1，0）到直线l 的距离为，则圆上的点M到直线的最大距离为（其中r为曲线C的半径），．设M点的坐标为（x，y），则过M且与直线l垂直的直线l'方程为：x+y-1=0，则联立方程，解得，或，经检验舍去．故当点M 为时，△ABM面积的最大值为（S△ABM）max =．24.解：（i）由2a+b=9得9-b=2a，即|9-b|=2|a|．所以|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．所以a的取值范围-1＜a＜1．（ii）因为a，b＞0，2a+b=9，所以，当且仅当a=b=3时，等号成立．故z的最大值为27．…（7分）【解析】1. 解：==i-1．故选：A．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2. 解：平面向量=（1，2），=（-2，y ）且，则，可得-2+2y=0，解得y=1，||==．故选：B．通过向量垂直数量积为0求出y，然后求解向量的模．本题考查向量的数量积的应用，向量垂直体积的应用，考查计算能力．3. 解：由a＜b＜0能推出ab＞b2，是充分条件，由ab＞b2，推不出a＜b＜0，不是必要条件，故选：A．根据充分必要条件的定义进行判断即可．本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．4. 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面棱长为2，高h=2，故侧面的侧高为=，故该四棱锥侧面积S=4××2×=4，故选：D由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出侧面的高后，计算各个侧面的面积，相加可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．5. 解：由于f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x-sinx，∴f′（-x）=-f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x =时，f ′（）=-sin =-1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x-sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x =代入f ′（）=-sin =-1＜0，排除C，只有A适合．本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题．6. 解：当空白矩形框中应填入的语句为S=2*i时，程序在运行过程中各变量的值如下表示：i S 是否继续循环循环前1 0/第一圈 2 5是第二圈 3 6是第三圈 4 9是第四圈 5 10否故输出的i值为：5，符合题意．故选：A．题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s＜10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案．本题考查了程序框图中的当型循环，当型循环是当条件满足时进入循环体，不满足条件算法结束，输出结果，属于基础题．7. 解：第一个因式取x2，第二个因式取，可得=5；第一个因式取2，第二个因式取（-1）5，可得2×（-1）5=-2∴（x2+2）（-1）5的展开式的常数项是5+（-2）=3故选B．（x2+2）（-1）5的展开式的常数项是第一个因式取x2，第二个因式取；第一个因式取2，第二个因式取（-1）5，故可得结论．本题考查二项式定理的运用，解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径．8. 解：分2步进行分析：①、先将5名学生分成3组，每组至少一人，有2，2，1或3，1，1两种情况；若分成2，2，1的三组，有=15种分组方法，若分成3，1，1的三组，有=10种分组方法，则将5名学生分成3组，每组至少一人，有15+10=25种分组方法，②、将分好的3组对应3个地段，有A33=6种情况，故共有25×6=150种不同的分配方案．故选：C根据题意，分2步进行分析：①、先将5名学生分成3组，每组至少一人，分析可得有2，2，1或3，1，1两种情况；分别求出每种情况的分组方法数目，再由分类计数原理可得全部的分组方法数目，②、将分好的3组对应3个地段，有A33=6种情况，进而由分步计数原理计算可得答案．本题考查分步、分类计数原理的运用，分析本题要先分组，再对应三个地段进行全排列，解题时注意排列、组合公式的灵活运用．9. 解：把函数y=cos （-2x）=cos（2x -）的图象向右平移，得到函数f（x）=cos[2（x -）-]=cos（2x -）=sin2x的图象，由于f（x）是周期为π的奇函数，故选：A．由条件利用诱导公式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、奇偶性，得出结论．本题主要考查诱导公式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、奇偶性，属于基础题．10. 解：点P在曲线y=x2上，可设P（m，m2），则P到直线y=2x-2即2x-y-2=0的距离为d ==，当m=1时，d 取得最小值，且为．故选A．点P在曲线y=x2上，可设P（m，m2），再由点到直线的距离公式，配方，由二次函数的最值，即可得到所求值．本题考查抛物线的方程的运用，主要考查点到直线的距离公式的运用，运用二次函数的最值是解题的关键．11. 解：由题意，设右焦点为F′，则PF′=a，PF=3a，∴EF=a，∴=a，∴e ==．故选：C．右焦点为F′，则PF′=a，PF=3a，EF=a，利用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．12. 解：∵f（x）=2x+1，x∈N，满足：f（9）+f（10）+f（11）=63，故（9，2）为函数f（x）的一个“生成点”．f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=63，故（1，6）为函数f（x）的一个“生成点”．又∵函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，∴81a+9b+c=2，a+b+c=6，解得：b =--10a，c=9a +，若函数y=g（x）与x轴无交点，则△=b2-4ac=（）2-4a（9a +）＜0，解得：，故选：B根据“生成点“的定义，求出（9，2），（1，6）为函数f（x）的一个“生成点”．根据函数f（x）=2x+1，x∈N 的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，可求出a，b，c的关系，进而根据函数y=g（x）与x轴无交点，△＜0，求出a的取值范围．本题考查的知识点是合情推理，二次函数的图象和性质，正确理解“生成点“的定义，是解答的关键．13. 解：设幂函数y=f（x）=xα，∵其图象过点，∴f （）==，∴α=．∴f（2）==，∴log2f（2）=log 2=，故答案为：．可设幂函数y=f（x）=xα，由题意可求得α的值，从而可得f（2），可得答案．本题考查幂函数的概念与解析式，求得α的值是关键，考查待定系数法与计算能力，属于基础题．14. 解：依题意知∠ACB=180°-20°-40°=120°，在△ABC中，由余弦定理知AB===a．即灯塔A与灯塔B 的距离为a．故答案为：a先根据题意求得∠ACB，进而根据余弦定理求得AB．本题主要考查了余弦定理的应用．余弦定理可以解决知道两个边和1个角来求令一个边，属于基本知识的考查．15. 解：由约束条件作出可行域如图，∵，M（x，y），∴=，化为，由图可知，当直线过A（1，1）时，目标函数有最小值，．故答案为：．由约束条件作出可行域，化向量数量积为线性目标函数，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了平面向量的数量积，训练了数形结合的解题思想方法，是中档题．16. 解：∵a1=a，a n+1=1+，∴a2=1+=，a3=，a4=，要使对任意的自然数n ≥4，恒有＜a n＜2，则只需要＜1+＜2，要即＜a n＜2，当且仅当它的前一项a n-1满足1＜a n-1＜2，显然只需a4∈（1，2）时，都有a n ∈（，2），（n≥5）．∴欲使1＜a4＜2，则＜a n＜2，（n≥5），∵a4=，∴满足＜＜2，即，即，解得a＞0，即a的取值范围为（0，+∞），故答案为：（0，+∞）根据数列的递推关系进行递推即可．本题主要考查递推数列的应用，结合不等式进行递推是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．17.（Ⅰ）由题意可得=cos（0+φ），可得φ的值．由=cos（πx0+），可得x0的值．（Ⅱ）先求得g（x）的函数解析式，由，可得，从而可求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．本题主要考察了，三角函数化简求值，三角函数的图象与性质，三角函数最值的解法，属于中档题．18.（I）证明线线垂直，正弦证明线面垂直，即证AC⊥平面PBD；（II）分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=t，用坐标表示点，求得平面PBD的法向量为，平面PAB 的法向量为，根据二面角A-PB-D 的余弦值为，可求t的值，从而可得P的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得EC与平面PAB所成的角．本题考查线线垂直，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，利用空间向量解决线面角问题，属于中档题．19.（Ⅰ）利用椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为，求出c，a，可得b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P（m，0）（-≤m ≤），则直线l的方程为y=x-m，代入椭圆方程，表示出|PA|2+|PB|2，利用韦达定理代入，即可求|PA|2+|PB|2的最大值．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20.（Ⅰ）根据p ++q=1解出即可；（Ⅱ）设出各个事件后得，根据，，从而求出P的范围；（Ⅲ）分别求出EX，EY在值，通过比较得到结论．本题考查了互斥事件的概率问题，考查了期望问题，是一道基础题．21.（1）由题意h（x）=x-lnx-2（x＞1），则h'（x）=1-，得到函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，得到根的情况（2）分离参数k，转化为恒成立问题，构造新函数，利用导数求解．（3）由（2）可知，xlnx＞2x-3（x＞1），取x=k（k≥2，k∈N*），得到新函数，利用新函数的性质，利用放缩法求证．本题主要考查导数在含参数问题，证明题目中的应用，利用放缩法证明不等式，属于难度较大的题目，高考常作为压轴题．22.（I）根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB2=AD•AF，因为AB=AC，所以AB•AC=AD•AF，再根据割线定理即可得到结论．本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，考查三角形的相似，属于基础题．23.（1）先将原极坐标方程利用三角函数的和角公式后再化成直角坐标方程，再利用消去参数θ得到曲线C的直角坐标方程．（2）欲求△ABM面积的最大值，由于AB一定，故只要求AB边上的高最大即可，根据平面几何的特征，当点M在过圆心且垂直于AB的直线上时，距离AB最远，据此求面积的最大值即可．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．24.（i）由题意可得|9-b|=2|a|，不等式|9-b|+|a|＜3可化为|a|＜1，由此解得a的范围．（ii）因为a，b＞0，2a+b=9，再根据z=a2b=a•a•b，利用基本不等式求得它的最大值．本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．。

2015-2016学年陕西省宝鸡市金台区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|lnx＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1}B．{x|x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜1}2．（5分）投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=（）A．3 B．2 C．5 D．4．（5分）阅读程序框图，若输出的，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．5 D．15．（5分）在等差数列{a n}中，2a3+a9=3，则数列{a n}的前9项和等于（）A．9 B．6 C．3 D．126．（5分）设函数，f（﹣6）+f（log214）=（）A．9 B．10 C．11 D．127．（5分）设曲线y=ax+ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（）A．B．C．D．19．（5分）在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣1），则sin（2α﹣）=（）A．B．﹣C．D．﹣10．（5分）若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0的圆心，则的最小值为（）A．10 B．C．D．11．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F也是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，C1与C2的一个交点为P，若PF⊥x轴，则双曲线C1的离心率为（）A．+1 B．2 C．2﹣1 D．+112．（5分）定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A．3f（2）＜2f（3）B．3f（3）＞4f（4）C．3f（4）＜4f（3）D．f（2）＜2f（1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量，且与共线，则x的值为．14．（5分）已知变量x，y满足，则z=x+y+5的最大值为．15．（5分）的展开式中x3的系数为﹣84，则a=．（用数字填写答案）16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若2S n+3=3a n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣lnx﹣2，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分，多答按所答第一题评分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l的曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+1|（a＞0），g（x）=x+2．（1）当a=1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年陕西省宝鸡市金台区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|lnx＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1}B．{x|x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜1}【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即A={x|﹣1＜x＜3}，由B中不等式变形得：lnx＞0=ln1，即x＞1，∴B={x|x＞1}，则A∩B={x|1＜x＜3}，故选：C．2．（5分）投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：投掷两枚骰子，出现的点数共有6×6=36中情况，且他们出现的机会均等．点数之和是8共有5种情况，即（2，6），（6，2），（3，5），（5，3），（4，4）．∴P（点数之和是8）=．故选：A．3．（5分）已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=（）A．3 B．2 C．5 D．【解答】解：=1﹣bi，可得a=1+b+（1﹣b）i，因为a，b是实数，所以，解得a=2，b=1．所以|a﹣bi|=|2﹣i|==．故选：D．4．（5分）阅读程序框图，若输出的，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．5 D．1【解答】解：由已知中的程序语句可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，∵y=，∴当x≤2时，sin（x）=，解得x=1，当x＞2时，2x=，无解．故选：D．5．（5分）在等差数列{a n}中，2a3+a9=3，则数列{a n}的前9项和等于（）A．9 B．6 C．3 D．12【解答】解：在等差数列{a n}中，∵2a3+a9=3，∴2（a1+2d）+（a1+8d）=3，∴3a1+12d=3，∴a1+4d=1，∴数列{a n}的前9项和：S9==9（a1+4d）=9．故选：A．6．（5分）设函数，f（﹣6）+f（log214）=（）A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：∵函数，∴f（﹣6）=1+3=4，f（log214）=7，∴f（﹣6）+f（log214）=11，故选：C．7．（5分）设曲线y=ax+ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：y=ax+ln（x+1）的导数为y′=a+，在点（0，0）处的切线斜率为a+1=1，解得a=0，故选：A．8．（5分）某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（）A．B．C．D．1【解答】解：当底面面面最大值，底面为正方形，此时V=×1×1×2=，1＞，故该几何体的体积不可能是1，故选：D．9．（5分）在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣1），则sin（2α﹣）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵角α的终边过点P（﹣，﹣1），∴α=+2kπ，∴sin（2α﹣）=sin（4kπ+﹣）=﹣，故选：D．10．（5分）若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0的圆心，则的最小值为（）A．10 B．C．D．【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0的圆心（﹣2，2）在直线ax﹣by+2=0上，所以﹣2a﹣2b+2=0，即1=a+b，=（）（a+b）=5++≥5+2（a＞0，b＞0当且仅当a=b时取等号）故选：C．11．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F也是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，C1与C2的一个交点为P，若PF⊥x轴，则双曲线C1的离心率为（）A．+1 B．2 C．2﹣1 D．+1【解答】解：抛物线y2=2px的焦点为F（，0），由MF与x轴垂直，令x=，可得|MF|=p，双曲线﹣=1的实半轴为a，半焦距c，另一个焦点为F'，由抛物线y2=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，即c=，可得双曲线的焦距|FF′|=2c=p，由于△MFF′为直角三角形，则|MF′|==p，根据双曲线的定义，得2a=|MF′|﹣|MF|=p﹣p，可得a=（）p．因此，该双曲线的离心率e===．故选：A．12．（5分）定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A．3f（2）＜2f（3）B．3f（3）＞4f（4）C．3f（4）＜4f（3）D．f（2）＜2f（1）【解答】解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），因为定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），所以x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，由得，则，则当∈（0，+∞）时，f（x）+xf′（x）＜0，即g′（x）＜0，所以函数g（x）在（0，+∞）上递减，则g（3）＞g（4），即3f（3）＞4f（4），故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量，且与共线，则x的值为﹣2．【解答】解：∵向量，∴﹣=（2﹣x，2），又与共线，∴（2﹣x）×（﹣1）﹣2x=0，解得x=﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）已知变量x，y满足，则z=x+y+5的最大值为8．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），化目标函数z=x+y+5为y=﹣x+z﹣5，由图可知，当直线y=﹣x+z﹣5过点A（1，2）时，直线在y轴上的截距最大，z 有最大值为8．故答案为：8．15．（5分）的展开式中x3的系数为﹣84，则a=﹣1．（用数字填写答案）【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1=•a9﹣2r•x9﹣2r，令9﹣2r=3，r=3，故展开式中x3的系数为•a3=﹣84，求得a=﹣1，故答案为：﹣1．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若2S n+3=3a n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=3n．【解答】解：∵2S n+3=3a n（n∈N*），∴2S n+1+3=3a n+1（n∈N*），两式相减得：2a n+1=3a n+1﹣3a n，整理得：a n+1=3a n，又∵2S1+3=3a1，即a1=3，∴数列{a n}是首项、公比均为3的等比数列，∴a n=3n，故答案为：3n．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2．，，，随机变量X的分布列是：．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵c=2，C=，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=4，又∵△ABC的面积等于，∴，∴ab=4联立方程组，解得a=2，b=2（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA，∴sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，，，，，求得此时当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得，．所以△ABC的面积综上知△ABC的面积19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【解答】解：（I）PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD；∴PD⊥BD，即BD⊥PD；又BD⊥AD，AD∩PD=D；∴BD⊥平面PAD，PA⊂平面PAD；∴PA⊥BD；（II）分别以DA，DB，DP三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设PD=AD=1，则：D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）；∴，，；设平面PCD的法向量为，则：，取y=1，∴；记直线PB与平面PCD所成角为θ，sinθ==；∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．20．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．【解答】解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设解得a2=3故所求椭圆的方程为；（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①∴从而∴又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，则即2m=3k2+1②把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得解得．故所求m的取范围是（）．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣lnx﹣2，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（I）…（2分）①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；…（4分）②当a＞0时，令f′（x）=0，解得，当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0；∴函数f（x）在当内单调递减，在内单调递增；…（6分）（II）当a≤0时，由（I）知f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，函数f（x）不可能有两个零点；…（8分）当a＞0时，由（I）得，函数f（x）在当内单调递减，在内单调递增，且当x趋近于0和正无穷大时，f（x）都趋近于正无穷大，故若要使函数有两个零点；…（10分）则f（x）的极小值，即，解得0＜a＜e3所以a的取值范围是（0，e3）…（12分）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分，多答按所答第一题评分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（5分）（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l的曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【解答】解：（1）将直线l的参数方程（t为参数），消去参数t，化为普通方程=0，将代入=0得=0．（2）C曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为普通方程为x2+y2﹣4x=0．联立解得：或，∴l与C交点的极坐标分别为：，．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+1|（a＞0），g（x）=x+2．（1）当a=1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）≤g（x）即|2x﹣1|+|2x+1|≤x+2，等价于①，或②，或③．解①求得x无解，解②求得0≤x＜，解③求得≤x≤，综上，不等式的解集为{x|0≤x≤}．（2）由题意可得|2x﹣a|+|2x+1|≥x+2恒成立，转化为|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2≥0 恒成立．令h（x）=|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2=（a＞0），易得h（x）的最小值为﹣1，令﹣1≥0，求得a≥2．。

陕西省宝鸡中学2015届高三上学期期中考试数学(理)试题说明：1.本试题分I、II两卷，第I卷的答案要按照A、B卷的要求涂到答题卡上，第II卷写在答题纸上，试题不交；2.全卷共三大题21小题，满分150分，120分钟完卷。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（每题5分，共50分）1.已知集合A,B满足,则A,B的关系为A. B. C. D.无法确定2.已知函数，则函数为A． B. C. D.3.下列命题中真命题为A．奇函数一定为单调函数. B. 一元三次函数一定有零点.C.,若则.D.，恒成立时4.函数的零点所在的区间为A．（0,1） B. （1，2） C. （） D. （2,3）5.函数，的图像大致为A． B. C. D.6.已知复数z 在复平面上对应的点为A ，输入z ，由流程图判定输出的结果为A. B.C. 2D.7.函数()b a x x x f +-+=22，为偶函数的一个充分不必要条件为 A ． B.C. D.8.设a,b,c 为正数，且， （第6题）b b 21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，，则 A ．b<a<c B. c<a<b C. c<b<a D. a<b<c9.若函数则函数的零点的个数是A ．1 B. 2 C. 3 D. 410．已知函数的定义域为R ，若与都是奇函数，则说法正确的是①图像的一个对称中心为 ②是周期为4的周期函数③是奇函数 ④的图像关于对称A ．①② B. ①④ C ．①②③ D ．①②③④第Ⅱ卷（共100分）二、选择题（每题5分，共25分）11.曲线在处的切线方程为 .12.要得到的图像，可将的图像向 平移 个单位.13.函数在（-2,2）内单调递增，则实数的取值范围为 .14.已知二次函数，其中，对都有,则的最大值为 .15.（只选一题作答）（1）已知圆的极坐标方程为，圆心为,直线的参数方程为（为参数），且直线过圆心，则为 .（2）如图，AB 是半径为3的圆O的直径，CD 是圆O 的弦，BA 的延长线与DC 的延长线交于点P ，若PA=4，PC=5，则 .三、解答题（共75分 ）16.已知集合}{12-<<=m x m x A ，函数，的值域为，且,求实数的取值范围。

2015年陕西省宝鸡市高考数学一模试卷（理科）一．选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，每小题只有一个答案符合要求．）1．（5分）设集合M＝{x|lnx＞0}，N＝{x|﹣3≤x≤3}，则M∩N＝（）A．（1，3]B．[1，3）C．（1，3）D．[1，3] 2．（5分）若z∈C，且（1+i）z＝3+4i，则复数z的虚部是（）A．B．C．i D．i3．（5分）对任意实数a、b、c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件；③“a＜5”是“a＜3”的必要条件；④“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件．其中真命题的个数是（）A．4B．3C．4D．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．C．D．15．（5分）设a＝log37，b＝23.3，c＝0.83.3，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 6．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值等于（）A．1B．C．D．7．（5分）下列函数中，满足f（xy）＝f（x）+f（y）的单调递增函数是（）A．f（x）＝log2x B．f（x）＝x2C．f（x）＝2x D．f（x）＝x8．（5分）某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加志愿者活动，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的推选法共有（）A．140种B．34种C．35种D．120种9．（5分）设x是三角形的最小内角，则函数y＝sin x+cos x的值域是（）A．（0，]B．B[﹣，]C．（1，]D．（1，] 10．（5分）函数y＝sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0D．11．（5分）已知抛物线y2＝8x的焦点与椭圆+y2＝1的一个焦点重合，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）函数g（x）＝log2x，关于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3＝0在（0，2）内有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，4﹣2）∪（4+2，+∞）B．（4﹣2，4+2）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若（ax2﹣）9的展开式中常项等于84，则实数a＝（用数字作答）．14．（5分）已知直线y＝kx+1与曲线y＝x3+ax+b切于点（1，3），则a，b的值分别为．15．（5分）观察等式：①×13+×12+×1＝12，②×23+×22+×2＝12+22，③×33+×32+×3＝12+22+32，…以上等式都是成立的，照此写下去，第2015个成立的等式是．16．（5分）若目标函数z＝kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a3＝5，且a1，a7，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1+a3+a5+…+a2n﹣1．18．（12分）已知在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC＝AD＝CD＝DE＝2，F为CD的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；（Ⅱ）求平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小；（Ⅲ）求点A到平面BCD的距离的取值范围．19．（12分）某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加市青年联合会志愿者．（Ⅰ）所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分别列及数学期望；（Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C过点（0，﹣1），（3+，0），（3﹣，0）（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）是否存在实数a，使得圆C与直线x+y+a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+lnx（a∈R）（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f （x1）＜g（x2），求实数a的取值范围．四、请考在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，圆O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交圆O于点D，交BC的延长线于点F，DE是BD的延长线，连接CD．（Ⅰ）求证：∠EDF＝∠CDF；（Ⅱ）求证：AB2＝AF•AD．四、请考在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程23．（选做题）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．四、请考在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-5：不等式选讲24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x﹣5|．（1）证明：﹣3≤f（x）≤3；（2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．2015年陕西省宝鸡市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，每小题只有一个答案符合要求．）1．（5分）设集合M＝{x|lnx＞0}，N＝{x|﹣3≤x≤3}，则M∩N＝（）A．（1，3]B．[1，3）C．（1，3）D．[1，3]【解答】解：∵M＝{x|lnx＞0}＝{x|x＞1}又∵N＝{x|﹣3≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1＜x≤3}＝（1，3]故选：A．2．（5分）若z∈C，且（1+i）z＝3+4i，则复数z的虚部是（）A．B．C．i D．i【解答】解：∵（1+i）z＝3+4i，∴＝＝，其虚部为．故选：B．3．（5分）对任意实数a、b、c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件；③“a＜5”是“a＜3”的必要条件；④“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件．其中真命题的个数是（）A．4B．3C．4D．1【解答】解：①若c＝0时，a＝1，b＝2．，满足ac＝bc，但a＝b不成立，则“a ＝b”是“ac＝bc”的充要条件错误；②若a＝b＝v＝c＝0，满足b2＝ac，但a，b，c成等比数列错误，故②错误；③“a＜5”是“a＜3”的必要条件，正确；④若a＝2，b＝﹣2满足a＞b，但“a2＞b2”不成立，故④错误．故正确命题是③，故选：D．4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．C．D．1【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的三棱锥，底面面积S＝×2×2＝2，高h＝2，故棱锥的体积V＝Sh＝，故选：A．5．（5分）设a＝log37，b＝23.3，c＝0.83.3，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 【解答】解：∵1＜a＝log37＜2，b＝23.3＞2，c＝0.83.3＜1．∴c＜a＜b．故选：B．6．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值等于（）A．1B．C．D．【解答】解：执行程序框图，有S＝1，k＝1不满足条件k＞2015，不满足条件s＜1，S＝，k＝2不满足条件k＞2015，满足条件s＜1，S＝，k＝3不满足条件k＞2015，满足条件s＜1，S＝，k＝4不满足条件k＞2015，满足条件s＜1，S＝1，k＝5不满足条件k＞2015，不满足条件s＜1，S＝，k＝6…观察规律可知，S的取值以4为周期，由于2014＝503*4+2，故有：k＝2014，不满足条件k＞2015，满足条件s＜1，S＝，k＝2015不满足条件k＞2015，不满足条件s＜1，S＝，k＝2016满足条件k＞2015，退出循环，输出S的值为，故选：C．7．（5分）下列函数中，满足f（xy）＝f（x）+f（y）的单调递增函数是（）A．f（x）＝log2x B．f（x）＝x2C．f（x）＝2x D．f（x）＝x【解答】解：根据对数函数的图象和性质，可知A为单调递增函数，D为单调递减函数，根据指数函数的图象和性质，可知C为单调递增函数，根据幂函数的图象和性质，可知B：f（x）＝x2（﹣∞，0）为单调减函数，在（0，+∞）为单调递减函数，因为2x+2y≠2xy，故不满足f（xy）＝f（x）+f（y），f（x）+f（y）＝log2x+log2y ＝f（x）＝log2xy＝f（xy），故选：A．8．（5分）某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加志愿者活动，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的推选法共有（）A．140种B．34种C．35种D．120种【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加志愿者活动，分析可得，这是组合问题，共C74＝35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1＝34种；故选：B．9．（5分）设x是三角形的最小内角，则函数y＝sin x+cos x的值域是（）A．（0，]B．B[﹣，]C．（1，]D．（1，]【解答】解：因为x为三角形中的最小内角，所以0＜x≤y＝sin x+cos x＝sin（x+）∴sin（x+）≤11＜y≤故选：C．10．（5分）函数y＝sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0D．【解答】解：令y＝f（x）＝sin（2x+φ），则f（x+）＝sin[2（x+）+φ]＝sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ＝kπ+，∴φ＝kπ+，k∈Z，∴当k＝0时，φ＝．故φ的一个可能的值为．故选：B．11．（5分）已知抛物线y2＝8x的焦点与椭圆+y2＝1的一个焦点重合，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点为（2，0）；故c＝2，b＝1，a＝；故e＝＝；故该椭圆的离心率为；故选：D．12．（5分）函数g（x）＝log2x，关于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3＝0在（0，2）内有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，4﹣2）∪（4+2，+∞）B．（4﹣2，4+2）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）【解答】∵g（x）＝log2x在（0，2）上单调递增，且g（x）＜1；故|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3＝0在（0，2）内有三个不同实数解可化为t2+mt+2m+3＝0有两个根，分别在（0，1），[1，+∞）上或在（0，1），{0}上；当若在（0，1），{0}上，则2m+3＝0，则m＝﹣；故t＝0或t＝；不成立；若在（0，1），{1}上；则1+m+2m+3＝0，故m＝﹣；故t2+mt+2m+3＝0的解为t＝或t＝1；成立；若在（0，1），（1，+∞）上，则；解得﹣＜m＜﹣；故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若（ax2﹣）9的展开式中常项等于84，则实数a＝1（用数字作答）．【解答】解：T r+1＝C9r×（﹣1）r×a9﹣r×x18﹣3r．令18﹣3r＝0，∴r＝6．∴T r+1＝C96×（﹣1）6×a9﹣6＝84，∴a＝1．故答案为：1．14．（5分）已知直线y＝kx+1与曲线y＝x3+ax+b切于点（1，3），则a，b的值分别为﹣1和3．【解答】解：把（1，3）代入直线y＝kx+1中，得到k＝2，求导得：y′＝3x2+a，所以y′|x＝1＝3+a＝2，解得a＝﹣1，把（1，3）及a＝﹣1代入曲线方程得：1﹣1+b＝3，则b的值为3．故答案为：﹣1和3．15．（5分）观察等式：①×13+×12+×1＝12，②×23+×22+×2＝12+22，③×33+×32+×3＝12+22+32，…以上等式都是成立的，照此写下去，第2015个成立的等式是×20153+×20152+×2015＝12+22+32+42+ (20152)【解答】解：由已知中的等式：观察等式：①×13+×12+×1＝12，②×23+×22+×2＝12+22，③×33+×32+×3＝12+22+32，…归纳可得：第n个成立的等式是：×n3+×n2+×n＝12+22+32+42+…+n2，当n＝2015时，第2015个成立的等式是：×20153+×20152+×2015＝12+22+32+42+…+20152故答案为：×20153+×20152+×2015＝12+22+32+42+…+2015216．（5分）若目标函数z＝kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是（﹣4，2）．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z＝kx+2y得y＝﹣x+，要使目标函数z＝kx+2y仅在点B（1，1）处取得最小值，则阴影部分区域在直线z＝kx+2y的右上方，∴目标函数的斜率﹣大于x+y＝2的斜率且小于直线2x﹣y＝1的斜率即﹣1＜﹣＜2，解得﹣4＜k＜2，即实数k的取值范围为（﹣4，2），故答案为：（﹣4，2）．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a3＝5，且a1，a7，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1+a3+a5+…+a2n﹣1．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公差为d，由题意，a72＝a1a5，即（a1+6d）2＝a1（a1+4d），又a3＝a1+2d＝5（d≠0），得a1＝9，d＝﹣2故a n＝﹣2n+11．（Ⅱ）令S n＝a1+a3+a5+…+a2n﹣1，由（1）知a2n﹣1＝﹣4n+13，故{a2n}是首项为9，公差为﹣4的等差数列．﹣1∴S n＝＝＝﹣2n2+11n．18．（12分）已知在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC＝AD＝CD＝DE＝2，F为CD的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；（Ⅱ）求平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小；（Ⅲ）求点A到平面BCD的距离的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面ACD，AB∥DE，∴DE⊥平面ACD，∵AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又∵AC＝AD＝CD，F为CD中点，∴AF⊥CD．∵DE⊂平面CDE，CD⊂平面CDE，CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE．（Ⅱ）如图，以F为原点，过F平行于DE的直线为x轴，FC，F A所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，∵AC＝2，∴A（0，0，），设AB＝x，所以B（x，0，），C（0，1，0）所以＝（x，0，0），＝（0，1，﹣），设平面ABC的一个法向量为＝（a，b，c），则由⋅＝0，⋅＝0，得a＝0，b＝c，不妨取c＝1，则＝（0，，1）．∵AF⊥平面CDE，∴平面CDE的一个法向量为（0，0，）．∴cos＜，＞＝＝，∴＜，＞＝60°．∴平面ABC与平面CDE所成的小于90°的二面角的大小为60°．（Ⅲ）设AB＝x，则x＞0．∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD．又∵AF⊥CD，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，AB∩AF＝A，∴CD⊥平面ABF．∵CD⊂平面BCD，∴平面ABF⊥平面BCD．连BF，过A作AH⊥BF，垂足为H，则AH⊥平面BCD．线段AH的长即为点A到平面BCD的距离．在Rt△AFB中，AB＝x，AF＝CD＝，∴BF＝，∴AH＝＝∈（0，）．19．（12分）某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加市青年联合会志愿者．（Ⅰ）所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分别列及数学期望；（Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（I）ξ得可能取值为0，1，2，由题意P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，…（3分）∴ξ的分布列、期望分别为：Eξ＝0×+1×+2×＝1．…（6分）（II）设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C．…（8分）男生甲被选中的种数为，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为．∴P（C）＝＝＝．…（11分）在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为．…（12分）20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C过点（0，﹣1），（3+，0），（3﹣，0）（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）是否存在实数a，使得圆C与直线x+y+a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，把点（0，﹣1），（3+，0），（3﹣，0）分别代入，得：，解得D＝﹣6，E＝8，F＝7，∴圆C的方程为x2+y2﹣6x+8y+7＝0．（Ⅱ）联立，得2x2+（2a﹣14）x+a2﹣8a+7＝0，∵圆C与直线x+y+a＝0交于A，B两点，∴△＝（2a﹣14）2﹣8（a2﹣8a+7）＞0，解得﹣5＜a＜7，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝7﹣a，x1x2＝，y1y2＝（﹣x1﹣a）（﹣x2﹣a）＝，∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2＝2＝0，∴+（7﹣a）a+a2＝0，整理，得a2﹣a+7＝0，△′＝1﹣28＜0，方程无解，∴不存在实数a，使得圆C与直线x+y+a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+lnx（a∈R）（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f （x1）＜g（x2），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）…（2分）当a≥0时，由于x∈（0，+∞），f′（x）＞0，所以函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），…（4分）当a＜0时，令f'（x）＝0，得．当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表：（﹣所以函数f（x）的单调增区间为（0，），函数f（x）的单调减区间为…（6分）（2）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max…（8分）因为g（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max＝2…（9分）由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）＝ae3+3＞2，故不符合题意．）…（10分）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，…（11分）所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．…（12分）四、请考在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，圆O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交圆O于点D，交BC的延长线于点F，DE是BD的延长线，连接CD．（Ⅰ）求证：∠EDF＝∠CDF；（Ⅱ）求证：AB2＝AF•AD．【解答】解：（1）∵∠EDF＝∠ADB，∠ADB＝∠ACB，∠CDF＝∠ABC，AB＝AC，∴∠EDF＝∠CDF；（2）∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ACF+∠ACB＝180°，∴∠ADC＝∠ACF，∴△ADC∽△ACF，∴，AC2＝AD•AF，∴AB2＝AD•AF．四、请考在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程23．（选做题）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．【解答】解：（1）由ρsin（θ+）＝，得ρ（cosθ+sinθ）＝1，∴直线l：x+y﹣1＝0．由得C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C的极坐标（1，）．（2）在圆C：的圆心到直线l的距离为：∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，∴．r＝2﹣∴当r＝2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．四、请考在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-5：不等式选讲24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x﹣5|．（1）证明：﹣3≤f（x）≤3；（2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．【解答】解：（1）f（x）＝|x﹣2|﹣|x﹣5|＝．当2＜x＜5时，﹣3＜2x﹣7＜3．所以﹣3≤f（x）≤3．（2）由（1）可知，当x≤2时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x＜5}；当x≥5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x≤6}．第21页（共21页）。