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0 襄阳三中 2020 届高三年级 周考理综测试物理参考答案14C 15D 16B 17A 18A19AC 20 BD 21 CD22.(6 分) 2.550 m a d =m s t b 23.(9 分)（1）①；④；R 1；（2）如图所示（3）21.2-21.5Ω；24.（12 分）（1） 小物块 C 与 A 发生碰撞粘在一起，由动量守恒定律得： mv 0=2mv 解得v = 1 v2 0碰撞过程中系统损失的机械能为 E = 1 mv 2 - 1 (2m )v 2解得 E = 1mv 2 ． 损 2 0 2 损 4 0（2） 当 AC 上升到最大高度时，ABC 系统的速度相等；根据动量守恒定律：mv =（m+m+2m)v解得 v = 1 v 0由能量关系： 2mgh = 1 ⋅ 11 2 - 1 ⨯ 4m ⨯1 2 1 4 0 解得 2 2 2m ( 2 v 0 ) 2 ( 4 v 0 ) h = v 016g25.（20 分）（1） 粒子在电场中做类平抛，竖直方向不受力，为匀速v = v cos60 = 2⨯107 m/s （3 分）Bqv = mv 2 R ∴ R = mv Bq （2） 粒子在磁场中做匀速圆周运动， ① 当轨迹与 CD 边相切时恰好不出磁场线，此时： R max + R ma x sin 30 = a ,∴ R ma x = 2 a = 0.2 3 m ②（2 分） 由①② B = mv = 0.08T qR，∴B ≥ 0.08 T 粒子运动轨迹如图所示，出磁场时速度与 y 轴正方向夹角为60 ，做匀速直线运动后回到 A 点.设出磁场处为Q 点.由几何关系， OQ =OA tan 60 = 0.1 3 mPQ = 0.2 + 0.1 = 0.3 3 3 3 m∴ 2R 'sin 60 = PQ mv 2∴ R ' = mv = 0.1 Bqv = 又由R ' （1 分）， Bq m ，∴B = 0.16 T （1 分）33.（1）C DE (2). ①p 0 mg ＋ S ② 放出热量(p 0S ＋mg )hg 2h （3 分）＋ S解析 (2)①设活塞停在 B 点时缸内封闭气体的压强为 p 1在 B 点活塞受力平衡得：p 0S ＋m g ＝p 1S 解得：p 1＝p 0 mg ②由于气体温度不变，所以气体内能不变， 即 ΔU ＝0①由 A 到 B ，外界对气体做的功为： W ＝p 1Sh ＝(p 0S ＋mg )h ②根据热力学第一定律得：W ＋Q ＝ΔU ③① ②③联立得：Q ＝－(p 0S ＋mg )h “－”表示放热．34. (1)(5 分)A B D(2)（10 分）【解析】 (i)设光线进入棱镜时的折射角为 γ，如图 1 所示，依题意，由几何关系可知 γ=300， （2 分）根据折射定律可得 n = sin i = sin γ（2 分） (ⅱ)设光线进入棱镜在 AC 面上发生全反射时的临界角为 C ，1 则 sinC= n， ................... 1 分 解得 C=450 ............................................................ 1 分如图 2 所示，当 γ=0 时，光线进入棱镜在 AC 面上的入射点记为 P,随着入射角 i 的增加，光线在 AC 面上的入射点右移，AC 面上入射角逐渐增大，当入射角增大到等于 C 时，发生全反射。
数学参考答案及评分标准2024.31-8：BCBA ABDC 9.ACD10.ABD11.BCD12.4113.3，62（填对一空得3分）14.42±8.解析：要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的情况，设三个半径为1的圆的圆心分别为123,,,O O O 设被覆盖的圆的圆心为O ，如图所示，设圆1O 与2O 交于,A B ，12O O 交AB 于H ，AB 交圆3O 于C ，方法1：设123OO OO OO x ===，132xO H ∴=，2x OH =，∴22331(12224x x OA OH HA x x =+=+-=+-），又331OC OO O C x OA =+=+>，所以圆O 的最大半径为OA ，下求OA 的最大值，设23()124x f x x =+-，22433()243x x f x x--'=-，所以()f x 在3(0,)3为增函数，在323(,)33为减函数，max 323()()33f x f ==，即被完全覆盖的最大的圆的半径为233.此时1223311O O O O O O ===，即圆1O 、圆2O 、圆3O 中的任一圆均经过另外两圆的圆心.方法2：同上，设1AO H θ∠=，11O A = ，1cos ,sin O H AH θθ∴==，13cos 2cos ,33OH OO OO θθ∴===，332cos 13OC OO O C θ∴=+=+，cos sin 3OA OH HA OCθθ=+=+<2323sin)363OA OH HAπθθ=+==+≤，即当3πθ=时，OA的最大值为3，即被完全覆盖的最大的圆的半径为3.此时1223311O O O O O O===，即圆1O、圆2O、圆3O中的任一圆均经过另外两圆的圆心.14.解析：设()f x的零点为t，则1ln()03at b+=，即103at b+-=（*），设(,)P a b为直线1:03l tx y+-=上任意一点，坐标原点O到直线l的距离为h=(,)P a bh≥，下求h1()3m m=≥，则()m eg mm=，2(1)()m e mg mm-'=()g m∴在1(,1)3为减函数，在(1,)+∞为增函数，即min()(1)g m g e==，此时2213t=⇒=±，所以l的斜率为k=±124ba k∴=-=±（此时22,33ea b=±=）.15.（1）证明：因为PBC∆为正三角形，O是BC中点，所以BCPO⊥，……1分又因为平面⊥PBC平面ABCD，所以⊥PO平面ABCD，BDPO⊥…………3分4421)21()(22=-=-=-⋅+=⋅BABCBABCBABCAOBD，AOBD⊥，BDAO⊥∴……5分又AOPO,在平面POA内且相交，故⊥BD平面P AO………6分（2）解：OE,分别为BCBD,的中点，DCEO//∴，又平面PDC过DC且不过EO，//EO∴平面PDC，……7分又平面OEF交平面PDC于QF，故QFEO//,进而DCQF//，因为F是PC中点，所以Q是PD的中点.…………8分方法1：以O为原点，OPOCOE,,所在直线分别为z yx,,轴建立空间直角坐标系，则)26,22,1(),0,2,2(),02,0(),6,0,0(Q D C P ，)6,2,0(),0,0,2(-==PC CD …………9分设平面PCD 法向量为),,(z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n PC n CD ，⎩⎨⎧=-=06202y x 取)1,3,0(=n ，…………11分26,22,1(=OQ 22326|,cos |sin ==><=OQ n θ……12分所以4πθ=……13分方法2：过点O 作PC 的垂线，垂足为H ，连接QH ……9分因为BC DC ⊥且⊥PO 平面ABCD ，DC PO ⊥，故有⊥DC 平面BPC ，平面PCB 与平面PCD 垂直且交线为PC ，故⊥OH 平面DPC ，故直线OQ 与平面PCD 所成角OQH ∠=θ……10分在直角三角形OHC 中，2,60==∠OC OCH ,所以26=OH ……11分因为⊥DC 平面PBC ，故PC DC ⊥，又DC QF //，所以PC QF ⊥.在直角三角形QFH 中，22,1==FH QF ，所以26=QH ……12分在直角三角形OQH 中26==QH OH ，所以 45=θ…………13分16.解：（1）列联表………2分零假设为0H :性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；根据列联表的数据计算性别锻炼合计不经常经常男生72330女生141630合计2139601.0222706.2590.33914030303921)307(6030303921)1423167(60x =>≈=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯-⨯=χ……4分根据小概率值=0.1的独立性检验，推断0H 不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过1.0…………5分（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X 近似服从二项分布，随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率121605==p ……7分121,20(~B X ………………8分故3512120)(=⨯=X E …………9分3655121112120)(=⨯⨯=X D …………10分（3）10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，Y 服从超几何分布：40712021)1(,1201)0(31023173103307=======C C C Y P C C C Y P 24712035)3(,4021120321)2(31003373101327=====⨯===C C C Y P C C C Y P ……14分（每个概率1分）故所求分布列为Y 0123P120140740212471.21073)(=⨯=Y E ………………15分17.解析：（1）当2≥n 时，14,14111+=+=--+n n n n n n a a S a a S 两式相减得)(411-+-=n n n n a a a a ……1分因为0≠n a ，故411=--+n n a a …………2分所以 ,,,1231-n a a a ，及 ,,,,242n a a a 均为公差为4的等差数列………3分当1=n 时，由11=a 及41211+=a a S ，得32=a ……4分1)12(2)1(4112--=-+=∴-n n a n …………5分1)2(2)1(432-=-+=n n a n …………6分所以12-=n a n ………………7分（2）由已知，2n S n =……9分即n n 22≥λ恒成立，设n n n b 22=，则12212121222)1(+++++-=-+=-n n n n n n n n n b b …………11分当2121+<<-n ，即2,1=n 时110++<>-n n n n b b b b ，…………13分当21+>n ，即*∈≥N n n ,3时110++><-n n n n b b b b ，…………14分所以 >>><<54321b b b b b ，故89)(3max ==b b n ，所以),89[+∞∈λ…………15分18.解：设直线AB 的方程为12x my =+，1122(,),(,),A x y B x y ……1分联立2122x my y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2210y my --=……2分1212021y y m y y >⎧⎪∴+=⎨⎪⋅=-⎩ …………3分（1）不妨设A 在第一象限，B在第四象限，对于y =y '=……4分∴l的斜率为21y -=……5分∴l 的方程为2221()y y x x y -=-，即为2212y y x y =+…………6分令0x =得2(0,2y E ……7分直线OA 的方程为：121122y y x x y x x y ===-，令12x =-得21(,)2D y -……8分又1(,0)2F ，所以DE EF =……9分即||||DE EF =得证………10分（2）方法1：过点B 的l 得垂线的方程为：222()y y y x x -=--，即2222(12y y y x y =-++……11分则22222(1)22y y y x y y y x ⎧=-++⎪⎨⎪=-⎩，解得G 的纵坐标为222(2)G y y y =+………13分要证明2||||||AD AO AG =⋅，因为,,,A O D G 三点共线，只需证明：22111||||||G y y y y y -=⋅-（*）……14分22222212222(1)1||||y y y y y y +-=+= ……15分222211221222(1)1|||||||(2)|G y y y y y y y y y +⋅-=-+-=……16分所以（*）成立，2||||||AD AO AG =⋅得证…………17分方法2：由21(,)2D y -，22(,)B x y 知DB 与x 轴平行……12分||||||||AF AO AB AD ∴=①…………13分又DF 的斜率为2y -，BG 的斜率也为2y -，所以DF 与BG 平行……15分||||||||AF AD AB AG ∴=②……16分由①②得||||||||AO AD AD AG ∴=，即2||||||AD AO AG =⋅得证………17分19.解：（1）在曲线1y x =取一点2(,2a b M a b++……1分过点2(,2a b M a b++作()f x 的切线分别交,AP BQ 于12,M M ……2分因为21ABQPABM M S S 曲边梯形梯形>，…………3分12112ln ln (||||)||2()22b a AM BM AB b a a b∴->⋅+⋅=⋅⋅⋅-+……4分即ln ln 2a b a ba b -+<-…………5分（2）方法1：由题意得：()2ln 1f x ax x b '=+++不妨设120x x <<，曲线()y f x =在11(,())x f x 处的切线方程为：1111:()()()l y f x f x x x '-=-，即1111()()()y f x x f x x f x ''=+-……6分同理曲线()y f x =在22(,())x f x 处的切线方程为：22222:()()()l y f x x f x x f x ''=+-……7分假设1l 与2l 重合，则12111222()()()()()()f x f x f x x f x f x x f x ''=⎧⎨''-=-⎩，代入化简可得：212121ln ln 2()0()1(0)x x a x x a x x a -+-=⎧⎨+=-<⎩…………8分两式消去a 可得：212121ln ln 20x x x x x x ---=+，得到212121ln ln 2x x x xx x -+=-……9分由（1）的结论知212121ln ln 2x x x x x x -+<-，与上式矛盾……10分即:对任意实数,a b 及任意不相等的正数12,x x ，1l 与2l 均不重合.…………11分方法2：同方法1得到2212111ln201x x x x x x --=+……9分设21(1)x t t x =>，即1()ln 201t g t t t -=-=+，22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++……10分()g t 在(1,)+∞为增函数，∴()(1)0g t g >=，矛盾.即:对任意实数,a b 及任意不相等的正数12,x x ，1l 与2l 均不重合…………11分(3)即：当1b =-时，不等式()2sin(1)f x x ≥-恒成立，∴2()ln 2sin(1)0h x ax x x x x =-+--≥在(0,)+∞恒成立，∴(1)01h a ≥⇒≥……12分下证：当1a ≥时，()0h x ≥恒成立.因为1a ≥，所以2()ln 2sin(1)h x x x x x x ≥-+--……13分设2()ln 2sin(1)H x x x x x x =-+--，()2ln 2cos(1)H x x x x '=+--①当[1,)x ∈+∞时，由22ln 0,2cos(1)2x x x ≥≥--≥-，,知()0H x '≥恒成立，即()H x 在[1,)+∞为增函数，∴()(1)0H x H ≥=成立；……14分②当(0,1)x ∈时，设()2ln 2cos(1)G x x x x =+--，1()22sin(1)G x x x'=++-……15分由12sin(1)2,0x x -≥->知()0G x '≥恒成立，即()()G x H x '=在(0,1)为增函数……16分∴()(1)0H x H ''<=,即()H x 在(0,1)为减函数，∴()(1)0H x H >=成立.综上所述：实数a 的取值范围是[1,)+∞.……17分。
湖北省随州市2020届高三下学期理数3月调研考试试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）已知集合M={x|1x≥1}，N={x|2x2+x−1≤0}，则M∩N=（）A．{x|0<x≤12}B．{x|−12≤x≤1}C．{x|−1≤x≤12}D．{x|0<x≤1}2．（2分）已知复数z=1−3i1−i，则复数z在复平面内对应的点，到点(−1,2)的距离为（）A．2B．4C．2√2D．3√23．（2分）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线的倾斜角之差为2π3，则该双曲线的离心率为（）A．2√33B．√3C．3√32D．2√34．（2分）已知m，n是空间内两条不同的直线，α，β是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若m⊥n，m⊥α，则n//αB．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥αC．若α∩β=m，n//α，则m//nD．若m⊥α，n//β，α//β，则m⊥n5．（2分）已知向量a⃗，b⃗满足|a |=|a−b⃗|=2，向量b⃗在向量a⃗方向上的投影为3，则向量a⃗与向量b⃗的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．（2分）函数f(x)=√3sinωx+cosωx−1(a>0)的最小正周期是π，则函数f(x)在区间[0,100]上的零点个数为（）A．31B．32C．63D．647．（2分）在(x1√x )n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小项的系数为（）A．-126B．-70C．-56D．-288．（2分）函数f(x)=e x+1e x−1⋅sinx的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．（2分）若2sin(α+π3)=3sinα−√7，则tanα=（）A．−2√33B．2√33C．−√32D．√3210．（2分）已知a=(1+1e)e，b=(1+1π)π，c=413，其中e是自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是（）A．c<a<b B．a<b<c C．c<b<a D．b<a<c11．（2分）圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计π的值：在区间(0,1)内随机取2m个数，构成m个数对(x,y)，设x，y能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)有n对，则通过随机模拟的方法得到的π的近似值为（）A．m+2nm B．m+2nnC．2m+4nmD．m+2n2n12．（2分）在Rt△ABC中，角C=π2，点D是边AC上一点，点E在BD上.若CD=1，∠DAE=∠DEA=∠ABC，则BE=（）A．1B．2C．3D．4二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）若函数f(x)=lnxx +12x2在点(1,f(1))处的切线与直线x−ay+1=0垂直，则实数a=.14．（1分）直三棱锥ABC−A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形且斜边BC=2，D是BC的中点.若AA1=√2，则异面直线A1B与AD所成的角为.15．（1分）2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为x1，x2，x3，x4，x5（单位：十万只），若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x12，x22，x32，x42，x52的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩十万只.16．（1分）已知抛物线C:y2=4x，斜率为13的直线l与C相交于A，B两点.若以点E(1,1)为圆心的圆是△OAB的内切圆，则圆E的半径为.三、解答题 (共7题；共75分)17．（10分）等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，a1=b1=2，S2+ S3=S4，4a3+6a7=b6.（1）（5分）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）（5分）设c n=a nlog2b n+log2b na n，求数列{c n}的前n项和T n.18．（10分）如图，平面ABCD∩平面ABEF=AB，四边形ABCD和ABEF都是边长为2的正方形，点M，N分别是AF，AB的中点，二面角D−AB−F的大小为60°.（1）（5分）求证：MN//平面BCF；（2）（5分）求直线DE与平面BCF所成角的正弦值.19．（15分）某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生按照10:1的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下：男生身高频率分布表女生身高频数分布表（1）（5分）估计这1000名学生中女生的人数；（2）（5分）估计这1000名学生中身高在[170,190]的概率；（3）（5分）在样本中，从身高在[170,180]的女生中任取3名女生进行调查，设X表示所选3名学生中身高在[170,175)的人数，求X的分布列和数学期望.（身高单位：厘米）20．（10分）已知O是坐标原点，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2√6，左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆上，若△MF1F2的面积最大时∠F1MF2=120° .（1）（5分）求椭圆C的标准方程；（2）（5分）直线l:x=2与椭圆C在第一象限交于点N，点A是第四象限的点且在椭圆C 上，线段AB被直线l垂直平分，直线NB与椭圆交于另一点D，求证：ON//AD.21．（10分）已知函数f(x)=(x−2)e x+12ax2.（1）（5分）若a=−1，求函数g(x)=f(x)+x的单调区间；（2）（5分）若函数ℎ(x)=f(x)+e x有两个零点，求实数a的取值范围.22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+12ty=√32t，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ.（1）（5分）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；（2）（5分）已知点P(1,0)，直线l与圆C相交于A，B两点，设|PB|=λ|PA|(λ> 1)，求实数λ.23．（10分）已知函数f(x)=2|x+1|+|x−2|.（1）（5分）解不等式f(x)≤6；（2）（5分）设函数f(x)的最小值为m，已知a>0，b>0且ab+a−b=m+2，求a+b的最小值.答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】∵M={x|0<x≤1}，N={x|2x2+x−1≤0}={x|−1≤x≤12}，∴M∩N={x|0<x≤12 }.故选：A【分析】先化简集合两个集合，再求交集. 2．【答案】D【解析】【解答】因为z=1−3i1−i=(1−3i)(1+i)(1−i)(1+i)=4−2i2=2−i，复数z在复平面内对应的点为(2,−1)，到点(−1,2)的距离为3√2.故选：D【分析】先化简复数z=1−3i1−i=(1−3i)(1+i)(1−i)(1+i)=4−2i2=2−i，明确复数z在复平面内对应的点，再用两点间的距离公式求解. 3．【答案】A【解析】【解答】设两条渐近线的倾斜角分别为α，β(α>β)，则α−β=2π3.又α+β=π，∴α=5π6，β=π6，∴tanβ=tan π6=ba=√33，所以离心率e=ca =2√33.【分析】设两条渐近线的倾斜角分别为α，β(α>β)，则α−β=2π3，再根据α+β=π，求得α，β，有tanβ=ba ，再利用离心率与ba关系求解.4．【答案】D【解析】【解答】若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故A不正确，；若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，若n⊂β，则n⊥α，故B不正确，若α∩β=m，n//α，m与n的关系是异面或平行，故C不正确，若m⊥α，α//β，m⊥β，又因为n//β，所以m⊥n，故D正确.【分析】A.若 m ⊥n ， m ⊥α ，则 n ∥α 或 n ⊂α .B.若 α⊥β ， α∩β=m ， n ⊥m ，若 n ⊄β ，不成立，C.若 α∩β=m ， n//α ， m 与 n 的关系是异面或平行.D.由面面垂直的性质定理判断.5．【答案】A【解析】【解答】 ∵|a |=|a −b ⃗ |=2 ， ∴|a |2=a 2−2a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=4 ， ∴2|a |⋅|b⃗ |cosθ=|b ⃗ |2 . ∵ 向量 b⃗ 在向量 a ⃗ 方向上的投影为3， ∴|b⃗ |cosθ=3 ， ∴|b⃗ |=2√3 ， ∴cosθ=√32 ，∴θ=30° . 故选：A【分析】根据 |a |=|a −b ⃗ |=2 ，两边平方整理得 2|a |⋅|b⃗ |cosθ=|b ⃗ |2 .又因为向量 b ⃗ 在向量 a ⃗ 方向上的投影为3，所以 |b⃗ |cosθ=3 ，代入上式求解. 6．【答案】D【解析】【解答】因为 f(x)=2(√32sinωx +12cosωx)−1=2sin(ωx +π6)−1 .∵ 最小正周期是 π ， ∴ω=2 .∴f(x)=2sin(2x +π6)−1 ， 令 f(x)=0 ，得 sin(2x +π6)=12.∴2x +π6=2kπ+π6 或 2x +π6=2kπ+5π6， k ∈Z . ∴x =kπ 或 x =kπ+π3 ， k ∈Z .∵0≤x ≤100 ，∴ 当 x =kπ 时， x =0 ， π ， 2π ， 3π ， ⋯ ， 31π 共32个；当 x =kπ+π3 时， x =π3 ， π+π3 ， 2π+π3 ， ⋯ ， 31π+π3 共32个.∴ 函数 f(x) 在区间 [0,100] 上的零点总共有64个.【分析】先用辅助角法，将 f(x)=2(√32sinωx +12cosωx)−1 ，转化为 f(x)=2sin(ωx +π6)−1 ，再由最小正周期是 π ，求得解析式，然后求零点即可.7．【答案】C【解析】【解答】 ∵ 只有第5项的二项式系数最大，∴n =8 ， (x −1√x )8 的展开式的通项为 T k+1=C 8k x 8−k 1√x )k =(−1)k C 8k x 8−32k (k =0,1,2,⋯,8) ， ∴ 展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的展开式系数相等， 偶数项的二项式系数与相应偶数项的展开式系数互为相反数. 而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式第4项和第6项的系数相等且最小， 系数为 (−1)3C 83=−56 . 故选：C【分析】根据只有第5项的二项式系数最大，得到 n =8 ，再利用 (x 1√x)8的展开式的通项 T k+1=(−1)k C 8k x 8−32k(k=0,1,2,⋯,8) ，分析二项式系数和项的系数间的关系求解.8．【答案】B【解析】【解答】 f(x)=e x +1e x −1⋅sinx 的定义域为 (−∞,0)∪(0,+∞) ， ∵f(−x)=e −x+1e −x −1⋅sin(−x)=e x +1e x −1⋅sinx ，∴f(x) 是偶函数，排除A ，C .又 x >0 且无限接近0时， e x+1e x −1>0 且 sinx >0 ，∴ 此时 f(x)>0 ，排除D ， 故选：B .【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据x 趋近0时判断.9．【答案】A【解析】【解答】因为 2sin(α+π3)=3sinα−√7所以 2(12sinα+√32cosα)=3sinα−√7 ，即 2sinα−√3cosα=√7 ， ∴√7(27−37=√7 ，即 sin(α−φ)=1 ， 其中 sinφ=√3， cosφ=，∴α−φ=2kπ+π2 ， k ∈Z ， ∴α=2kπ+π2+φ ， k ∈Z ，∴sinα=sin(2kπ+π2+φ)=sin(π2+φ)=cosφ=27， cosα=cos(2kπ+π2+φ)=cos(π2+φ)=−sinφ=√3√7， ∴tanα=−2√33 .故选：A【分析】利用两角和与差的三角的正弦，将 2sin(α+π3)=3sinα−√7 ，转化为 sin(α−φ)=1 ，其中 sinφ=37， cosφ=27 ，则有 α=2kπ+π2+φ ，然后求解 sinα,cosα 即可.10．【答案】A【解析】【解答】对 a ， b ， c 两边都取自然对数得 lna =eln(1+1e ) ， lnb =πln(1+1π) ， lnc =13ln(1+3) ，令 f(x)=ln(x+1)x (x >0) ，得 f′(x)=xx+1−ln(x+1)x 2，设 g(x)=x x+1−ln(x +1) ， 得 g′(x)=−x(x+1)2<0 ，∴g(x) 在 (0,+∞) 递减，∴g(x)<g(0)=0 ，∴f′(x)<0 ，∴f(x) 在 (0,+∞) 递减，又 lna =f(1e ) ， lnb =f(1π) ， lnc =f(3) ，∴f(3)<f(1e )<f(1π) ，∴c <a <b . 故选：A.【分析】由题意得 lna =eln(1+1e ) ， lnb =πln(1+1π) ， lnc =13ln(1+3) ，然后构造函数f(x)=ln(x+1)x(x >0) 并利用导数研究其单调性，最后利用其单调性即可比较大小. 11．【答案】C【解析】【解答】依题有 {0<x <10<y <1 ，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1. 因为 x ， y 能与1构成钝角三角形， 由余弦定理的及三角形知识得 {x 2+y 2<1x +y >1 ， 构成如图阴影部分，其面积为π4−12，由几何概型概率计算公式得nm=π4−121，解得π=2m+4nm.故选：C【分析】根据在区间(0,1)内随机取2m个数，则有{0<x<10<y<1，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.因为x，y能与1构成钝角三角形，由余弦定理的及三角形知识得{x2+y2<1x+y>1求得相应的面积，再利用几何概型的概率公式求解.12．【答案】B【解析】【解答】如图所示：设∠DAE=∠DEA=∠ABC=θ，则∠BDC=2θ，∠BEA=π−θ.在Rt△BCD中，BC=tan2θ，在Rt△ABC中AB=tan2θcosθ，∠BAE=π2−2θ，在△ABE中，由正弦定理得ABsin∠AEB=BEsin∠BAE，即tan2θcosθsinθ=BEsin(π2−2θ)，∴BE=tan2θcos2θsinθcosθ=sin2θsinθcosθ=2.故选：B【分析】设∠DAE=∠DEA=∠ABC=θ，则∠BDC=2θ，∠BEA=π−θ .在Rt△BCD中，表示BC=tan2θ，在Rt△ABC中，表示AB=tan2θcos2θ，∠BAE=π2−2θ，然后在△ABE中，由正弦定理ABsin∠AEB=BEsin∠BAE求解.13．【答案】-2【解析】【解答】因为f(x)=lnxx +12x2所以f′(x)=1−lnxx2+x，∴f′(1)=2，∴f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2.又切线与直线x−ay+1=0垂直，∴1a×2=−1，∴a=−2.故答案为：-2【分析】先求得f′(x)=1−lnxx2+x，再求f′(1)，然后利用切线与直线x−ay+1=0垂直，斜率互为负倒数求解.14．【答案】60°【解析】【解答】如图，取B1C1的中点D1，连接A1D1，D1B，则AD∥A1D1，∴∠BA1D1就是异面直线A1B与AD所成的角.∵A1B1=A1C1，∴A1D1⊥B1C1.又A1D1⊥CC1，∴A1D1⊥面BCC1B1，∴A1D1⊥D1B，∴△A1D1B为直角三角形，在Rt△A1BD1中，A1D1=1，A1B=2，BD1=√3，∴∠BA1D1=60°.故答案为：60°【分析】取B1C1的中点D1，连接A1D1，D1B，则AD∥A1D1，根据异面直线所成的角的定义，∠BA1D1就是异面直线A1B与AD所成的角.易证A1D1⊥D1B，然后在Rt△A1BD1中求解.15．【答案】1.6【解析】【解答】依题意，得x12+x22+⋯+x52=20.设x1，x2，x3，x4，x5的平均数为x̅，根据方差的计算公式有15[(x1−x̅)2+(x2−x̅)2+⋯+(x5−x̅)2]=1.44.∴(x12+x22+⋯+x52)−2x̅(x1+x2+⋯+x5)+5x̅2=7.2，即20−10x̅2+5x̅2=7.2，∴x̅=1.6.故答案为：1.6【分析】设x1，x2，x3，x4，x5的平均数为x̅，根据方差的计算公式有15[(x1−x̅)2+(x2−x̅)2+⋯+(x5−x̅)2]=1.44.即(x12+x22+⋯+x52)−2x̅(x1+x2+⋯+x5)+ 5x̅2=7.2，再利用x12，x22，x32，x42，x52的平均数为4求解.16．【答案】√105【解析】【解答】设直线l的方程为y=13x+m，即x−3y+3m=0，内切圆的半径为r，则r=|1−3+3m|10=|3m−2|10.设直线OA，OB的方程分别为y=k1x，y=k2x，即k1x−y=0，k2x−y=0，∵直线OA与圆E相切，∴1√k12+1=r，整理得(1−r2)k12−2k1+1−r2=0.同理得(1−r2)k22−2k2+1−r2=0.∴k1与k2是方程(1−r2)x2−2x+1−r2=0的两个不同实数根.∴{r≠1Δ=4−4(1−r2)2>0k1+k2=2 1−r2k1k2=1.设 A(x 1,y 1) ， B(x 2,y 2) ，则 k 1k 2=y 1x 1⋅y 2x 2=y 1y2x 1x 2=1 ，即 x 1x 2=y 1y 2 .由 {y =13x +my 2=4x，得 y 2−12y +12m =0 ， ∴{Δ′=144−48m >0y 1+y 2=12y 1y 2=12m， ∴m <3 . x 1x 2=116(y 1y 2)2=9m 2 ， ∴9m 2=12m ，依题 m ≠0 ， ∴m =43 ，满足条件.∴r =|3m−2|10=210=√105 . 故答案为： √105【分析】设直线 l 的方程为 y =13x +m ，即 x −3y +3m =0 ，直线与圆相切，则 r =|1−3+3m|√10=|3m−2|√10.设直线 OA ， OB 的方程分别为 y =k 1x ， y =k 2x ， ∵ 直线 OA ，OB与圆 E 相切，1√k 12+1=r ，2√k 22+1=r ，即 k 1 与 k 2 是方程 (1−r 2)x 2−2x +1−r 2=0 的两个不同实根，则 k 1k 2=y 1x 1⋅y 2x 2=y 1y 2x 1x 2=1 ，即 x 1x 2=y 1y 2 .然后由直线 l 与抛物线相交，通过韦达定理求解.17．【答案】（1）解：设等差数列 {a n } 的公差为 d ，等比数列 {b n } 的公比为 q .∵S 2+S 3=S 4 ，即 a 1+a 2+a 1+a 2+a 3=a 1+a 2+a 3+a 4 ， ∴a 1+a 2=a 4 .∵a 1=2 ， ∴d =1 ， ∴a n =a 1+(n −1)d =n +1 . ∴4a 3+6a 7=b 6=64 . ∵b 1=2 ， ∴q =2 ， ∴b n =2n .（2）解： c n =a n log 2b n+log 2b n a n =n+1log 22n +log 22nn+1=n+1n +nn+1 =1+1n +(n +1)−1n +1=1+1n +1−1n +1=2+(1n −1n +1)∴T n =2n +(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n −1n+1)=2n +1−1n+1 .【解析】【分析】（1）设等差数列 {a n } 的公差为 d ，等比数列 {b n } 的公比为 q .根据 S 2+S 3=S 4 ， a 1+a 2=a 4 .再由 a 1=2 ，求 {a n } 的通项公式.由 b 6=4a 3+6a 7 和 b 1=2 ，求 {b n }的通项公式 （2）由（1）得 c n =a n log 2b n+log 2b n a n =n+1log 22n +log 22nn+1=n+1n +nn+1 ，转化为 C n =2+(1n −1n+1) ，利用裂项相消法求和.18．【答案】（1）证明： ∵M ， N 分别是 AF ， AB 的中点，∴MN ∥BF .∵MN ⊄ 平面 BCF ， BF ⊂ 平面 BCF ， ∴MN// 平面 BCF .（2）解： ∵ 四边形 ABCD 和 ABEF 都是边长为2的正方形， ∴DA ⊥AB ， FA ⊥AB ，∴∠DAF 就是二面角 D −AB −F 的平面角， ∴∠DAF =60° .连接 DM ，在 △DAM 中， DA =2 ， AM =1 ， ∠DAM =60° ， ∴DM 2=AM 2+AD 2−2AM ⋅AD ⋅cos60°=3 ， ∴DM =√3 .∴DM 2+AM 2=AD 2 ， ∴DM ⊥AM . ∵DA ⊥AB ， FA ⊥AB ， FA ∩DA =A ， ∴AB ⊥ 平面 ADM ， ∴AB ⊥DM . ∴DM ⊥ 平面 ABEF .以点 M 为原点， MF ， MG （ G 是 BE 中点）， MD 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图空间直角坐标系， 如图所示：则 D(0,0,√3) ， E(1,2,0) ， B(−1,2,0) ， F(1,0,0) ， A(−1,0,0) ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−√3) ， BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0) ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3) . 设平面 BCF 的法向量为 m⃗⃗⃗ =(x,y,z) ， 则 {m⇀⋅BF ⇀=2x −2y =0m⇀⋅BC ⇀=x +√3z =0 ，取 m ⃗⃗⃗ =(√3,√3,−1) .设直线DE与平面BCF所成角为θ，则sinθ=|m⃗⃗⃗⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m⃗⃗⃗⃗ ||DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√427，∴直线DE与平面BCF所成角的正弦值为√427.【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线，有MN∥BF，再利用线面平行的判定定理证明.（2）根据点M，N分别是AF，AB的中点，二面角D−AB−F的大小为60°，证明DM⊥平面ABEF，然后以点M为原点，MF，MG（G是BE中点），MD所在直线分别为x轴，y 轴，z轴建立如图空间直角坐标系，再求得平面BCF的一个法向量，利用线面角的向量求法求解. 19．【答案】（1）解：样本中男生为60名，女生为40名.估计这1000名学生中女生的人数大约是1000×4040+60=400（名）（2）解：由表知样本中身高在[170,190]的人数为19+18+4+2+3+3=49，样本容量是100，∴样本中身高在[170,190]的概率为49100.∴估计这1000名学生中身高在[170,190]的概率为0.49.（3）解：依题意，X的可能取值为0，1，2，3.P(X=0)=C30C33C63=120，P(X=1)=C31C32C63=920，P(X=2)=C32C31C63=920，P(X=3)=C33C30C63=120.∴X的分布列为∴E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32.【解析】【分析】（1）根据统计表，可知样本中男生人数和女生人数，再按比例求解.（2）由表知样本中身高在[170,190]的人数和样本容量，再代入公式求解.（3）根据题意，明确X的可能取值为0，1，2，3，然后分别求得其概率，列出分布列求期望.20．【答案】（1）解：当M是椭圆的上顶点或下顶点时△MF1F2的面积最大，设M是椭圆的上顶点，则cos60°=ba =12，即a=2b.又2c=2√6，a2=b2+c2，∴a2=8，b2=2，c2=6.∴椭圆C的标准方程为x 28+y22=1.（2）证明：依题意，点N的坐标为N(2,1)，直线ND不与x轴垂直，设直线ND:y−1=k(x−2)，即y=kx+1−2k，直线NA:y−1=−k(x−2)，即y=−kx+2k+1.设D(x D,y D)，A(x A,y A).由{x28+y22=1y=kx+1−2k，得(1+4k2)x2+8k(1−2k)x+16k2−16k−4=0.∴2x D=16k2−16k−41+4k2，∴x D=8k2−8k−21+4k2.则x A=8k 2+8k−21+4k2.又y D=kx D+1−2k，y A=−kx A+1+2k，∴k AD=y D−y Ax D−x A=k(x D+x A)−4kx D−x A=k×16k2−41+4k2−4k−16k1+4k2=12.又k ON=12，k AD=k ON.∴ON//AD.【解析】【分析】（1）确定M是椭圆的上顶点或下顶点时△MF1F2的面积最大，则有cos60°=b a =12，即a=2b，再根据2c=2√6求解.（2）依题意，点N的坐标为N(2,1)，直线ND不与x轴垂直，设直线ND:y−1=k(x−2)，即y=kx+1−2k，设D(x D,y D)，A(x A,y A).由{x28+y22=1y=kx+1−2k，得(1+4k2)x2+8k(1−2k)x+16k2−16k−4=0.由韦达定理，用k表示x D，再根据k NA+k ND=0，得到x A，进而求得k AD，k ON证明. 21．【答案】（1）解：因为a=−1，所以g(x)=(x−2)e x−12x2+x，g′(x)=e x+(x−2)e x−x+1=(x−1)(e x−1).令g′(x)>0，解得x>1或x<0.∴函数g(x)的增区间是(−∞,0)和(1,+∞)，减区间是(0,1).（2）解：ℎ(x)=(x−1)e x+12ax2，ℎ′(x)=xe x+ax=x(e x+a).当a=0时，ℎ(x)=(x−1)e x，ℎ(x)只有1个零点x=1，不合题意.当a>0时，e x+a>0.x<0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)为减函数；x>0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)为增函数，∴ℎ(x)极小值=ℎ(0)=−1.又ℎ(1)=a2>0，∴当x>0时，∃x0∈(0,1)，使ℎ(x0)=0.当x<0时，e x<1，∴(x−1)e x>x−1，∴ℎ(x)=(x−1)e x+12ax2>x−1+12ax2=12ax2+x−1.取x1=−1−√1+2aa<0，则ℎ(x1)>12ax12+x1−1=0，∴ℎ(x1)⋅ℎ(0)<0，∴函数ℎ(x)有2个零点.当a<0时，由ℎ′(x)=x(e x+a)=0，得x=0或x=ln(−a) .①当ln(−a)>0，即a<−1时，由ℎ′(x)>0，得x>ln(−a)或x<0，∴ℎ(x)在(−∞,0)和(ln(−a),+∞)递增，在(0,ln(−a))递减.∴ℎ(x)极大值=ℎ(0)=−1.∴函数ℎ(x)至多有1个零点，不符合题意；②当ln(−a)=0，即a=−1时，ℎ(x)在(−∞,+∞)单调递增，∴ℎ(x)至多有1个零点，不合题意；③当ln(−a)<0，即−1<a<0时，由ℎ′(x)>0，得x<ln(−a)或x>0，∴ℎ(x)在(−∞,ln(−a))和(0,+∞)递增，在(ln(−a),0)递减.∵x<0，a<0时，ℎ(x)=(x−1)e x+12ax2<0，∴ℎ(ln(−a))<0.又ℎ(0)=−1，∴函数ℎ(x)至多有1个零点，不合题意.综上，a的取值范围是a>0 .【解析】【分析】（1）由g(x)=(x−2)e x−12x2+x，求导g′(x)=e x+(x−2)e x−x+1=(x−1)(e x−1).再令g′(x)>0求解.（2）ℎ(x)=(x−1)e x+12ax2，ℎ′(x)=xe x+ax=x(e x+a).当a=0时，ℎ(x)=(x−1)e x，易证只有一个零点.当a>0时，易证ℎ(x)极小值=ℎ(0)=−1.又ℎ(1)=a2>0，根据零点存在定理∃x0∈(0,1)，使ℎ(x0)=0.当x<0时，ℎ(x)=(x−1)e x+12ax2>x−1+12ax2=12ax2+x−1.取x1=−1−√1+2aa<0，则ℎ(x1)>12ax12+x1−1=0，则由ℎ(x1)⋅ℎ(0)<0，又存在一个零点.当a<0时，由ℎ′(x)=x(e x+a)=0，得x=0或x=ln(−a).分ln(−a)>0，ln(−a)=0，ln(−a)<0讨论.22．【答案】（1）解：由{x=1+12ty=√32t，消去参数t，得√3x−y−√3=0.由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x.故圆C的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4.（2）解：设点A，B对应的参数分别为t1，t2.依题意，点P(1,0)在直线l上且在圆C的内部.∴λ=−t2 t1.将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程并整理得t2−t−3=0，∴t1+t2=1，t1t2=−3.∴(t1+t2)2t1t2=−13，∴t2t1+t1t2=−73，得t2t1=−7±√136，∴λ=−t2t1=7±√136.∵λ>1，∴λ=7+√136.【解析】【分析】（1）消去参数t，求得直线的普通方程，由ρ=4cosθ求圆的普通方程.（2）设点A，B对应的参数分别为t1，t2.依题意，点P(1,0)在直线l上且在圆C的内部. λ=−t2t1.然后将直线l的参数方程与圆C的直角坐标方程联立，再用韦达定理求解.23．【答案】（1）解：f(x)=2|x+1|+|x−2|={−3x,x≤−1x+4,−1<x<23x,x≥2，∴当x≤−1时，由−3x≤6，得−2≤x≤−1；当−1<x<2时，由x+4≤6，得−1<x<2；当x≥2时，由3x≤6，得x=2.综上所述，原不等式的解集为{x|−2≤x≤2}（2）解：∵f(x)={−3x,x≤−1x+4,−1<x<23x,x≥2，∴f(x)在(−∞,−1)递减，在(−1,+∞)递增.∴f(x)min=f(−1)=3.∴m=3.∴ab+a−b=5，即(a−1)(b+1)=4.∵a>0，b>0，∴a>1.则a+b=(a−1)+(b+1)≥2√(a−1)(b+1)=4，当且仅当a−1=b+1且(a−1)(b+1)=4，即a=3，b=1时，取等号.∴a=3，b=1时a+b有最小值4.【解析】【分析】（1）将函数去绝对值，得f(x)=2|x+1|+|x−2|={−3x,x≤−1x+4,−1<x<23x,x≥2，然后分段求解（2）先求分段函数的最小值，m=3.将ab+a−b=m+2，转化为(a−1)(b+1)= 4，再利用基本不等式有a+b=(a−1)+(b+1)≥2√(a−1)(b+1)求解.。
2020届湖北省随州市高三3月调研考试语文试题语文注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题,9分)阅读下面的文字,完成1~3题。
《汉书●刑法志》中所表达的圣人“制礼作教,立法设刑,动缘民情,而则天象地”的法生成观念表明,圣人所立之法必须根植于人情人心，要“动缘民情”;“则天象地”,即效法天地间的自然法则,其中也包括效法生长于此天地间的人间生活法则。
上述法生成观念来自先秦儒家因情制礼的思想。
儒家认为,法律礼仪等国家制度的产生源于满足人性发展的需要,因此,礼乐刑政等制度应该是发乎人性之中顺应人性的,而不应该是外在于人企图去改造人性的。
在儒家看来,礼与法一样都应该是根植于人的生活与人性之中的,而不应该企图以制度拔高人性,以制度来改造生活。
儒家理想的社会秩序是通过士人君子在社会中的表率与教导所形成的,此种社会秩序的形成不依赖于圣君明主的制度构建,而是依靠全体百姓在士人君子的引领下所形成的礼制规范与社会习俗来调整人际关系;稳定社会秩序。
儒家所提倡的德礼教化实际上就是努力在社会中形成一种能引导个人道德向、上的文化模式和社会习慣,进而也通过社会习慣的改变来实现对社会中的人的普遍行为的引领。
西周的礼乐文明所营造的正是一种“有条理的生活方式”,由此衍生的行为规范对民间社会生活的各个方面都加以面面俱到地调整。
继承了西周礼乐文明的先秦儒家有目的地对传统具有宗教色彩的礼乐制度进行了改造,以突出其人文的意义,强调其中文化模式的意义。
儒家的思想传统影响了自下而.上的法秩序生成观。
通过礼与法的结合、儒家价值观入法等方式,传统法的发展深刻体现了此种自下而.上的法秩序生成观。
2020年高考模拟高三3月份调研考试数学试卷（文科）一、选择题1．已知全集为R，集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，（∁R M）∩N＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，2，3}D．{﹣1，0，2，3} 2．设复数z＝﹣3i，则|z|＝（）A．B．2C．D．3．设a＝log3，b＝log，c＝3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a4．已知角α∈（0，π），角α的终边经过点A（cos，sin），则α＝（）A．B．C．D．5．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝3S2，且a2+a6＝15，则a4＝（）A．8B．6C．4D．26．已知m，n是空间内两条不同的直线，α，β是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若m⊥n，m⊥α，则n∥αB．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥αC．若α∩β＝m，n∥α，则m∥nD．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n7．已知曲线y＝f（x）在点x＝0处的切线方程为y＝3x+1，则曲线y＝在点x＝0处的切线方程为（）A．y＝2x﹣1B．y＝2x+1C．y＝x﹣1D．y＝x+18．执行如图的程序框图，最后输出结果为8．若判断框填入的条件是s≥a，则实数a的取值范围是（）A．（21，28]B．[21，28）C．（28，36]D．[28，36）9．函数f（x）＝sinωx+cosωx﹣1（ω＞0）的最小正周期是π，则函数f（x）在区间[0，100]上的零点个数为（）A．31B．32C．63D．6410．过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，垂线交y轴于点B，且＝3．若△OAB的面积为（O是坐标原点），则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2＝1B．﹣＝1C．x2﹣＝1D．﹣＝111．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年．生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计π的值：在区间（0，1）内随机取2m个数，构成m个数对（x，y），设x，y能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）有n对，则通过随机模拟的方法得到的π的近似值为（）A．B．C．D．12．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点在球O的球面上，SA上平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，SA＝AB＝AC＝2，D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是（）A．πB．2πC．3πD．4π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（，1），＝（﹣，m），与的夹角为，则实数m＝．14．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴相交于点C．若以F为圆心，p 为半径的圆与抛物线相交于点A，B，则sin∠ACF＝．15．2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国．口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产，设该工厂连续5天生产的口罩数依次为x1，x2，x3，x4，x5（单位：十万只），若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x12，x22，x32，x42，x52的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩十万只．16．已知正项数列{a n}和{b n}满足：①a1＝1，a2＝3；②a n+a n+1＝2b n，b n b n+1＝a n+12．则数列{a n}的通项公式为a n＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生按照10：1的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下：男生身高频率分布表[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）[180，185）[185，190]男生身高（单位：厘米）频数710191842女生身高频数分布表[150，155）[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180]女生身高（单位：厘米）频数31015633（1）估计这1000名学生中女生的人数；（2）估计这1000名学生中身高在[170，190]的概率；（3）在样本中，从身高在[170，180]的女生中任取2名女生进行调查，求这2名学生身高在[170，175）的概率．（身高单位：厘米）18．如图，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，四边形ABCD和ABEF都是边长为2的正方形，点M，N分别是AF，AB的中点，二面角D﹣AB﹣F的大小为60°．（1）求证：MN∥平面BCF；（2）求三棱锥M﹣BCF的体积．19．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的外接圆半径为R，面积为S，已知A为锐角，且（b2+c2﹣2R2）tan A＝4S．（1）求A；（2）若a＝1，求S的最大值．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），过C的焦点且垂直于x轴的直线被C截得的弦长为，椭圆C的离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）经过右焦点F的直线l与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴相交于点（0，），求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝lnx+2ax2+x的导函数为f'（x）．（1）若f'（x）≤﹣1对任意x＞0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的极值为正数，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；（2）已知点P（1，0），直线l与圆C相交于A，B两点，设|PB|＝λ|PA|（λ＞1），求实数λ．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝2|x+1|+|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≤6；（2）设函数f（x）的最小值为m，已知a＞0，b＞0且ab+a﹣b＝m+2，求a+b的最小值．参考答案一、选择题1．已知全集为R，集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，（∁R M）∩N＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，2，3}D．{﹣1，0，2，3}【分析】先根据集合补集的定义求出集合M的补集，然后根据交集的定义求出所求即可．解：∵M＝{x|0≤x＜2}，∴∁U M＝{x|x＜0或x≥2}，∴（∁R M）∩N＝{﹣1，2，3}．故选：C．2．设复数z＝﹣3i，则|z|＝（）A．B．2C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：∵，∴．故选：A．3．设a＝log3，b＝log，c＝3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出．解：∵，，，∴b＞c＞a．故选：C．4．已知角α∈（0，π），角α的终边经过点A（cos，sin），则α＝（）A．B．C．D．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，诱导公式，求得α的值．解：∵，，，∴，又α∈（0，π），∴，故选：D．5．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝3S2，且a2+a6＝15，则a4＝（）A．8B．6C．4D．2【分析】分两种情况解答：q＝1和q≠1．利用等比数列的通项公式和求和公式解答．解：当数列{a n}的公比q＝1时，S4＝4a1，3S2＝6a1，S4＝3S2，∴q≠1．∴，得q2＝2．∵，∴a2＝3，∴．故选：B．6．已知m，n是空间内两条不同的直线，α，β是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若m⊥n，m⊥α，则n∥αB．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥αC．若α∩β＝m，n∥α，则m∥nD．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n【分析】根据直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的平行与垂直的判定与性质，对选项中的命题分析、判断正误即可．解：对于A，m⊥n，m⊥α时，得出n∥α或n⊂α，所以A错误；对于B，α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，不能得出n⊥α，也可能是n⊂α，或n与α相交，所以B错误；对于C，当α∩β＝m，n∥α时，得出m∥n，或m与n异面，所以C错误．对于D，当m⊥α，α∥β时，得出m⊥β，又n∥β，所以m⊥n，所以D正确．故选：D．7．已知曲线y＝f（x）在点x＝0处的切线方程为y＝3x+1，则曲线y＝在点x＝0处的切线方程为（）A．y＝2x﹣1B．y＝2x+1C．y＝x﹣1D．y＝x+1【分析】由切线方程可得f（0）＝1，f'（0）＝3．求出函数的导数，进而得到g（0），g′（0）即可解：由切线方程y＝3x+1，得f（0）＝1，f'（0）＝3．设，则，∴，，∴曲线在点x＝0处的切线方程为y﹣1＝2x，即y＝2x+1，故选：B．8．执行如图的程序框图，最后输出结果为8．若判断框填入的条件是s≥a，则实数a的取值范围是（）A．（21，28]B．[21，28）C．（28，36]D．[28，36）【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程可得答案．解：k＝1，s＝0，①次条件不满足，s＝1，k＝2；②次循环条件不满足，s＝3，k＝3；③次循环条件不满足，s＝6，k＝4；④次循环条件不满足，s＝10，k＝5；⑤次循环条件不满足，s＝15，k＝6；⑥次循环条件不满足，s＝21，k＝7；⑦次循环条件不满足，s＝28，k＝8；满足条件，退出循环．∴21＜a≤28．故选：A．9．函数f（x）＝sinωx+cosωx﹣1（ω＞0）的最小正周期是π，则函数f（x）在区间[0，100]上的零点个数为（）A．31B．32C．63D．64【分析】根据题意可求得ω＝2，则f（x）＝2sin（2x+）﹣1，作出图象，数形结合即可．解：f（x）＝sinωx+cosωx﹣1＝2sin（ωx+）﹣1，则T＝＝π，解得ω＝2，所以f（x）＝2sin（2x+）﹣1，作出函数图象如图：由图可知，在（0，π]上有2个零点，而f（x）在（0，100]上共31共周期，且f（0）＝0，故函数f（x）在[0，100]上共有31×2+1＝63个零点，故选：C．10．过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，垂线交y轴于点B，且＝3．若△OAB的面积为（O是坐标原点），则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2＝1B．﹣＝1C．x2﹣＝1D．﹣＝1【分析】根据双曲线的图象，结合三角形的面积，以及向量共线共线，建立方程进行求解即可．解：过右焦点F（c，0）作渐近线的垂线，渐近线方程即bx﹣ay＝0．∵，∴|OA|＝a，|AB|＝3b，则．∴①．又垂线AF的方程为，得点B的坐标为，∴②．由①②及a2+b2＝c2，得a2＝3，b2＝1，∴双曲线的标准方程为．故选：A．11．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年．生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计π的值：在区间（0，1）内随机取2m个数，构成m个数对（x，y），设x，y能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）有n对，则通过随机模拟的方法得到的π的近似值为（）A．B．C．D．【分析】依题意，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1，x，y能与1构成钝角三角形时，由余弦定理及三角形知识，得：，构成如图所求阴影面积，其面积为，由几何概型概率计算公式能求出结果．解：依题意，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1，x，y能与1构成钝角三角形时，由余弦定理及三角形知识，得：，构成如图所求阴影面积，其面积为，∴由几何概型概率计算公式得：，解得π＝．故选：C．12．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点在球O的球面上，SA上平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，SA＝AB＝AC＝2，D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是（）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】D为三角形ABC的外心，则三棱锥S﹣ABC球心在过D且垂直于平面ABC的直线上，找到球心O，求出球的半径，则当过D的截面垂直于OD时，截面面积最小，求出其值即可．解：设点D是Rt△ABC的外心，过点D作DO⊥平面ABC使，O是外接球球心，半径设为R，则OA＝OS＝R．在直角梯形SADO中，SA＝2，OD＝1，，得，过点D作球O的截面，当OD⊥截面时，截面面积最小，此时截面圆的半径为，∴截面面积的最小值是2π．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（，1），＝（﹣，m），与的夹角为，则实数m＝1．【分析】利用平面向量的数量积求出与夹角的余弦值，列方程求出实数m的值．解：向量＝（，1），＝（﹣，m），且与的夹角为，所以cos＜，＞＝cos＝﹣，即＝﹣，解得m＝1，故答案为：1．14．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴相交于点C．若以F为圆心，p 为半径的圆与抛物线相交于点A，B，则sin∠ACF＝．【分析】根据题意可得A，B的坐标，再根据三角形的性质即可求出．解：由，得，∴，．∴AB⊥x轴．在Rt△AFC中，|AF|＝|CF|＝p，∴∠ACF＝45°，∴．故答案为：15．2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国．口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产，设该工厂连续5天生产的口罩数依次为x1，x2，x3，x4，x5（单位：十万只），若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x12，x22，x32，x42，x52的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩 1.6十万只．【分析】设该工厂这5天平均每天生产口罩为，运用n个数的平均数公式和方差公式，列方程，解方程可得所求值．解：设该工厂这5天平均每天生产口罩为，由题意可得＝4，则x12+x22+x32+x42+x52＝20，由＝1.44，可得（x1﹣）2+（x2﹣）2+…（x5﹣）2＝x12+x22+x32+x42+x52+52﹣2（x1+x2+x3+x4+x5）＝20+52﹣102＝20﹣52＝7.2，解得＝1.6．故答案为：1.6．16．已知正项数列{a n}和{b n}满足：①a1＝1，a2＝3；②a n+a n+1＝2b n，b n b n+1＝a n+12．则数列{a n}的通项公式为a n＝n（n+1）．【分析】本题先根据递推式可得a n＝（n≥2）．代入a n+a n+1＝2b n，进行计算，再根据等差中项判别法可得数列是等差数列．进一步计算可得数列的通项公式，从而可得正项数列{b n}的通项公式，再代入a n＝（n≥2），然后验证n＝1是否满足，即可得到数列{a n}的通项公式．解：由题意，可知a n＞0，b n＞0，∵，∴，则a n＝（n≥2）．∵a n+a n+1＝2b n，∴n≥2时，，即（+）＝2•，∴，即（n≥2）．∴数列是等差数列．又∵a1+a2＝2b1＝4，∴b1＝2，，∴等差数列列的首项为，公差，∴．∴，n∈N*．∴，∴，其中a1＝1适合此式，∴．故答案为：n（n+1）．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生按照10：1的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下：男生身高频率分布表[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）[180，185）[185，190]男生身高（单位：厘米）频数710191842女生身高频数分布表[150，155）[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180]女生身高（单位：厘米）频数31015633（1）估计这1000名学生中女生的人数；（2）估计这1000名学生中身高在[170，190]的概率；（3）在样本中，从身高在[170，180]的女生中任取2名女生进行调查，求这2名学生身高在[170，175）的概率．（身高单位：厘米）【分析】（1）先求出样本中男生及女生人数，然后结合样本估计总体即可求解；（2）分布求出样本中身高在[170，190]的人数及样本容量，即可求解；（3）先求出从身高在[170，180]的女生中任取2名的所有情况，然后求解其中2名学生的身高都在[170，175）的情况，根据古典概率的求解公式即可求解．解：（1）样本中男生为60名，女生为40名．估计这1000名学生中女生的人数大约是（名）．（2）由表知，样本中身高在[170，190]的人数为19+18+4+2+3+3＝49，样本容量是100，∴样本中身高在[170，190]的概率为．∴估计这1000名学生中身高在[170，190]的概率为0.49．（3）依题意，身高在[170，175）的女生有3名，记为a，b，c，身高在[175，180]的女生有3名，记为d，e，f，则从身高在[170，180]的女生中任取2名，所有情况有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef共15种，其中2名学生的身高都在[170，175）的情况有ab，ac，bc共3种，∴这2名学生身高都在[170，175）的概率为．18．如图，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，四边形ABCD和ABEF都是边长为2的正方形，点M，N分别是AF，AB的中点，二面角D﹣AB﹣F的大小为60°．（1）求证：MN∥平面BCF；（2）求三棱锥M﹣BCF的体积．【分析】（1）由M，N分别是AF，AB的中点，得MN∥BF，再由线面平行的判定可得MN∥平面BCF；（2）由四边形ABCD和ABEF都是边长为2的正方形，可得∠DAF就是二面角D﹣AB ﹣F的平面角，得∠DAF＝60°．求解三角形证明则DM⊥AM，结合DA⊥AB，可得AB⊥平面ADM，则AB⊥DM，进一步得到DM⊥平面ABEF．求出点C到平面ABEF 的距离等于点D到平面ABEF的距离．然后利用等积法求三棱锥M﹣BCF的体积．【解答】（1）证明：∵M，N分别是AF，AB的中点，∴MN∥BF．∵MN⊄平面BCF，BF⊂平面BCF，∴MN∥平面BCF；（2）解：∵四边形ABCD和ABEF都是边长为2的正方形，∴DA⊥AB，FA⊥AB，则∠DAF就是二面角D﹣AB﹣F的平面角，得∠DAF＝60°．连接DM，在△DAM中，∵DA＝2，AM＝1，∠DAM＝60°，∴DM2＝AM2+AD2﹣2AM•AD•cos60°＝3，得．∴DM2+AM2＝AD2，则DM⊥AM．∵DA⊥AB，FA⊥AB，FA∩DA＝A，∴AB⊥平面ADM，则AB⊥DM，得DM⊥平面ABEF．∵CD∥平面ABEF，∴点C到平面ABEF的距离等于点D到平面ABEF的距离．∵FA⊥AB，且N为AB的中点，AF＝AB＝2，∴，∵MN∥平面BCF，∴V M﹣BCF＝V N﹣BCF＝V C﹣NFB．∴．19．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的外接圆半径为R，面积为S，已知A为锐角，且（b2+c2﹣2R2）tan A＝4S．（1）求A；（2）若a＝1，求S的最大值．【分析】（1）由已知条件可得b2+c2﹣2bc cos A＝2R2，再由余弦定理得a2＝2R2，再利用正弦定理求出，从而求出A；（2）因为，由余弦定理得，再利用基本不等式得到，从而求得，得到S的最大值．解：（1）∵（b2+c2﹣2R2）tan A＝4S，∴，即b2+c2﹣2R2＝2bc cos A，∴b2+c2﹣2bc cos A＝2R2，由余弦定理得a2＝2R2，由正弦定理得（2R sin A）2＝2R2，得，∵A为锐角，∴；（2）∵，由余弦定理得，∴，∵b2+c2≥2bc，取等号的条件是b＝c，∴，∴，∴S的最大值为．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），过C的焦点且垂直于x轴的直线被C截得的弦长为，椭圆C的离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）经过右焦点F的直线l与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴相交于点（0，），求直线l的方程．【分析】（1）根据题意可得，解得即可求出椭圆方程；（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理，中点坐标公式，垂直平分线的性质即可求出．解：（1）过C的焦点且垂直于x轴的直线被c截得的弦长为，∴，解得，b＝c＝1．∴椭圆C的标准方程为．（2）依题意，得直线l的斜率存在且不为0，F（1，0），设直线l的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0．这里△＝8k2+8＞0，∴，，，∴线段AB的中点为．线段AB的垂直平分线的方程为．令x＝0，得．∴，解得k＝1或．∴直线l的方程为y＝x﹣1或．21．已知函数f（x）＝lnx+2ax2+x的导函数为f'（x）．（1）若f'（x）≤﹣1对任意x＞0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的极值为正数，求实数a的取值范围．【分析】（1）由已知不等式分离参数后，转为为求相应函数的最值，结合二次函数的性质即可求解；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性及极值的关系对a进行分类讨论，转化为方程解的分布问题，通过构造函数进行求解．解：（1）∵，∴对任意x＞0恒成立，即．∴．∵，当x＝1时有最小值﹣1，∴4a≤﹣1，∴．（2）．①当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增，此时f（x）无极值；②当a＜0时，设方程4ax2+x+1＝0，△＝1﹣16a＞0．方程4ax2+x+1＝0有两个不等实根x1，x2，∵，∴x1，x2一正一负，设x1＜0，x2＞0，结合函数y＝4ax2+x+1的图象可知，当x∈（0，x2）时，f'（x）＞0；当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＜0．∴f（x）在（0，x2）上递增，在（x2，+∞）上递减，x＝x2是函数f（x）在（0，+∞）上的唯一极值点且是极大值点．∴∴．令，易知h（x）在（0，+∞）上递增，又h（1）＝0，∴h（x）＞0时，x＞1，∴x2＞1．∵，∴．∴．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；（2）已知点P（1，0），直线l与圆C相交于A，B两点，设|PB|＝λ|PA|（λ＞1），求实数λ．【分析】①直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．②利用直线间的位置关系求出直线的参数方程，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为y＝．圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．转换为直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4．（2）把直线l的参数方程为（t为参数），代入（x﹣2）2+y2＝4，得到：t2﹣t﹣3＝0，解得，，由于|PB|＝λ|PA|，即|t1|＝λ|t2|，即λ＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝2|x+1|+|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≤6；（2）设函数f（x）的最小值为m，已知a＞0，b＞0且ab+a﹣b＝m+2，求a+b的最小值．【分析】（1）先去绝对值号得出，然后根据f（x）≤6即可求出x的范围，即得出原不等式的解集；（2）根据即可求出f（x）的最小值m＝3，从而可得出ab+a﹣b ＝5，进而得出（a﹣1）（b+1）＝4，并可得出a﹣1＞0，b+1＞0，然后根据a+b＝（a ﹣1）+（b+1）即可求出a+b的最小值为4．解：（1）∴当x≤﹣1时，由﹣3x≤6得，﹣2≤x≤﹣1；当﹣1＜x＜2时，由x+4≤6得，﹣1＜x＜2；当x≥2时，由3x≤6得，x＝2，综上所述，原不等式的解集为{x|﹣2≤x≤2}；（2）∵，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，∴f（x）min＝f（﹣1）＝3，∴m＝3，∴ab+a﹣b＝5，即（a﹣1）（b+1）＝4，且a＞0，b＞0，∴a＞1，b+1＞0，∴，当且仅当a﹣1＝b+1＝2，即a＝3，b＝1时取等号，∴a+b的最小值为4．。
2020届湖北省高三年级调研考试数学（文）试题及答案一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}|3B x x =-<-，则A B =（）A ．{}5B ．{}1,2C ．{}3,4,5D ．{}4,5【答案】D【解析】首先求出集合B ，再根据交集的定义，即可得解. 【详解】解：因为{}|3B x x =-<-{}|3B x x ∴=>，{}1,2,3,4,5A ={}4,5A B ∴=.故选：D 【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题. 2．复数5iz i =+上的虚部为（ ）A ．526B ．526iC ．526-D ．526i -【答案】A【解析】化简得到152626z i =+计算虚部得到答案. 【详解】()515262626i i z i -==+，所以5i z i =+的虚部为526. 故选：A 【点睛】本题考查了复数虚部的计算，属于简单题.3．已知,αβ是两个不同的平面，,m l 是两条不同的直线，且,,m l αβααβ⊥⊂⋂=，则“m l ⊥”是“m β⊥”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】由面面垂直的性质定理、线面垂直的概念，结合充分、必要条件，判断出正确选项. 【详解】若m l ⊥，根据面面垂直的性质定理可知m β⊥；若m β⊥，则由l β⊂可得m l ⊥.所以“m l ⊥”是“m β⊥”的充要条件 故选：C. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的性质定理，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.4．某地有两个国家AAAA 级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误．．的是（ ）A ．甲景区月客流量的中位数为12950人B ．乙景区月客流量的中位数为12450人C．甲景区月客流量的极差为3200人D．乙景区月客流量的极差为3100人【答案】D【解析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.【详解】根据茎叶图的数据：甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人.甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人.故选：D【点睛】本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力.5．执行下边的程序框图，若输入的x的值为5，则输出的n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】执行程序框图：(),x n 依次为()5,0，()7,1，()9,2，()11,3，()13,4∵21313132+>∴输出的n 的值为4. 故选：C 【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生对于程序框图的理解能力. 6．设函数ln(),0()()1,0x x f x g x x -<⎧=⎨+>⎩若()f x 是奇函数，则()2g e =( )A ．-3B ．-9C ．-1D ．1【答案】A【解析】首先根据函数()f x 是奇函数可得()()222f e f e =--=-，又()()221g e f e =-，据此即可求出结果.【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以()()222ln 2f ef e e=--=-=-，又()()221g e f e =-，所以()23g e =-.故选：A. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，以及利用分段函数求函数值，属于基础题.7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且54S =，1010S =，则15S =（ ）A ．16B ．19C ．20D ．25【答案】B【解析】利用5S ，105S S -，1510S S -成等比数列求解 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，因为54S =，1010S =，所以1056S S -=，15109S S -=，故1510919S =+=. 故选：B 【点睛】本题考查等比数列前n 项性质，熟记性质是关键，是基础题8．将曲线sin 2y x =向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到曲线5cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则tan ϕ=（ ）AB ．C ．3D ．3-【答案】B【解析】变换得到sin 2cos 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据平移得到()23k k πϕπ=+∈N ，计算得到答案. 【详解】sin 2cos 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以52cos 2cos 2632x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以()23k k πϕπ=+∈N ，则tan ϕ=故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的平移，变换sin 2cos 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解题的关键.9．已知抛物线24y x =的焦点为F ，M ，N 是该抛物线上的两点，且12MF NF +=，则线段MN 的中点到x 轴的距离是（ ）A ．14B ．18C ．316D ．516【答案】C【解析】先判断线段MN 的中点到其准线的距离是14，再计算到x 轴的距离. 【详解】12MF NF +=，所以线段MN 的中点到其准线的距离是14由题意可知18p =，则线段MN 的中点到x 轴的距离是134216p -=. 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线上的点到准线的距离问题，意在考查学生的转化能力和计算能力. 10．已知函数()1cos 2cos xf x x+=+，()()20g x ax a =->.若1x R ∀∈，[]21,2x ∃∈，()()12f x g x =，则a 的取值范围是（）A ．21,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】根据条件求出()f x 的值域，与()g x 的值域，由1x R ∀∈，[]21,2x ∃∈，()()12f x g x =，可得两值域的包含关系，即可求得参数a 的取值范围. 【详解】 解：因为()2cos 1112cos 2cos x f x x x+-==-++，12cos 3x +，所以()f x 的值域为20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为0a >，所以()g x 在[]1,2上的值域为[]2,22a a --，依题意得[]20,2,223a a ⎡⎤⊆--⎢⎥⎣⎦，则 20,222,3a a -⎧⎪⎨-⎪⎩解得423a . 故选：C 【点睛】本题考查函数方程思想的综合应用，属于中档题. 11．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2)．当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值范围为()A ．⎛ ⎝B ．⎫+∞⎪⎪⎭ C ．D ． 【答案】D【解析】根据题意，酒杯内壁表面积为圆柱与半球的表面积，列出S 的表达式，再求出体积V ，解不等式即可． 【详解】解：设圆柱的高度与半球的半径分别为h ，R ，则222S R Rh ππ=+，则22SRh R ππ=-， 所以酒杯的容积323233224()332323S S V R R h R R R R R R ππππππ=+=+-=-+， 又0h >，所以202SR π->，所以22523S R R ππ<2S R π<，故选：D ． 【点睛】考查了组合体的体积和表面积计算，属于中档题．12．双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线l 交1l 于点P ，交2l 于点Q ，若12PQ F P =，则双曲线的离心率为（ ） AB C ．2 D ．3【答案】B【解析】设1l ：b y x a =-，2l ：by x a =，联立方程得到2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再计算2PQ b =，OQ =4224430c a c a -+=，计算得到答案.【详解】记O 为坐标原点.由题意可得()1,0F c -，不妨设1l ：by x a =-，2l ：b y x a=则直线l ：()a y x c b =+.联立()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2a x cab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭故1PF b =，OP a =.因为12PQ F P =，所以12PQ PF =所以2PQ b =，OQ =22221cos QOF ∠=.因为2tan bQOF a ∠=，所以2cos aQOF c ∠=，22220ac=，整理得4224430c a c a -+=，则42430e e -+=解得e =故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的离心率问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．若函数()e x f x mx =-在[2,0]-上为减函数，则m 的取值范围为___________.【答案】[)1,+∞【解析】将问题转化为导函数在[]2,0-上恒小于零，从而根据恒成立思想求解出m 的取值范围. 【详解】由题意可知()e 0x f x m '=-≤，即x m e ≥对[2,0]x ∈-恒成立， 所以()maxxm e≥，所以0e1m ≥=即[)1,m ∈+∞.故答案为：[)1,+∞. 【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围，难度一般.已知函数()f x 为指定区间的单调增(或减)函数，则()()()00f x f x ''≥≤在指定区间上恒成立.14．第28届金鸡百花电影节将在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映．若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为 _____． 【答案】710.【解析】首先根据题意，列举出从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况，共10种情况，其中《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的有7种，根据古典概型概率计算公式即可求结果. 【详解】从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况为（《南方车站的聚会》，《春江水暖》），（《南方车站的聚会》，《第一次的离别》），（《南方车站的聚会》，《春潮》），（《南方车站的聚会》，《抵达之谜》），（《春江水暖》，《第一次的离别》），（《春江水暖》，《春潮》），（《春江水暖》，《抵达之谜》），（《第一次的离别》，《春潮》），（《第一次的离别》，《抵达之谜》），（《春潮》，《抵达之谜》），共10种情况，其中《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的有7种，故所求概率为710.故答案为：710.【点睛】本题主要考查了古典概型概率的计算，属于基础题. 15．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”，其中“股”4AB =，D 为“弦”BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理，则()CB CA AD -⋅=______.【答案】14425【解析】先由等面积法求得AD ，利用向量几何意义求解即可. 【详解】由等面积法可得341255AD ⨯==，依题意可得，AD BC ⊥， 所以()214425CB CA AD AB AD AD -⋅=⋅==. 故答案为：14425【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.16．在数列{}n a 中，13a =，且()()12(1)22n n n a n a n +-=++- （1）{}n a 的通项公式为________；（2）在1a ，2a ，3a ， ，2019a 这2019项中，被10除余2的项数为________.【答案】222n a n n =-+ 403【解析】（1）等式两边同除()1n n +构造数列为等差数列即可求出通项公式；（2）利用通项公式及被10除余2 的数的特点即可求解 【详解】（1）因为()()12(1)22n n n a n a n +-=++-，所以122221n n n a a n a n n n+-+--==+ 2+，即12221n n a a n n +---=+，则2n a n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列且首项为1，差为2，所以212(1)n a n n -=+-21n =-，故222n a n n =-+（2）因为(21)2n n n a =-+，所以当n 能被10整除或n 为偶数且21n -能被5整除时，n a 被10除余2，所以8,10,18,20,,2010,2018n =，故被10除余2的项数为201014035+=. 故答案为：222n a n n =-+；403 【点睛】本题考查数列的通项，考查构造法，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题17．某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.（1）求购买金额不少于45元的频率；（2）根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.附：参考公式和数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d =+++.附表：【答案】（1）12（或0.5）；（2）列联表见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.【解析】（1）根据统计表及古典概型的概率计算公式即可计算出不少于45元的频率；（2）完善列联表，计算出2K 跟参考数据比较得出结论. 【详解】解：（1）购买金额不少于45元的频率为1520101902++=. （2）22⨯列联表如下：()22901220401814405 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关. 【点睛】本题考查独立性检验，以及古典概型的概率计算问题，属于基础题.18．设函数23()cos sin 2f x x x x =+-，a ，b ，c 分别为ABC∆内角A ，B ，C 的对边.已知()0f A =，2b =. （1）若a =B ；（2）若2a c =，求ABC ∆的面积.【答案】(1)6B π=. (2) 6【解析】（1）运用二倍角正余弦公式和辅助角公式，化简f （x ），并求得3A π=，再利用正弦定理求得1sin 2B =，可得结论；（2）由三角形的余弦定理得13c -+=结合面积公式，求得b ，c 的关系，即可得到所求三角形的周长． 【详解】（1）1cos23()2sin 212226x f x x x π-⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭， 因为()0f A =，所以262A ππ-=，即3A π=.因为sin sin a b A B =，所以sin 1sin 2b A B a ==， 因为(0,)B π∈，所以6B π=或56π，又b a <，所以6B π=.（2）由余弦定理，可得222(2)222cos 3c c c π=+-⨯⨯，即23240c c +-=，解得c =（负根舍去），故ABC ∆的面积为11sin 2sin 223bc A π=⨯=【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦函数的图形和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F ，G 分别是棱1CC ，1AA 的中点，E ，M 分别为棱AB ，11A B 上一点，113B M MA =，且GM 平面1B EF .（1）证明：E 为AB 的中点. （2）若四棱锥1F B MGE -的体积为32，求正方体1111ABCD A B C D -的表面积.【答案】（1）见解析；（2）24【解析】（1）取11A B 的中点N ，连接AN ，可证GM AN ，再由线面平行得到1ANB E ，又1B NAE ，所以四边形1AEB N 为平行四边形，即可得证.（2）设棱长为a ，易知F 到平面11ABB A 的距离为a ，由1113F B MGE B MGE V h S -=⋅⋅求出a 的值，即可求出表面积.【详解】解：（1）证明：取11A B 的中点N ，连接AN因为113B M MA =，所以M 为1A N 的中点，又G 为1AA 的中点，所以GMAN .因为GM 平面1B EF ，GM ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A 平面11B EF B E =.所以1GM B E ，即1AN B E .又1B NAE ，所以四边形1AEB N 为平行四边形，则1AE B N =，所以E 为AB 的中点.（2）设AB a ，则1A MG ∆，AGE ∆，1BEB ∆的面积分别为2a 16，28a ，24a ，易知F 到平面11ABB A 的距离为a ，所以11222321133331684162F B MGEB MGE a a a a V h S a a -⎛⎫==⋅⋅⨯---⨯== ⎪⎝⎭， 解得2a =，故所求正方体的表面积为2624a =. 【点睛】本题考查锥体的体积计算以及线面平行的性质，属于基础题.20．已知椭圆()2222:10x y a b a b Ω+=>>的焦距为2622（1）求Ω的方程；（2）若直线2y x =+与Ω相交于A 、B 两点，求以线段AB 为直径的圆的标准方程.【答案】（1）22182x y +=；（2）2282485525x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】（1）根据题意求出a 和b 的值，即可求出椭圆Ω的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与椭圆Ω的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB 的中点和AB ，即可得出所求圆的标准方程. 【详解】（1）设椭圆Ω的焦距为()20c c >，则2c =，2b =所以c =b =2228a b c =+=，所以Ω的方程为22182x y +=；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立222182y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得251680x x ++=.由韦达定理得12165x x +=-，1285x x =， 所以12825x x +=-，线段AB 的中点坐标为82,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.12AB x x =-===，所以，所求圆的标准方程为2282485525x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算以及圆的标准方程的求解，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来计算，考查运算求解能力，属于中等题. 21．已知函数()()33114ln 10f f x ax x x '=--的图象在点()()1,1f 处的切线方程为100++=x y b . （1）求a ，b 的值；（2）若()13f x m >对()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）13a =,403=-b （2）2642ln 2<-m 【解析】（1）求导可得()()23114310f f x ax x''=--,由题,切线方程斜率为()1f k '=,解得13a =,代回函数求得()1013f =,即10103b =--,可求得403=-b ； （2）如果求()13f x m >对0x ∈+∞（，）恒成立,即求()min 13f x m >,利用导数判断单调性求得最小值即可求解不等式 【详解】解：（1）()()23114310f f x ax x''=--, 因为()f x 在()()1,1f 处的切线方程为100++=x y b ,即10y x b =--,此时切线斜率10k =-, 则()3(1)13141010f f a k ''=--==-,解得13a =,所以()()333101114ln 314ln 3103f x x x x x x x ⨯-=--=+-, 所以()31110113114ln13333f =⨯+⨯-=+=,则10103b =--,解得403=-b（2）由（1）知()31314ln 3f x x x x =+-,()32143143x x f x x x x+-'=+-=,设函数()()33140g x xx x =+->,则()2330g x x '=+>,所以()g x 在()0,∞+为增函数,因为()20g =,令()0g x <,得02x <<；令()0g x >,得2x >, 所以当02x <<时,()0f x '<；当2x >时,()0f x '>, 所以()()3min 126223214ln 214ln 233f x f ==⨯+⨯-=-, 从而12614ln 233<-m ,即2642ln 2<-m 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求值,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查转化思想,考查运算能力22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），曲线C 的参数方程为cos sin x m y a n αα=⎧⎨=+⎩（0m >，0n >，α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=. （1）求a ，m ，n 的值；（2）已知点P 的直角坐标为()0,1，l 与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +.【答案】（1）4a m n ===；（2.【解析】（1）根据极坐标方程得到()22416x y +-=，根据参数方程得到答案.（2）将参数方程代入圆方程得到270t --=，根据韦达定理得到120t t +=>，1270t t =-<，计算12PA PB t t +=-得到答案.【详解】 （1）由8sin ρθ=，得28sin ρρθ=，则228x y y +=，即()22416x y +-=.因为0m >，0n >，所以4a m n ===.（2）将1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入()22416x y +-=，得270t --=. 设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t，则120t t +=>，1270t t =-<. 所以12t t P PB A =-==+.【点睛】 本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键. 23．已知函数()3124f x x x =+--.（1）求不等式()3f x >的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()228f x x tt --≤-恒成立，求t 的取值范围，【答案】（1）4(,10),5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）(][),19,-∞-+∞.【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式()3f x >的解集；（2）利用绝对值三角不等式求出()2f x x --的最大值，得出关于t 的不等式，求出解集即可．【详解】（1）当1x <-时，()3(1)(24)3f x x x =-++->，解得10x <-； 当12x -≤≤时，()3(1)(24)3f x x x =++->，解得45x >，则425x <≤； 当2x >时，()3(1)(24)3f x x x =+-->，解得4x >-，则2x >. 综上，不等式()3f x >的解集为4(,10),5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭； （2）()|2|3|1||24||2|f x x x x x --=+----3|1|3|2|x x =+-- |33||36|x x =+--|33(36)|9x x ≤+--=，若对任意x ∈R ，不等式2()|2|8f x x t t --≤-恒成立， 则289t t -≥，解得1t ≤-或9t ≥.因此，实数t 的取值范围是(][),19,-∞-+∞.【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用，同时考查了不等式恒成立问题，属于中档题．。
2020届湖北省随州市高三下学期3月调研考试数学（文）试题一、单选题1．已知全集为R ，集合{}02M x x =≤<，{}1,0,1,2,3N =-，()=M N ⋂R ð( ) A ．{}0,1 B ．{}1,0,1- C ．{}1,2,3- D ．{}1,0,2,3-【答案】C【解析】利用交集及补集的定义求解． 【详解】∵{}02M x x =≤<，={0M x x <R ，ð或2}x ≤，N ={−1，0，1，2，3} ∴()=M N ⋂R ð{−1，2，3}. 故选：C . 【点睛】本题考查集合的运算，根据交、并、补运算法则进行运算，属于基础题. 2．设复数231iz i i=-+，则z =( )A ．B ．2C D【答案】A【解析】根据复数四则运算化简z ，可求z 的模. 【详解】()()()212331312111i i iz i i i i i i i i -=-=-=+-=-++-Q ，z ∴故选：A . 【点睛】本题考查复数的运算及模的运算，考查对复数基础概念的掌握及运算能力，属于基础题.3．设31log 5a =，131log 5b =，153c -=，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】C【解析】根据对数的单调性可求出a 、b 的范围，再求出c 的范围即可比较大小. 【详解】331log log 105a =<=Q ，113311log log 153b =>=，105331c -=<=， 且c >0,b c a ∴>>.故选：C . 【点睛】本题考查指对函数值的大小比较，一般是指数、对数化同底利用函数单调性比较大小，或借助特殊值去比较大小，属于基础题.4．已知角()0,απ∈，角α的终边经过点7cos ,sin 66A ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则α=( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【解析】根据诱导公式及特殊角三角函数值求出A 点坐标，再根据三角函数定义可得角α.【详解】1sin62π=Q，7cos cos cos 6662ππππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， 22sin cos 166ππ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos6cos =12πα-∴=-.又()0,απ∈，56πα∴=. 故选：D . 【点睛】本题考查角的概念，属于基础题.5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若423S S =，且2615a a +=，则4a =( ) A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】B【解析】由题可判断1q ≠，根据423S S =列方程()()421111311a q a q qq--=⨯--得22q =，再代入2615a a +=可得23a =，根据公式可得4a . 【详解】当数列{}n a 的公比1q =时，414S a =，2136S a =，423S S ≠，1q ∴≠.()()421111311a q a q qq--∴=⨯--，得22q =.()4262115a a a q +=+=Q ，23a ∴=， 2426a a q ∴==.故选：B . 【点睛】本题考查等比数列，求等比数列中的项，一般根据条件列方程求出首项和公比即可，注意等比数列公比为1的求和公式，属于基础题.6．已知m ，n 是空间内两条不同的直线，α，β是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）A ．若m n ⊥，m α⊥，则//n αB ．若αβ⊥，m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥C ．若m αβ=I ，//n α，则//m nD ．若m α⊥，βn//，//αβ，则m n ⊥【答案】D【解析】A.若m n ⊥，m α⊥，则n αP 或n ⊂α.B.若αβ⊥，m αβ=I ，n m ⊥，若n β⊄，不成立，C.若m αβ=I ，//n α，m 与n 的关系是异面或平行.D.由面面垂直的性质定理判断. 【详解】若m n ⊥，m α⊥，则n αP 或n ⊂α，故A 不正确，；若αβ⊥，m αβ=I ，n m ⊥，若n β⊂，则n α⊥，故B 不正确， 若m αβ=I ，//n α，m 与n 的关系是异面或平行，故C 不正确， 若m α⊥，//αβ，m β⊥，又因为βn//，所以m n ⊥，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查点、线、面的位置关系，还考查理解辨析的能力，属于中档题. 7．已知曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为31y x =+，则曲线()xf x y e=在点0x =处的切线方程为( )A ．21y x =-B ．21y x =+C ．1y x =-D ．1y x =+【答案】B【解析】由()y f x =切线方程31y x =+，得()01f =，()03f '=，代入()xf x y e =可得切点坐标，对()xf x y e=求导代入可得切线斜率，求解出方程即可. 【详解】由切线方程31y x =+，得()01f =，()03f '=. 设()()x f x g x e=， 则()()()()()()2x x xx e f x e f x f x f x g x e e ''--'==，()()0001f g e ∴==，()()()0002f f g e'-'==， ∴曲线()xf x y e=在点0x =处的切线方程为12y x -=， 即21y x =+， 故选：B . 【点睛】本题考查曲线上某点的切线方程，考查导数的应用，根据导数求出切点与切线斜率即可，属于基础题.8．执行如图的程序框图，最后输出结果为8.若判断框填入的条件是s a ≥，则实数a 的取值范围是( )A ．(]21,28B ．[)21,28C ．(]28,36D ．[)28,36【答案】A【解析】根据循环结构程序框图的运算，求得k =7及k =8时s 的值，判断框填入的条件是s a ≥，即可得a 的取值范围. 【详解】1k =，0s =，①条件不满足，1s =，2k =；②条件不满足，3s =，3k =； ③条件不满足，6s =，4k =；④条件不满足，10s =，5k =； ⑤条件不满足，15s =，6k =；⑥条件不满足，21s =，7k =； ⑦条件不满足，28s =，8k =；满足条件，退出循环.2128a ∴<≤.故选：A . 【点睛】本题考查程序框图计算，此类问题需要分析程序框图中各个变量、语句的作用，根据流程图的顺序依次计算即可，属于基础题.9．函数()()3sin cos 10f x x x a ωω=+->的最小正周期是π，则函数()f x 在区间[]0,100上的零点个数为（ ） A ．31 B ．32C ．63D ．64【答案】D【解析】先用辅助角法，将()312cos 122f x x x ωω⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，转化为()2sin 16f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再由最小正周期是π，求得解析式，然后求零点即可.【详解】因为()12cos 12f x x x ωω⎫=+-⎪⎪⎝⎭2sin 16x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.Q 最小正周期是π，=2ω∴.()2sin 216f x x π⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，令()0f x =，得1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 2266x k πππ∴+=+或52266x k πππ+=+，k ∈Z . x k π∴=或3x k ππ=+，k ∈Z .0100x ≤≤Q ，∴当x k π=时，0x =，π，2π，3π，L ，31π共32个；当3x k ππ=+时，3x π=，3ππ+，23ππ+，L ，313ππ+共32个.∴函数()f x 在区间[]0,100上的零点总共有64个.故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的性质和零点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，垂线交y 轴于点B ，且3AB FA =u u u r u u u r .若OAB V 的面积为2（O 是坐标原点），则双曲线的标准方程为( )A ．2213x y -=B ．22132x y -=C ．2213y x -=D ．22123x y -=【答案】A【解析】由题意及点到直线距离公式可得FA b =，OA a =，由3AB FA =u u u r u u u r可得3AB b =，根据面积公式可得ab =又根据垂线AF 的方程为()ay x c b=--，得点B 的坐标为0,ac B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用勾股定理可得222229a c a b b+=，结合222+=a b c 联立解出a 、b即可得双曲线方程. 【详解】过右焦点(),0F c 作渐近线by x a=的垂线，渐近线方程即0bx ay -=.FA b ==Q ，OA a ∴=，又3AB FA =u u u r u u u r可得3AB b =，则113222OAB S OA AB a b ==⨯⨯=△.ab ∴=.又垂线AF 的方程为()a y x c b =--，得点B 的坐标为0,ac B b ⎛⎫⎪⎝⎭，Rt OAB ∴∆中，222229a c a b b+=②.由①②及222+=a b c ，得23a =，21b =，∴双曲线的标准方程为2213x y -=.故选：A . 【点睛】本题考查双曲线的方程，涉及双曲线渐近线相关的知识及三角形面积公式应用，列出关于a 、b 、c 的方程计算即可，属于综合题，考查综合分析及计算能力，属于中等题. 11．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计π的值：在区间()0,1内随机取2m 个数，构成m 个数对(),x y ，设x ，y 能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 有n 对，则通过随机模拟的方法得到的π的近似值为（ ）A．2 m nm+B．2m nn+C．24m nm+D．22m nn+【答案】C【解析】根据在区间()0,1内随机取2m个数，则有0101xy<<⎧⎨<<⎩，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.因为x，y能与1构成钝角三角形，由余弦定理的及三角形知识得2211x yx y⎧+<⎨+>⎩求得相应的面积，再利用几何概型的概率公式求解.【详解】依题有0101xy<<⎧⎨<<⎩，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.因为x，y能与1构成钝角三角形，由余弦定理的及三角形知识得2211x yx y⎧+<⎨+>⎩，构成如图阴影部分，其面积为142π-，由几何概型概率计算公式得1421nmπ-=，解得24m nmπ+=.故选：C【点睛】本题主要考查数学史和几何概型的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．已知三棱锥S ABC-的所有顶点在球O的球面上，SA⊥平面ABC，ABCV是等腰直角三角形，2SA AB AC===，D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是( )A．πB．2πC．3πD．4π【解析】由已知可得点D 是Rt ABC V 的外心，过点D 作DO ⊥平面ABC 使112DO SA ==，O 是外接球球心，半径设为R ，不难求出3R =，过点D 作球O 的截面，当OD ⊥截面时，截面面积最小，求出面积即可. 【详解】点D 是Rt ABC V 的外心，过点D 作DO ⊥平面ABC 使112DO SA ==， O 是外接球球心，半径设为R ，则OA OS R ==.在直角梯形SADO 中，2SA =，1OD =，2AD =，得3R =，过点D 作球O 的截面，当OD ⊥截面时，截面面积最小， 此时截面圆的半径为222R OD -=，∴截面面积的最小值是2π.故选：B .【点睛】本题考查球截面问题，通常利用勾股定理求解，根据题意找出圆心，再利用垂直于直径的截面面积最小即可求出最小面积，属于中等题.二、填空题13．已知向量)3,1a =r，()3,b m =-r ，a r 与b r 的夹角为23π，则实数m =__________. 【答案】1【解析】根据向量的夹角公式可得关于m 的方程，计算求解即可． 【详解】∵向量)3,1a =r，()3,b m =-r ，a r 与b r 的夹角为23π，∴||2a =r ，2||3b m +r，根据数量积定义221cos32|||23a b a b m π⋅===-+r r r r ，解得1m =.【点睛】本题考查向量的夹角公式，解题关键是对向量夹角公式的灵活掌握，属于基础题. 14．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线与x 轴相交于点C .若以F 为圆心、p 为半径的圆与抛物线相交于点A ，B ，则sin ACF ∠=__________.【答案】2【解析】根据已知抛物线与圆方程联立可得交点A ，B 坐标，再由AB x ⊥轴及抛物线性质可得Rt AFC V 为等腰三角形，可得45ACF ∠=︒，即可求解. 【详解】由222222y px p x y p ⎧=⎪⎨⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩，得2p x y p ⎧=⎪⎨⎪=±⎩， ,2p A p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭.AB x ∴⊥轴.在Rt AFC V 中，AF CF p ==，45ACF ∴∠=︒，sin ACF ∴∠=故答案为：2. 【点睛】本题考查抛物线的性质，掌握及灵活应用抛物线的定义及几何性质是解题关键，考查学生的分析与转化能力，属于简单题.15．2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x （单位：十万只），若这组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为1.44，且21x ，22x ，23x ，24x ，25x 的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩__________十万只. 【答案】1.6【解析】设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数为x ，根据方差的计算公式有()()()2221251 1.445x x x x x x ⎡⎤-+-++-=⎢⎥⎣⎦L .即()()2222125125257.2x x x x x x x x +++-++++=L L ，再利用21x ，22x ，23x ，24x ，25x 的平均数为4求解. 【详解】依题意，得22212520x x x +++=L .设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数为x ， 根据方差的计算公式有()()()2221251 1.445x x x x x x ⎡⎤-+-++-=⎢⎥⎣⎦L .()()2222125125257.2x x x x x x x x ∴+++-++++=L L ，即22201057.2x x -+=，1.6x ∴=.故答案为：1.6 【点睛】本题主要考查样本中的数字特征，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于基础题.16．已知正项数列{}n a 和{}n b 满足：①11a =，23a =；②12n n n a a b ++=，211n n n b b a ++=.则数列{}n a 的通项公式为n a =___________. 【答案】()112n n +【解析】根据条件②12n n n a a b ++=，211n n n b b a ++=联立化简得数列是等差数列，再根据条件①可得的通项，再代入②即可得数列{}na 的通项公式.【详解】0n a >Q ，0n b >，211n n n b b a ++=，1n a +∴则2n ≥2n b =，2n ∴≥==∴数列是等差数列.又1212a a b +=，12b ∴=，222192a b b ==，=2d ==，))11n n =-=+. ()2112n b n ∴=+，()()11122n a n n +∴==++.()112n a n n ∴=+，其中11a =适合此式，()112n a n n ∴=+.故答案为：()112n n +.【点睛】本题考查数列的通项公式，考查对数列相关知识的理解与运用，解题关键是对题目条件的转化，属于中等题.三、解答题17．某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生按照10:1的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下： 男生身高频率分布表女生身高频数分布表（1）估计这1000名学生中女生的人数；（2）估计这1000名学生中身高在[]170,190的概率；（3）在样本中，从身高在[]170,180的女生中任取2名女生进行调查，求这2名学生身高在[)170175,的概率.（身高单位：厘米） 【答案】（1）400名；（2）0.49；（3）15. 【解析】（1）由男生、女生身高频数分布表可知，抽了60名男生，40名女生，则女生的人数为4010004004060⨯=+；（2）由男生、女生身高频数分布表可知，身高在[]170,190的有49人，又共抽取100人，计算可得概率；（3）身高在[)170175,的女生有3名，身高在[]175,180的女生有3名，列举法可得抽取2名共15种，其中2名学生的身高都在[)170175,的情况有3种，可求概率. 【详解】（1）由频率分布表可得样本中男生为60名，女生为40名， 估计这1000名学生中女生的人数大约是4010004004060⨯=+（名）.（2）由表知，样本中身高在[]170,190的人数为19184233=49+++++， 样本容量是100，∴样本中身高在[]170,190的概率为49100， ∴估计这1000名学生中身高在[]170,190的概率为0.49.（3）依题意，身高在[)170175,的女生有3名，记为a ，b ，c ， 身高在[]175,180的女生有3名，记为d ，e ，f ， 则从身高在[]170,180的女生中任取2名，所有情况有：ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef 共15种，其中2名学生的身高都在[)170175,的情况有ab ，ac ，bc 共3种，∴这2名学生身高都在[)170175,的概率为31155=. 【点睛】本题考查频率分布表的应用及概率计算，解题关键是对频数分布表及古典概型求概率的灵活掌握，属于基础题.18．如图，平面ABCD I 平面ABEF AB =，四边形ABCD 和ABEF 都是边长为2的正方形，点M ，N 分别是AF ，AB 的中点，二面角D AB F --的大小为60°.（1）求证：//MN 平面BCF ； （2）求三棱锥M BCF -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（23【解析】（1）由中位线性质可知//MN BF ，又MN ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF 即可求证；（2）根据题目条件不难得出DAF ∠就是二面角D AB F --的平面角，连接DM ，解三角形可得DAM △为直角三角形，由DM AM ⊥进一步求证可得DM ⊥平面ABEF ,又//CD 平面ABEF ，可得点C 到平面ABEF 的距离等于点D 到平面ABEF 的距离，即为所求三棱锥的高，再求出底面积代入体积公式即可. 【详解】（1）证明：M Q ，N 分别是AF ，AB 的中点，//MN BF ∴.MN ⊄Q 平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，//MN ∴平面BCF .（2）Q 四边形ABCD 和ABEF 都是边长为2的正方形，DA AB ∴⊥，FA AB ⊥，DAF ∴∠就是二面角D AB F --的平面角，60DAF ∴∠=︒.连接DM ，在DAM △中，2DA =，1AM =，60DAM ∠=︒，2222cos603DM AM AD AM AD ∴=+-⋅⋅︒=，3DM ∴=222DM AM AD ∴+=，DM AM ∴⊥.DA AB ⊥Q ，FA AB ⊥，FA DA A =I ，AB ∴⊥平面ADM ，AB DM ∴⊥.DM ∴⊥平面ABEF .//CD Q 平面ABEF ，∴点C 到平面ABEF 的距离等于点D 到平面ABEF 的距离，为3.FA AB ⊥Q ，N 为AB 的中点，2AF AB ==， 11212NBF S ∴=⨯⨯=△//MN Q 平面BCF ，M BCF N BCF C NFB V V V ---∴==.13333M BCF NBF V S -∴=⨯=△.【点睛】本题考查线面平行的证明及三棱锥的体积求法，考查空间推理能力及转化能力，属于中等题.19．ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC V 的外接圆半径为R ，面积为S ，已知A 为锐角，且()2222tan =4b c R A S +-.（1）求A ；（2）若=1a ，求S 的最大值. 【答案】（1）4π；（2）)1214.【解析】（1）根据正、余弦定理和同角三角函数的基本关系可求出sinA 的值，再根据是锐角三角形可确定角A 的值；（2）将a ，A 的值代入余弦定理，得到关系b ，c 的关系式，再由面积公式及基本不等式可求最大值． 【详解】（1）()2222tan 4b c RA S +-=Q ，()222sin 124sin cos 2A b c R bc A A ∴+-=⨯， 即22222cos b c R bc A +-=，2222cos 2b c bc A R ∴+-=， 由余弦定理得222a R =，由正弦定理得()222sin 2R A R =，得sin A =A Q 为锐角，4A π∴=.（2）由余弦定理，得22212b c bc +-⨯=，221b c ∴+=+.222b c bc +≥Q ，取等号的条件是b c =，22bc ∴≤.)11sin 124S bc A ∴==≤.S ∴的最大值为)114.【点睛】本题考查正、余弦定理的应用，涉及到的考点由同角三角函数关系、面积公式、基本不等式，属于综合题，考查综合分析能力及转化思想，属于中等题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过C 的焦点且垂直于x 轴的直线被C 截得，椭圆C 的离心率为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）经过右焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与y 轴相交于点10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）1y x =-或1122y x =-.【解析】（1）根据通径可求过C 的焦点且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长为22ba，再由椭圆C a 、b ，可得椭圆方程； （2）依题意，得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，与椭圆联立利用韦达定理可得线段AB 的中点为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，可得线段AB 的垂直平分线的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，代入10,3⎛⎫⎪⎝⎭解得1k =或12k =，由此得出直线l 的方程.【详解】（1）过C 的焦点且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长为22ba，222222b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪∴=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =1b c ==. ∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）依题意，得直线l 的斜率存在且不为0，()1,0F ， 设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222124220k x k x k +-+-=. 可得2880k ∆=+>，2122412k x x k ∴+=+，21222212k x x k-=+， ()121222212ky y k x x k+=+-=-+ ∴线段AB 的中点为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 线段AB 的垂直平分线的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭. 令0x =，得212ky k=+. 21123k k ∴=+，解得1k =或12k =.∴直线l 的方程为1y x =-或1122y x =-. 【点睛】本题考查椭圆方程与椭圆与直线综合问题，求椭圆方程一般思路为列关于a 、b 、c 的方程组求解即可，椭圆与直线综合问题通常是设直线，联立，求韦达定理代入核心条件求解未知量，计算量较大，属于中等题.21．已知函数()2ln 2f x x ax x =++的导函数为()f x '.（1）若()21f x x'≤-对任意0x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 的极值为正数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）14a -≤；（2）102a -<<. 【解析】（1）由()21f x x'≤-对任意0x >恒成立，求出()f x '代入分离参数，将问题转化为2min 124a xx ⎛⎫≤-⎪⎝⎭，由二次函数的最值可得a 的取值范围； （2）由函数()f x 的极值为正数，则()=0f x '有正根，将问题转化为二次函数有正根问题，对a 进行分类讨论，可得当0a <时，方程2410ax x ++=有两个不等实根1x ，2x 且异号，设10x <，20x >，可得出2x x =是函数()f x 在()0,∞+上的唯一极值点且是极大值点，再利用函数与方程思想可得21>x ，又22214x a x +=-得实数a 的取值范围. 【详解】（1）()141f x ax x'=++Q ， 12411ax x x ∴++≤-对任意0x >恒成立，即2124a x x≤-. 2min 124a xx ⎛⎫∴≤- ⎪⎝⎭.2212111x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭Q ，当1x =时有最小值-1， 41a ∴≤-，14a ∴≤-.（2）()()2141410ax x f x ax x x x++'=++=>.①当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上递增， 此时()f x 无极值；②当0a <时，设方程2410ax x ++=，1160a ∆=->. 方程2410ax x ++=有两个不等实根1x ，2x ，12104x x a=<Q ，1x ∴，2x 一正一负， 设10x <，20x >，结合函数241y ax x =++的图象可知，当()20,x x ∈时，()0f x '>；当()2,x x ∈+∞时，()0f x '<，()f x ∴在()20,x 上递增，在()2,x +∞上递减，2x x =是函数()f x 在()0,∞+上的唯一极值点且是极大值点.()222222222ln 0,410,f x ax x x ax x ⎧=++>∴⎨++=⎩ 2211ln 022x x ∴+->. 令()11ln 22h x x x =+-，易知()h x 在()0,∞+上递增，又()10h =，()0h x ∴>时，1x >，21x ∴>.222410ax x ++=Q ，()22222111142,024x a x x ⎛⎫+∴=-=-++∈- ⎪⎝⎭.102a -<<∴.【点睛】本题考查利用导数求参数的取值范围，包括不等式恒成立求参数范围及已知极值范围求参数取值范围，核心考点是导数的应用，不等式恒成立求参数范围运用转化思想将参数分离，转化为求区间上函数的最值问题即可解决，已知极值范围求参数取值范围通过求导数将问题转化为二次函数根的分布问题，利用分类讨论及转化思想进行求解，是难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）已知点()1,0P ，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，设()1PB PA λλ=>，求实数λ.【答案】（10y --=；()2224x y -+=（2）76λ+=【解析】（1）消去参数t ，求得直线的普通方程，由4cos ρθ=求圆的普通方程.（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t .依题意，点()1,0P 在直线l 上且在圆C 的内部.21t t λ=-.然后将直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程联立，再用韦达定理求解. 【详解】（1）由112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，0y --=.由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，即224x y x +=.故圆C 的直角坐标方程为()2224x y -+=. （2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t . 依题意，点()1,0P 在直线l 上且在圆C 的内部.21t t λ∴=-. 将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程并整理得230t t --=，121t t ∴+=，123t t =-.()2121213t t t t +∴=-，211273t t t t ∴+=-，得21t t =，21t t λ∴=-=.1λ>Q，λ∴=. 【点睛】 本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的转化和直线与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.23．已知函数()212f x x x =++-.（1）解不等式()6f x ≤；（2）设函数()f x 的最小值为m ，已知0a >，0b >且2ab a b m +-=+，求+a b 的最小值.【答案】（1）{}22x x -≤≤（2）4 【解析】（1）将函数去绝对值，得()3,12124,123,2x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪≥⎩，然后分段求解.（2）先求分段函数的最小值，3m =.将2ab a b m +-=+，转化为()()114a b -+=，再利用基本不等式有()()11a b a b +=-++≥. 【详解】 （1）()3,12124,123,2x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪≥⎩，∴当1x ≤-时，由36x -≤，得21x -≤≤-；当12x -<<时，由46x +≤，得12x -<<；当2x ≥时，由36x ≤，得2x =.综上所述，原不等式的解集为{}22x x -≤≤. （2）()3,14,123,2x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩Q ，()f x ∴在(),1-∞-递减，在()1,-+∞递增.()()min 13f x f ∴=-=.3m ∴=.5ab a b ∴+-=，即()()114a b -+=.0a >Q ，0b >，1a ∴>.则()()114a b a b +=-++≥=，当且仅当11a b -=+且()()114a b -+=，即3a =，1b =时，取等号.3a ∴=，1b =时+a b 有最小值4.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
【新结构】湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则()A. B. C. D.2.已知复平面内坐标原点为O，复数z对应点Z，z满足，则()A. B. C.1 D.23.已知正方形ABCD的边长为2，若，则()A.2B.C.4D.4.已知椭圆，则“”是“椭圆C的离心率为”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.过点的直线l与圆交于A，B两点，则的最小值为()A. B. C. D.26.已知公差为负数的等差数列的前n项和为，若，，是等比数列，则当取最大值时，()A.2或3B.2C.3D.47.若，，则()A. B. C. D.8.能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知A，B为随机事件，，，则下列结论正确的有()A.若A，B为互斥事件，则B.若A，B为互斥事件，则C.若A ，B 相互独立，则D.若，则10.如图，棱长为2的正方体中，E 为棱的中点，F 为正方形内一个动点包括边界，且平面，则下列说法正确的有()A.动点F 轨迹的长度为B.三棱锥体积的最小值为C.与不可能垂直D.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为11.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则下列结论正确的有()A.函数的值域为B.函数的图象关于点成中心对称图形C.函数的导函数的图象关于直线对称D.若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
