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九年级数学下册 第26章《二次函数》-二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质课件 新人教版

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《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT课件

《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT课件


2
h 0, k 0 y ax k

2

k 0, h 0 y a x h
典例精析
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，
则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是
二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数
难点：通过图象，观察抛物线y=a(x−ℎ)2 +k与抛物线y=ax2的平移规律。
二次函数"y=a(x−ℎ)^2+k的图象
通过描点法画出 = −
1
2
+1
2
− 1的图象？
【列表】
… -4
-3
-2
-1
0
1
2
…
…
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
…
1
= − 2 ( +
1)2 −1
-5.5
二次函数"y=a(x−ℎ)^2+k的图象
y
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
x
D.第一、三、四象限
【分析】观察图象可知二次函数y=a(x+m)2+n中a>0，m<0，n<0,所以
y=mx+n的图象经过二、三、四象限。
1
通过描点法画出 = − 2 + 1
2
− 1的图象？
x=-1
【描点】
y
根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点
0
-4
【连线】
-2
用平滑曲线顺次连接各点，就得到

华东版九年级数学下册第26章26.226.2.2第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质

华东版九年级数学下册第26章26.226.2.2第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质

4. 在函数 y＝(x－3)2 中，当 x ＞3 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x ＜3 时，函数值 y 随 x 的增大 而减小； 当 x＝ 3 时， 函数值 y 取最 小 值， 是 0 ．
1 2的开口向 5. 抛物线 y＝－3x－2 1 1 直线 x＝ ， 0 2 ，顶点坐标为 是 2
．
9. 若二次函数 y＝x2－mx＋1 的图象顶点在 x 轴上， 则 m 的值是( D ) A．2 C．0 B．－2 D．±2
10. 在平面直角坐标系中，函数 y＝－x＋1 与 y＝－ 3 (x－1)2 的图象大致是( D ) 2
11. 抛物线 y＝3(x－1)2 的图象上有三点 A(－1，y1)， B( 2，y2)，C(2，y3)，则 y1，y2，y3 的大小关系是( D ) A．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
16. 如图所示，二次函数 y1＝a(x－h)2 的图象与直线 y2＝kx＋b 交于 A(0，－1)，B(1，0)两点．
(1)确定二次函数与一次函数的解析式； (2)当 y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2 时，根据图象分别确定 自变量 x 的取值范围．
解：(1)y1＝－(x－1)2， y2＝x－1； (2)当 y1＜y2 时， x＜0 或 x＞1， 当 y1＝y2 时，x＝0 或 x＝1， 当 y1＞y2 时，0＜x＜1.
18. 如图，抛物线的顶点 M 在 x 轴上，抛物线与 y 轴交于点 N，且 OM＝ON＝4，矩形 ABCD 的顶点 A、B 在抛物线上，C、D 在 x 轴上．
(1)求抛物线的解析式； (2)设点 A 的横坐标为 t(t>4)， 矩形 ABCD 的周长为 l， 求 l 与 t 之间的函数关系式． 1 解：(1)y＝4(x－4)2；

二次函数y=a(x-h)^2+ k的图像与性质

二次函数y=a(x-h)^2+ k的图像与性质

3．把二次函数y=4(x－1) 2的图像, 沿 x轴向 右平移 2 个单位，得到图像的 对称轴是直线x=3.
4．把二次函数y=－2x 2的图像，先沿x 轴向左平移３个单位，再沿y轴向下平
移2个单位，得到图像的顶点坐标是 __(-_3,_-2_)_．
抛物线y=a(x－h)2+k有如下
特点:
顶点式
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下;
y 1和(x 1)2 1有什么y 关 系1 x?2
2
2
y 1 (x 1)2 1 2
y 1
y 1 x2 2
向下平移 y 1 x2 1
1个单位
2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 -2
-3
x
向左平移 1个单位
y 1 (x 1)2 1 2
-4 -5 -6
-7
平移方法2:
各种形式的二次函数的关系
|k| |h|
左 个右 单平 位移
y = a( x - h )2 + k
上 个下 单平 位移
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
上下平移 |k|个单位
左右平移
y = ax2 |h|个单位
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k
与y = ax2形状相同，位置不同。
（4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是 (-m,n) 。
5.如图所示的抛物线： 当x=_0_或__-_2时，y=0； 当x<－2或x>0时， y___<__0； 当x在 －__2 _< _x<_0 范围内时，y>0； 当x=___-1__时，y有最大值___3__.

二次函数的图象和性质课件

二次函数的图象和性质课件

二次函数的解析试.
解：设所求的二次函数 为y ax2 bx c,由题意得：
｛a b c 10 abc 4
4a 2b c 7
待定系数法
解得，a 2,b 3, c 5
所求的二次函数是 y 2x2 3x 5
对自己说,你有什么收获? 对老师说,你有什么疑惑? 对同学说,你有什么温馨提示?
x
y 1 x 22
3
y 1 x2
3
5.二次函数y=ax2 的图象和性质
抛物线 y=ax2(a>0)
y=ax2(a<0)
开口方向
对称轴
向上 直线x=0
向下 直线x=0
顶点坐标 （0，0）
（0，0）
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大
而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随
问题3：多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
由图可以想出,如果多边形有n
条边，那么它有 n 个顶点，从一
个顶点出发，连接与这点不相邻
M
N 的各顶点,可以作(n-3)条对角线.
此式表示了多边形
的对角线数d与边
数n之间的关系,对
于n的每一值,d都
即
有唯一的对应值,
即d是n的函数。
问题4：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年 增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后 这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的 关系怎样表示？
返回
在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2、 y=2(x-1)2+1 的图象
x
-3 -2 -1
0
1

[初中++数学]求二次函数的表达式++课件+华东师大版数学九年级下册

[初中++数学]求二次函数的表达式++课件+华东师大版数学九年级下册
2

将 yD ＝－3代入 y ＝－ x2＝ ＋1，
故点 D 的坐标为 − + , − 或
+ , − .



当 x ＝0时， y ＝－ ×4＋3＝ ≈2.7＞2.44，


∴球不能射进球门.
典例导思
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大
高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少
米射门，才能让足球经过点 O 正上方2.25 m处？
（第4题）
（第4题）
典例导思
解：（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后
∴抛物线的解析式为
y＝－（x－ ） 2＋4＝－x 2＋2 x＋1.
典例导思
（2）在抛物线的对称轴上取一点 Q ，同时在抛物线上
取一点 R ，使以 AC 为一边且以点 A 、 C 、 Q 、 R 为顶点
的四边形为平行四边形，求点 Q 和点 R 的坐标.
典例导思
解：（2）设点Q（ ，m）.
（第4题）
典例导思
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门
（忽略其他因素）；
解：（1）∵8－6＝2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3）.
设抛物线为 y ＝ a （ x －2）2＋3，
（第4题）
把点 A （8，0）代入，得36 a ＋3＝0，解得 a ＝－ ，


∴抛物线的函数表达式为 y ＝－ （ x －2）2＋3.
= ，
+ ＋ = ，
得 + ＋＝ − ， 解得 ＝ − ，
＝ − .
＝ − ，
∴该二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.
典例导思

26125二次函数y=a(x-h)2图象和性质

26125二次函数y=a(x-h)2图象和性质

距离为3.05m。
(1)球在空中运行的最大高度是多少米？
(2)如果运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25m ，
则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？
y 1 x2 3.5 当x 0时，y 3.5
5 当y 2.25时，2.25 1 x2 3.5
x1 当y
2.5, x2 2.5 3.05时，3.05
; ; y 1 ( x 2) 2 y 1 ( x 2) 2
2
2
x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y
y
11 22
x(2x

2) 2
y 1 (x 2) 2 4.5 2
4.5 2 2 0.5 0
0.5 0y 01.5x 2 2 4.5
2
y 1 ( x 2) 2
请回答下列问题：
3
（4，0）
1、变把 换函 ，数就能y得 到13函x2数的y图 象1作(x怎 4样)的2 的图平象移。
解：把函数
y


1
3 x 2向右平移4个单位可得到函数。
3
2、说出函数 y 1 (x 4)2 的图象的顶点坐标
和对称轴。 3
解：顶点坐标为(4,0),对称轴为直线x=4.
学一学
直线x=3
这里一定要 变成减号。
（-1，0）
例2 对于二次函数y=2(x+1)2请回答下列问题：
1、把函数y=2x2的图象作怎样的平移变换，就能 得到函数y=2(x+1)2的图象。
解：把函数y=2x2向左平移1个单位可得到函数y=2(x+1)2
2、说出函数y=2(x+1)2的图象的顶点坐标和对称轴。

《二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质》PPT课件 湘教版

解析：抛物线y=-（x-1）2+1的对称轴为直线x=-1， ∵a=-1＜0， ∴抛物线开口向下， ∵-1＜x1＜0，3＜x2＜4， ∴y1＞y2．
6.试说明抛物线y＝2(x－1)2与y＝2(x－1)2＋5的异同．
解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同； (2)它们的对称轴相同，都是x＝1.当x<1时都是左降，当 x>1时都是右升； (3)它们都有最小值． 不同点：(1)顶点坐标不同．y＝2(x－1)2的顶点坐标是(1， 0)，y＝2(x－1)2＋5的顶点坐标是(1，5)； (2)y＝2(x－1)2的最小值是0， y＝2(x－1)2＋5的最小值是5.
作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y 轴于点F，如图所示． 在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20； 在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18； 在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2. ∵AC2＋CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形．
课堂小结
图象特点 二次函数y=a(x-
24
平移方法2
y 1 x2 2
3
个 单 位
向 上 平 移
y 1 (x 1)2 3 2
向右平移 1个单位
y 1 x2 3 2
－4
8 6 4 2
－2
24
知识要点
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的(h>0，k>0).
平移规律 y = a( x - h )2 + k
当堂练习
1.将抛物线y＝ 1 x2向右平移2个单位，再向下平移1 3
个单位，所得的抛物线是( A ) 1
A．y＝ 3 (x－2)2－1 B．y＝ 1 (x－2)2＋1 C．y＝ 13 (x＋2)2＋1

华师版九年级下册数学第26章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质

图②的位置，m 逐渐减小，点 B 沿 y 轴向上移动，
当点 B 与 O 重合时，－12m2＋4＝0， 解得 m＝2 2或 m＝－2 2， 当点 B 与点 D 重合时，如图②， 顶点 A 也与 B、D 重合，点 B 到达最高点， ∴点 B(0，4)，∴－12m2＋4＝4，解得 m＝0.
当抛物线从图②的位置继续向左平移 时，如图③，点 B 不在线段 OD 上， ∴B 点在线段 OD 上时，m 的取值范 围是 0≤m＜1 或 1＜m＜2 2.
(1)当m＝5时，求n的值；
解：当 m＝5 时，y＝－12(x－5)2＋4， 当 x＝1 时，n＝－12×42＋4＝－4.
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2 时，自变量x的取值范围；
解：当 n＝2 时，将 C(1，2)的坐标代入函数表达式 y＝－12(x－m)2＋4，得 2＝－12(1－m)2＋4， 解得 m＝3 或 m＝－1(舍去)， ∴此时抛物线的对称轴为 x＝3， 根据抛物线的对称性可知，当 y＝2 时，x＝1 或 x＝5， ∴x 的取值范围为 1≤x≤5.
7 ∴tan ∠ABC＝OOCB＝37＝13.
12．把二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象先向左平移 2 个单位 长度，再向上平移 4 个单位长度，得到二次函数 y＝12(x ＋1)2－1 的图象．
(1)试确定 a、h、k 的值； 解：a＝12，h＝1，k＝－5.
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴 和顶点坐标．
【答案】①②④
10．【中考·舟山】二次函数 y＝－(x－1)2＋5，当 m≤x≤n 且
mn<0 时，y 的最小值为 2m，最大值为 2n，则 m＋n 的
值为( )
A．52

二次函数y=a(x-h)^2+k的图像与性质


|h|
y = a(x - h )2
左右平移 |h|个单位
|k|个单位
y = ax2
如何平移：
3 y ( x 1) 2 4
3 2 y ( x 1) 2 4
3 y ( x 3) 2 3 4
3 y ( x 5) 2 2 4
例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直 安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水 平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落 地处离池中心3m,水管应多长?
2 抛物线y=a(x－h) +k有如下
特点:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下; (2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
画出下列函数图象，并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点，最大值或 最小值各是什么及增减性如何？
y= 2（x-4）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
2 抛物线y=a(x－h) +k有如下
特点:
顶点式
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下; (2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
1.完成下列表格: 二次函数 y=2(x+3)2+5 开口方向 向上 对称轴 顶点坐标
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1 , －2 )
y=a(x-h)2+k 的图象和性质
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。 k>0 上移 y=ax2 k<0 下移 左加 y=ax2 右减 顶点（h，0） 对称轴 x=h y=ax2+k 顶点（0，k） 对称轴 x=0 y=a(x-h)2

22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册

− 3
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的

= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =

−

+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
猎豹图书
x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y

;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
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x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过 上下和左右平移得到.
3.试说出函数 y a(x - h) k 的图象的 开口方向、对称轴和顶 点坐标, 并填写下表。
2
开口方向
2 y a(x - h) k
对称轴 x=h x=h来自顶点坐标 (h , k) (h , k)
1.完成下列表格: 二次函数 y=2(x+3)2+5
y=－3(x－1)2－2
开口方向
向上 向下 向上 向下
对称轴
顶点坐标
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1 , －2 ) 直线x=3 直线x=2 ( 3 , 7)
( 2 , －6 )
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛 物线y=4x2怎样平移得到?
这是函数
2 y a(x h) k 的性质哦!
当a>0时，抛物线y=a（x-h)2+k的开口向上，对称轴 是x=h ，顶点坐标是 (h,k) ，在对称轴的左侧，y随x的增 大而 减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大 ， 当x= h 时，函数取得最 小 值，这个值等于 k ； 当a<0时,抛物线y=a (x-h)2+k开口 向下，对称轴 是 x=h ，顶点坐标是 (h,k) ，在对称轴的左侧，y随x的增 大而 增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小 ， 当x= h 时，函数取得最 大 值，这个值等于 k 。
1 2 那么，可以找到函数y (x 2) 1的图象 2 1 2 与函数y x 的图象之间的关系。 2
1 2 向右平移 1 1 2 向上平移 2 y x y (x 2) y (x 2) 1 2 2 2 2个单位 1个单位
1 2 向上平移 1 2 1 向右平移 2 y x y x 1 y (x 2) 1 2 2 2 1个单位 2个单位
a>0
向上 向下
a<0
1 向右平移 1 2 2 y (x 2) 1 y x 1 2 2 2个单位
向 上 平 移
1 个 单 位
向 上 平 移
1 个 单 位
1 2 y x 2
向右平移
1 2 y (x 2) 2 2个单位
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时，开口向下; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).
1 2 试研究二次函数y x 2x 3 的图象。 2
将函数关系式配方，得 1 2 y (x 2) 1 2
1 2 我们已经知道y (x 2) 的图象 2 1 2 与函数y x 的图象之间的关系。 2
1 2 我们也已经知道y x 1的图象 2 1 2 与函数y x 的图象之间的关系。 2
y a(x - h) k的图象与性质
2
回顾：二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
图象
a>0
a<0
k>0
开口 对称性 顶点 增减性
k<0
k>0
k<0
开口向下 开口向上 |a|越大，开口越小 关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点 顶点是最高点
当x<0时，y随x的增大而减小 当x<0时，y随x的增大而增大 当x>0时，y随x的增大而增大 当x>0时，y随x的增大而减小
3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物 线y=4x2平移得到吗?
画出下列函数图象，并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点，最大值或 最小值各是什么及增减性如何？。
y= 2(x-3)2+3 y= −2(x+3)2-2 y= −2(x-2)2-1
y= 3(x+1)2+1
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2形状相同，位置不同。
（1）填写下表
1 2 y x 2 的图象
开口方向 对称轴 顶点
1 2 y (x 2) 2 的图象
1 2 y (x 2) 1 2 的图象
向上
y轴 (0,0)
向上 x 2
向上 x 2
(2,0)
(2,1)
1 2 你能找到函数y (x 2) 1与 2 1 2 函数y x 的图象之间的关系吗？ 2
y=a(x-h)2 +k(a≠0) a>0 向上 开口方向 (h ,k) 顶点坐标 对称轴 x=h 当x<h时， 增 y随着x的增大而减小。 减 当x>h时， y随着x的增大而增大。 性 x=h时,y最小值=k 极值
a<0 向下 (h ,k) x=h
当x<h时, y随着x的增大而增大。 当x>h时， y随着x的增大而减小。