最新九年级数学求二次函数解析式专题讲解

1 2 北师大版九年级下册数学第 7 讲《待定系数法求二次函数的解析式》知识点梳理【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1. 二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式： y = ax 2 + bx + c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式： y = a (x - h )2 + k (a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) ( x 1 ， x 2 为抛物线与 x 轴交点的横坐标，a ≠0)．2. 确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如 y = ax 2 + bx + c 或 y = a (x - h )2 + k ，或 y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) ，其中 a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为 y = ax 2 + bx + c ；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为y = a (x - h )2 + k ；③当已知抛物线与 x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为 y = a (x - x )(x - x ) ．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1. 已知抛物线 经过 A ，B ，C 三点，当 时，其图象如图 1 所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.⎩∴ ⎪图 1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为 （ ）.由图象可知 A ，B ，C 的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.⎧c = 2, ⎨16a + 4b + c = 0, ⎪25a + 5b + c = -3， 解之，得抛物线的解析式为该抛物线的顶点坐标为 .【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围 .2. （2016•丹阳市校级模拟）形状与抛物线 y=2x 2﹣3x +1 的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是 （0，﹣5）的抛物线的关系式为 ．【思路点拨】形状与抛物线 y=2x 2﹣3x +1 的图象形状相同，但开口方向不同，因此可设顶点式为 y=﹣2（x ﹣h ） 2+k ，其中（h ，k ）为顶点坐标．将顶点坐标（0，﹣5）代入求出抛物线的关系式．【答案】y=﹣2x 2﹣5．【解析】解：∵形状与抛物线 y=2x 2﹣3x +1 的图象形状相同，但开口方向不同，设抛物线的关系式为 y=﹣2（x ﹣h ）2+k ，将顶点坐标是（0，﹣5）代入，y=﹣2（x ﹣0）2﹣5，即 y=﹣2x 2﹣5．∴抛物线的关系式为y=﹣2x2﹣5．【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．3.已知抛物线的顶点坐标为（－1，4），与轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.【答案与解析】因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为，又因为抛物线与轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为：，，则两交点的坐标为（，0）、（2，0）；求函数的函数关系式可有两种方法：解法(1) ：设抛物线的函数关系式为顶点式：(a≠0)，把（2，0）代入得，所以抛物线的函数关系式为；解法(2) ：设抛物线的函数关系式为两点式：y =a(x + 4（)x- 2）(a≠0)，把（－1，4）代入得，所以抛物线的函数关系式为：y=-4(x+4（)x- 2）；9【总结升华】在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式.举一反三：【变式】（2014•永嘉县校级模拟）已知抛物线经过点（1，0），（﹣5，0），且顶点纵坐标为，这个二次函数的解析式．【答案】y=﹣x 2﹣2x+ .提示：设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+，将点（1，0）代入，得a（1+2）2+=0，解得a=﹣，即y=﹣（x+2）2+ ，∴所求二次函数解析式为y=﹣x2﹣2x+ ．类型二、用待定系数法解题⎩ ⎩4.（2015 春•石家庄校级期中）已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，（1） 求二次函数的解析式；（2） 设此二次函数的顶点为 P ，求△ABP 的面积．【答案与解析】解：（1）由二次函数图象知，函数与 x 轴交于两点（﹣1，0），（3，0），设其解析式为：y=a （x+1）（x ﹣3），又∵函数与 y 轴交于点（0，2），代入解析式得，a ×（﹣3）=2，∴a=﹣ ，∴二次函数的解析式为：，即；（2） 由函数图象知，函数的对称轴为：x=1， 当 x=1 时，y=﹣×2×（﹣2）= ，∴△ABP 的面积 S===．【总结升华】此题主要考查二次函数图象的性质，对称轴及顶点坐标，另外巧妙设函数的解析式，从而来减少计算量.【答案与解析】(1)把 A(2，0)，B(0，-6)代入 y = - 1 x 2 + bx + c 2得⎧-2 + 2b + c = 0, 解得⎧b = 4, ⎨c = -6, ⎨c = -6. ∴ 这个二次函数的解析式为 y = - 1 x 2 + 4x - 6 ． 2(2)∵ 该抛物线的对称轴为直线 x = - 4 2 ⨯⎛ - 1 ⎫= 4 ， 2 ⎪ ⎝ ⎭ ∴ 点 C 的坐标为(4，0)，∴AC＝OC-OA＝4-2＝2．∴S△ABC =1g AC g OB =1⨯ 2 ⨯ 6 = 6 ．2 2【总结升华】求△ABC 的面积时，一般要将坐标轴上的边作为底边，另一点的纵（横）坐标的绝对值为高进行求解．(1)将A、B 两点坐标分别代入解析式求出b，c 的值．(2)先求出点C 的坐标再求出△ABC 的面积．举一反三：⎛0 3 ⎫【变式】已知二次函数图象的顶点是(-1，2) ，且过点 ⎝ ，⎪．2 ⎭（1）求二次函数的表达式；（2）求证：对任意实数m，点M (m，-m2 ) 都不在这个二次函数的图象上.【答案】（1）y =-1 x 2-x +3 ；2 2（2）证明：若点M (m，-m2 ) 在此二次函数的图象上，则-m2=-1(m+1)2+2．2得m2- 2m + 3 = 0 ．△=4 -12 =-8 < 0 ，该方程无实根．所以原结论成立．。

二次函数是一种常见的数学函数，其解析式可以有三种常见的形式。

下面我将逐一介绍这三种形式及其求法。

1.顶点形式：y=a(x-h)²+k顶点形式是一种常见的二次函数解析式形式。

其中a，h和k分别表示二次函数的相关参数，其中a表示抛物线的开口方向和大小，h表示抛物线的横向平移，k表示抛物线的纵向平移。

求解二次函数顶点形式的步骤如下：首先确定a的值，根据函数图像的开口方向确定a的正负；然后找出顶点坐标(h,k)，其中h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。

2. 一般形式：y = ax² + bx + c一般形式是另一种常见的二次函数解析式形式。

其中a，b和c分别表示二次函数的相关参数，其中a表示抛物线的开口方向和大小，b表示抛物线的横向平移，c表示抛物线的纵向平移。

求解二次函数一般形式的步骤如下：首先确定a的值，根据函数图像的开口方向确定a的正负；然后利用求根公式(-b ± √(b² - 4ac)) / 2a，计算出二次函数的根；接着可以利用根的性质求出顶点的横坐标-x = b / 2a，并将x代入二次函数求得顶点的纵坐标y。

3.描点形式：y-y₁=a(x-x₁)(x-x₂)描点形式是一种通过抛物线上两个已知点求解二次函数解析式的形式。

其中a表示抛物线的开口方向和大小，(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别表示已知点的坐标。

求解二次函数描点形式的步骤如下：首先计算a的值，可以利用已知点的坐标代入公式求解；接着将(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别代入描点形式，得到两个方程，再解这个方程组得到二次函数的解析式。

以上介绍了二次函数解析式的三种形式及其求法。

不同形式的解析式适合不同的问题，根据具体情况选取合适的形式求解可以提高解题效率。

希望对你的学习有所帮助！。

22.1.5待定系数法求二次函数解析式二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．注意：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知1.若抛物线y ＝x 2+bx +c 的对称轴为y 轴，且点P （2，6）在该抛物线上，则c 的值为（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．4【答案】C 【解析】【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+bx+c 的对称轴为y 轴，∴b ＝0，∵点P （2，6）在该抛物线上，∴6＝4+c ，解得：c ＝2．题型2：一般式求二次函数解析式-a、b、c未知2.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．【答案】解：把A（﹣1，8）、B（2，﹣1），C（0，3）都代入y＝ax2+bx+c中，得a−b+c=84a+2b+c=−1c=3，解得a=1b=−4c=3，的三元一次方程组，解出a、b、c的值即得y=−x+6x−5，然后将其化为顶点式，即可得出结论.题型3：顶点式求二次函数解析式3.已知抛物线的顶点是A（2，﹣3），且交y 轴于点B（0，5），求此抛物线的解析式.应的y值，则可得点A的坐标.【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，又∵抛物线过点C(0，-3)，∴-3=a(0−1)2−4，解得a=1，∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，即y=x2−2x−3；（ 2 ）令y=0，得：x2−2x−3=0，解得x1=3，x2=−1.所以坐标为A（-1，0），B（3，0）.【解析】【分析】（1）设出抛物线方程的顶点式，将点C的坐标代入即可求得抛物线方程；（2）对该抛物线令y=0，解二元一次方程即可求得点A，B的坐标.题型4：交点式求二次函数解析式4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式．【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入得a×1×（-3）=-3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3【解析】【分析】根据A，B，C三点的坐标特点，设出所求函数的交点式，再将C点的坐标代入即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式。

九年级下册二次函数知识点讲解二次函数是我们在数学学习中经常会遇到的一个重要概念。

它是一种代数函数，具有形如f(x) = ax² + bx + c的表达式，其中a、b、c是实数，且a不等于0。

而九年级下册中，我们将进一步学习和探索二次函数的性质和应用。

本文将对九年级下册二次函数的知识点进行讲解。

一、二次函数的图像和性质在学习二次函数的知识时，首先我们需要了解二次函数的图像和性质。

二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向取决于二次项的系数a的正负。

当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。

在解析式f(x) = ax² + bx + c中，常数c表示抛物线在y轴上的截距，而常数b则与抛物线的轴对称线有关。

二、二次函数的顶点和轴对称线二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，这里也是抛物线的转折点。

顶点的坐标可以通过计算得到，设顶点坐标为（h，k），则h = -b / (2a)，k = f(h) = f(-b / (2a))。

而二次函数的轴对称线则是垂直于x轴的一条直线，过抛物线的顶点。

轴对称线的方程可以通过计算得到，一般形式为x = -b / (2a)。

三、二次函数的零点和解析式二次函数的零点，即函数图像与x轴交点的横坐标。

通过求解二次函数的零点，我们可以得到方程ax² + bx + c = 0的解析式。

一般来说，我们可以使用因式分解、求根公式以及配方法等多种方法来求解二次方程，具体方法根据具体情况选择。

四、二次函数的最值和范围二次函数的最值是指函数的最大值或最小值，也就是抛物线的顶点坐标中的纵坐标。

当二次项系数a大于0时，二次函数的最值为最小值；当二次项系数a小于0时，二次函数的最值为最大值。

而二次函数的取值范围受限于抛物线的开口方向和最值，当a 大于0时，函数的取值范围为（最小值，正无穷）；当a小于0时，函数的取值范围为（负无穷，最大值）。

五、二次函数的应用除了了解二次函数的基本知识和性质外，我们还需要学习和掌握二次函数在实际问题中的应用。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题22.10 二次函数解析式的确定【六大题型】【人教版】【题型1 利用一般式确定二次函数解析式】 (1)【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】 (4)【题型3 利用两根式确定二次函数解析式】 (8)【题型4 利用平移变换确定二次函数解析式】 (10)【题型5 利用对称变换确定二次函数解析式】 (14)【题型6 二次函数解析式的确定（条件开放性）】 (18)【题型1 利用一般式确定二次函数解析式】【例1】（2022秋•闽侯县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足下表：x…﹣1012345…y… 3.51﹣0.5﹣1﹣0.51 3.5…（1）求这个二次函数的解析式；（2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线；（3）直接写出，当x取什么值时，y＞0？【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式．（2）描点、连线画出图象即可；（3）令y＝0，解方程求得抛物线与x轴交点的横坐标，根据图象即可求得．【解答】解：（1）由已知可得，二次函数y＝ax2+bx+c经过点（2，﹣1），（0，1），（4，1）则4a+2b+c=−1c=116a+4a+c=1，解得：a=12b=−2 c=1，∴二次函数解析式为y=12x2﹣2x+1；（2）用描点法画出函数图象，如图所示：（3）令y＝0，则12x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝2x2＝2+由图象知，当x＞2+x＜2y＞0，【变式1-1】（2022秋•淮安区期末）已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求这个二次函数的解析式．【分析】先设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（﹣1，10）、（1，4）、（0，3）代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解即可求a、b、c，进而可得函数解析式．【解答】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），根据题意，得a−b +c =10a +b +c =4c =3，解得a =4b =−3c =3，∴所求二次函数解析式为y ＝4x 2﹣3x +3．【变式1-2】（2022秋•大连期末）二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过（2，0），（4，2）两点．求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点．【分析】把（2，0），（4，2）代入y ＝x 2+bx +c 中，可得二元一次方程组4+2b +c =0①16+4b +c =2②，解二元一次方程组可得b =−5c =6，即可求出二次函数解析式，再根据二次函数对称轴的公式x =−b 2a ，顶点坐标公式(−b2a ，4ac−b 24a)，把a ，b ，c 的值代入计算即可得出答案．【解答】解：把（2，0），（4，2）代入y ＝x 2+bx +c 中，得4+2b +c =0①16+4b +c =2②，②﹣①，得2b ＝﹣10，解得：b ＝﹣5，把b ＝5代入①中，得4+2×（﹣5）+c ＝0，解得：c ＝6，∴b =−5c =6，∴这个二次函数的解析式y ＝x 2﹣5x +6，∴二次函数y ＝x 2﹣5x +6对称轴是直线x =−b2a =−−52×1=52，由二次函数的顶点坐标公式（−b2a ，4ac−b 24a）可得，二次函数y ＝x 2﹣5x +6顶点坐标：x =−b2a =52，y =4ac−b 24a=4×1×6−(−5)24×1=−14，即（52，−14）．【变式1-3】（2022秋•上城区期中）已知二次函数y 1＝ax 2+bx +c ，过（1，﹣32），在x ＝﹣2时取到最大值，且二次函数的图象与直线y 2＝x +1交于点P （m ，0）．（1）求m的值；（2）求这个二次函数解析式；（3）求y1大于y2时，x的取值范围．【分析】（1）将（m，0）代入直线解析式求解．（2）根据抛物线对称轴为直线x＝﹣2可得a与b的关系，再将（﹣1，0），（1，﹣32）代入抛物线解析式求解．（3）联立两方程，根据图象交点横坐标求解．【解答】解：（1）将（m，0）代入y2＝x+1得0＝m+1，解得m＝﹣1．（2）由题意可得抛物线对称轴为直线x=−b2a=−2，∴b＝4a，y＝ax2+4ax+c，把（1，﹣32），（﹣1，0）代入y＝ax2+4ax+c得−32=a+4a+c 0=a−4a+c，解得a=−4c=−12，∴y＝﹣4x2﹣16x﹣12．（3）令﹣4x2﹣16x﹣12＝x+1，解得x＝﹣1或x=−134，∴抛物线与直线交点横纵标为﹣1和−134，如图，∴−134＜x＜﹣1时，y1大于y2．【例2】（2022秋•长汀县校级月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该图象的顶点坐标；（3）观察图象，当y＞0时，求自变量x的取值范围．【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣1，可设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，再通过待定系数法求解．（2）由抛物线顶点式求解．（3）根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0），（0，3）代入y＝a（x+1）2+k得0=4a+k 3=a+k，解得a=−1 k=4，∴y＝﹣（x+1）2+4．（2）∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，4）．（3）∵抛物线经过（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线经过（1，0），∴﹣3＜x＜1时，y＞0．【变式2-1】（2022秋•西城区校级期中）抛物线顶点坐标是（﹣1，9），与x轴两交点间的距离是6．求抛物线解析式．【分析】由题意设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+9，抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣4，0）或（2，0），利用待定系数法即可解决问题．【解答】解：由抛物线顶点知，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，又与x轴交点间的距离为6，∴交点横坐标为﹣4与2，∴两个交点坐标分别为（﹣4，0）、（2，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+9，把点（2，0）代入0＝9a+9，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+9．【变式2-2】（2022秋•凉州区校级月考）已知某二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式；（2）观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为　﹣4≤y≤0　.（直接写出答案）【分析】（1）根据顶点坐标设y＝a（x+1）2﹣4，直接把点（1，0）代入即可得到二次函数的解析式；（2）把x＝﹣2和x＝1分别代入解析式，再根据顶点可得y的取值范围．【解答】解：（1）∵顶点为（﹣1，﹣4），∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）2﹣4，把（1，0）代入可得0＝a（1+1）2﹣4，解得a＝1，∴y＝（x+1）2﹣4；（2）当x＝﹣2时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝0，∵y的最小值是﹣4，∴y的取值范围是﹣4≤y≤0．故答案为：﹣4≤y≤0．【变式2-3】（2022秋•汉滨区校级月考）已知抛物线顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线的解析式．（2）求△ABC的面积．【分析】（1）已知了顶点C坐标，可用顶点式的二次函数通式设出这个二次函数，然后根据A点的坐标可求出二次函数的解析式；（2）先根据（1）中求出的二次函数的解析式，求出B点的坐标，然后可用待定系数法用B、A的坐标求出AB所在直线的解析式，求出对称轴与直线AB的交点D的坐标，求三角形CAB的面积转化为三角形BCD和三角形ACD面积之和即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把A（3，0）代入解析式求得a＝﹣1，所以y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴B点的坐标为（0，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（3，0），B（0，3）代入y＝kx+b中，得3k+b=0b=3，解得：k=−1 b=3，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，设对称轴直线x＝1与直线AB相交与点D，∴当x ＝1时，y ＝2，∴D 点坐标（1，2），所以CD ＝4﹣2＝2，S △CAB ＝S △BCD +S △ACD =12×（1+2）×2＝3，∴△ABC 的面积为3．【题型3 利用两根式确定二次函数解析式】【例3】（2022•包头）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，且图象经过点C （0，﹣3），求这个二次函数的解析式．【分析】设抛物线解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3），将（0，﹣3）代入解析式求解．【解答】解：∵抛物线经过点A （﹣1，0），B （3，0），∴设抛物线解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3），将（0，﹣3）代入y ＝a （x +1）（x ﹣3）得﹣3a ＝﹣3，解得a ＝1．∴抛物线解析式为y ＝（x +1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣2x ﹣3．【变式3-1】（2022秋•温州校级月考）如图，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，顶点为D ．（1）求此二次函数的解析式．（2）求点D 的坐标及△ABD 的面积．【分析】（1）先设函数的交点式，然后将点A和点B代入函数解析式得到二次函数的一般式；（2）将二次函数的一般式化为顶点式，得到顶点D的坐标，然后求得△ABD的面积．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴点D的坐标为（1，﹣4），∴点D到AB的距离为4，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∴S△ABD =12×4×4＝8．【变式3-2】（2022春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B （3，0），C（0，3）．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．（2）求直线CM的解析式．【分析】根据待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式．【解答】解：（1）设二次函数解析式为y ＝a （x ﹣1）（x ﹣3），将C （0，3）代入得：3＝a （0﹣1）（0﹣3），∴a ＝1，∴y ＝（x ﹣1）（x ﹣3）＝x 2﹣4x +3，∴顶点坐标M （2，﹣1），（2）设直线CM 的解析式为y ＝kx +b ，将C （0，3）、M （2，﹣1）代入得：b =32k +b =−1，∴k =−2b =3．∴y ＝﹣2x +3．【变式3-3】（2022秋•庐阳区校级期中）二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式．【分析】根据抛物线与x 轴的交点（﹣1，0），（3，0）可设解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3），将点（1，﹣8）代入求得a 即可．【解答】解：根据题意可设抛物线解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3），将点（1，﹣8）代入，得：﹣4a ＝﹣8，解得：a ＝2，∴该二次函数解析式为y ＝2（x +1）（x ﹣3），即y ＝2x 2﹣4x ﹣6．25．二次函数的解析式y ＝x 2﹣5x +6，对称轴是直线x =52，顶点坐标是（52，−14）．【题型4 利用平移变换确定二次函数解析式】【例4】（2022秋•宜春期末）在平面直角坐标系中，抛物线N 过A （﹣1，3），B （4，8），O （0，0）三点（1）求该抛物线和直线AB 的解析式；（2）平移抛物线N ，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式：①平移后抛物线的顶点在直线AB 上；②设平移后抛物线与y 轴交于点C ，如果S △ABC ＝3S △ABO ．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线M 和直线AB 的解析式；（2）先求出直线AB 与y 轴的交点坐标为（0，4），设平移后抛物线的顶点坐标为（t ，t +4），则平移后的抛物线解析式为y ＝（x ﹣t ）2+t +4，接着表示出N （0，t 2+t +4），利用三角形面积公式得到12•|t 2+t +4﹣4|•（4+1）＝4×12×4×（4+1），然后解绝对值方程求出得到平移后的抛物线解析式．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y ＝ax 2+bx +c ，把A （﹣1，3），B （4，8），O （0，0）代入得a−b +c =316a +4b +c =8c =0，解得a =1b =−2c =0，∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣2x ；设直线AB 的解析式为y ＝mx +n ，把A （﹣1，3），B （4，8）代入得−m +n =34m +n =8，解得m ＝1，n ＝4，∴直线AB 的解析式为y ＝x +4；（2）当x ＝0时，y ＝x +4＝4，则直线AB 与y 轴的交点坐标为（0，4），设平移后抛物线的顶点坐标为（t ，t +4），则平移后的抛物线解析式为y ＝（x ﹣t ）2+t +4，当x ＝0时，y ＝（0﹣t ）2+t +4＝t 2+t +4，则C （0，t 2+t +4），∵S △ABC ＝3S △ABO ，∴12•|t 2+t +4﹣4|•（4+1）＝3×12×4×（4+1），即|t 2+t |＝12，方程t2+t＝﹣12没有实数解，解方程t2+t＝12得t1＝﹣4，t2＝3，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x+4）2或y＝（x﹣3）2+7．【变式4-1】（（2022秋•河东区校级期中）已知抛物线y＝﹣2x2+4x+3．（1）求抛物线的顶点坐标，对称轴；（2）当x＝　＞1　时，y随x的增大而减小；（3）若将抛物线进行平移，使它经过原点，并且在x轴上截取的线段长为4，求平移后的抛物线解析式．【分析】（1）先把解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到物线的顶点坐标，对称轴；（2）根据二次函数的性质求解；（3）先设平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx，再根据抛物线与x轴的交点问题求出平移后的抛物线，0），利用两交点间的距离可计算出b的值，从而得到平移后的抛与x轴的交点坐标为（0，0）、（b2物线解析式．【解答】解：（1）y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，所以抛物线的顶点坐标为（1，5），对称轴为直线x＝1；（2）当x＞1时，y随x的增大而减小；故答案为＞1；（3）因为平移后的抛物线过原点，所以设平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx，解方程﹣2x2+bx＝0得x1＝0，x2=b2所以平移后的抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（b，0），2|＝4，解得b＝8或﹣8，所以|b2所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+8x或y＝﹣2x2﹣8x．【变式4-2】（2022秋•长葛市校级月考）已知直线y＝x+1与x轴交于点A，抛物线y＝﹣2x2的顶点平移后与点A重合．（1）求平移后的抛物线C的解析式；（2）若点B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线C上，且−1＜x1＜x2，试比较y1，y2的大小．2【分析】（1）求得A的坐标，然后根据平移的规律即可求得；（2）根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x轴交于点A，∴A（﹣1，0），∵抛物线y＝﹣2x2的顶点平移后与点A重合，∴平移后的抛物线C的解析式是y＝﹣2（x+1）2；（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线开口向下，故当−1＜x1＜x2，y1＞y2．2【变式4-3】（2022秋•萧山区月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣2x上，并写出平移后相应的抛物线解析式．【分析】（1）利用交点式得出y＝a（x﹣1）（x﹣3），进而得出a的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；，进而得出答案．（2）把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，把y＝1代入y＝﹣2x得出y=−12【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得：3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴顶点坐标（2，1）；（2）平移方法有：①向下平移5个单位，得到：y＝﹣x2+4x﹣8，把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，∵顶点坐标（2，1）；∴向下平移5个单位，抛物线的顶点为（2，﹣4）；②向左平移2.5个单位，得到：y＝﹣（x+0.5）2+1，把y＝1代入y＝﹣2x得出y=−12，∴向左平移2.5个单位，抛物线的顶点为（−12，1）．【题型5 利用对称变换确定二次函数解析式】【例5】（2022•莲湖区二模）已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y 轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线W1的表达式；（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．【分析】（1）利用待定系数法解得即可；（2）由题意求得抛物线W2的顶点坐标和解析式，在坐标系中画出抛物线W2的图象，利用待定系数法求得直线DD′的解析式，过点M作MN∥x轴，交DD′于N，利用S△DD′M ＝S△MND′+S△MND，用m的代数式表示出S△DD′M，利用已知条件列出m的方程，解方程即可求得结论．【解答】解：（1）∵抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴a+b−3=09a−3b−3=0，解得：a=1 b=2．∴抛物线W1的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），∵将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，∴D′（﹣1，4），∴抛物线W2的解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．如图，在坐标系中画出抛物线W2的图象，当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB＝4，∴S△ABC =12×4×3=6，过点M作MN∥x轴，交DD′于N，∵D（1，﹣4），D′（﹣1，4），∴直线DD′为y＝﹣4x，设点M（m，﹣m2﹣2m+3），则N m2﹣2m+3），∴MN=m=m2−2m−34，∴S△DD′M =12×m2−2m−34×（4+4）＝m2﹣2m﹣3，∵△D'DM的面积等于△ABC的面积，∴m2﹣2m﹣3＝6．解得：m＝1当m＝1m2﹣2m+3＝﹣10，当m＝1m2﹣2m+3＝10，∴M（1+10）或（110）．【变式5-1】（2022秋•淮南月考）已知抛物线y＝x2+2x﹣1，求与这条抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式．【分析】求出顶点坐标关于原点对称的坐标，然后利用顶点式解析式写出，再整理成一般形式即可．【解答】解：抛物线y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2．所以其顶点（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（1，2），所以，抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x﹣+2，即y＝﹣x2+2x﹣+2．【变式5-2】（2022秋•南京期末）已知二次函数的图象如图所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为　﹣4≤y＜0　；（3）将该二次函数图象沿x轴翻折后得到新图象，新图象的函数表达式为　y＝﹣（x+1）2+4　．【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把（1，0）代入得求出a即可；（2）计算自变量为﹣3、0对应的函数值，然后利用函数图象写出对应的函数值的范围；（3）利用关于x轴对称点的性质进而得出答案．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，把（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4；（2）当x＝﹣3时，y＝（﹣3+1）2﹣4＝0；当x＝0时，y＝﹣3；所以当﹣3＜x ＜0时，y 的取值范围为﹣4≤y ＜0，故答案为﹣4≤y ＜0；（3）∵函数y ＝（x +1）2﹣4图象的顶点为（﹣1，﹣4），a ＝1∴该函数的图象沿x 轴翻折后得到的函数图象顶点为（﹣1，4），a ＝﹣1∴翻折后得到的函数表达式为y ＝﹣（x +1）2+4，故答案为y ＝﹣（x +1）2+4．【变式5-3】（2022•雁塔区校级模拟）已知抛物线L ：y ＝ax 2﹣2x ﹣3a 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴相交于点C ，点D 为抛物线L 的顶点，抛物线L ′与L 关于y 轴对称．（1）求抛物线L 的表达式；（2）在抛物线L ′上是否存在点P ，使得△PBC 的面积等于四边形OCDB 的面积？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A 点坐标代入y ＝ax 2﹣2a ﹣3中求a 的值，从而得到抛物线L 的表达式；（2）连接OD ，过P 点作PQ ∥y 轴交直线BC 于Q 点，如图，解方程x 2﹣2x ﹣3＝0得B （3，0），再配方得y ＝（x ﹣1）2﹣4，则D （1，﹣4），利用关于y 轴对称的点的坐标特征和顶点式得到抛物线L ′的解析式为y ＝（x +1）2﹣4，即y ＝x 2+2x ﹣3，设P （t ，t 2+2t ﹣3），易得直线BC 的解析式为y ＝x ﹣3，接着计算出四边形OCDB 的面积为152，所以12×3×|t 2+t |=152，然后解关于t 的方程，从而得到P 点坐标．【解答】解：（1）把A （﹣1，0）代入y ＝ax 2﹣2a ﹣3得a +2﹣3＝0，解得a ＝1，∴抛物线L 的表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）连接OD ，过P 点作PQ ∥y 轴交直线BC 于Q 点，如图，y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴B （3，0），∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4，∴D （1，﹣4），∴点D 关于y 轴的对称点的坐标为（﹣1，﹣4），∴抛物线L 关于y 轴对称的抛物线L ′的解析式为y ＝（x +1）2﹣4，即y ＝x 2+2x ﹣3，设P （t ，t 2+2t ﹣3），∵B （3，0），C （0，﹣3），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，∵四边形OCDB的面积＝S△OCD +S△ODB=12×3×1+12×3×4=152，而PQ＝|t2+2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2+t|，∴S△PBC =12×3×|t2+t|=152，∴t2+t＝5或t2+t＝﹣5，解方程t2+t＝5得t1t2=方程t2+t＝5无实数解，∴P【题型6 二次函数解析式的确定（条件开放性）】【例6】（2022•林州市一模）已知二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴，且图象不经过原点，请写出一个符合条件的二次函数解析式　y＝﹣x2+1　．【分析】根据二次项系数小于零，图象开口向下，一次项系数等于零，图象的对称轴为y轴，常数项不等于零，图象不过原点，可得答案．【解答】解：二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴，且图象不经过原点，请写出一个符合条件的二次函数解析式y＝﹣x2+1，故答案为：y＝﹣x2+1．【变式6-1】（2022•虹口区二模）请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是　y＝﹣x2﹣1等（答案不唯一）　．【分析】设二次函数解析式为y＝ax2+c，将（1，﹣2）代入解析式，得到关于a、c的关系式，从而推知a、c的值．【解答】解：∵对称轴为y轴，∴设二次函数解析式为y＝ax2+c，将（1，﹣2）代入解析式，得a+c＝﹣2，不防取a＝﹣1，c＝﹣1，得解析式为y＝﹣x2﹣1，答案不唯一．故答案为：y＝﹣x2﹣1等（答案不唯一）．【变式6-2】（2022秋•二道江区校级月考）老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一、二、四象限；乙：当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大；丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点；已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数　y＝（x﹣2）2﹣3　．【分析】利用二次函数的性质可判断抛物线开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴上方，于是可设a＝1，c＝1，再利用二次函数的确定抛物线的对称轴为直线x＝2，然后利用函数的图象与坐标轴只有两个交点得到抛物线的顶点坐标为（2，0），再设顶点式求抛物线解析式．【解答】解：由函数的图象经过第一、二、四象限可判断抛物线开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴上方，可设a＝1，c＝1，因为当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而减大，则抛物线的对称轴为直线x＝2，由函数的图象与坐标轴只有两个交点，则抛物线的顶点坐标为（2，0），所以抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+m，把（0，1）代入得1＝4+m，解得m＝﹣3，即抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣3．故答案为y＝（x﹣2）2﹣3．【变式6-3】（2022•徐汇区模拟）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝（x﹣1）2+1的“和谐值”为2，试写出一个符合条件的函数解析式：　y＝x2﹣2x+4　．【分析】抛物线y＝（x﹣1）2+1向上或向下平移2个单位求解．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+1向上平移2个单位可得抛物线y＝（x﹣1）2+1y＝（x﹣1）2+3＝x2﹣2x+4，故答案为：y＝x2﹣2x+4．。

初中数学知识点二次函数的解析式与像初中数学知识点：二次函数的解析式与像二次函数是初中数学中的重要内容之一，在解析式与像的概念上有着关键性的作用。

本文将介绍二次函数的解析式的含义与求解方法，以及像的概念和相关性质。

一、二次函数的解析式二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，而x为自变量。

解析式中的a决定二次函数图像的开口方向和大小，当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。

b决定二次函数图像在x轴方向的平移，正值使图像向左平移，负值使图像向右平移。

c则决定了图像在y轴上的位置，正值使图像上移，负值使图像下移。

解析式中的自变量x可以取任意实数值，通过带入不同的x值，可以得到对应的函数值y，从而绘制出二次函数的图像。

二、二次函数的解析式的求解方法1. 求顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过解析式中的x = -b/(2a)得到。

顶点的横坐标为x值，纵坐标为y值。

2. 求零点：二次函数的零点是指函数值为0的x值，即满足f(x) = 0的x的值。

求零点的方法可以通过使用因式分解、配方法或求根公式等得到。

3. 求对称轴：对称轴是指二次函数图像关于x轴的对称轴。

对称轴的方程为x = -b / (2a)。

4. 求函数的增减性和极值点：当a>0时，二次函数在对称轴左侧递减，在右侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴左侧递增，在右侧递减。

二次函数的极值点即为顶点。

三、像的概念和相关性质像是指通过二次函数的解析式计算出来的函数值y。

对于二次函数图像上的任意一点(x, y)，y即为该点的像。

1. 最值：二次函数的最值与a、b的取值有关。

当a>0时，二次函数的最小值为顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值为顶点的纵坐标。

2. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称，即函数图像中任意一点(x, y)，其关于对称轴的对称点也在图像上。

人教版九年级数学上册22.1.6《用待定系数法求二次函数的解析式》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.1.6节《用待定系数法求二次函数的解析式》是二次函数内容的一部分。

这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式，了解了二次函数的图象和性质的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是用待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法是解决这类问题的基本方法，对于学生来说是一个重要的数学方法。

本节课的内容对于学生来说难度较大，需要学生具有较强的逻辑思维能力和转化能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的一般形式和图象性质有一定的了解。

但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何运用已学的知识，对于待定系数法的运用还不够熟练。

此外，学生的逻辑思维能力和转化能力还有待提高。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握用待定系数法求二次函数的解析式的方法，能够运用该方法解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生解决问题的能力和合作意识。

3.情感态度与价值观目标：让学生感受数学在生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：用待定系数法求二次函数的解析式。

2.教学难点：如何引导学生理解和运用待定系数法，以及如何将实际问题转化为数学问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师引导的教学方法。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入待定系数法求二次函数的解析式。

2.自主学习：让学生自主探究待定系数法的步骤和原理。

3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的解题思路和方法。

4.教师引导：教师针对学生的讨论进行点评和指导，帮助学生解决问题。

5.巩固练习：给学生提供一些练习题，让学生运用待定系数法解决问题。

6.总结归纳：教师引导学生总结待定系数法的运用方法和注意事项。

自学资料年份题量分值考点题型2015317二次函数图象与变换；二次函数的图象性质选择、解答、解答2016222二次函数性质（解析式、顶点、函数比较大小、最值）综合题解答2017216二次函数图象上点的坐标特征；函数图象与系数的关系；二次函数图象与系数的关系选择、解答2018215二次函数图象与系数的关系、函数比较大小选择、解答2019215二次函数解析式、对称轴、最值问题以及比较大小选择、解答一、用待定系数法求正比例、反比例、一次、二次函数的解析式【知识探索】1．以求正比例函数的解析式为例：先设解析式为（），其中系数待定；再利用已知条件确定的值，这样的方法称为“待定系数法”．【错题精练】第1页共21页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训例1．如图，二次函数y=x2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0）且与y轴交卡点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴直线x=2对称，一次函数y=kx+b的图象经过点A及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出不等式kx+b≤x2+bx+c的解集．【答案】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），∴1+b+c=0，∵二次函数图象的对称轴直线x=2，∴-b2=2，∴b=-4，c=3，∴二次函数的解析式为y=x2-4x+3；∴C（0，3），∵点B和点C关于该二次函数图象的对称轴直线x=2对称，∴B（4，3），设一次函数代解析式为y=kx+b，∴{k+b=04k+b=3，∴{k=1b=−1，∴一次函数的解析式为y=x-1；（2）由图象可得，不等式kx+b≤x2+bx+c的解集x≤1或x≥4．例2．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A （-1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．第2页共21页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第3页 共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2+m 经过点A （-1，0），∴0=1+m ， ∴m=-1，∴抛物线解析式为y=（x+2）2-1=x 2+4x+3， ∴点C 坐标（0，3），∵对称轴x=-2，B 、C 关于对称轴对称， ∴点B 坐标（-4，3）， ∵y=kx+b 经过点A 、B ， ∴{−4k +b =3−k +b =0，解得{k =−1b =−1，∴一次函数解析式为y=-x-1，（2）由图象可知，写出满足（x+2）2+m≥kx+b 的x 的取值范围为x≤-4或x≥-1．例3．如果抛物线经过点A （2，0）和B （-1，0），且与y 轴交于点C ，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（ ）A. y=x 2-x-2B. y=-x 2-x-2或y=x 2+x+2C. y=-x 2+x+2D. y=x 2-x-2或y=-x 2+x+2【解答】解：设抛物线解析式为y=a （x-2）（x+1）， ∵OC=2，∴C 点坐标为（0，2）或（0，-2）， 把C （0，2）代入y=a （x-2）（x+1）得a•（-2）•1=2，解得a=-1，此时抛物线解析式为y=-（x-2）（x+1），即y=-x 2+x+2； 把C （0，-2）代入y=a （x-2）（x+1）得a•（-2）•1=-2，解得a=1，此时抛物线解析式为y=（x-2）（x+1），即y=x 2-x-2．即抛物线解析式为y=-x 2+x+2或y=x 2-x-2． 故选：D ．【答案】D例4．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：x … -2 -1 0 2 … y…-3-4-35…（1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标；（2）求出该函数图象与x轴的交点坐标．【答案】解：（1）由题意，得c=-3．将点（2，5），（-1，-4）代入，得{4a+2b−3=5 a−b−3=−4.解得{a=1b=2.∴y=x2+2x-3．顶点坐标为（-1，-4）．（2）当y=0时，x2+2x-3，解得：x=-3或x=1，∴函数图象与x轴的交点坐标为（-3，0），（1，0）．【举一反三】1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+1经过A（1，3），B（2，1）两点．（1）求抛物线及直线AB的解析式；（2）点C在抛物线上，且点C的横坐标为3．将抛物线在点A，C之间的部分（包含点A，C）记为图象G，如果图象G沿y轴向上平移t（t＞0）个单位后与直线AB只有一个公共点，求t的取值范围．【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+1经过A（1，3），B（2，1）两点．第4页共21页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第5页 共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训∴{a +b +1=04a +2b +1=1，解得，{a =−2b =4．∴抛物线的表达式是y=-2x 2+4x+1． 设直线AB 的表达式是y=mx+n ， ∴{m +n =32m +n =1， 解得，{m =−2n =5，∴直线AB 的表达式是y=-2x+5；（2）∵点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3． ∴C （3，-5）．点C 平移后的对应点为点C′（3，t-5），代入直线表达式y=-2x+5， 解得t=4．结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是0＜t≤4．2．已知下列抛物线满足以下条件，求各个抛物线的函数表达式．（1）抛物线经过两点A （1，0），B （0，-3），且对称轴是直线x=2； （2）抛物线的顶点是（-2，3），且过点（-1，5）；（3）抛物线与x 轴交于（-2，0），（4，0）两点，且该抛物线的定点为（1，-92）．【答案】解：（1）∵对称轴是直线x=2， ∴抛物线与x 轴另一个交点坐标为（3，0）， 设抛物线解析式为y=a （x-1）（x-3），把B （0，-3）代入得a•（-1）•（-3）=-3，解得a=-1， ∴抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3）=-x 2+4x-3； （2）设抛物线的解析式为y=a （x+2）2+3， 把（-1，5）代入得a （-1+2）2+3=5，解得a=2， 所以抛物线解析式为y=2（x+2）2+3；第6页 共21页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好 非学科培训（3）设抛物线解析式为y=a （x+2）（x-4）， 把（1，-92）代入得a （1+2）•（1-4）=-92，解得a=12， 所以抛物线解析式为y=12（x+2）（x-4）=12x 2-x-4．3．已知一次函数y=kx+b 与二次函数y=ax 2的图象如图所示，其中一次函数的图象与x 轴、y 轴的交点分别为A （2，0），B （0，2），直线与抛物线的交点分别为P ，Q ．且它们的纵坐标的比为1：4，求这两个函数的解析式．【答案】解：∵一次函数的图象与x 轴、y 轴的交点分别为A （2，0），B （0，2）， ∴{2k +b =0b =2，解得k=-1，b=2．∴一次函数的解析式为y=-x+2， 设P （m ，-m+2），∵直线与抛物线的交点P ，Q 的纵坐标的比为1：4， ∴Q 点的纵坐标为-4m+8， 代入y=-x+2求得x=4m-6， ∴Q （4m-6，-4m+8），代入y=ax 2得，{−m +2=am 2−4m +8=a （4m −6）2，解得a=-15m−6， 代入-m+2=am 2，整理得，m 2-4m+3=0，解得m 1=1，m=3（舍去）， ∴P （1，1），代入y=ax 2得，a=1，∴二次函数的解析式为y=x 2．4．如图所示，已知抛物线y=-2x 2-4x 的图象E ，将其向右平移两个单位后得到图象F ．（1）求图象F所表示的抛物线的解析式：（2）设抛物线F和x轴相交于点O、点B（点B位于点O的右侧），顶点为点C，点A位于y轴负半轴上，且到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，求AB所在直线的解析式．【答案】解：（1）∵抛物线y=-2x2-4x=-2（x+1）2+2的图象E，将其向右平移两个单位后得到图象F，∴图象F所表示的抛物线的解析式为y=-2（x+1-2）2+2，即y=-2（x-1）2+2；（2）∵y=-2（x-1）2+2，∴顶点C的坐标为（1，2）．当y=0时，-2（x-1）2+2=0，解得x1=0（不合题意舍去），x2=2，∴点B的坐标为（2，0）．设A点坐标为（0，y），则y＜0．∵点A到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，∴-y=2×2，解得y=-4，∴A点坐标为（0，-4）．设AB所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），由题意，得{b=−42k+b=0，解得{k=2b=−4，∴AB所在直线的解析式为y=2x-4．二、正比例、反比例、一次、二次函数图像上的点及图像与坐标轴的交点【错题精练】例1．若函数y=（a+1）x2-2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a为______．第7页共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【解答】解：当a+1=0，即a=-1时，原函数为一次函数y=-2x+1，与x轴交于点（【解答】12，0），∴a=-1符合题意；当a+1≠0，即a≠-1时，∵二次函数y=（a+1）x2-2x+1的图象与x轴只有一个交点，∴△=（-2）2-4×1×（a+1）=0，解得：a=0．综上所述：a的值为-1或0．故答案为：-1或0．【答案】-1或0例2．设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A. y1＞y2＞y3B. y1＞y3＞y2C. y3＞y2＞y1D. y3＞y1＞y2【解答】解：∵函数的解析式是y=-（x+1）2+3，如右图，∴对称轴是x=-1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选：A．【答案】A例3．已知函数y=k2x2+（2k-1）x+1与x轴有两个不同的交点，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，便得这两个交点关于直线x=-0.5对称？若存在，求出k；如不存在，请说明理由．第8页共21页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训例4．已知函数y=（k-1）x2-4x+4与x轴只有一个交点，则k的取值范围是（）A. k≤2且k≠1B. k＜2且k≠1C. k=2D. k=2或1【解答】解：当k-1=0，即k=1时，函数为y=-4x+4，与x轴只有一个交点；当k-1≠0，即k≠1时，令y=0可得（k-1）x2-4x+4=0，由函数与x轴只有一个交点可知该方程有两个相等的实数根，∴△=0，即（-4）2-4（k-1）×4=0，解得k=2，综上可知k的值为1或2，故选：D．【答案】D例5．如图，一次函数y=-x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 以上结论都正确【解答】解：∵一次函数y=-x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=-x有两个不相等的实数根，ax2+bx+c=-x变形为ax2+（b+1）x+c=0，∴ax2+（b+1）x+c=0有两个不相等的实数根，故选：A．【答案】A【举一反三】1．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（-6，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A. y1＜y2B. y1=y2C. y1＞y2D. 不能确定第9页共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【解答】解：由图可知，二次函数的对称轴为直线x=-3，∴x=-6和x=0时的函数值相同，∵x＞-3时，y随x的增大而减小，∴x=0时的函数值大于x=1时的函数值，∴y1＜y2．故选：A．【答案】A2．若二次函数y=x2-6x+c的图象过A（-1，y1）、B（2，y2）、C（5，y3）三点，则y1、y2、y3大小关系是______．【解答】解：根据二次函数图象的对称性可知，C（5，y3）中，|5-3|＞|3-2|=1，A（-1，y1），B（2，y2）在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，因为-1＜1＜2，于是y1＞y3＞y2．故答案为：y1＞y3＞y2．【答案】y1＞y3＞y23．在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y轴交于点A，并且经过点B（3，n）．（1）求点B的坐标；（2）如果抛物线y=ax2-4ax+4a-1（a＞0）与线段AB有唯一公共点，求a的取值范围．第10页共21页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【答案】解：（1）把x=3代入y=x+1，y=3+1=4，∴点B的坐标为B（3，4）；（2）由题意：线段ABy=x+1（0≤x≤3），∵y=ax2-4ax+4a-1=a（x-2）2-1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-1），∵点A（0，1），点B（3，4），∵当抛物线y=ax2-4ax+4a-1（a＞0）与线段AB有唯一公共点时，∴{4a−1≥132a−4×3a+4a−1＜4①或{4a−1＜132a−4×3a+4a−1≥4②解①得12≤a＜5，②无解，综上所述，当12≤a＜5时，抛物线与线段AB有一个公共点．4．小飞研究二次函数y=-（x-m）2-m+1（m为常数）性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；④当-1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A. ①B. ②C. ③D. ④【解答】解：二次函数y=-（x-m）2-m+1（m为常数）①∵顶点坐标为（m，-m+1）且当x=m时，y=-m+1∴这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上故结论①正确；②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形令y=0，得-（x-m）2-m+1=0，其中m≤1解得：x1=m-√−m+1，x2=m+√−m+1∵顶点坐标为（m，-m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形∴|-m+1|=|m-（m-√−m+1）|解得：m=0或1，当m=1时，二次函数y=-（x-12，此时顶点为（1，0），与x轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去；∴存在m=0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形故结论②正确；③∵x 1+x 2＞2m∴x 1+x 22＞m ∵二次函数y=-（x-m ）2-m+1（m 为常数）的对称轴为直线x=m∴点A 离对称轴的距离小于点B 离对称轴的距离∵x 1＜x 2，且-1＜0∴y 1＞y 2故结论③错误；④当-1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，且-1＜0∴m 的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选：C ．【答案】C5．如图，二次函数的图象与x 轴交于A （-3，0）和B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；（3）若直线与y 轴的交点为E ，连结AD 、AE ，求△ADE 的面积．【答案】解：（1）设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 常数），根据题意得 {9a −3b +c =0a +b +c =0c =3，解得：{a =−1b =−2c =3，所以二次函数的解析式为：y=-x 2-2x+3；（2）如图，一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是：x ＜-2或x ＞1．（3）∵对称轴：x=-1．∴D （-2，3）；设直线BD ：y=mx+n 代入B （1，0），D （-2，3）：{m +n =0−2m +n =3， 解得：{m =−1n =1， 故直线BD 的解析式为：y=-x+1，把x=0代入求得E （0，1）∴OE=1，又∵AB=4∴S △ADE=12×4×3-12×4×1=4．三、二次函数图像的开口方向、顶点坐标及对称轴【知识探索】1．二次函数（、、为常数，）： （1）当时，抛物线开口向上，有最低点；当时，抛物线开口向下，有最高点；（2）函数图像的对称轴为直线，顶点坐标为（，）．【错题精练】例1．已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ＞0）的图象的对称轴为直线x =1，且（x 1，y1），（x 2，y2）为其图象上的两点，（ ）A. 若x 1＞x 2＞1，则(y 1−y 2)+2a (x 1−x 2)＜0；B. 若1＞x 1＞x 2，则(y 1−y 2)+2a (x 1−x 2)＜0；C. 若x 1＞x 2＞1，则(y 1−y 2)+a (x 1−x 2)＞0；D. 若1＞x 1＞x 2，则(y 1−y 2)+a (x 1−x 2)＞0．【答案】D在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y= 2．一次函数y=ax+b和反比例函数y=cxax2+bx+c的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】C3．如图，点A、B的坐标分别为（1，1）和（5，4），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），当抛物线的顶点为A时，点C的横坐标为O，则点D 的横坐标最大值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【解答】解：∵抛物线的顶点为A时，点C的横坐标为O，∴设此时抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，代入（0，0）得，a+1=0，∴a=﹣1，∴此时抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，∵抛物线的顶点在线段AB上运动，∴当顶点运动到B（5，4）时，点D的横坐标最大，∴抛物线从A移动到B后的解析式为y=﹣（x﹣5）2+4，令y=0，则0=﹣（x ﹣5）2+4，解得x=7或3，∴点D 的横坐标最大值为7．【答案】C1．若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于正半轴C 点，且AC=20，BC=15，∠ACB=90°，则此抛物线的解析式为______．【解答】解：如图，∵∠ACB=90°，AC=20，BC=15，∴AB=√152+202=25，∵12OC•AB=12AC•BC ，∴OC=15×2025=12， ∴OA=√152−122=9，∴OB=25-9=16，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（-9，0）、（16，0）或（-16，0）、（9，0），当抛物线过点（-9，0）、（16，0）时，设抛物线解析式为y=a （x+9）（x-16），把C （0，12）代入得a•9•（-16）=12，解得a=-112，此时抛物线解析式为y=-112（x+9）（x-16），即y=-112x 2+712x+12；当抛物线过点（-16，0）、（9，0）时，设抛物线解析式为y=a （x+16）（x-9），把C （0，12）代入得a•16•（-9）=12，解得a=-112，此时抛物线解析式为y=-112（x+16）（x-9）， 即y=-112x 2-712x+12综上所述，抛物线解析式为y=-112x 2+712x+12或y=-112x 2-712x+12．D. 顶点坐标是（1，-3）【答案】D6．如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （-1，0）、B （3，0）两点，抛物线交y 轴于点C （0，3），点D 为抛物线的顶点．直线y=x-1交抛物线于点M 、N 两点，过线段MN 上一点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ．（1）求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）问点P 在何处时，线段PQ 最长，最长为多少；（3）设E 为线段OC 上的三等分点，连接EP ，EQ ，若EP=EQ ，求点P 的坐标．【答案】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （-1，0）、B （3，0）两点，交y 轴于点C （0，3），由题意，得{0=a −b +c0=9a +3b +c 3=c，解得：{a =−1b =2c =3∴抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+3，∴y=-（x-1）2+4，∴D （1，4）；（2）∵PQ ⊥x 轴，∴P 、Q 的横坐标相同，∵P 点在直线y=x-1上，设P （a ，a-1），则Q （a ，-a 2+2a+3），∴PQ=-a 2+2a+3-a+1=-a 2+a+4，∴PQ=-（a-12）2+174，∴当a=12时，线段PQ 最长为174，则P 点坐标为（12，-12）；（3）∵E 为线段OC 上的三等分点，且OC=3， ∴E （0，1）或E （0，2），设P （p ，p-1）（在y=x-1上），则Q （p ，-p 2+2p+3）． 当E （0，1）时，∵EP=EQ ，∴（p-0）2+（p-1-1）2=（p-0）2+（-p 2+2p+3-1）2， ∴p 2+（p-2）2=p 2+（p 2-2p-2）2，（p-2）2=（p 2-2p-2）2，①当 p 2-2p-2=p-2时，∴p （p-3）=0，∴p=0或3，当p=0，P （0，-1），Q （0，3），当p=3，P （3，2），Q （3，0），过线段MN 上一点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ． ∵直线y=x-1交抛物线于点M 、N 两点，∴x-1=-x 2+2x+3，解得：x 1=1−√172，x 2=1+√172， M 的横坐标为1−√172，N 点的横坐标为1+√172， ∴P 点横坐标：大于等于1−√172小于等于1+√172， ∴P （3，2），Q （3，0）不符合要求舍去；②p 2-2p-2=-p+2，整理得：p 2-p-4=0，解得：P 1=1−√172，p 2=1+√172， ∵直线y=x-1交抛物线于点M 、N 两点，∴x-1=-x 2+2x+3，解得：x 1=1−√172，x 2=1+√172， M 的横坐标为1−√172，N 点的横坐标为1+√172， ∵过线段MN 上一点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ． ∴P 点横坐标：大于等于1−√172小于等于1+√172， 当E （0，2）时，∵EP=EQ ，∴（p-0）2+（p-1-2）2=（p-0）2+（-p 2+2p+3-2）2， p 2+（p-3）2=p 2+（p 2-2p-1）2，∴（p-3）2=（p 2-2p-1）2．③当 p 2-2p-1=p-3时，∴（p-1）（p-2）=0∴p=1或2． 当p=1时，P （1，0），Q （1，4）当p=2时，P （2，1），Q （2，3）④p 2-2p-1=-p+3p 2-p-4=0，解得：P 1=1−√172＜-1，p 2=1+√172＞2， P （1−√172，−√17−12）或（1+√172,√17−12）． 综上所述，P 点的坐标为：P （0，-1），P （1，0），P （2，1），P （1−√172，−√17−12）或（1+√172,√17−12）． ∵点P 在线段MN 上，∴P 点的坐标为：P （0，-1），P （1，0），P （2，1）．非学科培训。

第02讲_确定二次函数的表达式知识图谱二次函数解析式的求法知识精讲 一般式 ()20y ax bx c a =++≠已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式待定系数法已知抛物线2y ax bx c =++过()1,1-、()2,4-和()0,4三点，求a b c、、的值解：把点()1,1-，()2,4-和()0,4代入抛物线解析式可得14244a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得164a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，顶点式 ()2y a x h k =-+()0a ≠已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式顶点式求解析式 一抛物线和y =﹣2x 2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），求其解析式解：∵两条抛物线形状与开口方向相同，∴a =﹣2，又∵顶点坐标是（﹣2，1），∴y =﹣2（x +2）2+1易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+三．二次函数的两根式两根式 1．已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可用两根式求解析式； 2. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可在两根式的基础上求解析式两根式求解析式 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A （－1，1），B （3，1），3(2,)2C - 求解析式解：设抛物线的解析式为y ＝a （x ＋1）（x －3）+1把3(2,)2c -代入解析式，求出a 即可 易错点：（1）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示（2）二次函数解析式的这三种形式可以互化三点剖析一．考点：二次函数解析式的求法．二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．三．易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+．待定系数法例题1、 已知抛物线2y ax bx c =++过()1,1-、()2,4-和()0,4三点，那么a b c 、、的值分别是（ ）A.164a b c =-=-=，，B.164a b c ==-=-，，C.164a b c =-=-=-，，D.164a b c ==-=，，【答案】 D【解析】 把点()1,1-，()2,4-和()0,4代入抛物线解析式可得14244a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得164a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故答案为D 选项．例题2、 已知二次函数的图象经过（0，0）（－1，－1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．【答案】 （1）y ＝4x 2＋5x（2）（58-，2516-）． 【解析】 （1）设所求二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0），根据题意，得019c a b c a b c =⎧⎪-+=-⎨⎪++=⎩，解得450a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴所求二次函数的解析式为y ＝4x 2＋5x ．（2）由22525454()816y x x x x =+=+-， ∴顶点坐标为（58-，2516-）． 例题3、 已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （－1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴．【答案】 （1）y=-x 2+2x+3（2）x=1【解析】 暂无解析随练1、 已知二次函数的图像经过点()1,5--，()0,4-和()1,1，则这个二次函数的解析式为（ ） A.2634y x x =-++ B.2234y x x =-+- C.224y x x =+- D.2234y x x =+-【答案】 D【解析】 由待定系数法可求得2234y x x =+-．随练2、 已知一个二次函数过()0,0，()1,11-，()1,9三点，求二次函数的解析式．【答案】 210y x x =-【解析】 设二次函数的解析式为2y ax bx c =++（0a ≠），因为抛物线经过点()0,0，()1,11-，()1,9，所以0119c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得1010a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以二次函数解析式为210y x x =-．顶点式例题1、 函数21212y x x =++写成y ＝a （x －h ）2＋k 的形式是（ ） A.21(1)22y x =-+ B.211(1)22y x =-+ C.21(1)32y x =-- D.21(2)12y x =+- 【答案】 D【解析】 22211121(44)21(2)1222y x x x x x =++=++-+=+-． 例题2、 二次函数的顶点为（﹣2，1），且过点（2，7），则二次函数的解析式为_____________．【答案】 y=23(x 2)18++ 【解析】 设抛物线解析式为y=a （x+2）2+1，把（2，7）代入得a•（2+2）2+1=7，解得a=38， 所以抛物线解析式为y=38（x+2）2+1。

第六讲 二次函数专项一 二次函数的图象和性质知识清单一、二次函数的概念一般地，形如 （a ，b ，c 为常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中ｘ是自变量，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数、 和常数项． 二、二次函数的图象和性质1. 二次函数的图象是一条 ．其一般形式为y =ax 2+bx +c ，由配方法可化成y =a （x -h ）2+k 的形式，其中h=2ba-，k=244ac b a -．2. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象和性质3. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与系数a ，b ，c 符号的关系ab ＜0（a ，b 异号）对称轴在y 轴右侧 c决定抛物线与y 轴的交点c ＞0 交点在y 轴正半轴 c =0 交点在原点 c ＜0交点在y 轴负半轴考点例析例1 抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（-1，0），（3，0），且与y 轴交于点（0，-5），则当x=2时，y 的值为（ ）A ．-5B ．-3C ．-1D ．5分析：画出抛物线的大致图象，可知抛物线的对称轴为x=1，根据抛物线的对称性可求出y 的值． 例2 一次函数y=ax+b 的图象如图1所示，则二次函数y=ax 2+bx 的图象可能是（ ）A B C D分析：根据一次函数y=ax+b 的图象经过的象限得出a ＜0，b ＞0，可知二次函数y=ax 2+bx 的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧．例3 二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图2所示，下列说法中，错误的是（ ） A ．对称轴是x=12B ．当-1＜x ＜2时，y ＜0C ．a+c=bD ．a+b ＞-c图2分析：由图可知，对称轴是x=1+22-=12，选项A 正确；当-1＜x ＜2时，函数图象在x 轴的下方，所以当-1＜x ＜2时，y ＜0，选项B 正确；当x=-1时，y=a-b+c=0，所以a+c=b ，选项C 正确；当x=1时，y=a+b+c ＜0，所以a+b ＜-c ，选项D 错误．例4二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x ＝12，且经过点（2，0）．有下列说法：①abc ＜0；②﹣2b +c ＝0；③4a +2b +c ＜0；④若112y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，252y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；图1⑤14b +c ＞m （am +b ）+c （其中m ≠12）．其中正确的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个图3分析：由抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y 轴的交点可得a ，b ，c 的符号，从而可得abc 的正负；由对称轴x=2b a -=12，得b=-a ，由图象易知当x=-1时，y=a-b+c=﹣2b+c ＝0；根据抛物线经过点（2，0），可得4a+2b+c=0；根据“开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”可判断y 1与y 2的大小；由图象知当x ＝12时，y 有最大值为14a+12b+c=14b +c ，由此可判断14b +c 与m （am +b ）+c 的大小关系．归纳：（1）几种常见代数式的判断①2a ±b 2b a-与±1比较②a ±b +c 令x ＝±1，看纵坐标 ③4a ±2b +c 令x ＝±2，看纵坐标 ④9a ±3b +c令x ＝±3，看纵坐标⑤3a +c ，3b -2c 等关于a ，c 或b ，c 的代数式 一般由②③④式与①式结合判断（2①当已知抛物线的解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小．ꎻ②利用抛物线上的对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性比较大小． ③利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小；开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”也可以比较大小． 跟踪训练1.已知二次函数y=（a-1）x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞0 B ．a ＞1 C ．a≠1 D ．a ＜12.二次函数y=x 2+4x+1的图象的对称轴是（ ）A ．x=2B ．x=4C ．x=-2D ．x=-4 3.关于二次函数y=2（x-4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值64.一次函数y=ax+b （a≠0）与二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D5.如图3，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．有下列结论：①ac＞0；②当x＞0时，y随x的增大而增大；③3a+c=0；④a+b≥am2+bm．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4第5题图6.定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1-m，2-m]的二次函数的一些结论：①当m=1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m=2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞12时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是．专项二确定二次函数的解析式知识清单用待定系数法求二次函数的解析式时，若已知条件给出了图象上任意三点（或任意三组对应值），可设解析式为；若给出顶点坐标为（h，k），则可设解析式为；若给出抛物线与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则可设解析式为.考点例析例在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5分析：由抛物线的解析式求得抛物线的顶点坐标与点C的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线的顶点坐标，用待定系数法求出新抛物线的解析式．跟踪训练1.若抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线x=2，P为这条抛物线的顶点，则点P 关于x轴的对称点的坐标是（）A．（2，4）B．（-2，4）C．（-2，-4）D．（2，-4）2.在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了如图所示直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3），同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数解析式各不相同，其中a的值最大为（）A．52B．32C．56D．12第2题图专项三二次函数图象的平移知识清单二次函数图象的平移规律平移前的解析式平移方向及距离平移后的解析式口诀顶点坐标y=a（x-h）2+k （a≠0）向左平移m个单位长度y=a（x-h+m）2+k左加右减纵坐标不变向平移m个单位长度y=a（x-h-m）2+k向上平移m个单位长度y=a（x-h）2+k+m上加下减横坐标不变向平移m个单位长度y=a（x-h）2+k-m平移前后ａ值不变例将抛物线y=-x2-2x+3向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线必定经过（）A．（-2，2）B．（-1，1）C．（0，6）D．（1，-3）分析：先将y=-x2-2x+3转化成顶点式y=a（x-h）2+k，再利用二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，得出平移后抛物线的解析式，最后把各选项的点代入判断即可．跟踪训练1.将抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移2个单位长度，以下说法错误的是（）A．开口方向不变B．对称轴不变C．y随x的变化情况不变D．与y轴的交点不变2.抛物线的函数解析式为y=3（x-2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为（）A．y=3（x+1）2+3 B．y=3（x-5）2+3 C．y=3（x-5）2-1 D．y=3（x+1）2-13.已知抛物线y=a（x-h）2+k与x轴有两个交点A（-1，0），B（3，0），抛物线y=a（x-h-m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（）A．5 B．-1 C．5或1 D．-5或-14.已知抛物线y=x2+kx-k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）A．-5或2 B．-5 C．2 D．-25.把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．6.如图，二次函数y=（x-1）（x-a）（a为常数）的图象的对称轴为x=2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的解析式．第6题图专项四二次函数与一元二次方程的关系知识清单二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的关系：Δ=b2-4ac一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系Δ>0有两个不等的实数根有两个不同的公共点Δ=0有两个相等的实数根只有唯一的公共点Δ<0无实数根没有公共点考点例析例已知关于x的一元二次方程x2+x-m=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）二次函数y=x2+x-m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x-m=0的解．分析：（1）由方程x2+x-m=0有两个不相等的实数根，可得Δ>0，列不等式即可求出m的取值范围；（2）根据二次函数图象的对称性，可得二次函数y=x2+x-m的图象与x轴的另一个交点，从而得到一元二次方程x2+x-m=0的解．解：跟踪训练1.已知直线y=kx+2过第一、二、三象限，则直线y=kx+2与抛物线y=x2-2x+3的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．1或22.已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，有下列结论：①c=2；②b2-4ac＞0；③方程ax2+bx=0的两根为x1=-2，x2=0；④7a+c＜0．其中正确的有（）3.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k=．4.对于任意实数a，抛物线y=x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是．5.武汉）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c=0．下列四个结论：①若抛物线经过点（-3，0），则b=2a；②若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=-2；③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．其中正确的是．（填序号）专项五二次函数的应用知识清单构建二次函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题，分析问题中的变量和常量；（2）建立二次函数模型表示它们之间的关系；（3）充分结合已知条件，利用函数解析式或图象等得出相应问题的答案，或把二次函数解析式用顶点坐标公式或用配方法化为顶点式，确定出二次函数的最大（小）值；（4）结合自变量的取值范围和问题的实际意义，检验结果的合理性.考点例析例1某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x 元，每个月的销售量为y件．（1）求y与x的函数解析式；（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？分析：（1）根据“该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件”列出y与x的函数解析式；（2）设每个月的销售利润为w元，根据等量关系“利润=（售价-进价）×销量”列出函数解析式，配方后根据二次函数的性质求解．解：例2某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数解析式为y=-16（x-5）2+6．（1）求雕塑高OA；（2）求落水点C，D之间的距离；（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE=10 m，EF=1.8 m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．分析：（1）根据给出的抛物线的函数解析式，令x=0，求出点A的纵坐标，可得出雕塑高OA；（2）根据给出的抛物线的函数解析式，令y=0，求出点D的横坐标，可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD=OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；（3）将x=10代入函数解析式y=-16（x-5）2+6求出y的值，将求出的y值与1.8比较后即可得出顶部F是否会碰到水柱．解：跟踪训练1.某快餐店销售A，B两种快餐，每份利润分别为12元，8元，每天卖出份数分别为40份，80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．2.某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/吨，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（吨）之间的关系为m=50+0.2x，销售价y（万元/吨）与原料的质量x（吨）之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）设销售收入为p（万元），求p与x之间的函数解析式；（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润=销售收入-总支出）第2题图3. 如图①是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5 m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱顶部O 离水面的距离．（2）如图②，桥面上方有3根高度均为4 m 的支柱CG ，OH ，DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m ． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数解析式；②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．① ②第3题图专项六 二次函数中的分类讨论思想分类讨论思想就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法．我们在运用分类讨论思想时，必须遵循下列两个原则：一是要有分类意识，善于从问题的情境中抓住分类对象；二是要找出科学合理的分类标准，应当满足互斥、无漏、最简原则. 引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面:①由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；②由数学变形所需要的限制条件引起的讨论；③由图形的不确定性引起的讨论；④由于题目含有字母引起的讨论等等． 考点例析例 已知关于x 的二次函数y 1=x 2+bx+c （实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x=1，求此二次函数的解析式； （2）若b 2-c=0，当b-3≤x≤b 时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数y 2=2x 2+x+m ，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y 2≥y 1，求实数m 的最小值．分析：（1）将（0，4）代入二次函数y 1=x 2+bx+c ，可求得c ，由对称轴为x=-2b=1，可求出b ；（2）二次函数y 1=x 2+bx+c 图象的对称轴为x=-2b ，需要分三种情况：b ＜-2b ，b-3＞-2b 和b-3≤-2b≤b 进行分类讨论；（3）设函数y 3=y 2-y 1，根据二次函数图象的增减性进行求解． 解：跟踪训练科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出y1与x之间的函数解析式；（2）求出y2与x之间的函数解析式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？参考答案专项一二次函数的图象和性质例1 A 例2 D 例3 D 例4 B1．B 2．C 3．D 4．C 5．B6．①②③专项二确定二次函数的解析式例 A1．A 2．A专项三二次函数图象的平移例 B1．D 2．C 3．C 4．B 5．y=2x2+4x6. 解：（1）因为y=（x-1）（x-a）=x2-（a+1）x+a，图象的对称轴为x=2，所以+12a=2，解得a=3．（2）由（1），知a=3，则该二次函数的解析式为y=x²-4x+3．所以二次函数的图象向下平移3个单位后经过原点．所以平移后图象所对应的二次函数的解析式是y=x²-4x．专项四二次函数与一元二次方程的关系例（1）由题意，知Δ＞0，即1+4m＞0，解得m＞-14．（2）二次函数y=x2+x-m图象的对称轴为x=-12，所以该函数图象与x轴的两个交点关于直线x=-12对称．由图可知抛物线与x轴的一个交点为（1，0），所以另一个交点为（-2，0）．所以一元二次方程x2+x-m=0的解为x1=1，x2=-2．1．C 2．B 3．1 4．①②④专项五二次函数的应用例1 （1）y=300-10（x-60）=-10x+900．（2）设每个月的销售利润为w元．由（1），知w=（x-50）y=（x-50）（-10x+900）=-10x2+1400x-45 000=-10（x-70）2+4000．因为-10＜0，所以当x=70时，w有最大值为4000．所以该商品每件的销售价为70元时，每个月的销售利润最大，最大利润是4000元．x2=11．所以OD=11 m．．因为从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，所以OC=OD=11 m．所以CD=OC+OD=22 m1．12642．解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b．w（万元）．（3）设销售利润为所以原料的质量x为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元．3. 解：（1）根据题意，知点F的坐标为（6，-1.5），可设拱桥侧面所在抛物线的函数解析式为y1=a1x2．=a2（x-6）2+1．（2）①根据题意，知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其解析式为y2②设彩带的长度为L m．所以当x=4时，L 最小值=2．答：彩带长度的最小值是2 m ．专项六 二次函数中的分类讨论思想例 （1）因为二次函数的图象经过点（0，4），所以c=4．（2）当b 2-c=0时，b 2=c ，此时函数的解析式为y 1=x 2+bx+b 2． 根据题意，分三种情况：所以（b-3）2+b （b-3）+b 2=21，解得b 3=4，b 4=-1（舍去）．（3）由（1），知二次函数的解析式为y 1=x 2-2x+4．设函数y 3=y 2-y 1=x 2+3x+m-4． 所以当x=0时，y 3即y 2-y 1有最小值m-4，所以m-4≥0，即m≥4．所以m 的最小值为4． 跟踪训练解：（1）y 1=5x+30．（2）当x=6时，y 1=5×6+30=60．因为y 2的图象是过原点的抛物线，所以可设y 2=ax 2+bx ． 因为点（1，35），（6，60）在抛物线y 2=ax 2+bx 上，所以=35366=60.a b a b ++⎧⎨⎩，解得=5=40.a b ⎩-⎧⎨，所以y 2=-5x 2+40x ．所以y 2与x 的函数解析式为y 2=-5x 2+40x ． （3）设小钢球和无人机的高度差为y 米． 令y 2=0，则-5x 2+40x=0，解得x=0或x=8．因为6＜x≤8，所以当x=8时，y的最大值为70．70米．。