第二讲 模糊集合及其运算

A=
0.2 0.7 1 0.5 + + + , u1 u2 u3 u4
那么
AU B = = 0.2 ∨ 0.5 0.7 ∨ 0.3 1 ∨ 0 0 ∨ 0.1 0.5 ∨ 0.7 + + + + u1 u2 u3 u4 u5 0.5 0.7 1 0.1 0.7 + + + + u1 u2 u3 u4 u5 0.2 ∧ 0.5 0.7 ∧ 0.3 1 ∧ 0 0 ∧ 0.1 0.5 ∧ 0.7 + + + + u1 u2 u3 u4 u5 0.2 0.3 0.5 + + u1 u2 u5
(1) 自反性 A ⊆ A; (2) 反对称性 A ⊆ B, B ⊆ A ⇒ A = B; (3) 传递性 A ⊆ B, B ⊆ C ⇒ A ⊆ C .
v
v
显然，包含关系⊆是模糊幂集F (U)上的二元关系，具有如下性质：
应此，(F (U),⊆)是偏序集 .
2013/2/26 12
若对于任意的x∈U,有 C ( x) = max{A( x), B( x)} = A( x) ∨ B( x) 则称C为A和B的并集。记为 C = A U B 。符号 ∨ 为 “取大”运算。 若对于任意的 x ∈ U ，有 D( x) = min{A( x), B( x)} = A( x) ∧ B( x)
2013/2/26 6
A(u)
二、隶属函数与模糊集合
n 集合可以表示概念。一个概念的外延就是一个普通集合。 用普通集合表示一个概念，就是应用集合指出概念的外延。 这种能用普通集合明确表示其外延的概念是清晰概念。 n 一个清晰概念，要么属于某个集合，要么不属于这个集 合，二者必居其一。例如人这个概念，就是一个清晰的概 念，一个动物，要么属于人的集合，要么不属于人的集合。 不会有第三种情况。
1, 当u = 1,2,3时 ; C A (u ) = 0 , 当u为其它自然数时.
显然,只要给出论域U的一个子集A,就唯一地 确定一个A的特征函数;反过来,给出U中一个特征 函数CA(u),也就唯一地确定了U的一个子集. 从这 个意义上讲,“子集就是特征函数”. 当U为实数集合 时,子集A的特征函数如图所示.
AU B =
u∈U
∫
A(u ) ∨ B (u ) 1 = ∫ + ∫ u u 25<u ≤u* 0 ≤ u ≤ 25 A(u ) ∧ B (u ) = ∫ u 50 < u ≤ u * [1 + (
AI B =
u∈U
∫
u − 50 2 −1 u − 25 2 −1 ) ] [1 + ( ) ] 5 5 + ∫ u u u * < u ≤100 u − 50 −2 −1 ) ] 5 u
AI B = =
2013/2/26
15
一般地，模糊集A和B的交并和余的计算，按论域U为有限和无 限分为两种表示
n A(uk ) B (uk ) (1) 设论域U = {u1 ,...un }且A = ∑ ,B = ∑ , uk uk k =1 k =1 n n A(uk ) ∨ B (uk ) A(uk ) ∧ B (uk ) 1- A(uk ) C 则A ∪ B = ∑ ，A ∩ B = ∑ ，A = ∑ uk uk uk k =1 k =1 k =1 n n
n
实际生活中有些概念并非清晰概念, 例如鲜美的食品、美丽 的景色、魁梧的身材、漂亮的服装、高个子…等等.对于这些 概念,普通集合就无能为力.
7
2013/2/26
定义1 ：设U为论域，U在闭区间[0,1]上的任一映射A→[0,1]称 为U上的隶属函数。 对于任意的x∈U，隶属函数值A(x)称为x对A的隶属度。A为论 域U上的模糊集合。 例如，用A表示“高个子男 人”的模糊集合，并假定身 高1.80m以上的男人为高个 子,1.60m以下的男人都不是 高个子。用 x表示男人的身 高,其隶属函数可以为:
2013/2/26
A U B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}
A I B ={x | x ∈ A 且
x ∈ B}
A − B = {x | x ∈ A 且 x ∉ B}
AC = U − A = {x | x ∈ U , 且, x ∉ A}
补集：设U是论域，A对U的补集为
A⊆ B
B⊆ A
4
集合的运算规律
(2) 设论域U 为无限集且A = 则A ∪ B =
u∈U
∫
A(u ) B(u ) ,B = ∫ , u u u∈U
u∈U
∫
A(u ) ∨ B(u ) A(u ) ∧ B(u ) 1 − A(u ) ，A ∩ B = ∫ ，AC = ∫ u u u u∈U u∈U
2013/2/26
16
例2 设模糊集A和B的隶属函数为 0 0 ≤ u ≤ 50 A(u ) = , u − 50 −2 −1 [1 + ( ) ] 50 < u ≤ 100 5 1 0 ≤ u ≤ 25 B (u ) = u − 25 2 −1 [1 ( ) ] 25 < u ≤ 100 + 5 [1 + ( u − 25 2 −1 u − 50 −2 −1 ) ] [1 + ( ) ] 5 5 + ∫ u u u* < u ≤100
19世纪末,康托(Cantor)首创集合论,并迅速渗透到各 个数学分支,成为基础数学. 康托对集合的定义：把一定的并且彼此可以明确识 别的东西(可以是直接的对象,也可以是思维的对象) 放在一起,称为集合. 普通集合常用的两种表示方法：
v
穷举法： 例如，S={小学生,中学生,大学生,研究生} 表示“学生” 集合. 特征描述法：例如A={x|x<0,且x为实数}.
A I AC = Φ
9、De.Morgan律 ( A U B) c = A c I B c ,
2013/2/26
( A I B) c = A c U B c
5
特征函数
特征函数CA(u) 表示论域U中的元素u是否属于U的子集A. 若u∈A, 则CA(u) =1;若 u∉A ,则CA(u) =0. 显然,特征函数是论域U到{0,1}的一 个映射. 例如,设U自然数组成的集合,A={1,2,3},则A的特征函数为
则称D为A和B的交集。记为D = A I B 。符号∧ 为 “取小”运算。 若对于任意的 x ∈ U ，有
Ac ( x ) = 1 − A( x )
则称为A的余集（或补集）。
2013/2/26
13
2013/2/26
14
例1 设U={u1,u2,u3,u4,u5},
B= 0.5 0.3 0.1 0.7 + + + , u1 u2 u3 u5
已知 x1 = 1.65 m，x2 = 1.70 m，x2 = 1.75m，则有 A( x1 ) = 0.125 ， A( x2 ) = 0.50 ，A( x3 ) = 0.875 。于是采用扎德记号表示的模糊 子集为：
0.125 0.50 0.875 A= + + x1 x2 x3
注：扎德记号不是分式求和，只是一种记号而已。其中“分 母”是论域U的元素，“分子”是相应元素的隶属度。 模糊集合的表示 一般情况 A = {(u, A(u )) | u ∈U } U有限或可数 U无限不可数
2013/2/26 10
例4 设论域为实数R，则A表示“靠近4”的数集,则A∈F(U), 它 的隶属函数 为：
e− k ( x − 4) A( x) = 0
2
| x − 4 |< δ | x − 4 |≥ δ
例5 设论域为实数R，则A表示“比4大得多的数”,则它 的隶属函数为：
1 1 + 100 A( x) = ( x − 4)2 0
第二讲 模糊集合及其运算
2013/2/26
1
OUTLINE
n n n n n n n n n
2013/2/26
一、普通集合及其特征函数 二、隶属函数与模糊集合 三、模糊集合的运算 四、模糊集合的性质 五、模糊截集 六、分解定理 七、表现定理 八、模糊集的模糊度 课堂练习
2
一、普通集合及其特征函数
3
v
2013/2/26
有关概念和定义： 论域：被讨论对象的全体组成的集合称为论域。 包含： A⊆B ：对于任意x∈A ,必有y∈B. 空集：若对于任意集合A,都有Φ⊆A,则称Φ是任意集合A的空集. 幂集：设U是论域，U的所有子集所组成的集合称为U的幂集， 记为P(U). 例如,U={a,b,c},则 P(U)={Φ,{a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,b,c}} 并集：A与B的并集定义为 交集：A与B的交集定义为 差集：A与B的差集定义为 等于：集合A和B相等A=B：
x>4 x≤4
2013/2/26
11
三、模糊集合的运算
普通的集合运算，是由特征函数描述的。由于隶属函数是 特征函数的推广，所以模糊集合的运算自然可由隶属函数 描述。 设A、B、C、D为论域U上的模糊子集，则有如下定义： 若对于任意的 x ∈ U ，有 A( x) ≤ B( x) ，则称B包含A。记 为A⊆ B 。 若 A ⊆ B ，而且 B ⊆ A ，则称A 与B相等。记为A =B。
2013/2/26 8
x < 1.60 0, x −1.60 2 2 , 1.60 ≤ x ≤ 1.70 0.2 A( x) = 2 − x 1 . 80 1− 2 , 1.70 ≤ x < 1.80 0.2 1, 1.80 ≤ x