北师大版九年级数学第二章一元二次方程花边有多宽(1)导学案

北师大版数学九年级上册2.1.1《花边有多宽》教案一. 教材分析《花边有多宽》是北师大版数学九年级上册第2章《相似多边形》的第1节内容。

本节课主要通过探究梯形的相似性质，让学生掌握相似多边形的判定方法，并能够运用相似性质解决实际问题。

此内容是学生在学习了七年级和八年级的相关知识基础上进行的，对学生空间想象能力和逻辑思维能力的培养具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于多边形的性质和图形的变换有一定的了解。

但是，对于相似多边形的判定和应用可能还比较模糊。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生从直观到抽象的认识过程，让学生在探究中理解相似多边形的性质，提高他们的空间想象能力和解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解相似多边形的概念，掌握相似多边形的性质。

2.能够运用相似性质解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

4.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：相似多边形的概念和性质。

2.难点：相似多边形的判定方法和应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究相似多边形的性质。

2.利用多媒体辅助教学，展示图形的变化，帮助学生直观理解相似性质。

3.运用实例讲解，让学生在实际问题中运用相似性质解决问题。

4.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.梯形图形的相关教具。

3.练习题和学习资料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些梯形图形，引导学生观察并提出问题：“这些梯形有什么共同的特点？”让学生思考并回答，从而引出相似多边形的概念。

2.呈现（10分钟）通过展示梯形的相似性质，让学生观察并总结出相似多边形的性质。

引导学生从直观到抽象的认识过程，让学生在探究中理解相似多边形的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用相似性质对给定的梯形进行变换，并观察变换后的梯形与原梯形的关系。

§2.1.1花边有多宽(一) 预习案【目标、重点、难点】1．一元二次方程的概念及它的一般形式2．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．【回顾思考】什么是一元一次方程、什么是二元一次方程？【预习新课】情境问题：列方程解应用题：一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m。

苗圃的长和宽各是多少？解：设____________________,列方程得：_________________你能将方程化成ax2+bx+c=0的形式吗？阅读课本P48，回答问题：1、什么是一元二次方程？2、什么是一元二次方程的一般形式？二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？课前小练：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）3x2=5x-1（2）(x+2)(x-1)=6（3）4-7x2=0一元二次方程应用举例：1）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?如果设花边的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为__________m，宽为___________m，根据题意，可得方程________________________。

化成一般形式得_______________。

2）求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。

列出方程并化简。

3）如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程并化简。

导学案【知识梳理】1．一元二次方程的概念：强调三个特征：①它是______方程；②它只含______未知数；③方程中未知数的最高次数是__________.一元二次方程的一般形式：__________，在任何一个一元二次方程中，_______是必不可少的项．2.几种不同的表示形式：①ax2+bx+c=0 (a≠0,b≠0,c≠0)② ___________ (a≠0,b≠0,c=0)③____________ (a≠0,b=0,c≠0)④___________ (a≠0,b=0,c=0)例1：判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。

2.1花边有多宽方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，随着数学应用的日趋广泛，方程的工具作用显得愈发重要.一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位．本节“花边有多宽”是一元二次方程的基础，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念，进而通过夹逼思想估算方程的解．本节的重、难点是一元二次方程的概念及其近似解．2.1花边有多宽(一)教学目标(一)教学知识点1．一元二次方程的概念2．一元二次方程的有关概念．(二)能力训练要求1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．2．理解一元二次方程的概念(三)情感与价值观要求从生活实际中抽象出数学问题，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识．教学重点一元二次方程的概念a≠0教学难点一元二次方程的概念:a≠0教学方法启发诱导式教具准备投影片四张第一张：花边有多宽(记作投影片§2．1．1 A)第二张：数学问题(记作投影片§2．1．1 B)第三张：实际问题(记作投影片§2．1．1 C)第四张：想一想(记作投影片§2．1．1 D)教学过程Ⅰ．创设现实情景、引入新课[师]前面我们学过黄金分割，知道黄金比是多少吗?[生]黄金比是0.618．[师]很好，你知道黄金比为什么是0．618吗?……[师]好，经济时代的今天，你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?……从今天开始，我们来学习能解决这些问题的知识：第二章：一元二次方程．与一次方程和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型．下面我们来学习第一节：花边有多宽．Ⅱ．讲授新课[师]我们来看一个实际问题 (出示投影片§2．1．1 A)；大家来讨论讨论．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?[生]我们可以利用列方程来求解．[师]很好，那如何列方程来求解实际问题呢?想一想，前面我们学习的列一元一次方程的思路和方法．[生]要从题中，找出已知量、未知量及问题中所涉及的等量关系．这个题已知：这块地毯的长为8 m，宽为5 m，它中央长方形图案的面积为18m2．这个题所要求的是；地毯的花边有多宽．本题是以面积为等量关系．[师]这位同学分析得很好，下面我们共同来利用这些数量关系列出方程．[师生共析]如果设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m，根据题意，可得方程(8-2x)(5-2x)＝18注意：1．利用列方程解实际问题时，关键是要找到等量关系，如本题中的面积等于长乘以宽． 2．用一个含有未知数的代数式表示一个量，并且这个量有单位时，需要把这个代数式用括号括起来，如本题中的地毯中央长方形图案的长、宽等．[师]好，下面我们来看一个数学问题(出示投影片§ 2．1．1 B)：观察下面等式102+112+122＝132+142．你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?[生]这个题我们也可以利用数量关系列方程．[师]很好，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面的四个数该如何表示呢? [生甲]因为任何两个连续整数的差为1.所以，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1，x+2，x+3，x+4．[生乙]根据题意，则可得到方程x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2．[生丙]老师，我觉得这个题也可以设中间的那个数为x，那么其余四个数依次为x-2，x-1，x+1，x+2，由此也可得方程(x-2)2+(x-1)2+x2＝(x+1)2+(x+2)2．这样行吗?[师]丙同学的思路很好，这个问题可以有不同的设未知数的方法，同学们可灵活设未知数，即可设这五个数中的任意一个，其他四个数可随之变化．下面我们来看一个实际问题(出示投影片§2．1．1 C)：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米?[师]同学们分组讨论，列出方程．[生甲]墙与地面是垂直的，因而墙、地面和梯子构成了直角三角形．已知梯子的长为10 m，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，所以由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙有6 m．[生乙]设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m，根据题意，利用勾股定理，可得方程．(x+6)2+(8-1)2＝102，即(x+6)2+72＝102．[师]同学们讨论得很完整，接下来想一想，议一议(出示投影片§ 2．1．1 D)：由上面三个问题，我们可以得到三个方程：(8-2x)(5-2x)＝18，x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2，(x+6)2+72＝102．这三个方程有什么共同特点?[生甲]这三个方程的每个方程的左、右两边都是整式．[生乙]我把这三个方程进行了化简，即(1)(8-2x)(5-2x)＝18，40-26x+4x2＝18，4x2-26x+22＝0．(2)x2+(x+1)2+(x+2)2＝(x+3)2+(x+4)2，x2+x2+2x+1+x2+4x+4=x2+6x+9+x2+8x+16，x2-8x-20＝0．(3)(x+6)2+72=102，x2+12x+36+49=100，x2+12x-15=0．由此可以知道：这三个方程可以化简为三项的和．[生丙]把这三个方程经过化简后，最高次数是二次．[生丁]这三个方程的每一个方程中只含有一个未知数．[师]同学们总结得很好．上面的三个方程都是只含有一个未知数x的整式方程,等号两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程，如：我们学习过的一元一次方程，二元一次方程等都是整式方程．这三个方程还都可以化为ax2+bx+c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的形式，这样的方程我们叫做一元二次方程(quadrat ic equatton wit h one unknown)，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．注意：1．一元二次方程必须同时满足以下三点；(1)方程是整式方程．(2)它只含有一个未知数．(3)未知数的最高次数是2，即化简为ax2+bx+c=0时，a≠0．2．任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx++c=0(a≠0)的形式,其中a≠0是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了．因为任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0《a≠0》的形式，所以我们把ax2+bx+c＝O(a、b、c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．注意：(1)当a＝0，b≠0时，方程就是一元一次方程，当一个方程是一元二次方程时，则隐含了条件：a≠0.(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式．Ⅲ．应用、深化课本P43随堂练习1．从前有一天，二个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程．解：设竹竿长为x尺，则门框宽为(x-4)尺，门框高为(x-2)尺，根据题意，得x2＝(x-4)2+(x-2)2，即x2-12x+20=02．把方程(3x+2)2＝4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.解：方程(3x+2)2＝4(x-3)2的一般形式是5x2+36x-32＝0．方程的二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是-32．Ⅳ．课时小结本节课我们由讨论“花边有多宽”得出一元二次方程的概念．1．一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的形式．2．一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝O(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．3．在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性．Ⅴ.课后作业(一)课本P44习题2．1 1、2(二)1．预习内容：P44-P462．预习提纲探索一元二次方程的解或近似解，Ⅵ．活动与探究1．当d、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当a、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元一次方程?[过程]让学生通过讨论、总结，知道：对于方程ax2+bx+c＝0，当a≠0时．是一元二次方程；当a＝0且b≠0时，方程为bx+c=0，是一元一次方程．[结果]当a≠1时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元二次方程，这时，方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b．当a=1且b≠0时，方程是一元一次方程．板书设计2.1花边有多宽(一)一、1．设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m．根据题意，可得(8-2x)(5-2x)＝18．2．设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1、x+2、x+3、x+4．根据题意，可得x2+(x+1)2+(x+2)2＝(x+3)2+(x+4)2．3．设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙(x+6)m．根据题意，可得(x+6)2+72＝102．二、议一议三个方程的共同特点：(1)只含有一个未知数．(2)整式方程．(3)可化为ax2+bx+c＝0．三、1．一元二次方程的定义．2．一元二次方程的一般形式；ax2+bx+c＝0(a≠0)ax2是二次项，a是系数bx是一次项，b是系数c是常数项四、练习五、小结六、课后作业。

北师大版数学九年级上册2.1《花边有多宽》教案1一. 教材分析《花边有多宽》这一节是人教版九年级上册第二单元《几何图形》中的一节内容。

本节课主要让学生通过观察、操作、思考、交流等活动，掌握花边的宽度，发展学生的空间观念和几何思维能力。

教材通过生活中的实例，引出花边的宽度，然后让学生通过实际操作，探索求解花边宽度的方法，从而培养学生的实践能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对几何图形有一定的认识。

同时，学生的空间想象能力和动手操作能力也在逐步发展。

但是，对于一些复杂的花边图案，学生可能还比较难以理解和计算。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导学生通过实际操作，逐步理解和掌握花边的宽度求解方法。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握花边的宽度求解方法，能够运用所学知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间观念和几何思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和问题解决能力。

四. 教学重难点1.重点：花边的宽度求解方法。

2.难点：对于复杂花边图案的理解和计算。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，探索花边的宽度求解方法。

2.运用多媒体辅助教学，展示花边图案，提高学生的空间想象力。

3.分组合作学习，培养学生的团队合作意识。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.花边图案实物或图片。

3.剪刀、直尺、彩笔等动手操作工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师展示一些花边图案实物或图片，引导学生观察并思考：如何才能知道这些花边的宽度呢？通过这个问题，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题。

2.呈现（10分钟）教师提出具体的问题：给定一个花边图案，如何求解其宽度？然后引导学生分组讨论，共同探索求解方法。

3.操练（10分钟）每组学生选取一个花边图案，使用剪刀、直尺、彩笔等工具，进行实际操作，尝试求解花边的宽度。

北师大版数学九年级上册2.1《花边有多宽》教学设计1一. 教材分析《花边有多宽》这一节是北师大版数学九年级上册第二章《相似》的第一课时。

本节课主要通过探究花边的宽度，让学生理解相似图形的性质，掌握相似比的计算方法，并能够运用相似比解决实际问题。

教材通过生活中的实例引入相似的概念，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了相似图形的概念，对图形的变换也有了一定的了解。

但学生在计算相似比时，可能还不太熟练，需要通过大量的练习来提高。

此外，学生解决实际问题的能力有待提高，需要教师在教学中进行引导和培养。

三. 教学目标1.知识与技能：理解相似图形的性质，掌握相似比的计算方法，能够运用相似比解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等方法，培养学生的动手操作能力和推理能力。

3.情感态度价值观：培养学生运用数学解决实际问题的意识，提高学生对数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：理解相似图形的性质，掌握相似比的计算方法。

2.难点：运用相似比解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入相似的概念，激发学生的学习兴趣。

2.引导发现法：教师引导学生观察、操作、猜想、验证，培养学生独立思考的能力。

3.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对相似图形性质的理解。

4.合作学习法：学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示花边的图片和相关的数学知识。

2.练习题：准备一些关于相似比计算和实际问题的练习题，用于课堂练习和巩固。

3.教学道具：准备一些花边的实物，用于展示和操作。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些花边的图片，引导学生观察花边的形状和宽度，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师介绍相似图形的概念，解释相似比的含义，并通过举例让学生理解相似比的应用。

3.操练（15分钟）教师引导学生分组讨论，每组选择一幅花边的图片，计算花边的相似比，并解释原因。

第二章一元二次方程1．花边有多宽（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了一元一次方程，掌握了一元一次方程的基本特征及其解法，对于整式的化简学生也已经是轻车熟路，具备了学习一元二次方程的基本技能；学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已有了从实际问题中抽象出数学模型的经历，并且明确了元与次的意义，获得了根据方程的特点概括其概念的一些经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析教科书在学生已有的知识经验的基础上，提出了本课的具体学习任务：理解一元二次方程的概念及其二次项、一次项、常数项；了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。

一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型，它不仅是初中阶段学习的重点内容，而且是后面学习二次函数的基础，起着承上启下的作用。

本节课的教学目标是：1、经历探索一元二次方程概念的过程，理解一元二次方程中的二次项、一次项、常数项；了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。

2、经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；在探索过程中培养和发展学生学习数学的主动性，提高数学的应用能力。

3、培养学生主动参与、合作交流的意识；经历独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，提高学习数学的自信心。

三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：建立模型，探索新知；第三环节：巩固应用，形成技能；第四环节：拓展延伸，层层攀高；第五环节：感悟与收获；第六环节：布置作业。

第一环节：创设情景，引入新课活动内容：通过三个具体的问题，引导学生得到三个方程。

1、艺术设计一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m，宽为5m。

如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？2、趣味数学：先观察下面等式：102＋112＋122＝132＋142你还能找到其它的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？3、梯子移动如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。

2019-2020年九年级数学上册 2.1 第二章1花边有多宽（1-9课时）教案 北师大版学习目标：1、经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。

2、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。

重点：认识产生一元二次方程知识的必要性 难点：列方程的探索过程 教学过程：一、简要回顾，方程思想简要回顾方程知识，方程在生活中的应用，以及用方程思想解决实际问题时的大致思路：1、把待求的量用字母表示出来；2、把已知量与未知量放在同等地位进行运算；3、寻求建立等量关系4、解方程（组）体会感悟：往往解决一个未知数的问题，就需要建立一个等量关系；解决两个未知数的问题，则需要建立两个等量关系。

……二、展示素材，创设情境在处理下面的每一个素材时，都带领学生经历探求思路、建立方程、分析特点三个过程，并从中激发学生的学习兴趣。

1、艺术设计一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m ，宽为5m 。

如果地毯中央长方形图案的面积为18m 2，那么花边有多宽？2、趣味数学口算：365141312111022222++++这是俄罗斯画家别尔斯基的一幅题为《难题》的名画中写在教室黑板上的一道题，此画上面还画了拉钦斯基和他的作口算的学生们。

拉钦斯基（1836～1902）一度曾在大学中任自然科学教授，后来辞去大学的职务，成为一名普通的乡村教师，在这期间，对非标准习题的解法以及口算给予很大注意。

从惊奇与趣味中激发学生思考：这样的数组还有吗？如何求解？设未知数的技巧。

联想勾股定理中：，……3、梯子移动如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。

如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？及时教育学生，要学会用数学的眼光观察生活中的现象，培养自己发现问题与解决问题的能力。

4、莲花问题平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲。

出泥不染婷婷立，忽被强风吹一边。