新北师大版九年级数学上册一元二次方程知识点专题复习

北师大版九年级数学上册《一元二次方程》
知识点归纳
第二章一元二次方程
定义：方程是只含有一个未知数的整式方程，并且可以
化成ax2+bx+c=0的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

用配方法求解一元二次方程
思路：将方程转化为2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根。

我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程
的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。

用公式法求解一元二次方程
对于一元二次方程，当b2-4ac≥0时，它的根是：
初中数学北师大版九年级上册《第二章一元二次方程》
知识点归纳
上面这个公式称为一元二次方程的求根公式，用求根公
式解一元二次方程的方法称为公式法。

对于ax2+bx+c=0，当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。

当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。

当
b2-4ac<0时，方程没有实数根。

用因式分解法求解一元二次方程
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以将方程分解成两个一元一次
方程，这两个一元一次方程的解就是一元二次方程的根，这
种解一元二次方程的方法，叫做因式分解法。

一元二次方程的根与系数的关系
如果方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1x2,那么
x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。

（北大师）九年级上册 第二章 一元二次方程知识点一：认识一元一次方程（一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元）并且未知数的次数是2（二次）的整式方程，这样的方程叫一元二次方程。

（注意：一元二次方程必须满足以下三个条件：是整式方程；一元；二次）（二） 一元二次方程的一般形式：把20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式。

其中a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。

【例题】1、一元二次方程3x 2＝5x －1的一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。

2、一元二次方程（x+1）(3x －2)=10的一般形式是 。

3、当m= 时，关于x 的方程5)3(72=---x x m m是一元二次方程。

4、下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5D.2332057x x +-=知识点二：求解一元一次方程（一）一元二次方程的根定义：使得方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

【例题】例1、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、12（二）解一元二次方程的方法： 1.配方法 <即将其变为2()0x m +=的形式> 配方法解一元二次方程的基本步骤： ①把方程化成一元二次方程的一般形式； ②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方； ⑤把方程转化成2()0x m +=的形式； ⑥两边开方求其根。

【例题】例2 一元二次方程x 2-8x-1=0配方后可变形为（ ）A ．（x+4）2=17B ．（x+4）2=15C ．（x-4）2=17D ．（x-4）2=15例3 用配方法解一元二次方程x 2-6x-4=0，下列变形正确的是（ ） A ．（x-6）2=-4+36B ．（x-6）2=4+36C ．（x-3）2=-4+9D ．（x-3）2=4+9例4 x 2-6x-4=0； x 2-4x=1； x 2-2x-2=02.公式法242b b acx a-±-=（注意在找abc 时须先把方程化为一般形式）【例题】例5若一元二次方程x 2+2x+a=0的有实数解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1B ．a≤4C ．a≤1D ．a≥1例6 已知一元二次方程2x 2-5x+3=0，则该方程根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．两个根都是自然数D ．无实数根例7 已知关于x 的方程x 2+2x+a-2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．3.分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。

一元二次方程专题复习一、基本概念1、一元二次方程的概念：只含有 未知数，并且可以化为 (其中,,a b c 为常数，且0a ≠)的 方程叫做一元二次方程。

2、配方法1、用配方法解方程：-2x 2-4x +2=0解：首项转正___________________系数化为一___________________移项，得：___________________配方，得：__________________即：_____________________开平方，得：_____________________即：______________________所以：_________________________例1、用直接开平方法解方程：（1）2x 2=6 （2）21(2x+1)2=3 （3）(x+1)2－144=0 （4）22)32()2(+=-x x（5）x 2＋8x －9＝0 (6)(x －2) 2=24 (7)41x 2+x －2=0 (5)2x 2－4x －1=03、公式法1、一般地，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当 时，它的根是x 1= ，x 2 =当 时，一元二次方程无实数根。

2、用公式法解方程：3x 2－8=7x解：把原方程化为一般形式为_______ _，∵a =_____，b =_______，c =______，∴b 2－4ac= ，∴x=∴方程的根x 1=________________，x 2=____________________用公式法解方程：（1）5x 2+2x －1=0 （2）2y 2+3y+1=0 （3）x 2－7x －18＝0 （4）2x 2＋7x ＝44、分解因式法。

1、用因式分解法解方程：x 2－2x +1=9(1)配方并移项得__________________；(2)方程左边化为两个平方差，右边为零得________________；(3)将方程左边分解成两个一次因式之积得_______________；(4)分别解这两个一次方程得x 1=______________，x 2=__________2、利用 来解一元二次方程的方法叫分解因式法。

一元二次方程解法知识点总结提高（精华版）一、概念一元二次方程——“整式方程”；“只含一个未知数，且未知数的最高次数是2”。

=0(分式)，=1（无理式）一元二次方程的一般形式——ax2 +bx+c=0(a0).方程的根（解）——是使方程成立的未知数的取值，了解一元二次方程的根的个数。

如果有根，一定是两个根，相同和不同的根。

一元二次方程的解法——把一元二次方程降次为一元一次方程求解。

二、解一元二次方程1.直接开平方法——适用于（px+q）2 =a 的方程。

2.配方法——适用于所有的一元二次方程。

ax2 +bx+c=0(a0).3.公式法——适用于所有的一元二次方程，反映了一元二次方程的根与系数的关系。

一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确快速找出各项系数a、b、c；先求出b2 -4ac的值，如果b2 -4ac0，则带入公式（3）当b2 -4ac<0时，方程没有实数根,方程有两个共轭虚根注意：一元二次方程根1.k为何值时，关于x的二次方程kx2-6x+9=0k满足k且b2 -4ac>0 时，方程有两个不等的实数根。

K满足k且b2 -4ac=0时，方程有两个相等的实数根。

K满足k且b2 -4ac<0 时，方程无实数根。

4.因式分解法——用因式分解法解一元二次方程的依据是：A-B=0⇒A=0或B=0.通过将二次三项式化为两个一次式的乘积，从而达到将次的目的。

把ax2 +bx+c=0(a0)转化为（px+q）（gx+h）=0的形式。

a.提公因式b.十字相乘5.换元法（2x+1）2 -3（2x+1）-4 =0 x4+2x+1=0=1转化为整式方程：x2+3x-4=0(x-1)(x+4)=0 x1=1,x2=-4.这时候一定要将x1=1,x2=-4.带入原方程中，看是否满足题意。

x1=1（舍），所以,x=-4.三、解一元二次方程基本题型1.会化一般形式。

x2+3x=42.应用一元二次方程的定义求待定系数或其他字母值关于x的方程（a2-2a-8）x2 +（a+2）x-1 =0当a=（a2-2a-8）=0且（a+2）0 即=4时为一元一次方程。