等差数列知识点总结

数列的等差与等比性质知识点总结数列是由一系列数字按照一定规律排列组成的序列，而等差与等比性质是数列中常见的两种规律。

在数学中，掌握数列的等差与等比性质对于解题和推导数学公式都具有重要意义。

本文将对数列的等差与等比性质进行详细总结。

一、等差数列1. 定义：若数列中相邻两项之差保持不变，则称该数列为等差数列。

2. 通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

3. 性质：a) 任意一项与它的前一项的差等于公差，即an - an-1 = d。

b) 等差数列的前n项和为Sn = (a1 + an) * n / 2。

c) 等差数列的任意一项可以表示为前一项与公差之和，即an = an-1 + d。

d) 若等差数列的前两项之和等于第三项，即a1 + a2 = a3，则该等差数列为等差数列。

二、等比数列1. 定义：若数列中相邻两项之比保持不变，则称该数列为等比数列。

2. 通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为r，则第n项的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。

3. 性质：a) 任意一项与它的前一项的比等于公比，即an / an-1 = r。

b) 等比数列的前n项和为Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。

c) 等比数列的任意一项可以表示为前一项与公比之积，即an = an-1 * r。

d) 若等比数列的前两项之积等于第三项，即a1 * a2 = a3，则该等比数列为等比数列。

三、等差与等比的联系与区别1. 联系：等差与等比数列都是按照一定规律排列的数列，且都有其通项公式和前n项和的公式。

2. 区别：a) 等差数列的相邻项之差相等，等比数列的相邻项之比相等。

b) 等差数列的公差为常数d，等比数列的公比为常数r。

c) 等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，等比数列的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。

等差数列前n项和知识点归纳总结等差数列是数学中常见的数列形式，由一系列等差数构成。

其中，等差数是按照一定的公差递增或递减的数，如1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。

在求等差数列前n项和时，我们需要掌握一些重要的知识点。

本文将对等差数列前n项和的计算方法进行归纳总结。

一、等差数列的概念与通项公式：等差数列是指一个数列中相邻两项之间的差值是一个常数。

通常用字母a，d表示等差数列的首项和公差，其通项公式的一般形式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。

二、求等差数列前n项和的方法：1. 公式法：根据等差数列通项公式，我们可以得到第n项的具体表达式，然后将每一项累加起来即可得到前n项和。

这种方法适用于数列项数较多的情况。

2. 列表法：列举等差数列的前n项，然后将各项相加求和，即可得到等差数列前n项和。

这种方法适用于数列项数较少的情况。

三、等差数列前n项和的公式推导：要推导等差数列前n项和的公式，我们可以利用等差数列的通项公式和数列项数的特点进行推导。

考虑一个等差数列的前n项和Sn，其首项为a1，末项为an，公差为d。

根据等差数列的通项公式，我们可以列出如下两个等式：a1 = a1an = a1 + (n-1)d将这两个等式相加得：a1 + an = 2a1 + (n-1)d根据等差数列的性质，可以知道数列中的任意两项和都等于首项和末项的和，且这个和一共出现n次。

因此，将上述等式乘以n/2，得到：n(a1 + an) = n(2a1 + (n-1)d)化简后：2a1n + (n-1)dn = n(a1 + an)移项得：2a1n + dn^2 - dn - an = 0根据求根公式，可以求解出an的表达式为：an = a1 + (n-1)d将其代入上述等式，可以得到等差数列前n项和公式：Sn = n(a1 + an) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2= n(2a1 + (n-1)d) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2四、等差数列前n项和的应用：等差数列前n项和的计算公式在数学和物理等领域有广泛的应用。

二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6 ，2a -5 ， -3a +2 ，则 a A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2．在数列 {a n } 中， a 1=2，2a n+1=2a n +1，则 a 101的值为 （ ）A ．49B ．50C ． 51D ．52 3．等差数列 1，－ 1，－ 3，⋯，－ 89的项数是（ ）等差数列一．等差数列知识点：知识点 1、等差数列的定义 : ①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 知识点 2、等差数列的判定方法 : ②定义法：对于数列 a n ，若a n 1 a n d （常数） ，则数列 a n 是等差数列 ③等差中项：对于数列 a n ，若2a n 1 a n a n 2，则数列 a n 是等差数列 知识点 3、等差数列的通项公式 : 的首项是 a 1 ，公差是 d ，则等差数列的通项为 该公式整理后是关于 n 的一次函数 n 项和 : n （n 1） ⑥ S n na 1 d2 ④如果等差数列 a n a n a 1 （n 1）d 知识点 4、等差数列的前 ⑤ Sn n （a 1 a n ） 2对于公式 2整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 知识点 5、等差中项 :⑥如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项即： A a b 或2A a b 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点 6、等差数列的性质 : ⑦等差数列任意两项间的关系：如果 且 m n ，公差为 d ，则有 a n a m （n ⑧ 对于等差数列 a n ，若 n m p a n 是等差数列的第 n 项， a m 是等差数列的第 m 项， m ）d q ，则 a n a m a p a q 也就是： a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ⑨若数列 a n 是等差数列， 等差数列如下图所示：S n 是其前 n 项的和， k N ，那么 S k ， S 2k S k ，S 3k S 2k 成 S 3ka 1 a2a3S k akak 1S 2ka2kS ka2k 1S 3k S 2ka3k①若项数为 2n n *， 则 S 2n n a n a n 1 ， 且S 偶 S 奇 S 奇 nd， 奇 an． ②若项数为 2n 1 nS 偶 an 1S 奇n （其中 S 奇 na n ， S 偶n 1 a n ）．S偶n 1奇等差数列的前 n 项和的性质： 10、 ，则 S 2n 1 2n 1 a n ，且 S 奇 S 偶 a n，等于（ ）A．92 B ．47 C．46D．44、已知等差数列{a n}中，a7 a9 16,a41,则a12的值是（）( )A 15B 30C 31D 645. 首项为－24 的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（8 8 8> <3 C. ≤d<3 D. < d≤33 3 36、.在数列{ a n}中，a1 3，且对任意大于1的正整数n，点（ a n , a n1）在直x y 3 则a n = _________________ .7、在等差数列{a n} 中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋⋯＋a10＝．8、等差数列a n 的前n项和为S n，若a2 1,a3 3,则S4＝（）（A）12（B）10（C）8（D）69、设数列a n 的首项a17,且满足a n 1 a n 2(n N) ，则a1 a2a1710、已知{a n} 为等差数列，a3 + a 8 = 22，a6 = 7 ，则a5 = _________11、已知数列的通项a n= -5n+2, 则其前n 项和为S n=12、设S n为等差数列a n 的前n项和，S4 ＝14，S10 S7 30，则S9＝.题型二、等差数列性质1、已知{ a n}为等差数列，a2+a8=12, 则a5 等于（）（A）4 （B）5 （C） 6 （D）72、设S n是等差数列a n 的前n项和，若S7 35，则a4 （）A．8 B ．7 C ．6 D．53、若等差数列a n 中，a3 a7 a10 8,a11 a4 4,则a7 __________ .4、记等差数列a n 的前n项和为S n，若S2 4，S4 20 ，则该数列的公差d=（）A ．7 B. 6 C. 3 D. 215、等差数列{a n} 中，已知a1 ，a2 a5 4，a n 33，则n为（）3（A）48 （B）49 （C）50 （D）516. 、等差数列{ a n}中，a1=1, a3+a5=14，其前n项和S n=100,则n=（）(A)9 (B) 10(C)11 (D)127、设S n 是等差数列a n 的前n 项和，若a55, 则S9（）a39 S5A ． 1B ．－11C ．2D ．28、已知等差数列{a n}满足α1＋α 2＋α 3＋⋯＋α 101＝0 则有（）A．α 1＋α 101>0 B ．α 2＋α 100<0 C．α3＋α 99＝0 D ．α 51＝51 9、如果a1，a2，⋯，a8为各项都大于零的等差数列，公差 d 0，则（）（A）a1a8 a4a5 （B）a8 a1 a4a5 （C）a1+a8 a4+a5 （D）a1a8=a4a5 10、若一个等差数列前3项的和为34，最后 3 项的和为146，且所有项的和为390 ，则这个数列有（）（A）13 项（B）12项（C）11项（D）10 项题型三、等差数列前n 项和1、等差数列a n 中，已知a1 a2 a3 L a10 S n ．2、等差数列2,1,4, 的前n 项和为（p，a n9 a n 8 L a n q ，则其前n 项和）0 上，A. 1n3n4 2B.1n 3n 7 2 C.1n 3n 24 D. 1n 3n 7 23、已知等差数列an 满足 a 1 a 2a 3a990 ，则）A. a 1 a 99 0B. a 1 a 99 0C. a 1 a 99 0D. a 50 50 4、在等差数列 a n 中， a 1 a 2 a 3 15,a n an 1 an 278， S n 155，则n 。

等差数列知识点总结等差数列是一种形式简单、规律明显的数列，研究等差数列有利于培养学生发现数学问题、观察数学规律、提高问题解决能力的能力。

在学习等差数列的过程中，我们需要掌握以下几个关键知识点。

一、等差数列的概念等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项之差都相等的数列。

这个差值被称为等差数列的公差。

二、等差数列各项的计算公式等差数列的计算公式是指通过已知条件计算等差数列中的某一项的表达式。

对于等差数列来说，知道首项a1、公差d和项数n，就可以根据计算公式求出第n项的值。

三、等差数列的通项公式通项公式是指能够表示等差数列中第n项的公式。

对于等差数列来说，通项公式可以根据已知条件（首项a1和公差d）推导而来。

通项公式的一般形式为an=a1+(n-1)d。

四、等差数列首项、末项和项数的关系等差数列的首项、末项和项数之间存在一定的关系。

首项a1、末项an和项数n之间的关系可以用通项公式和求和公式来表示。

五、等差数列的和等差数列的和是指将等差数列中的所有项相加的结果。

对于等差数列的和，我们可以通过求和公式来计算，也可以通过找出等差数列的首项、末项和项数之间的关系来计算。

六、等差数列的应用等差数列在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。

例如，在数学中，等差数列可以用来求解一元二次方程、计算抛物线的顶点坐标等；在物理学中，等差数列可以用来描述物体的运动轨迹等。

七、等差数列的性质等差数列具有一些特殊的性质，包括：1.等差数列中任意三项的和是一定的；2.等差数列中相等的差值对应相同的差分；3.等差数列的和等于首项和末项的平均值乘以项数。

八、等差数列的应用题等差数列的应用题是指将等差数列的概念、公式和性质应用到实际问题中解决相关的数学问题。

这类题目可以帮助学生将抽象的数学知识与实际问题相结合，提高解决实际问题的能力。

综上所述，等差数列是一种基础、重要的数学概念，它有着丰富的性质和广泛的应用。

在学习等差数列的过程中，我们需要掌握等差数列的概念、公式和性质，并能够应用这些知识解决相关的数学问题。

数列的等差数列与等比数列知识点总结数列是数学中经常出现的概念，它是按照一定规律排列的一组数的集合。

其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。

本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行总结。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差均相等的数列。

用通项公式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。

1. 等差数列的基本概念等差数列中，每一项与它的前一项的差值都相等，这个差值称为公差。

等差数列可以是正差、零差或负差的数列。

2. 等差数列的性质（1）首项和末项之和等于中间项之和的两倍：a1 + an = 2Sn，其中Sn表示前n项和。

（2）任意一项与首项之和等于任意一项与末项之和：ai + aj = a1 + an。

（3）等差数列的前n项和Sn等于首项与末项之和乘以项数的一半：Sn = (a1 + an) × n / 2。

3. 求等差数列的和求解等差数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，其中n 为项数。

4. 等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛的应用，如金融投资、房贷分期还款等均可以利用等差数列的性质进行计算。

二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比均相等的数列。

用通项公式表示为：an = a1 × r^(n-1)，其中an表示第n项，a1为首项，r为公比。

1. 等比数列的基本概念等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。

等比数列可以是正比、零比或负比的数列。

2. 等比数列的性质（1）相邻两项之商等于任意一项与首项之商等于任意一项与末项之商：ai/aj = a1/ai = ai/an。

（2）等比数列的前n项和Sn等于首项与末项之差除以公比减1：Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)。

3. 求等比数列的和求解等比数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)，其中r不等于1。

等差数列知识点总结归纳等差数列，顾名思义，是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。

它是数学中一种重要的基本数列，不仅在数学中有着广泛的应用，而且在实际问题中也有很多的应用。

本文将为您总结归纳一些等差数列的重要知识点。

一、等差数列的定义与性质1. 等差数列的定义：设数列a₁, a₂, a₃, ..., an, ...，如果它的公差d 是一个常数，即对于任意的正整数n，有an+1 - an = d，那么我们称这个数列为等差数列。

2. 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，那么等差数列的第n项an可以表示为an = a₁ + (n-1)d。

3. 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和Sn可以表示为Sn = (a₁ + an)n/2，其中an为等差数列的第n 项。

二、等差数列的常见问题1. 求等差数列的公差：根据等差数列的定义，可以通过求相邻两项的差来确定等差数列的公差。

2. 求等差数列的前n项和：使用前n项和公式，带入相应的数值进行计算即可。

3. 求等差数列的第n项：使用通项公式，将n带入公式中即可求得等差数列的第n项。

4. 求等差数列中满足特定条件的项数：将通项公式中的an与给定的值进行比较，解方程可以求得满足条件的项数。

三、等差数列的应用场景等差数列在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些用途的例子：1. 资金的等额递增或等额递减：在金融领域中，等差数列可以用来描述资金的等额递增或等额递减情况，比如按固定金额逐月还贷款。

2. 数学建模问题：在一些数学建模问题中，等差数列可以用来描述数量的变化规律，例如人口增长问题、物品价格变化问题等。

3. 科学实验中的数据分析：在科学实验中，往往需要对一系列数据进行分析，若这些数据满足等差数列的规律，就可以使用等差数列的知识进行处理和预测。

四、等差数列与数学思维培养研究等差数列的性质，可以促进我们培养一些重要的数学思维，比如：1. 归纳推理能力：通过观察等差数列的规律，总结归纳出等差数列的通项公式和前n项和公式。

完整版)数列知识点归纳数列一、等差数列性质总结1.等差数列的定义式为：$a_n-a_{n-1}=d$（其中$d$为常数，$n\geq2$）；2.等差数列通项公式为：$a_n=a_1+(n-1)d$（其中$a_1$为首项，$d$为公差）推广公式为：$a_n=a_m+(n-m)d$。

因此，$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$；3.等差数列中，如果$a$、$A$、$b$成等差数列，那么$A$叫做$a$与$b$的等差中项，即$A=\frac{a+b}{2}$；4.等差数列的前$n$项和公式为：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$。

特别地，当项数为奇数$2n-1$时，$a_n$是项数为$2n-1$的等差数列的中间项，且$S_{2n-1}=n\cdot a_n$；5.等差数列的判定方法：1）定义法：若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$（常数$n\in N^*$），则$\{a_n\}$是等差数列；2）等差中项：数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$（$n\geq2$，$n\in N^*$）；3）数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$a_n=kn+b$（其中$k$、$b$为常数）；4）数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$S_n=An^2+Bn$（其中$A$、$B$为常数）；6.等差数列的证明方法：定义法：若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$（常数$n\in N^*$），则$\{a_n\}$是等差数列；等差中项性质法：$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$（$n\geq2$，$n\in N^+$）。

7.提醒：1）等差数列的通项公式及前$n$项和公式中，涉及到5个元素：$a_1$、$d$、$n$、$a_n$及$S_n$，其中$a_1$、$d$称作为基本元素。

等差数列的性质总结1.等差数列的定义：（d 为常数）（）；d a a n n =--12≥n 2．等差数列通项公式：， 首项:，公差:d ，末项:*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈1a n a 推广： ． 从而；d m n a a m n )(-+=mn a a d mn --=3．等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或a A b A a b 2ba A +=b a A +=2（2）等差中项：数列是等差数列{}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项21n +1n a +5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若或(常数) 是等差数列． d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a （2） 等差中项：数列是等差数列． {}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a （3） 数列是等差数列（其中是常数）。

{}n a ⇔b kn a n +=b k ,（4） 数列是等差数列,（其中A 、B 是常数）。

{}n a ⇔2n S An Bn =+6．等差数列的证明方法定义法：若或(常数) 是等差数列．d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a 7.提醒：等差数列的通项公式及前n 项和公式中，涉及到5个元素：，其中n a n S n n S a n d a 及、、、1称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.d a 、18. 等差数列的性质：（1）当公差时，0d ≠等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；11(1)n a a n d dn a d =+-=+-n d 前和是关于的二次函数且常数项为0.n 211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-n （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

(完整版)等差数列知识点总结1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都相等的数列。

2. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则第 n 项的通项公式为 an = a1 + (n - 1) * d。

3. 等差数列的前 n 项和公式设等差数列的首项为 a1，末项为 an，项数为 n，公差为 d，则前 n 项的和公式为 Sn = n * (a1 + an) / 2。

4. 判断数列是否为等差数列- 检查数列中连续两项的差是否相等，即是否满足等差数列的定义。

- 可以通过计算数列的前 n 项和是否满足 Sn = n * (a1 + an) / 2 来判断。

5. 求等差数列的公差设等差数列的首项为 a1，第二项为 a2，则公差可以通过计算差值 d = a2 - a1 获得。

6. 求等差数列的项数设等差数列的首项为 a1，末项为 an，公差为 d，则项数可以通过以下公式计算：n = (an - a1 + d) / d。

7. 求等差数列的首项设等差数列的第一项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项为an，则首项可以通过以下公式计算：a1 = an - (n - 1) * d。

8. 求等差数列的末项设等差数列的首项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项可以通过以下公式计算：an = a1 + (n - 1) * d。

9. 等差数列的性质- 等差数列的任意三项成等差数列。

- 等差数列中的取任意几项可以组成一个等差数列。

- 等差数列的平均数等于首项与末项的平均数。

10. 应用场景等差数列的应用非常广泛，常见的应用场景包括：- 数学题中的数列问题，如求和、推导等。

- 统计学中的数据分析，如平均数、标准差等。

- 金融学中的投资计算，如等额本息还款、定期存款等。

- 工程学中的时间序列分析，如温度变化、电压波动等。

以上是等差数列的一些重要知识点总结，希望能对你有所帮助！。

知识点归纳总结1．等差数列2. 等比数列【例题精讲】【1】在等差数列}{n a 中，已知1684=+a a ，则该列前11项和=11S （ ）A.58B.88C.143D.176答案：B【2】已知}{n a 为等差数列，若π=++951a a a ，则)cos(82a a +的值为（ ）A.21-B.23-C.21 D.23 答案：B【3】已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且3184=S S ,则=168S S （ ） A.81B.31 C.91 D.103 答案：C【4】已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且2211=S ,则2113a a +等于（ ）A.2B.4C.8D.16答案：C【5】已知等差数列}{n a 中，8,242==a a ，若13-=n a n b ，则2013b 等于（ ）A.2011B.2012C.2013D.2014答案：D【6】已知}{n a 为等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ，以n S 表示}{n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）A.21B.20C.19D.18答案：B【7】已知}{n a 为等差数列，若167-<a a ，且它们的前n 项和n S 有最大值，则使0>n S 的n 的最大值为 答案：11【8】设n S 是公差为)0(≠d d 的无穷等差数列}{n a 的前n 项和，则下列命题错误的是（ ）A.若0<d ，则数列}{n S 有最大项B.若数列}{n S 有最大项，则0<dC.若数列}{n S 是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D.若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则有数列}{n S 是递增数列答案：C【10】公比为q 的等比数列}{n a 的各项为正数，且7log ,1610122==a a a q ，则公比=q 答案：2【11】设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若20103,201032011201220122013+=+=S a S a ，则公比=q （ ）A.4B.41或C.2D.21或答案：A【12】在等比数列}{n a 中，已知24,21,64a a 成等比数列且6453=⋅a a ，则}{n a 的前8项和为 . 答案：85255或【13】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96SS =（ ）A.2B.37 C.38D.3答案：B【14】已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前项和，且369S S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（ ）A.1631 B.51631或 C.5815或 D.815 答案：A【15】公比不为1的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且321,,3a a a --成等差数列，若11=a ，则=4S （ ） A.20- B.0C.7D.40答案：A【16】各项都是正数的等比数列}{n a ，若132,21,a a a 成等差数列，则5443a a a a ++的值是（ ） A.215+ B.215-C.251- D.215+或215- 答案：B【17】已知正项等比数列}{n a 满足12011201220134,2a a a a a a n m =⋅+=且，则)11(6nm +的最小值为 . 答案：4递推数列：数列}{n a 的任一项n a 与它前一项1-n a （或它的前几项）间关系用一个公式表示.专题：数列通项公式及求和一. 常规数列的通项与求和方法：定义法（利用等差数列、等比数列的通项与求和公式来求）1. 等差数列：<1>通项公式：*1(1)(),,n m a a n d a n m d n m N =+-=+-∈<2>求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 2. 等比数列：<1>通项公式：11,0n n mn m a a q a q q --=⋅=⋅≠<2>求和公式：11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩3. 一些常见的数列求和公式222221(1)(21)1236nk n n n k n =++=++++=∑2333331(1)1232nk n n kn =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑【例1】已知等差数列{}n a 满足466,10a a ==. （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设等比数列{}n b 各项均为正数，其前n 项和n T ，若3232,7,n a b T T =+=求.【例2】已知{}n a 是等比数列，12,a =且134,1,a a a +成等差数列. （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 若2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .二． 非常规数列的通项公式常用通项公式的求法有四种：求法1：累加法适用于1()n n a a f n +=+型.特点：递推公式关于相邻两项的关系且系数、幂数都相同.【例3】已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式.【例4】已知数列{}n a 满足*11221,2,,2n n n a a a a a n N +++===∈ （1） 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列； （2） 求{}n a 通项公式.求法2：累乘法适用于1()n n a a f n +=⋅型特点：递推公式是关于相邻两项商的关系，且商()f n 是可求数列.【例6】已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a .求法3：公式法现象：题目中出现n a 与n S 的关系式. 解决：利用1n n n a S S -=-求解.【例7】已知数列{}n a 满足：*1()n n S a n N =-∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.求n a .【同类演练】例15第一问求法4：构造法类型1：构造等比数列凡是出现关于后项和前项的一次递推形式的现象都可以构造等比. 现象1：1,(,)n n a pa q p q +=+为常数【例8】已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式.【同类演练】例18第一问现象2：1(,nn n a pa q p q +=+为常数)【例9】已知数列{}n a 中，111511,()632n n n a a a ++==+，求n a .【同类演练】例17第一问现象3：1(),n n a pa f n p +=+为常数【例10】已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式.现象4：21,(,)n n n a pa qa p q ++=+为常数【例11】已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈求n a .类型2：构造等差数列题目中出现后项与前项分式递推形式可以构造等差. 解决办法：取倒数【例12】已知在数列{}n a 中*111,()21nn n a a a n N a +==∈+.（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 若13521211,(1)(1)(1)(1)n n n nP b b b b b a -=+=++++，求证：n P >三． 非常规数列的求和常用的求和方法一般有四种： 方法1：裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的拆项公式有：（1）111)1(1+-=+n n n n ；（2）1111()()n n k k n n k =-++（3）)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n（4（5）!)!1(!n n n n -+=⋅ （6）11log log log n n n na a a a ++=- 、【例13】（2011新课标）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和【例14】等差数列{}n a 中211a =，32624a a a =+-，其前n 项和为n S .（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设数列{}n b 满足111n n b S +=-，其前n 项和为n T ，求证：*3()4n T n N <∈.【例15】已知数列{}n a 的前n 项和*1,1,(1)()n n n S a S na n n n N ==--∈. （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前前n 项和为n T .方法2：错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列构成对应项之积构成的数列求和.即{}{}1122,,.n n n n n a b a b a b a b S +++等差等比求的和 解题步骤：（1）1122n n n S a b a b a b =+++，将式子两边同时乘以{}n b 的公比q ，得到n qS .（2）用n n qS S -（3）利用等比数列求和公式求解.【例16】（2011辽宁理）已知等差数列{}n a 满足2680,10a a a =+=-.（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 求数列1{}2nn a -的前n 项和.【例17】已知数列{}n a 满足*1112,2()2n n n a a a n N +==-∈（1） 求证：数列{}2nn a 是等差数列；（2） 求数列{}n a 的前n 项和n S .【例18】已知数列{}n a 的前n 项和2*4()n S n n n N =+∈，数列{}n b 满足111,21n n b b b +==+.（1） 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2） 设(3)(1)4n n n a b c -+=，求数列{}n c 的前n 项和n T ..方法3：分组求和法适用于可以将数列适当拆开，分为几个等差，等比或常见的数列，先分别求和，然后在合并，形如：{},{}{}n n n n a b a b +其中为等差数列，为等比数列【例19】已知数列等差数列{}n a 满足：5269,14a a a =+=.（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ..方法4：倒序相加法如果一个数列{}n a ，与首末位置等“距离”的两项和相等，那么这个数列可以采用倒序来求和.一般使用于组合数列与等差数列求和.【例20】已知a xy =lg ，n n n n n y y x y x x S lg lg lg lg 221++++=-- （0>x 、0>y ）求n S已知递增等比数列}{n a ，公比为q ，满足28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项.（1） 求数列}{n a 的通项公式；（2） 若n n n n n b b b b S a a b ++++== 32121,log ，求使5021>⋅++n n n S 成立的正整数n 的最小值.已知数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且13a =，11b =，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =（1）求n a ，n b ；（2）求证：1211134+++<n S S S在数列}{n a 中，n n n n a n a a 21)11(,111+++==+ （1）设na b n n =，求数列}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n a 的前n 项和nS已知数列}{n a 的前n 项和 ,3,2,1,4232=+⋅-=n a S n n n ．(1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 设n T 为数列}4{-n S 的前n 项和，求⋅n T。