((完整版))等差等比数列知识点梳理及经典例题,推荐文档

等比数列知识点总结与典型例题1、 等比数列的定义：-n_2,且n N * , q 称为公比a n J2、 通项公式：a ^a 1qn ±-aiq ^A B n 印 q = 0, A B = 0，首项：a i ;公比：qqn _mn _m anan推厂：a n =a m q uq = —— a m V a m3、 等比中项：(1 )如果a, A,b 成等比数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2 = ab 或A = . ab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个( (2)数列也匚是等比数列二a n 2二a n 」a n 1 4、 等比数列的前n 项和S n 公式：(1)当 q =1 时，S n =na 1勺= A-A B n = A'B n -A' ( A, B,A',B'为常数)1-q 1-q5、等比数列的判定方法: n ，都有a . 1—qa n 或 也，=q(q 为常数,a n等比数列(2)等比中项： a n 2=a n Qn/a n 局厂0) = ©｝为等比数列 (3)通项公式： a n = A B n A B = 0二｛a n ｝为等比数列 6、等比数列的证明方法:a*依据定义：若一丄二qq=O n_2,且n N 或a n d ^qa ^ ｛a n ｝为等比数列 an _1 7、等比数列的性质：(2)当 q =1 时, a1—q n s n匚1 -qq ~a n q1-q(1)用定义：对任意的a n =0)二｛a n ｝为(2)对任何m, n・N*，在等比数列®｝中，有a^a m q^^。

(3)若m • n 二s t(m,n, s,t • N*)，则a n a m= a s a t。

特别的，当m • n = 2k 时,2得a n a m = a k注：玄！色=a?色」=838* _2…等差和等比数列比较：经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1 .等比数列｛a n｝中，ai日9 = 64, a3 a^ 20，求.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于印和q的二元方程组，解出印和q，可得an ;或注意到下标1^3 7，可以利用性质可求出a3、a y，再求an.解析：■ 8法一：设此数列公比为q，则a13印嘗=64⑴卫3十87=64 +a1q =20 (2)由⑵得：ae1 2 3(1 q4)=20 ........ ⑶由(1) 得: (ae4)2 =64,.・£24=8 (4)1• ••2q4-5q2",解得q-2或q^-当q =2 时，a^i = 2，印1 = a1 q =64 ；当q2冷时，…，印宀q10"-a〔a?二a3 87 二64, ^又a3 a^ = 20 ,2 _________________________a7为方程x -20x • 64 =0的两实数根,2 a2-a3 a11 =a7，…a^1 或 an = 64 . a 3总结升华: ①列方程(组)求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量;20 5 ⑶亠⑷得 q 28 2'法二:--a3、 a 7:或」 a 7=16②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的, 多变形要用除法（除式不为零）• 举一反三：【变式1】｛a n ｝为等比数列，a i =3，a 9=768，求a 6。

等差数列及其前n 项和 等比数列及其前n 项和等差数列及其前n 项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差为12d .5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 概念方法微思考1．“a ，A ，b 是等差数列”是“A ＝a ＋b2”的什么条件？提示 充要条件．2．等差数列的前n 项和S n 是项数n 的二次函数吗？提示 不一定．当公差d ＝0时，S n ＝na 1，不是关于n 的二次函数．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) 题组二 教材改编2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．343．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.题组三 易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤3255．(多选)设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值6．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝____时，{a n }的前n 项和最大．7．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面．等差数列基本量的运算1．(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．122．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n3．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．4．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________.等差数列的判定与证明例1 (2020·日照模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.求证：数列{b n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．跟踪训练1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n ＋1的等差中项．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并求{}a n 的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2a n 的前n 项和S n .等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例2 (2019·江西师范大学附属中学模拟)已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，2＋a 5＝a 6＋a 3，则S 7等于( ) A ．2 B ．7 C ．14 D ．28命题点2 等差数列前n 项和的性质例3 (1)(2020·漳州质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( )A ．35B ．42C ．49D ．63(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6，则S 2 020＝________.跟踪训练2 (1)已知等差数列{a n }、等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝n ＋2n ＋1，则a 6b 8的值是( )A.1316B.1314C.1116D.1115(2)(2019·莆田质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14<0，则S n 取最大值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．131．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝3a 3，则a 3等于( ) A ．－2 B ．0 C ．3 D ．62．(2019·晋城模拟)记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－33．在等差数列{a n }中，已知a 1 011＝1，则该数列前2 021项的和S 2 021等于( ) A ．2 020 B ．2 021 C ．4 040 D ．4 0424．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，给出下列结论：①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 20＝0. 其中一定正确的结论是( )A ．①②B ．①③④C ．①③D ．①②④5．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A ．65B ．176C ．183D ．1846．(2019·宁夏银川一中月考)在等差数列{a n }中，若a 10a 9<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．147．(多选)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( ) A ．a 10＝0 B ．S 10最小 C ．S 7＝S 12 D ．S 20＝08．(多选)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则( ) A ．a n ＝－12n－1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n －1－1n，n ≥2，n ∈N *C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5 0509．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________.10．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________.11．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．12．已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.13．(2020·大连模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝2n a且b 1＋b 3＝17，b 2＋b 4＝68，则S 10等于( )A ．90B ．100C ．110D ．12014．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 20＝________.15．(2020·黑龙江省哈尔滨市第三中学模拟)已知x 2＋y 2＝4，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为( ) A ．210 B.1210 C.10 D.321016．记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a nn ，若{}d n 是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”；若{}d n 是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n－1等比均值”为3.记c n ＝2a n＋k log 3b n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，求实数k 的取值范围．等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k. (3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .4．在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外)． 概念方法微思考1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示 仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数．2．任意两个实数都有等比中项吗？提示 不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项． 3．“b 2＝ac ”是“a ，b ，c ”成等比数列的什么条件？提示 必要不充分条件．因为b 2＝ac 时不一定有a ，b ，c 成等比数列，比如a ＝0，b ＝0，c ＝1.但a ，b ，c 成等比数列一定有b 2＝ac .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) (3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) 题组二 教材改编2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11题组三 易错自纠4．(多选)已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n B ．log 2a 2nC ．{a n ＋a n ＋1}D ．{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}5．若1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________．6．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.7．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB ＝210 MB)等比数列基本量的运算1．(2020·晋城模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则公比q 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．22．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．23．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.4．(2018·全国Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .等比数列的判定与证明例1 (2019·四川省名校联盟模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝－a n ＋n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列；(2)求数列{a n －1}的前n 项和T n .跟踪训练1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．等比数列性质的应用例2 (1)(2019·黑龙江省大庆第一中学模拟)在各项不为零的等差数列{a n }中，2a 2 019－a 22 020＋2a 2 021＝0，数列{b n }是等比数列，且b 2 020＝a 2 020，则log 2(b 2 019·b 2 021)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8(2)(2020·长春质检)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________.跟踪训练2 (1)(2019·安徽省江淮十校月考)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，该数列前9项的乘积为1，则a 1等于( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N *)．对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式．构造法1 形如a n ＋1＝ca n ＋d (c ≠0，其中a 1＝a )型 (1)若c ＝1，数列{a n }为等差数列； (2)若d ＝0，数列{a n }为等比数列；(3)若c ≠1且d ≠0，数列{a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．例1 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________.构造法2 形如 a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)型a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是两端同时除以p n ＋1，即得a n ＋1pn ＋1－a n p n ＝q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n p n 为等差数列． 例2 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，则a n 等于( ) A ．n ·2n －1 B ．(n ＋1)·2n C ．n ·2n ＋1 D ．(n －1)·2n(2)(2019·武汉市二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项a n 等于( ) A ．－3×2n －1 B ．3×2n －1 C ．5n ＋3×2n －1 D ．5n －3×2n －1构造法3 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，其中a 1＝a ，a 2＝b 型) 可化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两根． 例3 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝23a n ＋1＋13a n ，求数列{a n }的通项公式．构造法4 倒数为特殊数列(形如a n ＝pa n －1ra n －1＋s 型)例4 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．1．(2020·韶关模拟)若等比数列{a n }的各项均为正数，a 2＝3,4a 23＝a 1a 7，则a 5等于( ) A.34 B.38 C ．12 D ．242．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－193．(2019·天津市河西区月考)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )A ．93B ．189 C.18916 D ．3785．(2020·永州模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列6．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2 B ．－162 C ．2 D ．1627．(多选)在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为( ) A ．8 B ．12 C ．－8 D ．－128．(多选)在等比数列{a n }中，公比为q ，其前n 项积为T n ，并且满足a 1＞1，a 99·a 100－1＞0，a 99－1a 100－1＜0，下列选项中，结论正确的是( ) A ．0＜q ＜1 B ．a 99·a 101－1＜0C ．T 100的值是T n 中最大的D ．使T n ＞1成立的最大自然数n 等于1989．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 020，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 021＝________.10.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．11．(2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．12．(2019·淄博模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝34，S n ＝S n －1＋a n －1＋12(n ∈N *且n ≥2)，数列{b n }满足：b 1＝－374，且3b n －b n －1＝n ＋1(n ∈N *且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n －a n }为等比数列．13．各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1 成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．14．已知在等比数列{a n }中，a n >0，a 22＋a 24＝900－2a 1a 5，a 5＝9a 3，则a 2 020的个位数字是____．15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2，….设第n 次“扩展”后得到的数列为1，x 1，x 2，…，x t ，2，并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，其中t ＝2n －1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为3，公差为2的等差数列，若b n ＝2n a ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使得S n ＋T n ≥268成立的n 的最小值．。

1.等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；.2.等差中项：（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a3.等差数列的通项公式：一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为：()d n a a n 11-+=推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4） 数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（1）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.(2) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列（3）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和 1.当项数为偶数n 2时，()121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇 ()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇 11n n n n S na a S na a ++==奇偶2、当项数为奇数12+n 时，则21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）． 1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A = 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（1）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。

数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列； 依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。

数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）； 数列通项：()n a f n =2、等差数列1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。

2、通项公式 1(1)n a a n d =+-1）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。

2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。

又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,相减得 ()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ； 若n<m ，则 m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看 若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ，12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=.3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++L L ， 相加得 12n n a a S n +=， 还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。

数列的等差数列与等比数列知识点总结数列是数学中经常出现的概念，它是按照一定规律排列的一组数的集合。

其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。

本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行总结。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差均相等的数列。

用通项公式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。

1. 等差数列的基本概念等差数列中，每一项与它的前一项的差值都相等，这个差值称为公差。

等差数列可以是正差、零差或负差的数列。

2. 等差数列的性质（1）首项和末项之和等于中间项之和的两倍：a1 + an = 2Sn，其中Sn表示前n项和。

（2）任意一项与首项之和等于任意一项与末项之和：ai + aj = a1 + an。

（3）等差数列的前n项和Sn等于首项与末项之和乘以项数的一半：Sn = (a1 + an) × n / 2。

3. 求等差数列的和求解等差数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，其中n 为项数。

4. 等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛的应用，如金融投资、房贷分期还款等均可以利用等差数列的性质进行计算。

二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比均相等的数列。

用通项公式表示为：an = a1 × r^(n-1)，其中an表示第n项，a1为首项，r为公比。

1. 等比数列的基本概念等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。

等比数列可以是正比、零比或负比的数列。

2. 等比数列的性质（1）相邻两项之商等于任意一项与首项之商等于任意一项与末项之商：ai/aj = a1/ai = ai/an。

（2）等比数列的前n项和Sn等于首项与末项之差除以公比减1：Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)。

3. 求等比数列的和求解等比数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)，其中r不等于1。

一、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳： 1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列； 2°.通项公式：;11k n k n n q a q a a --==3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n =2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A +=2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅二、等差等比数列练习题一、 选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）（A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列{}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ）（A ）13+=n a n（B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则ycx a +的值为（ ） （A ）21 （B ）2- （C ）2 （D ） 不确定4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项，y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ）（A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列 （C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为（ ）（A ）22-=n a n（B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=26、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则 （ ）（A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ）z y x 1,1,1成等差数列 （D ）zy x 1,1,1成等比数列 7、数列{}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（ ）①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1⋯,1617,815,413,21,前n 项和为（ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212112+--+n n n9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A n n ，则135135b b a a ++的值为 （ ）（A ）97（B ）78 （C ）2019 （D ）8710、已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为（ ）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）6011、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为（ ）（A ）2)133(+n n （B ）53+n（C ）23103-+n n （D ）231031-++n n12、下列命题中是真命题的是 ( )A ．数列{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n +=(0≠p )B ．已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n ++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件1-=n n ab aD ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n n +=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a二、填空题13、各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q =14、已知等差数列{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则18621751a a a a a a ++++=15、已知数列{}n a 满足n n a S 411+=,则n a =16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 三、 解答题 17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，数列{}nb a 是公比为q 的等比数列，46,10,1321===b b b ，求公比q 及n b 。

数列的等差数列与等比数列知识点总结在数学的广袤领域中，数列是一个重要的概念，而等差数列和等比数列则是其中最为基础且关键的两种类型。

理解和掌握它们的知识点，对于解决各种数学问题以及培养逻辑思维能力都具有至关重要的意义。

一、等差数列（一）定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，常用字母\（d\）表示。

例如：数列\（2, 4, 6, 8, 10\cdots\）就是一个公差为\（2\）的等差数列。

（二）通项公式等差数列的通项公式为：＼（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），其中\（a_n\）表示第\（n\）项的值，＼（a_1\）表示首项，＼（n\）表示项数，＼（d\）表示公差。

比如，在等差数列\（3, 5, 7, 9, 11\cdots\）中，首项\（a_1 ＝ 3\），公差\（d ＝ 2\），那么第\（5\）项\（a_5 ＝ 3 ＋（5 1)×2 ＝ 11\）。

（三）等差中项若\（a\），＼（b\），＼（c\）成等差数列，则\（b\）为\（a\），＼（c\）的等差中项，且\（b ＝＼frac{a ＋ c}｛2}＼）。

例如：＼（4\）是\（2\）和\（6\）的等差中项，因为\（＼frac{2 ＋6}｛2} ＝ 4\）。

（四）前\（n\）项和公式等差数列的前\（n\）项和公式有两个：＼（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼）＼（S_n ＝ na_1 ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼）假如有一个等差数列\（1, 3, 5, 7, 9\cdots\），要求前\（5\）项的和。

首项\（a_1 ＝ 1\），第\（5\）项\（a_5 ＝ 9\），项数\（n ＝ 5\），那么\（S_5 ＝＼frac{5×（1 ＋ 9)｝｛2} ＝ 25\）或者，利用另一个公式，公差\（d ＝ 2\），＼（S_5 ＝ 5×1 ＋＼frac{5×（5 1)×2}｛2} ＝ 25\）（五）性质1、若\（m ＋ n ＝ p ＋ q\），则\（a_m ＋ a_n ＝ a_p ＋ a_q\）。

实用标准等比数列知识点总结与典型例题A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2 ab 或A . ab注意：同号的两个数才有等比中项, 并且它们的等比中项有两个(5、等比数列的判定方法: aqa n 或q(q 为常数，a “ 0)佝｝为等比数列a n6、等比数列的证明方法:7、等比数列的性质:等比数列的定义: a na n 12,且n N ，q 称为公比通项公式: a n n 1 a 〔 n ag —q q 0,A0，首项：a 1 ;公比：q推广: n m a n a m q n mOn q—amqna nam3、等比中项:(2)数列a n 是等比数列 a n 2 a n 1 a n 14、等比数列的前 n 项和S n 公式:(1 )当q 1时,S n na !a i a n qA'B n A'(A, B, A',B'为常数)(2)等比中项：a n 2 a n 1 a n 1 ( a n 1 a n 10) ｛a n ｝为等比数列(3)通项公式:a n A B n A B 0｛a n ｝为等比数列(1)如果a,代b 成等比数列，那么(1)用定义：对任意的n ，都有a n 1依据定义：若_a ^ qa n 1q 0 n 2,且 nN 或a n 1 qa n ｛a “｝为等比数列(2)对任何m, n N，在等比数列｛a n ｝中，有a n a m q设此数列公比为q ，则8a i a ? a i a i q 64 2 6 “(i)⑵(3)若m n s t(m, n, s,t N )，则a n a m a s a t 。

特别的，当 m n 2k 时，得a n a m等差和等比数列比较:经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1 .等比数列｛a n ｝中，a i a 9 64, a 3 a ? 20 ,求 an .思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a i 和q 的二元方程组，解出a i 和 3 7，可以利用性质可求出a 3、a ?，再求a ii . 解析:注：a i a na 2a n 1a 3a n 2q ，可得a ii ;或注意到下标1 9由(2)得：a i q 2(1 q 4)20 (3)/.a-i 0.由(1)得：(a -q 4)264 , /.a-q 4 8 (4)1 /•2q 4 5q2 2 0 解得 q 2 2 或 q 2 - 2当 q 2 2 时，a 1 2, an @ q 10 64;1当 q 时，a 1 32, a n 4 q 1.2法—:a 1 a ? a 3 a 7 64 ,又 a 3 a 7 20 ,/•a ?、a 7为方程x 220x 640的两实数根,a 3 16 「 a 34 或a 7 4 a 7162. a ? ［、.• £11 — 1 或 an 64 .a 3总结升华:① 列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量;② 解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用 除法（除式不为零）• 举一反三：【变式1】｛a n ｝为等比数列，a 1=3，a g =768，求a 6。

等比等差知识点总结一、等比数列1. 定义等比数列是指一个数列中，每一项与它的前一项的比都相等的数列。

例如，数列1，2，4，8，16，......就是一个等比数列，因为后一项与前一项的比都是2。

2. 通项公式设等比数列的首项为a，公比为r，则等比数列的第n项可以表示为an = ar^(n-1)。

3. 性质（1）等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中a为首项，r为公比。

（2）等比中项对于等比数列a，ar，ar^2，ar^3，...，设其中项为ax，则x = aq+k*r^(n-1)，其中n为项数，q为前q项和，k为末项与中项的比值。

（3）等比均值不等式对于任意的正整数n，等比数列a1，a2，...，an的乘积大于或等于n个等比数列的n次方的乘积。

（4）和与积的关系等比数列的前n项和等于首项与尾项的乘积除以公比与1的差值。

4. 应用（1）经济学中的应用在经济学中，等比数列常常用来描述成长率、利息等的变化规律。

（2）几何学中的应用在几何学中，等比数列常常用来描述固定比例缩小或放大的图形。

（3）物理学中的应用在物理学中，等比数列也常用来描述指数增长、衰减等现象。

二、等差数列1. 定义等差数列是指一个数列中，每一项与它的前一项的差都相等的数列。

例如，数列1，3，5，7，9，......就是一个等差数列，因为后一项与前一项的差都是2。

2. 通项公式设等差数列的首项为a，公差为d，则等差数列的第n项可以表示为an = a + (n-1)d。

3. 性质（1）等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式为：Sn = (a + an) * n / 2，其中a为首项，an为末项。

（2）等差数列的性质等差数列的奇数项和偶数项分别是另外两个等差数列。

（3）和与积的关系等差数列的前n项和等于首项与尾项的乘积除以公差与1的和值。

4. 应用（1）物理学中的应用在物理学中，等差数列常常用来描述匀加速运动的位移、速度等变化规律。

等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1.数列(1)定义：按照一定顺序排列的一列数就叫做数列. (2)数列与函数的关系.从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在()y f x =中,当自变量x N *∈时,所对应的函数值(1),(2),(3),f f f 就构成一数列,通常记为{}n a ,所以数列有些问题可用函数方法来解决.2.等差数列 (1)定义：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母d 表示,即1()n n a a d n N *+-=∈.(2)等差数列的通项公式.若等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则其通项公式为11(1)()n a a n d nd a d =+-=+-,是关于n 的一次型函数.或()n m a a n m d =+-,公差n m a a d n m-=-(直线的斜率)(,,m n m n N *≠∈).(3)等差中项.若,,x A y 成等差数列,那么A 叫做x 与y 的等差中项,即2x yA +=或2A x y =+,.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.(4)等差数列的前n 项和2111()2(1)2222n n a a n a dn n d d S na n n +--==+=+(类似于2n S An Bn =+),是关于n 的二次型函数(二次项系数为2d且常数项为0).n S 的图像在过原点的直线(0)d =上或在过原点的抛物线(0)d ≠上.3.等比数列(1)定义.：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母q 表示,即1(q 0,)n na q n N a *+=≠∈. (2)等比数列的通项公式. 等比数列的通项1111()(,0)n n n a a a qc q c a q q-==⋅=≠,是不含常数项的指数型函数. (3)m n mna q a -=. (4)等比中项如果,,x G y 成等比数列,那么G 叫做x 与y 的等比中项,即2G xy =或G =两个同号实数的等比中项有两个).(5)等比数列的前n 项和111(1)(1)(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩注①等比数列的前n 项和公式有两种形式,在求等比数列的前n 项和时,首先要判断公比q 是否为1,再由q 的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比q 是否为1时,要分1q =与1q ≠两种情况讨论求解.②已知1,(1),a q q n ≠(项数),则利用1(1)1n n a q S q -=-求解;已知1,,(1)n a a q q ≠,则利用11n n a a qS q-=-求解.③111(1)(0,1)111n n n n a q a aS q kq k k q q q q--==⋅+=-≠≠---,n S 为关于n q 的指数型函数,且系数与常数互为相反数.例如等比数列{}n a ,前n 项和为212n n S t +=+,则t =.解:等比数列前n 项和21224n n n S t t +=+=⋅+,则2t =-.二、基本性质1.等差数列的性质 (1)等差中项的推广.当(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈时,则有m n p q a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=.(2)等差数列线性组合.①设{}n a 是等差数列,则{}(,)n a b b R λλ+∈也是等差数列.②设{},{b }n n a 是等差数列,则1212{}(,)n n a b R λλλλ+∈也是等差数列. (3)有限数列.①对于项数为2n 的等差数列,有: (Ⅰ)21()n n n S n a a +=+.(Ⅱ)11,,,n n n nS a S na S na S S nd S a ++==-==偶奇奇偶偶奇. ②对于项数为21n -的等差数列,有; (Ⅰ)21(21)n n S n a -=-.(Ⅱ),(1),,1n n n S nS na S n a S S a S n ==--==-奇奇奇偶偶偶.(4)等差数列的单调性及前n 项和n S 的最值. 公差0{}n d a >⇔为递增等差数列,n S 有最小值; 公差0{}n d a <⇔为递减等差数列,n S 有最大值; 公差0{}n d a =⇔为常数列. 特别地 若10a d >⎧⎨<⎩,则n S 有最大值(所有正项或非负项之和);若100a d <⎧⎨>⎩,则n S 有最小值(所有负项或非正项之和).(5)其他衍生等差数列.若已知等差数列{}n a ,公差为d ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等差数列,公差为td . ②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等差数列,公差为2m d .③算术平均值312,,,123S S S 为等差数列,公差为2d . 2.等差数列的几个重要结论(1)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m a m a n m n m n N *==≠∈,则0m n a +=. (2)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m S m S n m n m n N *==≠∈,则()m n S m n +=-+. (3)等差数列{}n a 中,若(,,)n m S S m n m n N *=≠∈,则0m n S +=.(4)若{}n a 与{b }n 为等差数列,且前n 项和为n S 与n T ,则2121m m m m a S b T --=. 3.等比数列的性质 (1)等比中项的推广.若m n p q +=+时,则m n p q a a a a =,特别地,当2m n p +=时,2m n p a a a =.(2)①设{}n a 为等比数列,则{}n a λ(λ为非零常数),{}n a ,{}mn a 仍为等比数列.②设{}n a 与{b }n 为等比数列,则{b }n n a 也为等比数列.(3)等比数列{}n a 的单调性(等比数列的单调性由首项1a 与公比q 决定).当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时,{}n a 为递增数列;当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时,{}n a 为递减数列.(4)其他衍生等比数列.若已知等比数列{}n a ,公比为q ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等比数列,公比为tq .②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等比数列,公比为mq (当1q =-时,m 不为偶数).4.等差数列与等比数列的转化(1)若{}n a 为正项等比数列,则{log }(c 0,c 1)c n a >≠为等差数列. (2)若{}n a 为等差数列,则{c }(c 0,c 1)n a>≠为等比数列. (3)若{}n a 既是等差数列又是等比数列{)n a ⇔是非零常数列. 题型归纳及思路提示题型1 等差、等比数列的通项及基本量的求解 思路提示利用等差(比)数列的通项公式或前n 项和公式,列出关于1,()a d q 基本量的方程或不等式从而求出所求的量.一、求等差数列的公差及公差的取值范围例6.1 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若244,20S S ==,则该数列的公差d =( ). A.7 B.6 C.3 D.2解析 212124S a a a d =+=+= ①414620S a d =+= ②由式①②可解得3d =,故选C.评注 求解基本量用的是方程思想.变式1 (2012福建理2)等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==则数列{}n a 的公差为( ). A.1 B.2 C.3 D.4变式2 已知等差数列首项为31,从第16项起小于1,则此数列公差d 的取值范围是( ). A.(,2)-∞- B.15,27⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C.(2,)-+∞ D.15,27⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、求等比数列的公比例6.2 在等比数列{}n a 中,201320108a a =,则公比q 的值为( ). A.2 B.3 C.4 D.8 解析 因为201320108a a =,所以3201320108,a q a ==则2q =,故选A. 变式1 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1234,2,a a a 成等差数列,若11a =,则4S =( ). A.7 B.8 C.15 D.16变式2 (2012浙江理13)设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若224432,32S a S a =+=+,则q =.变式3 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若123,2,3S S S 成等差数列,则{}n a 的公比为.三、求数列的通项n a例6.3 (1)(2012广东理11)已知递增等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-,则n a =.(2)(2012辽宁理14)已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列{}n a 的通项公式n a =.解析 (1)利用等差数列的通项公式求解.设等差数列公差为d ,则由2324a a =-得,212(1)4d d +=+-,所以24d =,得2d =±,又该数列为递增的等差数列,所以2d =.故1(1)21()n a a n d n n N *=+-=-∈.(2)由数列{}n a 为等比数列,设公比为q ,由212()5n n n a a a +++=,得22()5n n n a a q a q +=,即22(1)5q q +=,解得12q =或2.又25100a a =>,且数列{}n a 为递增数列,则2q =. 因此5532q a ==,所以2()n n a n N *=∈.变式1 n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,264,1S S a ==,则n a =.变式2 已知两个等比数列{},{b }n n a ,满足11122331,1,2,4a b a b a b a =-=-=-=,求数列{}n a 的通项公式.例6.4 在等差数列{}n a 中,138a a +=,且4a 为2a 和9a 的等比中项,求数列{}n a 的前n 项和为n S .解析 设该数列的公差为d ,前n 项和为n S .由已知,得211228,(3)a d a d +=+=11()(8)a d a d ++,所以114,(3)0a d d d a +=-=,解得14,0a d ==或11,3a d ==,即数列{}n a 的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以数列的前n 项和为4n S n =或232n n nS -=.变式1 已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-,则其通项n a =;若它的第k 项满足58k a <<,则k =.变式2 已知数列{}n a 的前n 项和1(nn S a a =-为非零实数),那么{}n a ( ).A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列题型2 等差、等比数列的求和 思路提示求解等差或等比数列的前n 项和n S ,要准确地记住求和公式,并合理选取公式,尤其是要注意其项数n 的值;对于奇偶项通项不统一和含绝对值的数列的求和问题要注意分类讨论.主要是从n 为奇数、偶数,项n a 的正、负进行分类.一、公式法(准确记忆公式,合理选取公式)例6.5 在等比数列{}()n a n N *∈中,若1411,8a a ==,则该数列的前10项和为( ). 8910111111.2.2 C.2 D.22222A B ----解析 由334111,82a a q q q ====得,所以1010911()1221212S -==--,故选B. 变式1 {}n a 是由正数组成的等比数列,n S 为前n 项和,已知2431,7a a S ==,则n S =.变式2 设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈,则()()f n =.1342222.(81).(81).(81).(81)7777n n n n A B C D +++----二、关于等比数列求和公式中q 的讨论例6.6 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若396,,S S S 成等差数列,求数列的公比q .解析 若1q =,则3161913,6,9S a S a S a ===,因为10a ≠,所以3692S S S +≠,与396,,S S S 成等差数列矛盾,故1q ≠.由题意可得3692S S S +=,即有369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---,整理得363(21)0q q q --=,又0q ≠,故63210q q --=,即33(21)(1)0q q +-=.因为31q ≠,所以312q =-,所以q ==变式1 设数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为n S ,且333S a =,则其公比q =.变式2 求和2311357(21)(2,,)n n S x x x n x n n N x R -*=+++++-≥∈∈.三、关于奇偶项求和问题的讨论例6.7 已知数列{}n a 的通项公式为12(1)n n a n -=-,求其前n 项和为n S . 解析 (1)当n 为偶数时,222221234(1)n S n n =-+-++--22222(12)(34)[(1)]n n =-+-++--[37(21)]n =-+++-(321)(1)222nn n n +-+=-=-. (2)当n 为奇数时,则1n +为偶数,所以211(1)(2)(1)(1)22n n n n n n n S S a n +++++=-=-++=. 综上,(1)()2(1)()2n n n n S n n n +⎧-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为正偶数为正奇数.评注：本题中，将n 为奇数的情形转化为n 为偶数的情形，可以避免不必要的计算，此技巧值得同学们借鉴和应用。

等差数列一．等差数列知识点： 知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 知识点2、等差数列的判定方法:②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列 ③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数知识点4、等差数列的前n 项和:⑤2)(1n n a a n S +=⑥d n n na S n 2)1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 知识点5、等差中项:⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2b a A +=或b a A +=2在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k kS S 23-成等差数列如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1n n S aS a +=奇偶．②若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 22．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为 （ ）A ．49B ．50C ．51D ．52 3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）A ．92B ．47C ．46D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )( ) A 15 B 30 C 31 D 64 5. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）A.d ＞38B.d ＜3C. 38≤d ＜3D.38＜d ≤36、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直03=--y x 上，则n a =_____________.7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ． 8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ）（A ）12（B ）10 （C ）8 （D ）69、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则=+++1721a a a ______.10、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________ 11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=-，则9S ＝ .题型二、等差数列性质1、已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）A ．8B ．7C ．6D ．53、 若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则7__________.a =4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ） A ．7 B. 6 C. 3 D. 25、等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.、等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）(A)9 (B)10 (C)11 (D)127、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 8、已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝51 9、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项题型三、等差数列前n 项和 1、等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=，98n n n a a a q --+++=，则其前n项和n S = ．2、等差数列 ,4,1,2-的前n 项和为 （ ）A. ()4321-n nB. ()7321-n nC. ()4321+n nD. ()7321+n n3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则 （ ）A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a4、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ，155=n S ， 则=n 。

一、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳： 1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11kn k n n qa q a a --==3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n =2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A +=2°.设a ,G ,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=nk n n k nn k kkk aa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=nk nn k nn k kkk aa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2n q 的等比数列.⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2nd S S =-奇偶 （二）学习要点：1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或qa，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aq aq q aqa aq aq aq a ±±或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. [例1]解答下述问题：（Ⅰ）已知c b a 1,1,1成等差数列，求证：（1）c ba b a c a c b +++,,成等差数列； （2）2,2,2bc b b a ---成等比数列.[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,,.)(2)()(2)()1(),(222112222222成等比数列成等差数列bc b b a bb c a b ac b c b a c b a b a c a c b bc a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac bac c a b c a ---∴-=++-=--+++∴+=++=+++=+++=++++=⇒=+⇒=+（Ⅱ）设数列),1(2,1,}{2-==n n n n a n S a S n a 且满足项和为的前 （1）求证：}{n a 是等差数列； （2）若数列:}{满足n b62)12(531321+=-+++++n n n a b n b b b 求证：{n b }是等比数列.[解析]（1）⎩⎨⎧-+=-=++)1)(1(2)1(211n n n n a n S a n S②－①得,1)1(1)1(211+=-⇒--+=++n n n n n na a n na a n a:,32,32,1,11321用数学归纳法证明猜想得令得令-===∴=-==n a a n a a n n1）当;,3221,3121,121结论正确时-⨯==-⨯=-==a a n 2）,32,)2(-=≥=k a k k n k 即时结论正确假设)1)(12(1321)32(1)1(,121--=+-=+-=+=-+=∴+k k k k k k ka a k k n k k 时当 .,3)1(212,21结论正确-+=-=∴≥+k k a k k 由1）、2）知，,32,-=∈*n a N n n 时当① ②.2}{,2,2,,26)1(4),2(2,2)12()52(2)32(2)12(2,6)32(262)2(;2}{,2)32()12(1111111的等比数列是公比为即时当也适合而时当设的等差数列是公差为即n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n b b b b N n b n b n n n T T b n n n a T a n n a a =∴=∈∴=+-⨯=≥=∴⨯-=---=-=-≥∴+-=+==---=-∴+*+-+++[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，或通过“归纳猜想”并证明.[例2]解答下述问题：（Ⅰ）等差数列的前n 项和为),(,,Q P QPS P Q S S Q P n ≠==若 求).,(表示用Q P S Q P +[解析]选择公式""2bn an S n +=做比较好，但也可以考虑用性质完成.[解法一]设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=∴+=bQ aQ QP bP aP PQbn an S n 222,①－②得：,],)()[(22Q P b Q P a Q P PQ P Q ≠++-=-.)(])()[(,)(,2PQQ P b Q P a Q P S PQQP b Q P a Q P QP +-=+++=∴+-=++∴≠+[解法二]不妨设P Q Q Q P a a a S S QPP Q Q P +++=-=-∴>++ 21, .)(,2))((2))((211PQQ P S S QP Q P a a Q P Q P Q P a a Q P Q P Q P Q P P Q +-=∴+-=++⋅+-=+-=++++（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为2128，求项数n.①②[解析]设公比为2421281024,142531==-n n a a a a a a a q)1(24211=⋅⇒-n qa.7,23525,2)2()1(,2)(2)1(221281024235252352112353211235321==∴==⋅⇒=-+⋅⇒=⨯=-++n n q a n qa a a a a nn n n 得代入得将而（Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：,17,5,1,,,,32121===k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列求数列.}{项和的前n k n[解析],,,,171251751a a a a a a ⋅=∴成等比数列.1313132}{,132)1(2)1(323,34}{,2,00)2()16()4(111111115111121--=---⨯=-⋅=-+=-+=⋅=⋅=∴=+==∴=∴≠=-⇒+⋅=+⇒---n n S n k k d k d d k a a d a a a da a a q a d a d d a d d a a d a n n n n n n n n k n n k k n n n 项和的前得由而的公比数列[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.[例3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a －d , a , a +d ，则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232))(()4()32)((22222或原三数为或得或∴===∴=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=++-a d d d d da a d d d a d a a a d a d a（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.①②①，②[解析]设此四数为)15(15,5,5,15>++--a a a a a ,⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=+=-∴+<-+-⨯=⨯==+-⇒=+⇒∈=++++-+-∴*2521251,,,2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222a m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m a N m m a a a a 且均为正整数与解得∴==),(1262不合或a a 所求四数为47，57，67，77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.二、等差等比数列复习题一、 选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）（A ）为常数数列（B ）为非零的常数数列（C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列{}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为（ ） （A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则ycx a +的值为（ ） （A ）21（B ）2- （C ）2 （D ） 不确定4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项，y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ）（A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ） （A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=26、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则（ ）（A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列（C ）z y x 1,1,1成等差数列 （D ）zy x 1,1,1成等比数列7、数列{}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（ ）①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1⋯,1617,815,413,21,前n 项和为（ ）（A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212112+--+n n n9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A n n ，则135135b b a a ++的值为（ ）（A ）97 （B ）78 （C ）2019 （D ）8710、已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为（ ）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）6011、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为（ ）（A ）2)133(+n n （B ）53+n（C ）23103-+n n （D ）231031-++n n12、下列命题中是真命题的是( ) A ．数列{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n +=(0≠p )B ．已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n ++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件1-=n n ab aD ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n n +=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a二、填空题13、各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q = 14、已知等差数列{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则18621751a a a a a a ++++=15、已知数列{}n a 满足n n a S 411+=,则n a =16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，数列{}n b a 是公比为q 的等比数列，46,10,1321===b b b ，求公比q 及n b 。

等差数列与等比数列的知识点总结等差数列与等比数列是数学中常见的两种数列，它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。

下面将从定义、性质、求和公式和应用等几个方面对等差数列和等比数列进行全面总结。

**一、等差数列的基本概念**等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。

一般来说，等差数列的通项公式为：a_n=a_1+(n-1)d，其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的首项，n表示项数，d表示公差。

**二、等差数列的性质**1. 等差数列的通项公式：a_n=a_1+(n-1)d2. 等差数列的前n项和公式：S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)3. 等差数列的性质：任意三项成等差数列，等差中项相等。

4. 等差数列的性质：首项与末项的关系。

**三、等差数列的应用**等差数列在实际生活中有着广泛的应用，比如在金融领域中的等额还款、在物理学中的匀速运动等等。

**四、等比数列的基本概念**等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列。

一般来说，等比数列的通项公式为：a_n=a_1 \cdot q^{n-1}，其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的首项，n表示项数，q表示公比。

**五、等比数列的性质**1. 等比数列的通项公式：a_n=a_1 \cdot q^{n-1}2. 等比数列的前n项和公式：S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}，当|q|<1时成立3. 等比数列的性质：首项、末项、项数的关系。

4. 等比数列的性质：任意三项成等比数列，等比中项与等比积。

**六、等比数列的应用**等比数列同样在实际中有着广泛的应用，比如在利息计算中的等比增长、在生物学中的细胞分裂等等。

**结语**等差数列与等比数列是数学中基础而重要的概念，它们不仅在数学理论中有着重要的意义，而且在实际生活中也有着广泛的应用。

等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：，称为公比()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且q 2、通项公式：，首项：；公比：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠1a q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或,,a A b A a b 2A ab=A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列是等比数列{}n a 211n n n a a a -+⇔=⋅4、等比数列的前项和公式：n n S （1）当时，1q =1n S na =（2）当时，1q ≠()11111n n n a q a a qS q q--==--（为常数）11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---,,','A B A B 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的，都有为等比数n 11(0){}n n n n n na a qa q qa a a ++==≠⇔或为常数，列（2）等比中项：为等比数列21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔（3）通项公式：为等比数列()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔6、等比数列的证明方法：依据定义：若或为等比数列()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且1{}n n n a qa a +=⇔7、等比数列的性质：（2）对任何，在等比数列中，有。

*,m n N ∈{}n a n m n m a a q -=（3）若，则。

特别的，当时，得*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈n m s t a a a a ⋅=⋅2m n k += 注：2n m k a a a ⋅=12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅等差和等比数列比较：经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列中，, ,求.{}n a 1964a a ⋅=3720a a +=11a 思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于和的二元方程组，解出1a q 和，可得；或注意到下标，可以利用性质可求出、，再求.1a q 11a 1937+=+3a 7a 11a 等差数列等比数列定义da a n n =-+1)0(1≠=+q q a a nn 递推公式d a a n n +=-1；mda a n m n +=-q a a n n 1-=；mn m n q a a -=通项公式dn a a n )1(1-+=11-=n n q a a （0,1≠q a ）中项2kn k n a a A +-+=（0,,*f f k n N k n ∈）)0(f k n k n k n k n a a a a G +-+-±=（0,,*f f k n N k n ∈）前n 项和)(21n n a a nS +=dn n na S n 2)1(1-+=()⎪⎩⎪⎨⎧≥--=--==)2(111)1(111q q qa a qq a q na S n n n 重要性质),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈+=+),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈⋅=⋅总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。

等比数列知识点总结与典型例题1 、等比数列的定义： an a n 一1= q ( q 士 0)( n > 2, 且n = N * )， q 称为公比2、通项公式：a n = a 1q n 一1 = a1 q n = A . B n (a 1 . q 士 0,A . B 士 0 ) ，首项： a 1；公比： q推广： a n = a m q n 一m 一 q n 一m = a n 一 q = n 一m an3、等比中项：( 1)如果 a, A, b 成等比数列，那么A 叫做 a 与 b 的等差中项，即： A 2 = ab 或A = 士 ab 注意： 同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个 ( (2)数列 {a n }是等比数列 一 a n 2 = a n 一1 . a n+1 4、等比数列的前 n 项和S 公式： (1)当 q = 1 时， S n = na 1(2)当 q 士 1时， S n =a 1(1一 q n )1一q = a 1一 a n q 1一q= a 11一q 一 a11一qq n = A 一 A . B n = A 'B n 一 A ' ( A, B, A ', B ' 为常数) 5、等比数列的判定方法：( 1 )用定义：对任意的 n ，都有 a n+1 = qa n 或= q(q 为常数， a n 士 0) 一 {a n } 为等比数列(2)等比中项： a n 2 = a n+1a n 一1 (a n+1a n 一1 士 0) 一 {a n } 为等比数列( 3 )通项公式： a = A . B n (A . B 士 0) 一 {a }为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若 a na n 一1= q ( q 士 0)( n > 2, 且n = N * ) 或a n+1 = qa n 一 {a n } 为等比数列7、等比数列的性质：(2)对任何 m, n = N * ，在等比数列 {a n }中，有a n = a m q n 一m 。

等比数列等差数列知识点归纳总结等比数列和等差数列是数学中常见且重要的概念之一。

在解决各种数学问题和应用中，它们都有着广泛的应用。

本文将对等比数列和等差数列的知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这两个数列的特点和应用。

一、等差数列等差数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项之差保持恒定。

具体来说，对于一个等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，它的通项公式可以表示为：an = a₁ + (n-1)d其中，a₁表示首项，d表示公差，n表示项数。

等差数列的常用术语包括首项、公差、通项公式和项数等。

1. 首项（a₁）：等差数列的第一项称为首项。

2. 公差（d）：等差数列中相邻两项的差称为公差。

公差可以是正数、负数或零。

3. 通项公式：等差数列的第n项通项公式可以用来求出数列中任意一项的值。

在通项公式中，n表示项数。

4. 项数：等差数列包含的项的个数称为项数。

等差数列的主要特点是任意两项之差相等，这使得我们可以根据已知的条件，快速求解未知项的值。

一些常见的应用包括求和公式、平均数问题、等差数列的图像和几何问题等。

二、等比数列等比数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项之比保持恒定。

具体来说，对于一个等比数列a₁, a₂, a₃, ..., an，它的通项公式可以表示为：an = a₁ * r^(n-1)其中，a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。

等比数列的常用术语包括首项、公比、通项公式和项数等。

1. 首项（a₁）：等比数列的第一项称为首项。

2. 公比（r）：等比数列中相邻两项的比称为公比。

公比可以是正数、负数或零，但不能为1。

3. 通项公式：等比数列的第n项通项公式可以用来求出数列中任意一项的值。

在通项公式中，n表示项数。

4. 项数：等比数列包含的项的个数称为项数。

等比数列的主要特点是任意两项之比相等，这使得我们可以根据已知的条件，快速求解未知项的值。

一些常见的应用包括求和公式、计算几何问题和金融领域的应用等。