辽宁省2017-2018学年高三上学期第四次月考 数学理 Word版含答案

宁夏育才中学2017届高三年级第四次月考数学试卷（理）第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1A=-，{}|sin,B y y x x Aπ==∈，则A B=（）A．{}1-B．{}1C．{}0D．∅2. 已知a，b为实数，则22a b>是ln lna b>的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.已知α、β是两个不同平面，m、n是两不同直线，下列命题中的假命题是（）A．αα⊥⊥nmnm则若,,//B．nmnm//,,//则若=βααC．βαβα//,,则若⊥⊥mm D．βαβα⊥⊂⊥则若,,mm4.已知实数a，b∈(0,1)，且满足cos πa<cos πb，则下列关系式成立的是( )A．ln a<ln b B．sin a<sin b <1bD．a3<b35.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16B.13C.12D.16.已知点1(,)n nP a a+在曲线20x y d-+=上，且1a>，且121030a a a+++=…，则56a a⋅的最大值等于（）A．9 B．10 C．6 D．117.若,x y满足2020x ykx yy+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x=-的最小值为-4，则k的值为（）.2A .2B - 1.2C 1.2D - 8.过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )9.若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）A.26 B. 23 C. 33 D. 2310.圆x 2＋y 2＋2y －3＝0被直线x ＋y －k ＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k ＝( )A ． 2B ． 1或－ 2C ．2－1或－2－1D ．1或－311.已知函数,0,()(3)4,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1(0,]4B ．(1,2]C ．(1,3)D ．1(,1)212．已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++, 2342013()12342013x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-， 且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ． 10 D ． 11第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________ 14.由曲线y x =，直线2y x =-及x 轴所围成的图形的面积为 .15. 在ABC ∆中，D 为AC 上一点，且P ,31=为BD 上一点，且满足+=m ),0,0(>>n m n 则nm 11+的最小值是 . 16.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。

巢湖市柘皋中学2018—2018年高三上第四次月考高三数学（理科）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合{}22530A x x x =--≤，{}2B x Z x =∈≤，则A B ⋂中的元素个数为 (A)2 (B)3(C)4(D)52.复数z 满足i z i 34)23(+=⋅-，则复平面内表示复数z 的点在( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限 3. 已知数列{}n a 为等差数列，满足OC a OB a OA20133+=，其中C B A ,,在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S的值为（ ）（A ）22015（B ） 2015 （C ）2016 （D ）2013 4.将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) （A ）12π（B ）6π （C ） 3π （D ）56π 5.在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是 （ ）A ．（0，6π]B ．[ 6π，π）C ．（0，3π]D ．[ 3π，π）6.已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）.A.3πB.8C. 2D. 67. 周末一家四人:爸爸,妈妈和两个孩子一起去看电影,并排坐在连号的四个座位上,要求孩子边必须有大人陪着,则不同的坐法种数( ).A. 8B. 12C.16.D.20 8.下列命题正确的个数是 ( )①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；②函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； ③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立⇔max min 2)()2(ax x x ≥+在[]1,2x ∈上恒成立；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<”.(A)1 (B)2 (C)3 (D)49.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -= 10.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<11.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =， 2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =( ) （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 12.设动直线m x =与函数x x g x x f ln )(,)(2==的图象分别交于点N M ,，则MN 的最小值为（ ）（A ）2ln 2121+ （B ）2ln 2121- （C ） 2ln 1+ （D ）12ln -二、填空题 :(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上).13.,22_____.14y x x y x y z x y x ⎧⎪≥⎪+≤=+⎨⎪⎪≥⎩已知实数满足，则的最大值14.在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________15.如图，点A 的坐标为()1,0 ，点C 的坐标为()2,4 ，函数()2f x x = ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．16.现将一条直线l 经过点A(-1,1),且与⊙C:2240xx y ++=相交所得弦长EF为则此直线l 方程是_________.三、解答题：(本大题共6小题,共70分.). 17.（本小题满分10分）已知函数)0(),3cos(cos 4)(>+=ωπωωx x x f 的最小正周期为π.（1）求ω的值； （2）讨论)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,0π上的单调性.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n .19.（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1各棱长都为a ， P 为线段A 1B 上的动点.（Ⅰ）试确定A 1P :PB 的值，使得PC ⊥AB ； （Ⅱ）若A 1P :PB =2:3，求二面角P -AC -B 的大小.ABCP1A 1B 1C20.（本小题满分12分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.21.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，求实数a 的取值范围 22．（本小题满分12分）设函数()(1)ln(1),(1,0)f x x a x x x a =-++>-≥． （Ⅰ）当1a =时，若方程()f x t =在1[,1]2-上有两个实数解，求实数t 的取值范围； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）证明：当0m n >>时，(1)(1)nmm n +<+．2018—2018学年度第一学期四段考试 高三数学（理科）试题参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.二 填空题 :(本大题共4小题,每小题5分,共20分.). 三 简答题：17.（本小题满分10分）.32cos 212sin 32cos 1cos sin 32cos 2)sin 23cos 21(cos 4)3cos(cos 4)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-+=-=-⋅=+=πωωωωωωωωωπωωx x x x x x x x x x x x f 解：（1） 因为函数)0(),3cos(cos 4)(>+=ωπωωx x x f 的最小正周期为π，故πωπ=22，所以，1=ω. ……6分 （2）.32cos 21)(⎪⎭⎫ ⎝⎛++=πx x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈65,0πx .故πππ2323≤+≤x ，当πππ≤+≤323x 时，即30π≤≤x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛++=32cos 21)(πx x f 为减函数； 当πππ232≤+≤x 时，即653ππ≤≤x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛++=32cos 21)(πx x f 为增函数.所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛++=32cos 21)(πx x f 的减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π，增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ. …12分18,(12)【解析】(Ⅰ)因为数列{}n a 的前n 项和n n S n 832+=， 所以111=a ，当2≥n 时，56)1(8)1(383221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n ，又56+=n a n 对1=n 也成立，所以56+=n a n ．又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则d b b b a n n n n +=+=+21． 当1=n 时，d b -=1121；当2=n 时，d b -=1722， 解得3=d ，所以数列{}n b 的通项公式为132+=-=n da b n n ． (Ⅱ)由1112)33()33()66()2()1(+++⋅+=++=++=n nn n n n n n n n n b a c ， 于是14322)33(2122926+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n T ， 两边同乘以２，得21432)33(2)3(29262++⋅++⋅++⋅+⋅=n n n n n T ，两式相减，得214322)33(23232326++⋅+-⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n T2222)33(21)21(2323+⋅+---⋅+⋅=n n n222232)33()21(2312++⋅=⋅++-⋅+-=n n n n n n T ．19.(12)【法一】（Ⅰ）当PC ⊥AB 时，作P 在AB 上的射影D . 连结CD .则AB ⊥平面PCD ，∴AB ⊥CD ，∴D 是AB 的中点，又PD// AA 1，∴P 也是A 1B 的中点， 即A 1P :PB =1. 反之当A 1P :PB =1时，取AB 的中点D '，连接CD '、PD '. ∵∆ABC 为正三角形，∴CD'⊥AB . 由于P 为A 1B 的中点时，PD'// AA 1 ∵ AA 1⊥平面ABC ，∴PD'⊥平面ABC ，∴PC ⊥AB .……6分 （Ⅱ）当A 1P :PB =2:3时，作P 在AB 上的射影D . 则PD ⊥底面ABC .作D 在AC 上的射影E ，连结PE ，则PE ⊥AC . ∴∠DEP 为二面角P -AC -B 的平面角. 又∵PD// AA 1，∴132BD BP DA PA ==，∴25AD a =. ∴DE =AD ·sin60°，又∵135PD AA =，∴35PD a =. ∴tan ∠PED =PDDEP -AC -B 的大小为∠DEP = 60°.…12分 【法二】以A 为原点，AB 为x 轴，过A 点与AB 垂直的直线为y 轴， ABCP1A 1B 1C DE1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，设(),0,P x z ，则(),0,0B a 、()10,0,A a、2a C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）由0CP AB ⋅=得(),,0,002a x z a ⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，即02a x a ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，∴12x a =，即P 为A 1B 的中点，也即A 1P :PB =1时，PC ⊥AB .…………6分（Ⅱ）当A 1P :PB =2:3时，P 点的坐标是23,0,55a a ⎛⎫⎪⎝⎭.取()3,2m =- .则()233,2,0,055a a m AP ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪⎝⎭，()3,22a m AC ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. ∴m 是平面P AC 的一个法向量.又平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =.∴cos<m ,n >=m n m n⋅⋅=12，∴二面角P -AC -B 的大小是60°.……12分20.解析(12)21 .（本小题满分12分）解析 由于f ′(x )＝1＋1x ＋1 2>0， 因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1. 根据题意可知存在x ∈[1,2]， 使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.22．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）/()1ln(1)f x a x a =-+-．①0a =时，/()0f x >，∴()f x 在(1,)-+∞上是增函数．-----------------1分②当0a >时，由1()011a af x x e -'>⇒-<<-，由1()01a af x x e-'<⇒>-，∴()f x 在1(1,1]a ae---上单调递增，在1[1,)a ae--+∞上单调递减. ----------4分（Ⅱ）当1a =时，由（Ⅰ）知，()f x 在1[,0]2-上单调递增，在[0,1]上单调递减，又111(0)0,(1)1ln 4,()ln 2222f f f ==--=-+， ------------------6分 ∴135(1)()ln 20222f f --=-<． ∴当11[,ln 2,0)22t ∈-+时，方程()f x t =有两解． ------------------8分 （Ⅲ）∵0m n >>.∴要证：(1)(1)n m m n +<+只需证ln(1)ln(1),n m m n +<+只需证：ln(1)ln(1)m n m n ++<． 设ln(1)(),(0)x g x x x+=>， -------------------10分 则22ln(1)(1)ln(1)1()(1)xx x x x x g x x x x -+-+++'==+．由（Ⅰ）知(1)ln(1) x x x -++在(0,)+∞单调递减， -----------12分 ∴(1)ln(1)0x x x -++<，即()g x 是减函数，而m n >．∴()()g m g n <，故原不等式成立． ------------14分。

沈阳四校协作体2018届高三年级联合考试理科数学试题参考答案三、解答题17.解：18.解：（1）∵a n+1=2S n+1，n∈N∗，n≥2时，a n=2S n﹣1+1，可得a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n．n=1时，a2=2a1+1=3=3a1，满足上式．∴数列{a n}是等比数列，∴a n=3n﹣1．…………………………………………………………….6分（2）c=log3a2n==2n﹣1．b n===，数列{b n}的前n 项和T n=+++…++=………………………………………………………………………………12分19.解：（1）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，=（0，﹣，0），∵•=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；……………………………………………………..4分（2）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，1，1），设=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，﹣2，1），∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为；…………………………………………………….12分20.解：21.解：（1）由题意知2322=-a b a ，可得：b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为)21,0(F ，所以21,1==b a ， 所以椭圆C 的方程为1422=+y x …………………………….2分（2）（Ⅰ）设)0)(2,(2>m m m P ，由y x 22=可得y'x =， 所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-，即22m mx y -=. 设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程222241m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得014)14(4322=-+-+m x m x m ，由0∆>，得520+<<m 且1442321+=+m m x x ， 因此142223210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)14(2220+-=m m y ，因为m x y 4100-=，所以直线OD 方程为x my 41-=. 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=m x x m y 41，得点M 的纵坐标为M 14y =-，即点M 在定直线41-=y 上…………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 方程为22m mx y -=，令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2m G -， 又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m ， 所以)1(41||2121+==m m m GF S ，)14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ， 所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ， 令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=t tt t t S S ， 当211=t ，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0∆>，所以点P 的坐标为)41,22(，因此12SS 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(………………………………………………………………………………………12分22.解： （1）得，由，可得，即.其参数方程为（为参数）……………………………………………5分（2）由已知可得，设.则，所以四边形.当时，四边形的面积取最大. ……………………………………………10分23.解（1）解法一：1m >Q211()1121x m x f x m x m x m x m -++<⎧⎪∴=-≤≤⎨⎪-->⎩，，，······································· 1分作出函数)(x f 的图象……………………………………3分由4)(>x f 的解集为{}40><x x x 或 及函数图象得 ⎩⎨⎧=--⨯=++⨯-41424102m m 得3=m …………………………………………5分解法二：1m >Q211()1121x m x f x m x m x m x m -++<⎧⎪∴=-≤≤⎨⎪-->⎩，，，················································································· 1分① 12+14x x m <⎧⎨-+>⎩ 得1m >Q 得312m -<，32mx -∴< ········································································ 2分 ②得1(5)x m m ≤≤>，不合题意 ···················································· 3分 ③ 得当时，，不符合，舍去 当时， ······················································································ 4分 综上不等式的解集为，······················································· 5分 （2）解法一：由（Ⅰ）得 ···················································································· 6分 有解⎪⎩⎪⎨⎧-<<231m x x ⎩⎨⎧>-≤≤411m mx ⎩⎨⎧>-->412m x m x ⎪⎩⎪⎨⎧+>>25m x m x 5m ≥x m >4x >15m <<52mx +>3522m m x x x ⎧-+⎫<>⎨⎬⎩⎭或302542mm -⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩3m ∴=421()213243x x f x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，，，2)(min =x f 4)(2-+<a a x f即 ························································· 8分····················································································· 9分 实数的取值范围 ············································· 10分 解法二：由绝对值不等式几何意义得 ········································· 6分 有解即 ············································· 8分······································································· 9分 实数的取值范围 ·································· 10分422-+<a a 062>-+a a 0)2)(3(>-+a a 23>-<a a 或a {}23>-<a a a 或2)(≥x f 4)(2-+<a a x f 422-+<a a 062>-+a a 0)2)(3(>-+a a 23>-<a a 或a {}23>-<a a a 或。

辽宁省数学高三上学期理数第四次月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 设 A={(x,y)|x–y=6}，B={(x,y)|3x+2y=7}，满足的集合 C 的个数为（ ）．A.0 B.1 C.2 D.4 2. （2 分） 设 x∈R，“复数 z=（1﹣x2）+（1+x）i 为纯虚数”是“lg|x|=0”的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 3. （2 分） 在公差为 2 的等差数列{an}中，2a9=a12+6，则 a5=（ ） A.4 B.6 C.8 D . 10 4. （2 分） (2016 高一下·平罗期末) 若 =（2，3）， =（﹣4，7），则 在 方向上的投影为（ ）A.B.第 1 页 共 19 页C. D.5. （2 分） (2016 高一下·望都期中) 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，若 bsinA﹣acosB=0，且 b2=ac，则的值为（ ）A. B. C.2 D.46. （2 分） (2016·枣庄模拟) 函数 f（x）=sin（2x﹣ ）的图象（ ）A . 关于直线 x= 对称B . 关于直线 x= 对称 C . 关于点（ ，0）对称D . 关于点（ ，0）对称7. （2 分） (2019 高一上·安平月考) 已知函数 范围是（ ），则使得A.B. C.的的D.第 2 页 共 19 页8. （2 分） (2016 高二上·河北期中) 函数 y=（acosx+bsinx）cosx 有最大值 2，最小值﹣1，则实数（ab）2 的值为（ ）A.1 B.8 C.9D.29. （2 分） (2016 高一上·福州期中) 设函数 f（x）的定义域为 D，若函数 f（x）满足条件：存在[a，b]⊆ D， 使 f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称 f（x）为“倍扩函数”，若函数 f（x）=log2（2x+t）为“倍扩函数”， 则实数 t 的取值范围是（ ）A.B.C.D.10. （2 分） 若{an}为等差数列，Sn 是其前 n 项和，且， 则 tana6 的值为（ ）A.B.C.-D.11. （2 分） (2017 高二下·吉林期末) 若函数则函数在 R 上的极小值为（ ）在区间上不是单调函数，第 3 页 共 19 页A.B. C.0D.12. （2 分） (2018 高二下·邯郸期末) 函数，则的值为（ ）满足A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)，且当时，13. （1 分） (2018·台州模拟) 若 、 满足约束条件14. （1 分） (2019 高一上·上海月考) 若，则________．为奇函数，，则的最大值为________．为偶函数，且，令15. （1 分） (2016 高二上·黑龙江开学考) 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1+a3+a11=6，则 S9=________．16. （1 分） (2019·长春模拟) 在中，角 、 、 的对边分别为 ， 、 ，，，则的面积的最大值为________．三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17.（10 分）(2020 高三上·郑州月考) 已知函数，且第 4 页 共 19 页图像上相邻两个最低点的距离为 .（1） 求 的值以及的单调递减区间；（2） 若且，求18. （10 分） (2018·临川模拟) 已知（1） 若，求的面积；的值. 中，角，．（2） 若点 ， 满足，，求的值．19.（10 分）(2018 高二上·成都月考) 已知公差不为 的等差数列 的前三项和为 ，且成等比数列.（1） 求数列 的通项公式；（2） 设，求数列 的前 项和 .20. （5 分） (2019·河南模拟) 已知等差数列的前 项和为 ，满足.的前 项和为 ，满足（1） 求数列 和 的通项公式；.数列（2） 求数列的前 项和 .21. （10 分） (2019 高三上·维吾尔自治月考) 已知，设函数（1） 若，求函数在上的最小值；（2） 讨论函数的单调性.22. （15 分） (2019 高三上·珠海月考) 已知函数（1） 讨论的单调性；第 5 页 共 19 页，其中且.（2） 若不等式 （3） 若方程恒成立，求实数 取值范围； 存在两个异号实根 ， ，求证：第 6 页 共 19 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点：第 7 页 共 19 页解析： 答案：4-1、 考点：解析： 答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、 考点：第 8 页 共 19 页解析： 答案：7-1、 考点： 解析：答案：8-1、 考点： 解析：第 9 页 共 19 页答案：9-1、 考点：解析：第 10 页 共 19 页答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：。

2017-2018学年第三次月考数学理试题说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）1．已知集合A ＝{x|0<log 4x<1}，B ＝{x|x≤2}，则A∩B ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．(1,2] 2．有关下列的说法正确的是（ ） A ．“若x 2=1,则x=1”的否为:若“x 2=1则x≠1” B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．“∃x ∈R,使得x 2+x+1<0”的否定是:“∀x ∈R,均有x 2+x+1<0”D ．“若x=y,则sinx=siny”的逆否为真3．已知函数()()2531m f x m m x --=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数,则m 的值为（ ） A ．2 B ．-1 C ．-1或2 D ．04．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13 5．函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为 （ ）A ．)(],4(Z k k k ∈-πππB ．)(]8,8(Z k k k ∈+-ππππC ．)(]8,83(Z k k k ∈+-ππππ D ．)(]83,8(Z k k k ∈++ππππ6．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值（ ）A ．2413- B. 2213-C. 2313-D. 231-7．已知函数()3)1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +等于（ ）A ．-1 B.0 C. 1 D. 28．tan70°cos10°(1－3tan20°)的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．29．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为( )A.14B.12C.22D.3210．.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(－∞，0)B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0，1)D ．(0，＋∞)11. 设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则 （ ） A ． 32παβ-=B.32παβ+=C.22παβ-=D.22παβ+=12. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）A.]61,61[-B.]66,66[-C. ]31,31[- D. ]33,33[-第Ⅱ卷 （90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13.计算定积分=+⎰-dx x x 112)sin (__________14..设()f x R 是上的奇函数，且2'(1)0,0(1)()2()0f x x f x xf x -=>+-<当时，，则不等式()0f x >的解集为15.对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩给出下列四个：①该函数是以π为最小正周期的周期函数②当且仅当()x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最小值是-1 ③该函数的图象关于直线52()4x k k Z ππ=+∈对称④当且仅当22()2k x k k Z πππ<<+∈时，0()2f x <≤其中正确的序号是 （请将所有正确的序号都填上） 16. 已知函数())0(212<-+=x e x x f x与())ln(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称 的点，则a 的取值范围是__________________________.三、 解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分)已知函数()sin 4f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x R ∈，且53122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求A 的值；（2）若()()32f f θθ+-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求34f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.18. .(本小题满分12分)已知函数2()4sin sin ()cos 242x f x x x π=++ (1)设ω＞0为常数，若()y f x ω=在区间223ππ-［，］上是增函数，求ω的取值范围；(2)设集合2A {x |x }63ππ=≤≤，{||()|2}B x f x m =-<,若A ⊆B ，求实数m 的取值范围.19．(本小题满分12分)若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．21．(本小题满分12分)函数1)(23+--=x x x x f 的图象上有两点A （0，1）和B （1，0）（Ⅰ）在区间（0，1）内，求实数a 使得函数)(x f 的图象在x =a 处的切线平行于直线 AB ； （Ⅱ）设m>0，记M （m ，)(m f ），求证在区间（0，m ）内至少有一实数b ，使得函数 图象在x =b 处的切线平行于直线AM.22.(本小题满分12分) 已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-． （I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．参考答案一.选择题: DDBCB ADBCB CB二.填空题: 13.3214. (,1)(0,1)-∞- 15. ③④ 16. ),(e -∞17．（1）()f x )4π=+ (4)（2）430………………10 18．解：(1)f(x) =1cos(x)24sinx cos2x 2sinx 1,2π-++=+g ……………………2 ∵f(ωx)=2sinωx+1在223π-π［，］上是增函数.∴22322ππππ-⊆-ωω［，］［，］，即23,(0.32224ππ-π-π≤≥∴ω∈ωω，，］…………………………………………………6 (2)由|f(x)-m|＜2得：-2＜f(x)-m ＜2, 即 f(x)-2＜m ＜f(x)+2.∵A ⊆B,∴当2x 63π≤≤π时，f(x)-2＜m ＜f(x)+2恒成立 ∴()()max min f x 2m f x 2,-+［］＜＜［］ (9)又2x 63ππ∈［，］时，()()max min f x f ()3;f x f ()226ππ====,∴m ∈(1，4) (12)19. 解：(1)由f (0)＝1，得c ＝1.即f (x )＝ax 2＋bx ＋1.又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，则a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1 (6)(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1， 由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．……………………………….12 20. 解：∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，∴k －1＝0，即k ＝1…………………………………………………2 (1)∵f (1)>0，∴a －1a>0，又a >0且a ≠1，∴a >1，f (x )＝a x －a －x ，∵f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )·ln a >0，∴f (x )在R 上为增函数．……………………………………………………………4 原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )， ∴x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0， ∴x >1或x <－4，∴不等式的解集为{x |x >1，或x <－4}．…………………………………….6 (2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12(舍去)， (8)∴g (x )＝22x ＋2－2x－4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝32，∴原函数变为w (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2， ∴当t ＝2时，w (t )min ＝－2， 此时x ＝log 2(1＋2)．即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2…………………………………………………………12 21. （Ⅰ）解：直线AB 斜率k AB =－1 123)(2--='x x x f 令1123)10(1)(2-=--<<-='a a a a f 即解得 32=a …………………………………………………………………………4 （Ⅱ）证明：直线AM 斜率 101)1(223--=--+--=m m m m m m k AM考察关于b 的方程1)(2--='m m b f 即3b 2－2b －m 2+m=0在区间（0，m ）内的根的情况令g(b)= 3b 2－2b －m 2+m ，则此二次函数图象的对称轴为31=b 而0121)21(31)31(22<---=-+-=m m m g g(0)=－m 2+m=m(1－m)g(m)=2m 2－m －m(2m －1) (8)∴（1）当),0(0)(,0)(,0)0(,210m b g m g g m 在区间方程时=<><<内有一实根 （2）当)31,0(0)(,0)31(,0)0(,121在区间方程时=<><≤b g g g m 内有一实根（3）当),31(0)(,0)(,0)31(,1m b g m g g m 在区间方程时=><≥内有一实根综上，方程g(b)=0在区间（0，m ）内至少有一实根，故在区间（0，m ）内至少有一实数b ，使得函数图象在x =b 处的切线平行于直线AM …………………………………………………12 22．解：（I ）(),()1af x xg x a x''=+=+， ∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，∴当[1,3]x ∈时，2(1)()()()0a x a f x g x x++''⋅=≥恒成立， 即2(1)()0a x a ++≥恒成立， ∴21a a x >-⎧⎨≥-⎩在[1,3]x ∈时恒成立，或21a a x<-⎧⎨≤-⎩在[1,3]x ∈时恒成立， ∵91x -≤≤-，∴1a >-或9a ≤- (6)（II ）21()ln ,(1)2F x x a x a x =+-+，()(1)()(1)a x a x F x x a x x--'=+-+=∵()F x 定义域是(0,)+∞，(1,]a e ∈，即1a >∴()F x 在(0,1)是增函数，在(1,)a 实际减函数，在(,)a +∞是增函数∴当1x =时，()F x 取极大值1(1)2M F a ==--，当x a =时，()F x 取极小值21()ln 2m F a a a a a ==--，∵12,[1,]x x a ∈，∴12|()()|||F x F x M m M m -≤-=-设211()ln 22G a M m a a a =-=--，则()ln 1G a a a '=--， ∴1[()]1G a a''=-，∵(1,]a e ∈，∴[()]0G a ''> ∴()ln 1G a a a '=--在(1,]a e ∈是增函数，∴()(1)0G a G ''>=∴211()ln 22G a a a a =--在(1,]a e ∈也是增函数∴()()G a G e ≤，即2211(1)()1222e G a e e -≤--=-， 而22211(1)(31)1112222e e e ----=-<-=，∴()1G a M m =-< ∴当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． (12)。

2017～2018学年第一学期12月考试高三数学理科试题一、选择题1．已知复数z 满足(23)32z i i ⋅+=-，则z = A. 1- B. 1 C. 12-D. 122．已知集合{}{}211,B 20A x x x x x =-<<=--<,则()R A B = ð A. (]1,0- B. [)1,2- C. [)1,2 D. (]1,23．已知向量()1,2a x =-r ，()2,1b =r ，则“0x >”是“a r 与b r夹角为锐角”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.设,x y 满足约束条件2240240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z kx y =+的最大值为10，k = A. 2 B.32 C. 94 D. 725．执行右侧的程序框图，若输入的x 为6，则输出y 的值为 A. 6 B. 4 C. 3 D .2.56．已知10<<<b a ，b a p =，ab q =，a r b log =，则p ,q ,r 的大小关系是A. r q p <<B. q r p <<C. q p r <<D. r p q <<7．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是A ．2-B ．32-C ．3-D ．6- 8．已知1sin()cos 63παα+-=,则sin(2)6πα+=A. 518-B. 518C. 79-D. 799．已知斜率为3的直线l 与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，若点()6,2P 是AB 的中点，则双曲线C 的离心率等于A．2 D ．10.函数()sin()(0)2f x A x πωϕϕ=+<<的部分图象如图所示，则A. 2,4A πϕ==B.2,6A πϕ==C. 3A πϕ== D. 6A πϕ==11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图， 则该几何体外接球的表面积为A.10πB.14πC.16πD.18π12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+=1,21,11)(x e x x x x f x，若函数)1()()(--=x m x f x g 有两个零点，则实数m 的取值范围是A.)0,2(-B.)0,1(-C.),0()0,2(+∞⋃-D.),0()0,1(+∞⋃- 二、填空题13. ()5(1)1x x +-展开式中含3x 项的系数为_______.（用数字表示）14.公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的.设男子身高X 服从正态分布)7,170(2N （单位：cm ）,参考以下概率()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=,则车门的高度（单位：cm ）至少应设计为 .15.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 倾斜角为60的直线交C 于,A B 两点，,AM l BN l ⊥⊥，,M N 为垂足，点Q 为MN 的中点，2QF =，则p =_____.16.已知数列 {}n a 的前n 项和21n S n n =++，则数列14{}n n a a +的前n 项和n T =_________. 三、解答题17. （本小题满分10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos sin ==A c C a .（1）求c ； （2）若ABC ∆的面积为29，求a .18. （本小题满分12分）设{}n a 是公差不为零的等差数列，22222345a a a a +=+，n S 为其前n 项和， 77S =.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2312log n n b a ++=(n *∈N ),求数列{}n n a b 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）20. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，12AC BC CC ===，11A B B C ⊥. （Ⅰ）证明：111AC CC ⊥；E ACBA 1C 1B 1（Ⅱ）若1A B =1CC 上是否存在点E ，使得二面角1E AB C --的大小为30，若存在，求CE 的长，若不存在，说明理由.21. （本小题满分12分）已知圆2216M y +=：(，点N ，点P 是圆上任意一点，线段NP 的垂直平分线交MP 于点Q ，设动点Q 的轨迹为C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线:l y kx m =+与轨迹C 交于G H 、两点，O 为坐标原点，若GOH ∆的重心恰好在圆2249x y +=上，求m 的取值范围.22. （本小题满分12分） 已知函数()f x =ln 1a x bx x++，曲线y =()f x 在点（1，(1)f ）处的切线方程为230x y +-=. （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）如果当x ＞0，且x ≠1时，()f x ＞ln 1x kx x+-，求k 的取值范围.鸡泽一中高三12月月考数学(理)答案一、选择题1-5 BCBBD 6-10 ADDAA 11-12 BD二、填空题5161n T n =-+ 三、解答题17.解：（1）由正弦定理得：A C C A cos sin sin sin =，又0sin ≠C ，所以A A cos sin =，从而1tan =A ，因为π<<A 0，所以 45=A ．又因为3cos =A c ，所以6=c ．（5分）（2）因为29sin 21==A bc S ，得：33=b ． 根据余弦定理可得：15cos 2222=-+=A bc c b a ，所以15=a ． （10分） 18.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为(0)d d ≠因为22222345a a a a +=+，所以42423535()()()()a a a a a a a a -+=-+，即342222(0)d a d a d ⋅=-⋅≠ 所以34a a =- ……………………………………………………2分 又因为17747()772a a S a +===，所以431,1a a ==-，2d =。

2017-2018学年辽宁省高三（上）12月月考试卷（文科数学）一、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={y|y=5m+1，m∈N*}，则集合A∩B中最小元素为（）A．1 B．9 C．11 D．132．（5分）已知复数z=为纯虚数，则m=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．（5分）在一次某地区中学联合考试后，汇总了3217名文科考生的数学成绩，用a1，a2，…，a3217表示，我们将不低于120的考分叫“优分”，将这些数据按图的程序框图进行信息处理，则输出的数据为这3217名考生的（）A．平均分B．“优分”人数C．“优分”率D．“优分”人数与非“优分”人数的比值4．（5分）等差数列{an }的前n项和为Sn，若=，则下列结论中正确的是（）A．=2 B．=C．=D．=5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣ B．2π﹣ C．D．2π﹣26．（5分）已知直线l1：2x﹣y+1=0和l2：x+2y=3的倾斜角依次为α，β，则下列结论中正确的是（）A．β=90°+α B．α+β=180°C．α=90°+β D．α+β=90°7．（5分）已知，其中θ在第二象限，则cosθ﹣sinθ=（）A．B． C．D．8．（5分）已知实数x，y满足条件，则不等式x+2y≥2成立的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6，O1为正方形A1B1C1D1的中心，则四棱锥O1﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．9π B．324πC．81πD．10．（5分）已知O：x2+y2=1和点，A、B是圆O上两个动点，则∠APB的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）记，，，其中e为自然对数的底数，则a，b，c 这三个数的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＞c＞a D．b＞a＞c12．（5分）过抛物线C：y2=4x焦点F的直线交抛物线C于A、B两点，|AB|=8，过线段AB的中点作y轴的垂线，垂足为P，则||2+||2=（）A．36 B．40 C．50 D．52二、填空题：（每题5分，共20分）13．（5分）双曲线﹣=1的离心率e= ．14．（5分）数列{an }中，，，则a7= ．15．（5分）已知向量=（2，﹣1），=，且（+k）⊥（﹣k），则实数k= ．16．（5分）函数f（x）=x3﹣3x+m的定义域A=[0，2]，值域为B，当A∩B=∅时，实数m的取值范围是．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{an }的前n项和Sn=n2+2n（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和Tn．18．（12分）某厂家生产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种杯子均有300ml和500ml两种型号，某月的产量（单位：个）如下表所示：按样式用分层抽样的方法在这个月生产的杯子中随机的抽取100个，其中有乙样式的杯子35个．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在甲样式的杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个300ml的杯子的概率．19．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，且这个几何体的体积为10．（Ⅰ）求棱AA1的长；（Ⅱ）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：，两个焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），P是椭圆上的动点，且向量的最大值为2．（1）求椭圆方程；（2）过左焦点的直线l交椭圆C与M、N两点，且满足，求直线l的方程（其中∠MON=θ，O为坐标原点）．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点，则求实数a的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】22．（10分）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．2017-2018学年辽宁省高三（上）12月月考试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（每题5分，共60分）1．（5分）（2015秋•长春校级月考）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={y|y=5m+1，m∈N*}，则集合A∩B中最小元素为（）A．1 B．9 C．11 D．13【分析】由A与B，求出两集合的交集，确定出交集中的最小元素即可．【解答】解：∵A={x|x=2n﹣1，n∈N*}={1，3，5，7，9，11，…}，B={y|y=5m+1，m∈N*}={6，11，16，…}，∴A∩B中最小元素为11，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015秋•陕西期末）已知复数z=为纯虚数，则m=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵z==为纯虚数，∴=0，≠0，则m=﹣1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）（2015秋•赤峰校级月考）在一次某地区中学联合考试后，汇总了3217名文科考生的数学成绩，用a1，a2，…，a3217表示，我们将不低于120的考分叫“优分”，将这些数据按图的程序框图进行信息处理，则输出的数据为这3217名考生的（）A．平均分B．“优分”人数C．“优分”率D．“优分”人数与非“优分”人数的比值【分析】由程序框图知，最后输出的m 值是大于等于120分的人数，再根据表示的意义即可得出结论．【解答】解：由程序框图可知，最后输出的m 值是大于等于120分的人数，即次考试数学分数不低于120分的同学的人数是m，因为表示这次考试数学分数不低于120分的“优分”率．故选：C．【点评】本题考查了通过设计程序框图解决实际应用问题，是基础题目．4．（5分）（2016•河南模拟）等差数列{an }的前n项和为Sn，若=，则下列结论中正确的是（）A．=2 B．=C．=D．=【分析】由等差数列的求和公式和性质可得=3•=2，解方程可得．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且=，∴==2，由等差数列的求和公式和性质可得：===3•=2，∴=故选：C【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．5．（5分）（2016•河南二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣ B．2π﹣ C．D．2π﹣2【分析】几何体为圆柱中挖去一个正四棱锥．【解答】解：由三视图可知该几何体为圆柱挖去一个四棱锥得到的，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面为正方形，边长为，棱锥的高为1，∴几何体的体积V=π×12×2﹣=2π﹣．故选A．【点评】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．6．（5分）（2015秋•长春校级月考）已知直线l1：2x﹣y+1=0和l2：x+2y=3的倾斜角依次为α，β，则下列结论中正确的是（）A．β=90°+α B．α+β=180°C．α=90°+β D．α+β=90°【分析】直线l1：2x﹣y+1=0的斜率为2，l2：x+2y=3的斜率为﹣，两条直线互相垂直，且α为锐角，β为钝角，即可得出结论．【解答】解：直线l1：2x﹣y+1=0的斜率为2，l2：x+2y=3的斜率为﹣，两条直线互相垂直，且α为锐角，β为钝角，∴β=90°+α，故选A，【点评】本题考查直线的垂直关系，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．7．（5分）（2015秋•长春校级月考）已知，其中θ在第二象限，则cosθ﹣sinθ=（）A．B． C．D．【分析】利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号求cosθ﹣sinθ的值即可．【解答】解：∵sinθ+cosθ=，其中θ在第二象限，平方可得sinθcosθ=﹣，sinθ＞0，cosθ＜0．cosθ﹣sinθ＜0．故cosθ﹣sinθ=﹣=﹣，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．8．（5分）（2016•洛阳四模）已知实数x，y满足条件，则不等式x+2y≥2成立的概率为（）A．B．C．D．【分析】画出满足条件的平面区域，求出相对应的面积，从而求出符合条件的概率即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，平面区域△ACO的面积是2，而△ABC的面积是1，故不等式x+2y≥2成立的概率为：，故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．9．（5分）（2015秋•海口校级月考）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6，O1为正方形A1B1C1D1的中心，则四棱锥O1﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．9π B．324πC．81πD．【分析】设球的半径为R，则由勾股定理可得R2=（3）2+（R﹣6）2，可得R，即可求出四棱锥O1﹣ABCD的外接球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则由勾股定理可得R2=（3）2+（R﹣6）2，∴R=，∴四棱锥O1﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=81π，故选：C．【点评】本题考查四棱锥O1﹣ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出球的半径是关键．10．（5分）（2015秋•长春校级月考）已知O：x2+y2=1和点，A、B是圆O上两个动点，则∠APB的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意，∠APB取最大值时，PA，PB是圆的切线，即可得出结论．【解答】解：由题意，∠APB取最大值时，PA，PB是圆的切线，∵|OA|=1，|OP|=2，∴∠OPA=，∴∠APB的最大值为2×．故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，确定∠APB取最大值时，PA，PB是圆的切线是关键．11．（5分）（2015秋•长春校级期末）记，，，其中e为自然对数的底数，则a，b，c这三个数的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】利用对数函数性质求解．【解答】解：∵=+1，=，=，∵e≈2.71828，＜ln2＜1，∴b＞a＞c．故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用．12．（5分）（2015秋•长春校级月考）过抛物线C：y2=4x焦点F的直线交抛物线C于A、B两点，|AB|=8，过线段AB的中点作y轴的垂线，垂足为P，则||2+||2=（）A．36 B．40 C．50 D．52【分析】由抛物线焦点弦公式可知丨CP丨=3，利用余弦定理，分别求得丨丨2和丨丨2，则丨丨2+丨丨2=32+2丨丨2=50．【解答】解：抛物线C：y2=4x焦点（1，0），设AB的中点C，由抛物线的焦点弦公式可知丨AB丨=2丨CP丨+2p，则丨CP丨=3，由余弦定理可知：丨丨2=丨丨2+丨丨2﹣2丨丨丨丨cos∠ACP，即丨丨2=42+丨丨2﹣2×4丨丨cos∠ACP，同理可得：丨丨2=42+丨丨2﹣2×4丨丨cos∠BCP，由∠ACP+∠BCP=π，则cos∠BCP=﹣cos∠ACP，∴丨丨2+丨丨2=32+2丨丨2=50，∴丨丨2+丨丨2=50，故选C．【点评】本题考查抛物线的焦点弦公式，考查余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．二、填空题：（每题5分，共20分）13．（5分）（2014春•越秀区校级期中）双曲线﹣=1的离心率e= 2 ．【分析】利用双曲线﹣=1，求出a，b，c，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：双曲线﹣=1中，a2=4，b2=12，∴c2=16，∴a=2，c=4，∴e==2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线方程与性质，确定a，c的值是关键．14．（5分）（2015秋•赤峰校级月考）数列{an }中，，，则a7= 2 ．【分析】利用递推公式即可得出．【解答】解：∵，，∴a3==﹣3，a5==﹣．则a7==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2015秋•长春校级月考）已知向量=（2，﹣1），=，且（+k）⊥（﹣k），则实数k= ±．【分析】根据两向量垂直数量积为0，列出方程即可求出实数k的值．【解答】解：向量=（2，﹣1），=，∴=22+（﹣1）2=5，=+=1；又（+k）⊥（﹣k），∴（+k）•（﹣k）=0，即﹣k2=0，∴5﹣k2=0，解得k=±．故答案为：±．【点评】本题考查了平面向量的模长公式与数量积公式的应用问题，是基础题目．16．（5分）（2015秋•长春校级月考）函数f（x）=x3﹣3x+m的定义域A=[0，2]，值域为B，当A∩B=∅时，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．．【分析】利用导数求出函数f（x）在定义域[0，2]内的值域B，利用A∩B=∅求出m的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣3x+m，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），令f′（x）=0，解得x=1或x=﹣1（舍去），∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上是单调减函数，x∈（1，2）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，2）上是单调增函数，且f（0）=m，f（1）=m﹣2，f（2）=m+2，∴f（x）的定义域A=[0，2]，值域为B=[m﹣2，m+2]，当A∩B=∅时，m+2＜0或m﹣2＞2，解得m＜﹣2或m＞4，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与求最值问题，也考查了集合的运算问题，是综合性题目．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2013秋•吉林期末）已知数列{an }的前n项和Sn=n2+2n（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）当n=1时，可求得a1=3；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1，对a1=3仍成立，于是可得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）利用裂项法可求得=（﹣），于是可求得数列{}的前n项和Tn ．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1，对a1=3仍成立，∴数列{an }的通项公式：an=2n+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知==（﹣）∴Tn=[（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（﹣）=．【点评】本题考查数列的求和，着重考查递推关系的应用，突出考查裂项法求和，属于中档题．18．（12分）（2015•威海一模）某厂家生产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种杯子均有300ml 和500ml两种型号，某月的产量（单位：个）如下表所示：按样式用分层抽样的方法在这个月生产的杯子中随机的抽取100个，其中有乙样式的杯子35个．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在甲样式的杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个300ml的杯子的概率．【分析】（Ⅰ）设在丙样式的杯子中抽取了x个，利用抽样比直接求解即可．（Ⅱ）设所抽样本中有m个300ml的杯子，求出从中任取2个300ml的杯子的所有基本事件个数，求出至少有1个300ml的杯子的基本事件个数，然后求解概率．【解答】解：（Ⅰ）设在丙样式的杯子中抽取了x个，由题意，∴x=40．∴在甲样式的杯子中抽取了100﹣40﹣35=25个，∴，解得z=2000．（Ⅱ）设所抽样本中有m个300ml的杯子，∴△=4k2b2﹣4（k2+3）（b2﹣6）=12（k2﹣b2+6）＞0，∴m=2．也就是抽取的5个样本中有2个300ml的杯子，分别记作A1，A2；3个500ml的杯子，分别记作B1，B2，B3．则从中任取2个300ml的杯子的所有基本事件为（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B 2），（A2，B3），（A1，A2），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共10个．其中至少有1个300ml的杯子的基本事件有（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2），共7个∴至少有1个300ml的杯子的概率为．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，分层抽样的应用，基本知识的考查．19．（12分）（2015•张掖一模）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，且这个几何体的体积为10．（Ⅰ）求棱AA1的长；（Ⅱ）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值．【分析】（Ⅰ）设AA1=h，由题设=﹣，可求出棱长．（Ⅱ）因为在长方体中A1D1∥BC，所以∠O1BC即为异面直线BO1与A1D1所成的角（或其补角）那么借助于三角形求解得到结论．【解答】解：（Ⅰ）设AA1=h，由题设=﹣=10，∴即，解得h=3．故A 1A 的长为3．（Ⅱ）∵在长方体中，A 1D 1∥BC ，∴∠O 1BC 为异面直线BO 1与A 1D 1所成的角（或其补角）． 在△O 1BC 中，AB=BC=2，A 1A=3， ∴AA 1=BC 1=，=，∴，则cos ∠O 1BC===．∴异面直线BO 1与A 1D 1所成角的余弦值为．【点评】本题主要考查了点，线和面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离．20．（12分）（2015秋•长春校级月考）已知椭圆C ：，两个焦点为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），P 是椭圆上的动点，且向量的最大值为2．（1）求椭圆方程；（2）过左焦点的直线l 交椭圆C 与M 、N 两点，且满足，求直线l 的方程（其中∠MON=θ，O 为坐标原点）．【分析】（1）由椭圆两个焦点为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），P 是椭圆上的动点，且向量的最大值为2，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l1的方程为y=k（x+2），代入椭圆C的方程=1，得（3k2+1）x2+12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、正弦定理能求出直线l；直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2．由此能求出结果．【解答】解：（1）∵椭圆C：，两个焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），P是椭圆上的动点，且向量的最大值为2∴，解得c=2，a2=6，b2=2，故椭圆C的方程为=1．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l1的方程为y=k（x+2），代入椭圆C的方程=1，并整理得：（3k2+1）x2+12k2x+12k2﹣6=0，设M（x1，y1），N（x2，y2）则x1+x2=﹣，x1x2=，∴|MN|=•|x1﹣x2|=•=，坐标原点O到直线l的距离d=．∵，∴S△MON=，∴S△MON=|MN|d==，解得k=±此时直线l的方程为y=±（x+2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2此时点M（﹣2，），N（﹣2，﹣），满足S△MON=，综上得，直线l的方程为x=﹣2或y=±（x+2）．【点评】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、正弦定理、椭圆性质的合理运用．21．（12分）（2015秋•长春校级月考）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点，则求实数a的取值范围．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，﹣2），即可解得a；（2）依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1，求出导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，求得函数g（x）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可．【解答】解：（1）由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切点P（1，a），f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切线方程：y﹣a=（2a+1）（x﹣1），把（0，﹣2）代入得：a=1；（2）依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1 则：g′（x）=+2a（x＞0）当a≥0时，有g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，不符合题意；当a＜0时：由g′（x）=0得：x=﹣＞0，列表如下：依题意：g（﹣）=ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可得，﹣＜a＜0．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】22．（10分）（2016•衡水校级模拟）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．【分析】（1）若a=﹣1，由绝对值的意义求得不等式f（x）≥3的解集．（2）由条件利用绝对值的意义求得函数f（x）的最小值为|a﹣1|，可得|a﹣1|=2，由此求得a的值．【解答】解：（1）若a=﹣1，函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|=|x﹣1|+|x+1|，表示数轴上的x对应点到1、﹣1对应点的距离之和，而﹣1.2和 1.5 对应点到1、﹣1对应点的距离之和正好等于3，故不等式f（x）≥3的解集为{x|≤﹣1.5，或 x≥1.5}．（2）由于∀x∈R，f（x）≥2，故函数f（x）的最小值为2．函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到1、a对应点的距离之和，它的最小值为|a﹣1|，即|a﹣1|=2，求得a=3 或a=﹣1．【点评】本题主要考查绝对值的意义，函数的恒成立问题，属于中档题．。

2017-2018学年辽宁省高三（上）第一次月考试卷（理科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z的实部为1，虚部为﹣2，则=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i2．满足{1，2}⊊A⊆{1，2，3，4，5}的集合A的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．7个3．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．124．函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x）=0：q：x=x是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件5．函数y=的值域是（）A．[0，+∞）B．[0，4] C．[0，4）D．（0，4）6．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2B ．C ．D ．7．设M 为实数区间，a ＞0且a ≠1．若“a∈M”是“函数f （x ）=log a |x ﹣1|在（0，1）上单调递增”的一个充分不必要条件，则区间M 可以是（ ） A ．（1，+∞） B ．（1，2） C ．（0，1） D ．8．设曲线y=3x ﹣ln （x+a ）在点（0，0）处的切线方程为y=2x ，则a=（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39．若实数x ，y 满足|x ﹣1|﹣ln =0，则y 关于x 的函数图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．10．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （）=0，则不等式f （log x ）＞0的解是（ ）A ．（，1 ）B ．（ 2，+∞）C ．（ 0，）∪（ 2，+∞）D ．（，1 ）∪（ 2，+∞）11．已知函数f （x ）=，函数g （x ）=asin （）﹣2α+2（a ＞0），若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]B ．（0，]C ．[]D ．[，1]12．设函数f′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B ．（﹣1，0）∪（1，+∞） C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D ．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分共20分）．13．偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）= ．14．已知函数f（x）=a2x﹣2a+1．若命题“∀x∈（0，1），f（x）≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是．15．在曲线y=x2（x≥0）上某一点A处做一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，则切点A的坐标为．16．设定义域为R的函数f（x），若关于x的方程2f2（x）+2bf（x）+1=0有8个不同的实数根，则b的取值范围是．三、解答题17．（10分）求函数f（x）=xe﹣x的单调区间和极值．18．（12分）已知函数f（x）=2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=lnx+，其中a≠0（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程（2）若函数f（x）是[1，+∞）上为增函数，求非零实数a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=sinx+lnx﹣kx（k＞0）（1）若函数f（x）在单调递增，求k的取值范围（2）设g（x）=sinx（x＞0），若y=g（x）的图象在y=f（x）的图象上方，求k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．22．（12分）在直角坐标系xoy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：ρ=2cosθ．（Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求|AB|的最大值．2017-2018学年辽宁省高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2015秋•呼和浩特月考）已知复数z的实部为1，虚部为﹣2，则=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【分析】求出z=1﹣2i，由==﹣2+i求得结果．【解答】解：∵复数z的实部为1，虚部为﹣2，∴z=1﹣2i，∴==﹣2+i，故选：D．【点评】本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，求出复数z是解题的突破口．2．（2016秋•冀州市校级月考）满足{1，2}⊊A⊆{1，2，3，4，5}的集合A的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．7个【分析】由集合A满足{1，2}⊊A⊆{1，2，3，4，5}，可得集合A同时含有元素1和2，且至少含有3、4和5中的一个元素，利用列举法，即可得到结论．【解答】解：∵集合A满足{1，2}⊊A⊆{1，2，3，4，5}，∴集合A必含有元素1和2，且至少含有3、4和5中的一个元素，∴A={1，2，3}，{1，2，4}或{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．共7个集合．故选：D．【点评】本题考查集合的包含关系，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．12）=（）3．（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log2A．3 B．6 C．9 D．12【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．4．（2014•新课标Ⅱ）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x）=0：q：x=x是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．5．（2013秋•天心区校级期末）函数y=的值域是（）A．[0，+∞）B．[0，4] C．[0，4）D．（0，4）【分析】观察法求函数的值域，注意4x＞0．【解答】解：∵4x＞0，∴0≤16﹣4x＜16，∴函数y=的值域是[0，4）．故选C．【点评】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．6．（2010•安徽模拟）某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2B．C．D．【分析】由框图可判断出框图的功能是输出的函数f（x）既是奇函数又存在零点，即可得到结论．【解答】解：A．函数f（x）是偶函数，B.为奇函数，但函数f（x）无零点．C.，定义域是R，故f（x）是奇函数，由f（x）=0解得e x=e﹣x，即x=﹣x，解得x=0，即函数f（x）存在零点．D，由于1+sinx+cosx≠0，即1+≠0，即，即x+≠2kπ﹣，或x+≠2kπ﹣，由此知，此函数的定义域不关于原点对称，故不满足条件，故选C【点评】根据程序框图的流程能够判断出框图的功能；判断函数的性质一般先化简各个函数．7．（2011•天心区校级模拟）设M为实数区间，a＞0且a≠1．若“a∈M”是“函数f（x）=loga|x ﹣1|在（0，1）上单调递增”的一个充分不必要条件，则区间M可以是（）A．（1，+∞）B．（1，2）C．（0，1）D．【分析】所有不包含于这个解集的集合都是不充分条件，可按照排除法即可得到答案．【解答】解：由“函数f（x）=loga|x﹣1|在（0，1）上单调递增”可知0＜a＜1，由题意区间M可以是，故选D．【点评】此题主要考查必要，充分条件的判定问题．其中涉及到不等式的解的求法，属于综合性问题，对概念的理解要求高．8．（2015秋•呼和浩特月考）设曲线y=3x﹣ln（x+a）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：曲线y=3x﹣ln（x+a）y′=3﹣，∴y′（0）=3﹣=2，∴a=1．故选：B．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（2016春•娄底期末）若实数x，y满足|x﹣1|﹣ln=0，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案．【解答】解：∵|x﹣1|﹣ln=0，∴f（x）=（）|x﹣1|其定义域为R，当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，因为0＜＜1，故为减函数，又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，对照选项，只有B正确．故选：B．【点评】本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力，属于基础题．10．（2015秋•呼和浩特月考）定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（）=0，则不等式f（log x）＞0的解是（）A．（，1 ）B．（ 2，+∞） C．（ 0，）∪（ 2，+∞）D．（，1 ）∪（ 2，+∞）【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，它在[0，+∞）上为增函数，且f（）=0，则不等式f（log x）＞0，可得|log x|＞，解出即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，它在[0，+∞）上为增函数，且f（）=0，∴由不等式f（log x）＞0，可得|log x|＞，化为log x ＞或log x ＜﹣，解得0＜x ＜或x ＞2． ∴不等式f （log x ）＞0的解集为（0，）∪（2，+∞）．故选：C ．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性、对数的运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（2011•江西校级模拟）已知函数f （x ）=，函数g （x ）=asin （）﹣2α+2（a ＞0），若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]B ．（0，]C ．[]D ．[，1]【分析】根据x 的范围确定函数f （x ）的值域和g （x ）的值域，进而根据f （x 1）=g （x 2）成立，推断出，先看当二者的交集为空集时刻求得a 的范围，进而可求得当集合的交集非空时a 的范围．【解答】解：当x ∈[0，1]时，f （x ）=，值域是[0，1]，值域是，∵存在x 1、x 2∈[0，1]使得f （x 1）=g （x 2）成立， ∴，若，则2﹣2a ＞1或2﹣＜0，即 ，∴a 的取值范围是 ．故选A【点评】本题主要考查了三角函数的最值，函数的值域问题，不等式的应用，解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．12．（2015•新课标Ⅱ）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f （x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分共20分）．13．（2014•新课标Ⅱ）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）= 3 ．【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．【解答】解：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x），则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（1）=f（3）=3，因为f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）=f（x）是解决本题的关键，比较基础．14．（2015•朝阳二模）已知函数f（x）=a2x﹣2a+1．若命题“∀x∈（0，1），f（x）≠0”是假命题，则实数a的取值范围是（，1）∪（1，+∞）．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，通过特称命题是真命题，求出a的范围．【解答】解：函数f （x ）=a 2x ﹣2a+1，命题“∀x ∈（0，1），f （x ）≠0”是假命题， ∴原命题的否定是：“存在实数x ∈（0，1），使f （x ）=0”是真命题， ∴f （1）f （0）＜0，即（a 2﹣2a+1）（﹣2a+1）＜0； ∴（a ﹣1）2（2a ﹣1）＞0， 解得a ＞，且a ≠1；∴实数a 的取值范围是（，1）∪（1，+∞）． 故答案为：（，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了命题的否定的应用问题，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个假命题，得到正确的结论，是基础题．15．（2015秋•呼和浩特月考）在曲线y=x 2（x ≥0）上某一点A 处做一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为，则切点A 的坐标为 （1，1） ．【分析】先求切点A 的坐标，设点A 的坐标为（a ，a 2），故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而得到切线的方程进而求得面积的表达式．建立关于a 的方程解之即得切点A 的坐标． 【解答】解：设点A 的坐标为（a ，a 2）， 过点A 的切线的斜率为k=y'|x=a =2a ，故过点A 的切线l 的方程为y ﹣a 2=2a （x ﹣a ）， 即y=2ax ﹣a 2，令y=0，得x=， 则S=S △ABO ﹣S △ABC =﹣（••a 2﹣x 2dx ）==，∴a=1，∴切点A 的坐标为（1，1）， 故答案为：（1，1）．【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、定积分的应用、直线的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．16．（2015•张家港市校级模拟）设定义域为R的函数f（x），若关于x的方程2f2（x）+2bf（x）+1=0有8个不同的实数根，则b的取值范围是﹣1.5＜b＜﹣．【分析】题中原方程2f2（x）+2bf（x）+1=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数K，有2个不同的K，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，只有满足条件的K在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．【解答】解：根据题意作出f（x）的简图：由图象可得当f（x）∈（0，1）时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程2f2（x）+2bf（x）+1=0有8个不同实数解“，可以分解为形如关于K的方程2k2+2bK+1=0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于1的实数．列式如下：，即，可得﹣1.5＜b＜﹣故答案为：﹣1.5＜b＜﹣【点评】本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，属于难题，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．三、解答题17．（10分）（2015秋•呼和浩特月考）求函数f（x）=xe﹣x的单调区间和极值．【分析】求导函数，由导数的符号，可得函数的单调区间，从而可求函数的极值．【解答】解：函数f（x）=xe﹣x可得：f′（x）=（1﹣x）e﹣x，令f′（x）=0，解得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以f（x）在（﹣∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数，函数f（x）在x=1处取得极大值f（1），即f（1）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，属于基础题．18．（12分）（2015秋•天水校级期末）已知函数f（x）=2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导并令导数为0，从而求出极大值与端点时的函数值，从而得到最大值；（Ⅱ）设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，得解．【解答】解：（Ⅰ）令f′（x）=6x2﹣3=0解得，x=±，则f（x）在x=﹣时取得极大值，∵f（﹣）=，f（1）=2﹣3=﹣1，则f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x，2x3﹣3x），则=6x2﹣3，化简得，4x3﹣6x2+3+t=0，令g（x）=4x3﹣6x2+3+t，则令g′（x）=12x（x﹣1）=0，则x=0，x=1．g（0）=3+t，g（1）=t+1，又∵过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，则（t+3）（t+1）＜0，解得，﹣3＜t＜﹣1．【点评】本题考查了导数的综合应用，同时考查了斜率的表示方法，用到函数零点个数的判断，属于难题．19．（12分）（2015秋•呼和浩特月考）已知函数f（x）=lnx+，其中a≠0（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程（2）若函数f（x）是[1，+∞）上为增函数，求非零实数a的取值范围．【分析】（1）求导数f′（x），可得切线斜率，切点为（1，0），由点斜式可求切线方程；（2）由f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，知f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分离出参数a后，转化为求函数的最值．【解答】解：（1）当a=1时，f′（x）=﹣，∴f′（1）=0，f（1）=0，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0；（2）f′（x）=﹣，∵函数f（x）是[1，+∞）上为增函数，∴﹣≥0在[1，+∞）上恒成立，∴a≥在[1，+∞）上恒成立，∴a≥1．【点评】该题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立，考查转化思想．20．（12分）（2015秋•呼和浩特月考）已知函数f（x）=sinx+lnx﹣kx（k＞0）（1）若函数f（x）在单调递增，求k的取值范围（2）设g（x）=sinx（x＞0），若y=g（x）的图象在y=f（x）的图象上方，求k的取值范围．即可；【分析】（1）由题意，f′（x）=cosx+﹣k≥0，则k≤cosx+，（cosx+）min（2）由题意得x＞0时，g（x）＞f（x）恒成立，化为lnx﹣kx＜0（x＞0）恒成立，h（x）=lnx﹣kx，利用导数求其最大值即可．【解答】解：（1）由题意，f′（x）=cosx+﹣k≥0，则k≤cosx+，而cosx+在（0，]上单调递减，=cos+=，则k∈（0，]；则（cosx+）min（2）由题意得x＞0时，g（x）＞f（x）恒成立，则lnx﹣kx＜0（x＞0）恒成立，令h（x）=lnx﹣kx，h′（x）=﹣k，x∈（0，）时，h′（x）＞0，x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，（x）=h（）=ln﹣1＜0，则hmax则k＞．【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题化成最值问题的处理方法，是一道中档题．21．（12分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．【分析】（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．【解答】解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）＞0，且f（﹣）＜0，∴b＞0且+b＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．22．（12分）（2015•新课标Ⅱ）在直角坐标系xoy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：ρ=2cosθ．（Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求|AB|的最大值．【分析】（Ⅰ）将C2与C3转化为直角坐标方程，解方程组即可求出交点坐标；（Ⅱ）求出A，B的极坐标，利用距离公式进行求解．【解答】解：（Ⅰ）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C1交点的直角坐标为（0，0），（，）；（Ⅱ）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．【点评】本题主要考查极坐标方程和参数方程的应用，考查学生的运算和转化能力．。

2017-2018学年第四次月考数学理试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题60分）注意事项：1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

在试题卷上作答无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{}sin ,A y y x x R ==∈，集合{}lg B x y x ==，则()R C A B =（ ）(1,)A +∞、 [)1,B +∞、 []1,1C -、(,1)(1,)D -∞-+∞、2、已知i 为虚数单位，复数122iz i-=-，则复数z 的虚部是（ ）A 、35i -B 、35-C 、45iD 、45由资料可知y 和x 呈线性相关关系,由表中数据算出线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆ123,b =. 据此估计,使用年限为10年时的维修费用是（ ）万元.A 、12.18B 、12.28C 、12.38 D4、若某棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该棱锥的体积等于（ ）A 、10 cm 3B 、20 cm 3C 、30 cm 3D 、40 cm 35、已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β,直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则以下俯视图正确的个数是（ ） （1）α∥β且l ∥α（2）αβ⊥且l β⊥（3）α与β相交，且交线垂直于l （4）α与β相交，且交线平行于lA 、0个B 、1 个C 、2个D 、3个6、若111a b<<，则下列结论中不正确的是( ) log log a b A b a >、 l o g l o g 2a b B b a+>、 2(log )1b C a <、 log log log log a b a b D b a b a +>+、7、已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥511y x y x 时，)0(>≥+=b a b y a x z 的最大值为1，则b a +的最小值为（ ）A 、7B 、8C 、9D 、108、如图所示，用模拟方法估计圆周率π的程序框图， P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）A 、1000N P =B 、41000NP =C 、1000M P =D 、41000MP =9、在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅+的值为( )A 、0B 、1C 、2013D 、201410、平行四边形ABCD 中，AB ·BD =0，沿BD 折成直二面角A BD C --，且22421AB BD +=，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ）A 、2πB 、4πC 、48πD11、已知椭圆: 22221(,0)x y a b a b+=>和圆O :222b y x =+,过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线,切点分别为B A ,. 若椭圆上存在点P ,使得0PA PB ⋅=,则椭圆离心率e 的取值范围是（ ）A 、)1,21[B 、]22,0( C 、]22,21[D 、)1,22[12、已知R 上的函数()y f x =，其周期为2，且(]1,1x ∈-时2()1f x x =+，函数1sin (0)()11(0)x x g x x xπ+>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-上的零点的个数为（ ）A 、11B 、10C 、9D 、8第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：本卷包括必考题和选考题两部分。

2017-2018学年辽宁省高三（上）第二次质检数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=|a+1|，a∈A}，则A∩B=（）A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{0，1，2}2．（5分）一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒3．（5分）函数的零点为1，则实数a的值为（）A．﹣2 B．C．D．24．（5分）设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（）A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数5．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣3，那么f（﹣2）的值是（）A．B．C．1 D．﹣16．（5分）下列选项中，说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x＞0”B．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件C．命题“若am2≤bm2，则a≤b”是假命题D．命题“在△ABC中，若sinA＜，则A＜”的逆否命题为真命题7．（5分）定积分dx的值为（）A．2﹣e B．﹣e C．e D．2+e8．（5分）已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，若g（x）=．则g′（1）=（）A．B．﹣ C．﹣ D．29．（5分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，﹣2），关于x的不等式＞0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）10．（5分）若向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则一定满足（）A．的夹角等于α﹣βB．（）⊥（）C．∥D．⊥11．（5分）将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象上所有的点向左平移个单位（纵坐标不变），则所得图象的解析式是（）A．y=﹣cos2x B．y=cos2x C．y=sin（2x﹣）D．y=sin（2x+）12．（5分）函数f（x）=x﹣1﹣2sinπx的所有零点之和等于（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知tanx=3，则= ．14．（5分）如图，圆O：x2+y2=内的余弦函数y=cosx的图象与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机向圆内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是．15．（5分）若实数x，y满足，则目标函数z=的最大值是．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足对于任意的x∈R，都有f（x+9）=f（x）+1，且x∈[0，9）时，f（x）=x+2，则f（2015）的值为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17．（10分）已知向，满足||=1，||=6，且•（﹣）=2，求：（1）与的夹角；（2）|2﹣|的模．18．（12分）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．19．（12分）已知在递增等差数列{a n}中，a1=2，a3是a1和a9的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，S n为数列{b n}的前n项和，是否存在实数m，使得S n＜m对于任意的n∈N+恒成立？若存在，请求实数m的取值范围，若不存在，试说明理由．20．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC+ccosB=2acosB．（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积．21．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．22．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x﹣1．（Ⅰ）求函数y=f（x）图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）证明：f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若不等式f（x）≤ag（x）对于任意的x∈（1，+∞）均成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年辽宁省高三（上）第二次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015秋•商丘期末）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=|a+1|，a∈A}，则A∩B=（）A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{0，1，2}【分析】集合B中的自变量属于集合A，把集合A中的元素代入函数求出值域，确定出集合B，注意集合的互异性．【解答】解：∵x=|a+1|，a∈A∴当a=﹣1时，x=0；a=0时，x=1；a=1时，x=2；∴根据集合的互异性可知B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}；故选C．【点评】本题主要考查了交集的运算，注意元素a的讨论．2．（5分）（2009•湖北校级模拟）一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒【分析】①求出s的导函数s'（t）=2t﹣1②求出s'（3）【解答】解：s'（t）=2t﹣1，s'（3）=2×3﹣1=5．故答案为C【点评】考查求导法则及导数意义3．（5分）（2011•临沂一模）函数的零点为1，则实数a的值为（）A．﹣2 B．C．D．2【分析】根据函数的零点为1，即方程f（x）=0的根是1，代入即可求得实数a的值．【解答】解：∵函数的零点为1，即解得a=﹣，故选B．【点评】此题是个基础题．考查函数的零点与方程的根之间的关系，体现了转化的思想．4．（5分）（2015•陕西）设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（）A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数【分析】利用函数的奇偶性的定义判断f（x）为奇函数，再利用导数研究函数的单调性，从而得出结论．【解答】解：由于f（x）=x﹣sinx的定义域为R，且满足f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f（x），可得f（x）为奇函数．再根据f′（x）=1﹣cosx≥0，可得f（x）为增函数，故选：B．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．5．（5分）（2016春•通渭县期末）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣3，那么f （﹣2）的值是（）A．B．C．1 D．﹣1【分析】由f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣3，可求得f（2）的值，从而可得f （﹣2）的值．【解答】解：∵x＞0时，f（x）=2x﹣3，∴f（2）=22﹣3=1．又f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣1．故选D．【点评】本题考查函数的奇偶性，着重考查函数奇偶性的概念与应用，属于基础题．6．（5分）（2014秋•辽宁期末）下列选项中，说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x＞0”B．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件C．命题“若am2≤bm2，则a≤b”是假命题D．命题“在△ABC中，若sinA＜，则A＜”的逆否命题为真命题【分析】根据特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，逐一分析四个答案是否成立，最后综合讨论结果，可得结论．【解答】解：对于A，命题“∃x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＞0”，故错误；对于B，命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件，故错误；对于C，命题“若am2≤bm2，则a≤b”在m=0时，不一定成立，故是假命题，故正确；对于D，“在△ABC中，若sinA＜，则A＜或A＞”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；故选：C【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，难度不大，属于基础题．7．（5分）（2014秋•长春校级期末）定积分dx的值为（）A．2﹣e B．﹣e C．e D．2+e【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：dx=（x2﹣e x）|=1﹣e﹣（0﹣1）=2﹣e．故选：A．【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．8．（5分）（2015秋•高安市校级期末）已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，若g（x）=．则g′（1）=（）A．B．﹣ C．﹣ D．2【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，∴f（1）=1，f′（1）=，∵g（x）=，∴g′（x）=，则g′（1）===，故选：A．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的斜率关系，求函数的导数利用导数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．9．（5分）（2015秋•长春校级月考）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，﹣2），关于x的不等式＞0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【分析】由已知得到a＜0，并且=﹣2，将所求不等式化简为一次因式积的形式，解不等式．【解答】解：由已知得到a＜0，并且=﹣2，所以关于x的不等式＞0化简为，即为x（ax+b）（x﹣1）＞0，所以解集为（﹣∞，0）∪（1，2）；故选：B．【点评】本题考查了分式不等式的解法；由已知得到a的符号以及是解答的关键．10．（5分）（2009秋•英德市校级期末）若向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则一定满足（）A．的夹角等于α﹣βB．（）⊥（）C．∥D．⊥【分析】此题中的α与β没限制条件，可用排除法排除A，C，D选项，再根据向量垂直检验B选项正确即可．【解答】解：∵角α，β为全体实数，α﹣β也为全体实数，而两向量的夹角θ∈（0，π），故A不对．∵当α=45°，β=30°时，与不平行，也不垂直，故C，D不对．∵==1﹣1=0，∴，故选B．【点评】本题考查了向量的垂直关系并于三角相结合考查向量的摸的运算．是一道好题．11．（5分）（2014秋•长春校级期末）将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象上所有的点向左平移个单位（纵坐标不变），则所得图象的解析式是（）A．y=﹣cos2x B．y=cos2x C．y=sin（2x﹣）D．y=sin（2x+）【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象上所有的点向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）=cos2x的图象，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．12．（5分）（2016•呼伦贝尔一模）函数f（x）=x﹣1﹣2sinπx的所有零点之和等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】由f（x）=x﹣1﹣2sinπx=0得x﹣1=2sinπx，分别作出函数y=x﹣1和y=2sinπx的图象，利用对称性结合数形结合进行求解即可．【解答】解：由f（x）=x﹣1﹣2sinπx=0得x﹣1=2sinπx，分别作出函数y=x﹣1和y=2sinπx的图象如图：则两个函数都关于点（1，0）对称，由图象知，两个函数共有5个交点，其中x=1是一个零点，另外4个零点关于点（1，0）对称，设对称的两个点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2=2×1=2，∴5个交点的横坐标之和为2+2+1=5．故答案为：5．【点评】本题主要考查函数交点个数以及数值的计算，根据函数图象的性质，利用数形结合是解决此类问题的关键，综合性较强，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2015秋•长春校级月考）已知tanx=3，则= 2 ．【分析】原式分子分母除以cosx，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanx的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanx=3，∴原式===2．故答案是：2．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．（5分）（2012•吉林二模）如图，圆O：x2+y2=内的余弦函数y=cosx的图象与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机向圆内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是．【分析】先利用定积分求出余弦函数y=cosx的图象与x轴围成的区域M的面积，以及圆的面积，再利用几何概型的概率公式求出点A落在区域M内的概率即可．【解答】解：余弦函数y=cosx的图象与x轴围成的区域M的面积为=sinx=sin﹣sin（﹣）=2而圆O：x2+y2=内的面积为π=根据几何概型的概率公式可知点A落在区域M内的概率是=故答案为：【点评】本题主要考查了定积分在求面积的应用，以及几何概型的概率计算，同时考查了计算能力，属于基础题．15．（5分）（2015秋•长春校级月考）若实数x，y满足，则目标函数z=的最大值是 2 ．【分析】先画出平面区域，再把目标函数转化为平面区域内的点与定点（﹣1，0）组成连线的斜率；结合图象求出平面区域内的点与定点（﹣1，0）组成连线的斜率的最大值即可得到结论．【解答】解：实数x，y满足，对应的平面区域如图：因为目标函数z=相当于平面区域内的点与定点（﹣1，0）组成连线的斜率；而由图可得，当过点C时，平面区域内的点与定点（﹣1，0）组成连线的斜率最大．联立：可得C（0，2）．k pc==2．此时目标函数z=的最大值是：2．故答案为：2．【点评】本题考查线性规划知识的延伸，解决本题的关键在于把目标函数转化为平面区域内的点与定点（﹣1，0）组成连线的斜率．16．（5分）（2015秋•长春校级月考）已知定义在R上的函数f（x）满足对于任意的x∈R，都有f（x+9）=f（x）+1，且x∈[0，9）时，f（x）=x+2，则f（2015）的值为233 ．【分析】利用f（x+9）=f（x）+1，逐步化简，结合x∈[0，9）时，f（x）=x+2，可得答案．【解答】解：x∈[0，9）时，f（x）=x+2，∵f（x+9）=f（x）+1，f（2015）=f（2006）+1=f（1997）+2=f（1992）+3=…=f（8）+223=8+2+223=233，故答案为：233．【点评】本题考查抽象函数的应用，考查函数的周期性，属基础题．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17．（10分）（2016春•高安市校级期中）已知向，满足||=1，||=6，且•（﹣）=2，求：（1）与的夹角；（2）|2﹣|的模．【分析】（1）由题意，可根据题中条件求出•，再由数量积公式即可求出与的夹角；（2）先对|2﹣|平方，再将两向量的内积与模代入计算求出模．【解答】解：（1）∵•（﹣）=•﹣2=2，又||=1，||=6∴•=3，即||||cos＜，＞=3，解得cos＜，＞=又0≤＜，＞≤π，所以与的夹角为（2）|2﹣|2=42﹣4•+2=28，∴|2﹣|=2【点评】本题考查平面向量数量积的运算及其定义，解题的关键是根据题设条件解出两向量的内积及掌握平方法求向量的模18．（12分）（2009春•如东县期末）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．【分析】（1）根据导函数的解析式设出原函数的解析式，根据有两个相等的实根可得答案．（2）根据定积分的定义可得答案．【解答】解：（1）∵f′（x）=2x+2 设f（x）=x2+2x+c，根据f（x）=0有两等根，得△=4﹣4c=0解得c=1，即f（x）=x2+2x+1；（2）S==．【点评】本题主要考查导数的逆运算和定积分在求面积中的应用．属基础题．19．（12分）（2016•银川校级三模）已知在递增等差数列{a n}中，a1=2，a3是a1和a9的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，S n为数列{b n}的前n项和，是否存在实数m，使得S n＜m对于任意的n∈N+恒成立？若存在，请求实数m的取值范围，若不存在，试说明理由．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）存在．由于b n==，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由{a n}为等差数列，设公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，∵a3是a1和a9的等比中项，∴=a1•a9，即（2+2d）2=2（2+8d），解得d=0（舍）或d=2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（Ⅱ）存在．b n==，∴数列{b n}的前n项和S n=+…+=，∴存在实数m，使得S n＜m对于任意的n∈N+恒成立．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）（2016秋•会宁县校级期中）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC+ccosB=2acosB．（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角B的大小；（2）利用余弦定理求出ac的值，代入三角形的面积公式即可．【解答】解：（1）∵bcosC+c cosB=2acosB．∴由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosBsinA=2sinAcosB，∵sinA＞0，∴，∵0＜B＜π，∴；（2）∵，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac即13=16﹣3ac，解得ac=1，∴．【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．21．（12分）（2016•平度市三模）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，根据变量x的取值范围可求出最小值和最大值；（2）根据C的范围和f（C）=0可求出角C的值，再根据两个向量共线的性质可得sinB﹣2sinA=0，再由正弦定理可得b=2a，最后再由余弦定理得到a与b的等式，解方程组可求出a，b的值．【解答】解：（1）函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，∵x∈[﹣，]∴2x﹣∈[﹣，]则sin（2x﹣）∈[﹣，1]∴函数f（x）的最小值为﹣﹣1和最大值0；（2）∵f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即 sin（2C﹣）=1，又∵0＜C＜π，﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，∴C=．∵向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，∴sinB﹣2sinA=0．由正弦定理，得 b=2a，①∵c=，由余弦定理得3=a2+b2﹣2abcos，②解方程组①②，得 a=1，b=2．【点评】本题主要考查了两角和与差的逆用，以及余弦定理的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．22．（12分）（2016春•城关区校级月考）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x﹣1．（Ⅰ）求函数y=f（x）图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）证明：f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若不等式f（x）≤ag（x）对于任意的x∈（1，+∞）均成立，求实数a的取值范围．【分析】（I）利用导数的几何意义可得切线的斜率，即可得出切线的方程．（Ⅱ）设h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x+1，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．（Ⅲ）∀x∈（1，+∞），f（x）＞0，g（x）＞0．对a分类讨论，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，∴f′（1）=1，又f（1）=0，得切线l：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．证明：（Ⅱ）设h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x+1，则h′（x）=﹣1，令h′（x）=0，得x=1．∴h（x）≤h（x）max=h（1）=0，即f（x）≤g（x）．解：（Ⅲ）∀x∈（1，+∞），f（x）＞0，g（x）＞0．当a≥1时，f（x）≤g（x）≤ag（x）；当a≤0时，f（x）＞0，g（x）≤0不满足不等式；当0＜a＜1时，设u（x）=f（x）﹣ag（x）=lnx﹣a（x﹣1），u′（x）=﹣a，令u′（x）=0，得x=．∴u（x）max=u＞u（1）=0．综上所述实数a的取值范围为[1，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、导数的几何意义，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于难题．。