第一章预备知识

应用随机过程主讲教师：施三支第1章预备知识——概率论的基础知识内容提要1.1 概率1.2 随机变量和分布函数1.3 数字特征1.4 矩母函数与特征函数1.5条件期望1.6n维高斯分布1.7 收敛性1.1 概率⏹随机试验的三个特征❿可以在相同条件下重复进行❿每次试验的结果不止一个，但能事先确定试验的所有可能结果❿每次试验前不能确定哪个结果会出现⏹样本空间Ω——随机试验所有可能结果组成的集合ω⏹样本点（或基本事件）——样本空间Ω中的元素⏹（随机）事件A——样本空间Ω的子集概率[定义]设Ω是一个集合，A ⊂Ω，如果P (A )满足：(1) ；(2)；(3) 对两两互不相容事件A 1, A 2, …⊂Ω，有；则称P (A )是事件A 的概率。

1)(0≤≤A P 1)(=ΩP ∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11)(i i i i A P A P概率性质：(1) P (∅)=0；(2) 如果，则；（单调性）(3) A 1, A 2, … A n ⊂Ω，有（多除少补原理）(4) A 1, A 2, …⊂Ω，有；（次可加性）(5) A 1 ⊂A 2⊂…⊂Ω,有（连续性）∑∞=∞=≤11)()(n n n n A P A P B A ⊂)()(B P A P ≤)()lim ()(lim 1∞=∞→∞→==n n n n n n A P A P A P )()1()()()()(2111111n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+-+-=∑∑∑解：记P k 为恰有k 个人拿到自己帽子的概率，k =0,1,2, …,n ，例1.1 （匹配问题）在一次集会上，n 个人把他们的帽子放到房间的中央混合在一起，而后每人随机选取一顶，求恰好有k 个人拿到自己的帽子的概率．设A i 为第i 个人拿到自己帽子这一事件，i =0,1,2, …,n ，)(1)(21210n n A A A P A A A P P -==-+--=∑∑∑≤<<≤≤<≤=n k j i kj i n j i j i n i i A A A P A A P A P 111)()()([1)]()1(211n n A A A P --+]!1)1()2)(1(1)1(11[11321n C n n n C n n C n C n n n n n n--+---+---= ∑=-=-+-+-+-=n k kn k n 0!)1(!)1(!41!31!2111 ()∞→≈→-n e ,37.01同样的方法求出∑-=-⋅+--=k n m mkn k m k n n n C P 0!)1()1()1(1 ∑-=-⋅=k n m m m k 0!)1(!1，k =0,1,2, …,n ．!1k e P k -→目录1.2 随机变量和分布函数[定义]X =X(ω)是定义在Ω上，取值于R的实函数，如果对任意实数x，P{ω: X(ω) ≤x }是某试验结果A 的概率，则称X(ω)是一个随机变量。

第一章 预备知识数学受到高度尊崇的另一个原因在于：恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证，没有数学，它们无法达到这样的可靠程度。

——爱因斯坦为了不同数学基础的同学能在同一起点学习本课程的内容做好必要的准备，在学习本课程内容之前，我们先安排了在经济数学中常用的一些初等数学知识的复习，数学基础好的同学可跳过本章，直接进入下一章的学习。

第一节 集合与区间一、 常用集合的有关符号∅表示空集。

N 表示非负整数集，即自然数集。

+N 表示正整数集。

Z 表示整数集。

Q 表示有理数集。

R 表示实数集。

A ⊆B 表示集合A 是集合B 的子集。

A B 表示集合A 与集合B 的并集。

A B 表示集合A 与集合B 的交集。

A B -表示属于集合A 不属于集合B 的集合。

二、 区间(一)、将满足不等式b x a ≤≤的所有实数x 组成的集合叫做以b a ,为端点的闭区间，记作[]b a ,。

即[]b a ,={}b x a x ≤≤。

(二)、将满足不等式b x a <<的所有实数x 组成的集合叫做以b a ,为端点的开区间，记作()b a ,。

即()b a ,={}b x a x <<。

(三)、将满足不等式b x a <≤的所有实数x 组成的集合叫做以b a ,为端点的左开右闭区间，记作)[b a ,。

即)[b a ,={}b x a x <≤。

(四)、将满足不等式b x a ≤<的所有实数x 的集合叫做b a ,为端点的右开左闭区间，记作](b a ,。

即](b a ,={}b x a x ≤<。

以上定义的四个区间统称为有限区间。

以下定义的五个区间统称为无穷区间。

(五)、(){},a x x a +∞=>表示满足不等式x a >的全体实数。

(六)、[){},a x x a +∞=≥，表示满足不等式x a ≥的全体实数。

(七)、(){},a x x a -∞=<，表示满足不等式x a <的全体实数。

高一第一章预备知识点高一的第一章是预备知识点，为同学们打下学习的基础。

本章主要包括数学、化学、物理、生物、地理、历史、政治等学科的一些基础知识点。

下面将分别介绍各学科的预备知识点。

1. 数学在高一的数学课程中，预备知识点主要集中在数与代数方面。

包括常见的数集与数的运算、分式与有理数、整式与分式、二次根式等等。

同学们需要熟练掌握基本的数学运算法则和公式，并能熟练运用到实际问题中。

2. 化学在化学方面，高一的预备知识点主要包括化学元素、化合物和化学方程式等内容。

同学们需要学习元素周期表，了解各种元素的基本性质和特点，同时还需要掌握化学方程式的书写和化学反应的基本原理。

3. 物理高一的物理预备知识点主要涉及力学和电学方面的内容。

同学们需要掌握牛顿运动定律、力的合成与分解、机械功和机械能、电路的基本组成和性质等。

这些内容是后续学习物理课程的基础，同学们需要牢记。

4. 生物生物方面的预备知识点主要包括基本的细胞结构和生物进化的基础概念。

同学们需要了解细胞的构成、功能和分类，以及生物进化的基本原理和演化过程。

这些知识将有助于后续学习更深入的生物学知识。

5. 地理在地理方面，高一的预备知识点主要涵盖地球与地图的基本概念、自然地理和人文地理的基本内容。

同学们需要了解地球的形状和结构，学习地图的读法和使用方法，还需要了解地球上各种自然地理和人文地理现象的形成原因和影响。

6. 历史历史方面的预备知识点主要包括中国历史的基本轴线和历史时期的划分。

同学们需要了解中国历史的主要事件和人物，学习不同历史时期的社会背景和演变过程。

这些知识将为后续学习具体历史时期提供基础。

7. 政治政治方面的预备知识点主要涉及国家制度与国家管理的基本概念。

同学们需要掌握国家的定义，了解国家组织和管理的基本原则，同时还需要学习国家的基本制度和行政管理的基本方式。

以上就是高一第一章的预备知识点的简要介绍。

同学们在学习这些知识点的过程中，要注重理解和实际应用。

生物学问题：生命体如何维持有序物理学思路：能量流过系统可以使有序性增加1.热热是一种能量形式。

假设质量为m的石头做自由落体运动，其高度z和速度v同时改变。

其机械能E=mgz+1/2mv2保持不变，可通过能量对时间求导数=0判断。

如果石头落入泥浆中，动能不守恒，机械能不守恒，是因为有摩擦转化为热能，虽然总能量是守恒的，但石头的有序性减少，无序性增加，泥浆有序性增加。

即能量由高品质流向低品质。

2.自由能热是机械能的一种特殊形式，归结于分子的随机运动。

公式产生的热 = 输入的机械能 * 0.24cal/J其中，热的单位是卡，写为cal，其定义是在1个大气压下，将1克水提升1摄氏度所需要的热量。

这个公式又称为热功当量。

但热并不完全等效于机械功，因为不能完全相互转换。

因为一部分能量的丧失，导致了系统的有序性减弱，或者说，当系统从无序变为有序会消耗能量。

为了刻画系统中有用的那部分能量，引进自由能F，公式：F = E-TS其中，F为自由能，E为总能量，T为热力学温度，S为熵。

由此，当无序度很小，即F≈E时，能量的品质高，反之则低3.生物如何产生有序由热力学第二定律指出，孤立系统中熵总是增大，但在大系统中的一个小系统是可以自发增加有序性的。

在生物圈由太阳发出高品质的能量，经由植物、动物等圈层吸收，从而增加有序性。

消耗的是有序，不是能量。

4.低密度气体低密度气体普遍适应一条规律，公式：pV=Nk B T其中，k B为玻尔兹曼常量，对于另一条公式：pV=nRT两者之间，RT=N A k B T≈2500J/mol5.渗透流在容器中加入渗透膜，在容器右侧加入糖，等到糖溶解时，活塞向左运动，并带动小负载作机械运动。

同时系统吸收热量，这是牺牲了分子的空间有序性以便将随机的热运动组织成克服负载的显著的机械运动。

如果负载过重，活塞将会向左运动，从而增加溶液的有序性，可以使溶液纯化，称为逆渗透。

这是将高品质的机械能降级为低品质的热能，从而增加了系统的有序性。