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高数的学习计划书第一部分：学习准备一、学习目标在本学期内，我希望能够系统地掌握高等数学的基本知识，包括重要的定积分、微分方程和级数等内容，提高我的数学分析能力和解题能力。
二、学习动机作为一名学习数学的学生，在高等数学这门课程上，我选择了积极主动地投入学习。
高等数学是数学学科的重要基础，对于我的专业学习和未来的发展都具有重要的意义。
同时，我也希望通过学习高等数学，提高我的数学思维能力，锻炼解决问题的能力。
三、学习方法在学习高等数学的过程中，我将积极地钻研课本内容，不断地进行知识的总结和归纳。
并尽量多地通过做题来加强对知识的理解和掌握。
同时，我还将积极参加课堂讨论、听老师的讲解，以期能够更好地理解知识点。
第二部分：学习计划一、总体计划我将根据高等数学课程的教学计划，按照教学进度和知识点的重要性，合理安排学习时间，分模块、分主题进行学习。
二、具体计划1. 微积分学习内容包括：函数、极限、导数、微分中值定理、泰勒公式以及重要的微分函数等。
根据教学进度，我将合理分配时间，逐步学习并巩固这一部分内容。
2. 积分与微分方程学习内容包括：不定积分、定积分与其应用、微分方程等。
我将通过反复做题，加深对知识点的理解，掌握这一部分内容。
3. 级数学习内容包括：数项级数、幂级数、傅立叶级数等。
我将通过课本和教师的讲解来学习并进行实例推演，以便更好地理解这一部分内容。
4. 其他此外，还包括矩阵、向量、多元函数及其导数与极值等内容。
我会根据时间合理分配，逐一学习并掌握这些部分内容。
第三部分：学习方法一、学习效果自测在学习过程中，我将及时通过做练习题、模拟考核等方式，检验自己对知识的理解和掌握情况，发现问题并及时调整学习计划。
二、课外拓展在课余时间，我还将通过参与数学社团、参加竞赛等方式，增强自己的数学学习兴趣，提升数学水平。
第四部分：学习评价一、定期总结在学习的过程中，我将定期进行学习情况的总结，对自己的学习效果和学习方法进行反思，及时调整学习计划。
高数第一章知识点总结高数第一章知识点总结希望同学们在准备考研数学高数的复习过程中能够适当结合真题与模拟题，下面是小编精心收集的高数第一章知识点总结，希望能对你有所帮助。
篇一：高数第一章知识点总结高等数学是考研数学的重中之重，所占的比重较大，在数学一、三中占56%，数学二中占78%，重点难点较多。
具体说来，大家需要重点掌握的知识点有几以下几点：1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。
3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。
4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。
此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。
数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。
6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。
差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法由于微积分的知识是一个完整的体系，考试的题目往往带有很强的综合性，跨章节的题目很多，需要考生对整个学科有一个完整而系统的把握。
大一高数前六章知识点大学一年级，对于大多数理工科学生而言，高等数学便是一门必修课。
而在高等数学中，大一的前六章是基础中的基础，它们的内容涵盖了微积分的入门知识以及数列、级数等重要概念。
下面将对大一高数前六章的知识点进行总结，帮助大家更好地理解和掌握这些重要内容。
第一章：函数与极限第一章是高等数学的开篇之章，主要介绍了函数和极限的概念。
函数可以理解为一个输入和输出之间的对应关系，常见的函数有代数函数、三角函数等。
而极限是函数在某一点处的局部性质，它描述了函数在逼近某个值的过程中的行为。
在该章中，我们学习了函数的定义域、值域以及函数的性质，如奇偶性、单调性等。
而对于极限而言，我们学习了极限存在的条件、极限的计算方法以及极限的应用。
第二章：导数与微分第二章是微积分的入门章节，主要讲解了导数与微分的概念及其性质。
导数描述了函数在某一点处的变化率，也可理解为函数在该点的切线斜率。
微分则是导数的几何意义，它描述了函数在某一点处的微小变化。
在该章中，我们学习了导数的定义、导数的计算方法以及导数的应用。
特别是在函数的极值问题上，导数起到了重要的作用。
第三章：微分中值定理与 Taylor 公式第三章主要介绍了微分中值定理以及 Taylor 公式这两个重要的定理。
微分中值定理是微积分中的基本定理之一，它描述了函数某一区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
而 Taylor 公式则是通过泰勒级数展开，将一个函数在某一点附近近似地表示为一个多项式的和。
这两个定理在数学分析和应用数学中有着广泛的应用。
第四章：不定积分第四章主要讲解了不定积分的概念、性质以及计算方法。
不定积分是求导的逆运算，它可理解为函数的原函数。
在该章中，我们学习了不定积分的基本性质，如线性性质、定积分与不定积分的关系等。
同时，我们还学习了常见的求不定积分的方法，如换元法、分部积分法等。
第五章：定积分第五章是关于定积分的内容，主要讲解了定积分的概念、性质以及计算方法。
高一数学预备知识讲解《高一数学预备知识讲解》嘿，同学们！今天咱们来唠唠高一数学的预备知识。
这就像是你要去一个超级好玩的数学游乐园，这些预备知识就是入园前的小攻略。
先来说说集合吧。
集合这东西啊，就像是把一堆有共同特点的东西放在一个大盒子里。
比如说，咱们班所有戴眼镜的同学，这就能组成一个集合。
我就记得有一次啊，老师在教室里说要找戴眼镜的同学站起来，那一瞬间，我就感觉这就是在确定一个集合呢。
戴眼镜的同学一个个站了起来，这就相当于集合中的元素一个个被“拎”了出来。
每个元素都是独一无二的，就像每个同学都有自己的特点一样。
然后是函数的预备知识。
函数就像一个魔法机器，你丢进去一个东西，它就会按照规则给你吐出一个东西。
就像自动售卖机，你投币（输入），它就给你饮料（输出）。
我上次在商场看到一个很奇特的自动售卖机，它不仅卖饮料，还卖小玩具。
不同的按钮（输入值）对应着不同的东西（输出值），这就是函数的一种直观体现啦。
再讲讲不等式。
不等式啊，就像是一场比较大小的游戏。
比如说你和你的小伙伴比谁的零花钱多。
假如你有10元，你的小伙伴有8元，那就是10大于8。
但有时候呢，这个比较会复杂一点，就像在生活中，你可能会考虑到存钱后的钱数，那就要用不等式来表示这种关系了。
我有一次和朋友计划存钱买一个游戏，我们就一直在算我们的钱加上未来存的钱谁会先达到目标，这个过程中就用到了不等式的思想。
还有数轴这个小助手。
数轴就像一条长长的马路，上面标着各种数字。
正数在右边，负数在左边，0就在中间。
就像我去逛街，以商场门口为0点，左边的店铺是负数方向的店铺，右边的就是正数方向的店铺。
我要找一家店，就像在数轴上找一个数一样，按照方向和距离就能找到啦。
这些高一数学的预备知识虽然看起来简单，但就像盖房子的地基一样重要。
它们会在以后的数学学习中不断地被用到。
就像我们刚刚说的那些真实例子一样，数学其实就在我们生活的点点滴滴里。
从确定戴眼镜同学的集合，到自动售卖机的函数关系，再到和朋友比零花钱用到的不等式，以及逛街找店铺时像数轴一样的定位。
高数一二章知识点高等数学是大学数学的一门重要课程，主要包括高等微积分和高等代数两个部分。
其中的第一章和第二章是基础，也是整个课程的核心知识点。
下面我将从微积分和代数两个方面详细介绍高数第一章和第二章的知识点。
高数第一章主要内容是函数与极限，主要包括函数的概念、函数的运算、函数图像与性质、初等函数、复合函数、反函数等知识点，以及极限与连续的概念与性质、无穷小量与无穷大量的性质与运算、极限的四则运算与求极限的方法等知识点。
函数是自然界和社会现象中一种常见的数学模型，通过输入一个或多个自变量，输出相应的函数值。
函数的基本概念有定义域、值域、图像、奇偶性、周期性等。
常见的初等函数有幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
函数可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
复合函数是多个函数合成的结果，反函数是函数的逆运算。
极限是微积分的基本概念之一，它描述了函数在其中一点或在无穷远处的趋势或性质。
极限分为单侧极限和双侧极限，具体计算方法有代入法、夹逼准则、无穷小量和无穷大量的运算等。
极限的运算规则包括四则运算、函数运算和复合函数的极限。
连续是函数与极限的一个重要性质，函数在其中一点连续的条件是函数值、左右极限和函数值相等。
连续性的定理有介值定理、零点定理、局部性原理等。
无穷小量是数量无限接近于零的量，无穷大量是数量无限接近于无穷大的量，它们具有一些特定的性质和运算规则，如无穷小量的四则运算、无穷小量与有界量的运算等。
高数第二章主要内容是微分学，主要包括导数与微分的概念与性质、常用函数的导数、隐函数与参数方程的导数、高阶导数与导数的应用等知识点。
导数是函数在其中一点的变化率，可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。
导数的计算方法有基本导数公式、常用导数公式和导数运算法则。
常用函数的导数包括多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
隐函数是由一个或多个变量的方程表示的函数，其导数通过隐函数微分公式计算。
高等数学教学教案第1章函数、极限与连续授课序号01(是一个给定的非空数集.若对任意的授课序号02的左邻域有定义，如果自变量为当0x x →时函数授课序号032n n ++)(1,2,n x =授课序号04授课序号05授课序号06高等数学教学教案第2章导数与微分授课序号01授课序号02授课序号03授课序号04高等数学教学教案第3章微分中值定理与导数的应用授课序号01授课序号02授课序号03!n +!n +()()!n x n +!n +!n +[cos (x θ+=21)2!!x n α-++)(1(1)!n n αθ-++()nx R x +授课序号04（1）在生产实践和工程技术中，经常会遇到求在一定条件下，怎样才能使“成本最低”、“利润最高”、“原材料最省”等问题．这类问题在数学上可以归结为建立一个目标函数，求这个函数的最大值或最小值问题.（2）对于实际问题，往往根据问题的性质就可以断定函数()f x 在定义区间内部存在着最大值或最小值．理论上可以证明这样一个结论：在实际问题中，若函数()f x 的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点0x ，而最值又存在，则可以直接确定该驻点0x 就是最值点，0()f x 即为相应的最值． 四．例题讲解例1.讨论函数32()29123f x x x x =-+-的单调增减区间． 例2.判断函数3()=f x x 的单调性.例3.设3,0,()arctan ,0.x x f x x x x ⎧-<=⎨≥⎩确定()f x 的单调区间.例4.证明：当0x >时，e 1x x >+． 例5.求函数32()(1)f x x x =-的极值．例6.求函数22()ln f x x x =-的极值．例7.求函数233()2f x x x =+在区间1[8]8-，上的最大值与最小值．例8.水槽设计问题有一块宽为2a 的长方形铁皮如图3.8所示，将宽所在的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，问横截面的高取何值时水槽的流量最大（流量与横截面积成正比）． 图3.8例9.用料最省问题要做一圆柱形无盖铁桶，要求铁桶的容积V 是一定值，问怎样设计才能使制造铁桶的用料最省？ 例10.面积最大问题将一长为2L 的铁丝折成一个长方形，问如何折才能使长方形的面积最大．授课序号05授课序号06教学基本指标教学课题第3章第6节弧微分与曲率课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点曲率的计算公式教学难点曲率的计算参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
高等数学预备知识（新生自学内容）（一）数学归纳法1、适用范围：只适用于证明与正整数n 有关的命题.2、证明步骤：（1）证明当n 取第一个值0n （例如01n =或2 等）时,命题成立.（2）假设当k n =（0k N k n +∈≥且）时结论正确,证明当1k n +=时结论也成立. 由这两个步骤,就可以断定命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立. 3、注意：第一步是递推的基础,第二步是递推的根据,两步缺一不可.4、用途：（1）证明代数和或三角恒等式；（2）证明不等式；（3）证明整除性；（4）证几何命题等.数学归纳法的思想类似于多米诺骨牌玩法：第一,要求第一张骨牌被推倒；第二,假如某一张骨牌倒下,要求其后一张骨牌必须跟着倒下. 例1、用数学归纳法证明：)1n 2)(1n (n 61n 3212222++=++++ . 证明：（1）当1n =时,左边=112=,右边=132161=⋅⋅⋅,等式成立. （2）假设当k n =时,等式成立,即)1k 2)(1k (k 61k 3212222++=++++ ,那么222222)1k ()1k 2)(1k (k 61)1k (k 321++++=++++++)6k 7k 2)(1k (61)]1k (6)1k 2(k )[1k (612+++=++++=]1)1k (2][(1)1k )[(1k (61)3k 2)(2k )(1k (61+++++=+++=故当1k n +=时等式也成立.根据（1）、（2）可知等式对任何+∈N n 都成立.例2、设)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= （+∈N n ）,求证：2)1n (a 2n +<.证明：（1）当1n =时,22)11(221a 21=+<=⨯=,不等式成立. (2 ) 假设当k n =时（1k ≥时）不等式成立,即有2)1k ()1k (k 3221a 2k +<+++⨯+⨯=那么,)2k )(1k (2)1k ()2k )(1k ()1k (k 3221a 21k ++++<++++++⨯+⨯=+2]1)1k [(2)2k (2)2k ()1k (2)1k (222++=+=+++++<, 即当1k n +=时不等式也成立.由（1）、（2）可知,不等式对任何+∈N n 都成立. 例3．设, ,11 ,11121 x x x x ++==) ,3 ,2(1111 =++=--n x x x n n n ,证明：{}n x 单调增加. 解：（1） ∵11=x ,且) ,3 ,2(1111=++=--n x x x n n n ,∴) ,3 ,2 ,1( 0 =>n x n .又∵0211111111112>=+=-++=-x x x x x x ,∴12x x >. （2）假设1->k k x x 成立,则)11()11( 111--+++-++=-k k k k k k x xx x x x 有 1111--+-+=k k k k x x x x 0)1)(1(11>++-=--k k k k x x x x ,由（1）、（2）可知, ) ,2 ,1( 1 =>+n x x n n ,从而{}n x 单调增加.（二） 三角函数A 三角函数的积化和差公式由正弦加法定理的两式相加减和余弦加法定理的两式相加减可得：三角函数的积化和差公式:1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++- 1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--当αβ=时,即为倍角公式.例1、不查表,求sin512πcos π12的值. 解：sin512πcos π12＝12[sin (512π+π12)＋sin (512π-π12)]=12＋34. 或：sin512πcos π12＝sin (2π—12π)cos π12 ＝cos 2π12=12(1+cos 6π)=12＋34.练习: 2cos31︒sin 14︒; cos215πcos π5; sin 70︒cos20︒. 注：分析三角函数的积化和差公式的整体结构,记忆公式,从公式本身的结构特征上了解积化和差公式的作用.B 三角函数的和差化积在积化和差公式中,令α+β=θ,α—β=ϕ,则α=θϕ+2,β=θϕ-2所以有：sin θ+sin ϕ = 2sinθϕ+2cosθϕ-2sin θsin -ϕ = 2cosθϕ+2sinθϕ-2cos θ+cos ϕ = 2cosθϕ+2cosθϕ-2cos θ—cos ϕ = 2sin-θϕ+2sinθϕ-2叫做三角函数的和差化积公式1+cos α = 2cos 2α2,1－cos α = 2sin 2α2等都可看成和差化积的形式.例2、把sin 2α－sin 2β化成积的形式. 解：原式＝(sin α+sin β)(sin α－sin β) ＝2sinαβ+2cosαβ-2·2 cosαβ+2sinαβ-2＝sin (α+β)sin (α—β)例3、求.10cos 70cos 10sin 70sin+-解：s in s in cos cos cos s in cos cos 70107010240302403033-+==例4、化1+cot α+csc α 为积的形式.解：原式＝αααsin sin cos 1++= 222222cos sin 2cos sin 2cos 2ααααα+ =2222sin )cos(cos ααπα-+ = 44222cos cos()sin ππαα- =2cos(4π—2α) csc 2α练习： 化1+sin α和1+cos α+cos β+cos(α+β)为积的形式. ( 1+sin α=2sin (4π+2α)cos(4π—2α), 1+cos α+cos β+cos(α+β)= 4cos αβ+2cos 2αcos 2β)在三角函数的计算和化简中,常要把a sin α+bcos α化为A sin (α+ϕ)的形式.如：sin α+3cos α＝2(12sin α+32cos α)=2(sin αcos π3+sin π3cos α)=2sin (α+π3) 一般地,设a ＝Acos ϕ,b=A sin ϕ,则a sin α+bcos α=A(sin α cos ϕ+sin ϕcos α) =A sin (α+ϕ),其中：A ＝a b 22+,ϕ所在象限由a ,b 的符号决定,由tan ϕ=ba可求出ϕ的值. （ϕ在(—π,—2π),(—2π,2π),（0,2π），(2π,π)内的值）例5、将下列各式化为Asin(α+ϕ)的形式.(1) 3sin x -4cosx ； (2) 3cosx -4sin x ； 解：(1) A ＝5,tan ϕ＝b a =-43=-1 .3333 ,a >0,b <0,所以ϕ在第IV 象限,即ϕ=-53︒8'. 故3sin x -4cosx =5sin (x -53︒8'). (2) A ＝5,tan ϕ＝ba=-0 .75 ,a <0,b >0, 所以ϕ在第II 象限,即ϕ=180︒-36︒52'=143︒8',故3cosx -4sin x =5sin(x+143︒8').C 万能公式22222tan1tan 2tan222sin ;cos ;tan .1tan 1tan 1tan 222ααααααααα-===++-统称为万能公式它们的特点是统一用tan 2α来表示sin ,cos ,tan αααD 一个常用不等式当x 为锐角时，sin tan x x x <<即 sin tan x x x <<OACxB作单位圆，取圆心角x AOB =∠，∵AOB ∆的面积<扇形AOB 的面积AOC ∆<面积，∴x x x tan 2121sin 21<<，（三） 复数A 复数的概念一、复数的定义1、虚数单位 我们知道方程x 2＝－1在实数范围内无解,为了使它有解,我们引进一个新数i,规定i 2＝－1,且它能与实数一起进行四则运算.数i 叫做虚数单位.因为i 2＝－1,所以i 3＝—i,i 4＝1,i 5＝i,i 6＝－1,i 7＝—i,i 8＝1… 即i 4n ＝1,i 4n+1＝i,i 4n+2＝－1,i 4n+3＝－i （n ∈Z ）.(—i) 2＝－1,即i 和—i 是－1的两个平方根.我们规定：i 0=1,i－m＝mi1（m ∈Z ）.例如：i 2001＝i, i —5＝ii 115==—i. 2、纯虚数 我们再来看x 2＝－4的解,可以看出有两个解2i 和－2i.数bi 叫做纯虚数,其中b ∈R,且b ≠0.3、虚数 考察方程x 2+2x+10＝0的解,x 等于—1+3i 或—1—3i.数a+bi 叫做虚数,其中a 、b ∈R,且b ≠0.4、复数 数a+bi 叫做复数,其中a 、b ∈R,其中a 叫做复数的实部,b 叫做复数的虚部.复数集通常用C 来表示.虚数集通常用I 来表示.C ＝R I.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒≠+⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=+)0()0()0(a bi b bi a b a bi a 纯虚数虚数无理数分数整数有理数实数复数 例题：实数m 为何值时,复数(m 2—3m —4)+ (m 2—5m —6)i 是（1）实数；（2）纯虚数？解：（1）当b ＝0时,复数为实数.即m 2—5m —6=0解得m=—1或6.（2）当a=0,且b ≠0时复数为纯虚数.即m 2—3m —4=0且m 2—3m —4≠0解得m=4. 5、复数相等的条件 两个复数相等必须是它们的实部和虚部分别相等. 二、复数的几何表示法1、用复数直角平面内的点表示复数 复数a+bi 是由一对有顺序的实数a 、b 构成,这与直角坐标平面的构成一样.我们规定：直角坐标平面内的横轴为实轴,单位为1,纵轴（不包括原点）为虚轴,单位为i,那么,复数a+bi 就可用这样的平面内的点M(a,b)来表示,其中,复数的实部a 和虚部b 分别是点M 的横坐标和纵坐标.我们把表示复数的平面叫做复数直角坐标平面.简称复平面. 例题：（1）用复平面内的点表示复数：—3+2i,3i,—2,0,－i,2—3i.（2）复平面内的点M(2 ,3) ;N(—3 ,—4) ;P(—3 ,0) ;Q(0 ,—2)各表示什么复数？解：略. 2、用向量表示复数 如果复平面内的点M 表示复数a+bi,连结原点O 与M 点,并且把O看作线段OM 的起点,M 点作为终点,那么线段OM 就是一条有方向的线段,这样的一条线段叫做向量.记作OM .可以看出：复数a+bi ⇔点M(a,b) ⇔向量OM .向量OM 的长度叫做复数a+bi 的模,记作|a+bi |.显然|a+bi |=a b 22+.例如：|－1+3i | =2.由x 轴的正半轴到向量OM 的角θ叫做复数a+bi 的幅角.它指出了向量OM 的方向.一个不等于0的复数a+bi 的幅角有无穷多个,它们的弧度数彼此相差2π的整数倍,我们把幅角在[0 ,2π)内的值叫做幅角的主值，但在高等数学中，我们常用(,]ππ-范围内的角。
第1章 预备知识§1.1 基本概念与术语1.1.1 数学规划问题举例例1 食谱（配食）问题● 假设市场上有n 种不同的食物，第j 种食物每个单位的销售价为),,2,1(n j c j 。
● 人体在正常生命活动过程中需要m 种基本的营养成分。
为了保证人体的健康，一个人每天至少需要摄入第i 种营养成分),,2,1(m i b i 个单位。
● 第j 种食物的每个单位包含第i 种营养成分ij a 个单位。
食谱（配食）问题就是要求在满足人体基本营养需求的前提下，寻找最经济的配食方案（食谱）。
建立食谱的数学模型引入决策变量i x ：食谱中第i 种食物的单位数量i ni i x c 1mins.t.m i b x a i j nj ij ,,2,1,1n j x j ,,2,1 ,0例2 选址与运输问题● 假设某大型建筑公司有m 个项目在不同的地点同时开工建设.记工地的位置分别为m i b a P i i i ,,2,1 ),,( .● 第i 个工地对某种建筑材料的日用量是已知的（比如水泥的日用量（单位：t ）为i D ）． ● 该公司准备分别在),(111y x T 和),(222y x T 两个地点建造临时料场，并且保证临时料场对材料的日储量（单位：t ）分别为1M 和2M ．如何为该公司确定临时料场的位置，并且制订每天的材料供应计划，使建筑材料的总体运输负担最小？建立选址与运输问题的数学模型引入决策变量：位置变量),(k k y x ,从临时料场向各工地运送的材料数量),,2,1 ;2,1(m i k z ki .21122)()(min k mi i k i k ki b y a x zs.t.2,1 ,1k M z k mi kim i D z i k ki ,,2,1 ,21m i k y x z k k ki ,,2,1,2,1 , R ),( ,02例3 生产计划问题● 某企业向客户提供一种机器，第1季度末需要交货1c 台，第2季度末需要交货2c 台，第3季度末需要交货3c 台．● 该企业最大生产能力是每季度生产b 台.● 若用x 表示该企业在某季度生产的机器台数，则生产费用（单位：元）可以用函数x a x a x f 21)( 来描述.● 企业需为每台机器在每个季度多支付p 元的存储费． ● 假设在第一个季度开始时无存货，不允许缺货.如何制订生产计划，确定在每个季度应该生产多少台机器，才能既履行交货合同，又使企业总体费用最少？建立生产计划的数学模型决策变量：用)3,2,1( i x i 表示企业在第i 个季度生产的机器数量． 合同规定的总数量：321321c c c x x x每个季度生产数量要求：每个季度生产数量j x 不大于最大生产能力b ，不少于该季度末的交货量j c 与该季度初的库存量j I 之差.第j 个季度初库存量：3,2,1 ,)( j c x I ji i i j （1I =0）变量隐含要求：)3,2,1(0 j x j ，并且取整数． 企业总费用：所有季度生产与存储费用之和3231)()(i i i i pI x f x F)2()))3(()(min 213121c c p x a x p i a x F i i is.t. 3131j j j j c x11c x2121c c x x3,2,1,,0 j Z x b x j j (Z 表示所有整数的集合)1.1.2 数学规划问题的模型与分类● 形成一个最优化问题的数学模型⏹ 首先需要辨识目标，确定优化标准，即待研究系统的性能定量描述，如成本、数量、利润、时间、能量等；⏹ 其次用合适的决策变量描述系统的特征量，并将目标表示成决策变量的函数（目标函数，objective function )；⏹ 此外需确定变量所受的范围限制，由若干个函数的等式或者不等式来定义（约束函数，constraint functions )．● 最优化问题指在决策变量所受限制范围内，对相关的目标函数进行极小化或者极大化.)(min nRx f x s.t. I i x g i ,0)(E j x h j ,0)(满足约束条件的点称为可行点（feasible point ) ，所有可行点的集合称为可行域（feasible region ) ，记为S .当nS R ，无约束优化问题;否则,约束优化问题．i g f ,和i h 都是线性函数，为线性规划（linear programming ，LP );否则为非线性规划（nonlinear programming, NLP ）.所有变量取整数，称为整数规划（integer programming );允许一部分变量取整数，另一部分变量取实数，为混合整数规划（mixed integer programming, MIP ）.从一个连通无限集合（可行域）中寻找最优解, 称为连续优化(continuous optimization )问题；从一个有限的集合或者离散的集合中寻找最优解，称为组合优化（combinatorial optimization)，或者离散优化（discrete optimization ）．存在多个目标，即目标函数)(x f 取一个向量值函数，称多目标规划（multi-objective programming)，或多目标优化．最优化问题中出现的参数是完全确定的，称为确定型优化（deterministic optimization ）问题;否则称为非确定型优化（uncertain optimization) 问题，包括了随机规划（stochastic programming ）、模糊规划（fuzzy programming ) 等特殊情形．1.1.3 最优解的概念定义: 设)(x f 为目标函数，S 为可行域，S x ，若对每个S x ，成立)()(x f x f ，则称x 为)(x f 在S 上的全局极小点。
定义: 设)(x f 为目标函数，S 为可行域，若存在S x 的0 邻域}|{),( x x x x N ，使得对每个),( x N S x 成立)()(x f x f ，则称x 为)(x f 在S 上的局部极小点。
● 全局极小点也是局部极小点，而局部极小点不一定是全局极小点. ● 大多数的优化算法通常只是寻找局部最优解.● 对于某些特殊情形，如凸规划，局部极小点也是全局极小点.§1.2 多元函数分析1.2.1 梯度及Hesse 矩阵函数)(x f 在x 处的梯度为n 维列向量：Tn x x f x x f x x f x f)(,,)(,)()(21函数)(x f 在x 处的Hesse 矩阵为n n 矩阵)(2x f ：n n j i n n n n n x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x f)()()()()()()()()()()(222212222222122122121122二次函数c x b Ax x x f T T21)( A 是n 阶对称矩阵，b 是n 维列向量，c 是常数．梯度：b Ax x f )( Hesse 矩阵:A x f )(2对向量值函数 Tm x h x h x h x h )(,),(),()(21 ,每个分量)(x h i 为n 元实值函数.h 在点x的Jacobi 矩阵为n m j i n m m m n n x x h x x h x x h x x h x x h x x h x x h x x h x x h xx h)()()()()()()()()()(212221212111该矩阵称为h 在x 的导数,记作)('x h 或Tx h )( , 其中)(,),(),()(21x h x h x h x h m例 向量值函数2121221212cos sin ),()(21x x x e x x x x f x f x x )(x f 在任一点),(21x x 的Jacobi 矩阵,即导数为1212221'42sin cos )()(2121x x x e e x x x f x f x x x x T 1.2.2 多元函数的Taylor 展式假设)(x f 在开集S 上连续可微,给定点S x ，则f 在点x 的一阶Taylor 展开式为)()()()()(x x o x x x f x f x f T)(x x o 当0 x x 时,关于x x 是高阶无穷小量．假设)(x f 在开集S 上二次连续可微,则f 在点S x 的二阶Taylor 展开式为)())(()(21)()()()(22x x o x x x f x x x x x f x f x f T T)(2x x o 当02 x x 时,关于2x x 是高阶无穷小量．1.2.3 方向导与最速下降方向)(x f 在点x 处沿方向d 的变化率用方向导数表示. )(x f 在x 处沿方向d 的方向导数);(d x Df 定义为极限:)()(lim);(0x f d x f d x Df对于可微函数,方向导数等于梯度与方向的内积,即d x f d x Df T )();()(x f 在点x 处下降最快的方向,称为最速下降方向,它是)(x f 在点x 处的负梯度方向:)()(x f x f d§1.3 凸分析初步1.3.1 凸集的定义、举例(常见凸集)及性质定义：设S 为n 维欧氏空间nR 中一个集合．若对S 中任意两点，联结它们的线段仍属于S ；换言之，对S 中任意两点)1(x ,)2(x及每个实数]1,0[ ，都有S x x )2()1()1(则称S 为凸集．常见凸集：① 集合}|{ x p x H T为凸集．（p 为n 维列向量， 为实数） 集合H 称为n R 中的超平面，故超平面为凸集． ② 集合}|{x p x H T 为凸集． 集合H 称为半空间，故半空间为凸集． ③ 集合}0,|{)0( d x x x L 为凸集．（d 是给定的非零向量，)0(x 是定点）集合L 称为射线,故射线为凸集.证明：对任意两点L xx )2()1(,及每一个]1,0[ ，必有d x x 1)0()1( d x x 2)0()2(以及dxd x d x x x ])1([ ))(1()()1(21)0(2)0(1)0()2()1(由于0)1(21 ，因此有L x x )2()1()1(凸集的性质:设1S 和2S 为nR 中的两个凸集, 是实数,则 (1)}|{11S x x S 为凸集; (2)21S S 为凸集; (3)},|{2)2(1)1()2()1(21S x S x x x S S 为凸集; (4)},|{2)2(1)1()2()1(21S x S x x x S S 为凸集.凸锥和多面集定义: 设有集合nR C ，若对C 中每一点x ，当 取任何非负数时，都有C x ,则称C 为锥.又若C 为凸集，则称C 为凸锥．例 向量集)()2()1(,,k的所有非负线性组合构成的集合k i i ki i i ,,2,1,0|1)( 为凸锥．定义 有限个半空间的交}|{b Ax x 称为多面集．例: 集合}0,0,1,42|{212121 x x x x x x x S 为多面集．若b =0，则多面集}0|{ Ax x 也是凸锥，称为多面锥． 极点和极方向定义: 设S 为非空凸集，S x ，若x 不能表示成S 中两个不同点的凸组合；换言之，若假设)2()1()1(x x x , S x x )2()1(,必推得)2()1(x xx ，则称x 是凸集S 的极点．定义: 设S 为非空凸集，d 为非零向量，如果对S 中的每一个x ，都有射线S d x }0|{ ,则称向量d 为S 的方向．又设)1(d和)2(d是S 的两个方向，若对任何正数 ，有)2()1(d d, 则称)1(d 和)2(d 是两个不同的方向．若S 的方向d 不能表示成该集合的两个不同方向的正的线性组合，则称d 为S 的极方向．注意:有界集不存在方向，因而也不存在极方向．对于无界集才有方向的概念．多面集的一个重要性质——表示定理： 设}0,|{ x b Ax x S 为非空多面集，则有： (l)极点集非空，且存在有限个极点)()1(,,k xx .(2)极方向集合为空集的充要条件是S 有界．若S 无界，则存在有限个极方向)()1(,,l d d .(3)S x 的充要条件是: l j j j kj j j d xx 1)(1)( ， kj j 11 ，k j j ,,2,1,0 ，l j j ,,2,1,0 .1.3.2 凸集分离定理及其应用(择一定理)凸集的另一个重要性质——分离定理．集合的分离：指对于两个集合1S 和2S ，存在一个超平面H ，使1S 在H 的一边，2S 在H 的另一边．如果超平面的方程为 x p T ，那么对位于H 某一边的点x ，必有 x p T，而对位于H 另一边的点x ，必有 x p T.定义:设1S 和2S 是两个非空集合，}|{ x p x H T为超平面．如对每个1S x ,有x p T ，对每个2S x ，有 x p T (或情形恰好相反），则称H 分离集合1S 和2S .定理(凸集分离定理)：设1S 和2S 是两个非空凸集， 21S S ，则存在超平面H ，使得}|{1x p x H S T，}|{2x p x H S T.凸集分离定理的另一种表述方法：设1S 和2S 是两个非空凸集， 21S S ，则存在非零向量p ，使}|sup{}|inf{21S x x p S x x p T T凸集分离定理在最优化理论中很有用。
