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高数（一）的预备知识第一部份 代数部份 （一）、基础知识：1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。
2．绝对值：aa a ⎧=⎨-⎩00a a ≥∠3．乘法公式（）()22(±)22±22 a 33=()(a 22)a 33=()(a 22)4.一元二次方程（1）标准形式：a 20(2)解的判定：2240,40,0,b ac b ac ⎧∆=-〉⎪∆=-=⎨⎪∆〈⎩有两个不同的实数根有两个相同的实数根无实数根（3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中） 标准形式：x2设X1、X2为x2(x)0的两个根，则；1212pqx x x x +=-⎧⎨⋅=⎩ （4）十字相乘法： （二）指数和对数1．零指数与负指数：0(1)0,1;1(2)nna a x x -⎧≠=⎪⎨=⎪⎩则 2．根式与分数指数：（1）1na= （2）m na=3．指数的运算（a>0>0,() ∈R ）;(1)x yx ya a a+⋅= (2)()m n m n a a ⋅=(3)x y x y a a a -÷=(4)()n n n a b a b ⋅=⋅4．对数：设,xa N X N =则称为以a 为底的对数, 记作：, ，;5．对数的性质(1)· (2) loglog log a a MM N N=- (3)log log xa a N x N=⋅(4)换底公式：log log log a b a NN b=（5）log ln ,aN x a N e x =⇒= （三）不等式1．不等式组的解法：（1）分别解出两个不等式，例2153241X XX X -<-⎧⎨->-⎩（2）求交集 2、绝对值不等式（1）;X a a X a ≤⇒-≤≤（2）;X a X a X a ≥⇒≥≤-或3、1元2次不等式的解法：（1）标准形式：200ax bx c ++≥≤（或）（2）解法：00122⎧⎪⎨⎪⎩ 解对应的一元次方程判解：0a a ⎧⎪⎨⎪∆⎩①若与不等式同号，解取根外；②若与不等式异号，解取根内；③若无根（＜），则a 与不等式同号； 例：（1）2560;x x -+≥ （2）2320;x x -+＜ （四）函数1、正、反比例函数：y kx = ， 1y x=2、1元2次函数：2y ax bx c =++ （a ≠0）顶点：2424b ac b a a -（-,）； 对称轴：2b x a=- ； 最值：244ac b y a -=；图像：（1）a ＞0,开口向上；（2）a ＜0,开口向下； 3、幂函数：n y x = （1,2,3）；4、指数函数：x y a = （xe ）；5、对数函数： x第二部分 三角（一）角的概念 1、正角、负角2、角度与弧度的关系：0180π= 01180π=4、锐角的三角函数关系：222a b c += s i n b a c =cos a a c = b a ab5、任意角的三角函数sin y r α=αx r αyxαx y α1c o s α α1s i n α6、三角函数符号7．特殊角的三角函数值：00 300 450600900 1800 2700α0 1/2/2 21-1α 1/2/21/2 0 -10 α 0/3 1∞∞α∞13 0∞(二)三角变换1．倒数关系α·α1 α·α1α·α1α1cos αα1sin αα1tan α2. 平方关系的22sin cos 1αα+=22tan 1s ee αα+=22cot 1csc αα+=；3．诱导公式：（1）同名函数的：—α，1800±α，3600±α，K ·360+α的三角函数值等于角α的三角函数值；符号采用把X 当作锐角时原角所在象限原函数的符号。
高职高考数学主要知识点最新版第一部分：基础知识1.数与代数-基本运算：加减乘除、整数求模运算-数的性质：整数的奇偶性、有理数的判断、实数的比较-代数式的基本性质：代数式的化简、代数式的乘除法、分配率2.函数与方程-函数的概念与性质：定义域、值域、图像、奇偶性、单调性、周期性-函数的运算：加减乘除、复合函数、反函数-方程与不等式：一元一次方程、一元一次不等式、一元一次方程组第二部分：几何知识1.平面几何-直线与角：垂直、平行、相交、同位角、对顶角、内错角-三角形：三角形的性质、三角形的判定、三角形的相似、三角形的面积-圆与圆周角：圆的性质、圆周角、弧长、扇形、内切圆、外接圆-四边形：四边形的性质、平行四边形、矩形、菱形、正方形-空间几何：点、线、面的关系、平行线与平面的判定、正交线、点到平面的距离2.立体几何-平面与直线的位置关系：直线与平面的位置关系、两平面的位置关系、直线的投影-空间图形的计算：点、线、面的坐标、距离、角度-空间几何体的计算：立方体、长方体、棱柱、棱锥、棱台、圆锥、圆柱、球体第三部分：数据与概率1.数据统计-数据的收集与整理：频率、频数、频率分布表、直方图、折线图-数据的描述：均值、中位数、众数、极差、四分位数、箱线图-数据的分析：相关性、回归分析、变量的独立性2.概率与统计-概率的概念：样本空间、事件、概率计算、事件的相互关系-随机变量与概率分布：离散型随机变量、连续型随机变量、期望与方差、正态分布、泊松分布第四部分：应用题1.可视化问题：图形的绘制与解读、统计图表的分析与应用2.实际问题求解：题型包括比例问题、利润与成本问题、人工与时间问题、利息与折旧问题、工程应用问题等3.数学建模：问题的数学描述、建立数学模型、求解模型、评价模型的合理性以上是高职高考数学主要知识点的最新整理，希望对你的学习有所帮助。
不同学校和地区的课程设置可能有所不同，建议根据自己的学校教材和考试大纲进行学习和复习。
第一章 预备知识高等数学是研究变量的科学，恩格斯曾说过：“数学中转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学。
有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。
”变量与变量之间的联系就是函数关系。
本章从集合、映射的概念出发引出函数、反函数的概念，接着介绍三角函数、反三角函数等重要函数的概念与性质，最后简单介绍极坐标系、二阶及三阶行列式的有关内容。
第一节 函数世界是普遍联系的，数学则是揭示事物之间数量联系的工具。
例如：水的沸点随海拔的增高而变化，圆的面积与其半径有关等等。
这些现象、规律都是变量与变量之间函数关系的反映。
函数的概念是建立在集合、映射上的。
下面介绍集合、映射的概念。
一、函数的概念1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A , B , C ….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合M 的元素表示为a ∈M .集合的表示可采用列举法或描述法。
所谓列举法是把把集合的全体元素一一列举出来. A ={a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n }；而描述法是指若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为M ={x | x 具有性质P }.例如圆心在原点的单位圆上的点构成的集合表示为：{(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 下面是高等数学中常用的几个数集:N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.N ={0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}. N +={1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={⋅ ⋅ ⋅, -n , ⋅ ⋅ ⋅, -2, -1, 0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}.Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. 2. 映射的概念映射： 设,X Y 是两个非空集合, 如果存在一个法则f , 使得对X 中每个元素x , 按法则f , 在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应, 则称f 为从X 到Y 的映射, 记作:f X Y →其中y 称为元素x (在映射f 下)的像, 并记作()f x , 即()y f x =, 而元素x 称为元素y (在映射f 下)的一个原像; 集合X 称为映射f 的定义域, 记作f D , 即f D X = X 中所有元素的像所组成的集合称为映射f 的值域, 记为f R , 或()f x , 即 (){()|}f R f X f x x X ==∈需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X , 即定义域f D X =; 集合Y , 即值域的范围: f R Y ⊂; 对应法则f , 使对每个x X ∈, 有唯一确定的()y f x =与之对应. (2)对每个x X ∈, 元素x 的像y 是唯一的; 而对每个f y R ∈, 元素y 的原像不一定是唯一的; 映射f 的值域f R 是Y 的一个子集, 即Rf Y ⊂, 不一定f R Y = . 例1设:f R R →, 对每个x R ∈,()f x x =.显然, f 是一个映射f D R =, 值域{|0}f R y y =≥, 它是R 的一个真子集. 对于f R 中的元素y , 除0y =外, 它的原像不是唯一的. 如1y =的原像就有1x =和1x =-两个. 满射、单射和双射:设f 是从集合X 到集合Y 的映射, 若f R Y =, 即Y 中任一元素y 都是X 中某元素的像, 则称f为X 到Y 上的映射或满射; 若对X 中任意两个不同元素12x x ≠, 它们的像12()()f x f x ≠, 则称f 为X 到Y 的单射; 若映射f 既是单射, 又是满射, 则称f 为一一映射(或双射).图1-1清楚地表明单射、满射、双射之间的关系.双射（单射与满射） 单射但非满射 满射但非单射 非满射非单射图1-1 逆映射与复合映射 设f为X 到Y 的单射, 则由定义, 对每个f y R ∈ , 有唯一的x X ∈, 适合()f x y =,于是, 我们可定义一个从Rf 到X 的新映射g , 即:f g R X →对每个f y R ∈, 规定()g y x =, 这x 满足()f x y =. 这个映射g 称为f 的逆映射, 记作1f-, 其定义域1g f D R -=, 值域1f R X -= .按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 设有两个映射 12:,:g X Y f Y Z →→，其中12Y Y ⊂.则由映射g 和f 可以定出一个从X 到Z 的对应法则，它将每个x X ∈映成[()]f g x Z ∈.显然，这个对应法则确定了一个从X 到Z 的映射，这个映射称为映射g 和f 构成的复合映射，记作f g ，即 :f g X Z → ，()()[()],f g x f g x x X =∈如图1-2所示。
代数知识点汇总一、集合之间的关系：元素∈∉集合集合⊆= 集合子集：真子集概念集合子集的个数：2n真子集的个数 2n-1写出集合A={a，b，c}的子集、真子集。
空集：∅{0} 两者关系区别空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
二、集合的运算交∩：找共同的部分并∪：涉及到的范围补∁U A：在全集中去掉A中的元素剩余的遇见范围的题目，画数轴。
数轴左小右大，有等于实心，没等于空心以上考1个题目三、充要条件1、充分条件：p⇒q，如果p，那么q是正确的。
2、必要条件：p⇒q，如果q，那么p是正确的。
3、充要条件：p⇒q，如果p，那么q是正确的，如果q，那么p也是正确的。
4、既不充分也不必要注：小范围推出大范围以上考1个题目四、逻辑用语⌝任意∀存在∃∧且∨或非都满足满足一个即可相反所有都满足有一个即可以上考1个题目五、一元二次方程公式法：配方法：①将x2的系数化为1（同除x2系数a②带x的项放一侧，数放一侧③等式两边加x系数一半的平方④写成平方（x+b/2）2⑤（）2直接去掉，数开平方取正负⑥计算出x1和x2六、不等式的性质1、不等式两边同时加上减去同一个数，不等号不变2、不等式两边同时乘以或者除以一个正数，不等号不变3、不等式两边同时乘以或者除以一个负数，不等号改变注意：平方、开方，取倒数等（正负数问题）七、不等式的解法不等式组的解法：解各个不等式，结果求交集绝对值不等式解法：|x|≤m -m≤x≤m|x|≥m x≥m或x≤-m把绝对值号里面的看成一个整体例如：|x+2| 用x+2代替x一元二次不等式的解：1、x放一侧，数放一侧2、x配方例如（x+3）2≦93、平方变绝对值|x+3|，另外一侧开方取正3 变为|x+3|≦34、解绝对值不等式以上考1-2个题目八、函数的概念及其表示（定义域，法则，值域，函数求值问题）1.函数三要素：定义域、法则，值域2函数表示：解析法，列表法，图像法3.函数定义域（求定义域：分母，偶次根号，真数）4.分段函数（求值问题）九、函数的性质（定义域，值域，增减函数，增减区间，奇偶函数）1给定区间求值域，或者求最值问题2函数的单调性：（增减区间单调区间，函数值的比较大小，证明函数单调性）①取值，在给定区间上任取两个不相等的变量x1x2，则△x=x1-x2②计算△y=y1-y2③判断△y△x的符号，大于0增函数，小于0减函数3函数的奇偶性：（判断证明函数的奇偶，已知函数是奇或偶函数运用齐性质）①定义域是否对称（不对称非奇非偶）②求f（-x）与f（x）相等是偶函数，互为相反数为奇函数以上考1-2个题目十、二次函数（图像，性质，求解析式）数形结合，增减区间，最值，偶函数，顶点，与x轴y轴交点以上考1个题目（简答题概率比较大）十一、指对函数的运算（指对函数转换运算，定义域，）基本运算：a0=1；a-n=1/a n; a mn=√a mn指数运算：a m*a n=a m+n; a ma n=a m−n; (a m)n=a mn; (ab)m=a m b m;(a b )n=a nb n;(ab)n=(ba)−n对数的基本运算：log a1=0；log a a=1 a b=N⇔log a N=b 对数运算：log a M+log a N=log a MN; log a M−log a N=log a M Nlog a M N=Nlog a M; log a m b n=nmlog a b换底公式：log a b=log c blog c a。
一元二次不等式及其解法新课程标准解读核心素养1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数数学抽象、直观想象、逻辑推理根的存在性及实数根的个数2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求数学抽象、数学运算解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相直观想象、数学建模应函数、方程的联系城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修建立交桥和高架道路，以提高车速和通过能力．城市环线和高速公路网的连结也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交通的畅通．城市立交桥已成为现代化城市的重要标志．为了保证安全，交通部门规定，在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长(单位：m)的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为l(单位：m)，当车速为60(单位：km/h)时，车距为1.44个车身长．[问题] 在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量最大？知识点一一元二次不等式的概念1．定义：形如ax2＋bx＋c>0，或ax2＋bx＋c<0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．2．解集：使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．一元二次不等式概念中的关键词(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)；(2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号)答案：②④知识点二一元二次不等式的求解方法函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与方程ax2＋bx＋c＝0的实数根、不等式ax2＋bx＋c ＞0和ax2＋bx＋c＜0的解集之间的关系：y ＝ax2＋bx＋c(a＞0)方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0的实数根x1，2＝－b ±b2－4ac2a(x1<x2)x1＝x2＝－b2a无实数根函数y＝ax2＋bx＋c的图象不等式ax2＋bx＋c>0的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x≠－b2aR不等式ax2＋bx＋c<0的解集{x|x1<x<x2}∅∅从两个角度看三个“二次”之间的内在联系(1)函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即一元二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围；(2)方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．当Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c≥0(a>0)与ax2＋bx＋c≤0(a>0)的解集分别是什么？提示：R ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝－b 2a .1．不等式3＋5x －2x 2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞3，或x ＜－12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12≤x ≤3 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥3，或x ≤－12D ．R 答案：C2．不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜1 C ．∅ D ．R答案：D3．不等式x 2－2x －5＞2x 的解集是________． 答案：{x |x ＞5或x ＜－1}不含参数的一元二次不等式的解法(1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2＜0.[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又一元二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞－12，或x ＜－3.(2)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝94.(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又一元二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正；(2)判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式；(3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；(4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；(5)写解集：根据图象写出不等式的解集．[跟踪训练]1．不等式x(x－9)＜x－21的解集为( )A．(3，7) B．(－∞，3)∪(7，＋∞)C．(－7，－3) D．(－∞，－7)∪(－3，＋∞)解析：选A x(x－9)＜x－21，即x2－10x＋21＜0，即(x－3)(x－7)＜0，解得3＜x＜7.故选A.2．下列四个不等式中解集为R的是( )A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－25x＋5＞0C．x2＋6x＋10＞0 D．2x2－3x＋4＜0解析：选C 利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10＞0中，Δ＝62－40＜0，∴不等式x2＋6x＋10＞0的解集为R，其他可类似判断．故选C.含参数的一元二次不等式的解法x x2ax a [解] 因为Δ＝4a2－8，当Δ＜0，即－2＜a＜2时，原不等式对应的方程无实根．又一元二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.当Δ＝0，即a＝±2时，原不等式对应的方程有两个相等实根．x|x＝2；当a＝2时，原不等式的解集为{}x|x＝－2.当a＝－2时，原不等式的解集为{}当Δ＞0，即a＞2或a＜－2时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1＝a－a2－2，x2＝a＋a2－2，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}．综上所述，当－2＜a＜2时，原不等式的解集为∅；当a＝2时，原不等式的解集为{x|x＝2}；当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－2}；当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}．含参一元二次不等式的解法[跟踪训练]解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ＜0)．解：原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0，化简为(x ＋1)(ax －2)≥0.∵a ＜0，∴(x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a ≤0.当－2＜a ＜0时，2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1； 当a ＜－2时，－1≤x ≤2a.综上所述，当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－1}；当a ＜－2时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a .一元二次不等式解集的逆向应用cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．[解] 法一：由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}可知，a ＜0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知ba ＝－5，c a ＝6.由a ＜0知c ＜0，bc ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a ＜0，即x 2＋b c x ＋a c ＞0，即x 2－56x ＋16＞0，解得x ＜13或x ＞12，所以不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜13，或x ＞12.法二：由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}可知，a ＜0，且2和3是方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a ＜0，即6ax 2－5ax ＋a ＜0⇒6a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＜0，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜13，或x ＞12.[母题探究]1．(变设问)本例中的条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集． 解：由根与系数的关系知ba ＝－5，c a＝6且a ＜0.∴c ＜0，b c ＝－56，故不等式cx 2－bx ＋a ＞0，即x 2－b c x ＋a c ＜0，即x 2＋56x ＋16＜0.解得－12<x <－13，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13.2．(变条件)若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}”变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2”．求不等式cx 2＋bx ＋a＜0的解集．解：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2知a ＜0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝c a ＜0，则c ＞0.∵－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，∴－b a ＝53，∴b a ＝－53.又c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a ， ∴不等式变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－53a x ＋a ＜0，即2ax 2＋5ax －3a ＞0.∵a ＜0，∴2x 2＋5x －3＜0，解得－3<x <12.所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－3＜x ＜12.一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤(1)求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a ，b ，c 之间的关系，写出不等式的解集．(2)求解步骤：第一步：审结论——明确解题方向如要解ax 2＋bx ＋c <0，首先确定a 的符号，最好能确定a ，b ，c 的值． 第二步：审条件——挖掘题目信息利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a ，b ，c 的方程组，用c 表示a ，b .第三步：建联系——找解题突破口由给定不等式的解集形式→确定关于a ，b ，c 的方程组→用c 表示a ，b →代入所求不等式→求解ax 2＋bx ＋c <0的解集．[跟踪训练]关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是{x |x ＞1}，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A ．{x |－1＜x ＜3}B ．{x |1＜x ＜3}C ．{x |x ＜1或x ＞3}D ．{x |x ＜－1或x ＞3}解析：选D 因为不等式ax －b ＞0的解集是{x |x ＞1}，所以a ＞0，b a＝1，所以(ax ＋b )(x －3)＞0等价于a (x ＋1)(x －3)＞0，其解集应为{x |x ＞3或x ＜－1}，故选D.1．(多选)下列不等式是一元二次不等式的是( ) A ．x 2＋2x ＜－1 B ．x 2＋x ＋1＜0 C ．x 2＋3x＋1＜0D ．x 2＋1＜0解析：选AD 由于x 2＋x ＋1＜0，x 2＋3x＋1＜0不符合一元二次不等式的定义，只有x 2＋2x ＜－1，x 2＋1＜0是一元二次不等式，故选A 、D2．不等式(x －1)2＜x ＋5的解集为( ) A ．{x |1＜x ＜4} B ．{x |－1＜x ＜4} C ．{x |－4＜x ＜1}D ．{x |－1＜x ＜3}解析：选B 原不等式可化为x 2－3x －4＜0，即(x ＋1)(x －4)＜0，故其解集为{x |－1＜x ＜4}．故选B.3．设m ＋n ＞0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )＞0的解集是( ) A ．(－∞，－n )∪(m ，＋∞) B ．(－n ，m )C ．(－∞，－m )∪(n ，＋∞)D ．(－m ，n )解析：选B 方程(m －x )(n ＋x )＝0的两根为m ，－n .∵m ＋n ＞0，∴m ＞－n .结合函数y ＝(m －x )(n ＋x )的图象(图略)，得原不等式的解集是(－n ，m )．故选B.4．若关于x 的不等式mx 2＋8mx ＋28＜0的解集是{x |－7＜x ＜－1}，则实数m 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 因为关于x 的不等式mx 2＋8mx ＋28＜0的解集为{x |－7＜x ＜－1}，所以方程mx 2＋8mx ＋28＝0的两根为－7，－1，且m >0.由根与系数的关系得(－7)×(－1)＝28m，－7＋(－1)＝－8mm，解得m ＝4，故选D.5．已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集．解：因为x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16 .所以不等式qx 2＋px ＋1＞0即为－16x 2＋16x ＋1＞0，整理得x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．。
