2016-2017年吉林省辽源五中高二(下)第二次月考数学试卷(理科)(解析版)

高二第二学期月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.62.已知i 是虚数单位，则复数z = 2−i4+3i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.曲线y = x 2+3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是（ ） A.7 B.6 C.5 D.44.（√x −1x ）9展开式中的常数项是（ ） A.-36 B.36 C.-84 D.845.已知命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0，那么命题p 的否定是（ ） A.∃a 0∈（0，+∞），a 02 - 2a 0 -3≤0 B.∃a 0∈（-∞，0），a 02 - 2a 0 -3≤0 C.∀a ∈（0，+∞），a 2 - 2a -3≤0 D.∀a ∈（-∞，0），a 2 - 2a -3≤06.已知F 1，F 2是双曲线12222=-bx a y（a ＞0，b ＞0）的下、上焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A.√2 B.2 C.√3 D.37.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为∧y=8.5x +7.5，则表中的m 的值为（ ）A.50B.55C.60D.658.若f （x ）=x 2 - 2x - 4lnx ，则)('x f ＜0的解集（ ）A.（0，+∞）B.（0，2）C.（0，2）∪（-∞，-1）D.（2，+∞）9.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 = - 11，a 4 + a 6= - 6，则当S n 取最小值时，n 等于（ ） A.6 B.7 C.8 D.911.由曲线y =√x ，直线y = x - 2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A.103 B.4 C.163 D.612.定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+)('x f ＞1，f （0）= 4，则不等式e xf （x ）＞e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A.（0，+∞） B.（-∞，0）∪（3，+∞） C.（-∞，0）∪（0，+∞） D.（3，+∞）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜1）=12， P （X ＞2）=p ，则P （0＜X ＜1）= ______ ． 14.已知函数f （x ）=13x 3+ax 2+x +1有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ______ ． 15.已知函数xx f x f sin cos )4()('+=π，则f （π4）= ______ ．16.观察下列一组等式：①sin 230°+cos 260°+sin 30°cos 60° = 34，②sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45° = 34，③sin 245°+cos 275°+sin 45°cos 75° = 34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，√3sin C cos C - cos 2C = 12，且c =3 （1）求角C（2）若向量m⃗⃗ =（1，sin A ）与n⃗ =（2，sin B ）共线，求a 、b 的值．18.已知正数数列 {a n } 的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2√S n =a n +1． （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列{b n } 的前n 项和B n ．19.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E （X ）．20.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D（Ⅰ）求证：BD ⊥A 1C（Ⅱ）求二面角B-A 1D-C 的大小．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0），F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3． （1）求椭圆C 的方程；（2）过定点P （0，2）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且OA ⊥OB （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程．22.已知函f （x ）= ax 2 - e x （a ∈R ）．（Ⅰ）a =1时，试判断f （x ）的单调性并给予证明； （Ⅱ）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）． （i ） 求实数a 的取值范围； （ii ）证明：1)(21-<<-x f e（注：e 是自然对数的底数）【解析】1. 解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，所以a +b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4个． 故选B ．利用已知条件，直接求出a +b ，利用集合元素互异求出M 中元素的个数即可． 本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力． 2. 解：复数z =2−i4+3i =(2−i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=5−10i 25=15−25i 在复平面内对应的点(15，−25)所在的象限为第四象限． 故选：D ．利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题． 3. 解：由题意知，y =x 2+3x ，则y ′=2x +3， ∴在点A （2，10）处的切线的斜率k =4+3=7， 故选：A ．根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点A （2，10）处的切线的斜率k ．本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题．4. 解：（√x −1x ）9展开式的通项公式为T r +1=C 9r•（-1）r •x9−3r2，令9−3r 2=0，求得r =3，可得（√x −1x ）9展开式中的常数项是-C 93=-84，故选：C ．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 5. 解：根据特称命题的否定是全称命题，得； 命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0， 那么命题p 的否定是：∀a ∈（0，+∞），a 2-2a -3≤0． 故选：C ．根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p 的否定命题￢p 即可． 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．6. 解：由题意，F 1（0，-c ），F 2（0，c ），一条渐近线方程为y =ab x ，则F 2到渐近线的距离为√a 2+b 2=b ．设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，∴|MF 2|=2b ，A 为F 2M 的中点， 又0是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4（c 2-a 2），∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2． 故选：B ．首先求出F 2到渐近线的距离，利用F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 7. 解：由题意，x .=2+4+5+6+85=5，y .=25+35+m+55+755=38+m5，∵y 关于x 的线性回归方程为y ^=8.5x +7.5， 根据线性回归方程必过样本的中心， ∴38+m5=8.5×5+7.5，∴m =60． 故选：C ．计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论． 本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．8. 解：函数f （x ）=x 2-2x -4lnx 的定义域为{x |x ＞0}， 则f '（x ）=2x -2-4x =2x 2−2x−4x，由f '（x ）=2x 2−2x−4x ＜0，得x 2-x -2＜0，解得-1＜x ＜2，∵x ＞0，∴不等式的解为0＜x ＜2， 故选：B ．求函数的定义域，然后求函数导数，由导函数小于0求解不等式即可得到答案．本题主要考查导数的计算以及导数不等式的解法，注意要先求函数定义域，是基础题． 9. 解：∵△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列， ∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①； 又sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴sin 2B=sin A •sin C=34，②由①②得：sin A •sin （120°-A ）=sin A •（sin 120°cos A-cos 120°sin A ）=√34sin 2A+12•1−cos2A2=√34sin 2A-14cos 2A+14 =12sin （2A-30°）+14 =34，∴sin （2A-30°）=1，又0°＜∠A ＜120° ∴∠A=60°． 故选D ．先由△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，得sin 2B=sin A •sin C ，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．10. 解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d =2×（-11）+8d =-6，解得d =2， 所以S n =−11n +n(n−1)2×2=n 2−12n =(n −6)2−36，所以当n =6时，S n 取最小值．故选A ．条件已提供了首项，故用“a 1，d ”法，再转化为关于n 的二次函数解得． 本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．11. 解：联立方程{y =x −2y=√x得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y =√x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为：S=∫(40√x −x +2)dx =(23x 32−12x 2+2x)|04=163．故选C ．利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y =√x ，直线y =x -2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．12. 解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）-e0=4-1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．13. 解：随机变量X～N（μ，σ2），可知随机变量服从正态分布，X=μ，是图象的对称轴，可知P（X＜1）=12，P（X＞2）=p，P（X＜0）=p，则P（0＜X＜1）=12−p．故答案为：12−p．直接利用正态分布的性质求解即可．本题考查正态分布的简单性质的应用，基本知识的考查．14. 解：函数f（x）=13x3+ax2+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2-4＞0，解得，a＞1或a＜-1．故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．本题考查导数的运用：求极值，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于基础题．15. 解：由f（x）=f′（π4）cosx+sinx，得f′（x）=-f′（π4）sinx+cosx，所以f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，f′（π4）=-√22f′（π4）+√22．解得f′（π4）=√2-1．所以f（x）=（√2-1）cosx+sinx则f（π4）=（√2-1）cosπ4+sinπ4=√22（√2−1）+√22=1．故答案为：1．由已知得f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，从而f（x）=（√2-1）cosx+sinx，由此能求出f（π4）．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．16. 解：观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=34，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是sin2x+sinx）cos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，∴sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．证明：sin2x+sinx（√32cosx−12sinx）+（√32cosx−12sinx）2=sin2x+√32sinxcosx-12sin2x+34cos2x-√32sinxcosx+14sin2x=3 4sin2x+34cos2x=34．故答案为：sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°，3sin215°+cos245°+sin15°cos45°…规律应该是sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，写出结果．本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．答案和解析【答案】1.B2.D3.A4.C5.C6.B7.C8.B9.D 10.A 11.C 12.A13.12−p14.（-∞，-1）∪（1，+∞）15.116.sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos2（30°-x）=3417.解：（1）∵√3sinCcosC−cos2C=12，∴√32sin2C−1+cos2C2=12∴sin（2C-30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵m ⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n ⃗ =(2，sinB)共线， ∴sin B-2sin A=0∴sin （120°-A ）=2sin A 整理可得，cosA =√3sinA 即tan A=√33∴A=30°，B=90° ∵c =3．∴a =√3，b =2√3 18.解：（Ⅰ）由2√S n =a n +1，n =1代入得a 1=1， 两边平方得4S n =（a n +1）2（1），（1）式中n 用n -1代入得4S n−1=(a n−1+1)2&(n ≥2)（2）， （1）-（2），得4a n =（a n +1）2-（a n -1+1）2，0=（a n -1）2-（a n -1+1）2，（3分） [（a n -1）+（a n -1+1）]•[（a n -1）-（a n -1+1）]=0， 由正数数列{a n }，得a n -a n -1=2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，有a n =2n -1．（7分） （Ⅱ）b n =1an ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，裂项相消得B n =n2n+1．（14分）19.（I ）解：设“在X 次游戏中摸出i 个白球”为事件A i （i =，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B=A 2∪A 3， 又P （A 3）=C 32C 21C 52C 32=15，P （A 2）=C 32C 22+C 31C 21C 21C 52C 32=12，且A 2，A 3互斥，所以P （B ）=P （A 2）+P （A 3）=12+15=710； （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.X ～B(2，710) 所以X 的分布列是 X 012P9100215049100X 的数学期望E （X ）=0×9100+1×2150+2×49100=75． 20.（Ⅰ）证明：分别以AB 、AC 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D ， ∴B （2，0，0），C （0，2√3，0），A 1（0，0，√3），D （32，√32，√3）．则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2√3，−√3)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12×0+√32×2√3−√3×√3=0． ∴BD ⊥A 1C ；（Ⅱ）解：设平面BDA 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，∴{m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +√32y +√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x+√3z=0，取z =2，则m ⃗⃗⃗ =(√3，−3，2)；设平面A 1DC 的一个法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，3√32，−√3)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2√3，√3)，∴{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√3y +√3z =0n⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x+3√32y−√3z=0，取y =1，得n ⃗ =(−√3，1，2)．∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4×2√2=−√28．∴二面角B-A 1D-C 的大小为arccos √28．21.解：（1）∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0）， F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3， ∴{c =√32a +2c =4+2√3a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx -2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x 24+y 2=1y =kx −2，得（1+4k 2）x 2-16kx +12=0，△=（-16k ）2-48（1+4k 2）＞0，由根与系数关系得x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1•x 2=121+4k 2， ∵y 1=kx 1-2，y 2=kx 2-2，∴y 1y 2=k 2x 1•x 2-2k （x 1+x 2）+4． ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴（1+k 2）x 1x 2-2k （x 1+x 2）+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2-32k 21+4k 2+4=0，解得k =±2，∴直线l 的方程是y =2x -2或y =-2x -2． 22.解：（Ⅰ）当a =1时，f （x ）=x 2-e x ，f （x ）在R 上单调递减．事实上，要证f ′（x ）=x 2-e x 在R 上为减函数，只要证明f ′（x ）≤0对∀x ∈R 恒成立即可，设g （x ）=f ′（x ）=2x -e x ，则g ′（x ）=2-e x ，当x =ln 2时，g ′（x ）=0，当x ∈（-∞，ln 2）时，g ′（x ）＞0，当x ∈（ln 2，+∞）时，g ′（x ）＜0． ∴函数g （x ）在（-∞，ln 2）上为增函数，在（ln 2，+∞）上为减函数． ∴f ′（x ）max =g （x ）max =g （ln 2）=2ln 2-2＜0，故f ′（x ）＜0恒成立 所以f （x ）在R 上单调递减； （Ⅱ）（i ）由f （x ）=ax 2-e x ，所以，f ′（x ）=2ax -e x ．若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两个根，故方程2ax-e x=0有两个根x1，x2，又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程2a=e xx有两个根，设ℎ(x)=e xx ，得ℎ′(x)=e x(x−1)x2．若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．若x＞0时，h（x）＞0．当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．要使方程2a=e xx 有两个根，需2a＞h（1）=e，故a＞e2且0＜x1＜1＜x2．故a的取值范围为(e2，+∞)．（ii）证明：由f′（x1）=0，得：2ax1−e x1=0，故a=e x12x1，x1∈（0，1）f(x1)=ax12−e x1=e x1 2x1⋅x12−e x1=e x1(x12−1)，x1∈（0，1）设s（t）=e t(t2−1)（0＜t＜1），则s′(t)=e t(t−12)＜0，s（t）在（0，1）上单调递减故s（1）＜s（t）＜s（0），即−e2＜f(x1)＜−1．。

2016-2017学年吉林省辽源第五中学高二下学期期末考试数学（文）试题一、选择题1．已知集合,则（）A. B. C. D. {—2，0}【答案】C【解析】由集合N中的函数，得到，解得，所以集合，又集合，则．故选C2．若（是虚数单位），则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，选D.【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3． ( )A. 2B.C.D.【答案】C【解析】∵∵=故选C4．“直线与圆相交”是“”的( )条件A. 充分不必要B. 必要而不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】直线恒过，∵直线与圆相交,∴在圆内,∴，；时,(0,b)在圆内,∴直线与圆相交。

故选：B.5．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：5点中任选2点的选法有，距离不小于该正方形边长的选法有【考点】古典概型概率6．执行下面的程序框图，输出的结果为( )A. 9B. 27C. 18D. 36【答案】B【解析】第一次循环：,第二次循环：第三次循环：故输出结果为27故选B7．已知实数满足约束条件，若的最大值为1，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图画出可行域，当时，目标函数才有最大值，根据选项可得，而目标函数，斜率为3，所以函数过点时函数取得最大值，，解得，所以，解得：，故选C.8．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增。

若实数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵是定义在R上的偶函数,且在区间上单调递增，∴在上单调递减。

∵,，∴<=∴，解得故选：D.点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性，先用偶函数性质把转化为，再利用单调性把函数值大小转化为变量大小，即得解9．若函数在区间上不是单调函数，则函数在R上的极小值为（）A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，因为函数区间上不是单调函数，所以，由，解得或，由，解得，所以的极小值为，故选A．【考点】利用导数研究函数的极值．10．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为,面积为；故飞镖落在阴影区域的概率故答案为：A11．已知二次函数的导函数为，，对于任意实数，有，则的最小值为（）A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】B【解析】∵，∴；∵对于任意实数x都有，∴且，∴，∴；∴当时取等号。

2016-2017学年度下学期高一数学第二次月考试题（理）一、选择题( 本题共12小题，每小题5分，共60分。

请将答案写在答题纸的相应表格中) 1．下列符号判断正确的是（ ） A.B.C.D.2．已知函数()(),0{42,0xsin x f x f x x π>=+≤，则()5f -的值为 ( ) A. 013．已知角α（0360α︒≤<︒）终边上一点的坐标为()sin150,cos150︒︒，则α=（ ） A. 150︒ B. 135︒ C. 300︒ D. 60︒ 4．集合()(){,|{,|0}M x y y N x y x y m ===-+=，若M N ⋂的子集恰有4个，则m 的取值范围是（ ）A. (﹣, ) B. [﹣2，） C. (﹣﹣2] D. [2，5．设单位向量12e e ，的夹角为23π， 122a e e =+， 23b e =-，则a 在b 方向上的投影为（ ）A. B. 32- C. 326.直线2x y m +=（0m >）与22:5O x y +=圆交于,A B 两点，若2OA OB AB +>，则m 的取值范围是（ ）A.B. ()C.) D. (7．直线:42l x y +=与圆22:1C x y +=交于,A B 两点， O 为坐标原点，若直线,OA OB 的倾斜角分别为,αβ，则cos cos αβ+=（ ） A.1817 B. 1217- C. 417- D. 4178．已知α为锐角，若5cos 613πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.B.9. 已知函数2sin cos 22y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与直线12y =相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ， 2M ， 3M ，…，则112M M 等于（ ）A.163π B. 6π C. 173πD. 12π A ．2 B ．3 C ．4 D ．610．中国古代数学家赵爽设计的弦图是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成如图所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图中菱形的一个锐角的正弦值为A.2425 B. 35 C. 45 D. 72511．设,a b 是平面上的两个单位向量， 35a b ⋅=.若m R ∈，则a mb +的最小值是（ ） A.34 B. 43 C. 45 D. 5412. 已知圆O 为Rt ABC ∆的内切圆， 3AC =， 4BC =， 90C ∠=︒，过圆心O 的直线l 交圆O 于P ，Q 两点，则BP CQ ⋅的取值范围是（ ）A. ()7,1-B. []0,1C. []7,0-D. []7,1-第Ⅱ卷（非选择题 共72分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确答案填在答题卡的指定位置. 13. 已知向量(),1m a b =-， (),1(0,0)n b a b =>>，若m n ⊥，则14b a+的最小值为__________． 14.在斜三角形ABC 中， tan tan tan tan 1A B A B ++=，则C ∠= _____________.15. 存在R θ∈，使得关于θ的不等式cos22cos 47m m θθ>-+成立，则实数m 的取值范围是_____________.16．在ABC ∆中， M 为BC 上不同于B ， C 的任意一点，点N 满足2AN NM =.若AN xAB y AC =+，则229x y +的最小值为__________.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）（Ⅰ）已知4sin 2cos 55cos 3sin 7αααα-=+，求sin cos αα的值；2cos101cos 170--的值．18．已知向量()1,2sin ,sin ,1,3a b R πθθθ⎛⎫⎛⎫==+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）若a b ⊥，求tan θ 的值； （2）若//a b ，且0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求角θ. 19.已知向量()3cos ,1m x =-， ()2sin ,cos n x x =.（1）当3x π=时，求m n ⋅的值；（2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且312m n ⋅=-，求cos2x 的值.20．已知函数 ()2cos sin 3f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的单调增区间； （2）设()()2g x af x b=+，若()g x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,4，求a ， b 的值. 21.有一块半径为(R R 的正常数）的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形的游泳池ABCD 和其附属设施，附属设施占地形状是等腰CDE ∆，其中O 为圆心， ,A B 在圆的直径上， ,,C D E 在半圆周上，如图.（1）设BOC θ∠=，征地面积为()f θ，求()f θ的表达式，并写出定义域；（2）当θ满足()()2sin g f R θθθ=+取得最大值时，开发效果最佳，求出开发效果最佳的角θ的值，求出()g θ的最大值.22．已知平面直角坐标系xoy 内两个定点()1,0A 、()4,0B ,满足2PB PA =的点(),P x y 形成的曲线记为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)过点B 的直线l 与曲线Γ相交于C 、D 两点,当⊿COD 的面积最大时,求直线l 的方程(O 为坐标原点); (3)设曲线Γ分别交x 、y 轴的正半轴于M 、N 两点,点Q 是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点,连结QN 交x 轴于点E 、连结QM 交y 轴于F .求证四边形MNEF 的面积为定值.理科数学答案13. 【答案】9. 14. 【答案】34π. 15【答案】1+∞（，） .16【答案】25案17. 【答案】（Ⅰ）310；（Ⅱ）1. 18【答案】（1）tan θ=（2）6πθ=或2π. 19. （1）12（220.计算得出()f x 的单调增区间为： 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈. （Ⅱ）a=4/3,b=10/3或a=-4/3,b=8/3 21【答案】（1）()()2cos sin cos ,0,2f R πθθθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；（2）当4πθ=时， ()g θ有最大值为212R ⎛ ⎝. ----------12分22【答案】(1) 224x y +=;(2) )4y x =-;(3)见解析． (1)由题设知=两边平方化简得224x y +=∴点P 的轨迹Γ的方程为224x y += (2)由题意知OS ==的斜率一定存在, 设():4l y k x =-即40kx y k --=,∵原点到直线l的距离d CD ==,∴Δ122COD S CD d =⋅=≤=, 当且仅当22d =时,取得“=” 2224d r =<=∴当22d =时,此时, 222161217k k k k =⇒=⇒=±+∴直线l 的方程为)4y x =- (3)设ΔΔ12MNEF MNE MEF S S S ME NF =+=⋅设()()()00,,e,0,0,Q x y E F f (其中2200000,0,4x y x y <<+=) 则()00:22y QM y x x =--,令0x =得0022y f x -=- ∴()00000242222x y y NF x x +--=-=-- 002:2y QN y x x -=+,令0y =得02e 2x y =- ∴()00000422222x y x ME y y -+=-=-- ()()()()()20000000000002842122422242MNEFx y x y x y S ME NF x y x y x y +--++=⋅=⋅=⋅=---++ (定值)。

辽源五中2016-2017学年度下学期高一期末理科数学试卷一、选择题：本大题包括12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的.（1）已知α是第二象限角，54sin =α，则=αtan )(A34 )(B 34- )(C 43 )(D 43- （2）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=，30BDC ∠=，30CD =米，并在C 测得塔顶A 的仰角为60，则塔的高度AB 为)(A 315米 )(B 35米 )(C 615米 )(D 65米（3）如图，在三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前三项，则这个数列的一个递推公式为1()8n n A a a += 1()8n n B a a n +=+11()8n n n C a a -+=+ 1()8n n n D a a +=+（4,2==2=，则a 与b 的夹角为)(A 60 )(B 90 )(C 120 )(D 150（5）已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，若=-+)sin )(sin (A B b a))(sin(c b B A -+，则角=A)(A 30 )(B 60 )(C 120 )(D 150（6）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=）矢矢（弦221+⨯⨯， 弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，再用圆心解为π32，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（73.13≈）)(A 16平方米 )(B 18平方米 )(C 20平方米 )(D 25平方米（7）已知函数)sin()(ϕω+=x x f 在区间]34,0[π上单调，且1)34(,0)3(==ππf f ，则 )0(f 的值为)(A 21- )(B 1- )(C 23- )(D 0（8）已知角θ的终边在直线x y 3=上，则=θ2sin)(A 103 )(B 103- )(C 53 )(D 53-（9）若1)10(tan 40sin -=-m ，则实数m 的值为 )(A 1 )(B 1- )(C 3- )(D 3（10）如图，ABC ∆的外接圆的圆心为O ，6,4==AC AB ，则=⋅BC AO)(A 12 )(B 10 )(C 6 )(D 4（11）已知数列}{n a 满足21121,21n n n a a a a -+==+，则该数列的前2020项和为)(A 1515 )(B 1513 )(C 1009 )(D 2018（12）如图，直线)0(:1A m m y l ≤<=与函数)cos()(ϕω+=x A x f)0,0(>>ωA 的图象相交于B 、C 两点，直线m y l -=:2与函数)0,0)(cos()(>>+=ωϕωA x A x f 的图象相交于D 、E 两点，设),(),,(D D B B y x D y x B ，记||)(D B x x m S -=，则)(m S 的图象大致是二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. （13）=75sin 15sin _____________；（14）已知在ABC ∆中，120,3,2===C AC BC ，则=-)2cos(C A ______________；（15）在边长为2的正ABC ∆中，E D ,分别是AC BC ,上的点，且=，2=，则=⋅_______________；（16）ABC ∆中，已知BC AC AB 22,4==，则ABC ∆面积的最大值为____________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分10分）在数列}{n a 中， n n n a a a 2121,2311+==+ （I ）求432a a a 、、，并据此写出数列}{n a 的通项公式（不需要证明）； （II ）根据（I ）的结论，证明数列}{n a 是单调递减数列.(18)（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，C B B C a cos sin cos )sin 41(=-，34=b .（I ）求角B 的大小；（II ）设H 为ABC ∆的垂心， 6=⋅，求c a +.(19)（本小题满分12分）函数2,0,0),sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象如图所示.（I ） 求函数)(x f 的解析式；（II ） 求函数)(x f 在]2,0[π上的单调递增区间.（20）（本小题满分12分）已知)cos ,(sin ),1,(cos 2x x x ωωω==，函数12)(-⋅=x f 的最小正周期为π（I ）求ω的值及函数)(x f 的最大值；（I I ）若)43,4(,523)2(ππαα∈=f ，求αcos .（21）（本小题满分12分）在ABC ∆中，设三个内角分别为C B A ,,，且满足102)sin(,45=-=C B A（I ） 求证：C B tan 23tan =； （II ） 设AD 是BC 边上的高，且5=BC ，求AD 的长.（22）（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，点),(),,(2211y x B y x A 在单位圆上，α=∠xOA ，)2,6(ππα∈，3π=∠AOB .（I ）若53)4cos(-=+πα，求1x 的值；（II ）过点A 作x 轴的垂线交单位圆于另一点C ，过B 作x 轴的垂线，垂足为D ，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S .设21)(S S f +=α，求函数)(αf 的最大值.辽源五中2016-2017学年度下学期高一期末理科数学答案（13） 41（14）3811 （15）-1 （16三.解答题 （17）(I) n n n a a a a 212,169,87,45432+====（18） （I ）︒60 （II ）212（19）（I ）)332sin(5)(π+=x x f （II ）]2,47[],4,0[πππ； （20）（I ）2)(,1的最大值为x f =ω； （II ）102-.（21） （II ）6=AD（22） （I ）102 （II。

2016-2017学年吉林省辽源五中高一（下）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．请将答案写在答题纸的相应表格中）1．（5分）下列符号判断正确的是（）A．sin4＞0B．cos（﹣3）＞0C．tan4＞0D．tan（﹣3）＜0 2．（5分）已知函数f（x）＝，则f（﹣5）的值为（）A．0B．C．1D．3．（5分）已知角α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin150°，cos150°），则α＝（）A．150°B．135°C．300°D．60°4．（5分）集合M＝{（x，y）|y＝}，N＝{（x，y）|x﹣y+m＝0}，若M∩N的子集恰有4个，则m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2）C．（﹣2，﹣2]D．[2，2）5．（5分）设单位向量，的夹角为，＝+2，＝﹣3，则在方向上的投影为（）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）直线x+2y＝m（m＞0）与⊙O：x2+y2＝5交于A，B两点，若|+|＞2||，则m的取值范围是（）A．B．C．D．7．（5分）直线l：x+4y＝2与圆C：x2+y2＝1交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA、OB的倾斜角分别为α、β，则cosα+cosβ＝（）A．B．C．D．8．（5分）已知α是锐角，若cos（α+）＝，则sin（α﹣）＝（）A．﹣B．﹣C．D．9．（5分）已知函数y＝2sin（x+）cos（x﹣）与直线y＝相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则||等于（）A．B．6πC．D．12π10．（5分）中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图2所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图2中菱形的一个锐角的正弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）设，是平面上的两个单位向量，•＝．若m∈R，则|+m|的最小值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知圆O为Rt△ABC的内切圆，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过圆心O的直线l交圆O于P，Q两点，则的取值范围是（）A．（﹣7，1）B．．[0，1]C．[﹣7，0]D．[﹣7，1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确答案填在答题卡的指定位置. 13．（5分）已知向量＝（a，1﹣b），＝（b，1）（a＞0，b＞0），若，则+4b的最小值为．14．（5分）在斜三角形ABC中，tan A+tan B+tan A tan B＝1，则∠C＝．15．（5分）存在θ∈R，使得关于θ的不等式cos2θ＞2m cosθ﹣4m+7成立，则实数m的取值范围为．16．（5分）如图，在△ABC中，M为BC上不同于B，C的任意一点，点N满足．若，则x2+9y2的最小值为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）（Ⅰ）已知＝，求sinα•cosα的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）已知向量．（1）若，求tanθ的值；（2）若，且，求角θ．19．（12分）已知向量．（1）当x＝时，求的值；（2）若，且，求cos2x的值．20．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）设g（x）＝2af（x）+b，若g（x）在[﹣，]上的值域为[2，4]，求a，b的值．21．（12分）有一块半径为R（R为正常数）的半圆形空地，开发商计划征地建一个游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B在圆的直径上，C，D，E在半圆周上，如图．（1）设∠BOC＝θ，征地面积为f（θ），求f（θ）的表达式，并写出定义域；（2）当θ满足g（θ）＝f（θ）+R2sinθ取得最大值时，开发效果最佳，求出开发效果最佳的角θ的值，并求出g（θ）的最大值．22．（12分）已知平面直角坐标系xoy内两个定点A（1，0）、B（4，0），满足PB＝2P A的点P（x，y）形成的曲线记为Γ．（1）求曲线Γ的方程；（2）过点B的直线l与曲线Γ相交于C、D两点，当△COD的面积最大时，求直线l的方程（O为坐标原点）；（3）设曲线Γ分别交x、y轴的正半轴于M、N两点，点Q是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点，连结QN交x轴于点E、连结QM交y轴于F．求证四边形MNEF的面积为定值．2016-2017学年吉林省辽源五中高一（下）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．请将答案写在答题纸的相应表格中）1．（5分）下列符号判断正确的是（）A．sin4＞0B．cos（﹣3）＞0C．tan4＞0D．tan（﹣3）＜0【解答】解：对于A：∵π＜4＜，∴sin4＜0，tan4＞0，∴A不对，C对；对于B：cos（﹣3）＝cos3，∵，∴cos（﹣3）＝cos3＜0，tan（﹣3）＝﹣tan3＞0，∴B，D不对；故选：C．2．（5分）已知函数f（x）＝，则f（﹣5）的值为（）A．0B．C．1D．【解答】解：函数f（x）＝，则f（﹣5）＝f（﹣5+2）＝f（﹣3）＝f（﹣3+2）＝f（﹣1）＝f（﹣1+2）＝f（1）＝sin ＝．故选：B．3．（5分）已知角α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin150°，cos150°），则α＝（）A．150°B．135°C．300°D．60°【解答】解：∵角α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin150°，cos150°），即（，﹣），则α为第四象限角，再根据tanα＝＝﹣，∴α＝360°﹣60°＝300°，故选：C．4．（5分）集合M＝{（x，y）|y＝}，N＝{（x，y）|x﹣y+m＝0}，若M∩N的子集恰有4个，则m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2）C．（﹣2，﹣2]D．[2，2）【解答】解：根据题意，对于集合M，y＝，变形可得x2+y2＝4，（y≥0），为圆的上半部分，N＝{（x，y）|x﹣y+m＝0}，为直线x﹣y+m＝0上的点，若M∩N的子集恰有4个，即集合M∩N中有两个元素，则直线与半圆有2个交点，分析可得：2≤m＜2，故选：D．5．（5分）设单位向量，的夹角为，＝+2，＝﹣3，则在方向上的投影为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵单位向量，的夹角为，且＝+2，＝﹣3，∴＝＝﹣3＝，，则在方向上的投影为．故选：B．6．（5分）直线x+2y＝m（m＞0）与⊙O：x2+y2＝5交于A，B两点，若|+|＞2||，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线x+2y+m＝0与圆x2+y2＝5交于相异两点A、B，∴O点到直线x+2y+m＝0的距离d＜，又∵，由OADB是菱形，并且OC＞2AC，可知，OC＞2．圆的圆心到直线的距离d＞2，可得：，m＞0，解得m∈（2，5）．故选：B．7．（5分）直线l：x+4y＝2与圆C：x2+y2＝1交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA、OB的倾斜角分别为α、β，则cosα+cosβ＝（）A．B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由三角函数的定义得：cosα+cosβ＝x1+x2，由，消去y得：17x2﹣4x﹣12＝0则，即．故选：D．8．（5分）已知α是锐角，若cos（α+）＝，则sin（α﹣）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵α是锐角，α+∈（，），且cos（α+）＝，∴sin（α+）＝＝，∴sin（α﹣）＝sin[（α+）﹣]＝sin（α+）cos﹣cos（α+）sin＝﹣＝．故选：C．9．（5分）已知函数y＝2sin（x+）cos（x﹣）与直线y＝相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则||等于（）A．B．6πC．D．12π【解答】解：∵y＝2sin（x+）cos（x﹣）＝2cos x sin x＝sin2x，∴由题意得：sin2x＝，∴2x＝2kπ+或2x＝2kπ+，∴x＝kπ+或x＝kπ+，k∈Z，∵正弦曲线y＝sin2x与直线y＝在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，∴得M1（，），M12（5π+，），∴||＝，故选：A．10．（5分）中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图2所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图2中菱形的一个锐角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，大正方形的面积为100，其边长为10，小正方形的面积为4，其边长为2．每个直角三角形的面积为．设图1中一个直角三角形的边长为m，n+2，可得：，解得：m＝n＝6设小边所对的角为θ，则，，那么：．即图2中菱形的一个锐角的正弦值为故选：A．11．（5分）设，是平面上的两个单位向量，•＝．若m∈R，则|+m|的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：设，是平面上的两个单位向量，则||＝1，||＝1，∵•＝，∴|+m|2＝||2+m2||2+2m•＝1+m2+m＝（m+）2+，当m＝﹣时，|+m|2有最小值，∴|+m|的最小值是，故选：C．12．（5分）已知圆O为Rt△ABC的内切圆，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过圆心O的直线l交圆O于P，Q两点，则的取值范围是（）A．（﹣7，1）B．．[0，1]C．[﹣7，0]D．[﹣7，1]【解答】解：以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴，与直线AC平行的直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示；设△ABC的内切圆的半径为r，运用面积相等可得，×3×4＝×r×（3+4+5），解得r＝1，则B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），即有圆O：x2+y2＝1，当直线PQ的斜率不存在时，即有P（0，1），Q（0，﹣1），＝（3，3），＝（﹣1，0），即有＝﹣3．当直线PQ的斜率存在时，设直线l：y＝kx，（k＜0），代入圆的方程可得P（﹣，﹣），Q（，），即有＝（3﹣，1﹣），＝（﹣1，+1），则有＝（3﹣）（﹣1）+（1﹣）（+1）＝﹣3+，由1+k2≥1可得0＜≤4，则有﹣3＜﹣3+≤1；同理当k＞0时，求得P（，），Q（﹣，﹣），有═﹣3﹣，可得﹣7≤﹣3+＜﹣3；综上可得，•的取值范围是[﹣7，1]．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确答案填在答题卡的指定位置. 13．（5分）已知向量＝（a，1﹣b），＝（b，1）（a＞0，b＞0），若，则+4b的最小值为9．【解答】解：根据题意，量＝（a，1﹣b），＝（b，1）（a＞0，b＞0），若，则有•＝ab+（1﹣b）＝0，变形可得a＝，又由a＞0，b＞0，即＞0且b＞0，解可得b＞1，则+4b＝+4b＝5++4（b﹣1）≥5+2＝9，即+4b的最小值为9；故答案为：914．（5分）在斜三角形ABC中，tan A+tan B+tan A tan B＝1，则∠C＝135°．【解答】解：△ABC中，已知tan A+tan B+tan A tan B＝1，∴tan（A+B）（1﹣tan A tan B）+tan A tan B＝1，∴tan（A+B）（1﹣tan A tan B）＝1﹣tan A tan B，∴tan（A+B）＝1，∴A+B＝45°，∴C＝135°．故答案为：135°．15．（5分）存在θ∈R，使得关于θ的不等式cos2θ＞2m cosθ﹣4m+7成立，则实数m的取值范围为（1，+∞）．【解答】解：存在θ∈R，关于θ的不等式cos2θ＞2m cosθ﹣4m+7恒成立，即2cos2θ﹣2m cosθ+4m﹣8＞0成立，即：cos2θ﹣m cosθ+2m﹣4＞0．由θ∈R，则﹣1≤cosθ≤1，可得m＞＝cosθ+2．cosθ+2∈[1，3]，存在θ∈R，使得关于θ的不等式cos2θ＞2m cosθ﹣4m+7成立，可得m＞1故答案为：（1，+∞）．16．（5分）如图，在△ABC中，M为BC上不同于B，C的任意一点，点N满足．若，则x2+9y2的最小值为．【解答】解：不妨设＝λ，0＜λ＜1，∴＝＝（+）＝+＝+（﹣）＝+，∵，∴x＝，y＝，∴x2+9y2＝+4λ2＝λ2﹣+＝（λ﹣）2+，当λ＝时，x2+9y2有最小值，最小值为，故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）（Ⅰ）已知＝，求sinα•cosα的值；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵＝＝，∴tanα＝3，∴sinα•cosα＝＝＝＝．（II）＝＝1．18．（12分）已知向量．（1）若，求tanθ的值；（2）若，且，求角θ．【解答】解：（1）∵，∴＝+2sinθ＝0，化为：2sinθ+sinθ+cosθ＝0，解得tanθ＝．（2）∵，∴2sinθsin＝1，∴2sinθ（sinθ+cosθ）＝1，∴sin ＝，∵，∴∈，∴2＝或，解得θ＝或．19．（12分）已知向量．（1）当x＝时，求的值；（2）若，且，求cos2x的值．【解答】解：（1）当x＝时，＝（，﹣1），＝（，），∴＝﹣＝．（2）＝sin x cos x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x﹣＝sin（2x﹣）﹣，若＝﹣，则sin（2x﹣）＝，∵，∴2x﹣∈[﹣，]，∴cos（2x﹣）＝．∴cos2x＝cos（2x﹣+）＝cos（2x﹣）cos﹣sin（2x﹣）sin＝﹣＝．20．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）设g（x）＝2af（x）+b，若g（x）在[﹣，]上的值域为[2，4]，求a，b的值．【解答】解：（1）函数．化简可得：f（x）＝＝＝＝，由，k∈Z，得：∴f（x）的单调增区间为：，k∈Z．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，那么：g（x）＝2af（x）+b＝a sin（2x﹣）+b．∵，∴则：﹣1≤sin（2x﹣）≤．当a＞0时，g（x）的值域为[﹣a+b，a+b]，可得：，解得：a＝，b＝当a＜0时，g（x）的值域为[a+b，﹣a+b]，可得：，解得：a＝﹣，b＝．故得当a＞0时，a＝，b＝当a＜0时，a＝﹣，b＝．21．（12分）有一块半径为R（R为正常数）的半圆形空地，开发商计划征地建一个游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B在圆的直径上，C，D，E在半圆周上，如图．（1）设∠BOC＝θ，征地面积为f（θ），求f（θ）的表达式，并写出定义域；（2）当θ满足g（θ）＝f（θ）+R2sinθ取得最大值时，开发效果最佳，求出开发效果最佳的角θ的值，并求出g（θ）的最大值．【解答】解：（1）连结OE，OC，在Rt△OBC中，BC＝R sinθ，OB＝R cosθ，∴S梯形OBCE＝（R sinθ+R）R cosθ＝R2（1+sinθ）cosθ，∴f（θ）＝2S梯形OBCE＝R2（1+sinθ）cosθ，θ∈（0，）．（2）g（θ）＝R2（1+sinθ）cosθ+R2sinθ＝R2（sinθ+cosθ+sinθcosθ），令t＝sinθ+cosθ＝sin（θ+），则t∈（1，]，sinθcosθ＝，∴g（θ）＝R2（）＝[（t+1）2﹣2]，令h（t）＝[（t+1）2﹣2]，则h（t）在（1，]上单调递增，∴当t＝即θ＝时，h（t）取得最大值（）R2，22．（12分）已知平面直角坐标系xoy内两个定点A（1，0）、B（4，0），满足PB＝2P A的点P（x，y）形成的曲线记为Γ．（1）求曲线Γ的方程；（2）过点B的直线l与曲线Γ相交于C、D两点，当△COD的面积最大时，求直线l的方程（O为坐标原点）；（3）设曲线Γ分别交x、y轴的正半轴于M、N两点，点Q是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点，连结QN交x轴于点E、连结QM交y轴于F．求证四边形MNEF的面积为定值．【解答】解：（1）由题设知，两边化简得x2+y2＝4∴点P的轨迹Γ的方程为x2+y2＝4…（3分）（2）由题意知的斜率一定存在，设l：y＝k（x﹣4）即kx﹣y﹣4k＝0，∵原点到直线l的距离，…（5分）∴，…（7分）当且仅当d2＝2时，取得“＝”d2＝2＜r2＝4∴当d2＝2时，此时，．∴直线l的方程为．…（9分）（3）设…（11分）设Q（x0，y0），E（e，0），F（0，f）（其中）则，令x＝0得∴…（12分），令y＝0得∴…（13分）∴＝（定值）…（16分）。

2016-2017学年度上学期第二次月考高二数学（理科）注意事项：1．本试题共4页，满分150分，考试时间90分钟。

2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号等相关信息填写在答题卷密封线内，并在“座位号”栏内填写座位号。

3. 所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是( )2. 复数等于（）A．B． C．D．3．若的值等于（）[来源XK]A．2 B．3 C．4 D．6[来源]4．已知，，且，则A． B．C．或 D．5．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）6．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为A．B．C．2 D．47．程序框图如图所示，输出S的值是( )A.7B.11C. 12D.258在同一坐标系中，函数f(x)=x a(x＞0)，g(x)=log a x的图象可能是9.设x,y满足约束条件，则目标函数的最大值是A.5B. -1C.-5D.010已知函数在上有两个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．11．已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列{}的前n项和为S n，则S2014的值为（）A．B．C．D．12已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（-∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（-x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x-1）的实数x的取值范围是（）A（，2） B（-2，1）C（-1，2） D（-1，）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡内.13.若实数，满足则S＝2x＋y－1的最大值为--------14.已知数列{a n}满足：a n≤a n＋1，a n＝n2＋λn，n∈N*，则实数λ的最小值是________．15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度_________m.16.△ABC中，∠A＝60°，M为边BC的中点，AM＝，则2AB＋AC的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，17题10分，18-22题12分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分）.在中，角、、的对边分别为，且满足，，边上中线的长为.（I）求角和角的大小；（II）求的各边长。

辽源五中2016—2017学年度下学期高二期末考试化学试题1. 已知：①CO(g) +H2O(g)=CO2(g)+H2(g) ΔH =－41.2 kJ· mol-1②CH4(g) +H2O(g)=CO(g) +3H2(g)的能量变化如右图所示：下列有关说法正确的是（）A. ①和②均为放热反应B. ①的反应物总能量低于生成物总能量C. CO2(g) +CH4(g)=2CO(g) +2H2(g) ΔH =－247.4 kJ· mol-1D. CH4(g) +H2O(g)=CO(g) +3H2(g)的活化能大于206.2 kJ · mol-1【答案】D【解析】A. ②中反应物总能量低于生成物总能量，属于吸热反应，A错误；B. ①是放热反应，反应物总能量高于生成物总能量，B错误；C.根据盖斯定律可知②－①即得到反应CO2(g) +CH4(g)=2CO(g) +2H2(g) ΔH =+206.2kJ/mol－（－41.2 kJ· mol-1）＝+247.4 kJ· mol-1，C错误；D. CH4(g) +H2O(g)=CO(g) +3H2(g)的反应热是+206.2kJ/mol，因此反应的活化能大于206.2 kJ · mol-1，D正确，答案选D。

2. 足量的Fe与一定量的0.5mol/L盐酸反应，为了加快反应速率，但又不影响产生氢气的总量，应加入下列物质中的（）A. CuSO4溶液B. 将Fe改为同质量的NaC. 改为用浓硫酸D. NaNO3溶液【答案】A【解析】根据发生的反应为Fe+2H+＝Fe2++H2↑，则减小氢离子的浓度而不改变氢离子的物质的量即可满足减慢反应速率，但又不影响产生氢气的总量；A．加入CuSO4，铁置换出铜，构成Fe、Cu、盐酸原电池，加快反应速率，且不影响生成的氢气量，A正确；B．钠比铁活泼，改用钠，反应加快。

铁的摩尔质量为56g/mol，钠的摩尔质量为23g/mol，同质量的Na和Fe，钠的物质的量比铁的2倍还要大，反应中Na显+1价，Fe显+2价，所以钠生产的氢气多，B错误；C．改用浓硫酸，铁与浓硫酸钝化，无氢气生成，C错误；D．加入NaNO3溶液，Fe与硝酸根离子、氢离子发生氧化还原反应生成NO，而不生成氢气，D 错误；答案选A。

吉林省实验中学2016-2017学年度下学期高二年级数学学科月考试题第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()3443i z i -=+，则z 的虚部为（ ） A ． 4i B ．45i C ． 4 D ．452. 已知点P 的极坐标是()1,π，则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ） A ．1ρ= B ．cos ρθ= C ．1cos ρθ=-D ．1cos ρθ= 3. 已知,0x y z x y z >>++=，则下列不等式成立的是（ ）A ．xy yz >B ．xz yz >C ．x y z y >D ． xy xz > 4. 下面几种推理是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111,,,122334⨯⨯⨯的通项公式为()()11n a n N n n +=∈+C. 半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为()()222x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为()()()2222x a y b z c r -+-+-=5. 计算)22x dx =⎰（ ）A ．24π-B ． 4π- C. ln 24- D ．ln 22-6. 用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ） A ．三个内角中至少有一个钝角 B ．三个内角中至少有两个钝角 C. 三个内角都不是钝角 D ．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角7.用数学归纳法证明：()()()22222222211211213n n n n n ++++-++-+++=时，从n k =到1n k =+时，等边左边应添加的式子是（ ）A ．()2212k k -+ B ．()221k k ++ C. ()21k +D ．()()2112113k k ⎡⎤+++⎣⎦ 8.在极坐标系中，A 为直线3cos 4sin 130ρθρθ++=上的动点，B 为曲线2cos 0ρθ+=上的动点，则AB 的最小值为 （ ）A ． 1B ． 2 C.115D ．3 第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.9.函数ln 1y x x =+的单调减区间是_____________．10.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为________________．11.将参数方程11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数）化为普通方程是________________．12.设正实数,x y 满足1x y +=，则22x y +_________________．三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13.已知曲线1C 参数方程为431x ty t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），当0t =时，曲线1C 上对应的点为P .以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos 2θρθ=-．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）设曲线1C 与2C 的公共点为A B 、，求PA PB 的值. 14.已知函数()()35,22f x x g x x =--=+-. （1）求不等式()2f x ≤的解集；（2）若不等式()()3f x g x m -≥-有解，求实数m 的取值范围.15.已知,,,1a b c R ab bc ca ∈++=，求证：（1）2221a b c ++≥；（2）a b c ++≥16.已知函数()322ln 3f x ax x =--的图象的一条切线为x 轴.（1）求实数a 的值；（2）令()()()g x f x f x '=+，若存在不相等的两个实数12,x x 满足()()12g x g x =，求证：121x x <.试卷答案一、选择题1-4: DCDC 5-8: BBBA二、填空题9. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 10. 1:8 11. 230x y +-= 12. 91,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.因为1x y =+≥104xy <≤， ()222212x y x y xy xy ++=+-+=-+10,2t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，所以22221122102x y t t t t t ⎛⎫+=-+=-++<≤ ⎪⎝⎭，当14t =时，上式取得最大值211921448⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，当12t =时，上式取得最小值21121122⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，所以22x y +91,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦.13. （1）因为曲线1C 的参数方程为431x ty t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），所以曲线1C 的普通方程为3440x y --=， 又曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos 2θρθ=-，所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =；（2）当0t =时，0,1x y ==-，所以点()0,1P -，由（1）知曲线1C 是经过点P 的直线，设它的倾斜角为α，则3tan 4α=， 所以34sin ,cos 55αα==， 所以曲线1C 的参数方程为45315x T y T⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（T 为参数），将上式代入24y x =，得29110250T T -+=， 所以12259PA PB TT ==. 14.（1）由题意得()2f x ≤，得37x -≤， ∴410x -≤≤，所以x 的取值范围是[]4,10-. （2）因为()()3f x g x m -≥-有解， 所以32x x m --+≥有解，()()32325x x x x --+≤--+=，所以5m ≤.15.（1）∵2222222222a b c ab bc ac ++≥++=，∴2221a b c ++≥ ；（2）∵()22222223a b c a b c ab bc ac ++=+++++=，∴a b c ++≥16.（1）()1f x x'=，0x >， 设切点坐标为()0,0x ，由题意得()()32000002ln 0310f x ax x f x x ⎧=--=⎪⎪⎨⎪'==⎪⎩，解得：0123x a =⎧⎪⎨=⎪⎩.（2）()32211ln 3g x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，令()23211ln 3h x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 则()211h x x x ⎫⎫'=++⎪⎪⎭⎭，当1x ≥10x ≥，()0h x '>， ()h x '又可以写成21x x -+，当01x <<时，210x x ->，()0h x '>， 因此()h x '在()0,+∞上大于0，()h x 在()0,+∞上单调递增，又()10h =， 因此()h x 在()01，上小于0，在()1,+∞上大于0，()()(),1,01h x x g x h x x ≥⎧⎪=⎨-<<⎪⎩且()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ()10g =，当1x >时，101x<<， 记()()()()()1111G x g x g h x h f x f x f f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=-=--=+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 记函数()y f x '=的导函数为()y f x ''=，则()()()221111G x f x f x f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''''''=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222211112x x x x x x ⎛⎫⎫⎫⎫=++---+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭⎭⎭⎝⎭)10=>， 故()G x 在()1,+∞上单调递增， 所以()()10G x G >=，所以()10g x g x ⎛⎫->⎪⎝⎭， 不妨设1201x x <<<，则()()1221g x g x g x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，而101x <<，2101x <<，有单调性知121x x <，即121x x <.。

辽源五中2016-2017学年度下学期高二期末考试理科数学试题一．选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1．设集合1{|21,R}x M x x -=<∈， 2{|log 1,R}N x x x =<∈，则M N ⋂等于（ ）A.[3,4)B.(2,3]C.(1,2)D.(0,1)2．在复平面内，复数z 满足()11z i +=，则z 的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3．命题p ：“,0R x ∈∃使020<x ”，命题q ：“2a >且2b >是4ab >成立的充分条件”，则下列命题为假命题的是（ ）A. p q ⌝∧B. p q ∧C. p q ∨D. p q ⌝∨4．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2017年是“干支纪年法”中的（ ） A. 丁酉年 B. 戊未年 C. 乙未年 D. 丁未年 5．下列求导运算正确的是（ ）A. ()12'2x x x -=⋅ B. ()3'3x xe e =C. 2211'2x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ D. ()2cos sin 'cos cos x x x xx x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 6．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为12， 13， 16，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（ ） A.536B. 13 C. 512 D. 127．已知两个随机变量,X Y 满足24X Y +=，且X ～)2,1(2N ，则()(),E Y D Y 依次是（ ）A ．3,22 B ．1,12 C ．3,12 D ．1,228．设()72345670123456712x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，则代数式1234567234567a a a a a a a ++++++的值为（ ）A. -14B. -7C. 7D. 149．如图，圆被其内接三角形分为4块，现有5种颜色准备用来涂这4块，要求每块涂一种颜色，且相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）A. 360种B. 320种C. 108种D. 96种10．已知直线20ax by --=与曲线3y x =在点()1,1P 处的切线互相垂直，则ab的值为（ ） A.13B. 23C. 23- D. 13- 11．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 ( )A. )(x f y =的图像关于点（1,0）对称B. ()f x 在（0,2）单调递减C. =y ()f x 的图像关于直线1=x 对称D. ()f x 在（0,2）单调递增 12．设函数()21ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围是（ ） A. ()1,0- B. ()1,-+∞ C. ()0,1 D. ()1,+∞二．填空题（每小题5分，共20分）13．如下图，由函数x x x f -=2)(的图象与x 轴、直线2=x 围成的阴影部分的面积为__________.14．已知函数()ln f x x =，则函数()()()'g x f x f x =-在区间[]2,e 上的最大值为__________．15．已知()x f x xe =，2()(1)g x x a =-++，若12,x x R ∃∈，使得21()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是____________． 16．已知函数()()21xf x ex ax a =--+，其中a <1，若存在唯一的整数0x ，使得()0f x <0，则a 的取值范围是.(e 为自然对数的底数)三．解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分） 17．选修4-5：不等式选讲已知|12||2|)(--+=x x x f ，M 为不等式0)(>x f 的解集. （1）求M ；（2）求证：当M y x ∈,时， 15||<++xy y x .18．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，过点(2,1)P -的直线l 的倾斜角为45︒，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ．（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求||||PB PA ⋅及||AB 的值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形， PCD ∆ 为等边三角形，BC =，点M 为BC 中点，平面PCD ⊥平面ABCD .（1）求异面直线PD 和AM 所成角的余弦值； （2）求二面角P AM D --的大小. 20．从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示频率分布直方图.（Ⅰ）估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg 的概率；（Ⅱ）假设该市高一学生的体重X 服从正态分布()257,N a .（ⅰ）利用（Ⅰ）的结论估计该高一某个学生体重介于5457kg ～ 之间的概率；（ⅱ）从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于5457kg ～之间的人数为Y ，利用（ⅰ）的结论，求Y 的分布列及)(Y E .21．已知函数()()ln x af x a R x+=∈. （1）若曲线()y f x = 在点()()1,1f 处的切线与直线10x y --= 平行，求a 的值； （2）在（1）条件下，求函数()f x 的单调区间和极值.22．已知函数()()()323,3613xf x x x mg x e m x =--=---（,m R e ∈为自然对数的底数）（Ⅰ）试讨论函数()f x 的零点个数；（Ⅱ）证明：当0m >且0x >时，总有()()'g x f x >.参考答案1-12．DABABCCABDCB 13．1;14．11e -;15．1[,)e -+∞;16．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭17．试题解析：（1）解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-≤≤-+-<-=21,3212,132,3)(x x x x x x x f当2-<x 时，由03>-x 得3>x ，舍去；当212≤≤-x 时，由013>+x 得31->x ，即2131≤<-x ； 当21>x 时，由03>+-x 得3<x ，即321<<x ；综上，)3,31(-=M .（2）证明：∵M y x ∈,，∴3||<x ，3||<y ，∴153333||||||||||||||||||||=⨯++<⋅++=++≤++≤++y x y x xy y x xy y x xy y x .18．试题解析： （1）∵2sin4cos ρθθ=，∴22sin 4cos ρθρθ=，∵cos x ρθ=，sin y ρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =．（2）∵直线l 过点(2,1)P -，且倾斜角为45︒，∴l的参数方程为2,21x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）， 代入24y x =，得2140t --=， 设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， ∴1214t t =-，,2621=+t t ∴||||14PA PB ⋅=,21221214)(||||t t t t t t AB -+=-=28)14(4)26(2=-⨯-=.19．试题解析：取CD 的中点O ，连接OP ， PCD ∆为等边三角形， ∴OP CD ⊥，又平面PCD ⊥平面ABCD ， ∴OP ABCD ⊥平面以O 为原点，过点O 垂直CD 的直线为x 轴， OC 为y 轴， OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系-O xyz.BC =，不妨设2AB BC ==则,依题意可得：()()(1,001000A D P M --，，，，，） （1）()013)20PD AM =--=-（，，，，,从而 2PD AM ⋅=-,26PD AM ==，∴cos 62PD AM PD AM PD AM ⋅===-⨯⋅， 于是异面直线PD 和AM. （2）因为OP ABCD ⊥平面，所以00OP =（是平面ADM的法向量， 设平面PAM的法向量为()n x y z =，，，又(1PA =--，，由{n P ⋅即020y y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令1y =得(21n =，，于是(2cos n OP n OP n OP⋅===⋅，从而二面角P AM D --的大小为45.20.试题解析：（Ⅰ）这400名学生中，体重超过60kg 的频率为()10.040.0154+⨯=， 由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg 的概率为14.（Ⅱ）（ⅰ）∵()257,X N σ～， 1(60)4P X >=，∴1(54)4P X >=，∴11(5460)1242P X <<=-⨯=，∴111(5457)224P X <<=⨯=.（ⅱ）因为该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复实验，其中体重介于5457k g ～之间的人数13,4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～， ()331344iii P Y i C -⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3i =.所以Y 的分布列为13344EY =⨯=. 21．试题解析：（1）函数(){}0,f x x x 的定义域为 所以()21ln .x af x x --='又曲线()()()1,1y f x f =在点处的切线与直线10x y --=平行，所以()111,0.f a a =-=='即 （2）令()0,f x x e ='=得当x 变化时， ()(),f x f x '的变化情况如下表：由表可知： ()f x 的单调递增区间是()0,e，单调递减区间是(),e +∞所以()f x x e =在处取得极大值， ()()ln .e f x f e e ==极大值1e= 22．试题解析：（Ⅰ） ()323f x x x m =--零点个数即为方程323x x m -=的根的个数.记()323h x x x m =--，则()()'32h x x x =-，令()'0h x =得0x =或2x =.当x 变化时， ()()',h x h x 的变化情况如下表：故可画出()'h x 的草图如图所示：由图象知：当4m <-或0m >时，函数()f x 有一个零点； 当4m =-或0m =时，函数()f x 有两个零点； 当40m -<<时，函数()f x 有三个零点.（Ⅱ）()2'36f x x x =-，设函数()()()23363(0)xu x g x f x e x mx x ==-+->'-，则()()'322xu x e x m =-+，记()22xv x e x m =-+，则()'2xv x e =-，当x 变化时， ()()',v x v x 的变化情况如下表：由上表可知()()ln2v x v ≥，而()()ln 2l n 22l n 222l n 222l n 21v e m m m =-+=-+=-+，由0m >知， ln21m >-.所以()ln20v >，所以()0v x >，即()'0u x >，所以()u x 在区间()0,+∞上为增函数， 所以当0x >时， ()()00u x u >=. 即当0m >且0x >时， ()()'g x f x >.。

2016-2017学年吉林省辽源五中高二（下）期末数学试卷（理科）一．选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合M＝{x|2x﹣1＜1，x∈R}，N＝{x|log2x＜1，x∈R}，则M∩N等于（）A．[3，4）B．（2，3]C．（1，2）D．（0，1）2．（5分）在复平面内，复数z满足z（1+i）＝|1+|，则对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）命题p：“∃x0∈R，使”，命题q：“a＞2且b＞2是ab＞4成立的充分条件”，则下列命题为假命题的是（）A．¬p∧q B．p∧q C．p∨q D．¬p∨q4．（5分）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．2016年是干支纪年法中的丙申年，那么2017年是干支纪年法中的（）A．丁酉年B．戊未年C．乙未年D．丁未年5．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（2x）′＝x•2x﹣1B．（3e x）′＝3e xC．（x2﹣）′＝2x﹣D．（）′＝6．（5分）从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知两个随机变量X，Y满足X+2Y＝4，且X～N（1，22），则E（Y），D（Y）依次是（）A．，2B．，1C．，1D．，28．（5分）设（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，则代数式a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7的值为（）A．﹣14B．﹣7C．7D．149．（5分）如图，圆被其内接三角形分为4块，现有5种颜色准备用来涂这4块，要求每块涂一种颜色，且相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有（）A．360种B．320种C．108种D．96种10．（5分）已知直线ax﹣by﹣2＝0与曲线y＝x3在点P（1，1）处的切线互相垂直，则的值（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则（）A．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称B．f（x）在（0，2）单调递减C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称D．f（x）在（0，2）单调递增12．（5分）设函数f（x）＝lnx﹣ax2﹣bx，若x＝1是f（x）的极大值点，则a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）二．填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）如图，由函数f（x）＝x2﹣x的图象与x轴、直线x＝2围成的阴影部分的面积为．14．（5分）已知函数f（x）＝lnx，则函数g（x）＝f（x）﹣f'（x）在区间[2，e]上的最大值为．15．（5分）已知f（x）＝xe x，g（x）＝﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是．16．（5分）设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f （x0）＜0，则a的取值范围是．三．解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）[选修4-5：不等式选讲] 17．（10分）已知f（x）＝|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．（1）求M；（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．[选修4-4：坐标系与参数方程]18．（12分）在直角坐标系xOy中，过点P（2，﹣1）的直线l的倾斜角为45°，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，直线l与曲线C的交点为A，B．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求|P A|•|PB|及|AB|的值．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，△PCD为等边三角形，BC ＝AB，点M为BC中点，平面PCD⊥平面ABCD．（1）求异面直线PD和AM所成角的余弦值；（2）求二面角P﹣AM﹣D的大小．20．（12分）从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示频率分布直方图．（Ⅰ）估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg的概率；（Ⅱ）假设该市高一学生的体重X服从正态分布N（57，a2）．（ⅰ）利用（Ⅰ）的结论估计该高一某个学生体重介于54～57kg之间的概率；（ⅱ）从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54～57kg之间的人数为Y，利用（ⅰ）的结论，求Y的分布列及E（Y）．21．（12分）已知函数f（x）＝（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y﹣1＝0平行，求a的值；（2）在（1）条件下，求函数f（x）的单调区间和极值；（3）当a＝1，且x≥1时，证明：f（x）≤1．22．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣m，g（x）＝3e x﹣6（1﹣m）x﹣3（m∈R，e为自然对数底数）．（1）试讨论函数f（x）的零点的个数；（2）证明：当m＞0，且x＞0时，总有g（x）＞f'（x）．2016-2017学年吉林省辽源五中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1．【解答】解：集合M＝{x|2x﹣1＜1，x∈R}＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}，N＝{x|log2x＜1，x∈R}＝{x|log2x＜1＝log22}＝{x|0＜x＜2}，∴M∩N＝{x|0＜x＜1}＝（0，1），故选：D．2．【解答】解：复数z满足z（1+i）＝|1+i|，可得z＝＝1﹣i，复数z对应的点为（1，﹣1），在复平面内z的共轭复数＝1+i对应的点为（1，1），在第一象限．故选：A．3．【解答】解：命题p：根据指数函数的性质可知2x＞0恒成立，故不存在x0∈R，使，即命题p为假；命题q：若a＞2且b＞2，则ab＞4成立，反之不成立，如a＝﹣2，b＝﹣3，即命题q为真；综上可知，p∧q为假命题，故选：B．4．【解答】解：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，2016年是干支纪年法中的丙申年，则2017的天干为丁，地支为酉，故选：A．5．【解答】解：（2x）′＝2x ln2，故A错误；，故C错误；＝，故D错误；故选：B．6．【解答】解：∵从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，∴记下的颜色中有红有白但没有黄的情况有两种：2红1白，1红2白，则所求概率：p＝＝．故选：C．7．【解答】解：由题意X～N（1，22），E（X）＝1，D（X）＝4，∵X+2Y＝4，∴Y＝2﹣X，∴E（Y）＝2﹣E（X）＝，D（Y）＝D（X）＝1．故选：C．8．【解答】解：（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，两边求导可得：﹣2×7×（1﹣2x）6＝a1+2a2x+…+7a7x6，令x＝1可得：a1+2a2x+…+7a7x6＝﹣14．，故选：A．9．【解答】解：对涂色区域编号，如图：分别用2色、就是1一色，2、3、4同色，涂色方法为：C52A22＝20；涂3色时，2、3同色，2、4同色，3、4同色，涂色方法是3C53A33＝180；涂4色时涂色方法是A54＝120，所以涂色方案有：20+180+120＝320．故选：B．10．【解答】解：求导函数，可得y′＝3x2，当x＝1时，y′＝3，∵y＝x3在点P（1，1）处的切线与直线ax﹣by﹣2＝0互相垂直，∴3•＝﹣1，∴＝﹣．故选：C．11．【解答】解：f（x）的定义域为（0，2），f（x）＝ln（2x﹣x2），令y＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1，则y＝2x﹣x2关于直线x＝1对称，∴y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，故A错误，C正确；∴y＝f（x）在（0，1）和（1，2）上单调性相反，故B，D错误；故选：C．12．【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝﹣ax﹣b，由f'（1）＝0，得b＝1﹣a．所以f'（x）＝．①若a≥0，由f'（x）＝0，得x＝1．当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．所以x＝1是f（x）的极大值点．②若a＜0，由f'（x）＝0，得x＝1，或x＝﹣．因为x＝1是f（x）的极大值点，所以﹣＞1，解得﹣1＜a＜0．综合①②：a的取值范围是a＞﹣1．故选：B．二．填空题（每小题5分，共20分）13．【解答】解：由函数f（x）＝x2﹣x的图象与x轴、直线x＝2围成的阴影部分的面积为＝＝1；故答案为：1．14．【解答】解：∵f（x）＝lnx，（x＞0），f′（x）＝，∴g（x）＝lnx﹣，则g′（x）＝，在区间[2，e]上g′（x）＞0恒成立，即函数g（x）在区间[2，e]上递增，g（e）＝1﹣∴函数g（x）＝f（x）﹣f'（x）在区间[2，e]上的最大值为1﹣故答案为：1﹣15．【解答】解：∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，f′（x）＝e x+xe x＝（1+x）e x，当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，所以当x＝﹣1时，f（x）取得最小值f（x）min＝f（﹣1）＝﹣；当x＝﹣1时g（x）取得最大值为g（x）max＝g（﹣1）＝a，所以﹣≤a，即实数a的取值范围是a≥．故答案为：a≥．16．【解答】解：函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，设g（x）＝e x（2x﹣1），y＝ax﹣a，∵存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，∴存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y＝ax﹣a的下方，∵g′（x）＝e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，∴当x＝﹣时，[g（x）]min＝g（﹣）＝﹣．当x＝0时，g（0）＝﹣1，g（1）＝e＞0，直线y＝ax﹣a恒过（1，0），斜率为a，故﹣a＞g（0）＝﹣1，且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得．∴a的取值范围是[，1）．故答案为：[，1）．三．解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）[选修4-5：不等式选讲] 17．【解答】（1）解：，不等式f（x）＞0即：当x＜﹣2时，由x﹣3＞0得x＞3，舍去；当时，由3x+1＞0得，即；当时，由﹣x+3＞0得x＜3，即；综上，．（2）证明：∵x，y∈M，∴|x|＜3，|y|＜3，∴|x+y+xy|≤|x+y|+|xy|≤|x|+|y|+|xy|＝|x|+|y|+|x|•|y|＜3+3+3×3＝15．[选修4-4：坐标系与参数方程]18．【解答】解：（1）∵ρsin2θ＝4cosθ，∴ρ2sin2θ＝4ρcosθ，∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x．（2）∵直线l过点P（2，﹣1），且倾斜角为45°，∴l的参数方程为（t为参数），代入y2＝4x，得，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，∴t 1t2＝﹣14，，∴|P A|•|PB|＝14，＝．19．【解答】解：（1）取CD的中点O，连接OP，∵△PCD为等边三角形，∴OP⊥CD，又平面PCD⊥平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，…（2分）以O为原点，过点O垂直CD的直线为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．∵，不妨设AB＝2，则BC＝2，依题意得：A（2，﹣1，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，），M（，1，0），…（3分）∴，＝（﹣，2，0），从而，||＝2，||＝，∴cos＜＞＝＝﹣．…（5分）于是异面直线PD和AM所成角的余弦值为．…（6分）（2）∵OP⊥平面ABCD，∴是平面ADM的法向量，设平面P AM的法向量为，又，由，令y＝1，得＝（），∴cos＜＞＝＝，∴二面角P﹣AM﹣D的大小为45°．20．【解答】解：（Ⅰ）这400名学生中，体重超过60kg的频率为，由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg的概率为．（Ⅱ）（ⅰ）∵X～N（57，σ2），∴P（X＜54）＝，∴，∴P（54＜X＜57）＝P（54＜X＜60）＝．（ⅱ）Y～B（3，），，i＝0，1，2，3．所以Y的分布列为：．21．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，所以f′（x）＝，又曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y﹣1＝0平行，所以f'（1）＝1﹣a＝1，即a＝0．（2）令f'（x）＝0，得x＝e，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：由表可知：f（x）的单调递增区间是（0，e），单调递减区间是（e，+∞）所以f（x）在x＝e处取得极大值，f（x）极大值＝f（e）＝．证明：（3）当a＝1时，f（x）＝．由于x∈[1，+∞），要证f（x）＝≤1，只需证明lnx+1≤x．令h（x）＝x﹣lnx﹣1，则h′（x）＝1﹣＝．因为x≥1，所以h'（x）≥0，故h（x）在[1，+∞）上单调递增，当x≥1时，h（x）≥h（1）＝0，即lnx+1≤x成立．故当x≥1时，有≤1，即f（x）≤1．22．【解答】（1）解：函数f（x）的零点即方程x3﹣3x2＝m的根，令h（x）＝x3﹣3x2，则h′（x）＝3x（x﹣2），令h′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故h（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，而h（0）＝0，h（2）＝﹣4，故m＞0或m＜﹣4时，函数1个零点，m＝0或m＝﹣4时，函数2个零点，﹣4＜m＜0时，函数3个零点；（2）证明：f′（x）＝3x2﹣6x，设h（x）＝g（x）﹣f′（x）＝3e x﹣3x2+6mx﹣3，（x＞0），则h′（x）＝3（e x﹣2x+2m），令m（x）＝e x﹣2x+2m，则m′（x）＝e x﹣2，令m′（x）＞0，解得：x＞ln2，令m′（x）＜0，解得：x＜ln2，故m（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故m（x）≥m（ln2）＝2（m﹣ln2+1），由m＞0，解得：m＞ln2﹣1，故m（ln2）＞0，m（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增，故x＞0时，h（x）＞h（0）＝0，故m＞0且x＞0时，g（x）＞f'（x）．。

2016-2017学年吉林省吉林二中高二（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．（5分）设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|+|MF2|＝6，则动点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．圆D2．（5分）椭圆的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）A．32B．16C．8D．43．（5分）双曲线＝1的一个焦点为（2，0），则m的值为（）A．B．1或3C．D．4．（5分）双曲线＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x5．（5分）过点P（2，4）且与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点的直线有（）A．0条B．1条C．2条D．.3条6．（5分）已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．B．3C．D．7．（5分）如果曲线y＝f（x）在点（2，3）处的切线过点（﹣1，2），则有（）A．f′（2）＜0B．f′（2）＝0C．f′（2）＞0D．f′（2）不存在8．（5分）下列说法正确的是（）A．若f′（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，y0）处就没有切线B．若曲线y＝f（x）在点（x0，y0）处有切线，则f′（x0）必存在C．若f′（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，y0）处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f（x）在点（x0，y0）处没有切线，则f′（x0）有可能存在9．（5分）函数y＝sin2x﹣cos2x的导数是（）A．2cos B．cos2x﹣sin2xC．sin2x+cos2x D．2cos10．（5分）以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（）A．∪B．[0，π）C．D．∪11．（5分）定义在R上的连续函数f（x），若（x﹣1）f′（x）＜0，则下列各式正确的是（）A．f（0）+f（2）＞2f（1）B．f（0）+f（2）＝2f（1）C．f（0）+f（2）＜2f（1）D．f（0）+f（2）与f（1）大小不定12．（5分）已知函数f（x）＝ax3+c，且f′（1）＝6，函数在[1，2]上的最大值为20，则c 的值为（）A．1B．4C．﹣1D．0二、填空题（共4题，每题5分，共计20分）13．（5分）椭圆E：+＝1内有一点P（2，1），则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为．14．（5分）已知方程＝1表示双曲线，则k的取值范围是．15．（5分）过曲线y＝2x上两点（0，1），（1，2）的割线的斜率为．16．（5分）（文）如图，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝．三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分）17．（10分）已知双曲线的中心在原点且一个焦点是F（，0），直线y＝x﹣1与其相交于M，N两点．若MN的中点横坐标为，则此双曲线的方程为．18．（10分）已知抛物线的顶点为椭圆（a＞b＞0）的中心．椭圆的离心率是抛物线离心率的一半，且它们的准线互相平行．又抛物线与椭圆交于点，求抛物线与椭圆的方程．19．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣ax﹣1．（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f（x）在（﹣1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）证明f（x）＝x3﹣ax﹣1的图象不可能总在直线y＝a的上方．20．（10分）已知函数f（x）＝（x﹣a）2（x﹣b）（a，b∈R，a＜b）．（1）当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）设x1，x2是f（x）的两个极值点，x3是f（x）的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2．证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4．2016-2017学年吉林省吉林二中高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．（5分）设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|+|MF2|＝6，则动点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．圆D【解答】解：对于在平面内，若动点M到F1、F2两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点F1、F2的距离，则动点M的轨迹是以F1，F2为端点的线段．故选：D．2．（5分）椭圆的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）A．32B．16C．8D．4【解答】解：∵椭圆∴a＝4，b＝，c＝3根据椭圆的定义∴AF1+AF2＝2a＝8∴BF1+BF2＝2a＝8∵AF1+BF1＝AB∴△ABF2的周长为4a＝16故选：B．3．（5分）双曲线＝1的一个焦点为（2，0），则m的值为（）A．B．1或3C．D．【解答】解：∵双曲线＝1的焦点为（2，0），在x轴上且c＝2，∴m+3+m＝c2＝4．∴m＝．故选：A．4．（5分）双曲线＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x【解答】解：由于双曲线，则a＝5且b＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝x．故选：A．5．（5分）过点P（2，4）且与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点的直线有（）A．0条B．1条C．2条D．.3条【解答】解：由题意可知点P（2，4）在抛物线y2＝8x上故过点P（2，4）且与抛物线y2＝8x只有一个公共点时只能是①过点P（2，4）且与抛物线y2＝8x相切②过点P（2，4）且平行与对称轴．∴过点P（2，4）且与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点的直线有2条．故选：C．6．（5分）已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．B．3C．D．【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|＝|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和．故选：A．7．（5分）如果曲线y＝f（x）在点（2，3）处的切线过点（﹣1，2），则有（）A．f′（2）＜0B．f′（2）＝0C．f′（2）＞0D．f′（2）不存在【解答】解：由题意知切线过（2，3），（﹣1，2），所以k＝f′（2）＝＝＝＞0．故选：C．8．（5分）下列说法正确的是（）A．若f′（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，y0）处就没有切线B．若曲线y＝f（x）在点（x0，y0）处有切线，则f′（x0）必存在C．若f′（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，y0）处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f（x）在点（x0，y0）处没有切线，则f′（x0）有可能存在【解答】解：根据导数的几何意义，可得若f′（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，y0）处的切线斜率不存在．故选：C．9．（5分）函数y＝sin2x﹣cos2x的导数是（）A．2cos B．cos2x﹣sin2xC．sin2x+cos2x D．2cos【解答】解：y′＝（sin2x）′﹣（cos2x）′＝2cos2x+2sin2x＝2（cos2x+sin2x）＝2cos故选：A．10．（5分）以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（）A．∪B．[0，π）C．D．∪【解答】解：y'＝cos x∵cos x∈[﹣1，1]∴切线的斜率范围是[﹣1，1]∴倾斜角的范围是[0，]∪故选：A．11．（5分）定义在R上的连续函数f（x），若（x﹣1）f′（x）＜0，则下列各式正确的是（）A．f（0）+f（2）＞2f（1）B．f（0）+f（2）＝2f（1）C．f（0）+f（2）＜2f（1）D．f（0）+f（2）与f（1）大小不定【解答】解：因为（x﹣1）f'（x）＜0，所以x＞1时，f'（x）＜0；x＜1时，f'（x）＞0；所以f（x）在（1，+∞）递减；在（﹣∞，1）递增；所以f（0）＜f（1），f（2）＜f（1）所以f（0）+f（2）＜2f（1）故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝ax3+c，且f′（1）＝6，函数在[1，2]上的最大值为20，则c 的值为（）A．1B．4C．﹣1D．0【解答】解：∵f′（x）＝3ax2，∴f′（1）＝3a＝6，∴a＝2．当x∈[1，2]时，f′（x）＝6x2＞0，即f（x）在[1，2]上是增函数，∴f（x）max＝f（2）＝2×23+c＝20，∴c＝4．故选：B．二、填空题（共4题，每题5分，共计20分）13．（5分）椭圆E：+＝1内有一点P（2，1），则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为x+2y﹣4＝0．【解答】解：设所求直线与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则，．两式相减得．又x1+x2＝4，y1+y2＝2，∴k AB＝．因此所求直线方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），即x+2y﹣4＝0．故答案为：x+2y﹣4＝0．14．（5分）已知方程＝1表示双曲线，则k的取值范围是﹣1＜k＜1．【解答】解：因为方程＝1表示双曲线方程，所以（1﹣k）（1+k）＞0，解得﹣1＜k＜1．故答案为：﹣1＜k＜115．（5分）过曲线y＝2x上两点（0，1），（1，2）的割线的斜率为1．【解答】解：由平均变化率的几何意义知k＝＝1．故答案为：116．（5分）（文）如图，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝2．【解答】解：由题意，f（5）＝﹣5+8＝3，f′（5）＝﹣1∴f（5）+f′（5）＝2故答案为：2三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分）17．（10分）已知双曲线的中心在原点且一个焦点是F（，0），直线y＝x﹣1与其相交于M，N两点．若MN的中点横坐标为，则此双曲线的方程为．【解答】解：设双曲线方程为﹣＝1．将y＝x﹣1代入﹣＝1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2＝0．由韦达定理得x1+x2＝，则＝＝﹣．又c2＝a2+b2＝7，解得a2＝2，b2＝5，所以双曲线的方程是．故答案为：．18．（10分）已知抛物线的顶点为椭圆（a＞b＞0）的中心．椭圆的离心率是抛物线离心率的一半，且它们的准线互相平行．又抛物线与椭圆交于点，求抛物线与椭圆的方程．【解答】解：由题意，设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），则将代入方程可得，∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x∵椭圆的离心率是抛物线离心率的一半，∴∵，a2＝b2+c2∴a＝2，b＝∴椭圆方程为：19．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣ax﹣1．（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f（x）在（﹣1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）证明f（x）＝x3﹣ax﹣1的图象不可能总在直线y＝a的上方．【解答】解：（1）f′（x）＝3x2﹣a，3x2﹣a≥0在R上恒成立，∴a≤0．（2）3x2﹣a≤0在（﹣1，1）上恒成立，即a≥3x2在（﹣1，1）上恒成立，即a≥3．∴f（x）在（﹣1，1）上单调递减则a≥3．（3）当x＝﹣1时，f（﹣1）＝a﹣2＜a，因此f（x）的图象不可能总在直线y＝a的上方．20．（10分）已知函数f（x）＝（x﹣a）2（x﹣b）（a，b∈R，a＜b）．（1）当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）设x1，x2是f（x）的两个极值点，x3是f（x）的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2．证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4．【解答】解：（1）当a＝1，b＝2时，因为f′（x）＝（x﹣1）（3x﹣5），故f′（2）＝1，又f（2）＝0，所以f（x）在点（2，0）处的切线方程为y＝x﹣2．（2）证明：因为f′（x）＝3（x﹣a）（x﹣），由于a＜b，故a＜，所以f（x）的两个极值点为x＝a或x＝，不妨设x1＝a，x2＝，因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零点，故x3＝b，又因为﹣a＝2（b﹣），x4＝（a+）＝，此时a，，，b依次成等差数列，所以存在实数x4满足题意，且x4＝．。

2016-2017学年吉林省辽源五中高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题包括12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知α为第二象限角，且sinα=，则tanα的值为（）A．B．C．D．2．（5分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在C测得塔顶A 的仰角为60°，则塔的高度AB为（）A．15米B．15米C．15（+1）米D．15米3．（5分）如图，在三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前三项，则这个数列的一个递推公式为（）A．a n+1=8a n B．a n+1=a n+8n C．a n+1=a n+8n﹣1D．a n+1=a n+8n4．（5分）已知||=||=2，且||=2，则与的夹角为（）A．60°B．90°C．120° D．150°5．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若（a+b）（sinB ﹣sinA）=sin（A+B）（b﹣c），则角A=（）A．30°B．60°C．120° D．150°6．（5分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围城，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（）A．16平方米B．18平方米C．20平方米D．25平方米7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）在区间[0，]上单调，且f（）=0，f（）=1，则f（0）的值为（）A．﹣ B．﹣1 C．﹣D．08．（5分）已知角θ的终边在直线y=3x上，则sin2θ=（）A．B．﹣C．D．﹣9．（5分）若sin40°（tan10°﹣m）=﹣1，则实数m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣D．10．（5分）如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB=4，AC=6，则=（）A．12 B．10 C．6 D．411．（5分）已知数列{a n}满足a1=，a n+1=，则该数列的前2020项和为（）A．1515 B．1513 C．1009 D．201812．（5分）（理）如图，直线l1：y=m（0＜m≤A）与函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象相交于B、C两点，直线l2：y=﹣m与函数f（x）=Acos （ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象相交于D、E两点，设B（x B，y B），D（x，y D），记S（m）=|x B﹣x D|，则S（m）的图象大致是（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）sin15°sin75°的值是．14．（5分）已知在△ABC中，BC=2，AC=3，C=120°，则cos（2A﹣C）=．15．（5分）在边长为2的正△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且=，=2，则=．16．（5分）△ABC中，已知AB=4，AC=2BC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=（I）求a2，a3，a4，并据此写出数列{a n}的通项公式（不需要证明）；（II）根据（I）的结论，证明数列{a n}是单调递减数列．18．（12分）如图，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，（a﹣sinC）cosB=sinBcosC，b=4．（I）求角B的大小；（II）设H为△ABC的垂心，=6，求a+c．19．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．20．（12分）已知=（cosωx，1），=（sinωx，cos2ωx），函数f（x）=2﹣1的最小正周期为π（I）求ω的值及函数f（x）的最大值；（I I）若f（）=，，求cosα．21．（12分）在△ABC中，设三个内角分别为A，B，C，且满足A=45°，sin（B ﹣C）=（1）求证：tanB=tanC；（2）设AD是BC边上的高，且BC=5，求AD的长．22．（12分）（理）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在单位圆上，∠xOA=α，，．（1）若，求x1的值；（2）过点A作x轴的垂线交单位圆于另一点C，过B作x轴的垂线，垂足为D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，设f（α）=S1+S2，求函数f（α）的最大值．2016-2017学年吉林省辽源五中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题包括12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知α为第二象限角，且sinα=，则tanα的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，则tanα==﹣．故选：B．2．（5分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在C测得塔顶A 的仰角为60°，则塔的高度AB为（）A．15米B．15米C．15（+1）米D．15米【解答】解：在△BCD中，由正弦定理得，在Rt△ABC中，，故选：D．3．（5分）如图，在三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前三项，则这个数列的一个递推公式为（）A．a n+1=8a n B．a n+1=a n+8n C．a n+1=a n+8n﹣1D．a n+1=a n+8n【解答】解：由图形可得：a1=1，a2=1+8=a1+8，a3=a2+82，…，可得：a n=．+1故选：D．4．（5分）已知||=||=2，且||=2，则与的夹角为（）A．60°B．90°C．120° D．150°【解答】解：设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵||=||=2，且||=2，∴=+2+=4+2+4=4，∴=2×2×cosθ=﹣2，∴cosθ=﹣，θ=120°，故选：C．5．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若（a+b）（sinB ﹣sinA）=sin（A+B）（b﹣c），则角A=（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：已知等式（a+b）（sinB﹣sinA）=（b﹣c）sinC，利用正弦定理化简得：（a+b）（a﹣b）=c（c﹣b），即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，则A==60°，故选：B．6．（5分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围城，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（）A．16平方米B．18平方米C．20平方米D．25平方米【解答】解：如图，由题意可得：∠AOB=，OA=6，在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=×6=3，可得：矢=6﹣3=3，由AD=AO•sin=6×=3，可得：弦=2AD=2×3=6，所以：弧田面积=（弦×矢+矢2）=（6×3+32）=9+4.5≈20平方米．故选：C．7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）在区间[0，]上单调，且f（）=0，f（）=1，则f（0）的值为（）A．﹣ B．﹣1 C．﹣D．0【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）在区间[0，]上单调，且f（）=0，f（）=1，则：，解得：T=4π，所以：，由于：f（）=0，所以：（k∈Z），解得：（k∈Z），当k=0时，，所以：f（x）=sin（x）则：f（0）=sin（﹣）=﹣故选：A．8．（5分）已知角θ的终边在直线y=3x上，则sin2θ=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵角θ的终边在直线y=3x上，∴tanθ=3，则sin2θ=2sinθcosθ====．故选：C．9．（5分）若sin40°（tan10°﹣m）=﹣1，则实数m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣D．【解答】解：∵sin40°（tan10°﹣m）=﹣1，又∵sin40°（tan10°﹣）=sin40°（﹣）=•（sin10°﹣cos10°）=•（sin10°cos60°﹣cos10°sin60°）=•sin（﹣50°）=﹣=﹣=﹣1，∴m=，故选：D．10．（5分）如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB=4，AC=6，则=（）A．12 B．10 C．6 D．4【解答】解：如右图，过O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，可得D，E为AB，AC的中点，则=•（﹣）=•﹣•=（+）•﹣（+）•=•+•﹣•﹣•=2+0﹣2﹣0=×（36﹣16），=10．故选：B．11．（5分）已知数列{a n}满足a1=，a n+1=，则该数列的前2020项和为（）A．1515 B．1513 C．1009 D．2018【解答】解：∵a1=，a n+1=，∴a2=1，a3=，a4=1，…故该数列的前2020项和S2020==1515，故选：A．12．（5分）（理）如图，直线l1：y=m（0＜m≤A）与函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象相交于B、C两点，直线l2：y=﹣m与函数f（x）=Acos （ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象相交于D、E两点，设B（x B，y B），D（x，y D），记S（m）=|x B﹣x D|，则S（m）的图象大致是（）A．B． C．D．【解答】解：设B，C两点关于直线x=a对称，D，E两点关于直线x=b对称，f （x）的最小正周期为T，则b﹣a=T，∵f（x）图象是中心对称图形，设f（x）的对称中心为（c，0），则x E=2c﹣x B，x D=2c﹣x C，∴x E﹣x D=x C﹣x B，∵f（x）是轴对称图形，∴a﹣x B=b﹣x D，∴|x B﹣x D|=b﹣a=T，故S（m）是常数函数，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）sin15°sin75°的值是．【解答】解：∵sin15°sin75°=sin15°cos15°=sin30°=．∴sin15°sin75°的值是．故填：．14．（5分）已知在△ABC中，BC=2，AC=3，C=120°，则cos（2A﹣C）=．【解答】解：∵BC=2，AC=3，C=120°，∴由余弦定理可得：AB===，∴cosA===，sinA==，∴cos（2A﹣C）=cos2AcosC+sin2AsinC=（2cos2A﹣1）×（﹣）+2sinAcosA×=（2×﹣1）×（﹣）+2×××=．故答案为：．15．（5分）在边长为2的正△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且=，=2，则=﹣1．【解答】解：由题意可知D为BC的中点，E为AC靠近C的三点分点，以BC，DA为坐标轴建立坐标系如图所示：则B（﹣1，0），A（0，），D（0，0），C（1，0），E（，）∴=（0，﹣），=（，），∴=﹣1．故答案为：﹣1．16．（5分）△ABC中，已知AB=4，AC=2BC，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：依题意，设BC=a，则AC=2a，又AB=4，由余弦定理得：（2a）2=a2+42﹣8a•c osB，即7a2+8acosB﹣16=0，∴cosB=﹣a，∴cos2B=+a2﹣，∴sin2B=1﹣cos2B=﹣﹣a2，∵S=AB•BCsinB=×4asinB=2asinB，△ABC）2=4a2sin2B∴（S△ABC=4a2（﹣﹣a2）=4（﹣a2﹣a4﹣4）=﹣（a4﹣a2）﹣16=﹣（a2﹣）2+，当a2=，即a=时，4、、能组成三角形，）2max=，∴（S△ABC∴三角形ABC的面积的最大值为．另解：以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得A（﹣2，0），B（2，0），C设为（x，y），由AC=2BC，可得=2，两边平方化简可得（x﹣）2+y2=（）2，则C到AB的最大值为，可得△ABC面积的最大值为×4×=，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=（I）求a2，a3，a4，并据此写出数列{a n}的通项公式（不需要证明）；（II）根据（I）的结论，证明数列{a n}是单调递减数列．【解答】解：（I）数列{a n}中，a1=，a n+1=，∴a2=×+=，a3=×+=，a4=×+=，∴a n=，﹣a n=﹣==＜0，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a n+1∴数列{a n}是单调递减数列．18．（12分）如图，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，（a﹣sinC）cosB=sinBcosC，b=4．（I）求角B的大小；（II）设H为△ABC的垂心，=6，求a+c．【解答】解：（1）∵（a﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴acosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，在△ABC中，由正弦定理可得：：，∴=1，∴tanB=，∵B∈（0，π），∴B=．（II）由H为△ABC的垂心，∴=|BH|•a•cos∠HBC．∵B=．∴BD=c∴cos∠HBC=∴=ac=6即ac=12．由余弦定理：cosB=∴a2+c2﹣48=12即（a+c）2﹣2ac=60．∴a+c==219．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．【解答】解：（1）∵由函数的图象可得A=5，T=π﹣=，∴求得T=3π，ω==．∵点（，5）在函数图象上，可得：×+φ=2kπ+，k∈Z，可得：φ=2kπ+，k∈Z，又∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=5sin（x+）．（2）令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈z，求得3kπ﹣≤x≤3kπ+，k∈z，又∵x∈[0，2π]，∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为：[0，]，[，2π]．20．（12分）已知=（cosωx，1），=（sinωx，cos2ωx），函数f（x）=2﹣1的最小正周期为π（I）求ω的值及函数f（x）的最大值；（I I）若f（）=，，求cosα．【解答】解：（I）f（x）=2sinωxcosωx+2cos2ωx﹣1=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），∴T==π，即ω=1．f（x）的最大值为．（II）f（）=sin（）=，∴sin（α+）=，∵α∈（，），∴∈（，π），∴cos（）=﹣，∴cosα=cos（﹣）=cos（）cos+sin（）sin=﹣．21．（12分）在△ABC中，设三个内角分别为A，B，C，且满足A=45°，sin（B ﹣C）=（1）求证：tanB=tanC；（2）设AD是BC边上的高，且BC=5，求AD的长．【解答】（1）证明：在△ABC中，设三个内角分别为A，B，C，sin（B﹣C）=则：sinBcosC﹣cosBsinC=①，已知：A=45°，所以：sin（B+C）=，则：②，由①②得：sinBcosC=，cosBsinC=，整理得：2tanB=3tanC，即：tanB=tanC．（2）解：在△ABC中，AD⊥BC，设AD=x，BD=y，DC=z，则：，tanB=①，tanC=②，由于：tanB=tanC．所以：，整理得：3y=2z，由于：y+z=5，解得：z=3，y=2．tanA=﹣tan（B+C）=1，整理得：，结合①②和得：z=3，y=2．解得：AD=6．22．（12分）（理）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在单位圆上，∠xOA=α，，．（1）若，求x1的值；（2）过点A作x轴的垂线交单位圆于另一点C，过B作x轴的垂线，垂足为D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，设f（α）=S1+S2，求函数f（α）的最大值．【解答】（理）解：（1）由三角函数的定义有，x1=cosα，因为，所以，即．（2）由图可知S1=cosαsinα，，所以，化简得==，其中，，．因为，所以，从而，由上可知，，所以，当时，．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

吉林省2016-2017学年高二数学下学期第二次月考（5月)试题理（扫
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吉林省辽源市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=sin（2x+φ）为奇函数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分） (2017高二下·资阳期末) 以平面直角坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，则直角坐标为（﹣2，2）的点的极坐标为（）A . （2 ，）B . （2 ，）C . （2，）D . （2，）3. （2分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，这与性别有关联的可能性最大的变量是（）A . 成绩B . 视力C . 智商D . 阅读量4. （2分） (2016高二下·黄骅期中) 已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），且P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.954 4，P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826．若μ=4，σ=1，则P（5＜X＜6）=（）A . 0.1359B . 0.1358C . 0.2718D . 0.27165. （2分）在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是（）A . 0.12B . 0.88C . 0.28D . 0.426. （2分）在实数集R上随机取一个数x ，事件A=“sinx≥0,x∈[0，2]”，事件B=“”，则P（B︱A）=（）A .B .C .D .7. （2分）平面几何中，若△ABC的内切圆半径为r，其三边长分别为a，b，c，则△ABC的面积S=．类比上述命题，若三棱锥的内切球半径为R，其四个面的面积分别为S1 ， S2 ， S3 ， S4 ，猜想三棱锥体积V的一个公式．若三棱锥P﹣ABC的体积V=，其四个面的面积均为，根据所猜想的公式计算该三棱锥P﹣ABC的内切球半径R为（）A .B .C .D .8. （2分）将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有（）A . 150种B . 180种C . 240种D . 540种9. （2分） (2017高二下·资阳期末) 曲线C的参数方程为（θ是参数），则曲线C的形状是（）A . 线段B . 直线C . 射线D . 圆10. （2分）若，则 = （）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二下·新洲期末) 从重量分别为1，2，3，4，…，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为10克的方法总数为m，下列各式的展开式中x10的系数为m的选项是（）A . （1+x）（1+x2）（1+x3）…（1+x11）B . （1+x）（1+2x）（1+3x）…（1+11x）C . （1+x）（1+2x2）（1+3x3）…（1+11x11）D . （1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3）...（1+x+x2+ (x11)12. （2分） (2017高二下·中山期末) 函数f（x）=x2﹣lnx的单调递减区间是（）A .B .C . ，D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知ξ～B（n，p），Eξ=3，D（2ξ+1）=9，则P的值是________14. （1分）(2020·宝山模拟) 在的展开式中，的系数为________15. （1分）(2017·枣庄模拟) 一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问另一个小孩是男孩的概率是________．16. （1分） (2016高一下·溧水期中) △ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a，b，c，给出下列命题：①若sinBcosC＞﹣cosBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；②若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC一定是直角三角形；③若bcosA=acosB，则△ABC为等腰三角形；④在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；其中正确命题的序号是________．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）(2017·河西模拟) [选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的参数方程为（＜α＜π，t为参数，t≠0），l与C1交与点A，l与C2交与点B，且|AB|= ，求α的值．18. （15分） (2018高二上·齐齐哈尔月考) 汽车厂生产A,B,C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600（1）求z的值；（2）用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（3）用随机抽样的方法从类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：. 把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过的概率．19. （5分） (2016高三上·山西期中) 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB 和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求证：OE∥平面PDC；（Ⅲ）求面PAD与面PBC所成角的大小．20. （5分）(2017·黄陵模拟) 已知点A（0，﹣2），椭圆E： + =1（a＞b＞0）的离心率为，F 是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21. （10分） (2017高二下·故城期末) 某校为了纪念“中国红军长征90周年”，增强学生对“长征精神”的深刻理解，在全校组织了一次有关“长征”的知识竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得20分，答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分.（1）求的分布列和均值；（2）求甲、乙两队总得分之和等于40分且甲队获胜的概率.22. （10分） (2018高三上·长春期中) 已知函数（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值.（2）若函数在上为增函数，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5、答案：略6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

吉林省辽源市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知命题P：“存在命题q:“中，若则A>B。

则下列命题为真命题的是（）A .B .C .D .2. （2分）设复数z满足， i为虚数单位，则z=（）A . 2-iB . 1+2iC . -1+2iD . -1-2i3. （2分）已知F是抛物线的焦点，A,B是抛物线上的两点，，则线段AB的中点M 到y轴的距离为（）A .B . 1C .D .4. （2分）已知直线l的方向向量为=（﹣1，0，1），点A（1，2，﹣1）在l上，则点P（2，﹣1，2）到l的距离为（）A .B . 4C .D .5. （2分）(2018·呼和浩特模拟) 已知关于的不等式存在唯一的整数解，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）已知点A（﹣5，0），B（5，0），直线AM，BM的交点为M，AM，BM的斜率之积为，则点M 的轨迹方程是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高二下·微山期中) 用数学归纳法证明 + +…+ ＞1（n∈N+）时，在验证n=1时，左边的代数式为（）A . + +B . +C .D . 18. （2分） (2018高二上·南阳月考) “ ”是“方程表示椭圆”的什么条件（）A . 充分不必要条件B . 充要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）设函数在区间上连续，用分点，把区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式(其中为小区间的长度)，那么的大小（）A . 与和区间有关，与分点的个数和的取法无关B . 与和区间以及分点的个数有关，与的取法无关C . 与和区间以及分点的个数，的取法都有关D . 与和区间以及的取法有关，与分点的个数无关10. （2分） (2016高二下·红河开学考) 双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1 ， F2 ，若P为其图像上一点，且|PF1|=3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围为（）A . （1，2]B . （1，2）C . （2，+∞）D . [2，+∞）11. （2分） P是直角△ABC所在平面外一点，若PA⊥平面ABC，PA=AB=AC，则平面PBC和平面ABC夹角的正切值是（）A . 1B .C .D . 212. （2分） (2019高二下·蕉岭月考) 已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·陕西期中) 将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．已知直角三角形具有性质：斜边长等于斜边的中线长的2倍．类比上述性质，直角三棱锥具有性质：________．14. （1分） (2018高二下·长春期末) 曲线与直线及轴围成的图形的面积为________．15. （1分） (2017高二下·福州期中) 已知函数f（x）的导函数为f′（x），若x2f′（x）+xf（x）=sinx，x∈（0，6），f（π）=2，则下列结论正确的是________①xf（x）在（0，6）单调递减②xf（x）在（0，6）单调递增③xf（x）在（0，6）上有极小值2π④xf（x）在（0，6）上有极大值2π16. （1分） (2015高二下·福州期中) 函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，则f（x）的减区间是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）已知动圆M与圆F：x2+（y﹣2）2=1外切，与圆N：x2+y2+4y﹣77=0内切，求动圆圆心M所在的曲线C的方程．18. （10分） (2016高二下·威海期末) 已知数列{an}满足（an+1﹣1）（an﹣1）= （an﹣an+1），a1=2，若bn= ．（1）证明：数列{bn}是等差数列；（2）令cn= ，{cn}的前n项和为Tn，用数学归纳法证明Tn≥ （n∈N*）．19. （5分） (2015高二下·郑州期中) 设函数f（x）=2ax﹣ +lnx，若f（x）在x=1，x= 处取得极值，（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）求f（x）在[ ，2]上的单调区间（Ⅲ）在[ ，2]存在x0 ，使得不等式f（x0）﹣c≤0成立，求c的最小值．（参考数据：e2≈7.389，e3≈20.08）20. （10分）(2017·临汾模拟) 如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA= ，E是棱PC的中点，过AE 作平面分别与棱PB、PD交于M、N两点．（1）若PM= PB，PN=λPD，求λ的值；（2）求直线PA与平面AMEN所成角的正弦值的取值范围．21. （10分） (2018高二上·成都月考) 已知离心率为的椭圆的一个焦点坐标为 . （1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与轨迹交于不同的两点，求的取值范围.22. （5分）已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。