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环境流体力学第二章分子扩散..

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环境水力学ch2-1

环境水力学ch2-1

t=0
扩散质浓度分布
C
t1
t2＞t1
O
X
O
X
讨论:

M c( x, t ) e S 4Dt
x2 4 Dt
当t0,x0，取极限可得：c=+∞，说明在初 始时刻，污染源投放点的浓度为+∞。
当t0,x≠0处，c=0，说明解满足初始条件。 扩散质浓度C(x,t)是以t为参变量的正态分布函 数。
环境水力学
第二章 分子扩散
第二章 分子扩散
第一节 分子扩散的费克定律 第二节 一维扩散方程的基本解
第三节 若干定解条件下分子扩散方程的解析解
第四节 随流扩散
第一节 分子扩散的费克定律 什么叫扩散现象？扩散遵循什么定律？
1、扩散现象
扩散是由物理量梯度引起的使该物理量平均
化的物质迁移现象。污染物质量由于分子无规 则运动从高浓度区到低浓度区的净流动过程称 为分子扩散，它是物质质量输移的方式之一。
直角坐标系中，分子扩散的费克定律表示为：
c qx D x
矢量表示： q Dc i j k 为哈密尔顿算子 x y z
c q y D y c qz D z
由于物质扩散方 向与浓度梯度增加的 方向相反，加负号是 为让污染物的质量通 量始终为正。
2
对于保守物质，任何时刻分布在扩散空间内的物质总 质量保持不变，即



c( x, t )dx M
代入可得：
x2 4 Dt
A0 1
c( x, t )
M e 4Dt
瞬时平面源一维扩散方程解析解
c( x, t ) M 4Dt
x2 e 4 Dt

环境水利学第2章 费克扩散(3)

环境水利学第2章 费克扩散(3)
i
)2
表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，2值愈大， 分布曲线愈平坦。
第四节 浓度分布的各阶矩
（3）三阶中心矩 m3 3 m0 表示曲线偏斜度：=0 左右对称; >0左右不对称，长尾伸向正轴方向； ＜0，长尾伸向负轴方向。
>0
=0
＜ 0
图 对浓度分布图形的影响
第四节 浓度分布的各阶矩
df 即θ=常数k1,因此有： 2f k1 。 d
以f的边界条件代入上式得k1=0，故上式变为: 它的通解为：
第三节 一维扩散方程的基本解
根据污染物质的质量守恒定律，有 0

m cdx ,推出k0=1 2
c( x, t )
m x2 exp( ) 4Dt 4Dt
为任何时刻源点浓度（坐标 原点与源点重合的情况下）
exp(u 2 )du ]
c0 x [ erf ( )] 2 2 4Dt
c0 c0 x x 即 ：c( x , t ) [1 erf ( )] erfc ( ) 2 2 4 Dt 4 Dt
式中：erf(z)为误差函数，erfc(z)为余误差函数，即
erf ( z ) 2
m
第五节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解
现将初始条件改为：
c(x,0)=f(x),-∞<x< ∞
其中f(x)为任意给定的函数，亦即该初始分布是沿无限长 直线上给定的浓度为f(ξ)，它的量纲为[ML-3]，单位面积 上的质量为f(ξ)dξ。 位于ξ处由该微小污染 单元的扩散而导致在时 刻t位于x的浓度应为:
2
2



2 2 ( x 2 x x x )c( x , t )dt

第3章_分子扩散.

第3章_分子扩散.

x x1, y y1 x x1, y y1
c0 x x1 x x1 c( x, y, t ) [erf ( ) erf ( )] 4 4 Dx t 4 Dx t y y1 y y1 [erf ( ) erf ( )] 4 Dy t 4 Dyt
z
y
2d
c qi D xi
负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反，即从浓度高处向浓度低处扩散；
D为分子扩散系数[L2T-1]随溶质、溶液种类及温度压力条件而变化。见表3-
1。
2 分子扩散方程：Fick第二定律 浓度分布不均匀引起分子扩散，建立浓度随时空变化的关系式。
z
dz
dy
dx o y
x
在静止流体中取微 元六面体空间，中 心点浓度c(x,y,z,t)， 扩散通量(qx,qy,qz)。 根据扩散质质量守 恒原理，分析各面 的扩散质通量
当Dx=Dy=Dz=D时，上式可变为：
3.2.2 瞬时分布源
瞬时投入的污染物质不是集中在一点，而是分布在一定的空 间范围之内。可考虑为若干集中源的叠加。 1 一维扩散问题
0 x 0 t 0, c( x,0) c0 x 0
左半部各点初始浓度相 同，均为c0，右半部为 清水区（扩散区）。
C D 2 C t C 2C 2C D( 2 2 ) t x y C 2C D 2 t x
三维扩散 二维扩散
一维扩散
3.2 静水扩散方程的求解
• 分子扩散方程中，若扩散系数为常数，方程 可线性化。在简单的初边值条件下，可求得 解析解。对复杂条件下求解只能借助数值解 法。 • 扩散方程求解和污染源的存在形式密切相关： 空间上：点源、线源、面源、体积源（空间 分布源） 时间上：瞬时源、时间连续源（恒定、非恒 定）

分子扩散、层流扩散

分子扩散、层流扩散
环境科学与工程专业研究生课程
【扩散理论】
环 境 流 体 力 学
分子扩散、层流扩散
授课教师：吴 巍 2013年9月10日
环境科学与工程专业研究生课程
引
言
离散（弥散） 紊流扩散
紊流时，流体微 团以时均流速运 行，而以脉动流 速扩散，即由于 涡流和脉动运动， 使扩散大为加快。 剪切流动中，由 于时均流速分布 的不均匀，引起 含有物质散开的 现象。
环境科学与工程专业研究生课程
层流扩散
层流中，dt时段内由于浓度c的变化，控制 体内扩散质的增加量:
c dx1dx2 dx3dt t
分子扩散
层流扩散
x1方向：
c Dm dx1dx2 dx3 dt x1 x1
c Dm dx1dx2 dx3 dt x2 x2
环境科学与工程专业研究生课程
分子扩散
2 分子扩散方程
流出 A 流入 x3 dx1 B′ D′ C′ dx2 流出 A′
x2方向：
流入
Qdx1dx3dt Dm
c dx1dx3dt x2
流出
Q Q dx2 dx1dx3dt x2 c c Dm Dm dx2 dx1dx3dt x2 x2 x2
A
dx1 B′
流出 A′ ′ dx3 D′ 流出
x3
流速分布均匀的层流
D C D x2 流入 x1 C′ 流入
dx2
流入 分子扩散 层流扩散 流出
cdx1dx2 dx3 cu1dx2 dx3dt
cu1 cu1 dx1 dx2 dx3d c Dm dx1dx2 dx3 dt x3 x3

环境水力学ch2-5

环境水力学ch2-5

1、层流中的瞬时源
在动水环境中，分别讨论：
1）、三维扩散 2）、二维扩散 3）、一维扩散
1）、三维扩散
不可压缩流体三维层流随流扩散方程
c c c c 2c 2c 2c u v w D( 2 2 2 ) t x y z x y z
应用条件： 一维非离散（nondispersion）随流条件：u =常 数，v=w=0
q y vc
qz wc
式中： u，v，w为流速的三个分量； qx，qy，qz为对应的 质量通量；c为污染物的浓度，其量纲为[ML-3]。
随流分子扩散的质量通量
随流分子扩散是在流场中叠加一个浓度场，
这里流速场为：

质量通量为：
u u ( x, y , z , t ) v v ( x, y , z , t ) w w( x, y, z , t ) c c ( x, y , z , t )
lim 2
c(r , t ) 0
r x2 y 2 z 2
求解方法：
1.
2.
变量代换
叠加法
z
从物理意义上，可分解 为随流输移和分子扩散。
y
P(x,y,z)
x
u
ut
Ｏ
Ｏ1
一般解
m ( x ut) 2 y 2 z 2 c( x, y, z, t ) exp{ } 32 (4Dt) 4Dt
式中：c 为时均浓度（mg/L）; m 为污染源的质量（g）。
2）、二维扩散
应用条件：

均匀流场： w=0，
u为垂线上的平均流速
u u 0 x z
定解问题：
c c 2c 2c u D[ 2 2 ] t x x z

《环境流体力学》第二章 旋转流体运动

《环境流体力学》第二章 旋转流体运动

对(2-1-15a)取旋度可得涡度方程，注意利用 Ω 0 ，做与无旋转流体类似的运算，得 t
旋转流体运动的涡度方程为
(ω 2Ω) (u )(ω 2Ω) (ω 2Ω) u (ω 2Ω) u t
p 2
Ψ
.
(2-2-1)
由连续性方程， u 1 d ，涡度方程可写成 dt
dˆi' Ω ˆi' ， dˆj' Ω ˆj' ， dkˆ ' Ω kˆ ' 0 .
dt
dt
dt
(2-1-5)
所以，(2-1-4)成为
dr dx' ˆi' dy' ˆj' dz' kˆ 'Ω (xˆi' y'ˆj'z'kˆ ') . dt dt dt dt
(2-1-6)
由于 x', y'和z'只是简单的数，不考虑相对论效应，在惯性坐标系和旋转坐标系中的两个观
度场与z无关。它最早于1916年由Proudman(1916)导出，1923年G.I.Taylor(1923)进行了实验
验证。我们把地转流的这一性质称为Taylor-Proudman定理。
2.3.3泰勒实验及其自然现象
Taylor的试验包括一个封闭的盛有流体的旋转的柱状容器，底部放有一个小的圆柱体(高 度仅为液体高度的一小部分)。这个容器以很高的频率旋转。一旦流体形成刚体自转，沿着 容器底部拖动小圆柱体。然后向流体喷射染料。在一个非旋转容器中，染料自由移动到流体 的任意位置。但是在旋转容器中，染料就象小圆柱体从流体的底部延长到顶端一样而转向越 过这个小圆柱(见图2-2)。这个假想的柱体就是泰勒柱。
(2-1-13)

2、环境水力学-迁移扩散理论-移流扩散及紊流扩散

和边界条件，如果满足，这就是所求的解。
对于一维扩散问题的解：
M C x, t e 4 Dt
x2 4 Dt
( x ut )2 M C exp 4 Dt 4 Dt
（2-90）
C的分布见图。
对二维问题的解为：
2 2 M x u t y C exp 4Dt 4 Dt
t
m
得
（2-94）
又令
ru 1 4D
代入积分式（2-94）
转化得
（2-95）
若时间的积分限 t ，则
r 0，故(2-95)式转化为 4 Dt
xu m exp( ) 2 2 1 2 D C ( x, y , z ) ( 2 ) d 3 0 exp 2 2 Dr
2C 2C 2C C C u D 2 2 2 t x x y z
（2-82）
上式就是一维恒定均匀流场三维扩散的随流扩散方程。
用解析法求解三维随流扩散方程很困难，一般情况 下只考虑一维随流扩散方程，下面就讨论一维流场三维 扩散的随流扩散方程的几种解答。
（2-92）
第一章
迁移扩散理论
一、分子扩散
二、移流扩散及紊动扩散 三、剪切流动的分散
紊动扩散欧拉（Euler）法
我们在上一节研究费克第二定律的过程中，就其分
析方法而言，实质上就是采用的欧拉法，即
对流场中给定的微小空间考察各种物理量的变化，
从“场”的角度来分析问题，从而得出微分方程。 在研究移流扩散方程的时候，仍然采用的欧拉方法，
面分子扩散问题中按照若干初始条件和边界条件得出了解析解答。


将置换解法应用到二维、三维扩散问题中来，一维流

环境流体力学第二章分子扩散


第五节 一维扩散方程的基本解
2.解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法
量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律： 量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同； 任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而 不会改变物理过程的规律性； 物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的 规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。
M 2 对于正态分布曲线（标准）有： M1 0, x 0, x 2 M
0
将瞬时点源的解代入M2，得距离方差：
M 1 2 x 2 M0 M x2 x c( x, t )dx x exp( )dx 2 Dt 4 Dt 4 Dt
2
第四节 分子扩散方程
推广到三维： 故有
c Q t
Q Dc
Fick定律：
c D2c t 用直角坐标表示
c 2c 2c 2c D( 2 2 2 ) t x y z
时变项
分子扩散项
扩散方程本质上是质量守恒定律在扩散问题上的体现
在扩散特性各向同性的液体中，在x、y、z三个方向上，D为常数。
x c x c x
i i i i i i
i
质量中心坐标x
表示浓度分布曲线重心距x坐标原点的水平距离，当曲线对称于c轴时x=0。
（2）浓度分布的距离方差2

2 x 2 ( x ) c( x, t )dx x
M0
i


2 2 ( x 2 x )c( x, t )dx x x
第四节 浓度分布的各阶矩
1、 浓度对距离的各阶矩定义
零阶矩 M 0 c( x, t )dx ci xi

流体力学 扩散理论


M exp(x12 )
4Dmt
4Dmt
比较，Dm=la/2=Nl2/(2t)
P l exp( x12 )
Dmt
4Dmt
——以Dm表示的分子在N次运动后到达x1处的概率
5
求在t时刻分子位于x1与x1+δx1之间的概率δP，分子到达x1后， 下一步仍有1/2机会前进，1/2机会后退，每一步距离为l，下一
t(s)
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Y 2 (10-4m2) 0.06 0.23 0.53 0.93 1.44 2.00 2.59 3.19 3.78 4.38 Y 2 (10-2m) 0.24 0.48 0.73 0.97 1.20 1.41 1.61 1.78 1.94 2.05
步在x1与x1+δx1的范围的机会为(1/2)(δx1/l)，则：
P [ D lm tex 4 p D x 1 2 m t( )]2 x l121 D m tex 4 p D x 1 2 m t( )x 1
分子沿x1作随机运动其概率密度(δP/δx1) 符合正态分布
标准差： 2Dmt
4.6紊动扩散——欧拉法
4.6.1紊流扩散方程
溶质浓度：c=c(x1,x2,x3,t) 层流移流扩散方程：
c t x 1 ( c1 ) u x 2( c2 ) u x 3 ( c3 ) u D m ( x 2 1 2 c x 2 2 2 c x 2 3 2 c ) F c
dt
dtv2(t0t)v2(t0t)
9
00
0
00
每一质点取两个时刻的流速的乘积来平均
tt
tt
dtdt 2 dt dt

环境流体力学第二章分子扩散..


M x F( , )0 c Dt Dt
M x c( x, t ) f( ) 4 Dt 4 Dt
c ( x, t ) x =f ( ) M 4 Dt 4 Dt
式中:f为待定函数，在上式中写上4π和4，目的是使最终的 解较为简明; M是全部污染物的质量，量纲是[M]
确定待定函数f
第五节 一维扩散方程的基本解
Q ( x, t ) [Q ( x, t ) Q ( x, t ) c( x, t ) x ] x x t
Q c 0 x t
Fick定律：
Q D c x
c 2c D 2 t x
二阶线性抛物 型偏微分方程
如将Q(x,t)作为热通量（即热流密度），c(x,t)作为热浓度（即温度），以 热扩散系数a（或导温系数）代替分子扩散系数D,变为热传导傅里叶方程。 分子扩散与热传导是数学形式相同的两个过程。
进一步令 (h ) df ，有 2h f:
dh
d 0 dh
df dh f 2h ln f ln h
1 2
df 2h f k1 即θ =常数k1,因此有： 。 dh
ln A
以f的边界条件代入上式得k1=0，故上式变为:
2 df h 2h f 0 它的通解为： f k0e dh
令染液投入点为坐标原点
0
x
第五节 一维扩散方程的基本解
1.定解条件 一维分子扩散方程：
c 2c D t x 2
瞬时点源或称瞬时无限平面源在无界空间的定解条件下的 解析解。定解条件在数学上表达为： （1）初始条件： c(x,0)=M(x)
( x)
x 0 0 x 0
2
表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，2值愈大， 分布曲线愈平坦。
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第四节 分子扩散方程
推广到三维： 故有
c Q t
Q Dc
Fick定律：
c D2c t 用直角坐标表示
c 2c 2c 2c D( 2 2 2 ) t x y z
时变项
分子扩散项
扩散方程本质上是质量守恒定律在扩散问题上的体现
在扩散特性各向同性的液体中，在x、y、z三个方向上，D为常数。
c 2c 2c 2c D( 2 2 2 ) t x y z
在扩散特性各向异性的液体中
c 2c 2c 2c Dx 2 Dy 2 Dz 2 t x y z
第五节 一维扩散方程的基本解
第三节 一维扩散方程的基本解
& 扩散方程的定解条件（初始条件、边界条件）。 & 解的形式：解析解、数值解。 & 污染源（按空间）：点源、线源、面源、有限分布源、不存在 绝对的点源、无限长线源、无限大面源，只是一种近似处理。 & 污染源（按时间）：瞬时源、时间连续源（事故排放、正常排 放）。 & 瞬时源是指污染物在瞬时内排放入水域，实际上一种近似，如 热核武器试验的核污染或者油轮事故突然泄漏的油污染。 & 连续源又分为恒定和非恒定源。 & 污染物扩散：根据水域是几维，对应一维、二维、三维扩散方 程。
M0
i


2 2 ( x 2 x )c( x, t )dx x x

M0
2 M 2 2x M1 x M0 M0
M2 2 2 x x M0
2 x i ci xi
c x
i i
i
x c x ( ) c x
i i i i i i i
M x F( , )0 c Dt Dt
M x c( x, t ) f( ) 4 Dt 4 Dt
c ( x, t ) x =f ( ) M 4 Dt 4 Dt
式中:f为待定函数，在上式中写上4π和4，目的是使最终的 解较为简明; M是全部污染物的质量，量纲是[M]
确定待定函数f
第五节 一维扩散方程的基本解
d df （ 2h f ） 0 边界条件由原来的c(,t)=0, c(,t)/x=0 dh dh
f(∞)=0，df(∞)/dh0
c 2c D 2 t x
设变量 h
则有c( x, t )
x 4 Dt
M f (h ) 4 Dt
d2 f df 2h 2f 0 2 dh dh
c M t 2
f [ f (h ) h ] h 4 Dt 1
2c M 1 2 f D 2 =2 x 4 t h 4 Dt c 2c df d 2 f -D 2 =2f +2h + 2 =0 t x dh dh d df ( +2h f )=0 dh dh -u e du =
变化量： c( x, t ) xt
t
一维输移的控制体：两个具有单位面 积的平行面与x轴垂直
单位时间进入x面的扩散质通量为：Q(x,t) 从(x+△x)面出去的通量为:
Q ( x, t ) Q ( x, t ) x x
第四节 分子扩散方程
根据质量守恒定律有：单位时间流入的污染物质量-流出的 污染物质=污染物质量对时间的变化率相等，即:
一滴红墨水在玻璃杯中的扩散
分子的扩散系数D与介质与物质本身的特性有关，又与温 度和压力有关。
第三节 费克定律
某些物质在水中的分子扩散系数（ cm2· s-1，水温为20℃）
物 质 氧 二氧化碳 一氧化氮 扩散系数D
1.80×10-5 1.50×10-5 1.51×10-5
物 质 醋酸 甲醇 乙醇
扩散系数D
第五节 一维扩散方程的基本解
第三节 一维扩散方程的基本解
• 集中投入的情况，在t=0时刻，在原点瞬时投入质量为M
的扩散质，分析以后任意时刻在无界空间中的浓度分布，
这是扩散方程的最基本的解。 • 是在静止水域中的扩散，而且是瞬时集中源与坐标原点重 合的一维扩散方程的特解。因为扩散方程是线性的，在线 性的边界条件下，可用这个特解式叠加来构造其他定解条 件下的解。 -x 0 x
（1）浓度分布的距离均值（数学期望）
M1 x M0
x c x c x
i i i i i i
i
质量中心坐标x
表示浓度分布曲线重心距x坐标原点的水平距离，当曲线对称于c轴时x=0。
（2）浓度分布的距离方差2

2 x 2 ( x ) c( x, t )dx x
第三节 费克定律
费克定律： 1855年德国生理学家费克（Fick）提出
静水中的污染物由于分子扩散作用，在单位时间内按一定方向通过单位面 积的扩散输送的物质与该方向的浓度梯度成正比。各向同性的介质。
对一维扩散，费克定律可表示为：
c Q x
用等号 Q D c
x
一维费克扩散示意图
x
式中：Q是单位时间通过单位面积的扩散物质，也称为通量； C是扩散物质的浓度。 c x :x方向的浓度梯度。
Q ( x, t ) [Q ( x, t ) Q ( x, t ) c( x, t ) x ] x x t
Q c 0 x t
Fick定律：
Q D c x
c 2c D 2 t x
二阶线性抛物 型偏微分方程
如将Q(x,t)作为热通量（即热流密度），c(x,t)作为热浓度（即温度），以 热扩散系数a（或导温系数）代替分子扩散系数D,变为热传导傅里叶方程。 分子扩散与热传导是数学形式相同的两个过程。
第五节 一维扩散方程的基本解
2.解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法
量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律： 量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同； 任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而 不会改变物理过程的规律性； 物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的 规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。
令染液投入点为坐标原点
0
x
第五节 一维扩散方程的基本解
1.定解条件 一维分子扩散方程：
c 2c D t x 2
瞬时点源或称瞬时无限平面源在无界空间的定解条件下的 解析解。定解条件在数学上表达为： （1）初始条件： c(x,0)=M(x)
( x)
x 0 0 x 0
D是比例系数，称为分子扩散系数，量纲为[L2T-1]
一般约为10-6~10-5cm2· s-1 。 公式中的负号 费克定律第一定律
费克定律第二定律 三维的费克定律: Q Dc 哈密顿算子
i j k x y z
第三节 费克定律
c Q D x
说明：只要存在浓度梯度，必然产生物质的扩散
2
M(x)表示质量M集中于微小容积
内。相对概念。例如把一小桶颜色 水倾注到大河里，可以认为起始浓 度集中于微小体积内。
狄拉克（Dirac） 函数
物理含义： 当t=0时，在通过x=0处且与x轴垂直的平面上，污染物质量 为M,它位于x=0处以无限大的浓度强度浓缩在无限小的空间 （2）边界条件：c(,t)=0, c(,t)/x=0
第二章 分子扩散
第三节 费克定律
第一节 费克定律
一、费克定律
静止的水体中存在分子的不规则运动，从而使在水中的微 粒也作不规则的运动，这个现象早已在1826年为布朗的 著名实验证实。分子运动称为布朗运动 费克（Fick）扩散（分子扩散）： 由于水的分子运动而使水中的污染物质发生扩散 除了在静水中，分子扩散是使污染物质发生扩散的唯一 原因外，它还存在于一切流动的水体中。
0.88×10-5 1.28×10-5 1.00×10-5
氨 氯
氢
1.76×10-5 1.22×10-5
5.13×10-5
酚 甘汕
尿素
0.84×10-5 0.72×10-5
1.06×10-5
氮
氯化氢 硫化氢 硫酸
1.64×10-5
2.64×10-5 1.80×10-5 1.73×10-5
葡萄糖
蔗糖 食盐 氢氧化钠
2
表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，2值愈大， 分布曲线愈平坦。
第六节 浓度分布的各阶矩
M 2 对于正态分布曲线（标准）有： M1 0, x 0, x 2 M
0
将瞬时点源的解代入M2，得距离方差：
M 1 2 x 2 M0 M x2 x c( x, t )dx x exp( )dx 2 Dt 4 Dt 4 Dt
第四节 浓度分布的各阶矩
1、 浓度对距离的各阶矩定义
零阶矩 M 0 c( x, t )dx ci xi
i

一阶矩 M xc( x, t )dx x c x ii i 1
i
二阶矩
M2



x 2c( x, t )dx x 2ci xi
i
π定律（布金汉定律）：任何一个物理过程，包含有k+1个有 量纲的物理量，如果选择其中m个作为基本物理量，那么该物 理过程可以由[(k+1)-m]个无量纲数所组成的关系来描述。
第五节 一维扩散方程的基本解
从物理概念上分析，浓度c是M、D、x、t的函数 假设有函数： F(c,M,D,x,t)=0 方程线性 一维 扩散中，浓度的量纲 [ML-1],浓度c应与M除以某一特征长度成 正比。 Dt 是一个合适的特征长度 利用π定律，选c、D、t为基本变量，可得：
进一步令 (h ) df ，有 2h f:
dh
d 0 dh
df dh f 2h ln f ln h