第10讲 比例法解行程

第三讲 比和比例【名师导航】学习比和比例关系是提高小学数学综合能力的一个重要方面，深刻理解相关联的量是学习的基本要求。

比和比例的学习,也是为中学学习函数打下基础。

用比和比例解答的应用题有：1．按比例分配应用题。

把一个数量按一定的比进行分配，解答这类应用题的关键是根据题中所给的比，转化成求一个数的几分之几来做。

2．正、反比例应用题。

解答这类应用题，首先要找出相关联的量，然后判断成什么比例关系，建立比例式。

【例题精讲】例1 一个长方体的棱长总和是180厘米，它的长、宽、高之比是4:3:2。

这个长方形的体积是多少立方厘米？分析：长方体的长、宽、高各有 ，其一条长、宽、高之和是 （厘米），将45厘米按长、宽、高之比是4:3:2进行分配，分别求出长、宽、高，再求出这个长方形的表面积和体积。

解：（1）长、宽、高之和是： ；（2）长： ；宽： ；高： ；（3）长方体的体积是： 。

答：这个长方体的体积是3000平方厘米。

例2 兄弟俩共有85元，他们都买了一支价格相同的钢笔，哥哥花掉了自己钱数的34，弟弟花掉了自己钱数的23，哥哥还剩多少元？ 分析：依题意，哥哥的钱数×34 =弟弟的钱数×23 ，那么哥哥的钱数：弟弟的钱数=23 ：34=8：9（或哥哥的钱数×34 =弟弟的钱数×23 ，即哥哥的钱数×68 =弟弟的钱数×69，得到哥哥的钱数：弟弟的钱数=8：9）。

再将85元按比例分配，即可求得哥哥（或弟弟）的钱数，进而求出钢笔的单价。

解法一：（1）哥哥与弟弟的钱数之比是 ；（2）哥哥的钱数是： ；（3）哥哥还剩： 。

分析：可以把钢笔的价格看做单位“1”，那么哥哥的钱是钢笔价钱的43，弟弟的钱是钢笔价钱的32 ，再用85元除以它所对应的钢笔价格的（43 ＋32），就可以求出钢笔的价格，再求出哥哥剩下的钱。

解法二：把钢笔的价格看做单位“1”。

（1）钢笔的价格是 ；（2）哥哥剩下的钱是： 。

_________________个性化辅导讲义年 级：时 间年 月 日课 题比例解行程问题教学目标1.了解物体匀速运动的特点。

2.掌握运用比例知识解决行程问题的方法。

3.培养想像力，增强思维力。

教 学 内 容【知识梳理】我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用来表示，大体可分为以下两种情况：,,v v t ts s 乙乙乙甲甲甲，；；1.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。

，这里因为时间相同，即,所以由s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙t t t ==乙甲s s t t v v ==甲乙乙甲乙甲，得到，，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比s s t v v ==甲乙乙甲s vs v=甲甲乙乙2.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。

，这里因为路程相同，即，由s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙s s s ==乙甲s v t s v t =⨯=⨯乙乙乙甲甲甲，得，，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。

s v t v t =⨯=⨯乙乙甲甲v tv t =甲乙乙甲比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。

比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

【例题精讲】例题1 甲、乙两人同时地出发，在、两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，A A B甲每次到达地、地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在之间行走方向不会改变，A B AB已知两人第一次相遇的地点距离地米，第三次的相遇点距离地米，那么第二次相遇B1800B800的地点距离地。

第10讲比例的应用（讲义）（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）1、比例尺的意义。

一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。

温馨提示：比例尺是一个比，表示两个同类量间的倍比关系，不能带单位。

2、比例尺的分类。

分法一：按表现形式分，可以分为数值比例尺和线段比例尺。

分法二：按将实际距离缩小还是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。

3、已知图上距离和实际距离，求比例尺的方法。

先把图上距离和实际距离统一单位，再用图上距离比实际距离，然后把它化简成最简整数比，得出比例尺。

三者中知道任意两者，可求第三者。

4、应用比例尺画图的方法。

（1）确定比例尺。

（2）根据比例尺求出图上距离。

（3）画图。

（4）标出所画图的名称和比例尺。

5、图形放大与缩小的特点。

形状相同，大小不同。

6、将图形放大与缩小的方法。

一看，看图形每边各占几格；二算，按已知比计算出放大图或缩小图的每边各占几格；三画，按计算出的边长画出原图形的放大图或缩小图。

温馨提示：把图形每条边按相同倍数放大（或缩小）后，形状不变，相对应的角的度数也不变。

7、用比例解决问题。

根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，根据正、反比例关系列出相应的比例并求解。

1、比例尺是图上距离与实际距离的比，是一个比值，没有单位。

2、通常缩小比例尺的前项为1，放大比例尺的后项为1。

3、图上距离一般用厘米做单位，实际距离一般用米或千米做单位，计算时要先统一单位。

4、把图形放大（或缩小）后，形状不变，相对应的角的度数也不变。

5、平均锯一次的时间一定，一共用的时间与锯的次数成正比例。

6、在路程一定时，速度和时间成反比例关系，速度越快，所用时间越短；反之所用时间越长。

【易错一】学校的操场是一个长方形，长是90米，宽是60米，小聪想把它画在练习本上，比较合适的比例尺是（）。

A．1∶100 B．1∶1000 C．1∶10000 D．1∶1【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，先把单位换算成厘米后，把4个选项里的比例尺代入到数量关系中，分别求出练习本的长是多少，找出符合实际的答案即可。

第10讲行程问题（一）[教学内容]春季六年级精英版，第10讲“行程问题（一）”。

[教学目标]知识与技能利用行程问题中的路程、速度、时间的关系，并结合分数、比、比例等的知识解行程类应用题，感知数学在实际生活中的用途。

数学思考理解数学的数形结合的思想，发展学生的抽象概括能力。

问题解决获得分析较复杂的行程问题和解决这类问题的一些基本方法，体验解决行程问题方法的多样性，发展创新意识。

情感与态度在学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心；在合作与交流中学会肯定自己和倾听他人的意见。

[教学重点和难点]教学重点：结合分数、比、比例等知识解决行程问题。

教学难点：寻找解决较复杂的行程问题的方法。

[教学准备]动画多媒体语言课件第一课时教学过程：第二课时教学过程：本讲内容参考答案：自主探究例1：2420米例2：1.75小时例3： 39千米/时例4： 126分例5： 315千米例6： 150千米大胆闯关1、675米2、308千米3、10分钟4、7时40分5、11秒本讲内容的补充习题及答案：1、邮递员去送信，已知回来时沿原路返回，但速度提高了25%。

并且来、回的时间差是小时。

求往返一次用多少小时？路程速度时间去 1 1 5回 1 125% 4÷（5-4）×（5+4）=小时2、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。

出发时他们的速度比是3：2，他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%。

这样，当甲到达B地时，乙离A地还有280km。

那么A、B两地的路程是多少千米？3×（1+20%）=3.62×（1+30%）=2.6280÷（－÷3.6×2.6）=900千米3、甲、乙两辆汽车同时从A去B，出发后，甲、乙两车的速度的比是5：4。

当甲车行至中点时，乙离中点还差60千米。

当乙车到达中点后，速度提高50%。

当甲到达B地时，乙离B地还有多少千米？÷5×4=—=60÷=600千米-÷4×5=4×（1+50%）=6÷5×6=600×（-）=30千米4、甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，两车第一次在距A地32千米处相遇，相遇后两车继续行驶各自到达B、A两地后，立即沿原路返回，第二次在距A地64千米处相遇。

巧用比例解行程问题精品教案〖学情分析〗〖教学重点〗掌握比例法解行程问题的思路方法〖教学难点〗正确判断和转化题中成比例的量〖考点分析〗属课外拓展内容，用来对付较棘手的行程问题〖教学过程〗巧用比例解行程问题一、教学链接1、了解家长的反馈意见；2、检查学生的作业，及时指点3、捕捉学生的思想动态4、课前小测10分背∏值.二、教学内容方法指导：复杂行程问题经常运用到比例知识：速度一定，时间和路程成正比；时间一定，速度和路程成正比；路程一定，速度和时间成反比。

分析时可以抓住题中含有比的句子进行分析，以此作为突破口，一步一步求得结果。

也可以从题意的叙述中找出等量关系,从而得出所需的数量之比，再根据比与分数的关系求解。

例1：甲、乙两车的速度比是4：7，两车同时从两地相对出发，在距中点15千米处相遇，两地相距多少千米？甲乙两车的速度比是4:7，同一时间内两个物体经过的路程的比等于它们的速度的比，所以相遇时，甲乙两车所行的路程比也是4:7。

相遇时乙比甲多行了15*2=30千米两地相距（15+15）÷（7-4）=10 （4+7）×10=110千米边讲边练：1、甲、乙两车同时从AB两地相对而行，甲、乙两车速度比7：5，相遇时距中点12千米，AB两地相距多少千米？例2：两列火车同时从两个城市相对开出,6。

5小时相遇.相遇时甲车比乙车多行52千米，乙车的速度是甲车的错误!。

求两城之间的距离.6。

5×(52×2+52×3）=1690边讲边练:1、甲、乙两车分别从AB两地同时相向而行，3小时相遇。

已知甲车行1小时距B地340千米,乙车行1小时距A地360千米。

AB两地相距多少千米？(420）2、客车由甲城到乙城需行10小时，货车从乙城到甲城需行15小时,两车同时相向开出，相遇时客车距离乙城还有192千米，求两城间的距离。

例3:甲、乙两车同时从AB 两地相对而行，5小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是2：3，甲车行完全程需多少小时?已知甲、乙两车速度的比是2：3,则甲乙两车的时间比是3：2边讲边练：甲、乙两车同时从AB 两地相对而行，4小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是3:5，乙车行完全程需多少小时？例4：客车和货车同时从AB 两地相对开出，客车每小时行60千米，货车每小时行全程的错误!,相遇时客车和货车所行路程的比是5：4。