比例法解行程题

比例法解行程题比例法【例1】（第8届迎春杯决赛试题）小明和小刚进行200米短跑比赛（假定二人的速度均保持不变）。

当小刚跑了180米时，小明距离终点还有50米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？【解】当小刚跑了180米时，小明跑了200-50=150米，二人的路程之比为180： 150=6: 5,小刚到达终点时，由于速度不变，二人的路程比依然为6： 5O若设小刚路程200米为6份的话，小明的行程应为5份，则其离终点还有1份距离二200 6 331 米。

【练习】小刚与小勇进行50米赛跑，结果：当小刚到达终点时，小勇还落后小刚10米；第二次赛跑，小刚的起跑线退后10 米，两人仍按第一次的速度跑，比赛结果将是解：小刚到达终点时，二人的路程分别为50米和40 米，路程之比为5：40若小刚退后10米，当到达终点时其路程为60米，由于速度不变，从而路程之比也不变，此刻乙跑了60-5X 4=48米，还差2米才到终点，因此还是小刚胜出。

【点评】在赛跑问题中，多数时候隐含了时间相等的条件，从而路程之比二速度之比的正比例关系式会得到大量应用。

【例2】一辆车从甲地开往乙地•如果车速提高20%,可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶240千米后，再将速度提高25%,则可提前40分钟到达•那么甲、乙两地相距多少千米【分析】这是一道“隐性”比例行程题，但其标志很明显一一百分数，一般说来凡题目中出现百分比应立即想到将其转化为比例进行研究。

例如本题中，车速提高20%意味着原速度与现速度之比为5：6,车速提高25%意即原速度与现速度之比是4:5。

【解】按照题中的形成的两部分分别进行分析：车速提高20%,从而速度之比为5： 6,则时间之比为6： 5, 已知提速前后所用时间差为1小时，可见原速度走完全程需要6 小时，提速后需要5小时。

而在原速行驶240千米后，剩余部分路程提速25%,即速度之比为4:5,则所用时间之比为5： 4,而已知提速前后所用时间之差为40分钟，从而不难求剩余路程若按原速度行驶需要时间40X5=200分钟二2八小时，从而前240千米用时6 21 3彳小时，则原速度为240 3彳90千3 3 3米/小时。

1.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行50千米，返回时每小时行60千米，已知去时用了6小时，那么返回时用了几小时？2.甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲车每小时行50千米，乙车的速度是甲车的4/5.当甲车行至全程的2/5时，乙车距中点还有36千米。

A，B两地相距多少千米？3.甲、乙两车同时分别从A，B两地同时出发相向而行，当甲车行了全程的1/4时，乙车行了全程的1/3，当乙车行完全程时，甲车距终点还有20千米。

A，B两地相距多少千米？4.甲、乙两车的速度分别是50千米/时、40千米/时，乙车先从B站开往A站，当到离B站72千米的D地时，甲车从A站开往B站，在C地与乙车相遇，如下图。

如果甲、乙两车相遇地C地离A，B两站的路程比是3:4，那么A，B两站之间的路程是多少千米？5.小红骑自行车从甲地到乙地，前一段是上坡路，后一段是下坡路，已知小红上坡每小时行8千米，下坡每小时行22千米，来回一趟共用了3小时。

甲、乙两地相距多少千米？6.一辆汽车从甲地到乙地先上坡后下坡，上坡和下坡的路程比是5:4，汽车上坡和下坡所用时间比是7:3.求这辆汽车上坡和下坡的速度之比。

7.一辆汽车从甲地到乙地，去时每小时行48千米，返回时每小时行60千米，返回时比去时少用了48分钟。

甲、乙两地相距多少千米？8.一辆汽车从甲地到乙地，去时每小时行60千米，返回时速度减少了1/5，这样返回就比去时多用了1小时。

甲、乙两地相距多少千米？9.甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行42千米。

当乙车行至全程的7/20时，甲车距中点还有24千米，A，B两地相距多少千米？10.甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米，两车相遇时，甲车比乙车少行了50千米.A,B两地相距多少千米?11.甲/乙两车同时分别从A,B两地出发相向而行,当甲车行了全程的3/5时,乙车行了全程的3/4,当乙车行完全程时,甲车距终点还有30千米.A,B两地相距多少千米?12.A,B两地相距380千米,甲、乙两车同时分别从A、B两地出发相向而行，当甲车行了全程的2/3时，乙车行了全程的3/5.那么甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？13.甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行60千米，当甲车到达B地时，乙车已超过A地20千米。

比例法解决行程问题例题1：甲、乙二人分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A 地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则 A 、 B 两地相距多少千米？【解析】 两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为 4 : 3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3个全程，三个全程中甲走了453177⨯=个全程，与第一次相遇地点的距离为542(1)777--=个全程．所以 A 、 B 两地相距2301057÷= (千米)． 例题2： 甲、乙两人分别从A 、B 两地出发，相向而行，出发时他们的速度比是3：2。

他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%。

这样，当几B 地时，乙离A 地还有14千米。

那么A 、B 两地间的距离是多少千米？把A 、B 两地的路程平均分成5份，第一次相遇，甲走了3份的路程，乙走了2份的路程，当他们第一次相遇后，甲、乙的速度比为[3×（1+20%）]：[2×（1+30%）]=18：13。

甲到达B 点还需行2份的路程，这时乙行了2÷18×13=149份路程，从图35-3可以看出14千米对应（5—2—149）份 [3×（1+20%）]：[2×（1+30%）]=18：132÷18×13=149（份） 5—（2+149 ）=159（份） 14÷159×5=45（千米） 答：A 、B 两地间的距离是45千米。

图35——3B19份例题3：甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，一辆汽车一次只能坐一个班的学生。

为了尽快到达机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班步行，同时出发。

甲班学生在中途下车步行去机场，汽车立即返回接途中步行的乙班同学。

行程问题-例题答案模块一、时间相同速度比等于路程比【例 1】甲、乙二人分别从A、B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千米，则A、 B 两地相距多少千米？【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为 4 : 3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了3个全程，三个全程中甲走了45⨯=个全程，与第一次相遇地点的距离为3177542--=个全程．所以A、B两地相距(1)7772÷=(千米)．301057【例 2】B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B 地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B 地至少要用多少时间。

【解析】 根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：10分钟C BA因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：（1） 若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信 5分钟5分钟10分钟C BA当丙再回到B 点用5分钟，此时甲已经距B 地有10＋10＋5＋5＝30（分钟），同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信在给乙送信，此时乙已经距B地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟），此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回B地需要25分钟所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）（2）同理先追及甲需要时间为120分钟【例 3】 (“圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D处相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点相距多少米？【分析】甲、乙两人速度比为80:604:3=，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程的47，乙走了全程的37．第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的47，甲行了全程的37．由于甲、乙速度比为4:3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了3374⨯，所以甲停留期间乙行了43317744-⨯=，所以A 、B 两点的距离为1607=16804⨯÷(米)．【例 4】 甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%．这样当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有 10 千米．那么 A 、B 两地相距多少千米？【解析】 两车相遇时甲走了全程的59，乙走了全程的49，之后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%，此时甲、乙的速度比为5(120%):4(120%)5:6⨯-⨯+= ，所以甲到达 B 地时，乙又走了4689515⨯=，距离 A 地58191545-=，所以 A 、 B 两地的距离为11045045÷= (千米)．【例 5】 早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米．下午 4 点时小王到达乙地，晚上7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？【解析】从题中可以看出小王的速度比小张块．下午2 点时两人之间的距离是l5 千米．下午3点时，两人之间的距离还是l5 千米，所以下午 2 点时小王距小张15 千米，下午 3点时小王超过小张15千米，可知两人的速度差是每小时30 千米．由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就可走完全程，在这 1 小时当中，小王比小张多走30 千米，那小张 3 小时走了15 30 45=+千米，故小张的速度是45 ÷3 =15千米/时，小王的速度是15 ＋30 =45千米/时．全程是45 ×3=135千米，小张走完全程用了135 ＋15= 9小时，所以他是上午10 点出发的。

比例法行程问题【南京考题】甲乙两车分别从A、B两地同时相向而行，甲车每小时行82千米，乙车每小时行72千米，两车在距离中点30千米处相遇。

A、B两地相距多少千米？【黄冈考题】甲骑车从A地出发0.5小时后，乙发现甲忘了带书，立即从A地骑车追甲。

在乙出发的同时，丙骑车也从A地出发，行的道路与乙相同。

乙追上甲交书后，立即原路返回，行了15千米与丙相遇。

甲每小时行18千米，乙速是丙速的2倍。

求乙的速度。

【武汉考题】甲、乙两车从相距200千米的两地同时相向开出，不停地往返两地之间行驶，如果甲车每小时行65千米，乙车每小时行70千米，当两车第一次同时回到各自的出发地时，甲车行了多少千米？【南昌考题】甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，第一次相遇在距A地65千米处，相遇后，两车继续前进，分别到达目的地后立刻返回。

第二次相遇在距A地35千米处，求A、B两地相距多远？【郑州考题】汽车以一定的速度从甲地到乙地，如果汽车每小时比原来多行15千米，那么所用的时间只是原来的5/6；如果汽车每小时比原来少行15千米，那么所用的时间要比原来多用1.5小时。

求甲乙两地间的距离。

小升初之数学必考——裂项数学是什么？数学就是“逻辑+计算”，光有计算，没有逻辑，学不好数学；光有逻辑没有计算，更学不好数学。

每次数学考试，计算是必考的内容，不可能说哪次考试没有计算，除非考试语文吧。

每位小学生，都要面临小升初，一些名校的择校考试及分班考试，在数学计算中有一类型题目是每次都会出现，并难倒很多学生，这个就是裂项计算。

最简单的裂项算式是形如，其原理是分数合并同类项的逆运算。

写成字母的形式即为裂项的好处是什么呢？通过下面一个例题，你就会明白了。

通过例1，我们发现裂项的作用是使前后两个相同的分数可以抵消掉，这样方便了计算，并且计算，那么能用裂项解的题目有什么特点呢？1.分数加法或减法2.不宜通分3.分母是有规律的乘法或乘积形式。

我们对例1稍作变形，你还能搞定吗？【例1.1】计算：像例1.1才是考试的时候可能会出现的形式，考官不会直接给你一个分母是连续自然数乘积，分子是1的算式让你计算，而例1.1的“伪装”，你一定要细心的分别出来。

相同时间内，甲乙两车的速度比与路程比相等
全程的60%，客车每小时比货车快15千米，两地的距离是多少千米？
A、4:3
B、4:5
C、5:4
D、3:4
9
2、货车的速度是客车的
那么有：7x-5x=42 解得x=21
10
，货车和客车分别从甲乙两地同时相向而行，在
设：离客车两到地达甲中地点时，3千货车米走处了x相千米遇得，： 相遇后，两车分别用原来的速度继续前行，到达甲乙
比例法解行程问题
课前回忆
甲、乙两辆汽车的速度比为3:4，它们分别行驶3小时之后的路程比 是多少？
解：设甲速为3x，乙速为4x 那么：甲3小时行驶的路程可表示为：3×3x=9x
乙3小时行驶的路程可表示为：3×4x=12x 那么:甲3小时行驶的路程：乙3小时行驶的路程
=9x：12x=3:4
相同时间内，甲乙两车的速度比与路程比相等
答：客车到达甲地时，货车离乙地还有11.4千米
活学活用：
1、客车3小时所行的路程是汽车4小时所行路程的60%，客车与小汽车的
速度比为：〔
〕〔2021年中大附中〕
A、4:3
B、4:5
C、5:4
D、3:4
2、甲、乙两辆船同时从A地开往B地，乙船的速度是甲船的1.2倍，经过12 小时，乙船到达B地，此时甲船离B地还有54千米，求A、B两地的路程。 〔2021年天河外国语〕
答：甲乙两地相距294千米。
相那同么时 有间10内x设－，9甲：x=乙6客两车车的解到速得度：达比x=甲与6 路地程时比相，等货车走了x千米得：
相设同：时 货间车内的，速5甲度4乙为: x两13车=x，的1客速0车度:9的比速与度路为程1比解5x相得等：x=48.6

1、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发。

（1）甲车的速度是40千米/时，乙车的速度时20千米/时。

2小时各自走完全程，两车行驶的路程之比是（）。

（2）如果两地距离未知，甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是30千米/时。

各自走完全程，两车行驶的时间之比是（）。

2、（1）同样的时间内，小良走了5份路，小崔走了4份路，则小良、小崔的速度比为（）。

（2）一段路程小良4小时走完，小崔3小时走完，小良和小崔的速度比是（）。

3、（1）小钟、小鑫两人的速度比为4：5，两人同时出发，行走的时间比为3：7，则小钟、小鑫走的路程比为（）。

（2）小钟、小鑫两人要走的路程比为3：2，小钟、小鑫的速度比为4：3，则小钟、小鑫的时间比为（）。

（3）小钟、小鑫两人的路程比为7：8，两人用的时间比为6：5，小钟的速度为70千米/时，则小鑫的速度为（）。

4、小叶、小黄两人的速度比为3：5，两人同时出发，行走的时间比为7：4.若小叶最终走了42千米，则小黄走了（）千米。

5、一艘轮船从甲地顺水航行10小时到乙港，返回时逆水航行用了12小时，逆水航行的速度比顺水航行的速度慢（）%。

6、小乐和小唐两人同时从A地出发前往B地，小唐骑车的速度时15米/秒，小乐步行的速度是5米/秒。

如果小唐到达B地后立刻返回，那么两人在哪里相遇？7、小奕、小迪两人同时从A地出发前往B地，小奕骑车的速度时16米/秒，小迪步行的速度是72千米/时。

如果小迪到达B地后立刻返回，那么两人在哪里相遇？8、一艘轮船从甲地顺水航行4小时到乙港，返回时逆水航行用了5小时，逆水航行的速度比顺水航行的速度慢（）%。

9、一个圆的半径是10米，当这个圆的半径增加20%后，周长增加了（）%，面积增加了（）%。

10、甲乙两车分别从A、B两地同时出发。

甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是40千米/时。

相遇时甲乙的路程之比是（）。

11、（1）丁丁、牛牛两人同时出发，速度比为2：3，行走的时间比为3：5，则丁丁、牛牛走的路程比为（）。

路程相同的情况下：速度比等于时间的反比速度相同的情况下：路程比等于时间的正比时间相同的情况下：路程比等于速度的正比实践出真知例1. 甲、乙两车的速度之比是5：3，两车分别从A、B两地同时出发并匀速行驶。

如果两车相向而行，则经过0.5小时相遇；如果两车同向而行，甲车追上乙车需要几小时？［分析与解］因为甲、乙两车的速度之比是5：3，所以可把A、B 两地之间的路程平均分为8小段，则当甲、乙两车相向而行相遇时，甲车行了5小段路程，乙车行了3小段路程，即0.5小时内甲车比乙车多行了2小段路程。

当甲、乙两车同向而行甲车追上乙车时，甲车要比乙车多行8小段路程，结合前面的分析，用比例法可求得甲多行这8小段路程需要（小时），即甲车追上乙车需要2小时。

例2. 一队伍以8千米/时的速度前进，队尾的一名战士有事要报告给队首的队长，当他以10千米/时的速度向前追上队长后，立即以同样的速度返回队尾，共用去10分，求队伍有多长？［分析与解］分析题意，可知队尾这名战士追及的路程和他返回队尾所行的路程都等于队伍的长。

这样，根据“追及问题”和“相遇问题”的计算关系式：追及路程＝速度差×追及时间、相遇路程＝速度和×相遇时间，可得：速度差×追及时间＝速度和×相遇时间，进而根据比例知识可得：相遇时间：追及时间＝速度差：速度和＝（10-8）：（10+8）＝1：9。

根据题意可知，相遇时间与追及时间的总和是10分，故可求得相遇时间是（分），追及时间是（分）。

所以，这个队伍长（千米）。

甲、乙，丙三个机器人参加跑步比赛，当甲跑到终点时，已离终点还有20千米，丙离终点还有40千米；当乙跑到终点时，丙离终点还有24千米。

问题：这次比赛要跑多少千米？问题：这次比赛要跑多少千米？看题后知道：乙跑到终点时，丙离终点还有40千米，而乙跑到终点时，丙离终点还有24千米，那么乙跑20千米的时间丙只跑了16千米，由此可知它们的速度比是5：4，时间比是4：5。

比例解行程问题1、甲、乙两车的速度比是4：7，两车同时从两地相对出发，在距中点15千米处相遇，两地相距多少千米？2、甲、乙两车同时从AB两地相对而行，甲、乙两车速度比7：5，相遇时距中点12千米，AB两地相距多少千米？3、两列火车同时从两个城市相对开出，6.5小时相遇。

相遇时甲车比乙车多行52千米，乙车的速度是甲车的23。

求两城之间的距离。

4、甲、乙两车分别从AB两地同时相向而行，3小时相遇。

已知甲车行1小时距B地340千米，乙车行1小时距A地360千米。

AB两地相距多少千米？（420）5、客车由甲城到乙城需行10小时，货车从乙城到甲城需行15小时，两车同时相向开出，相遇时客车距离乙城还有192千米，求两城间的距离。

6、甲、乙两车同时从AB两地相对而行，5小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是2：3，甲车行完全程需多少小时？7、甲、乙两车同时从AB两地相对而行，4小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是3：5，乙车行完全程需多少小时？8、客车和货车同时从AB两地相对开出，客车每小时行60千米，货车每小时行全程的115，相遇时客车和货车所行路程的比是5：4。

AB两地相距多少千米？9、客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行全程的15，货车每小时行50千米。

相遇时客车和货车所行的路程的比是3：2。

甲、乙两地相距多少千米？10、甲、乙两个城市相距若干千米，一列客车与一列货车同时从两个城市相对开出，3小时后相遇，相遇时客车比货车多行60千米，货车与客车速度比是9：11。

货车平均每小时行多少千米？11、甲、乙两车同时相对而行，甲车行全长需8小时，乙车每小时56千米，相遇时，甲、乙两车所行路程的比是3：4，这时乙车行了多少千米？12、甲、乙两车同时从AB两地相向而行，4小时后相遇，相遇后甲又行了3小时到达B地，这时乙车离A地70千米，AB两地相距多少千米？13、小强和小军分别从AB两地同时相对而行，8分钟相遇，相遇后又行6分钟小军到达A地，这时小强离B地160米，AB两地相距多少米？14、甲、乙两车同时从AB两地相向而行，当甲到达B地时，乙车距A地30千米，当乙车到达A地时，甲车超过B地40千米，AB两地相距多少千米？15、快车从A地，慢车从B地同时出发相向而行，经过4小时相遇，相遇后两车仍按原速度继续前进，又经过5小时慢车到达A地，这时快车已超过B地90千米。

【例题精讲】 2、快车和慢车同时从甲、乙两地相对开出，快车每小 时行33千米，相遇时行了全程的 4 ，已知慢车行完全程 需要8小时，则甲、乙两地相距__7____千米。
【例题精讲】 3、甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出，甲车的速 度是50千米/时，乙车的速度是40千米/时，当甲车驶过 距A、__B_距_千离米的。13 多50千米时，与乙车相遇。A、B两地相
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【例题精讲】 4、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。已知 甲、乙两人的速度之比是6:5，相遇时距A、B两地的中点5 千米。则当甲到达B地时，乙离A地还有 千米。
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【知识驿站】
比例法解行程进阶
根据“路程=速度×时间”的公式，我们发现：
①当时间一定时，路程之比等于速度之比，即 T甲 T乙 时,
S甲 : S乙 V甲 :V乙 。
②当速度一定时，路程之比等于时间之比，即 V甲 V乙 时, S甲 : S乙 T甲 : T乙 。
③当路程一定时，速度之比等于时间的反比，即 S。
④当没有相同量时，S甲 : S乙 （V甲 T甲）（: V乙 T乙）。
【例题精讲】
1、A、B两地相距270千米，甲乙两车分别从A、B两地 同时出发。
(1)甲车的速度是25千米/时，乙车的速度是20千米/时， 相遇时距A地_____千米。
(2)甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是40千米/时， 相遇时距A 地_____千米。

用比例解决行程问题1、甲乙两车同时从AB两地相对开出。

甲行驶了全程的5/11,如果甲每小时行驶4.5千米，乙行了5小时。

求AB两地相距多少千米 ?解：AB距离=（4.5×5）/（5/11）=49.5千米2、一辆客车和一辆货车分别从甲乙两地同时相向开出。

货车的速度是客车的五分之四，货车行了全程的四分之一后，再行28千米与客车相遇。

甲乙两地相距多少千米？解：客车和货车的速度之比为5：4那么相遇时的路程比=5：4相遇时货车行全程的4/9此时货车行了全程的1/4距离相遇点还有4/9-1/4=7/36那么全程=28/（7/36）=144千米3、甲乙两人绕城而行，甲每小时行8千米，乙每小时行6千米。

现在两人同时从同一地点相背出发，乙遇到甲后，再行4小时回到原出发点。

求乙绕城一周所需要的时间？解：甲乙速度比=8：6=4：3相遇时乙行了全程的3/7那么4小时就是行全程的4/7所以乙行一周用的时间=4/（4/7）=7小时4、甲乙两人同时从A地步行走向B地，当甲走了全程的1\4时，乙离B地还有640米，当甲走余下的5\6时，乙走完全程的7\10，求AB两地距离是多少米？解：甲走完1/4后余下1-1/4=3/4那么余下的5/6是3/4×5/6=5/8此时甲一共走了1/4+5/8=7/8那么甲乙的路程比=7/8：7/10=5：4所以甲走全程的1/4时，乙走了全程的1/4×4/5=1/5那么AB距离=640/（1-1/5）=800米5、甲，乙两辆汽车同时从A，B两地相对开出,相向而行。

甲车每小时行75千米，乙车行完全程需7小时。

两车开出3小时后相距15千米，A,B两地相距多少千米？解：一种情况：此时甲乙还没有相遇乙车3小时行全程的3/7甲3小时行75×3=225千米AB距离=（225+15）/（1-3/7）=240/（4/7）=420千米一种情况：甲乙已经相遇（225-15）/（1-3/7）=210/（4/7）=367.5千米6、甲，已两人要走完这条路，甲要走30分，已要走20分，走3分后，甲发现有东西没拿，拿东西耽误3分，甲再走几分钟跟乙相遇?解：甲相当于比乙晚出发3+3+3=9分钟将全部路程看作单位1那么甲的速度=1/30乙的速度=1/20甲拿完东西出发时，乙已经走了1/20×9=9/20那么甲乙合走的距离1-9/20=11/20甲乙的速度和=1/20+1/30=1/12那么再有（11/20）/（1/12）=6.6分钟相遇7、甲，乙两辆汽车从A地出发，同向而行，甲每小时走36千米，乙每小时走48千米，若甲车比乙车早出发2小时，则乙车经过多少时间才追上甲车？解：路程差=36×2=72千米速度差=48-36=12千米/小时乙车需要72/12=6小时追上甲8、甲乙两人分别从相距36千米的ab两地同时出发,相向而行,甲从a地出发至1千米时,发现有物品以往在a地，便立即返回，去了物品又立即从a地向b地行进，这样甲、乙两人恰好在a，b两地的终点处相遇，又知甲每小时比乙多走0.5千米，求甲、乙两人的速度? 解：甲在相遇时实际走了36×1/2+1×2=20千米乙走了36×1/2=18千米那么甲比乙多走20-18=2千米那么相遇时用的时间=2/0.5=4小时所以甲的速度=20/4=5千米/小时乙的速度=5-0.5=4.5千米/小时9、两列火车同时从相距400千米两地相向而行,客车每小时行60千米，货车小时行40千米，两列火车行驶几小时后，相遇有相距100千米？解：速度和=60+40=100千米/小时分两种情况，没有相遇那么需要时间=（400-100）/100=3小时已经相遇那么需要时间=（400+100）/100=5小时10、甲每小时行驶9千米，乙每小时行驶7千米。

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【例21】1997年小学数学奥林匹克决赛A卷第12题
从电车总站每隔一定时间开出一辆电车，甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分钟15秒遇上迎面开来的一辆电车，则，电车总站每隔多少分钟开出一辆电车。
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【例24】
小明家在颐和园。如果他骑车到RDF中，每隔3分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来；如果他步行到RDF中，每隔4分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来。已知任意两辆332路汽车的发车间隔都是一样的，并且小明骑车速度是小明步行速度的3倍。请问：如果小明坐332路汽车到RDF中，每隔多少分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来？
四、发车间隔
【例17】求平均速度
一辆车往返于A、B两地，来回的速度分别是v1，v2，求全程的平均速度。
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【例18】
甲乙两地各有一个车站，每隔相同的时间向对面发一次车。小明从甲地出发，每隔12分钟被车追上一次，每隔6分钟与车相遇一次。求发车间隔时间。
三、变速问题
【例15】
某人开车从甲地到乙地，行驶全程的72％后，因大雾降低了速度，结果4小时到达乙地。已知他第一小时比第三小时多行了30千米，第二小时比第四小时多行了40千米，那么甲乙两地相距多少千米？
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【例16】（2011年3月枫杨小升初测试题）AB两地相距8千米，小明骑自行车从A地去B地，开始以每分钟120米的速度行驶，后来改为每分钟160米的速度行驶，共用了1小时到达B地。小明是在离A地________米的地方改变速度的.

行程问题 - 例题答案模块一、时间相同速度比等于路程比【例 1】甲、乙二人分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进， 甲到达 B 地和乙到达A 地后都立即沿原路返回，二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30 千米，那么 A 、 B 两地相距多少千米？【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比， 即两个人相遇时所走过的路程比为 4 : 3 ．第一次相遇时甲走了全程的 4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3 个全程，三个全程中甲走了43 1 5 个全程，与第一次相遇地点的距离为775 (1 4) 2 个全程．所以A 、B 两地相距77 7302105 (千米 )．7【例 2】B 地在 A ，C 两地之间．甲从 B 地到 A 地去送信，甲出发 10 分后，乙从 B 地出发到 C 地去送另一封信，乙出发后 10 分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B 地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的 3 倍，丙从出发到把信调过来后返回 B 地至少要用多少时间。

【解析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：A 10 分钟10 分钟B C10 分钟因为丙的速度是甲、乙的 3 倍，分步讨论如下：（1〕假设丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的 3 倍，比乙多走两倍乙走需要 10 分钟，所以丙用时间为： 10÷〔3－1〕=5〔分钟〕此时拿上乙拿错的信A 10 分钟10 分钟B C5分钟10 分钟5分钟当丙再回到 B 点用 5 分钟，此时甲已经距B 地有 10＋10＋5＋5＝30〔分钟〕，同理丙追及时间为30÷〔3－1〕=15〔分钟〕，此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信在给乙送信，此时乙已经距B 地： 10＋ 5＋5＋15＋15=50〔分钟〕，此时追及乙需要： 50÷〔3－1〕=25〔分钟〕，返回 B 地需要 25 分钟所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋ 25=90〔分钟〕〔2〕 同理先追及甲需要时间为120 分钟【例 3】( “圆明杯〞数学邀请赛 ) 甲、乙两人同时从 A 、 B 两点出发，甲每分钟行80 米，乙每分钟行 60 米，出发一段时间后， 两人在距中点的 C 处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了 7 分钟，两人将在距中点的 D 处相遇，且中点距 C 、 D 距离相等，问 A 、 B 两点相距多少米？【分析】甲、乙两人速度比为 80:60 4:3 ，相遇的时候时 间相等，路程比等于速度之比， 相遇时甲走了全程的 4 ，乙走了全程的 3 ．第二次甲停77留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的 4，甲7行了全程的 3 ．由于甲、乙速度比为 4 : 3 ，根7据时间一定， 路程比等于速度之比， 所以甲行走期间乙走了 37 34 ，所以甲停留期间乙行了 4 3 3 1 ，所以 A 、 B 两点的距离为7 7 4 4607=1680 (米)．41【例 4】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是5 :4，相遇后甲的速度减少20% ，乙的速度增加 20% ．这样当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有 10 千米．那么 A、B 两地相距多少千米？【解析】两车相遇时甲走了全程的5 ，乙走了全程的94，之后甲的速度减少 20% ，乙的速度增9加20% ，此时甲、乙的速度比为5 (1 20%) : 4 (1 20%) 5: 6，所以甲到达 B 地时，乙又走了 46 8，距离 A 地 581 ，所以9 5 15 9 15 451450 (千米 )．A 、B 两地的距离为1045【例 5】早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是l5 千米．下午 4 点时小王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？【解析】从题中可以看出小王的速度比小张块．下午2 点时两人之间的距离是l5 千米．下午 3点时，两人之间的距离还是l5 千米，所以下午 2 点时小王距小张 15 千米，下午 3点时小王超过小张15 千米，可知两人的速度差是每小时30 千米．由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就可走完全程，在这 1 小时当中，小王比小张多走30 千米，那小张 3 小时走了 15 30 45 千米，故小张的速度是45 ÷3 =15 千米 /时，小王的速度是 15 ＋30 =45 千米 /时．全程是 45 ×3=135 千米，小张走完全程用了135 ＋15= 9小时，所以他是上午 10 点出发的。

了 全 程 的 詈 × 吾 ＝ ， 乙 车 距 中 点 还 有 全 程 的 吾 一 ＝ ， 由 此 可 以
求出Ａ 、 Ｂ 两地的路程是 ３ ６ ＋杀 ＝ ２ ４ ０ （ 千米） 。
【 例２ 】 从 甲地到 乙地 ， Ａ车需要 行驶 １ ０小时 ， Ｂ车 需要 行驶 ８小 时。 现
在 两车 分别从 甲、 乙两地 同时 出发 ， 相 向而行 ， 相遇 时 ， Ａ车 离 中点还 有 ３ ０
间： 追及 时 间＝速 度差 ： 速度 和 …（ １ ０ ８ ） ： （ １ ０＋ ８ ） ＝１ ： ９ 。根据 题 意可 知 ， 相
１
遇 时 间与 追及 时间的总和 是 １ ０ 分钟 ， 故可求得 相遇 时间是 １ ０ ｘ
Ｉ Ｔ
＝１ （ 分）
ｎ
钟， 追 及 时间是 １ ０ ｘ
斛 捌 浏
・ ～ 用 ， ＂ １ ４ 比例 法解 行程 问题
。
江西
文 辉
在 行程 问题 中， 如果 时间一 定 ， 那 么路程 和速度 成正 比例 ； 如 果路程 一
定， 那 么 时间和速 度成 反 比例 ； 如 果速度 一 定 ， 那么 路程 和时 间成 正 比例 。
利用这 些性 质 ， 可 以很 方便地 解答 一些较 复 杂 的行 程 问题 。
还有 ３ ０千米 ” 可知， 相遇 时 Ｂ车 比 Ａ车 多行 了 ３ ０ ｘ ２ ＝６ ０ （ 千米 ） 。所 以甲、
乙 两地相距６ ０ ＋ ￣ － ＝ ５ ４ ０ （ 千米） 。
铸
浙江 陶 云娥
在学 习 《 长方体 和 正方体 》 时， 双胞 胎 马大虎 和 马小虎 都 出现 了错误 。 现在， 让 我们 一起 来看 看他俩 错 在哪 儿 了。 【 例１ 】 一 个 长方体 由 ３个 同样 大小的正 方体拼 成 ， 如 果去掉 旁边 的一 个 正 方体 ，长方体 的表 面积 就减 少 ２ ４ ｃ ｍ 。原 长方体 的 表 面积是 多少平

一般行程问题、比和比例解决行程问题比例做行程问题速度、时间、距离，这三个量的关系：（1）时间相同，速度比=距离比 当甲乙行驶时间相同时，如果V 甲：V 乙＝3：4那么S 甲：S 乙＝3：4；（2）速度相同，时间比=距离比 当甲乙速度相同时，如果T 甲：T 乙＝3：4 那么S 甲：S 乙＝3：4（3）距离相同，速度比=时间的反比 当甲乙行驶距离相同时，如果T 甲：T 乙＝3：4 那么V 甲：V 乙＝4：3。

例：甲乙二车同时从AB 两地同时出发，相向而行，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。

两车在距离中点32千米处相遇。

求AB 两地相距多少千米？分析：这道题给了两车的速度，我们很容易得到两车的速度比。

这时我们可以用比例来做这道题。

大家要抓住三个要点：一、时间相同，速度比=距离比。

二、两车第一次迎面相遇时合走一个全程。

三、两车在距离中点处相遇，即：两车相遇时，甲比乙多走32×2=64。

解：由题意然V 甲：V 乙＝56：48=7：6即：相同时间内，甲走7份乙走6份。

两车第一次迎面相遇时合走一个全程。

我们可以把AB 之间的路程分为（7＋6）＝13份。

两车相遇时，甲比乙多走1份是32×2=。

AB 之间的路程为13份，AB 之间的路程为13×64=。

这时这道题就变得很简单了。

如果不用比例做这道题，还有别的做法吗？下面我们看以下几种做法：方法二：两车相遇时，甲比乙多走32×2=。

出现距离差属于追及问题，而这道题是相遇问题，我们可以把相遇问题转化成追及问题。

每小时甲比乙多走56－48=。

距离差÷速度差=追击时间。

64÷8=8小时。

即相遇时间为8小时。

所以相遇时间×速度和=距离和（56＋48）×8＝方法三：在行程问题中常用到列方程解应用题，大家要注意培养自己列方程解应用题的能力，这对你今后中学的学习很有帮助。

那么这道题我们就用列方程解一下。

比例法解行程问题
行程问题是指涉及速度、时间、距离等量的问题，通常可以通过比例法来解决。

假设两个物体在同一方向上行驶，速度分别为v1和v2，它们的距离为d。

我们可以利用以下公式来计算它们的行程时间t1和t2：
t1 = d/v1
t2 = d/v2
如果我们知道其中一个物体的速度和行程时间，可以通过代入公式中的变量来计算另一个物体的速度或行程时间。

例如，如果我们知道物体A的速度为v1，行程时间为t1，而物体B的速度为v2，我们可以通过以下步骤计算它们之间的距离d：
1. d = v1 × t1（物体A的行程距离）
2. d = v2 × t2（物体B的行程距离）
将步骤1和2中的d相等得到：v1 × t1 = v2 × t2
通过移项，我们可以得到以下比例关系：v1 : v2 = t2 : t1
利用这个比例关系，我们可以通过已知的速度和时间来计算未知的速度或时间。

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【课堂精练】
9. 甲乙两车分别从A、B两地出发，相向而行，出发时，甲乙的速度比是5:4， 相遇后，甲的速度减少20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。 问A、B两地相距多少千米？ A 10千米 甲 5份 4份 S甲：S乙 = 5：4 V甲现 ： 5×（1-20%）=4 V现甲：V乙 = 4：4=1：1 S： 10×（5+4）=90千米 答： A、B两地相距90千米。
t甲 ： 5×2=10分
V甲 ：2500÷10=250米/分 答：甲的速度是每分钟250米。
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【课堂精练】
1. 甲、乙两车同时从AB两地相对而行，甲、乙两车速度比7：5，相遇时距中点 12千米，AB两地相距多少千米？
S甲：S乙=7：5 甲比乙多行： 1份： 12×2=24千米 24÷（7 - 5）=12千米
=9
: 4
速度比（9×2）:（4×3） = 18 = S犬：S兔= 3 3 : : ： 12 2 2
S： 15×3=45千米
答：猎犬至少要跑45米才能追上兔子。
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Thanks And Your Slogan Here
Speaker name and title
4
【典型例题】
例2：甲、乙两车的速度比是4：7，两车同时从两地相对出发，在距中点15千 米处相遇，两地相距多少千米？ 相遇时所用时间相等 15千米
甲
4份 7份 S甲：S乙=4：7
乙
乙比甲多行：
1份：
15×2=30千米
30÷（7 - 4）=10千米
全程： 10×（7＋4）=110千米 答：两地相距110千米。
全程： 12×（7＋5）=144千米
答：两地相距144千米。