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平面弯曲内力 134 第8章 由于y ″的正负号与弯矩的正负号相同，如图8-23所示，所以上式右端应取正号，即
()
M x y E I ′′= （8.31）
上式称为挠曲线近似微分方程。
对于静定梁，弯矩可由截面法求得。
于是，求等截面直梁
的变形问题归结为求解一个二阶常微分方程。
图8-23 曲率与弯矩正负号的关系
8.6.3 积分法求梁的挠度和转角
对与等截面直梁，EI 为常量，式（8.31）可改写成
()EIy M x ′′= （8.32） 积分一次可得转角方程
()d EI EIy M x x C θ′==+∫ （8.33） 再积分一次可得挠度方程
()d d EIy M x x x Cx D =++∫∫ （8.34）
上式中的C 、D 为积分常数，可利用梁的边界条件和连续性条件确定。
8.6.4 叠加法求梁的挠度和转角
在弯曲变形很小，且材料服从胡克定律的情况下，挠曲线微分方程是线性的。
又因在很小变形前提下，计算弯矩时，用梁变形前的位置，结果弯矩与载荷的关系也是线性的。
这样梁在几个力共同作用下产生的变形（或支座反力、弯矩）将等于各个力单独作用时产生的变形（或支座反力、弯矩）的代数和。
8.7 梁的刚度计算
在工程实际中，对弯曲构件的刚度要求，就是要求其最大挠度或转角不得超过某一规定的限度，即。
当材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度、转角均与载荷成线性关系．而且弯曲变形是很小的．因此，当梁上同时作用几种载荷时，任一载荷引起的变形，不会受到其他载荷的影响，即每种载荷对弯曲变形的影响是各自独立的。
所以，几种载荷同时作用下梁的挠度和转角，等于各种载荷单独作用下挠度和转角的代数和，这就是求解弯曲变形的叠加法．当只需确定某些指定截面的挠度和转角时，应用叠加法是比较方便的．下面举例说明．例7-3 图7-8 所示简支梁，承受均布载荷q 和集中力偶M0作用，已知M0 =ql2。
试求跨度中点的挠度f c 和 A 截面的转角θA。
解：利用叠加法求解时，首先将q , M0同时作用下的简支梁( 图7 -8a ) ，分解为q 作用下的简支梁( 图7-8b) 和M0作用下的简支梁( 图7 -8c ) ，然后，由表7.1 查取结果叠加。
从表的第9 栏查得均布载荷q 作用下的中点挠度和A 端面转角分别为由表7.1 第5 栏查得集中力偶M0作用下的中点挠度和A 端面转角分别为叠加以上结果，求得q , M0 同时作用下的中点挠度和A 截面转角为f c为负值，表示挠度向下．θA为负值，表示A 截面顺时针转动．例7-4 简支梁如图7 — 10a 所示，在2a 的长度上对称地作用有均布载荷q. 试求梁中点挠度和梁端面的转角．解：利用叠加法求解。
由于简支梁上的载荷对跨度中点C 对称，故C 截面的转角应为零．因而从C 截面取出梁的一半，可将其简化为悬臂梁，如图7 — 10b 所示。
梁上作用有均布载荷q 和支座B 的反力R B = qa.这样，悬臂梁上B 端面的挠度在数值上等于原梁中点C 的挠度，但符号相反，B 端面的转角即为原梁B 端面的转角．经这样处理后，应用叠加原理求解比较方便．由表7 · 1 的第 2 栏查得，当集中力R B (=qa) 作用时( 图7 — 10c ) ，B 端面的转角和挠度分别为由表7 · 1 的第 4 栏查得，当均布载荷q 作用时( 图7 — 10d) ，E 截面的转角和挠度分别为由于EB 梁段上无载荷作用，所以q 引起 B 点的转角和挠度分别为==叠加上述结果，可得B 端面的转角和挠度分别为于是，原梁( 图7 — 10a ) 中点C 的挠度f c为例7-6 某一变截面外伸梁如图7 — 11a 所示．AB 、BC 段的抗弯刚度分别为EI1和EI2，在C 端面处受集中力P 作用，求 C 端面的挠度和转角．解：由于外伸梁是变截面的，故不能直接应用表7 ．1 中的结果．为此，必须将外伸梁分为AB 、BC 两段来研究．首先假设梁的外伸段BC 是刚性的，研究由于简支梁AB 的变形所引起的 C 截面的挠度和转角．然后，再考虑由于外伸段BC 的变形所引起的 C 截面的挠度和转角．最后将其两部分叠加，得C 截面的实际变形．由于假设BC 段为刚性，故可将P 力向简支梁AB 的 B 端简化，得P 和Pa ．P 力可由B 支座的反力平衡，不会引起简支梁的弯曲变形。
