8183定积分可积准则定积分性质

17§4 定积分的性质教学目的与教学要求：理解定积分的运算性质；熟练掌握定积分的不等式性质和积分中值定理，并掌握它们的应用；教学重点：定积分的不等式性质和积分中值定理；教学难点：可积函数乘积的可积性的证明；定积分的不等式性质和积分中值定理的应用；教学措施：可积函数乘积的可积性的证明以可积准则为工具；定积分的不等式性质和积分中值定理的应用引导学生认真分析问题的条件和结论；教学时数：3一 定积分的基本性质 1．∫+b adx x g x f )]()([βα∫=ba dx x f )(α∫+badx x g )(β．2．∫badx x f )(∫=cadx x f )(∫+bcdx x f )(．3．若)( ),(x g x f 在],[b a 可积，则)( )(x g x f 在],[b a 可积．证明 使用可积准则． 二 定积分的不等式性质4． ≤⇒≤∫badx x f x g x f )()()(∫badx x g )(．)()()()( a b M dx x f a b m M x f m b a−≤≤−⇒≤≤∫．证明 使用定积分定义．5．∫∫≤babadx x f dx x f )()(．注：性质5的逆不成立，例如 ⎩⎨⎧∉−∈=Q x Q x x f ,1 ,1)(在],[b a 不可积，但)(x f 在],[b a 可积．18例 1 设)(x f 在],[b a 连续，且0)(≥x f ，证明：⇔=∫0)( badx x f0)(≡x f ． 三 积分中值定理定理 9.7 (积分第一中值定理) 设)(x f 在],[b a 连续，则))(()( ],,[ a b c f dx x f b a c ba −=∈∃∫．证明 使用连续函数的最值定理和介值定理注 ∫−badx x f a b )(1称为)(x f 在],[b a 上的平均值．定理 9.8 (推广的积分第一中值定理) 设)( ),(x g x f 在],[b a 连续，)(x g 不变号，则)()()( ],,[ c f dx x g x f b a c ba =∈∃∫∫badx x g )(．证明 使用连续函数的最值定理和介值定理． 注 积分中值定理有更一般的形式． 例 2 求x x f sin )(=在],0[π的平均值．作业：1，3（1）（3），4，7，1019第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积 §2 由平行截面面积求体积教学目的与教学要求：掌握求平面图形的面积、求立体体积的基本方法；掌握定积分在经济学中的简单应用；教学重点：求平面图形的面积、求立体体积的基本方法； 教学难点：定积分在经济学中的应用；教学措施：定积分在几何上的应用微元法启发学生； 教学时数：2一 平面图形的面积情形1 由直线b x a x == ,，x 轴及曲线)(x f y =所围成的平面图形：dx x f S ba ∫= )(．情形2 由直线b x a x == ,，曲线)( ),(x g y x f y ==所围成的平面图形：dx x g x f S ba ∫−= )()(．类似的可以考虑关于y 的积分．例 1 求由曲线22 ,y x x y ==所围平面图形的面积． 例 2求由曲线x y x y cos ,sin ==及直线2,0π==x x 所围平面图形的面积．例 3 求)0,0( 12222>>≤+b a by a x 的面积．例 4 求由曲线12 ,12+=−=x y x y 所围平面图形的面积．20例 5 设曲线21x y −=与x 轴、y 轴所围成的区域被曲线2ax y =分成面积相等的两部分，其中0>a 为常数，求a 的值．情形3（极坐标） 设平面图形由曲线)(θρρ=及射线βθαθ== ,围成（称为曲边扇形），且βαθρ<≥ ,0)(，则其面积为θθρβαd S ∫=2)(21． 例 6 计算心形线)cos 1(θρ+=a 所围成的图形的面积． 二 立体的体积1．已知平行截面面积求立体的体积∫=badx x S V )(．例 6 求椭球0,, ,1222222>≤++c b a cz b y a x 的体积．2．旋转体的体积由曲线)( , ,x f y b x a x ===与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积 ∫=ba dx x f V 2)(π.由曲线)( , ,x f y b x a x ===与x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积 ∫=ba dx x f x V )(2π.例 7 求曲线1−=x y 上的过原点的切线与x 轴和1−=x y 所围的平面图形绕x 轴、y 轴旋转一周所得旋转体的体积．作业：2，4，5；1，2（1）（2）（3）；21§3 平面曲线的弧长与曲率§4 旋转曲面的面积教学目的与教学要求：掌握求平面曲线的弧长、求旋转曲面面积的基本方法；理解微元法的基本思想；教学重点：求平面曲线的弧长、求旋转曲面面积的基本方法； 教学难点：理解微元法的基本思想；教学措施：微元法的基本思想要注意实际问题与数学思想的结合； 教学时数：2一 平面曲线的弧长定义 1 设B A ,是曲线弧上的两个端点，在弧∧AB 上依次任取分点B M M M M A n n ==−,,,,110L ，并依次连接相邻的分点得一内接折线，当分点数无限增加且每小段i i M M 1−都缩为一点时，如果此折线长∑=−ni i i M M11的极限存在，则称此极限值为曲线弧∧AB 的弧长，并称此曲线弧为可求长的．定义 2 若曲线上每一点都存在切线，且切线随切点的移动而连续转动，则称此曲线为光滑曲线．定理 光滑曲线是可求长的．1．光滑曲线由参数方程给出：],[ ),( ),(βα∈==t t y y t x x ，则弧长为dt t y t x s ∫+=βα22)(')('．2．光滑曲线由直角坐标方程给出：],[ ),(b a x x f y ∈=，则弧长为dx x f s b a∫+= 2)('1．223．光滑曲线由极坐标方程给出：],[ ),(βαθθρρ∈=，则弧长为θθρθρβαd s ∫+= 22)()('．例 1 计算摆线]2,0[ ),cos 1( ),sin (π∈−=−=t t a y t t a x 的一拱的长度． 二 微元法如果某一实际问题中的所求量U 符合下列条件：1．U 是一个与变量x 的变化区间],[b a 有关的量；2．U 对于区间],[b a 具有可加性，即：若将区间],[b a 分为若干小区间，则U 相应地分为若干部分量，而U 等于所有部分量之和；3．部分量i U Δ的近似值可以表示为i i x f Δ)(ξ；那么就可以考虑使用定积分表示这个量U ，通常的步骤为：1）根据问题的具体情况，选取一个变量，例如x 为积分变量，并确定其变化区间],[b a ；2）设想将区间],[b a 分为n 个小区间，任选一个记为],[dx x x +，求出相应于这个小区间的部分变化量U Δ的近似值，且将U Δ近似地表示为一个连续函数)(x f 在x 的值与dx 的乘积，称dx x f )(为量U 的元素，记做dU ；3）以所求量U 的元素dx x f )(为积分表达式，在区间],[b a 上作定积分，得：dx x f U ba ∫= )(．这个方法称为微元法． 三 旋转曲面的面积设光滑曲线],[ ),(:b a x x f y C ∈=，不妨设0)(≥x f ，则C 绕x 轴23旋转一周所得曲面的面积为 π2=S dx x f x f ba∫+ 2)('1)(．若光滑曲线C 为：],[ ),( ),(b a t t y y t x x ∈==，则C 绕x 轴旋转一周所得曲面的面积为 π2=S dt t y t x t y ba∫+ 22)(')(')(．例 2 计算222R y x =+在],[],[R R b a −⊂上的弧段绕x 轴旋转一周所得曲面的面积．例 3 计算t a y t a x 33sin ,cos ==绕x 轴旋转一周所得曲面的面积．作业：1（1）（3）（5）；1（1）（2），2，3（1）§5 定积分在物理中的某些应用教学目的与教学要求：掌握计算变力沿直线所作的功、水压力和引力等的方法；教学重点：计算变力沿直线所作的功、水压力和引力等的方法； 教学难点：将物理问题转化为数学问题； 教学措施：应用微元法启发学生； 教学时数：1一 变力沿直线所作的功例 1 将一个带q +电荷量的点电荷放在r 轴上坐标原点O ，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，若一个单位正电荷放在此电场中距原点O 为r 的地方，则电场对它的作用力的大小为：2rqk F =，k 是常数，当单位正电荷在电场中从a r =沿r轴移到b r =时，计算电场力对它所作的功．24解 在],[dr r r +电场力所作的功为：dr r qkdW 2=，故dr rkq W b a ∫= 2 例 2 在底面积为S 的圆柱形容器中有一定量气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，将容器中的一个活塞（面积为S ）从点a 推倒点b ，计算在移动过程中，气体压力所作的功．解 取活塞运动的方向为x 轴，作用在活塞上的力为x kS xS k pS F ===，其中p 为压强，故在],[dx x x +的微功元素为：dx xkdW =．例 3 一圆柱形储水桶高为m 5，底面半径为m 3，桶内盛满了水试问将桶内的水全部吸出需要作多少功．解 取桶高的方向为x 轴，故在],[dx x x +的微功元素为：xdx dW ⋅⋅=238.9π．二 水压力例 4 一个横着放的水桶内盛有半桶水，设桶的底面半径为R ，水的密度为ρ，计算桶的一个底面上所受的压力．解 取铅直的方向为x 轴，故在],[dx x x +的微压力元素为：dx x R gx dP 222−=ρ． 三 引力例 5 设一长度为l 、线密度为μ的均匀细直棒，其中垂线上距棒的距离为a 处有一质量为m 的质点M ，试计算该棒对质点M 的引力．解 取y 轴为棒所在的直线，棒的中点为坐标原点，由对称性，0=y F ，又 2/322)(y a dy am G dF x +−=μ，故dy y a Gam F ll x ∫−+−=2 22/322)(μ 作业：3，4，725第十一章 反常积分§1 反常积分的概念教学目的与教学要求：理解无穷限积分收敛的概念、暇积分的概念； 教学重点：无穷限积分收敛的概念、暇积分的概念； 教学难点：暇积分的概念；教学措施：从分析定积分的必要条件和实际问题的需要两个角度引导学生理解相关的概念；教学时数：1一 实际背景1．第二宇宙速度． 2．渗漏问题．二 两类反常积分的定义1．无穷积分概念定义 1 设函数)(x f 在),[+∞a 有定义，若对任意)( ,x f a b >在],[b a 可积，则称符号dx x f a∫∞+ )(为)(x f 在),[+∞a 的无穷限积分，若极限dx x f bab ∫+∞→ )(lim存在，则称无穷积分dx x f a∫∞+ )(收敛，且称极限值为)(x f 在),[+∞a 的无穷积分值.注：类似的可以定义)(x f 在),( ],,(+∞−∞−∞b 的无穷限积分. 例 1 讨论下列无穷限积分的敛散性：（1）dx x ∫∞++ 0 211； （2）dx e x∫∞−0 ； （3）dx x ∫∞+∞− sin ； （4）dx x p ∫∞+ 1 1；2．瑕积分的概念26定义 2 设函数)(x f 在),[b a 有定义，若对任意)( ,0x f a b −<<ε在],[ε−b a 可积，又)(x f 在b x =的左邻域无界，则称b 是暇点.若极限dx x f b a∫−→+εε 0)(lim 存在，则称暇积分dx x f ba∫ )(收敛，且称极限值为)(x f 在),[b a 的暇积分值.注：类似的可以定义)(x f 以a 和),(b a c ∈为暇点的暇积分. 例 2 讨论下列无穷限积分的敛散性： （1）dx xx ∫1ln ； （2）dx x ∫−20 32)1(1； （3）dx a x ba p∫− )(1；作业：1(3)(4)(7); 2(4)(5)(8); 3; 4;§2 无穷积分的性质与收敛判别 §3 瑕积分的性质与收敛判别教学目的与教学要求：理解保号函数广义积分的比较判别法、比较判别法的极限形式；掌握保号函数广义积分的柯西判别法；理解绝对收敛和条件收敛的概念；教学重点：保号函数广义积分的柯西判别法；教学难点：保号函数广义积分的柯西判别法的应用；绝对收敛和条件收敛的概念；教学措施：保号函数广义积分的柯西判别法的应用引导学生分析函数的特点；教学时数：3一 无穷积分的性质1．收敛积分的线性性质272．敛散性的判别定理 11.2 （比较判别法) 若),[ ),()(0+∞∈≤≤a x x g x f ，且在任意区间],[b a 上可积，则dx x g a∫∞+ )(收敛dx x f a∫∞+⇒ )(收敛；dxx f a∫∞+ )(发散dx x g a∫∞+⇒ )(发散.推论 1 （比较判别法的极限形式) 若),[ ),()(0+∞∈≤≤a x x g x f ，且在任意区间],[b a 上可积，又l x g x f x =+∞→)()(lim，则 ① 当+∞<<l 0时，dx x g a∫∞+ )(收敛dx x f a∫∞+⇔)(收敛；② 当0=l 时，dx x g a∫∞+ )(收敛dx x f a∫∞+⇒ )(收敛； ③ 当+∞=l 时，dx x g a∫∞+ )(发散dx x f a∫∞+⇒ )(发散；推论 2 （柯西判别法) 若),[ ),(0+∞∈≤a x x f ，且在任意区间],[b a 上可积，又l x f x p x =+∞→)(lim ，则① +∞<≤l 0，1>p dx x f a∫∞+⇒ )(收敛；② 1 ,0≤∞≤<p l dx x f a∫∞+⇒ )(发散；例 2 判别下列积分的敛散性：（1）dx e x ∫∞+− 02； （2）dx x∫∞+ 1ln 1； 3. 绝对收敛与条件收敛定义 1 设函数)(x f 在),[+∞a 有定义，对任意)( ,x f a b >在],[b a 可积，若积分dx x f a∫∞+ )(收敛，则称无穷积分dx x f a∫∞+ )(绝对收敛.28定义 3 设函数)(x f 在),[+∞a 有定义，对任意)( ,x f a b >在],[b a 可积，若积分dx x f a∫∞+ )(收敛，积分dx x f a∫∞+ )(发散，则称无穷积分dx x f a∫∞+ )(条件收敛.例 3 判别下列积分的敛散性：（1）bxdx e x ax p sin 1∫∞+−； （2）dx xx∫∞+ 1sin ； 二 Abel 判别法与Dirichlet 判别法2．敛散性的判别定理 11.6 （比较判别法) 若),[ ),()(0b a x x g x f ∈≤≤，且在任意区间],[ε−b a 上可积，a b −<<ε0，又)(),(x g x f 在b x =的左邻域无界，则dx x g ba∫ )(收敛dx x f ba∫⇒ )(收敛；dx x f ba∫ )(发散dx x g ba∫⇒ )(发散.推论 1 （比较判别法的极限形式) 若),[ ),()(0b a x x g x f ∈≤≤，且在任意区间],[ε−b a 上可积，a b −<<ε0，又)(),(x g x f 在b x =的左邻域无界，又l x g x f bx =−→)()(lim ，则 ① 当+∞<<l 0时，dx x g b a ∫ )(收敛dx x f ba∫⇔)(收敛；② 当0=l 时，dx x g ba∫ )(收敛dx x f ba∫⇒ )(收敛； ③ 当+∞=l 时，dx x g ba∫ )(发散dx x f ba∫⇒ )(发散；推论 2 （柯西判别法) 若),[ ),(0b a x x f ∈≤，且在任意区间29],[ε−b a 上可积，a b −<<ε0，又)(x f 在b x =的左邻域无界，又l x f x b pb x =−−→)()(lim ，则 ① +∞<≤l 0，1<p dx x f ba∫⇒ )(收敛；② 1 ,0≥∞≤<p l dx x f ba∫⇒ )(发散；例 5 判别下列积分的敛散性： （1）dx x x q p ∫−10 )1(； （2）dx xx p ∫+10 )1ln(； 3. 绝对收敛与条件收敛类似于无穷限广义积分.作业：1（2）（5）（7）（10）； 1(2)（3）（5）（6）（8）；。

定积分的可积性和计算定积分是数学中的重要概念之一，它可以用于计算物理量、面积、体积等，并且也是微积分的重要部分。

在这篇文章中，我们将探讨定积分的可积性以及如何计算定积分。

一、定积分的可积性在计算定积分之前，我们需要知道一个重要的概念——可积性。

如果一个函数满足黎曼可积的条件，那么它就是可积的。

黎曼可积的定义是：如果函数 f(x) 在区间 [a,b] 上有定义，并且满足以下条件：1. 在区间 [a,b] 上有限个点 x0,x1,x2,...,xn，且 ai<=xi<=bi(i=0,1,2,...,n)；2. 在每个小区间 [xi-1,xi] 上，函数 f(x) 都是有界的；3. 左、右 Darboux 和相等，即：对区间 [a,b] 上的任意分割P，有：upper sum S(P,f)=Σⁿ_i=1(x^*_i-x^*_i-1)sup f(x)≥ lower sum L(P,f)=Σⁿ_i=1(x^*_i-x^*_i-1)inff(x)=I其中，x^*_i 是小区间 [xi-1,xi] 上的任一点。

如果函数 f(x) 满足上述条件，那么它就是可积的。

反之，如果不满足上述条件，则函数不可积。