宁夏银川一中2021高三第四次月考数学(理)(解析版)

银川一中2024届高三年级第四次月考数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{05}A xx =<<∣，104x B x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.[]1,4- B.[)1,5- C.(]0,4 D.()0,4【答案】D 【解析】【分析】由分式不等式的解法，解出集合B ，根据集合的交集运算，可得答案.【详解】由不等式104x x +≤-，则等价于()()1404x x x ⎧+-≤⎨≠⎩，解得14x -≤<，所以{}14B x x =-≤<，由{}05A x x =<<，则{}04A B x x ⋂=<<.故选：D.2.复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（）A.正数 B.负数C.实部不为零的虚数D.纯虚数【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标写出对应复数，然后判断即可.【详解】由题意可设()()0,0OZ a a =≠，所以对应复数为()i 0a a ≠，此复数为纯虚数，故选：D.3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.20B.32C.203D.323所以该几何体的体积为【答案】D 【解析】【分析】先根据几何体的三视图得出该几何体的直观图，再由几何体的特征得出几何体的体积.【详解】解：如图，根据几何体的三视图可以得出该几何体是底面为矩形的四棱锥E -ABCD ，该几何体的高为EF ，且EF =4，13224433E ABCD V -=⨯⨯⨯=，故选：D.4.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足3cos 5α=，则这块四边形木板周长的最大值为（）A.20cmB.C. D.30cm【答案】D 【解析】【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值.【详解】由题图（2)cm =.设截得的四边形木板为ABCD ，设A α∠=，AB c =，BD a =，AD b =，BC n =，CD m =，如下图所示.由3cos 5α=且0πα<<可得4sin 5α=，在ABD △中，由正弦定理得sin aα=，解得a =在ABD △中，由余弦定理，得2222cos a b c bc α=+-.，所以，()()()()222222616168055545b c b c b c bc b c b c ++=+-=+-≥+-⨯=，即()2400b c +≤，可得020b c <+≤，当且仅当10b c ==时等号成立.在BCD △中，πBCD α∠=-，由余弦定理可得()222226802cos π5a m n mn m n mn α==+--=++()()()()22224445545m n m n m n mn m n ++=+-≥+-⨯=，即()2100m n +≤，即010m n <+≤，当且仅当5m n ==时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为30cm .故选：D.5.若13α<<，24β-<<，则αβ-的取值范围是（）A.31αβ-<-<B.33αβ-<-<C.03αβ<-<D.35αβ-<-<【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质求解.【详解】∵24β-<<，∴04β≤<，40β-<-≤，又13α<<，∴33αβ-<-<，故选：B.6.已知向量(1,1)a = ，(,1)b x =- 则“()a b b +⊥”是“0x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程求得0x =或=1x -，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由向量(1,1)a = ，(,1)b x =-，可得(1,0)a b x +=+r r ，若()a b b +⊥，可得()(1)0a b b x x +⋅=+= ，解得0x =或=1x -，所以()a b b +⊥是0x =的必要不充分条件.故选：B.7.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（）A.8π-B.8π-C.16π-D.16π-【答案】A 【解析】【分析】求出正三角形的面积和弓形的面积，进而求出“莱洛三角形”的面积.【详解】正三角形的面积为21π4sin 23⨯=圆弧的长度为π4π433l =⨯=，故一个弓形的面积为18π423l ⨯-=-，故“莱洛三角形”的面积为8π38π3⎛-+=- ⎝.故选：A8.若数列{}n a 满足11a =，1121n n a a +=+，则9a =（）A.10121- B.9121- C.1021- D.921-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由递推公式可得数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，即可得到数列{}n a 的通项公式，从而得到结果.【详解】因为11a =，1121n n a a +=+，所以111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又1112a +=，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，所以112n n a +=，即121n n a =-，所以99121a =-.故选：B9.如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD ，点M ，N 分别在上、下底面圆上，2NB AN =，2CM MD =，2AB =，3BC =，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为（）A.10B.4C.5D.20【答案】D 【解析】【分析】作出异面直线AM 与CN 所成角，然后通过解三角形求得所成角的余弦值.【详解】连接,,,,DM CM AN BN BM ，设BM CN P ⋂=，则P 是BM 的中点，设Q 是AB 的中点，连接PQ ，则//PQ AM ，则NPQ ∠是异面直线AM 与CN 所成角或其补角.由于 2NB AN =， 2CMDM =，所以ππ,36BAN NBA ∠=∠=，由于2AB =，而AB 是圆柱底面圆的直径，则AN BN ⊥，所以1,AN BN ==，则122AM PQ AM ====，12CN PN CN ====，而1QN =，在三角形PQN中，由余弦定理得1010313144cos 20NPQ +-+-∠==.故选：D10.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且70a >，690a a +<则（）A.数列{}n a 为递增数列B.80a <C.n S 的最大值为8SD.140S >【答案】B 【解析】【分析】由70a >且78690a a a a +=+<，所以80a <，所以公差870d a a =-<，所以17n ≤≤时0n a >，8n ≥时0n a <，逐项分析判断即可得解.【详解】由70a >且78690a a a a +=+<，所以80a <，故B 正确；所以公差870d a a =-<，数列{}n a 为递减数列，A 错误；由0d <，70a >，80a <，所以17n ≤≤，0n a >，8n ≥时，0n a <，n S 的最大值为7S ，故C 错误；114147814()7()02a a S a a +==+<，故D 错误.故选：B11.银川一中的小组合作学习模式中，每位参与的同学都是受益者，以下这道题就是小组里最关心你成长的那位同桌给你准备的：中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑P ADE -的外接球的体积为3，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于（）A.15πB.16πC.17πD.18π【答案】C 【解析】【分析】因条件满足“墙角”模型，故可构建长方体模型求解外接球半径，利用公式即得.【详解】如图，因PA ⊥平面ABCE ，AD DE ⊥,故可以构造长方体ADEF PQRS -,易得：长方体ADEF PQRS -的外接球即鳖臑P ADE -的外接球，设球的半径为1R ，PA x =，由12PE R ==，且314π33R =,解得:1R =, 3.x =又因四边形ABCD 为正方形，阳马P ABCD -的外接球即以,,PA AB AD为三条两两垂直的棱组成的正四棱柱的外接球，设其半径为2R22R ==,解得：2172R =故阳马P ABCD -的外接球的表面积为2224π4π(17π.2R =⨯=故选：C.12.若曲线ln y x =与曲线22(0)y x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（）A.(ln 21,)--+∞B.[ln 21,)--+∞C.(ln 21,)-++∞D.[ln 21,)-++∞【答案】A 【解析】【分析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，由()ln f x x =，得1()f x x '=，所以公切线的斜率为11x ，所以公切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ，化简得111(ln 1)y x x x =⋅+-，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，由2()2(0)g x x x a x =++<，得()22g x x '=+，则公切线的斜率为222x +，所以公切线方程为22222(2)(22)()y x x a x x x -++=+-，化简得2222(1)y x x x a =+-+，所以21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，由1>0x ，得210x -<<，令2()ln(22)1(10)F x x x x =-+--<<，则1()201F x x x '=-<+，所以()F x 在(1,0)-上递减，所以()(0)ln 21F x F >=--，所以由题意得ln 21a >--，即实数a 的取值范围是(ln 21,)--+∞，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数,x y 满足约束条件4,2,4,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则2z x y =-+的最大值为________．【答案】4【解析】【分析】依题意可画出可行域，并根据目标函数的几何意义求出其最大值为4.【详解】根据题意，画出可行域如下图中阴影部分所示：易知目标函数2z x y =-+可化为2y x z =+，若要求目标函数z 的最大值，即求出2y x z =+在y 轴上的最大截距即可，易知当2y x =（图中虚线所示）平移到过点A 时，截距最大，显然()0,4A ，则max 4z =，所以2z x y =-+的最大值为4.故答案为：414.已知偶函数()f x 满足()()()422f x f x f +=+，则()2022f =__________．【答案】0【解析】【分析】由偶函数的定义和赋值法，以及找出函数的周期，然后计算即可．【详解】令2x =-，则()()()2222f f f =-+，又()()22f f -=，所以()20f =，于是()()()422f x f x f +=+化为：()()4f x f x +=，所以()f x 的周期4T =，所以()()()20225054220f f f =⨯+==．故答案为：0.15.在ABC 中，已知3AB =，4AC =，3BC =，则BA AC ⋅的值为________.【答案】8-【解析】【分析】根据数量积的定义结合余弦定理运算求解.【详解】由题意可得：cos ⋅=-⋅=-⋅∠uu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu rBA AC AB AC AB AC A22222291698222+-+-+-=-⋅⨯=-=-=-⋅AB AC BC AB AC BC AB AC AB AC ，即8BA AC ⋅=-.故答案为：8-.16.将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()f x ，已知函数()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围为__________.【答案】150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】根据函数图像平移变换，写出函数()y f x =的解析式，再由函数()y f x =在区间π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，列出不等式组求出ω的取值范围即可【详解】将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍（纵坐标不变），得到函数()πsin 4y f x x ω⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象， 函数()y f x =在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以3ππ242T ≥-，即ππ4ω≥，解得04ω<≤，①又πππ3ππ24444x ωωω+<+<+，所以πππ2π2423πππ2π442k k ωω⎧+≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得3184233k k ω-+≤≤+，②由①②可得150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，故答案为:150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1AA ，11C D 的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面1111D C B A 相交于直线l ．（1）画出直线l 的位置，保留作图痕迹，不需要说明理由；（2）求三棱锥D MNA -的体积．【答案】（1）答案见解析（2）324a 【解析】【分析】（1）延长DM 与11D A 的延长线交于E ，连接NE 即为所求；（2）根据D MNA N DAM V V --=结合三棱锥的体积公式求解出结果.【小问1详解】如图所示直线NE 即为所求：依据如下：延长DM 交11D A 的延长线于E ，连接NE ，则NE 即为直线l 的位置．11E DM D A ∈ ，E DM ∴∈⊂平面DMN ，11E D A ∈⊂平面1111D C B A ，E ∴∈平面DMN ⋂平面1111D C B A ，又由题意显然有N ∈平面DMN ⋂平面1111D C B A ，EN ∴⊂平面DMN ⋂平面1111D C B A ，则NE 即为直线l 的位置．【小问2详解】因为D MNA N DAM V V --=，所以3111112332224D MNA DAMa aa V ND S a -⨯=⨯⨯=⨯⨯= .18.已知数列{}n a 是等比数列，满足13a =，424a =，数列{}nb 满足14b =，422b =，设n n nc a b =-，且{}n c 是等差数列.（1）求数列{}n a 和{}n c 的通项公式；（2）求{}n b 的通项公式和前n 项和n T .【答案】18.13·2n n a -=，2n c n =-19.1322n n b n -=⋅+-，21332322=⋅-+-n n T n n 【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列定义求解；（2）先写出数列{}n b 的通项公式，再分组求和即可求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为13a =，34124a a q ==，所以2q =，即132n n a -=⋅，设等差数列{}n c 公差为d ，因为1111c a b =-=-，444132c a b c d =-=+=，所以1d =，即2n c n =-.【小问2详解】因为n n n c a b =-，所以n n n b a c =-,由（1）可得1322n n b n -=⋅+-，设{}n b 前n 项和为n T ，()()131242212-=⋅+++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+n n T n n 21232122n n n n -+=⋅+--21332322n n n =⋅-+-.19.为践行两会精神，关注民生问题，某市积极优化市民居住环境，进行污水排放管道建设.如图是该市的一矩形区域地块ABCD ，30m AB =，15m AD =，有关部门划定了以D 为圆心，AD 为半径的四分之一圆的地块为古树保护区.若排污管道的入口为AB 边上的点E ，出口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与古树保护区边界相切，EF 右侧的四边形BCFE 将作为绿地保护生态区. 1.732≈，长度精确到0.1m ，面积精确到20.01m ）（1）若30ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入口E 在AB 上什么位置时，生态区的面积最大?最大是多少?【答案】（1）17.3m（2）AE =2255.15m 【解析】【分析】（1）根据DH HE ⊥得Rt Rt DHE DAE ≅ ，然后利用锐角三角函数求出EF 即可；（2）设ADE θ∠=，结合锐角三角函数定义可表示,AE HF ，然后表示出面积，结合二倍角公式化简，再利用基本不等式求解.【小问1详解】设切点为H ，连结DH ，如图.15DH DA == ，DA AE ⊥，DH HE ⊥，Rt Rt DHE DAE ∴≅△△；30HDE ADE HDF ∴∠=∠=∠=︒；15tan 3015tan 3017.3m EF EH HF ∴=+=︒+︒≈.【小问2详解】设ADE θ∠=，则902EDH θ∠=︒-，15tan AE θ∴=，()15tan 902HF θ︒=-.()1111515tan 1515tan 1515tan 902222ADE DHE DHF AEFD S S S S θθθ=+=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯︒-△△△梯形 2225111tan 31225tan 225tan 225tan 2tan 222tan 44tan θθθθθθθ⎛⎫-⎛⎫=+=+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22513tan 4tan 2θθ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭，当且仅当tan 3θ=，即30θ=︒时，等号成立，30152ABCD BCFE AEFD S S S ∴=-=⨯-梯形梯形矩形，15tan AE θ∴==时，生态区即梯形BCEF 的面积最大，最大面积为2450255.15m 2-≈.20.已知向量()π2cos ,cos21,sin ,16a x x b x ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设函数()1,R 2f x a b x =⋅+∈ .（1）求函数()f x 的解析式及其单调递增区间；（2）将()f x 图象向左平移π4个单位长度得到()g x 图象，若方程()21g x n -=在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解12,x x ，求实数n 的取值范围，并求()12sin2x x +的值.【答案】（1）()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）实数n的取值范围是)1,1-，()12sin22x x +=【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换的公式化简即可;（2）利用函数的平移求出()g x 的解析式，然后利用三角函数的图像和性质求解即可.【小问1详解】由题意可知()1π1112cos sin cos212cos sin cos cos2262222f x a b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅+--+=⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos211cos cos cos2=sin2cos22222x x x x x x x +=⋅+--+--1πsin2cos2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()πsin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤-≤+∈，可得ππππ,Z 63k x k k -+≤≤+∈，∴函数()f x 的单调增区间为()πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】()ππππsin 2sin 24463g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，πππ2π22π,Z 232k x k k -+<+<+∈ ，得5ππππ,Z 1212k x k k -+<<+∈，()πsin 23g x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在区间()5πππ,πZ 1212k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，同理可求得()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()π7ππ,πZ 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上单调递减，且()g x 的图象关于直线ππ,Z 122k x k =+∈对称，方程()21g x n -=，即()12n g x +=，∴当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()12n g x +=有两个不同的解12,x x ，由()g x 单调性知，()g x 在区间π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()πππ0,1,,261222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当31122n +≤<时，方程()12n g x +=有两个不同的解12,,x x11n -≤<，实数n 的取值范围是)1,1-.又()g x 的图象关于直线π12x =对称，12π212x x +∴=，即()1212π3,sin262x x x x +=∴+=.21.已知函数()ln 1,R f x x ax a =-+∈.（1）若0x ∃>，使得()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：对任意的2222*22221223341N ,e,e 112233k k k k k+++++∈⨯⨯⨯⨯<++++ 为自然对数的底数.【答案】（1）1a ≤；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）变形不等式()0f x ≥，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得.（2）由（1）的信息可得ln 1(1)x x x <->，令221(N )x k k k k k*+∈+=+，再利用不等式性质、对数运算、数列求和推理即得.【小问1详解】函数()ln 1f x x ax =-+，则不等式()ln 10ln 1x f x ax x a x +≥⇔≤+⇔≤，令ln 1()x g x x+=，求导得2ln ()xg x x'=-，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 递增，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 递减，因此当1x =时，max ()1g x =，依题意，1a ≤，所以实数a 的取值范围是1a ≤.【小问2详解】由（1）知，当1x >时，()(1)g x g <，即当1x >时，ln 1x x <-，而当N k *∈时，222111111()11k k k k k k k k ++=+=+->+++，因此2211111ln 1()111k k k k k k k k ++<+--=-+++，于是222222221223341ln ln ln ln 112233k k k k +++++++++++++ 11111111(1)()()()112233411k k k <-+-+-++-=-<++ ，即有222222*********ln()1112233k k k k +++++⨯⨯⨯⨯<++++ ，所以222222*********e 112233k k k k+++++⨯⨯⨯⨯<++++ .【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义区间为D ，(1)若x D ∀∈，总有()m f x <成立，则min ()m f x <；(2)若x D ∀∈，总有()m f x >成立，则max ()m f x >；(3)若x D ∃∈，使得()m f x <成立，则max ()m f x <；(4)若x D ∃∈，使得()m f x >成立，则min ()m f x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为33x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()2π3θρ=∈R ．（1）求C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 是C 上的一点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【答案】（1）C 的普通方程2212x y -=；直线l0y +=（2【解析】【分析】（1）利用消参法求C 的普通方程，根据极坐标可知直线l 表示过坐标原点O ，倾斜角为2π3的直线，进而可得斜率和直线方程；（2）设33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，利用点到直线的距离结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为曲线C 的参数方程为33x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），两式平方相减得22223312x y t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 的普通方程2212x y -=；又因为直线l 的极坐标方程为()2π3θρ=∈R ，表示过坐标原点O ，倾斜角为2π3的直线，可得直线l的斜率2πtan 3k ==，所以直线l的直角坐标方程y =0y +=.【小问2详解】由题意可设33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设点33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭到直线l0y +=的距离为d ，则d =当且仅当))311t t+=，即(232t=-时，等号成立，所以点P 到直线l .【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()22f x x x =-++.（1）求不等式()24f x x ≥+的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥.【答案】（1）(,0]-∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分<2x -、22x -≤≤和2x >三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得()f x 的最小值，再利用基本不等式可证得所证不等式成立.【小问1详解】由题意可知：2,2()224,222,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，①当<2x -时，不等式即为224x x -≥+，解得1x ≤-，所以<2x -；②当22x -≤≤时，不等式即为424x ≥+，解得0x ≤，所以20x -≤≤；③当2x >时，不等式即为224x x ≥+，无解，即x ∈∅；综上所示：不等式()24f x x ≥+的解集为(,0]-∞.【小问2详解】由绝对值不等式的性质可得：()22(2)(2)4=-++≥--+=f x x x x x ，当且仅当22x -≤≤时，等号成立，所以()f x 取最小值4，即4k =，可得()4+=a b c ，即4ab ac +=，所以()()22222222228a b c a bac ab ac ++=+++≥+=当且仅当22224ab ac a b b c +=⎧⎪=⎨⎪=⎩，即a b c ===时，等号成立.。

银川一中2014届高三年级第四次月考数 学 试 卷（理）命题人：尹向阳、尹秀香第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数i ii z (1)1(2+-=为虚数单位)的虚部为 A ．1 B. -1 C. 1± D. 02．设集合{}312|A ≤-=x x ，集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域，则=⋂B A A ．)2,1( B. ]2,1[ C. )2,1[D. ]2,1(3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，3513,2a a a ==,则=9S.A 72- .B 54- .C 54 .D 724．设a 为实数，函数x a ax x x f )3()(23-++=的导函数为)(x f '，且)(x f '是偶函数，则曲线：)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为 A. 0169=--y x B. 0169=-+y x C. 0126=--y x D. 0126=-+y x5．已知幂函数)(x f y =的图像过点()2,4，令)()1(n f n f a n ++=，+∈N n ，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n S ，则n S =10时，n 的值是A. 110B. 120C. 130D. 1406．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，点E 为BC 的中点， 点F 在边CD 上，若2=⋅，则⋅的值是A.2 B. 2 C. 0 D. 17．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,2A ϕ><） 的部分图象如右图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象， 则只需将()f x 的图象 A. 向右平移π6个长度单位 B. 向右平移π12个长度单位 C. 向左平移π6个长度单位 D. 向左平移π12个长度单位 8．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12）成立，则a 的取值范围是A．0≥a B．2-≤a C．25-≥a D．3-≤a9．若54cos-=α，α是第三象限的角，则2tan12tan1αα-+等于A．21- B.21C. -2D. 210．函数lnx xx xe eye e---=+的图象大致为A. B. C. D.11．若函数)0,0(1)(>>-=baebxf ax的图象在0x=处的切线与圆221x y+=相切，则a b+的最大值是A．4 B.2 C.2 212．定义域为R的偶函数)(xf满足对x R∀∈，有)1()()2(fxfxf-=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=xxxf，若函数)1|(|log)(+-=xxfya在),0(+∞上至少有三个零点，则a的取值范围是A．)22,0(B．)33,0(C．)55,0(D．)66,0(第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设变量yx,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥4341yxyxx，则目标函数yxz-=3的最大值为.14．已知数列{}n a的前n项和为2nS n=，某三角形三边之比为234::a a a，则该三角形最大角为_____________.15．设函数)0(2)(>+=xxxxf，观察：2)()(1+==xxxfxf，43))(()(12+==xxxffxf，87))(()(23+==x xx f f x f ，……根据以上事实，由归纳推理可得：当2≥∈*n N n 且时，==-))(()(1x f f x f n n .16．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21nnS a nn=⨯+（其中n S 为{}n a 的前n 项和）,则=+)()(65a f a f .三、解答题:本大题共5小题，共计70分。

宁夏银川市宁大附中2021届高三数学上学期第四次月考试题 文（含解析）一.选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{1A x x ≤=-或}1x ≥，集合{}01B x x =<<，则（ ） A. {}1A B ⋂=B. RA B A ⋂=C.()(]R0,1A B ⋂=D.A B =R【答案】B 【解析】1B ∉ 故A 错；{}R 01B x x x =≤≥或 故B 正确； ()(]R 0,1A B ⋂≠ ；R A B ⋃≠；故选B.2.若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A.12B. 12-C.12i D. 12i -【答案】A 【解析】 【分析】由()1i z i +=得1z ii=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部.【详解】因为(1)i z i +=,所以22(1)1111(1)(1)11221i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-, 所以复数z 的虚部为12. 故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算. 3.命题：“00x ∃>，使()0021x x a ->”，这个命题的否定是()A. 0x ∀>，使()21xx a ->B. 0x ∀>，使()21xx a -≤C. 0x ∀≤，使()21xx a -≤D. 0x ∀≤，使()21xx a ->【答案】B 【解析】试题分析：由已知，命题的否定为0x ∀>，2(1xx a ⋅-≤使），故选B. 考点：逻辑问题中的特称命题的否定【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x∈M，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题.4.已知向量()2,1a =，()0,1b =-，(),3c k =.若()()2//a b b c -+，则k 的值为（ ） A. 83B. 2C. 1-D.43【答案】A 【解析】 【分析】分别求出2,a b b c -+的坐标，根据平行向量的坐标关系，即可求解 【详解】()()(),3,2(4,3)2,1,,01),2,(,c k a a b b c k b =-=+===-，()()82//,830,3a b b c k k -+∴-==.故选:A.【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记公式是解题的关键，属于基础题.5.等比数列{}n a 不具有单调性，且5a 是4a 和33a 的等差中项，则数列{}n a 的公比q =（ ） A. 1- B. 32-C. 1D.32【答案】A 【解析】 【分析】根据已知结合等差中项的定义，建立关于q 的方程，即可求解.【详解】等比数列{}n a 不具有单调性，1q =或0q <，5a 是4a 和33a 的等差中项，所以54323a a a =+， 2230,1q q q --=∴=-或32q =（舍去）.故选:A.【点睛】本题考查等差中项、等比数列通项基本量的计算，属于基础题. 6.一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧面积为（ ）A. 123B. 24C. 123+D. 2423+【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，利用侧面积公式，即可求解.【详解】由题意，根据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，所以该正三棱柱的侧面积为23424S cl ==⨯⨯=，故选B. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.7.甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是（ ） A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D 【解析】 【分析】依次假设甲、乙、丙、丁四人获奖，并根据题意只有一句是对的，可判断谁获奖，即可得出结论.【详解】若甲获奖，则这四个说的四句话都是错的，不合题意； 若乙获奖，则甲、乙、丁三人说的话是对的，不合题意； 若丙获奖，则甲、丙两人说的话是对的，不合题意； 若丁获奖，则只有乙说的是对的，符合题意， 所以获奖同学是丁. 故选:D.【点睛】本题考查合情推理，考查逻辑推理能力，属于基础题. 8.||4cos x y x e =-图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在(0,)+∞上的单调性即可得出结论． 【详解】显然||4cos x y x e =-是偶函数，图象关于y 轴对称，当0x >时，4si (4si n n )x xy x x e e =-'+=--， 显然当(]0,x π∈时，0y '<，当(,)x π∈+∞时，34x e e e π>>>，而4sin 4x ≥-， 所以(4sin )0xy x e -+'<=，∴(4sin )0xy x e -+'<=在(0,)+∞上恒成立， ∴||4cos x y x e =-在(0,)+∞上单调递减． 故选D ．【点睛】本题考查了函数图象的识别，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．9.在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】C 【解析】 【分析】由条件可看出11AB A B ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角，可证得三角形1BAC 中，1AB BC ⊥，解得1tan BAC ∠，从而得出异面直线1AC 与11A B 所成的角． 【详解】连接1AC ，1BC ，如图：又11AB A B ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角.因为AB BC ⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1AB CC ⊥，∴AB ⊥面11BCC B ， ∴1AB BC ⊥，又2AB BC ==，1CC =1BC ==∴1tan BAC ∠160BAC ∠=︒. 故选C【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.若函数()31y x ax a R =++∈在区间()3,2--上单调递减，则a 的取值范围是 （）A. [)1,∞+B. [)2,0-C. (],3∞-- D.(],27∞--【答案】D 【解析】 【分析】由 2'30y x a =+≤在区间()3,2--上恒成立，结合二次函数的性质即可求解．【详解】解：()31y x ax a R =++∈在区间 ()3,2--上单调递减，2'30y x a ∴=+≤在区间 ()3,2--上恒成立，即 23a x ≤-在区间 ()3,2--上恒成立，()2327,12x -∈--，27a ∴≤-．故选：D ．【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，是基础题. 11.已知0,0a b >>，若不等式313na b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ） A. 9 B. 12C. 16D. 20【答案】C 【解析】 【分析】可左右同乘3a b +，再结合基本不等式求解即可【详解】0,0a b >>，()313133n a b n a b a b a b ⎛⎫+≥⇔++≥ ⎪+⎝⎭，()31333911016b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故16n ≤ 故选C【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题 12.定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数()f x '，满足()()f x f x '<，且()02f =，则不等式()2xf x e >的解集为（ ）A. (),0-∞B. (),2-∞C. ()0,∞+D. ()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()()x f x g x e=，利用导数可判断出函数()y g x =为R 上的增函数，并将所求不等式化为()()0g x g >，利用单调性可解出该不等式. 【详解】构造函数()()xf xg x e=，()()()0x f x f x g x e '-'∴=>， 所以，函数()y g x =为R 上的增函数，由()02f =，则()()0002f g e ==，()2xf x e >，可得()2xf x e>，即()()0g x g >， 0x ∴>，因此，不等式()2xf x e >的解集为()0,∞+.故选：C.【点睛】本题考查函数不等式的求解，通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 二.填空题（每小题5分，共20分）13.已知数列{n a }为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S =_________.【答案】55 【解析】()()111626755a d a d a d a +-+=+==，1111161111552a a S a +=⋅==. 14.设函数()3ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________． 【答案】750x y --= 【解析】 【分析】先求函数()f x 的导函数()'fx ，再由导数的几何意义，求()'17f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】解：因为()3ln 2f x x x x =+，所以()'2ln 16fx x x =++，则()'21ln11617f =++⨯=，即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=， 故答案为750x y --=.【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能力，属基础题.15.设变量x ，y 满足约束条件23602y x x y y ≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则z 2x y =-的最小值为________.【答案】83- 【解析】 【分析】做出满足不等式组的可行域，根据图形求出目标函数的最小值.【详解】做出可行域如下图所示，当z 2x y =-过点A 时，取得最小值，联立2360yx y=⎧⎨+-=⎩，解得432xy⎧=⎪⎨⎪=⎩，即4(,2)3A，所以z2x y=-的最小值为83-.故答案为:83-.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.16.四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA⊥平面ABCD，PA=5，则该球的表面积为．【答案】50π【解析】解：把四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球是长方体的外接球，∵长方体的对角线长等于球的直径，∴2R==5，∴R=，外接球的表面积S=4πR2=50π．故答案为50π．【点评】本题考查了棱锥的外接球的表面积的求法，利用长方体的对角线长等于球的直径求得外接球的半径是解答此题的关键．三.解答题17.已知数列{}n a中，12n na a+-=且1239a a a++=．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}2nn a +的前n 项和nS．【答案】(1) 21n a n =- (2) 2122n n S n +=+-【解析】 【分析】（1）由题设基本信息结合通项公式即可求解；（2）()2212nnn a n +=-+，分别求解等差数列与等比数列的前n 项和即可【详解】解：（1）12n n a a +-=，∴等差数列{}n a 的公差为2，()()1231111222369a a a a a a a ∴++=++++⨯=+=，解得11a =，因此，()12121n a n n =+-=-； （2）()2212nnn a n ∴+=-+，()()()123123232(21)2nn S n ⎡⎤=+++++++-+⎣⎦()123[135(21)]2222n n =++++-+++++，()21212(121)22212nn n n n +-+-=+=+--，因此，2122n n S n +=+-．【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，数列分项求和，属于基础题 18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知sin()sin 03b Cc B π--=.（1）求角C 的值；（2）若4a =，c =ABC ∆的面积. 【答案】（1）23C π=；（2）【解析】 【分析】（1）用正弦定理边化角，利用两角差正弦，求出C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解；（2）利用余弦定理，建立b 的方程，再由面积公式，即可求解. 【详解】（1）13sin()sin 0,sin (sin cos )sin sin 32b C c B B C C C B π--=-=， 130,sin 0,sin cos ,tan 322B BC C C π<<∴≠=-=-，20,3C C ππ<<∴=； （2）由余弦定理可得2222282cos 416c b a ab C b b ==+-=++，24120b b +-=解得2b =或6b =-（舍去）， 113sin 422322S ab C ==⨯⨯⨯=， ABC ∆∴的面积为23.【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式、正弦定理与余弦定理的应用、三角函数的面积公式，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.19.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ； （2）平面//EFG 平面11BDD B . 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合几何体，因为,E G 分别是,BC SC 的中点，所以//EG SB .，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由,F G 分别是,DC SC 的中点，得//FG SD .由线面平行的判定定理//FG 平面11BDD B .，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明.【详解】证明： （1）如图，连接SB ，,E G 分别是,BC SC 的中点，//EG SB ∴.又SB ⊂平面11,BDD B EG ⊄平面11BDD B ，所以直线//EG 平面11BDD B . （2）连接,,SD F G 分别是,DC SC 的中点，//FG SD ∴.又∵SD ⊂平面11,BDD B FG ⊄平面11,BDD B//FG ∴平面11BDD B .又EG ⊂平面,EFG FG ⊂平面,EFG EG FG G ⋂=， ∴平面//EFG 平面11BDD B .【点睛】本题主要考查了线面平行，面面平行判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，点E 、F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求点A 到平面PEC 的距离. 【答案】（1）见解析；（2）30d =. 【解析】【试题分析】(1) 取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，通过证明四边形AEQF 为平行四边形,得到//AF EQ ,由此证得//AF 平面PEC .(2)利用等体积法,通过A PEC P AEC V V --=建立方程,由此求得点到面的距离.【详解】（1）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ， 由题意，//FQ DC 且12FQ CD =，//AE CD 且12AE CD =， 故//AE FQ 且AE FQ =，所以，四边形AEQF 为平行四边形， 所以，//AF EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， 所以，//AF 平面PEC .（2）设点A 到平面PEC 的距离为d . 由题意知在EBC ∆中，222cos EC EB BC EB BC EBC =+-⋅⋅∠11421272=++⨯⨯⨯= PDE ∆中227PE PD DE =+=在PDC ∆中2222PC PD CD =+=故EQ PC ⊥，5EQ AF ==，1225102PEC S ∆=⨯⨯=，131322AEC S ∆=⨯⨯=， 所以由A PEC P AEC V V --=得：113102332d ⋅=⋅⋅， 解得3010d =.21.已知函数()xf x e ax =-（e 为自然对数的底数）.（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，()f x mx <在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 单调递增区间是(ln 2,)+∞，单调递减区间是(,ln 2)-∞；（2）1m e >-. 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，解不等式()0,()0f x f x ''><，即可求出结论；（2）由已知求出a ，通过函数有解，分离参数，构造函数，利用新函数的最值转化求解即可. 【详解】（1）(),()xxf x e ax f x e a '=-=-，当0a >时，()0,ln ,()0,ln f x x a f x x a ''>><<，()f x 单调递增区间是(ln ,)a +∞，单调递减区间是(,ln )a -∞，当2a =时，()f x 单调递增区间是(ln 2,)+∞，递减区间是(,ln 2)-∞； （2）当0a ≤时，()0,()f x f x '>在(,)-∞+∞单调递增， 无极值不合题意，当0a >时，由（1）可得ln x a =取得极小值， 函数()f x 在0x =处取得极小值，1a1(),[,2]2x f x e x mx x =-<∈有解，1x e m x ∴>-，设1()1,[,2]2x e g x x x =-∈不等式在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，min ()m g x ∴>，22(1)()x x x e x e e x g x x x--'==， 当1()0,1,()0,122g x x g x x ''<<<><<， ()g x ∴在1(,1)2单调递减，在(1,2)单调递增，1,()x g x =取得极小值，也是最小值为(1)1g e =-，1m e ∴>-.【点睛】本题考查函数的单调性、不等式能成立问题，应用导数求函数的单调性、极值最值，属于中档题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极，z 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点()0M ，1．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的值．【答案】(Ⅰ) 曲线C 的普通方程()2224x y -+=，直线l 的直角坐标方程10x y +-=；(Ⅱ)1【解析】【分析】（I ）利用22sin cos 1αα+=消去参数α，求得曲线C 的普通方程.利用sin ,cos y x ρθρθ==，求得直线l 的直角坐标方程.（II ）写出直线l的参数方程，根据参数的几何意义，求得MA MB ⋅.【详解】（I ）曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），消去参数可得曲线C 的普通方程为()2224x y -+=， 直线l 极坐标方程为sin()42πρθ+=，即sin cos 10ρθρθ+-=，所以直线l 的直角坐标方程10x y +-=.（II ）直线l 过点()0,1M ，倾斜角为3π4，所以直线的参数方程为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入()2224x y -+=，化简得210t ++=，则12t t +=-121t t =， 设1||MA t =，2||MB t =，所以121MA MB t t ⋅=⋅=【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程的运用，属于中档题.。

银川一中2021届高三班级第四次月考数 学 试 卷（理）命题人：张德萍第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R ，(-2){|2<1},B={x|y=ln(1-x)},x x A x =则右图中阴影．．部分表示的集合为 A ．{x|x 1}≥ B ．{x|12}x ≤< C. {x|0<1}x ≤ D ．{x|1}x ≤2．若复数()()2321iaa a -++-是纯虚数,则实数a 的值为 A ．2B ．1C ．2-D ．1或23．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则“α∥β”是“l ⊥m”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件4．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线20x y -=上， 则3πsin()cos(π-)2πsin()sin(π-)2θθθθ++=-- A ．0 B ．-2C ．2D ．235．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为A ．15B ．3215C ．303D ．153 6．设,z x y =+其中实数,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大值为12，则z 的最小值为A ．3-B ．6-C ．3D ．67．已知向量a ，b 满足｜a ｜＝1，a ⊥b ，则a －2b 在a 方向上的投影为 A ．1 B ．77 C ．－1 D ．778．如图所示为函数π()2sin()(0,0)2f x x ωϕωϕ=+>≤≤的部分图像，其中A ，B 两点之间的距离为5， 那么(1)f -=A ．1B 3C ．3D ．-19．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是 A ．25 B ．42 C.29 1310．已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+,若存在两项,m n a a 1144,m n a a a m n=+则的最小值为 A ．32 B ． 53C.94D ．9 11．已知C 90∠AB =，PA ⊥平面C AB ，若C 1PA =AB =B =，则四周体C PAB 的外接球（顶点都在球面上）的表面积为A ．πB 3πC ．2πD ．3π12. 设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，'()()f x f x 是的导函数，当[]0,πx ∈时，0()1f x <<；当(0,π)x ∈且π2x ≠时，π()'()02x f x -<， 则方程()cos f x x =在[]2π,2π-上的根的个数为 A ．2B ．4C ．5D ．8第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必需做答．第22题～第23题为选考题，考生依据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数()f x =4log ,03,0x x x x >⎧⎨≤⎩，则1[()]16f f = .14．在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在凸四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在凸五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立，…，依此类推，在凸n 边形n A A A 21中，不等式12111nA A A +++≥__ ___成立． 15．已知函数x x x f 3)(3+=对任意的0)()2(],2,2[<+--∈x f mx f m 恒成立，则∈x .A BUCB A16．已知0(21)nn a x dx =+⎰，数列｛1n a ｝的前n 项和为S n ,数列{b n }的通项公式为n b =n-8,则n n b S 的最小值为_____.三、解答题：本大题共6小题，共70分。

第4单元 生活告诉自己“我能行” 第7课 做自尊自信的人 第1框 做人要自尊 1.了解自尊及其表现，明确自尊的重要性，掌握赢得自尊的途径和方法,并能时刻用正确的言行维护自己的人格和国家的国格，做一个有自尊的人。

2.提高自己自强自立的能力，能用行动为自己赢得自尊。

3.初步认同自尊自信是积极、健康的心理品质，能将自己的行为与之进行对照，能够从典型的事例中受到感染和启发，树立培养自己正确自尊心和充分自信心的意识。

? 板块一:自尊无价 寒假里，我和同学到福利院去帮助孤寡老人，受到了老人们的赞扬，心里美滋滋的。

在公共场所，我会约束自己的行为，注意自己的形象。

有人当众叫我的绰号，我很恼怒。

我在学习有了很大进步，希望老师表扬我。

如果老师让我在校会上发言，我会穿戴得整整齐齐，并做好充分的准备。

自己有过类似的经历和感受吗？ 描述一下自己在哪些场合有着强烈的自尊心？ 在家里，父母们常常告诫孩子要有自尊心；在学校，老师们常常教育学生要自尊、自爱；在生活中，我们也常常听到人们议论，说某人自尊心太强等等。

可见，自尊是一种很常见的心理现象。

那么，究竟什么是自尊呢？ 自尊是一种健康良好的心理状态。

完成下列句子 如果下周一我代表全校学生做国旗下讲话，我会在衣着上穿得____。

在学生阅览室，我会遵守秩序、保持安静，是因为____。

班主任老师当着全班同学的面批评我时，我会觉得___。

当我考试不及格，受到同学的嘲笑时，我会觉得____。

有人给我起难听的外号，并当众取笑时，我会觉得___。

“士可杀而不可辱”说明的道理是________。

自尊的表现之一 人人都有自己的尊严，并注意维护。

因此，人们在容貌、衣着上修饰自己，在言行举止上约束自己，不容许别人的歧视与侮辱。

这体现了自我尊重和爱护。

遇到下列情形时，你会怎样呢？为什么? 当我的建议被老师采纳的时候，我会觉得_____。

当我期末考试成绩名列前茅的时候，我希望___。

银川一中2021届高三年级第四次月考理 科 数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}23404135A x x x B =--<=-，，，，，则A B ⋂= A ．{}-41，B ．{}15，C ．{}35，D ．{}13，2．设312iz i-=+，则z = A ．2B 3C 2D ．13．若平面上单位向量,a b 满足3+=2a b b ⋅（），则向量,a b 的夹角为 A ．6π B ．3π C ．2πD ．π4．已知直线l 是平面α和平面β的交线，异面直线a ，b 分别在平面α和平面β内． 命题p ：直线a ，b 中至多有一条与直线l 相交； 命题q ：直线a ，b 中至少有一条与直线l 相交； 命题s ：直线a ，b 都不与直线l 相交． 则下列命题中是真命题的为 A ．p q ∨⌝B ．p s ⌝∧C ．q s ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝5．如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为),1,0(),1,(),1,(),1,0(D C B A ππ--正弦曲线()sin f x x =和余弦曲线()cos g x x =在矩形ABCD内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点 落在阴影区域内的概率是 A 12+ B 12+ C ．1πD ．12π6．函数()2sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，的部分图象如图所示，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．26-B ．3 C ．22 D ．2-27．设2222tan121cos 48cos 12-sin 121-tan 122a b c -===，，，则有 A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<8．已知函数()2121x x f x -+＝，若不等式()()22120f a a m f a --+-<对任意的[]-14a ∈，均成立，则m 的取值不可能是 A ．9B ．8C ．7D ．69．已知函数()3sin ()f x x x x R +∈＝，函数()g x 满足()()20()g x g x x R +-=∈，若函数()()()1-h x f x g x -＝恰有2021个零点，则所有这些零点之和为 A ．2018B ．2019C ．2020D ．202110．公元四世纪的古希腊数学家佩波斯提出：蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代表．他猜想人们所见到的截面呈六边形的蜂巢，是蜜蛑采用最少量的蝉蜡建造而成的．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的顶点称为“晶格点”， 重复的算作一个“晶格点”，已知第一行有1个六边形，第二行有 2个六边形，每行比上一行多一个六边形六边形均相同，设图 中前n 行晶格点数n b 满足+1-=25,n n b b n n N *+∈，则10=bA ．101B ．123C ．141D ．15011．已知函数()32(4)4,0,0x x a x a x f x a x ⎧+-+->⎪⎨≤⎪⎩＝是单调递增函数，则实数a 的取值范围是A ．(12)，B ．(]13，C ．[]23，D ．[)3+∞，12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误．．的个数是 (1)AC BE ⊥．(2)若P 为1AA 上的一点，则P 到平面BEF 的距离为22． (3)三棱锥-A BEF 的体积为定值．(4)在空间与1DD ，AC ，11B C 都相交的直线有无数条．(5)过1CC 的中点与直线1AC 所成角为40并且与平面BEF 所成角为50的直线有2条． A ．0B ．1C ． 2D ．3二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若1=1a ，且1233,2,S S S 成等差数列，则4=a ___． 14．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(cos sin )3b a C C =+，3a =，1c =，则角C ______．15．已知矩形ABCD 中，2,B 3,AB C E ==是CD 边的中点．现以AE 为折痕将ADE ∆ 折起，当三棱锥D ABE -的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为______． 16．函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当1x >时，()=ln xf x x， 若()()2-240fx mf x m +=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

2021届宁夏银川一中高三四模数学（理）试题一、单选题1．集合1(,)|2xP x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2(,)2Q x y y x ==-+∣，则集合P ∩Q 的真子集个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D思路：画出12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和22y x =-+的函数图象，根据交点个数可判断.解：画出12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和22y x =-+的函数图象，由图可知两函数有两个交点， 则集合P ∩Q 中有2个元素，则集合P ∩Q 的真子集有2213-=个. 故选：D.2．已知复数202111i z i-=+，则z 的虚部是（ ）A ．1-B ．i -C ．1D ．i答案：C思路：求出z ，即可得出z ，求出虚部. 解：()()()220211i 1i i 1i 1i 1i z --===-++-，i z ∴=，其虚部是1.故选：C.3．已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，前n 项和为n S ，满足4325a a =+，则9S =（ ） A ．35 B ．40C ．45D ．50答案：C思路：根据等差数列的通项公式，结合等差数列前n 项和公式、等差数列的下标性质进行求解即可. 解：∵4325a a =+， ∴()55225a d a d -=-+， ∴55a =， ∴()199********a a S a +===⨯=，故选：C ．4．设直线l 1：2x ﹣my ＝1，l 2：（m ﹣1）x ﹣y ＝1，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A思路：根据直线平行求得m 的值，即可判断. 解：若12l l //，则2111mm -=≠--，解得1m =-或2， “2m =”是“1m =-或2”的充分不必要条件，∴“m ＝2”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件.故选：A.5．已知(1,3)a =，||3b =，|2|42a b +=，记a 与b 夹角为θ，则cos 22πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为（ ）A ．79-B ．C ．79D 答案：D思路：由|2|42a b +=平方可求得2a b ⋅=-，即可求得cos ,sin θθ，进而可化简求出. 解：(1,3).2a a =∴=，|2|42a b +=，222|2|4432a b a a b b +=+=∴⋅+，即444932a b +⋅+⨯=，则2a b ⋅=-21cos 233a b a bθ⋅-∴===-⨯⋅，则222sin 1cos 3θθ=-= 则22142cos 2sin 22sin cos 22339πθθθθ⎛⎫⎛⎫+=-=-=-⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D.6．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（ ）A ．12B ．38C ．13D ．23答案：B思路：根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.解：依题有，算盘所表示的数可能有：17，26，8，35，62，71，80，53，其中是质数的有：17，71，53，故所求事件的概率为38P =． 故选：B7．苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin ）研究出了著名的Maclaurin 级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：2341ln(1)(1)234nn x x x x x x n-+=-+-++-+，试根据此公式估计下面代数式122424(2)2(1)(5)353nn n n-+-++-+≥的近似值为（ ）（可能用到数值ln2.414＝0.881，ln3.414＝1.23） A ．3.23 B ．2.881C ．1.881D ．1.23答案：B思路：利用赋值法求得所求表达式的值.解：依题意2341ln(1)(1)234nn x x x x x x n-+=-+-++-+，令2x =，则()()()122224428ln 122123456nn n-+=-+-+-++-⋅+，()()()1222424ln 12221353nn n-++=++-++-⋅+，()ln 122ln 2.4142 2.881++≈+=.故选：B8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3π8B ．π4C ．5π24D ．7π24答案：D思路：首先确定该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积的14，下方挖去半个球，根据尺寸计算即可.解：观察三视图发现：该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即14，下方挖去半个球，故几何体的体积为：22311114172224223224V ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：D.点评：方法点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，由三视图画出直观图的步骤和思考方法：①首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；②观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③画出整体，然后再根据三视图进行调整. 9．若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是 A ．（﹣∞，0] B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）答案：D思路：f (x )在(1,+∞)上存在单调递增区间,等价于()'f x >0在(1,+∞)上有解.因此结合()'f x 的单调性求出其在(1,+∞)上的最值,即可得出结论. 解：f (x )321132x x =-++2ax 在(1,+∞)上存在单调递增区间, 只需()'f x >0在(1,+∞)上有解即可.由已知得2()2f x x x a '=-++,该函数开口向下,对称轴为12x =, 故()'f x 在(1,+∞)上递减, 所以(1)f '=2a >0,解得a >0. 故选:D.点评：本题主要考查了函数单调性的应用,难度不大.10．设A ，B 是椭圆22:13x y C m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1]B ．（0，1]∪[3，+∞）C ．（0，1]∪[9，+∞）D ．[9，+∞） 答案：C思路：可得当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆上存在点M 满足120AMB ∠=，则此时120AMB ∠≥，则60AMO ∠≥，讨论焦点在x 轴和在y 轴上两种情况即可求解. 解：若椭圆焦点在x 轴上，即03m <<时，则当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值， 要使椭圆上存在点M 满足120AMB ∠=，则此时120AMB ∠≥，则60AMO ∠≥，则tan tan 603AMO ∠=≥=01m <≤； 若椭圆焦点在y 轴上，即3m >时，则当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值， 要使椭圆上存在点M 满足120AMB ∠=，则此时120AMB ∠≥，则60AMO ∠≥，则tan tan 603AMO ∠=≥=9m ≥； 综上，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞ 故选：C.点评：关键点睛：解决本题的关键是判断出当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值， 要使椭圆上存在点M 满足120AMB ∠=，则此时120AMB ∠≥，则60AMO ∠≥. 11．关于函数f （x ）＝|cos x |+cos|2x |有下列四个结论： ①f （x ）的值域为[﹣1，2]； ②f （x ）在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； ③f （x ）的图象关于直线x ＝34π对称； ④f （x ）的最小正周期为π.上述结论中，不正确命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：A思路：化简可得2()2cos cos 1f x x x =+-，令cos t x =，结合221y t t =+-的性质依次讨论即可.解：22()|cos |cos |2|cos 2cos 12cos cos 1f x x x x x x x =+=+-=+-， 令cos t x =，则[]0,1t ∈，221y t t =+-在[]0,1单调递增，min max 1,2y y ∴=-=，所以()f x 的值域为[]1,2-，故①正确； 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos cos y x x ==单调递减，令cos t x =，则[]0,1t ∈，221y t t =+-在[]0,1单调递增，()f x ∴在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故②正确； ()|cos |cos |2|1222f πππ=+⨯=-，()|cos |cos |2|2f πππ=+=，即()2f f ππ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭， ()f x ∴的图象不关于直线34x π=对称，故③错误； 2()2cos cos 1f x x x =+-，且cos y x =的最小正周期为π，()f x ∴的最小正周期为π，故④正确.故不正确的命题有1个. 故选：A.点评：关键点睛：解决本题的关键是将函数化简为2()2cos cos 1f x x x =+-.12．若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数是（ ）A ．2B ．3C ．3或4D ．3或4或5答案：B思路：设12x x <，可得()1f x x =或()2f x x =，根据函数的单调性画出大致图象，根据图象交点个数可得出. 解：函数32()f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，则()232f x x ax b '=++，且12,x x 是方程2320x ax b ++=的两个根， 不妨设12x x <，由23(())2()0f x af x b ++=可得()1f x x =或()2f x x =， 易得当()()12,,,x x x ∈-∞+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 又()11f x x =，则可画出()f x 的大致图象如下：如图所示，满足()1f x x =或()2f x x =有3个交点， 即关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根有3个. 故选：B.点评：关键点睛：解决本题的关键是画出函数图象，判断出方程的根的个数是满足()1f x x =或()2f x x =的图象交点个数.二、填空题13．若实数x ，y 满足约束条件3043030x y x y x y --⎧⎪-+≥⎨⎪+-⎩，则2z x y =-的最大值为_____．答案：8思路：根据题意先画出满足约束条件的平面区域，然后分析画出直线x ﹣2y =0，通过平移直线求出目标函数的最大值.解：解：不等式组表示的区域如图所示，由2z x y =-得1122y x z =-，作出直线12y x =，向下平移直线12y x =经过点A 时，截距最小而z 最大，由30430x y x y --=⎧⎨-+=⎩得25x y =-⎧⎨=-⎩，所以(2,5)A --， 所以2z x y =-的最大值为22(5)8--⨯-= 故答案为：8点评：此题考查了线性规划的应用，利用了数形结合，通过图像平移求出目标函数的最值，属于基础题.14．由y ＝﹣x 2+2x +1，y ＝x ，x ＝1，x ＝0围成封闭图形的面积为___. 答案：76思路：画出图象，利用定积分计算出面积. 解：画出图象如下图所示，则封闭图形的面积为()()3211221000211|32x x x x x dx x x dx x ⎛⎫-++-=-++=-++ ⎪⎝⎭⎰⎰ 1171326=-++=.故答案为：7615．已知双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是F 1，F 2，点P 是C 的右支上的一点（不是顶点），过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则|MO |＝___. 答案：4思路：结合双曲线的定义以及三角形的中位线，求得MO .解：延长2F M 交1PF 于Q ，由于PM 是12F PF ∠的角平分线，2F M PM ⊥， 所以三角形2QPF 是等腰三角形，所以2PQ PF =，且M 是2QF 的中点. 根据双曲线的定义可知122PF PF a -=，即12QF a =， 由于O 是12F F 的中点，所以MO 是三角形12QF F 的中位线， 所以1142MO QF a ===. 故答案为：416．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N ）个圆环所需的最少移动次数，数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下n （n 为奇数）个环所需的最少移动次数为___.（用含n 的式子表示） 答案：12n -（19n ≤≤，n 为奇数）思路：可得n 为奇数时24n n a a -=，即数列{}n a 的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，即可求解.解：当n 为奇数时，1n -为偶数，2n -为奇数， 则()1222222124n n n n a a a a ---=+=-+=，故数列{}n a 的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，1112142n n n a +--∴=⨯=（19n ≤≤，n 为奇数）， 故解下n （n 为奇数）个环所需的最少移动次数为12n -（19n ≤≤，n 为奇数）. 故答案为：12n -（19n ≤≤，n 为奇数）.点评：关键点睛：解决本题的关键是判断出数列{}n a 的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列. 三、解答题17．已知函数21()sin sin cos 6122f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数f （x ）的单调递减区间；（2）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22B f b ⎛⎫== ⎪⎝⎭a cos B ﹣b cos C 的取值范围.答案：（1）3,44k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 思路：（1）先利用降幂公式和辅助角公式化简函数的解析式，再利用整体代换解不等式的方法求函数()f x 的单调递减区间即可；（2）先根据2B f ⎛⎫=⎪⎝⎭求得3B π=，再利用正弦定理、三角形内角和定理及三角恒等变换等知识将cos cos a B b C -化简为cos 6A π⎛⎫+⎪⎝⎭，最后结合角A 的范围求解即可. 解：解：（1）由题意21()sin sin cos 6122f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin cos cos 22226x x x x π⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)1cos 211sin 22sin 2444x x x x -=++1sin 22x =+令322222k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ，解得344k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ， 故函数()f x 的单调递减区间为3,44k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）由（1）知1sin 22B f B ⎛⎫==⎪⎝⎭，解得sin B =， 因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3B π=．由正弦定理可知2sin sin sin a c bA C B====， 则2sin a A =，2sin c C =，所以cos cos sin 23a a B b C C A A ππ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭3sin sin sin 32A A A A A π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭1sin cos 26A A A π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭在锐角ABC 中，易知230202A C A C πππ⎧+=⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，得62A ππ<<，因此2363A πππ<+<，则11cos ,622A π⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故cos cos a B b C -的取值范围为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭． 点评：关键点点睛：本题的关键是利用降幂公式和辅助角公式化简函数的解析式，在第（2）题中关键是利用正弦定理将所求式转化为cos 6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合题中条件求出A 的范围，从而得解.18．有一款击鼓小游戏规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得50分，没有出现音乐则扣除150分（即获得一150分）.设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是多少？（2）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；许多玩过这款游戏的人都发现，玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析其中的道理. 答案：（1）78；（2）分布列见解析，道理见解析. 思路：（1）根据对立事件概率计算公式，计算出所求概率.（2）利用相互独立事件概率计算公式，计算出分布列，根据()E X 分析道理.解：（1）玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是317128⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （2）X 的可能取值为10,20,50,150-，()313131028P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()323132028P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()333115028P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()3031115028P X C ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为X 10 20 50 -150P383818 18()()33115102050150088884E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=-<，所以玩的盘数越多，分数没有增加反而减少接近54-.19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，∠ABC ＝90°，PA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，M 是棱PB 中点.（1）求证：//AM 平面PCD ；（2）设点N 是线段CD 上一动点，且DN ＝λDC ，当直线MN 与平面PAB 所成的角最大时，求λ的值.答案：（1）证明见解析；（2）23思路：（1）以A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，求得平面PCD 的法向量(2,1,1)n =-，根据0AM n ⋅=可得；（2）表示出MN ，求得平面PAB 的一个法向量(1,0,0)m =，由sin cos ,MN m MN m MN mθ⋅=<>=⋅即可求得最大值.解：（1）PA ⊥底面ABCD ，∠ABC ＝90°，则可以A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(1,0,0),(0,0,2),(0,1,1)A B C D P M ，(0,1,1),(1,0,2),(1,2,0)AM PD CD ∴==-=--，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x z x y -=⎧⎨--=⎩，令2x =，则1,1y z =-=，即(2,1,1)n =-，0AM n ⋅=，AM n ∴⊥，且AM ⊄平面PCD ，∴//AM 平面PCD ；（2）可得()(1,2,0),2,0DN DC λλλλ===，(1,0,0)(,2,0)(1,2,0)AN AD DN λλλλ=+=+=+，()(1,2,0)(0,1,1)1,21,1MN AN AM λλλλ=-=+-=+--，易得平面PAB 的一个法向量(1,0,0)m =， 设直线MN 与平面PAB 所成的角为θ，则2211sin cos ,52313710155MN m MN m MN mλθλλλ⋅+=<>===⋅-+⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭， 则当1315λ=+时，即23λ=时，sin θ最大，所以当直线MN 与平面PAB 所成的角最大时23λ=.点评：思路点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 20．已知函数()(ln 1),f x x x m m R =--∈.（1）若m ＝2，求曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程；（2）若对于任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，求实数m 的取值范围.答案：（1）0x y e ++=；（2）281m e>-思路：（1）求出函数在x e =处导数，即切线斜率，求出()f e ，即可求得切线方程； （2）不等式可转化为(4)ln 1x x m x -+>对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，构造函数(4)ln ()x x g x x-=，求出导数，再构造函数()24ln 4,,x x x e e h x ⎡⎤=+-∈⎣⎦，通过导数可得()0h x >，从而得出()g x 单调递增，求得()g x 最大值即可.解：（1）若2m =，则()(ln 3)f x x x =-，则()ln 2f x x '=-，则()ln 21f e e '=-=-，即切线斜率为1-，又()()ln 32f e e e e =-=-， 则切线方程为()2y e x e +=--，即0x y e ++=； （2）由()4ln f x x <可得()ln 14ln 0x x m x ---<， 即(4)ln 1x x m x -+>对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，令(4)ln ()x x g x x -=，则24ln 4()x x g x x +-'=， 令()24ln 4,,x x x e e h x ⎡⎤=+-∈⎣⎦，则4()10h x x'=+>， 所以()h x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦单调递增，则()()0h x h e e ≥=>，则()0g x '>，所以()g x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦单调递增，()2max 28()2g x g e e =-∴=， 所以2812m e +>-，即281m e >-.点评：关键点睛：解决本题的关键是分离参数并两次构造函数讨论单调性，从而求得函数的最大值. 21．在直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆Q ：（x ﹣2）2+y 2＝1外切，且圆P 与直线x ＝﹣1相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）设过定点S （﹣2，0）的动直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试问：在曲线C 上是否存在点M （与A ，B 两点相异），当直线MA ，MB 的斜率存在时，直线MA ，MB 的斜率之和为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：（1）28y x =；（2）点(2.4)M 或()2,4M -思路：（1）设圆心(),P x y ，圆P 的半径为r1r =+以及1r x =+，联立消去r 即求出曲线C 的轨迹方程； （2）假设存在曲线C 上点()00,M x y 满足条件，设()()1122,,,A x y B x y ，可得MA MB k k +()()12021201282y y y m y y y y y y ++==+++，再联立直线:2l x ty =-与曲线C 的轨迹方程即可得到1212,y y y y +，代入上式即可得到()()200086416160my t my y m -+-+=，所以020864016160my my y m -=⎧⎨-+=⎩，方程组的解即为所求的点M 的坐标． 解：（1）设圆心(),P x y ，圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆22:(2)1Q x y -+=外切,所以1r =+①，又动圆P 与直线1x =-相切.所以1r x =+②，联立①②消去x ，可得28y x =．所以曲线C 的轨迹方程为28y x =.（2）假设存在曲线C 上点()00,M x y 满足条件，设()()1122,,,A x y B x y ,则2220011228,8,8y x y x y x ===，1020MB 1010202088,MA y y y y k k x x y y x x y y --====-+-+,所以102088MA MB k k y y y y +=+++()()120201201282y y y y y y y y y ++=+++③显然动直线l 的斜率存在且不等于零，设:2l x ty =-，所以由282y xx ty ⎧=⎨=-⎩，消去x ，得28160y ty -+=，由0∆>得1t >或1t <-，所以12128,16y y t y y +==, 且12y y ≠，代入③得()020*******MA MB t y k k y ty ++=++，令()0200882816t y m y ty +=++，m 为常数，整理得()()200086416160my t my y m -+-+=④因为④式对任意(,1)(1,)t ∈-∞-+∞恒成立. 所以0200864016160my my y m -=⎧⎨-+=⎩，所以024m y =⎧⎨=⎩ 或024m y =-⎧⎨=-⎩,即(2,4)M 或()2,4M -即曲线C 上存在点(2.4)M 或()2,4M -满足题意.点评：本题第一问求轨迹方程，直接法即可求出，第二问解题关键是根据曲线C 的形式，设:2l x ty =-，联立后得到1212,y y y y +的关系，设MA MB k k m +=进而整理成关于t 的方程，根据方程恒成立，得到方程组，即可求得点M 的坐标．22．在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为2cos 12sin x a y a⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）若过原点的直线l 被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的倾斜角. 答案：（1）4sin()3πρθ=+；（2）直线l 的倾斜角为90ϕ=︒或150ϕ=︒．思路：（1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）圆C 的参数方程为2cos (12sin x y ααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数），转换为普通方程为：22((1)4x y +-=，即2220x y y +--=，进一步利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得到圆C 的极坐标方程为4sin()3πρθ=+； （2）设直线l 的方程为：(tan ,)2y kx k πϕϕ==≠或0()2x πϕ==，由圆C的圆心C ，2r，又弦长为2，∴圆心C 到l的距离d =，解得k =，所以直线的倾斜角为150︒，当直线经过原点，且斜率不存在时，所截得的弦长也为2， 故直线的倾斜角为90︒．l ∴的倾斜角90ϕ=︒或150ϕ=︒．点评：易错点睛：本题的第2问容易漏掉90ϕ=︒.解析几何中，涉及直线的方程问题时，要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论. 23．已知()11f x x a x =--+． （1）若1a =，解不等式()1f x ≤；（2）若不等式()1f x ≤无解，求实数a 的取值范围．答案：（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.思路：（1）用零点分段法去绝对值讨论，分段求解即可.（2）零点分段法去绝对值，根据系数的正负分类讨论，分别求最小值，判断是否大于1，求出参数的范围.解：解：（1）∵1a =，∴解不等式()1f x ≤就是解不等式111x x --+≤． 当1x <-时，原不等式可化为111x x -++≤，∴x ∈∅． 当11x -≤≤时，原不等式可化为111x x ---≤，∴112x -≤≤． 当1x >时，原不等式可化为111x x ---≤，∴1x >． 所以，原不等式解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． （2）()11f x x a x =--+，∴(1)1,1,()(1)1,11,(1)1, 1.a x a x f x a x a x a x a x -++<-⎧⎪=---+-≤≤⎨⎪--->⎩当1a ≤-时，min ()(1)21f x f =-=>，∴原不等式无解成立．当11a -<<时，min ()(1)2f x f a ==-，要原不等式无解，∴21a ->，12a <-， ∴112a -<<-． 当1a ≥时，(0)10f a =-≤，∴原不等式一定有解．综上，实数a的取值范围是1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．点评：思路点睛：解绝对值不等式，常用零点分段法，逐一去绝对值，分段求解，然后求并集.。

宁夏回族自治区银川一中2023届高三第四次模拟考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．137．已知()1,1A ，(5,1B ABCD 内随机取一点，则该点横坐标与纵坐标之和小于A ．12A ．43a ＋23b C ．23a 43-b10．已知函数()sin f x A =π55(1)当BF 多长时，AE CG ⊥，证明你的结论：(2)当AE CG ⊥时，求平面AEH 13．抛物线C ：()220y px p =>（不与O 重合）是抛物线C 上两个动点，且(1)求抛物线C 的标准方程；参考答案：其中PA ⊥平面ABC ，AB 1133P ABC ABC V S PA -∴=⋅= 棱锥表面积3ABC S S S =+ 四边形ABCD 构成的区域为设事件M 表示取的点横坐标与纵坐标之和小于其面积为193322M S =⨯⨯=故选：D.由题意可知底面ABCD 为正方形，则因为//BD 平面AEH ，//FG BD 又FG ⊂平面EFGH ，平面AEH 所以//FG EH .又2AB GH =，所以H 为GM 的中点，所以由（1）得()()(2,0,0,2,1,2,1,0,A E H 设平面AEH 的法向量为(),,m x y z =，则()()()(),,0,1,22,,1,0,2m AE x y z y z m AH x y z x ⎧⋅=⋅=+⎪⎨⋅=⋅-=-+⎪⎩令1z =，则2,2x y ==-，由OA OB ⊥得直线OB 方程为：由24y kx y x =⎧⎨=⎩，解得244,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由214y x k y x⎧=-⎪⎨⎪=，解得(24,4B k -。