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1.两数相除商37余73，求被除数的最小值。
解析：28812.两数相除，商4余8，被除数、除数、商和余数的和为415，则被除数是多少？解析：被除数是424，除数是79.3.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，求原来的除数。
解析：除数是10.4.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，余数也比原来大了3.求原来的除数。
解析：除数是9.5.求算式3218+26-757除以9的余数。
解析：3.6.求413除以5的余数。
解析：1.7. 2461×135×6047÷11的余数是多少？解析：5.8. 19992000÷7的余数是多少？解析：0.9.……199200除以9的余数是________;解析：3.10. 数11…1(2007个1),被13除余多少?解析：711.已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .解析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17,因此所求的两位数51或68或84.12.有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果？解析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313——2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .因数与倍数：两数的最大公因数乘最小公倍数等于这两数的乘积。
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，(12,108)12-=，14739108=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
特殊数的余数判定及同余定理知识框架一、余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．二、同余定理1、定义整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm）2、同余的重要性质及举例。
〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）；〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）；〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）；〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类：〈1〉用2来将整数分类，分为两类：1，3，5，7，9，……（奇数）；0，2，4，6，8，……（偶数）〈2〉用3来将整数分类，分为三类：0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：0（mod6）：0，6，12，18，24，……1（mod6）：1，7，13，19，25，……2（mod6）：2，8，14，20，26，……3（mod6）：3，9，15，21，27，……4（mod6）：4，10，16，22，29，……5（mod6）：5，11，17，23，29，……一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被9除的余数相同。
1.两数相除商37余73，求被除数的最小值。
解析：28812.两数相除，商4余8，被除数、除数、商和余数的和为415，则被除数是多少？解析：被除数是424，除数是79.3.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，求原来的除数。
解析：除数是10.4.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，余数也比原来大了3.求原来的除数。
解析：除数是9.5.求算式3218+26-757除以9的余数。
解析：3.6.求413除以5的余数。
解析：1.7. 2461×135×6047÷11的余数是多少？解析：5.8. 19992000÷7的余数是多少？解析：0.9.求123456789101112……199200除以9的余数是________;解析：3.10. 数11…1(2007个1),被13除余多少?解析：711.已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .解析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17,因此所求的两位数51或68或84.12.有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果？解析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .---精心整理，希望对您有所帮助。
一、带余除法的定义及性质：之马矢奏春创作时间：二O二一年七月二十九日一般地,假如a是整数,b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r,也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：(1)当时：我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不成以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图,这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经由打包后共打包了c捆,那么这个c 就是商,最后还残剩d本,这个d就是余数.这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系.并且可以看出余数必定要比除数小.二、三大余数定理：a与b的和除以c的余数,等于a,b辨别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数.例如：23,16除以5的余数辨别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数.例如：23,19除以5的余数辨别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2.a与b的乘积除以c的余数,等于a,b辨别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数.例如：23,16除以5的余数辨别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数.例如：23,19除以5的余数辨别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子暗示为：a≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式.同余式读作：a同余于b,模m.由同余的性质,我们可以得到一个很是重要的推论：若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差必定能被m整除用式子暗示为：假若有a≡b ( mod m ),那么必定有a－b＝mk,k是整数,即m|(a－b)三、弃九法道理：在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时常日是在一个铺有沙子的土板长进行,因为害怕以前的计算成果丧掉落而经常考验加法运算是否精确,他们的考验方法是这样进行的：例如：考验算式1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式必定是错的.上述考验方法正好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即假如这个等式是精确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数必定与等式右边和除以9的余数相同.而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,经常不必去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时刻往往就是一个9一个9的找并且划去,所以这种方法被称作“弃九法”.所以我们总结出弃九发道理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和.往后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可.运用十进制的这个特点,不但可以考验几个数相加,对于考验相乘、相除和乘方的成果对不合错误同样适用留心：弃九法只能知道原题必定是错的或有可能精确,但不克不及包管必定精确.例如：考验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的但是反过来,假如一个算式必定是精确的,那么它的等式2两端必定知足弃九法的规律.这个思惟往往可以帮忙我们解决一些较复杂的算式迷问题.四、中国残剩定理：1.中国现代趣题：中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？”答曰：“二十三.”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”.韩信点兵又称为中国残剩定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士若干,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人…….刘邦茫然而不知其数.我们先推敲下列的问题：假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有若干？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积）,然后再加3,得9948（人）.孙子算经的作者及确实著作年代均不成考,不过按照考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人创造得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国残剩定理.中国残剩定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占据一席很是重要的地位.2.核心思惟和方法：对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握即可一通百通的方法,下面我们就以《孙子算经》中的问题为例,阐发此方法:今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？标题中我们可以知道,一个自然数辨别除以3,5,7后,得到三个余数辨别为2,3,2.那么我们首先机关一个数字,使得这个数字除以3余1,并且照样5和7的公倍数.先由,即5和7的最小公倍数出发,先看35除以3余2,不适合要求,那么就中断看5和7的“下一个”倍数是否可以,很显然70除以3余1类似的,我们再机关一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字,显然21可以适合要求.最后再机关除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字,45适合要求,那么所求的自然数可以这样计算：,个中k是从1开始的自然数.也就是说知足上述关系的数有无穷多,假如按照实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所求的数.例如对上面的问题加上限制前提“知足上面前提最小的自然数”,那么我们可以计算得到所求假如加上限制前提“知足上面前提最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可,即23+105=128.例题精讲：【模块一：带余除法的定义和性质】【例 1】(第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数去除,得到商是46,余数是,乞降．【解析】因为是的倍还多,得到,得,所以,．【巩固】(清华附中小升初分班测验)甲、乙两数的和是,甲数除以乙数商余,求甲、乙两数．【解析】(法1)因为甲乙,所以甲乙乙乙乙；则乙,甲乙．(法2)将余数先去掉落落变成整除性问题,运用倍数关系来做：从中减掉落落往后,就应该是乙数的倍,所以得到乙数,甲数．【巩固】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数.【解析】本题为余数问题的根本题型,需要学生明白一个重要常识点,就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题.方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”,也可以得到一个除数的倍数.本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数,而273=3×7×13,所求的两位数约数还要知足比37大,适合前提的有39,91.【例 1】(年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除,商是,余数是,已知被除数、除数、商与余数之和为,则被除数是若干？【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113,所以被除数除数=2083,因为被除数是除数的17倍还多13,则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115,所以被除数=2083-115=1968．【巩固】用一个自然数去除另一个自然数,商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是若干？【解析】本题为带余除法定义式的底子题型.按照题意设两个自然数辨别为x,y,可以得到,解方程组得,即这两个自然数辨别是856,21.【例 2】(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不合的自然数的和为2001,它们辨别除以19,23,31所得的商相同,所得的余数也相同,这三个数是_______,_______,_______.【解析】设所得的商为,除数为．,,由,可求得,．所以,这三个数辨别是,,.【巩固】(2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数,除以11时所得到的商和余数是相等的,除以9时所得到的商是余数的3倍,这个自然数是_________．【解析】设这个自然数除以11余,除以9余,则有,即,只有,,所以这个自然数为.【例 3】(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小同伙,已知第二组比第一组多5人．假如把书全部分给第一组,那么每人4本,有残剩；每人5本,书不敷．假如把书全分给第二组,那么每人3本,有残剩；每人4本,书不敷．问：第二组有若干人?【解析】由,知,一组是10或11人．同理可知,知,二组是13、14或15人,因为二组比一组多5人,所以二组只能是15人,一组10人．【巩固】一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数．【解析】因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数必定大于,并且小于；又因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位数为．【模块二：三大余数定理的运用】【例 4】有一个大于1的整数,除所得的余数相同,求这个数.【解析】这个题没有奉告我们,这三个数除以这个数的余数辨别是若干,但是因为所得的余数相同,按照同余定理,我们可以得到：这个数必定能整除这三个数中的随便率性两数的差,也就是说它是随便率性两数差的合同数．,,,的约数有,所以这个数可能为.【巩固】有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【解析】(法1),,,12的约数是,因为余数为3要小于除数,这个数是；(法2)因为所得的余数相同,得到这个数必定能整除这三个数中的随便率性两数的差,也就是说它是随便率性两数差的合同数．,,,所以这个数是．【巩固】在小于1000的自然数中,辨别除以18及33所得余数相同的数有若干个?(余数可以为0)【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,所以每198个数一次．1～198之间只有1,2,3,…,17,198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同,而999÷198=5……9,所以共有5×18+9=99个这样的数．【巩固】(2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数,并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是若干,最小数是若干？【解析】设这个三位数为,它除以17和19的商辨别为和,余数辨别为和,则．按照题意可知,所以,即,得．所所以9的倍数,是8的倍数．此时,由知．因为为三位数,最小为100,最大为999,所以,而,所以,,得到,而是9的倍数,所以最小为9,最大为54．当时,,而,所以,故此时最大为；当时,,因为,所以此时最小为．所以这样的三位数中最大的是930,最小的是154．【例 5】两位自然数与除以7都余1,并且,求．【解析】能被7整除,即能被7整除．所以只能有,那么可能为92和81,验算可得当时,知足标题要求,【巩固】黉舍新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,假如将这三种物品等分给每个班级,那么这三种物品剩下的数目相同．请问黉舍共有若干个班？【解析】所求班级数是除以余数相同的数．那么可知该数应该为和的合同数,所求答案为17．【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．【解析】因为, ,因为13511,13903,14589要被同一个数除时,余数相同,那么,它们两两之差必能被同一个数整除．,所以所求的最大整数是98．【例 6】(2003年南京市少年数学智力冬令营试题)与的和除以7的余数是________．【解析】找规律．用7除2,,,,,,…的余数辨别是2,4,1,2,4,1,2,4,1,…,2的个数是3的倍数时,用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时,用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时,用7除的余数为4．因为,所以除以7余4．又两个数的积除以7的余数,与两个数辨别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1,所以除以7余1．故与的和除以7的余数是．【巩固】(2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995,1998,2000,2001,2003中,若个中几个数的和被9除余7,则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【解析】1995,1998,2000,2001,2003除以9的余数依次是6,0,2,3,5．因为,,所以这样的数组共有下面4个：, ,,．【例 7】(2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数,用它去除70,110,160所得到的3个余数之和是50,那么这个整数是______．【解析】,,除数应该是290的大于17小于70的约数,只可能是29和58,,,所以除数不是58．,,,,所以除数是【巩固】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和为25,那么n=________【解析】n能整除．因为,所以n是258大于8的约数．显然,n不能大于63．适合前提的只有43．【巩固】号码辨别为101,126,173,193的4个运策动进行乒乓球竞赛,规定每两人竞赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运策动打了若干盘?【解析】本题可以表现出加法余数定理的巧用.计算101,126,173,193除以3的余数辨别为2,0,2,1.那么随便率性两名运策动的竞赛盘数只需要用2,0,2,1两两相加除以3即可.显然126运策动打5盘是最多的.【例 8】(2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生辨别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱,一路到新华书店采办《成语大词典》．一看定价才创造有5集团带的钱不敷,但是个中甲、乙、丙3人的钱凑在一路正好可买2本,丁、戊2人的钱凑在一路正好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【解析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1,因为甲、乙、丙、丁、戊的钱正好能买3本,所以他们五人带的钱数是3的倍数,另一人带的钱除以3余1．易知,这个钱数只能是37元,所以每本《成语大词典》的定价是(元) ．【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)市廛里有六箱货品,辨别重15,16,18,19,20,31千克,两个顾客买走了个中的五箱．已知一个顾客买的货品重量是另一个顾客的2倍,那么市廛剩下的一箱货品重量是________千克．【解析】两个顾客买的货品重量是的倍数．,剩下的一箱货品重量除以3应该余2,只能是20千克．【例 9】求的余数．【解析】因为,,,按照同余定理(三),的余数等于的余数,而,,所以的余数为5．【巩固】(华罗庚金杯赛模拟试题)求除以17的余数．【解析】先求出乘积再求余数,计算量较大．可先辨别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数．除以17的余数辨别为2,7和11,．【巩固】求的最后两位数．【解析】即推敲除以100的余数．因为,因为除以25余2,所以除以25余8,除以25余24,那么除以25余1；又因为除以4余1,则除以4余1；即能被4 和25整除,而4与25互质,所以能被100整除,即除以100余1,因为,所以除以100的余数即等于除以100的余数,而除以100余29,除以100余43,,所以除以100的余数等于除以100的余数,而除以100余63,所以除以100余63,即的最后两位数为63．【巩固】除以13所得余数是_____.【解析】我们创造222222整除13,2000÷6余2,所以答案为22÷13余9.【巩固】求除以7的余数．【解析】法一：因为 (143被7除余3),所以 (被7除所得余数与被7除所得余数相等)而,（729除以7的余数为1）,所以．故除以7的余数为5.法二：计算被7除所得的余数可以用找规律的方法,规律如下表：于是余数以6为周期变更．所以．【巩固】（2007年实验中学考题）除以7的余数是若干？【解析】因为,而1001是7的倍数,所以这个乘积也是7的倍数,故除以7的余数是0；【巩固】被除所得的余数是若干？【解析】31被13除所得的余数为5,当n取1,2,3,时被13除所得余数辨别是5,12,8,1,5,12,8,1以4为周期轮回消掉,所以被13除的余数与被13除的余数相同,余12,则除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4,当n取1,2,3,时,被13除所得的余数辨别是4,3,12,9,10,1,4,3,12,9,10,以6为周期轮回消掉,所以被13除所得的余数等于被13除所得的余数,即4,故除以13的余数为4；所以被13除所得的余数是．【巩固】(2008年奥数网杯)已知,问：除以13所得的余数是若干？【解析】2008除以13余6,10000除以13余3,留心到；；；按照这样的递推规律求出余数的变更规律：20082008除以13余,200820082008除以13余,即200820082008是13的倍数．而除以3余1,所以除以13的余数与除以13的余数相同,为6.【巩固】除以41的余数是若干？【解析】找规律：,,,,,……,所以77777是41的倍数,而,所以可以分红399段77777和1个7组成,那么它除以41的余数为7．【巩固】除以10所得的余数为若干？【解析】求成果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一轮回的,而对一个数的幂方的个位数,我们知道它老是4个一轮回的,是以把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组,则不合组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算的个位数字,为的个位数字,为4,因为2005个加数共可分红100组另5个数,100组的个位数字和是的个位数即0,别的5个数为、、、、,它们和的个位数字是的个位数 3,所以原式的个位数字是3,即除以10的余数是3．【例 10】 求所有的质数P,使得与也是质数．【解析】 假如,则,都是质数,所以5适合题意．假如P 不等于5,那么P 除以5的余数为1、2、3或者4,除以5的余数即等于、、或者除以5的余数,即1、4、9或者16除以5的余数,只有1和4两种情况．假如除以5的余数为1,那么除以5的余数等于除以5的余数,为0,即此时被5整除,而大于5,所以此时不是质数；假如除以5的余数为4,同理可知不是质数,所以P 不等于5,与至少有一个不是质数,所以只有知足前提．【巩固】 在图表的第二行中,正好填上这十个数,使得每一竖列凹凸两个因数的乘积除以11所得的余数都是3．【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数,等于两个数辨别除以11的余数之积．是以原题中的可以改换为,这样凹凸两数的乘积除以11余3就随便马虎计算了．我们得到下面的成果：因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98因数因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98因数37195621048进而得到本题的答案是：89909192939495969798因数91958997939490989296因数【巩固】(2000年“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式(个中), 在校正时,创造右边的积的数字次序消掉错误,但是知道最后一位6是精确的,问原式中的是若干？【解析】因为,, 于是,从而(用代入上式考验)…(1),对进行谈论：假如,那么…(2),又的个位数字是6,所以的个位数字为4,可能为、、、,个中只有适合(2),经考验只有适合题意．假如,那么…(3),又的个位数字为2或7,则可能为、、、、,个中只有适合(3),经考验,不合题意．假如,那么…(4),则可能为、,个中没有适合(4)的．假如,那么,,,是以这时不成能适合题意．综上所述,是本题独一的解．【例 11】一个大于1的数去除290,235,200时,得余数辨别为,,,则这个自然数是若干？【解析】按照题意可知,这个自然数去除290,233,195时,得到相同的余数（都为）．既然余数相同,我们可以运用余数定理,可知个中随便率性两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是的约数,又是的约数,是以就是57和38的合同数,因为57和38的合同数只有19和1,而这个数大于1,所以这个自然数是19．【巩固】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数,则这个自然数是若干？【解析】这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除后所得的余数,所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同,是以这个自然数是的约数,又大于10,这个自然数只能是17或者是34．假如这个数是34,那么它去除90、164、220后所得的余数辨别是22、28、16,不适合标题前提；假如这个数是17,那么他去除90、164、220后所得的余数辨别是5、11、16,适合标题前提,所以这个自然数是17．【例 12】甲、乙、丙三数辨别为603,939,393．某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍,除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍．求等于若干？【解析】按照题意,这三个数除以都有余数,则可以用带余除法的形式将它们暗示出来：因为,,要消去余数,,,我们只能先把余数处理成相同的,再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2,使得被除数和余数都扩大2倍,同理,第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数,意味着能被整除．,,．51的约数有1、3、17、51,个中1、3显然不知足,考验17和51可知17知足,所以等于17．【巩固】一个自然数除429、791、500所得的余数辨别是、、,求这个自然数和的值.【解析】将这些数转化成被该自然数除后余数为的数：,、,这样这些数被这个自然数除所得的余数都是,故同余.将这三个数相减,得到、,所求的自然数必定是和的合同数,而,所以这个自然数是的约数,显然1是不适合前提的,那么只能是19.经由验证,当这个自然数是时,除、、所得的余数辨别为、、,时成立,所以这个自然数是,.【模块三：余数分化运用】【例 13】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为若干？【解析】斐波那契数列的组成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和,由此可以按照余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项中断两个是1,与第一项和第二项的值相同且地位中断,所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期轮回消掉,因为2008除以8的余数为0,所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数,为0.【巩固】（2009年走美初赛六年级）有一串数：1,1,2,3,5,8,……,从第三个数起,每个数都是前两个数之和,在这串数的前2009个数中,有几个是5的倍数？【解析】因为两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．所以这串数除以5的余数辨别为：1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2,3,0,……可以创造这串余数中,每20个数为一个轮回,且一个轮回中,每5个数中第五个数是5的倍数．因为,所以前2009个数中,有401个是5的倍数．【例 14】(圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数,并且求出了它辨别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．【解析】除以3、6和9的余数辨别不超出2,5,8,所以这三个余数的和永远不超出,既然它们的和等于15,所以这三个余数辨别就是2,5,8．所以该数加1后能被3,6,9整除,而,设该数为,则,即（为非零自然数）,所以它除以18的余数只能为17．【巩固】(2005年喷鼻香港圣公会小学数学奥林匹克试题)一个家庭,有父、母、兄、妹四人,他们随便率性三人的岁数之和都是3的整数倍,每人的岁数都是一个质数,四人岁数之和是100,父亲岁数最大,问：母亲是若干岁?【解析】从随便率性三人岁数之和是3的倍数,100除以3余1,就知四个岁数都是型的数,又是质数．只有7,13,19,31,37,43,就随便马虎看出：父43岁,母37岁,兄13岁,妹7岁．【例 15】(华杯赛试题)如图,在一个圆圈上有几十个孔(不到100个),小明像玩跳棋那样,从孔出发沿着逆时针标的目标,每隔几孔跳一步,欲望一圈往后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步,成果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步,也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步,正好跳回到A孔,你知道这个圆圈上共有若干个孔吗?【解析】设想圆圈上的孔已按下面方法编了号：A孔编号为1,然后沿逆时针标的目标按序编号为2,3,4,…,B孔的编号就是圆圈上的孔数．我们先看每隔2孔跳一步时,小明跳在哪些孔上?很随便马虎看出应在1,4,7,10,…上,也就是说,小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1．按题意,小明最后跳到B孔,是以总孔数是3的倍数加1．同样道理,每隔4孔跳一步最后跳到B孔,就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔,就意味着总孔数是7的倍数．假如将孔数减1,那么得数既是3的倍数也是5的倍数,因而是15的倍数．这个15的倍数加上1 就等于孔数,设孔数为,则（为非零自然数）并且能被7整除．留心15被7除余1,所以被7除余6,15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出,15的其他(小于的7)倍数加1都不克不及被7整除,罢了经大于100．7以上的倍数都不必推敲,是以,总孔数只能是．【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克试题)将依次写到第1997个数字,组成一个1997位数,那么此数除以。
一、带余除法的定义及性质：之老阳三干创作时间：二O二一年七月二十九日一般地,如果a是整数,b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r,也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：(1)当时：我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不成以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图,这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求依照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经过打包后共打包了c捆,那么这个c 就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数.这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系.并且可以看出余数一定要比除数小.二、三大余数定理：a与b的和除以c的余数,等于a,b辨别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数.例如：23,16除以5的余数辨别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数.例如：23,19除以5的余数辨别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2.a与b的乘积除以c的余数,等于a,b辨别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数.例如：23,16除以5的余数辨别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数.例如：23,19除以5的余数辨别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子暗示为：a≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式.同余式读作：a同余于b,模m.由同余的性质,我们可以得到一个很是重要的推论：若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除用式子暗示为：如果有a≡b ( mod m ),那么一定有a－b＝mk,k是整数,即m|(a－b)三、弃九法原理：在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方法是这样进行的：例如：检验算式1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的.上述检验办法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同.而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,经常不必去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去,所以这种办法被称作“弃九法”.所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和.以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可.利用十进制的这个特性,不但可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不合错误同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不克不及包管一定正确.例如：检验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的但是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律.这个思想往往可以帮忙我们解决一些较庞杂的算式迷问题.四、中国剩余定理：1.中国现代趣题：中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？”答曰：“二十三.”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”.韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御战士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人…….刘邦茫然而不知其数.我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积）,然后再加3,得9948（人）.孙子算经的作者及确实著作年代均不成考,不过按照考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发明得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理.中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席很是重要的地位.2.核心思想和办法：对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握即可一通百通的办法,下面我们就以《孙子算经》中的问题为例,阐发此办法:今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？题目中我们可以知道,一个自然数辨别除以3,5,7后,得到三个余数辨别为2,3,2.那么我们首先机关一个数字,使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数.先由,即5和7的最小公倍数出发,先看35除以3余2,不合适要求,那么就继续看5和7的“下一个”倍数是否可以,很显然70除以3余1类似的,我们再机关一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字,显然21可以合适要求.最后再机关除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字,45合适要求,那么所求的自然数可以这样计算：,其中k是从1开始的自然数.也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果按照实际情况对数的规模加以限制,那么我们就能找到所求的数.例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”,那么我们可以计算得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可,即23+105=128.例题精讲：【模块一：带余除法的定义和性质】【例 1】(第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数去除,得到商是46,余数是,求和．【解析】因为是的倍还多,得到,得,所以,．【巩固】(清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是,甲数除以乙数商余,求甲、乙两数．【解析】(法1)因为甲乙,所以甲乙乙乙乙；则乙,甲乙．(法2)将余数先去掉酿成整除性问题,利用倍数关系来做：从中减掉以后,就应当是乙数的倍,所以得到乙数,甲数．【巩固】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数.【解析】本题为余数问题的基础题型,需要学生明白一个重要知识点,就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题.办法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”,也可以得到一个除数的倍数.本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数,而273=3×7×13,所求的两位数约数还要满足比37大,合适条件的有39,91.【例 1】(年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除,商是,余数是,已知被除数、除数、商与余数之和为,则被除数是多少？【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113,所以被除数除数=2083,由于被除数是除数的17倍还多13,则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115,所以被除数=2083-115=1968．【巩固】用一个自然数去除另一个自然数,商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是多少？【解析】本题为带余除法定义式的基本题型.按照题意设两个自然数辨别为x,y,可以得到,解方程组得,即这两个自然数辨别是856,21.【例 2】(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不合的自然数的和为2001,它们辨别除以19,23,31所得的商相同,所得的余数也相同,这三个数是_______,_______,_______.【解析】设所得的商为,除数为．,,由,可求得,．所以,这三个数辨别是,,.【巩固】(2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数,除以11时所得到的商和余数是相等的,除以9时所得到的商是余数的3倍,这个自然数是_________．【解析】设这个自然数除以11余,除以9余,则有,即,只有,,所以这个自然数为.【例 3】(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组,那么每人4本,有剩余；每人5本,书不敷．如果把书全分给第二组,那么每人3本,有剩余；每人4本,书不敷．问：第二组有多少人?【解析】由,知,一组是10或11人．同理可知,知,二组是13、14或15人,因为二组比一组多5人,所以二组只能是15人,一组10人．【巩固】一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数．【解析】因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数一定大于,并且小于；又因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位数为．【模块二：三大余数定理的应用】【例 4】有一个大于1的整数,除所得的余数相同,求这个数.【解析】这个题没有告知我们,这三个数除以这个数的余数辨别是多少,但是由于所得的余数相同,按照同余定理,我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的条约数．,,,的约数有,所以这个数可能为.【巩固】有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【解析】(法1),,,12的约数是,因为余数为3要小于除数,这个数是；(法2)由于所得的余数相同,得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的条约数．,,,所以这个数是．【巩固】在小于1000的自然数中,辨别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,所以每198个数一次．1～198之间只有1,2,3,…,17,198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同,而999÷198=5……9,所以共有5×18+9=99个这样的数．【巩固】(2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数,并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少,最小数是多少？【解析】设这个三位数为,它除以17和19的商辨别为和,余数辨别为和,则．按照题意可知,所以,即,得．所以是9的倍数,是8的倍数．此时,由知．由于为三位数,最小为100,最大为999,所以,而,所以,,得到,而是9的倍数,所以最小为9,最大为54．当时,,而,所以,故此时最大为；当时,,由于,所以此时最小为．所以这样的三位数中最大的是930,最小的是154．【例 5】两位自然数与除以7都余1,并且,求．【解析】能被7整除,即能被7整除．所以只能有,那么可能为92和81,验算可得当时,满足题目要求,【巩固】学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【解析】所求班级数是除以余数相同的数．那么可知该数应该为和的条约数,所求答案为17．【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．【解析】因为, ,由于13511,13903,14589要被同一个数除时,余数相同,那么,它们两两之差必能被同一个数整除．,所以所求的最大整数是98．【例 6】(2003年南京市少年数学智力冬令营试题)与的和除以7的余数是________．【解析】找规律．用7除2,,,,,,…的余数辨别是2,4,1,2,4,1,2,4,1,…,2的个数是3的倍数时,用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时,用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时,用7除的余数为4．因为,所以除以7余4．又两个数的积除以7的余数,与两个数辨别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1,所以除以7余1．故与的和除以7的余数是．【巩固】(2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995,1998,2000,2001,2003中,若其中几个数的和被9除余7,则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【解析】1995,1998,2000,2001,2003除以9的余数依次是6,0,2,3,5．因为,,所以这样的数组共有下面4个：, ,,．【例 7】(2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数,用它去除70,110,160所得到的3个余数之和是50,那么这个整数是______．【解析】,,除数应当是290的大于17小于70的约数,只可能是29和58,,,所以除数不是58．,,,,所以除数是【巩固】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和为25,那么n=________【解析】n能整除．因为,所以n是258大于8的约数．显然,n不能大于63．合适条件的只有43．【巩固】号码辨别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球角逐,规定每两人角逐的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用.计算101,126,173,193除以3的余数辨别为2,0,2,1.那么任意两名运动员的角逐盘数只需要用2,0,2,1两两相加除以3即可.显然126运动员打5盘是最多的.【例 8】(2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生辨别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱,一起到新华书店采办《成语大词典》．一看定价才发明有5团体带的钱不敷,但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本,丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【解析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1,因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本,所以他们五人带的钱数是3的倍数,另一人带的钱除以3余1．易知,这个钱数只能是37元,所以每本《成语大词典》的定价是(元) ．【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物,辨别重15,16,18,19,20,31千克,两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【解析】两个顾客买的货物重量是的倍数．,剩下的一箱货物重量除以3应当余2,只能是20千克．【例 9】求的余数．【解析】因为,,,按照同余定理(三),的余数等于的余数,而,,所以的余数为5．【巩固】(华罗庚金杯赛模拟试题)求除以17的余数．【解析】先求出乘积再求余数,计算量较大．可先辨别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数．除以17的余数辨别为2,7和11,．【巩固】求的最后两位数．【解析】即考虑除以100的余数．由于,由于除以25余2,所以除以25余8,除以25余24,那么除以25余1；又因为除以4余1,则除以4余1；即能被4 和25整除,而4与25互质,所以能被100整除,即除以100余1,由于,所以除以100的余数即等于除以100的余数,而除以100余29,除以100余43,,所以除以100的余数等于除以100的余数,而除以100余63,所以除以100余63,即的最后两位数为63．【巩固】除以13所得余数是_____.【解析】我们发明222222整除13,2000÷6余2,所以答案为22÷13余9.【巩固】求除以7的余数．【解析】法一：由于 (143被7除余3),所以 (被7除所得余数与被7除所得余数相等)而,（729除以7的余数为1）,所以．故除以7的余数为5.法二：计算被7除所得的余数可以用找规律的办法,规律如下表：于是余数以6为周期变更．所以．【巩固】（2007年实验中学考题）除以7的余数是多少？【解析】由于,而1001是7的倍数,所以这个乘积也是7的倍数,故除以7的余数是0；【巩固】被除所得的余数是多少？【解析】31被13除所得的余数为5,当n取1,2,3,时被13除所得余数辨别是5,12,8,1,5,12,8,1以4为周期循环出现,所以被13除的余数与被13除的余数相同,余12,则除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4,当n取1,2,3,时,被13除所得的余数辨别是4,3,12,9,10,1,4,3,12,9,10,以6为周期循环出现,所以被13除所得的余数等于被13除所得的余数,即4,故除以13的余数为4；所以被13除所得的余数是．【巩固】(2008年奥数网杯)已知,问：除以13所得的余数是多少？【解析】2008除以13余6,10000除以13余3,注意到；；；按照这样的递推规律求出余数的变更规律：20082008除以13余,200820082008除以13余,即200820082008是13的倍数．而除以3余1,所以除以13的余数与除以13的余数相同,为6.【巩固】除以41的余数是多少？【解析】找规律：,,,,,……,所以77777是41的倍数,而,所以可以分红399段77777和1个7组成,那么它除以41的余数为7．【巩固】除以10所得的余数为多少？【解析】求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的,而对一个数的幂方的个位数,我们知道它总是4个一循环的,因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组,则不合组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算的个位数字,为的个位数字,为4,由于2005个加数共可分红100组另5个数,100组的个位数字和是的个位数即0,另外5个数为、、、、,它们和的个位数字是的个位数 3,所以原式的个位数字是3,即除以10的余数是3．【例 10】 求所有的质数P,使得与也是质数．【解析】 如果,则,都是质数,所以5合适题意．如果P 不等于5,那么P 除以5的余数为1、2、3或者4,除以5的余数即等于、、或者除以5的余数,即1、4、9或者16除以5的余数,只有1和4两种情况．如果除以5的余数为1,那么除以5的余数等于除以5的余数,为0,即此时被5整除,而大于5,所以此时不是质数；如果除以5的余数为4,同理可知不是质数,所以P 不等于5,与至少有一个不是质数,所以只有满足条件．【巩固】 在图表的第二行中,恰好填上这十个数,使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3．【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数,等于两个数辨别除以11的余数之积．因此原题中的可以更换为,这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了．我们得到下面的结果：因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98因数因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98因数37195621048进而得到本题的答案是：89909192939495969798因数91958997939490989296因数【巩固】(2000年“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式(其中), 在校对时,发明右边的积的数字顺序出现错误,但是知道最后一位6是正确的,问原式中的是多少？【解析】由于,, 于是,从而(用代入上式检验)…(1),对进行讨论：如果,那么…(2),又的个位数字是6,所以的个位数字为4,可能为、、、,其中只有合适(2),经检验只有合适题意．如果,那么…(3),又的个位数字为2或7,则可能为、、、、,其中只有合适(3),经检验,不合题意．如果,那么…(4),则可能为、,其中没有合适(4)的．如果,那么,,,因此这时不成能合适题意．综上所述,是本题唯一的解．【例 11】一个大于1的数去除290,235,200时,得余数辨别为,,,则这个自然数是多少？【解析】按照题意可知,这个自然数去除290,233,195时,得到相同的余数（都为）．既然余数相同,我们可以利用余数定理,可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是的约数,又是的约数,因此就是57和38的条约数,因为57和38的条约数只有19和1,而这个数大于1,所以这个自然数是19．【巩固】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数,则这个自然数是多少？【解析】这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除后所得的余数,所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同,因此这个自然数是的约数,又大于10,这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34,那么它去除90、164、220后所得的余数辨别是22、28、16,不合适题目条件；如果这个数是17,那么他去除90、164、220后所得的余数辨别是5、11、16,合适题目条件,所以这个自然数是17．【例 12】甲、乙、丙三数辨别为603,939,393．某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍,除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍．求等于多少？【解析】按照题意,这三个数除以都有余数,则可以用带余除法的形式将它们暗示出来：由于,,要消去余数,,,我们只能先把余数处理成相同的,再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2,使得被除数和余数都扩大2倍,同理,第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数,意味着能被整除．,,．51的约数有1、3、17、51,其中1、3显然不满足,检验17和51可知17满足,所以等于17．【巩固】一个自然数除429、791、500所得的余数辨别是、、,求这个自然数和的值.【解析】将这些数转化成被该自然数除后余数为的数：,、,这样这些数被这个自然数除所得的余数都是,故同余.将这三个数相减,得到、,所求的自然数一定是和的条约数,而,所以这个自然数是的约数,显然1是不合适条件的,那么只能是19.经过验证,当这个自然数是时,除、、所得的余数辨别为、、,时成立,所以这个自然数是,.【模块三：余数综合应用】【例 13】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【解析】斐波那契数列的组成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和,由此可以按照余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项连续两个是1,与第一项和第二项的值相同且位置连续,所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现,由于2008除以8的余数为0,所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数,为0.【巩固】（2009年走美初赛六年级）有一串数：1,1,2,3,5,8,……,从第三个数起,每个数都是前两个数之和,在这串数的前2009个数中,有几个是5的倍数？【解析】由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．所以这串数除以5的余数辨别为：1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2,3,0,……可以发明这串余数中,每20个数为一个循环,且一个循环中,每5个数中第五个数是5的倍数．由于,所以前2009个数中,有401个是5的倍数．【例 14】(圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数,并且求出了它辨别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．【解析】除以3、6和9的余数辨别不超出2,5,8,所以这三个余数的和永远不超出,既然它们的和等于15,所以这三个余数辨别就是2,5,8．所以该数加1后能被3,6,9整除,而,设该数为,则,即（为非零自然数）,所以它除以18的余数只能为17．【巩固】(2005年香港圣公会小学数学奥林匹克试题)一个家庭,有父、母、兄、妹四人,他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍,每人的岁数都是一个质数,四人岁数之和是100,父亲岁数最大,问：母亲是多少岁?【解析】从任意三人岁数之和是3的倍数,100除以3余1,就知四个岁数都是型的数,又是质数．只有7,13,19,31,37,43,就容易看出：父43岁,母37岁,兄13岁,妹7岁．【例 15】(华杯赛试题)如图,在一个圆圈上有几十个孔(不到100个),小明像玩跳棋那样,从孔出发沿着逆时针标的目的,每隔几孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步,也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步,正好跳回到A孔,你知道这个圆圈上共有多少个孔吗?【解析】设想圆圈上的孔已按下面方法编了号：A孔编号为1,然后沿逆时针标的目的顺次编号为2,3,4,…,B孔的编号就是圆圈上的孔数．我们先看每隔2孔跳一步时,小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1,4,7,10,…上,也就是说,小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1．按题意,小明最后跳到B孔,因此总孔数是3的倍数加1．同样道理,每隔4孔跳一步最后跳到B孔,就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔,就意味着总孔数是7的倍数．如果将孔数减1,那么得数既是3的倍数也是5的倍数,因而是15的倍数．这个15的倍数加上1 就等于孔数,设孔数为,则（为非零自然数）并且能被7整除．注意15被7除余1,所以被7除余6,15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出,15的其他(小于的7)倍数加1都不克不及被7整除,罢了经大于100．7以上的倍数都不必考虑,因此,总孔数只能是．【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克试题)将依次写到第1997个数字,组成一个1997位数,那么此数除以。
