厦门大学616数学分析2009年考研专业课真题答案

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）函数3()sin x xf x xπ-=的可去间断点的个数为：（ ）()A .1()B . 2 ()C .3()D .无穷多个（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A .1a=，16b =-()B . 1a =，16b = ()C .1a =-，16b =-()D .1a =-，16b =（3）使不等式1sin ln xt dt x t>⎰成立的x 的范围是（ ）()A .(0,1)()B .(1,)2π ()C .(,)2ππ()D .(,)π+∞（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()f x 02 3x1 -2-11()f x 0 2 3x1 -2 -11 1()f x -2 0 2 3x-1O()C .()D .（5）设,A B 均为2阶矩阵，*,A B *分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==则分块矩阵 00A B⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ） ()A .**0320B A ⎛⎫⎪⎝⎭()B . **230B A⎛⎫⎪⎝⎭ ()C .**0320A B⎛⎫⎪⎝⎭()D .**0230A B⎛⎫⎪⎝⎭（6）设,A P 均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若123122(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则TQ A Q 为（ ） ()A .210110002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()B . 110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ ()C .200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（7）设事件A 与事件B 互不相容，则（ ）()A .()0P A B =()B . ()()()P AB P A P B = ()C .()1()P A P B =-()D .()1P A B ⋃=（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为1{0}{1}2P Y P Y ====，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z 的间断点个数为（ ）()A .()B . 1 ()C .2()D . 3二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.()f x 0 2 3x1 -2-11()f x 02 3x1 -1 1（9）cos 320lim11x x e ex →-=+- .（10）设()y x z x e =+，则(1,0)z x∂=∂（11）幂级数21(1)n nnn e x n∞=--∑的收敛半径为（12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T αβ相似于300000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则k = (14)设1X ，2X ,…n X 是来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则E T =三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.(1) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则 ( )(A) 11,6a b ==-. (B) 11,6a b ==. (C) 11,6a b =-=-. (D) 11,6a b =-=.(2) 如图,正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =,cos kk D I y xdxdy =⎰⎰,则{}14max k k I ≤≤= ( )(A) 1I .(B) 2I .(C) 3I .(D) 4I .(3) 设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为 ( )(A) (B)(C)(D)(4) 设有两个数列{}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞=,则 ( )(A) 当1nn b∞=∑收敛时,1n nn a b∞=∑收敛. (B) 当1nn b∞=∑发散时,1n nn a b∞=∑发散.(C) 当1n n b ∞=∑收敛时,221n nn a b ∞=∑收敛.(D) 当1n n b ∞=∑发散时,221n n n a b ∞=∑发散. (5) 设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311,,23ααα到基122331,,αααααα+++的过渡矩阵为 ( )(A) 101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B) 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D) 111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (6) 设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3A B ==,则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为 ( ) (A) **32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭. (B) **23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(C) **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(D) **23OA BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(7) 设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭,其中()x Φ为标准正态分布的分布函数,则EX = ( ) (A) 0.(B) 0.3.(C) 0.7.(D) 1.(8) 设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====.记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为 ( ) (A) 0.(B) 1. (C) 2.(D) 3.二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数,(),z f x xy =,则2zx y∂=∂∂ .(10) 若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+,则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .(11) 已知曲线(2:0L y x x =≤≤,则Lxds =⎰ .(12) 设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤,则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .(13) 若3维列向量,αβ满足2T αβ=,其中Tα为α的转置,则矩阵T βα的非零特征值为.(14) 设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量,则k = .三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.(16)(本题满分9分)设n a 为曲线n y x =与()11,2,n y xn +== 所围成区域的面积,记11,n n S a ∞==∑2211n n S a ∞-==∑,求1S 与2S 的值.(17)(本题满分11分)椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成,圆锥面2S 是由过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. (Ⅰ)求1S 及2S 的方程； (Ⅱ)求1S 与2S 之间的立体体积. (18)(本题满分11分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)证明：若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0lim x f x A +→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=.(19)(本题满分10分)计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z∑++=++⎰⎰,其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.(20)(本题满分11分) 设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭(Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量23,ξξ,证明：123,,ξξξ线性无关. (21)(本题满分11分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-(Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值. (22)(本题满分11分)袋中有1个红球,2个黑球与3个白球.现有放回地从袋中取两次,每次取一个球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(Ⅰ)求{}10P X Z ==；(Ⅱ)求二维随机变量(),X Y 的概率分布. (23)(本题满分11 分) 设总体X 的概率密度为2,0,()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他, 其中参数(0)λλ>未知,12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ) 求参数λ的矩估计量；(Ⅱ )求参数λ的最大似然估计量.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分. (1) 【答案】(A)【解析】()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是0x →时的等价无穷小,则2200232000330()sin sin limlim lim ()ln(1)()sin 1cos sin lim lim lim 36sin lim 1,66x x x x x x x f x x ax x axg x x bx x bx x ax a ax a axbx bx bxa ax ab axb →→→→→→→--=-⋅---=---⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭等洛洛 即36a b =-,故排除B,C.另外,201cos lim3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故1,a =排除D. 所以本题选A. (2) 【答案】(A)【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.令(,)cos f x y y x =,24,D D 两区域关于x 轴对称,(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-,即被积函数是关于y 的奇函数,所以240I I ==；13,D D 两区域关于y 轴对称,(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==,即被积函数是关于x 的偶函数,所以{}{}1(,),013(,),012cos 0,2cos 0.x y y x x x y y x x I y xdxdy I y xdxdy ≥≤≤≤-≤≤=>=<⎰⎰⎰⎰所以正确答案为(A).(3) 【答案】(D)【解析】此题为定积分的应用知识考核,由()y f x =的图形可以看出,其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ,从而可得出下面几个方面的特征：① []1,0x ∈-时,()0F x ≤为线性函数,单调递增； ② []0,1x ∈时,()0F x ≤,且单调递减；③ []1,2x ∈时,()F x 单调递增； ④ []2,3x ∈时,()F x 为常函数； ⑤ ()F x 为连续函数. 结合这些特点,可见正确选项为(D). (4) 【答案】C【解析】解法1 举反例：取(1)nn n a b ==-,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是收敛的,但111n n n n a b n ∞∞===∑∑发散,排除(A)；取1n n a b n ==,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是发散的,但2111n n n n a b n ∞∞===∑∑收敛,排除(B)；取1n n a b n ==,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是发散的,但224111n n n n a b n∞∞===∑∑收敛,排除(D),故答案为(C).解法2 因为lim 0,n n a →∞=则由定义可知1,N ∃使得1n N >时,有1n a <；又因为1nn b∞=∑收敛,可得lim 0,n n b →∞=则由定义可知2,N ∃使得2n N >时,有1n b <,从而,当12n N N >+时,有22n nn a b b <,则由正项级数的比较判别法可知221n nn a b∞=∑收敛.(5) 【答案】(A)【解析】根据过渡矩阵的定义,知由基12311,,23ααα到122331,,αααααα+++的过渡矩阵M 满足：()12233112312311,,,,2310111,,220,23033M αααααααααααα⎛⎫+++= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭所以此题选(A). (6) 【答案】(B)【解析】分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式221236O A A B B O⨯=-=⨯=（）,即分块矩阵可逆,且1116112366.1132O A O A O A O B B O B O B O A O O B O B B O B A O A O A O A *---******⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为(B). (7) 【答案】(C)【解析】因为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭,所以 ()()0.710.322x F x x -⎛⎫'''=Φ+Φ ⎪⎝⎭, 因此, ()()10.30.352x EX xF x dx x x dx +∞+∞-∞-∞⎡-⎤⎛⎫'''==Φ+Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰()10.30.352x x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ ⎪⎝⎭⎰⎰.由于()x Φ为标准正态分布的分布函数,所以()0x x dx +∞-∞'Φ=⎰,()()()()11221222222,x x x dx u u u du u u du u du +∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞--⎛⎫''Φ=+Φ ⎪⎝⎭''=Φ+Φ=⎰⎰⎰⎰()10.30.3500.3520.72x EX x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ=+⨯= ⎪⎝⎭⎰⎰.(8) 【答案】(B) 【解析】(){}{0}{0}{1}{1}11{0}{1}2211{00}{1},22Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==⋅≤=+≤=由于,X Y 相互独立,所以11(){0}{}22Z F z P X z P X z =⋅≤+≤. (1) 当0z <时,1()()2Z F z z =Φ；(2) 当0z ≥时,11()()22Z F z z =+Φ,因此,0z =为间断点,故选(B).二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 【答案】12222xf f xyf '''''++ 【解析】12zf f y x∂''=+⋅∂, 21222212222zxf f yx f xf f xyf x y∂''''''''''=++⋅=++∂∂. (10) 【答案】(1)2x x e -+【解析】由常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+可知1x y e =,2x y xe =为其两个线性无关的解,代入齐次方程,有111222(1)010,[2(1)]020,x xy ay by a b e a b y ay by a a b x e a '''++=++=⇒++='''++=++++=⇒+=从而可见2,1a b =-=,非齐次微分方程为2y y y x '''-+=.设特解*y Ax B =+,代入非齐次微分方程,得2A Ax B x -++=,即11(2)202A A Ax A B x A B B ==⎧⎧+-+=⇒⇒⎨⎨-+==⎩⎩所以特解*2y x =+,通解()122xy C C x e x =+++.把()()02,00y y '==代入通解,得120,1C C ==-.所以所求解为2(1)2x x y xe x x e =-++=-+.(11)【答案】136【解析】由题意可知,2,0y x x =≤≤,则ds ==,所以()21148Lxds x ==+⎰11386==. (12) 【答案】415π 【解析】解法1：()212222002124013500sin cos cos cos cos 42.3515z dxdydz d d d d d d πππππθϕρϕρϕρθϕϕρρϕρππΩ==-⎛⎫=⋅-⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法2：由轮换对称性可知2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰2x dxdydz Ω=⎰⎰⎰2y dxdydz Ω⎰⎰⎰ 所以,()212222400011sin 33z dxdydz x y z dxdydz d d r dr ππϕθϕΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 14002214sin sin 33515d r dr d ππππϕϕϕϕπ==⋅⋅=⎰⎰⎰. (13) 【答案】2【解析】2T αβ=,()2T T βαββαββ∴==⋅,又由于0β≠,T βα∴的非零特征值为2. (14) 【答案】1-【解析】由于2X kS +为2np 的无偏估计量,所以22()E X kS np +=,即2222()()()E X kS np E X E kS np +=⇒+=2(1)1(1)(1)1 1.np knp p np k p pk p p k ⇒+-=⇒+-=⇒-=-⇒=-三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)【解析】 2(,)2(2)x f x y x y '=+,2(,)2ln 1y f x y x y y '=++.令(,)0,(,)0,x y f x y f x y ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩解得唯一驻点1(0,)e .由于212(0,)1(0,)21(0,)11(0,)2(2)2(2),1(0,)40,11(0,)(2),xxexye yy eA f y e eB f xy eC f x e e y ''==+=+''===''==+= 所以 2212(2)0,B AC e e-=-+<且0A >. 从而1(0,)f e是(,)f x y 的极小值,极小值为11(0,)f e e =-.(16)(本题满分9分)【解析】曲线n y x =与1n y x +=的交点为(0,0)和(1,1),所围区域的面积112111111()()001212n n n n n a x x dx x x n n n n +++=-=-=-++++⎰, 111lim 1111111lim()lim(),2312222Nn nN n n N N S a a N N N ∞→∞==→∞→∞===-++-=-=+++∑∑22111211111111(1)22123456n n n n n S a n n n ∞∞∞-=====-=-+-++=-+∑∑∑ （）.考查幂级数1(1)n nn x n ∞=-∑,知其收敛域为(1,1]-,和函数为ln(1)x -+.因为2(1)()ln(1)n nn S x x x x n ∞=-==-+∑,令1x =,得2211(1)1ln 2n n S a S ∞-====-∑.(17)(本题满分11分)【解析】(I)椭球面1S 的方程为222143x y z ++=.设切点为00(,)x y ,则22143x y +=在00(,)x y 处的切线方程为00143x x y y +=.将4,0x y ==代入切线方程得01x =,从而032y ==±. 所以切线方程为142x y ±=,从而圆锥面2S 的方程为222(1)44x y z +-=,即222(4)440x y z ---=.(II)1S 与2S 之间的体积等于一个底面半径为32、高为3的锥体体积94π与部分椭球体体积V 之差,其中22135(4)44V x dx ππ=-=⎰. 故所求体积为9544πππ-=.(18)(本题满分11分) 【解析】(Ⅰ)取()()()()()f b f a F x f x x a b a-=---,由题意知()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且 ()()()()()(),()()()()()().f b f a F a f a a a f a b af b f a F b f b b a f a b a -=--=--=--=-根据罗尔定理,存在(),a b ξ∈,使得()()()()0f b f a F f b aξξ-''=-=-,即()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)对于任意的(0,)t δ∈,函数()f x 在[]0,t 上连续,在()0,t 内可导,由右导数定义及拉格朗日中值定理()()000()0()0lim lim lim ()0t t t f t f f tf f t tξξ++++→→→-'''===-,其中()0,t ξ∈. 由于()0lim t f t A +→'=,且当0t +→时,0ξ+→,所以0lim ()t f A ξ+→'=,故(0)f +'存在,且(0)f A +'=.(19)(本题满分10分)【解析】取2221:1x y z ∑++=的外侧,Ω为∑与1∑之间的部分.()()()11322223322222222.xdydz ydzdx zdxdyI xy zxdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdyxy zxy z∑∑-∑∑++=++++++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰根据高斯公式()13222200xdydz ydzdx zdxdydxdydz x y z∑-∑Ω++==++⎰⎰⎰⎰⎰ .()1122232222134.x y z xdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdyxy zdxdydz π∑∑++≤++=++++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以4I π=.(20)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ)对矩阵1()A ξ 施以初等行变换()11110221111111111012204220000A ξ⎛⎫-- ⎪---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可求得 2122122k k k ξ⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.又2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭,对矩阵21()A ξ 施以初等行变换()211110220122201000044020000A ξ⎛⎫-⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭,可求得 312a a b ξ⎛⎫-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其中,a b 为任意常数.(Ⅱ)解法1 由(Ⅰ)知12311122211,,102222ka ka kbξξξ--+--=-=-≠-, 所以123,,ξξξ线性无关.解法2 由题设可得10A ξ=.设存在数123,,k k k ,使得1122330k k k ξξξ++=, ①等式两端左乘A ,得22330k A k A ξξ+=,即21330k k A ξξ+=, ②等式两端再左乘A ,得2330k A ξ=,即310k ξ=.由于10ξ≠，于是30k =,代入②式,得210k ξ=,故20k =.将230k k ==代入①式,可得10k =,从而1,ξ23,ξξ线性无关.(21)(本题满分11分) 【解析】(Ⅰ)二次型f 的矩阵101111a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.由于01||01()((1))((2))111aE A aa a a a λλλλλλλ---=-=--+----+, 所以A 的特征值为123,1,2a a a λλλ==+=-.(Ⅱ)解法1 由于f 的规范形为2212y y +,所以A 合同于100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其秩为2,故 1230A λλλ==,于是0a =或1a =-或2a =.当0a =时,1230,1,2λλλ===-,此时f 的规范形为2212y y -,不合题意. 当1a =-时,1231,0,3λλλ=-==-,此时f 的规范形为2212y y --,不合题意. 当2a =时,1232,3,0λλλ===,此时f 的规范形为2212y y +. 综上可知,2a =.解法2 由于f 的规范形为2212y y +,所以A 的特征值有2个为正数,1个为零. 又21a a a -<<+,所以2a =.(22)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ) 12211{1,0}463(10)1{0}9()2C P X Z P X Z P Z ⋅========. (Ⅱ)由题意知X 与Y 的所有可能取值均为0,1,2.()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0,461112,0,0,1,36311,1,2,10,910,2,91,20,2,20,C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======故(,)X Y 的概率分布为(23)(本题满分11 分) 【解析】(Ⅰ)2202().x EX xf x dx x e dx λλλ+∞+∞--∞===⎰⎰令X EX =,即2X λ=,得λ的矩估计量为 12Xλ=. (Ⅱ)设12,,,(0,1,2,,)n i x x x x i n >= 为样本观测值,则似然函数为()12121,,,;,nii nx nn i i L x x x ex λλλ=-=∑=⋅∏11ln 2ln ln n ni i i i L n x x λλ===-+∑∑,由1ln 20n i i d L n x d λλ==-=∑,得λ的最大似然估计量为 22X λ=.。

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2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当时,与等价无穷小,则(A) (B)(C)(D) 【考点分析】：等价无穷小，洛必达法则，泰勒公式 【求解过程】：⏹ 方法一：利用洛必达法则和等价无穷小0x →时，ln(1)~bx bx --2320000()sin sin 1cos limlim lim lim 1()ln(1)3x x x x f x x ax x ax a axJ g x x bx bx bx→→→→---=====--- 1a ⇒=否则，J =∞⇒2220011cos 12lim lim 1336x x x x J bx bx b→→-====---16b ⇒=-。

选A ⏹ 方法二：利用泰勒公式或者三角函数的幂级数展开式 由三角函数的幂级数展开式：357111sin 3!5!7x x x x x =-+-+ 所以，3331sin ()(0)6ax ax a x o x x =-+→ 由泰勒公式：3331sin ()(0)6ax ax a x o x x =-+→332301(1)()sin 6lim 1ln(1)x a x x o x x ax J x bx bx →-++-⇒===-- 1a ⇒=，否则J =∞⇒116J b ==-16b ⇒=-。

选A(2)如图，正方形{(,)|1,1}x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域(1,2,3,4)k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=(A)(B)(C)(D)0x →()sin f x x ax =-()()2ln 1g x x bx =-11,6a b ==-11,6a b ==11,6a b =-=-11,6a b =-=1I 2I 3I 4I【考点分析】：利用对称性化简二重积分，二重积分的估值 【求解过程】：1234111222331444(,)cos ,cos ,(,)0,0cos ,(,)0,cos ,(,)0,0cos ,(,)0,A D D D D f x y y x I y xdxdy D f x y I I y xdxdy D x f x y y I I y xdxdy D f x y I I y xdxdy D x f x y y I ==≥≥===≤≤==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰记在上则，关于轴对称，且关于为奇函数，则在上则，关于轴对称，且关于为奇函数，则所以选择。

厦门大学中文系文学理论与文学评论写作2008--2009语言文学基础2008—-2009文学2007文学基础2003——2006中西文艺理论基础2000—-2002,2004--2005文艺评论写作2000——2002中国现当代文学2000-—2006文艺理论2000—-2003，2006——2007中国文学史2001—-2002中国古代文学理论2001——2005中国文学批评史2006语言理论2004中外文学2000—-2002欧美文学与比较文学2004——2006戏剧基础知识2003—-2006文艺基础知识2003——2005美学与文艺理论2000-—2002美学与艺术概论2005语言学2008——2009历史系世界近代史2002世界现代史2002中国近现代史2003——2004世界近现代史2003——2004专门史2002经济专门史2001经济史1999—-2000中国古代史2000中国通史1999—-2002通史1999中国考古学1999-—2005考古学通论1999考古学概论2000——2002中国古代史1999——2005哲学系哲学基础理论2008—-2009中西哲学史2008——2009新闻传播系新闻与传播实务2007——2010（注：2007、2010年试卷为回忆版)新闻学与传播学基础2006——2009(注：2006——2007年试卷为回忆版）新闻业务1999——2006广告学原理1996—-1997，2001-—2002公共关系原理与实务2002中国传播史1999——2005传播学理论2001——2004传播实务2004,2006广告与公关2003（回忆版）2003年传播学复试题目人类学与民族学系人类学理论方法2003人类学概论1999—-2001，2003人类学通论2008——2009文化人类学1999--2001人类学史1999--2001民族学通论2008——2009经济系宏、微观经济学2005-—2009（2005有答案）西方经济学2002,2005经济学2003—-2004,2006，2009—2010世界经济综合2000世界经济A 2000政治经济学2000综合考试（含政治经济学、宏观经济学）2002计划统计系宏、微观经济学2006，2009-2010西方经济学2002,2005经济学2003-—2004，2006，2009-2010世界经济综合2000世界经济A 2000政治经济学2000综合考试（含政治经济学、宏观经济学）2002财政系宏、微观经济学2006，2009-2010西方经济学2002，2005经济学2003—-2004，2006,2009-2010世界经济综合2000世界经济A 2000政治经济学2000综合考试（含政治经济学、宏观经济学）2002财政学1996——1998财政学综合考试1996——1998金融系金融学基础(联考)2002-—2010（2002-—2010有答案) 货币银行学综合考试1998—-2000货币银行学1998——2000货币银行学(复试）2000国际经济与贸易系宏、微观经济学2006，2009-2010西方经济学2002，2005经济学2003--2004,2006，2009-2010世界经济综合2000世界经济A 2000政治经济学2000综合考试（含政治经济学、宏观经济学）2002国际贸易1998——2002经济研究所宏、微观经济学2006，2009—2010西方经济学2002,2005经济学2003——2004,2006,2009—2010世界经济综合2000世界经济A 2000政治经济学2000综合考试（含政治经济学、宏观经济学）2002王亚南经济研究院经济学2003——2004,2006，2009-2010西方经济学2002,2005世界经济综合2000世界经济A 2000政治经济学2000综合考试（含政治经济学、宏观经济学）2002会计系会计学2000--2005会计学综合考试2000-—2002管理学与管理经济学2003——2009（注:2005—-2007年为回忆版）企业管理专业综合考试(含人力资源管理、市场营销学）1998——2002 企业管理（含管理学、财务管理）1998—-2002企业管理系管理学与管理经济学2003—-2007（注：2005--2007年为回忆版)企业管理专业综合考试（含人力资源管理、市场营销学）1998——2002 企业管理（含管理学、财务管理)1998——2002管理科学系运筹学（管理科学系）2002——2009旅游系（无此试卷）法学院法理学与民法学2000--2006法理学1995——2002，2005-—2006法理学与民事诉讼法学2003——2006法理学与宪法学2002，2005——2010（2010为回忆版)民法学1990，1998——2002民法学与商法学2003——2006民法学与宪法学2005-—2006民法学与刑法学2007,2009—-2010（2010为回忆版）综合国际法学2003-—2005国际公法与国际私法1997—-2002国际经济法1997—-2002(国际法学专业)综合考试1997——1999（民商法学、经济法学专业）综合考试2002民事诉讼法2000—-2002商法学2003经济法学1998-—2003民事诉讼法与刑事诉讼法2003宪法学与行政法学2003刑法学与刑事诉讼法学2003，2005——2006行政法与行政诉讼法学2005-—2006政治学系政治学与公共管理学2007—-2009政治学与行政学2003——2006政治学原理2002行政学2002现代政治思想（中、西）2008-—2009公共管理系政策科学与经济学2007--2009政治学与公共管理学2007——2009政治学与行政学2003—-2006（word版本）政治学原理2002行政学2002综合考试（行政管理）2002——2006(注:无管理学部分）（word版本) 社会保障专业试题2004社会学系社会学原理2005，2008—-2009社会调查研究方法2005，2008-—2009人口研究所宏、微观经济学2006，2009—2010西方经济学2002,2005经济学2003——2004，2006，2009-2010政治经济学2000综合考试（含政治经济学、宏观经济学）2002思想政治教育系政治学与公共管理学2007——2009政治学与行政学2003——2006政治学原理2002行政学2002政治学2008——2009中共党史与思想政治教育学2008——2009英文系二外法语2001，2003—-2005（注:2001年的试卷共14页,缺第4页）二外日语2003二外德语2006——2009英语基础知识2003—-2005（2005有答案）英语语言文学基础知识2002阅读及英美文学、语言学基础2003-—2009（2006-—2009有答案）（注：2006—-2009年的答案只有语言学基础部分的答案）阅读理解与英美文学基础知识1998——2000阅读理解及语言学、英美文学基础知识2001阅读与写作2002翻译与写作2003——2004写作与英汉互译2003—-2006,2009英语写作2000英汉、汉英翻译1998——2002欧洲语言文学系二外英语2003——2006，2009（2009有答案）公共外语教学部二外法语2001，2003-—2005（注：2001年的试卷共14页，缺第4页)二外日语2003二外德语2006—-2009英语基础知识2003--2005（2005有答案）英语语言文学基础知识2002阅读及英美文学、语言学基础2003——2009(2006——2009有答案）(注：2006—-2009年的答案只有语言学基础部分的答案）阅读理解与英美文学基础知识1998--2000阅读理解及语言学、英美文学基础知识2001阅读与写作2002翻译与写作2003——2004写作与英汉互译2003--2006,2009英语写作2000英汉、汉英翻译1998-—2002日本语言文学系二外英语2003—-2006，2009（2009有答案）基础日语2005-—2006综合日语2003——2006日本文学2004日本文学史2003日语语言文化2004音乐系音乐学基础2008—-2009中外音乐史2008——2009美术系设计史2007——2009设计史论2004——2006艺术概论2007——2009中外美术史2008—-2009物理系高等数学（无线电物理专业)1998，2001-—2005电子线路2001——2002,2008——2009［其中2001年试题名称为：综合考试] 普通物理学2002——2004,2006——2009（2006-—2007有答案)电动力学2002量子力学2002量子力学与电动力学2003——2004机电工程系自动控制原理2000-—2002，2004——2006，2008——2009模拟电路与数字逻辑2000-—2002微机原理2003-—2005微机原理及应用2000——2002电子线路2001--2002，2008——2009［其中2001年试题名称为：综合考试］普通物理学2002——2004，2006——2009（2006——2007有答案）电动力学2002量子力学2002量子力学与电动力学2003——2004数学科学学院综合基础Ⅱ（数学各专业）（含高等代数、抽象代数）2007,2010基础综合Ⅰ（含数学分析、实变函数、常微分方程）2005—-2006数学分析2003——2004高等代数2003化学系物理化学1990—-1991,2000—-2002，2004，2007——2009(2008有答案）高分子化学1999高分子化学与物理2008-—2010分析化学2008——2010无机化学2008—-2009化学工程与生物工程系高分子化学1999高分子化学与物理2008——2010传递过程与单元操作2008-—2009材料科学与工程系高分子化学1999高分子化学与物理2008-—2010材料科学基础2008-—2009基础化学2008——2010生命科学学院生物化学1999-—2001，2003--2010细胞生物学1994——2009微生物学2002——2010生物学2005普通生物学1994—-2000，2002——2003，2005生物学概论1999，2001，2004生态学2007——2010普通生态学2001——2010植物生态学1996——2003，2005普通生物学基础2004——2005海洋生态学1987——2002，2004——2005动物生理与海洋生态学2003普通动物学1998-—2003植物生理学1998——2002植物生理生化2003植物生物学2005——2009动物生物学2003，2005,2007-—2010动物学1993——2005海洋系生物化学1999——2001,2003-—2010细胞生物学1994-—2009微生物学2002—-2010生物学2005普通生物学1994——2000,2002—-2003，2005，2008--2009 生物学概论1999，2001，2004生态学2007——2010普通生态学2001——2010植物生态学1996-—2003，2005普通生物学基础2004——2005海洋生态学1987—-2002，2004——2005动物生理与海洋生态学2003普通动物学1998—-2003植物生理学1998——2002植物生理生化2003植物生物学2005——2009动物生物学2003,2005,2007——2010动物学1993—-2005海洋地质学2008——2009海洋管理概论2005——2009海洋科学导论2008——2009声学基础与数字电路2003——2009数学物理基础2008--2009无机化学2008——2009物理化学2008——2009环境科学中心环境评价规划与管理2001—-2009（其中2001、2002年分为规划管理与评价学两份试题）环境学导论2002—-2009环境工程学2007-2010有机化学（环境科学、环境管理专业）2002—-2006分析化学（环境科学、环境管理专业）2002——2006，2008——2009生物化学1999-—2001,2003-—2010细胞生物学1994——2009微生物学2002--2010生物学2005普通生物学1994——2000，2002——2003，2005生物学概论1999，2001,2004生态学2007——2010普通生态学2001—-2010植物生态学1996——2003，2005普通生物学基础2004——2005海洋生态学1987——2002，2004-—2005动物生理与海洋生态学2003普通动物学1998——2003植物生理学1998——2002植物生理生化2003植物生物学2005—-2009动物生物学2003，2005，2007--2010动物学1993——2005普通物理学2008——2009计算机科学系数据结构与计算机组成原理2003——2007数据结构与高级程序设计1997—-2002（2001有答案,答案只有数据结构部分）数据结构与C语言2004操作系统与编译原理1997-—2001组成原理与汇编语言2002电子工程系高等数学(无线电物理专业）1998,2001—-2005模拟电路与数字逻辑2000——2002信号与系统2007——2008（2007有答案）电路、信号与线性系统2003—-2006,2009（2006有答案）（注：2006年试卷缺电路的题，只有信号与线性系统的题，共4页，缺第3、4页）自动控制原理2000-—2002,2004——2006,2008-—2009电子线路2001——2002，2008——2009［其中2001年试题名称为：综合考试］普通物理学2002—-2004，2006-—2009(2006——2007有答案）电动力学2002量子力学2002量子力学与电动力学2003—-2004光电子技术2008——2009自动化系模拟电路与数字逻辑2000——2002自动控制原理2000——2002,2004——2006，2008-—2009电子线路2001——2002，2008——2009[其中2001年试题名称为：综合考试] 普通物理学2002——2004，2006——2009(2006-—2007有答案)电动力学2002量子力学2002量子力学与电动力学2003--2004数据结构2008—-2009通信工程系信号与系统2007-—2008(2007有答案)电路、信号与线性系统2003——2006，2009(2006有答案)（注：2006年试卷缺电路的题，只有信号与线性系统的题,共4页，缺第3、4页）电子线路2001—-2002，2008--2009[其中2001年试题名称为：综合考试]医学院生物医学研究院药物化学2008-—2009有机化学（医）2008-—2009生物化学2007——2009物理化学(医学院）2010生理学2010建筑系建筑设计2001——2002中外建筑历史2001——2002，2008——2009概念性快速建筑设计2008——2009建筑技术概论2008—-2009土木系材料力学2008——2009结构力学2008-—2009南洋研究院国际政治2003-—2009国际关系史2003——2009宏、微观经济学2006，2009—2010经济学2003——2004,2006，2009-2010西方经济学2002，2005世界经济综合2000世界经济A 2000政治经济学2000综合考试（含政治经济学、宏观经济学）2002台湾研究院宏、微观经济学2006，2009—2010经济学2003-—2004，2006,2009—2010西方经济学2002，2005世界经济综合2000世界经济A 2000政治经济学2000综合考试（含政治经济学、宏观经济学）2002 政治学与行政学2004——2005（缺案例分析）中西文艺理论基础2000-—2002，2004—-2005 文艺评论写作2000-—2002中国现当代文学2000--2005文学基础2003——2004中外文学2000—-2002世界近代史2002世界现代史2002中国古代史2000通史1999中国近现代史2002——2004世界近现代史2003——2004现代政治思想（中、西）2008--2009教育研究院普通心理学1986-—1988,2000-—2005普通教育学2000——2005教育学1985,1987——1988高等教育学专业综合考试1985——1987心理学1985，1987发展心理学与教育心理学1987—-1988 中外教育史、比较教育学1999—-2001。

2009年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当0x ®时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小,则(A)11,6a b ==- (B)11,6a b ==(C)11,6a b =-=- (D)11,6a b =-=(2)如图,正方形(){},1,1x y x y ££被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =,cos kk D I y xdxdy =òò,则{}14max k k I ££=(A)1I(B)2I(C)3I (D)4I(3)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为上的图形为则函数()()0xF x f t dt =ò的图形为的图形为1 ()f x-20 2 3x-1O(A)(B)(C)(D)(4)设有两个数列{}{},n n a b ,若lim 0n na ®¥=,则()f x23x1-2-11 ()f x0 23x1-1 1 ()f x0 2 3x1 -2-1 1()f x23x1-2 -11(A)当1n n b ¥=å收敛时,1n n n a b ¥=å收敛.(B)当1n n b ¥=å发散时,1n n n a b ¥=å发散.(C)当1n n b ¥=å收敛时,221n nn a b ¥=å收敛. (D)当1n n b ¥=å发散时,221n n n a b ¥=å发散.(5)设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311,,23ααα到基12233,,+++αααααα的过渡矩阵为的过渡矩阵为 (A)101220033æöç÷ç÷ç÷èø (B)120023103æöç÷ç÷ç÷èø(C)111246111246111246æö-ç÷ç÷ç÷-ç÷ç÷ç÷-ç÷èø (D)111222111444111666æö-ç÷ç÷ç÷-ç÷ç÷ç÷-ç÷èø(6)设,A B均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3==A B ,则分块矩阵O A B O æöç÷èø的伴随矩阵为的伴随矩阵为(A)**32OB AO æöç÷èø (B)**23O B AO æöç÷èø(C)**32O A B O æöç÷èø (D)**23OA B O æöç÷èø(7)设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -æö=F +F ç÷èø,其中()x F 为标准正态分布函数,则EX =(A)0 (B)0.3 (C)0.7 (D)1(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====,记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为点个数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数,(),z f x xy =,则2z x y ¶=¶¶. (10)若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by ¢¢¢++=的通解为()12e xy C C x =+,则非齐次方程y ay by x ¢¢¢++=满足条件()()02,00y y ¢==的解为y =. (11)已知曲线()2:02L y xx =££,则Lxds =ò. (12)设(){}222,,1x y z x y z W =++£,则2z dxdydz W=òòò. (13)若3维列向量,αβ满足2T =αβ,其中Tα为α的转置,则矩阵Tβα的非零特征值为. (14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量,则k =.三、解答题(15－23小题,共94分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分9分) 求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.(16)(本题满分9分) 设n a 为曲线n y x =与()11,2,.....n y x n +==所围成区域的面积,记122111,n n n n S a S a ¥¥-====åå,求1S 与2S 的值.(17)(本题满分11分) 椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成,圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成.(1)求1S 及2S 的方程. (2)求1S 与2S 之间的立体体积.(18)(本题满分11分)(1)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在(),a b x Î,使得()()()()f b f a f b a x ¢-=-.(2)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0d d >内可导,且()0lim x f x A +®¢=,则()0f +¢存在,且()0f A +¢=.(19)(本题满分10分) 计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdy I x y z ++=å++òò,其中å是曲面222224x y z ++=的外侧.(20)(本题满分11分)设111111042--æöç÷=-ç÷ç÷--èøA ,1112-æöç÷=ç÷ç÷-èøξ(1)求满足21=A ξξ的2ξ.2231=A ξξ的所有向量2ξ,3ξ. (2)对(1)中的任意向量2ξ,3ξ证明123,,ξξξ无关.(21)(本题满分11分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x xx x =++-+-.(1)求二次型f 的矩阵的所有特征值;(2)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值.(22)(本题满分11分)袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(1)求{}10p X Z ==.(2)求二维随机变量(),X Y 概率分布. (23)(本题满分11 分)设总体X 的概率密度为2,0()0,xxe x f x l l-ì>=íî其他,其中参数(0)l l >未知,1X ,2X ,…n X 是来自总体X 的简单随机样本.(1)求参数l的矩估计量.(2)求参数l的最大似然估计量.2009年考研数学试题答案与解析（数学一）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分. （1）当0x ®时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则等价无穷小，则(A)11,6a b ==-. (B)11,6a b ==.(C)11,6a b =-=-.(D)11,6a b =-=. 【答案】【答案】A. 【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx®®®®®---==-×---洛洛230sin lim 166x a ax a b b ax a®==-=-× 36a b \=- 故排除(B)、(C). 另外201cos lim3x a axbx®--存在，蕴含了1cos 0a ax -®()0x ®故 1.a =排除(D). 所以本题选（A ）. （2）如图，正方形(){},1,1x y x y ££被其对角线划分为被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =òò，则{}14max kk I ££=(A)1I . (B)2I . (C)3I . (D)4I .【答案】【答案】A. 【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ³££=>òò； {}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy £-££=<òò.所以正确答案为(A).-1-111xy 1D 2D3D4D（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为上的图形为则函数()()0x F x f t dt =ò的图形为的图形为(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x Î时，()0F x £，且单调递减.②[]1,2x Î时，()F x 单调递增. ③[]2,3x Î时，()F x 为常函数.()f x O23x1-2-11()f x O 23x1-1 1 ()f x O 2 3x1-2-11()f x O23x1-2 -11 1()f x -2O 2 3x-11④[]1,0x Î-时，()0F x £为线性函数，单调递增.⑤由于F(x)为连续函数为连续函数结合这些特点，可见正确选项为（D ）.（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a ®¥=，则，则（A ）当1nn b¥=å收敛时，1n nn a b¥=å收敛. （B ）当1nn b¥=å发散时，1n nn a b¥=å发散.(C)当1n n b ¥=å收敛时，221n nn a b ¥=å收敛. (D)当1n n b ¥=å发散时，221n nn a b ¥=å发散.【答案】C. 【解析】方法一：【解析】方法一：举反例：（A ）取1(1)n n na b n==-（B ）取1n n a b n ==（D ）取1n na b n ==故答案为（C ）.方法二：因为lim 0,n n a ®¥=则由定义可知1,N $使得1n N >时，有1na <又因为1n n b ¥=å收敛，可得lim 0,n n b ®¥=则由定义可知2,N $使得2n N >时，有1n b < 从而，当12n N N >+时，有22n nn a b b <，则由正项级数的比较判别法可知221n nn a b¥=å收敛.（5）设123,,a a a 是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23a a a 到基到基122331,,a a a a a a +++的过渡矩阵为的过渡矩阵为(A)101220033æöç÷ç÷ç÷èø. (B)120023103æöç÷ç÷ç÷èø.(C)111246111246111246æö-ç÷ç÷ç÷-ç÷ç÷ç÷-ç÷èø. (D)111222111444111666æö-ç÷ç÷ç÷-ç÷ç÷ç÷-ç÷èø. 【答案】A.【解析】因为()()1212,,,,,,n nA h h h a a a =，则A 称为基12,,,n a a a 到12,,,nh h h 的过渡矩阵. 则由基12311,,23a a a 到122331,,a a a a a a +++的过渡矩阵M 满足满足()12233112311,,,,23M a a a a a a a a a æö+++=ç÷èø12310111,,22023033a a a æöæöç÷=ç÷ç÷èøç÷èø所以此题选(A).（6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O æöç÷èø的伴随矩阵为的伴随矩阵为 ()A **32O B A O æöç÷èø.()B **23OB A O æöç÷èø. ()C **32O A B O æöç÷èø.()D **23O A B O æöç÷èø. 【答案】B.【解析】根据CC C E *=，若111,C C C CC C *--*==分块矩阵O A B O æöç÷èø的行列式221236O AA B B O ´=-=´=（），即分块矩阵可逆，即分块矩阵可逆11116601O B BO A O A O A O B B O B B O A O A O A **---*æöç÷æöæöæöç÷===ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøç÷èø1236132O B OB A O A O ****æöç÷æö==ç÷ç÷ç÷èøç÷èø故答案为（B ）.（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -æö=F +F ç÷èø，其中()x F 为标准正态分布函数，则EX =(A)0. (B)0.3. (C)0.7. (D)1. 【答案】C.【解析】因为()()10.30.72x F x x -æö=F +F ç÷èø， 所以()()0.710.322x F x x -æö¢¢¢=F +F ç÷èø， 所以()()10.30.352x EXxF x dxx x dx +¥+¥-¥-¥é-ùæö¢¢¢==F +F ç÷êúèøëûòò()10.30.352xx x dx x dx +¥+¥-¥-¥-æö¢¢=F +F ç÷èøòò而()0x x dx +¥-¥¢F =ò，()()11221222x x x dx u u u du +¥+¥-¥-¥--æö¢¢F =+F =ç÷èøòò 所以00.3520.7EX =+´=.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为的间断点个数为 (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.【答案】【答案】B.【解析】【解析】()()(0)(0)(1)(1)1[(0)(1)]21[(00)(1)]2Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =£=£==+£===£=+£==×£=+£=,X Y 独立独立1()[(0)()]2Z F z P X z P X z \=×£+£（1）若0z <，则1()()2Z F z z =F（2）当0z ³，则1()(1())2Z F z z =+F0z \=为间断点，故选（B ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2zx y ¶=¶¶. 【答案】"'"12222xf f xyf ++. 【解析】''12z f f yx ¶=+׶，2"'""'"1222212222z xf f yx f xf f xyf x y ¶=++×=++¶¶. （10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by ¢¢¢++=的通解为()12x y C C x e =+，则非齐次方程y ay by x ¢¢¢++=满足条件()()02,00y y ¢==的解为y = . 【答案】2xy xe x =-++.【解析】由12()x y c c x e =+，得121l l ==，故2,1a b =-= 微分方程为''2'y y y x -+=设特解*y Ax B =+代入，',1y A A ==220,2A Ax B xB B -++=-+==\特解特解 *2y x =+\12()2x y c c x e x =+++ 把 (0)2y = ，'(0)0y =代入，得120,1c c ==- \ 所求2xy xe x =-++ （11）已知曲线()2:02L y x x =££，则Lxds =ò. 【答案】136【解析】由题意可知，2,,02x x y x x ==££，则，则()()22214ds x y dx x dx ¢¢=+=+，所以()22222011414148Lxds x x dx x d x =+=++òòò()2320121314836x =×+=（12）设(){}222,,1x y z x y z W =++£，则2z dxdydz W=òòò. 【答案】415p .【解析】【解析】 方法一：21222200sin cos z dxdydz d d d ppqj r jr j r =òòòòòò()2124000cos cos d d d ppq j j r r =-òòò3cos 1423515d pjp j p =×-×=ò方法二：由轮换对称性可知2z dxdydz W=òòò2x dxdydz W=òòò2y dxdydz Wòòò所以，()212222400011sin 33z dxdydz x y z dxdydz d d r dr p p j q j W W=++=òòòòòòòòò 14002214sin sin 33515d r dr d pp p p pj j j j =××=òòò （13）若3维列向量,a b 满足2Ta b =，其中T a 为a 的转置，则矩阵Tba 的非零特征值为.【答案】2.【解析】2Ta b =()2TTba b b a b b \==×,Tba \的非零特征值为2. (14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量，则k = . 【答案】1-. 【解析】2X kS -+为2np 的无偏估计的无偏估计22()E X kX np -\+=2(1)1(1)(1)11np knp p npk p p k p p k \+-=\+-=\-=-\=-三、解答题：15~23小题，共94分.（15）（本题满分9分）分） 求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.【解析】【解析】2(,)2(2)0x f x y x y ¢=+=2(,)2ln 10y f x y x y y ¢=++=故10,x y e= =2212(2),2,4xx yy xyf y f x f xy y¢¢¢¢¢¢=+ =+=则12(0,)12(2)xxef e¢¢=+，1(0,)0xy ef ¢¢=，1(0,)yyef e ¢¢=. 0xx f ¢¢>而2()0xy xx yy f f f ¢¢¢¢¢¢-<\二元函数存在极小值11(0,)f e e=-.（16）（本题满分9分）分）设n a 为曲线n y x =与()11,2,.....n y x n +==所围成区域的面积，记所围成区域的面积，记122111,n n n n S a S a ¥¥-====åå，求1S 与2S 的值.【解析】由题意，ny x =与n+1y=x 在点0x =和1x =处相交，处相交，所以112111111a ()()1212nn n n n x xdx xxn n n n +++=-=-=-++++ò，从而1111111111S lim lim(-)lim()23122+22Nn nN N Nn n a a N N N ¥®¥®¥®¥=====-++=-=++åå 2211111111111111=)22+1232N 2N+123456n n n S a n n ¥¥-====--++-=-+-+åå（）（ 由2(1)1(1)2n n x x n-++-+ln(1+x)=x- 取1x =得22111ln(2)1()11ln 2234S S =--+=-Þ=-.（17）（本题满分11分）椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成.（Ⅰ）求1S 及2S 的方程的方程 （Ⅱ）求1S 与2S 之间的立体体积.【解析】（I ）1S 的方程为222143x y z ++=，过点()4,0与22143x y +=的切线为122yx æö=±-ç÷èø， 所以2S 的方程为222122y z x æö+=-ç÷èø.（II ）1S 与2S 之间的体积等于一个底面半径为32、高为3的锥体体积94p 与部分椭球体体积V 之差，其中22135(4)44V x dx p p =-=ò.故所求体积为9544p p p -=.（18）（本题满分11分）分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在(),a b x Î，使得()()()()f b f a f b a x ¢-=-（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0d d >内可导，且()0lim x f x A +®¢=，则()0f+¢存在，且()0f A +¢=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aj -=----，易验证()x j 满足：满足：()()a b j j =；()x j 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aj -=--.根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点x ，使'()0j x =，即，即'()f x '()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b ax --=\-=-- （Ⅱ）任取0(0,)x d Î，则函数()f x 满足：在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x x d ÎÌ，使得，使得()'00()(0)x f x f f x x -=-……()*又由于()'0lim x fx A +®=，对上式（*式）两边取00x +®时的极限可得：时的极限可得：()()00000'''00()00lim lim ()lim ()0x x xx x f x f f f f A x x x x ++++®®®-====-故'(0)f +存在，且'(0)f A+=.（19）（本题满分10分）计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z++=å++òò，其中å是曲面是曲面222224x y z ++=的外侧.【解析】2223/2()xdydz ydxdz zdxdyI x y z S++=++òò，其中222224x y z ++= 2222223/22225/22(),()()xy z x x x y z x y z ¶+-=¶++++①2222223/22225/22(),()()y x z y y x y z x y z ¶+-=¶++++② 2222223/22225/22(),()()zx y z z x y z x y z ¶+-=¶++++③ \①+②+③=2223/22223/22223/2()()()0()()()xyzx x y z y x y z z x y z ¶¶¶++=¶++¶++¶++由于被积函数及其偏导数在点（由于被积函数及其偏导数在点（00，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧））处不连续，作封闭曲面（外侧）222211:.016x y z R R S ++=<<有1132223/233313434()3xdydz ydxdz zdxdy xdydz ydxdz zdxdy R dV x y z R R R p p S S S W ++++====×=++òòòòòòòòò（20）（本题满分11分）分）设111111042A --æöç÷=-ç÷ç÷--èø 1112x -æöç÷=ç÷ç÷-èø（Ⅰ）求满足21A x x =的2x . 231A x x =的所有向量2x ,3x .（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2x ,3x 证明1x ,2x ,3x 无关.【解析】（Ⅰ）解方程21A x x =()1111111111111,111100000211042202110000A x ---------æöæöæöç÷ç÷ç÷=-®®ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷---èøèøèø()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k x æöæöç÷ç÷=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø，其中1k 为任意常数.解方程231A x x =2220220440A æöç÷=--ç÷ç÷èø()21111022012,2201000044020000A x -æöç÷-æöç÷ç÷=--®ç÷ç÷ç÷ç÷èøç÷èø故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200h æöç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷èø 故 321121000k x æöç÷æöç÷ç÷=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøç÷èø，其中2k 为任意常数. （Ⅱ）证明：（Ⅱ）证明：由于121212*********21112(21)()2()(21)22221k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+ 102=¹故123,,x x x 线性无关. （21）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x xx x =++-+-（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.【解析】（Ⅰ）（Ⅰ） 0101111a A a a æöç÷=-ç÷ç÷--èø 0110||01()1111111aaa E A a a a a l l l l l l ll -----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a l l l l l l l l l l l l l l l l =---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+-- 123,2,1a a a l l l \==-=+（Ⅱ）（Ⅱ）若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则 1) 若10a l ==，则，则 220l =-< ，31l = ，不符题意，不符题意 2) 若20l = ，即2a =，则120l =>，330l =>，符合，符合3) 若30l = ，即1a =-，则110l =-< ，230l =-<，不符题意，不符题意 综上所述，故2a =.（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. （Ⅰ）求{}10p X Z ==；（Ⅱ）求二维随机变量(),X Y 概率分布.【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球12113324(10)9C P X Z C C ´\====×. （Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故，故()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ××========××××========×××=======××====×======X Y0 1 20 1/4 1/6 1/36 1 1/3 1/9 0 21/9（23）（本题满分11 分）分）设总体X 的概率密度为2,0()0,xxex f x ll -ì>=íî其他，其中参数(0)l l >未知，1X ,2X ,…,n X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ)求参数l 的矩估计量；的矩估计量； （Ⅱ）求参数l 的最大似然估计量的最大似然估计量【解析】【解析】 （1）由EX X =而22022ˆxEX x edx X Xl l l l+¥-===Þ=ò为总体的矩估计量为总体的矩估计量 （2）构造似然函数）构造似然函数()()12111L ,.....,;;ni i n nx nn i i i i x x f x x e l l l l =-==å==××ÕÕ取对数11ln 2ln ln n ni i i i L n x x l l ===+-åå令111ln 222001ni n n i iii i d L nnx d x x nl ll====Þ-=Þ==ååå故其最大似然估计量为2Xl ¢¢=。

《2013厦门大学616数学分析真题》入学考试试题科目代码：616科目名称：数学分析招生专业：数学科学学院各专业一、（16分）设数列{x n }单调递增、非负，并且lim n →∞x n =a ,证明lim n →∞(a 21+a 22+...+a n n )1n =a二、（15分）设函数f 在[a,b]上为单调函数，且f (a )>a,f (b )<b 。

求证存在x 0∈[a,b ]使得f (x 0)=x 0。

三、（15分）设f ∈C [a,b ],且∫10f (x )dx =∫10xf (x )dx =0,∫10x 2f (x )dx =1，求证存在x 0∈[0,1]，满足 f (x 0) ≥12四、（15分）函数u=u(x,y)在整个平面上有二阶连续的偏导数。

求证∆u =∂2u ∂2x +∂2u ∂2y =0的充分必要条件是 C ∂u ∂−→n ds =0，其中−→n 为光滑封闭曲线C 的单位外法向量。

五、（15分）设函数f 在区间[a,b]可导，f (a +b 2)=0，且 f ′(x ) ≤M ,证明 ∫b a f (x )dx ≤M 2(a −b )21六、（20分）设{f n }为闭区间[a,b]上的一个函数列，并且满足(1)对任何z ∈[a,b ],f n (z )是一个有界数列;(2)∀ε>0,∃δ>0，使得当 x −y <σ时，对一切自然数，有‘ f n (x )−f n (y ) <ε七、（20分）设f 在区间[a,b]上非负，连续且lim x →∞f (x )=0(1)证明f 在区间[a,b]上取到最大值;(2)f 在区间[a,b]上能否取到最小值？（回答问题并说明理由）八、（20分）设f 在[0,∞)可微且有界，证明存在x n ⊂[0,+∞)使得x n →∞并且f (x n )→0九、（15分）计算二重积分∫∫∑zdxdy ，其中∑是三角形{(x,y,z ):x,y,z ≥0,x +y +z =1}。