正弦函数的图像和性质(一)

正弦函数的图象和性质（一）一、 本节的重点与难点重点：正弦函数x y sin =的图象；难点：理解弧度制到x 轴上点的对应以及正弦函数的图象及其应用；二、预习达标：正弦函数x y sin =的图象的画法:1. 用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象（几何法）2. 用五点法做正弦函数的简图（描点法）在要求不太高的情况下可采用五点法作图，五点是 , , , , 3. 正弦曲线：正弦函数 的图象叫做正弦曲线.三、典例解析例1（用五点法作与正弦函数有关的函数的图象） 用“五点法”作函数,sin 1x y +=在[]π2,0上的简图.变训1：用五点法分别作出下列函数在[]ππ2,2-上的简图，并指出各图象与x y sin =，∈x []ππ2,2-的图象的位置关系：（1）x y sin -=； （2）)sin(x y -=.例2 (正弦函数的简单应用) 利用正弦函数的图象，求满足23sin ≥x 的x 的集合.变训2：利用正弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin ≤x .四、当堂小结： 五、当堂达标：1.在[0，2π]上，满足sinx ≥21的x 取值范围是（） A.]6,0[πB.[65,6ππ]C.[32,6ππ]D.[ππ,65]2.从函数x y sin =，[]π2,0∈x 的图象来看，对应21sin =x 的x 有（ ）A ．1个值 B.2个值 C ．3个值 D.4个值 3.x y sin -=的图象可由x y sin =的图象作如下对称得到（ ） A ．x 轴对称 B.y 轴对称 C ．原点对称 D.直线x y =对称4.在同一坐标系中，函数x y sin =，[]π2,0∈x 与x y sin =，[]ππ4,2∈x 的图象（ ） A ．重合 B.形状相同，位置不同 C ．关于y 轴对称 D.形状不同，位置不同5.用五点法作x y 2sin =的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A ．ππππ2,23,,2,0 B ．ππππ,43,2,4,0 C ．ππππ4,3,2,,0 D ．32,2,3,6,0ππππ正弦函数的图象和性质（二）一、本节的重点与难点重点：正弦函数x y sin =的图象和性质； 难点：正弦函数图象与性质的应用；二、预习达标：1. 正弦函数x y sin =的图象：2. 正弦函数x y sin =的性质： （1）定义域： （2）值域正弦函数x y sin =，R x ∈，当且仅当Z k k x ∈+=,22ππ时，正弦函数取得最大值 ；当且仅当Z k k x ∈+-=,22ππ时，正弦函数取得最小值（3）周期性：x y sin =的周期是 （0,≠∈k Z k ），最小正周期为（4）奇偶性：R x x y ∈=,sin 是 函数，图象关于 对称.正弦曲线也是中心对称图形，对称中心为 也是轴对称图形，对称轴方程是（5）单调性：单调增区间 ；单调减区间三、典例解析例1(正弦函数值域和最值的应用)设3sin -=t x ，R x ∈，求t 的取值范围.变训1：设m x -=4sin 2，R x ∈，求m 的取值范围例2 求使下列函数取得最大值和最小值的x 地取值范围，并说出最大值和最小值是什么： （1）x y 2sin =； （2）2sin +=x y ； （3）2)1(sin 2+-=x y变训2：（1）x y 2sin -=，R x ∈（2）2)23(sin 2--=x y ；（3）45sin 3sin2++-=x x y例3（正弦函数周期性的应用）求下列函数的周期： (1) x y 2sin =; (2))621sin(π+=x y变训3：（1）x y 3sin =； （2）4sin3x y =； （3）)62sin(2π-=x y例4（正弦函数单调性的应用）求下列函数的单调区间： （1）R x x y ∈-=,sin 1； （2）R x x y ∈-=),42sin(2π变训4： 求下列函数的单调区间： （1）R x x y ∈=,2sin ； （2） )32sin(π+-=x y四、当堂小结 五、当堂达标：1. 下列函数最小正周期为π4的是（ ） A ．x y 4sin = B.x y 2si n = C.x y 21sin= D.x y 41si n =2.比较大小：︒︒165sin __105sin ； )10sin(__)18sin(ππ--； )417sin(__)523sin(ππ--3.已知函数R x x y ∈-=,2sin 211 .（1） 求值域； （2）求最小正周期； （3）判断奇偶性；（4）求单调增区间； （5）求使函数取得最小值时x 的取值范围.正弦函数的图象和性质（三）一、 本节的重点与难点重点：正弦型函数的图象特征和性质；难点：)sin(ϕω+=x A y 与x y sin =之间的图象变换规律及正弦型函数的单调区间等性质二、预习达标1. 正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 的主要性质：)sin(ϕω+=x A y （0,0>>ωA ）的周期T = ，频率f = ，初相 ，相位 ，振幅 ，值域 2. 三角函数的图象变换（1）振幅变换：)0(sin >=A x A y 的图象可由x y sin =图象上各点的横坐标不变，纵坐 标 （1>A ）或 （10<<A ）到原来的 倍而得到.（2）相位变换：)sin(ϕ+=x y 的图象可由x y sin =图象上各点向 （0>ϕ）或 向 （0<ϕ）平行移动ϕ个单位长度而得到.（3）周期变换：)0(sin >=ωωx y 的图象可由x y sin =图象上各点的纵坐标不变，横坐标 （10<<ω）或 （1>ω）到原来的 倍而得到.三、典例解析例1（用五点法画出)sin(ϕω+=x A y （0,0>>ωA ）的图象，并研究与x y sin =图象间的关系）用五点法在同一坐标系中画出函数x y sin =，x y sin 3=，)3sin(3π+=x y ，)32sin(3π+=x y 在一个周期内的图象，并根据所画图象说明)32sin(3π+=x y 的图象可由x y sin =的图象经过怎样的变换而得.变训 1 用五点法作图：)421sin(21π-=x y ，并说明所画图象可由x y sin =的图象经过怎样的变换而得例2（求函数)sin(ϕω+=x A y （0,0>>ωA ）的解析式）右图是y ＝Asin(ϕω+x )（πϕω<>>,0,0A ）图象的一段，求其解析式变训2已知函数f （x ）=A sin （ωx +ϕ）（A >0，ω>0，x ∈R ） 在一个周期内的图象如图所示，求解析式.四、当堂小结五、当堂达标1.函数)33sin(51π-=x y 的振幅是 ，频率是 初相是2．要得到y ＝3sin(2x+4π)的图象只需将y ＝3sin2x 的图象（ ） A ．左移4πB ．右移4πC ．左移8πD ．右移8π3.已知y ＝Asin(ωx+φ)在一个周期内，当x=12π时取得最大值2，当π127=x 时取得最小值－2，则（ ） A.)3sin(21π+=x y B.)32sin(2π+=x y C.)62sin(2π+=x y D.)62sin(2π+=x y4.把函数x y 3sin =的图象进行怎样的变换，就能得到下列函数的图象： （1）)33sin(π-=x y ； （2）)33sin(π+=x y ； （3）x y sin -=； （4）x y 3sin -=。

教案：正弦型函数的图像和性质第一章：正弦函数的定义与图像1.1 引入正弦函数的概念解释正弦函数的定义：y = sin(x)说明正弦函数的单位圆定义：在一个单位圆上，正弦函数表示的是圆上一点的y 坐标值1.2 绘制正弦函数的图像利用图形计算器或绘图软件，绘制y = sin(x)的图像观察图像的特性：周期性、振幅、相位、对称性等1.3 分析正弦函数的性质周期性：正弦函数的图像每隔2π重复一次振幅：正弦函数的最大值为1，最小值为-1相位：正弦函数的图像向左或向右平移，但不改变其形状第二章：余弦函数的定义与图像2.1 引入余弦函数的概念解释余弦函数的定义：y = cos(x)说明余弦函数的单位圆定义：在一个单位圆上，余弦函数表示的是圆上一点的x 坐标值2.2 绘制余弦函数的图像利用图形计算器或绘图软件，绘制y = cos(x)的图像观察图像的特性：周期性、振幅、相位、对称性等2.3 分析余弦函数的性质周期性：余弦函数的图像每隔2π重复一次振幅：余弦函数的最大值为1，最小值为-1相位：余弦函数的图像向左或向右平移，但不改变其形状第三章：正切函数的定义与图像3.1 引入正切函数的概念解释正切函数的定义：y = tan(x)说明正切函数的定义域：正切函数在除原点以外的所有实数上都有定义3.2 绘制正切函数的图像利用图形计算器或绘图软件，绘制y = tan(x)的图像观察图像的特性：周期性、振幅、相位、对称性等3.3 分析正切函数的性质周期性：正切函数的图像每隔π重复一次振幅：正切函数没有振幅限制，可以无限增大或减小相位：正切函数的图像向左或向右平移，但不改变其形状第四章：正弦型函数的图像与性质4.1 引入正弦型函数的概念解释正弦型函数的定义：y = A sin(Bx C) + D说明正弦型函数的参数：A表示振幅，B表示周期，C表示相位，D表示垂直平移4.2 绘制正弦型函数的图像利用图形计算器或绘图软件，绘制y = A sin(Bx C) + D的图像观察图像的特性：振幅、周期、相位、对称性等4.3 分析正弦型函数的性质振幅：正弦型函数的最大值为A，最小值为-A周期：正弦型函数的图像每隔B个单位重复一次相位：正弦型函数的图像向左或向右平移C个单位垂直平移：正弦型函数的图像向上或向下平移D个单位第五章：正弦型函数的实例分析5.1 分析y = sin(x)的图像和性质利用图形计算器或绘图软件，绘制y = sin(x)的图像分析其振幅、周期、相位、对称性等性质5.2 分析y = cos(x)的图像和性质利用图形计算器或绘图软件，绘制y = cos(x)的图像分析其振幅、周期、相位、对称性等性质5.3 分析y = tan(x)的图像和性质利用图形计算器或绘图软件，绘制y = tan(x)的图像分析其振幅、周期、相位、对称性等性质第六章：正弦型函数的应用6.1 简谐运动解释简谐运动的定义和特点利用正弦函数表示简谐运动的位移、速度、加速度等物理量6.2 电磁波解释电磁波的产生和传播利用正弦函数表示电磁波的振荡电流或电压6.3 音乐信号处理解释音乐信号的振幅和频率特性利用正弦函数表示音乐信号的波形和频谱第七章：正弦型函数的积分与微分7.1 积分讲解正弦型函数的不定积分和定积分利用积分公式计算正弦型函数的定积分值7.2 微分讲解正弦型函数的导数利用导数公式求解正弦型函数的导数值7.3 应用案例利用积分和微分方法解决实际问题，如计算物体的位移、速度、加速度等第八章：正弦型函数的复合与变换8.1 复合函数讲解正弦型函数的复合方法利用复合函数的性质分析复合后的函数图像和性质8.2 函数变换讲解正弦型函数的平移、缩放、反转等变换利用变换公式分析变换后的函数图像和性质8.3 应用案例利用复合和变换方法解决实际问题，如设计电子电路的滤波器、振荡器等第九章：正弦型函数的极限与连续性9.1 极限讲解正弦型函数的极限概念和性质利用极限公式求解正弦型函数的极限值9.2 连续性讲解正弦型函数的连续性概念和性质利用连续性定理判断正弦型函数的连续性9.3 应用案例利用极限和连续性方法解决实际问题，如信号处理、物理现象分析等第十章：正弦型函数的综合应用10.1 正弦型函数在数学领域的应用讲解正弦型函数在几何、代数、微积分等数学领域的应用10.2 正弦型函数在自然科学领域的应用讲解正弦型函数在物理学、生物学、地球科学等领域的应用10.3 正弦型函数在工程与技术领域的应用讲解正弦型函数在电子工程、通信技术、机械工程等领域的应用重点和难点解析重点环节一：正弦函数的定义与图像重点关注内容：正弦函数的单位圆定义，正弦函数的图像特点，如周期性、振幅、相位、对称性等。

6.3函数()sin y A x ωϕ=+的图像与性质（1）学案内容及要求：在0,0A ω>>的情况下：1.研究sin ,sin ,sin y A x y x y A x ωω===的图像与性质，发现并掌握他们与sin y x =的图像与性质之间的关系；2.会用五点法作sin ,sin ,sin y A x y x y A x ωω===的大致图像。

基础知识及技能：1.函数sin ,sin ,sin y A x y x y A x ωω===图像与性质与sin y x =图像与性质之间的关系；2.五点法作图。

课堂教学素材： （一） 引入 一、设置情境：在物理和工程技术的许多问题中 ，往往都会遇到形如 ()sin y A x ωϕ=+ (其中,,A ωϕ为常数) 的函数。

例如：在简谐振动中位移与时间的函数关系就是形如 ()sin y A x ωϕ=+的函数。

思考：函数 ()sin y A x ωϕ=+中的,,A ωϕ这三个常数会使函数 sin y x =的图像发生什么变化呢？二．双基回顾正弦函数sin y x =的图像与性质 图像：（五点法作图）性质：定义域： 值域（最值）： 周期： 奇偶性： 单调性：（二） 新课一、图像的联系与)0(sin sin >==A x A y x y 例1：在同一坐标系内，作函数 y =2sin x 和 y =21sin x 长度为一个周期的图像，并指出它们的图像与 y =sin x 图像的关系。

注：五个关键点_________________________________；_______________________________。

结论1：一般地，函数y =A sin x (A >0且A ≠1）的图像可以看作是把y =sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长（ ）或缩短（ ）到原来的_______（ ）而得到的。

二、图像的联系与)0(sin sin >==ωωx y x y例2：在同一坐标系内，作函数 y =sin2x 和 y =sin 21x 长度为一个周期的图像，并指出它们的图像与 y =sin x 的关系。

1定义编辑数学术语正弦函数是三角函数的一种.定义与定理定义：对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sin x，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sin x与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin x，叫做正弦函数。

正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/sin A=b/sin B=c/sin C在直角三角形ABC中，∠C=90°，y为一条直角边，r为斜边，x为另一条直角边（在坐标系中，以此为底），则sin A=y/r,r=√（x^2+y^2）2性质编辑图像图像是波形图像（由单位圆投影到坐标系得出），叫做正弦曲线(sine curve)正弦函数x∈&amp定义域实数集R值域[-1，1] （正弦函数有界性的体现）最值和零点①最大值：当x=2kπ+（π/2），k∈Z时，y(max)=1②最小值：当x=2kπ+（3π/2），k∈Z时，y(min)=-1零值点：（kπ,0) ，k∈Z对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形。

1）对称轴：关于直线x=（π/2）+kπ，k∈Z对称2）中心对称：关于点（kπ，0），k∈Z对称周期性最小正周期：y=sinx T=2π奇偶性奇函数（其图象关于原点对称）单调性在[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递增.在[π/2+2kπ，3π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递减.3正弦型函数及其性质编辑正弦型函数解析式：y=Asin（ωx+φ）+h各常数值对函数图像的影响：φ（初相位）：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）ω：决定周期（最小正周期T=2π/|ω|）A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）h：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）作图方法运用“五点法”作图“五点作图法”即当ωx+φ分别取0，π/2，π，3π/2，2π时y的值.单位圆定义图像中给出了用弧度度量的某个公共角。

6．1正弦函数和余弦函数的图像与性质（一）上海曙光中学陶慰树一．教学内容分析本章节内容是在学生学习了三角比及有关三角恒等变形公式后，从函数的角度和层面来研究相关三角问题。

对于函数的研究，学生已经具备了一定的知识基础和对简单的具体函数的研究经验，结合三角函数的特殊性，教材改变了研究函数由性质到图像的研究策略，而是先得出三角函数的图像，再由图像归纳性质这一途径。

为此通过函数图像作图的一般方法---描点法（五点发）及正余弦函数在单位圆中正弦线和余弦线所具备的特征构造正弦函数和余弦函数的图像，学生容易接受，而对于通过函数的图像的平移或对称得出余弦函数和相关其他三角函数的图像可能比较困难，需要在教学时加以指导和突破。

正弦函数和余弦函数的图像在三角函数的研究中是一个基础和前提，为后面得出正弦函数和余弦函数的性质、进一步加深对函数图像的研究将起着至关重要的作用。

二．教学目标设计1、能结合单位圆中的正弦线、余弦线理解正弦函数及余弦函数中函数值的变化规律；2、通过五点法能正确作出正弦函数的图像，并能归纳正弦函数图像的特征；3、通过函数图像的变换，能作出余弦函数及相关函数图像；4、在渗透数形结合的数学思想过程中，培养学生类比和转化的思维习惯。

三．教学重点难点正弦函数和余弦函数的图像的形成和应用。

四．教学用具准备多媒体设备五．教学流程设计六．教学过程设计一．复习引入1．复习：学生口述函数的定义。

2．引入：结合我们刚学过的三角比，就以正弦（或余弦）为例，对每一个给定的角x 和正弦值x sin （或x cos ）之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义，若不存在请说明理由。

3．讨论：对自变量x 的取值类型和范围进行讨论，并给出相应的正弦函数和余弦函数的记号。

复习引入正弦函数、余弦函数的概念正弦函数和余弦函数的图像 转化 转化单位圆中的正弦线和余弦线 五点作图法巩固与深化、应用课堂总结以往我们在研究函数时，先探究函数所具备的性质，再作出函数的图像，今天我们先探究正弦函数和余弦函数的图像，再得出函数的性质。

7.3.1 正弦函数的性质与图像(一)学习目标 1.理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大(小)值、单调性、奇偶性.2.能熟练运用正弦函数的性质解一些简单问题.知识梳理知识点一正弦函数的性质函数正弦函数y＝sin x，x∈R图像定义域值域[－1,1]最值当__________(k∈Z)时，y max＝1；当____________(k∈Z)时，y max＝－1周期性是周期函数，周期为__________________，2π是它的最小正周期奇偶性奇函数，图像关于________对称单调性在__________________(k∈Z)上是增函数；在__________________(k∈Z)上是减函数对称轴______________________，k∈Z 对称中心__________，k∈Z思考函数y＝sin x，x∈[－π6，5π6]的值域是[－12，12]吗？题型探究题型一 与正弦函数有关的值域问题例1 求下列函数的值域.(1)y ＝sin(2x －π3)，x ∈[0，π2]； (2)y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2.跟踪训练1 求下列函数的值域.(1)y ＝2sin(2x ＋π3)，x ∈[－π6，π6]； (2)y ＝sin x －2sin x －1.题型二 利用正弦函数的单调性比较大小例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(1)sin 196°与cos 156°；(2)sin 1，sin 2，sin 3.跟踪训练2 比较下列各组数的大小.(1)cos 870°，cos 890°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－376π，sin 493π.题型三 求正弦型复合函数的单调区间例3 求函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4，x ∈[－4π，4π]的单调减区间.跟踪训练3 求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3的单调递增区间.题型四 正弦函数的奇偶性例4 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x.跟踪训练4 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫32π＋2x ＋x 2sin x ；(2)f (x )＝1－2sin x ＋2sin x －1.求单调区间时忽视x 前系数正负致误例5 求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3的单调递减区间. 错解 设v ＝－12x ＋π3. ∵y ＝sin v 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋32π，k ∈Z .∴2k π＋π2≤－12x ＋π3≤2k π＋32π，k ∈Z ， ∴－4k π－73π≤x ≤－4k π－π3，k ∈Z ， ∴函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－4k π－73π，－4k π－π3，k ∈Z . 错因分析 在求单调区间时忽视了括号内x 系数中的负号，错将－12x ＋π3代入正弦函数减区间，正确解法应先将x 的系数利用诱导公式化为正数后，再代入相应单调区间求解.正解 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3. 设v ＝12x －π3， ∵y ＝－sin v 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ， ∴2k π－π2≤12x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， ∴4k π－π3≤x ≤4k π＋53π，k ∈Z . ∴函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π－π3，4k π＋53π，k ∈Z . 点评 对于正弦函数的单调性问题，应该建立模型意识.一律先研究括号内x 系数是正数的情况，对于x 系数是负数的，先转化成x 系数为正数的情况.跟踪训练5 求y ＝sin(π6－x )的单调递减区间.当堂检测1.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B.[－π，0] C.⎣⎡⎦⎤－23π，23π D.⎣⎡⎦⎤π2，23π2.下列函数中是奇函数的是( )A.y ＝－|sin x |B.y ＝sin(－|x |)C.y ＝sin |x |D.y ＝x sin |x |3.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A.2－ 3B.0C.－1D.－1－34.求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合.5.求函数y ＝f (x )＝sin 2x －4sin x ＋5的值域.参考答案知识梳理知识点一R x ＝π2＋2k π x ＝－π2＋2k π 2k π(k ∈Z ，k ≠0) 原点 [－π2＋2k π，π2＋2k π] [π2＋2k π，3π2＋2k π] x ＝π2＋k π (k π，0) 思考 不是，值域应为[－12，1]，其原因在于函数的最大值并非在x ＝5π6处取得，实际上x ＝π2时，y max ＝1.因此在确定正弦函数值域时，要特别注意其定义域，并结合图像考察函数图像是否越过正弦曲线的波峰和波谷．题型探究例1 解 (1)∵0≤x ≤π2，∴0≤2x ≤π，－π3≤2x －π3≤2π3，令2x －π3＝t ，则原式转化为y ＝sin t ，t ∈[－π3，2π3]． 由y ＝sin t 的图像知－32≤y ≤1， ∴原函数的值域为[－32，1]． (2)y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2(sin x －54)2＋98. ∵－1≤sin x ≤1，∴y min ＝－2×(－1)2＋5×(－1)－2＝－9，y max ＝－2×12＋5×1－2＝1.故函数y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2的值域是[－9,1]．跟踪训练1 解 (1)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3. ∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴0≤2sin(2x ＋π3)≤2， ∴0≤y ≤2.∴函数的值域为[0,2]．(2)由y ＝sin x －2sin x －1，得sin x ＝y －2y －1. 又∵sin x ∈[－1,1)，∴y －2y －1∈[－1,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧ y －2y －1≥－1，y －2y －1＜1，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥32或y ＜1，y ＞1， ∴y ≥32.∴函数的值域为[32，＋∞)． 例2 解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°<sin 66°.从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.(2)∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3. 0<π－3<1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2. 跟踪训练2 解 (1)cos 870°＝cos(2×360°＋150°) ＝cos 150°＝－sin 60°，cos 890°＝cos(2×360°＋170°)＝cos 170°＝－sin 80°， ∵sin 60°<sin 80°，∴－sin 60°>－sin 80°，即cos 870°>cos 890°.(2)sin ⎝⎛⎭⎫－376π＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6， sin 493π＝sin ⎝⎛⎭⎫16π＋π3＝sin π3， ∵正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π6<sin π3， 即sin ⎝⎛⎭⎫－376π<sin 493π. 例3 解 y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4＋1.由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )． 解得4k π－π2≤x ≤4k π＋32π(k ∈Z )．令k ＝0时，－π2 ≤x ≤32π； 令k ＝－1时，－4π－π2≤x ≤－52π； 令k ＝1时，72π≤x ≤4π＋32π.∵－4π≤x ≤4π， ∴函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调减区间为⎣⎡⎦⎤－4π，－52π，⎣⎡⎦⎤－π2，32π，⎣⎡⎦⎤72π，4π. 跟踪训练3 解 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3. 令2k π＋π2≤12x －π3≤2k π＋32π，k ∈Z . ∴4k π＋53π≤x ≤4k π＋113π，k ∈Z . ∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋53π，4k π＋113π，k ∈Z ， 即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋53π，4k π＋113π，k ∈Z . 例4 解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， f (－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >01＋sin x >0，得－1<sin x <1. 解得定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z. ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数． 跟踪训练4 解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，又∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝ －sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2sin x ≥02sin x －1≥0，得sin x ＝12. ∴函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π，k ∈Z . ∵f (x )的定义域不关于原点对称．∴f (x )是非奇非偶函数．跟踪训练5 解 y ＝sin(π6－x ) ＝－sin(x －π6)， 令z ＝x －π6，则y ＝－sin z ， 要求y ＝－sin z 的递减区间，只需求sin z 的递增区间，即2k π－π2≤z ≤2k π＋π2，k ∈Z ， ∴2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， ∴2k π－π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z . 故函数y ＝sin(π6－x )的单调递减区间为[2k π－π3，2k π＋23π]，k ∈Z . 当堂检测1．D 2.D 3.A4．解 ∵－1≤sin 12 x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ， 即x ＝4k π－π，k ∈Z ，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }；当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．5．解 设t ＝sin x ，则|t |≤1，f (x )＝g (t )＝t 2－4t ＋5(－1≤t ≤1)，g (t )＝t 2－4t ＋5的对称轴为t ＝2，开口向上，对称轴t ＝2不在研究区间[－1,1]内， g (t )在[－1,1]上是单调递减的，g (t )max ＝g (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10，g (t )min ＝g (1)＝12－4×1＋5＝2，即g(t)∈[2,10]．所以y＝f(x)的值域为[2,10]．。

正弦型函数的图像和性质第一章：正弦型函数的定义与基本性质1.1 引入正弦型函数的概念解释正弦函数的定义：y = sin(x)说明正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)1.2 探究正弦函数的图像分析正弦函数在0≤x≤2π的图像特征总结正弦函数的振幅、周期、相位、对称性等基本性质1.3 引出正弦型函数的一般形式介绍正弦型函数的一般形式：y = A sin(Bx + C) + D解释各参数A、B、C、D对函数图像的影响第二章：正弦型函数的图像变换2.1 纵坐标变换：伸缩与平移分析纵坐标变换对正弦型函数图像的影响探究如何通过纵坐标变换实现图像的伸缩和平移2.2 横坐标变换：伸缩与平移分析横坐标变换对正弦型函数图像的影响探究如何通过横坐标变换实现图像的伸缩和平移2.3 综合图像变换结合纵坐标和横坐标变换，探究正弦型函数图像的综合变换方法第三章：正弦型函数的性质探究3.1 单调性分析正弦型函数的单调性：在单调增区间和单调减区间内举例说明单调性的应用3.2 奇偶性探究正弦型函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)分析奇偶性在函数图像上的表现3.3 极值与拐点求解正弦型函数的极值与拐点分析极值与拐点在函数图像上的特征第四章：正弦型函数的应用4.1 振动问题应用正弦型函数描述简谐振动：x = A sin(ωt + φ)分析振动过程中的位移、速度、加速度等物理量的变化规律4.2 波动问题应用正弦型函数描述波动：u = A sin(kx ωt + φ)分析波动过程中的波长、周期、波速等物理量的关系第五章：案例分析与拓展5.1 分析实际问题中的正弦型函数模型举例分析正弦型函数在实际问题中的应用：温度变化、电流强度等5.2 探究正弦型函数的周期性分析正弦型函数在不同周期下的图像特征探究周期性在实际问题中的应用5.3 总结与拓展总结正弦型函数的图像和性质及其应用提出拓展问题，引导学生深入研究正弦型函数的相关领域第六章：正弦型函数的积分与级数6.1 不定积分介绍正弦型函数的不定积分：∫sin(x)dx = -cos(x) + C讲解基本积分技巧，如分部积分法、换元积分法等6.2 定积分解释正弦型函数的定积分：∫[a, b] sin(x)dx = -cos(b) + cos(a)分析定积分的性质，如对称性、周期性等6.3 级数展开探究正弦型函数的级数展开：sin(x) = Σ(-1)^(n+1) (x^(2n+1))/(2n+1)! 讲解泰勒级数展开的概念及应用第七章：正弦型函数的三角恒等式7.1 和差化积介绍和差化积公式：sin(A ±B) = sin(A)cos(B) ±cos(A)sin(B)讲解如何利用和差化积公式简化正弦型函数的表达式7.2 积化和差讲解积化和差公式：sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B) = sin(A + B)分析积化和差公式在函数求解中的应用7.3 二倍角公式与半角公式介绍二倍角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A), cos(2A) = cos^2(A) sin^2(A) 讲解半角公式：sin(A/2), cos(A/2)的求解方法及应用第八章：正弦型函数的解法与应用8.1 解正弦型方程讲解如何利用正弦函数的性质解正弦型方程：sin(x) = A, cos(x) = B等分析正弦型方程的解法技巧，如相位法、图像法等8.2 正弦型函数在物理中的应用介绍正弦型函数在电磁学、波动光学等物理领域的应用分析正弦型函数在物理问题中的作用及意义第九章：正弦型函数与现代数学方法9.1 傅里叶级数介绍傅里叶级数：将周期函数展开为正弦、余弦函数的和分析傅里叶级数在信号处理、热传导等领域的应用9.2 最小二乘法讲解最小二乘法在正弦型函数拟合中的应用举例说明最小二乘法在实际问题中的作用及意义第十章：总结与拓展10.1 总结正弦型函数的图像与性质回顾正弦型函数的图像变换、性质探究、应用等方面的重要知识点强调正弦型函数在数学及自然科学领域中的重要性10.2 提出拓展问题与研究建议针对正弦型函数的图像与性质提出拓展问题，引导学生深入研究鼓励学生探索正弦型函数在其他领域中的应用，如机器学习、生物信息学等第十一章：正弦型函数的数值方法11.1 数值解法概述介绍数值解法在求解正弦型函数相关问题中的应用讲解数值解法的基本概念和分类11.2 数值积分探究数值积分方法：梯形法则、辛普森法则等分析数值积分在正弦型函数应用中的实例11.3 数值微分介绍数值微分方法：中心差分法、向前差分法等讲解数值微分在正弦型函数应用中的实例第十二章：正弦型函数的编程实践12.1 编程基础介绍编程语言的选择（如Python、MATLAB等）讲解编程基本语法和数据结构12.2 正弦型函数的图像绘制展示如何使用编程语言绘制正弦型函数的图像分析图像绘制过程中的关键参数和技巧12.3 正弦型函数的数值计算讲解如何使用编程语言进行正弦型函数的数值计算分析数值计算过程中的误差和稳定性问题第十三章：正弦型函数在工程中的应用13.1 信号处理介绍正弦型函数在信号处理领域的应用：调制、解调等分析正弦型函数在信号处理中的优势和局限性13.2 机械振动探究正弦型函数在机械振动分析中的应用讲解振动系统的周期性、对称性等特性第十四章：正弦型函数在现代科学研究中的应用14.1 量子力学介绍正弦型函数在量子力学中的应用：波函数、能级等分析正弦型函数在量子力学中的基本作用14.2 天体物理探究正弦型函数在天体物理中的应用：星体运动、引力波等讲解正弦型函数在天体物理中的关键作用第十五章：总结与展望15.1 总结正弦型函数的图像与性质回顾本教程中正弦型函数的图像变换、性质探究、应用等方面的重要知识点强调正弦型函数在数学及自然科学领域中的重要性15.2 展望正弦型函数的发展趋势分析正弦型函数在科技、工程等领域的前景和挑战鼓励学生继续探究正弦型函数的奥秘，为相关领域的发展做出贡献重点和难点解析本文主要介绍了正弦型函数的图像和性质，涵盖了正弦型函数的定义、图像变换、性质探究、应用、积分与级数、三角恒等式、解法与现代数学方法、数值方法、编程实践、工程应用以及现代科学研究等领域。

讲解新课：正弦、余弦函数的图象（1）函数y=sinx 的图象：叫做正弦曲线第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.第三步：连线.用光滑曲线把正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.（2）余弦函数y=cosx 的图象：叫做余弦曲线 根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移2π单位即得余弦函数y=cosx 的图象.y=cosxy=sinxπ2π3π4π5π6π-π-2π-3π-4π-5π-6π-6π-5π-4π-3π-2π-π6π5π4π3π2ππ-11y x-11o xy（3）用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (,0) (23π,-1) (2,0) 余弦函数y=cosx x [0,2]的五个点关键是哪几个(0,1) (2π,0) (,-1) (23π,0) (2,1)讲解范例：例1 作下列函数的简图(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， （2）y=-COSx探究 如何利用y=sinx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到 （1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象； （2）y=sin(x- π/3)的图象小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。

7.3.1正弦函数的性质与图像(一)学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.利用正弦线理解正弦函数的性质.3.掌握正弦函数的性质及其应用．知识梳理知识点一正弦函数对于任意一个角x，都有确定的正弦sin x与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为正弦函数．知识点二周期函数1．一般地，对于函数f(x)，如果存在一个常数T，使得对定义域内的，都满足．那么就称函数f(x)为周期函数，称为这个函数的周期．2．如果函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个最小的正数称为f(x)的最小正周期．知识点三正弦函数y＝sin x的性质探究一正弦函数的奇偶性、周期性例1.(1)函数f(x)＝2sin 2x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数(2)函数f (x )＝|sin x |的最小正周期为________．(3)定义在R 上的函数ƒ(x )既是偶函数又是周期函数，若ƒ(x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝sin x ，求ƒ⎝⎛⎭⎫5π3的值．反思感悟 (1)判断函数奇偶性应把握好两个关键点： 关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称． 关键点二：看f (x )与f (－x )的关系．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．(2)f (x )为周期函数，即对定义域内任意实数x ，都有f (x ＋T )＝f (x )成立．只要有一个x ，使f (x ＋T )＝f (x )不成立，则f (x )就不是周期函数． 跟踪训练1.(1)判断下列函数的奇偶性． ①f (x )＝x sin(π＋x )； ②f (x )＝2sin x －1.(2)求下列函数的最小正周期． ①f (x )＝sin 2x ； ②f (x )＝|sin x |.探究二 正弦函数的最值 例2.求下列函数的值域． (1)y ＝2－sin x ； (2)y ＝lg sin x ；(3)y ＝sin 2x －4sin x ＋5，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.反思感悟 (1)对于形如y ＝a sin x ＋b 的函数求最值(值域)时，要注意对a 分类讨论． (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的三角函数，可先令sin x ＝t ，将原函数转化成关于t 的二次函数，注意换元时t 的取值范围．跟踪训练2.求函数y ＝a －2sin x (a ∈R )取得最大值、最小值时x 的集合．探究三 正弦函数的单调性及应用 例3.(1)比较下列各组三角函数值的大小． ①sin ⎝⎛⎭⎫－3π5与sin ⎝⎛⎭⎫－9π4； ②sin 1，sin 2，sin 3，sin 4(由大到小排列)． (2)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的单调递增区间．反思感悟 (1)求形如y ＝a sin x ＋b 的三角函数的单调性，当a <0时，要求y ＝a sin x ＋b 的增区间，即求y ＝sin x 的减区间．(2)用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 跟踪训练3.求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间． 课堂小结 1．知识清单：(1)正弦函数的奇偶性、单调性、最值、零点． (2)函数的周期性，正弦函数的周期性． 2．方法归纳：分类讨论，数形结合．3．常见误区：求形如y ＝a sin x ＋b (a <0)的单调性时，忽略a <0的影响． 课堂检测1．函数f (x )＝3＋sin x 的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π2．f (x )＝－2 sin x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值为________． 3．函数f (x )＝sin 2x ＋1的奇偶性是________． 4．比较下列各组数的大小． (1)sin 2 016°和cos 160°；(2)sin 74和cos 53.参考答案知识点一 正弦函数 唯一知识点二 周期函数1．非零 每一个x f (x ＋T )＝f (x ) 非零常数T 2．最小的正数知识点三 正弦函数y ＝sin x 的性质例1.【解析】(1)∵f (x )的定义域是R .且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )， ∴函数为奇函数． (2)法一：∵ƒ(x )＝|sin x |,∴ƒ(x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )的周期为π.法二：∵函数y ＝|sin x |的图象如图所示．由图象可知T ＝π.(3)解：∵ƒ(x )的最小正周期是π， ∴ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝ƒ⎝⎛⎭⎫－π3 ∵ƒ(x )是R 上的偶函数， ∴ƒ⎝⎛⎭⎫－π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝32.跟踪训练1.解：(1)①f (x )＝－x sin x ，定义域为R . ∵f (－x )＝x sin(－x )＝－x sin x ＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数． ②由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，∴x ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )． ∴函数f (x )的定义域不关于原点对称， ∴f (x )为非奇非偶函数．(2)①∵sin 2(x ＋π)＝sin(2x ＋2π)＝sin 2x ， ∴f (x )＝sin 2x 的最小正周期为π. ②作出f (x )＝|sin x |的图像，观察知T ＝π.例2.解：(1)正弦函数y ＝sin x 的值域为[－1，1]．所以函数y ＝2－sin x 的值域为[1，3]． (2)∵0<sin x ≤1， ∴y ＝lg sin x ≤0.∴函数y ＝lgsin x 的值域为(－∞，0]． (3)令t ＝sin x ，由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得0≤t ≤1. y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1.当t ＝0，即sin x ＝0时，最大值为5， 当t ＝1，即sin x ＝1时，最小值为2. ∴该函数的值域是[2，5]．跟踪训练2.解：当sin x ＝1时，y 最小，此时x ＝π2＋2k π，k ∈Z ，当sin x ＝－1时，y 最大，此时x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，所以，函数y ＝a －2sin x 取得最大值时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 取得最小值时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝π2＋2k π，k ∈Z . 例3.解：(1)①sin ⎝⎛⎭⎫－3π5＝－sin 2π5， sin ⎝⎛⎭⎫－9π4＝－sin π4，sin 2π5>sin π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫－3π5<sin ⎝⎛⎭⎫－9π4. ②因为sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)，且0<π－3<π－2<π2.函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增加的，所以sin(π－2)>sin 1>sin(π－3)>0， 即sin 2>sin 1>sin 3>sin 4. (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 由2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得2k π＋23π≤x ≤2k π＋53π，k ∈Z .所以原函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋23π，2k π＋53π，k ∈Z . 跟踪训练3.解：∵y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3是增函数时， y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 是减函数．∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上是增函数， ∴－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，即－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )．∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z )． 课堂检测 1．【答案】D【解析】由3＋sin(2π＋x )＝3＋sin x 知f (x )的最小正周期为2π. 2．【答案】－2【解析】f (x )＝－2 sin x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减少的，所以f (x )max ＝－2·sin π4＝－ 2. 3．【答案】偶函数【解析】f (－x )＝[sin(－x )]2＋1＝sin 2x ＋1＝f (x )， 所以f (x )为偶函数．4．解：(1)sin 2 016°＝sin(360°×5＋216°) ＝sin 216°＝sin(180°＋36°)＝－sin 36°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵sin 36°<sin 70°， ∴－sin 36°>－sin 70°， 即sin 2 016°>cos 160°.(2)cos 53＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋53， 又π2<34<π2＋53<3π2， y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，3π2上是减少的， ∴sin 74>sin ⎝⎛⎭⎫π2＋53＝cos 53， 即sin 74>cos 53.。