正弦函数的图像和性质(一)

正弦函数的图象和性质（一）一、 本节的重点与难点重点：正弦函数x y sin =的图象；难点：理解弧度制到x 轴上点的对应以及正弦函数的图象及其应用；二、预习达标：正弦函数x y sin =的图象的画法:1. 用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象（几何法）2. 用五点法做正弦函数的简图（描点法）在要求不太高的情况下可采用五点法作图，五点是 , , , , 3. 正弦曲线：正弦函数 的图象叫做正弦曲线.三、典例解析例1（用五点法作与正弦函数有关的函数的图象） 用“五点法”作函数,sin 1x y +=在[]π2,0上的简图.变训1：用五点法分别作出下列函数在[]ππ2,2-上的简图，并指出各图象与x y sin =，∈x []ππ2,2-的图象的位置关系：（1）x y sin -=； （2）)sin(x y -=.例2 (正弦函数的简单应用) 利用正弦函数的图象，求满足23sin ≥x 的x 的集合.变训2：利用正弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin ≤x .四、当堂小结： 五、当堂达标：1.在[0，2π]上，满足sinx ≥21的x 取值范围是（） A.]6,0[πB.[65,6ππ]C.[32,6ππ]D.[ππ,65]2.从函数x y sin =，[]π2,0∈x 的图象来看，对应21sin =x 的x 有（ ）A ．1个值 B.2个值 C ．3个值 D.4个值 3.x y sin -=的图象可由x y sin =的图象作如下对称得到（ ） A ．x 轴对称 B.y 轴对称 C ．原点对称 D.直线x y =对称4.在同一坐标系中，函数x y sin =，[]π2,0∈x 与x y sin =，[]ππ4,2∈x 的图象（ ） A ．重合 B.形状相同，位置不同 C ．关于y 轴对称 D.形状不同，位置不同5.用五点法作x y 2sin =的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A ．ππππ2,23,,2,0 B ．ππππ,43,2,4,0 C ．ππππ4,3,2,,0 D ．32,2,3,6,0ππππ正弦函数的图象和性质（二）一、本节的重点与难点重点：正弦函数x y sin =的图象和性质； 难点：正弦函数图象与性质的应用；二、预习达标：1. 正弦函数x y sin =的图象：2. 正弦函数x y sin =的性质： （1）定义域： （2）值域正弦函数x y sin =，R x ∈，当且仅当Z k k x ∈+=,22ππ时，正弦函数取得最大值 ；当且仅当Z k k x ∈+-=,22ππ时，正弦函数取得最小值（3）周期性：x y sin =的周期是 （0,≠∈k Z k ），最小正周期为（4）奇偶性：R x x y ∈=,sin 是 函数，图象关于 对称.正弦曲线也是中心对称图形，对称中心为 也是轴对称图形，对称轴方程是（5）单调性：单调增区间 ；单调减区间三、典例解析例1(正弦函数值域和最值的应用)设3sin -=t x ，R x ∈，求t 的取值范围.变训1：设m x -=4sin 2，R x ∈，求m 的取值范围例2 求使下列函数取得最大值和最小值的x 地取值范围，并说出最大值和最小值是什么： （1）x y 2sin =； （2）2sin +=x y ； （3）2)1(sin 2+-=x y变训2：（1）x y 2sin -=，R x ∈（2）2)23(sin 2--=x y ；（3）45sin 3sin2++-=x x y例3（正弦函数周期性的应用）求下列函数的周期： (1) x y 2sin =; (2))621sin(π+=x y变训3：（1）x y 3sin =； （2）4sin3x y =； （3）)62sin(2π-=x y例4（正弦函数单调性的应用）求下列函数的单调区间： （1）R x x y ∈-=,sin 1； （2）R x x y ∈-=),42sin(2π变训4： 求下列函数的单调区间： （1）R x x y ∈=,2sin ； （2） )32sin(π+-=x y四、当堂小结 五、当堂达标：1. 下列函数最小正周期为π4的是（ ） A ．x y 4sin = B.x y 2si n = C.x y 21sin= D.x y 41si n =2.比较大小：︒︒165sin __105sin ； )10sin(__)18sin(ππ--； )417sin(__)523sin(ππ--3.已知函数R x x y ∈-=,2sin 211 .（1） 求值域； （2）求最小正周期； （3）判断奇偶性；（4）求单调增区间； （5）求使函数取得最小值时x 的取值范围.正弦函数的图象和性质（三）一、 本节的重点与难点重点：正弦型函数的图象特征和性质；难点：)sin(ϕω+=x A y 与x y sin =之间的图象变换规律及正弦型函数的单调区间等性质二、预习达标1. 正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 的主要性质：)sin(ϕω+=x A y （0,0>>ωA ）的周期T = ，频率f = ，初相 ，相位 ，振幅 ，值域 2. 三角函数的图象变换（1）振幅变换：)0(sin >=A x A y 的图象可由x y sin =图象上各点的横坐标不变，纵坐 标 （1>A ）或 （10<<A ）到原来的 倍而得到.（2）相位变换：)sin(ϕ+=x y 的图象可由x y sin =图象上各点向 （0>ϕ）或 向 （0<ϕ）平行移动ϕ个单位长度而得到.（3）周期变换：)0(sin >=ωωx y 的图象可由x y sin =图象上各点的纵坐标不变，横坐标 （10<<ω）或 （1>ω）到原来的 倍而得到.三、典例解析例1（用五点法画出)sin(ϕω+=x A y （0,0>>ωA ）的图象，并研究与x y sin =图象间的关系）用五点法在同一坐标系中画出函数x y sin =，x y sin 3=，)3sin(3π+=x y ，)32sin(3π+=x y 在一个周期内的图象，并根据所画图象说明)32sin(3π+=x y 的图象可由x y sin =的图象经过怎样的变换而得.变训 1 用五点法作图：)421sin(21π-=x y ，并说明所画图象可由x y sin =的图象经过怎样的变换而得例2（求函数)sin(ϕω+=x A y （0,0>>ωA ）的解析式）右图是y ＝Asin(ϕω+x )（πϕω<>>,0,0A ）图象的一段，求其解析式变训2已知函数f （x ）=A sin （ωx +ϕ）（A >0，ω>0，x ∈R ） 在一个周期内的图象如图所示，求解析式.四、当堂小结五、当堂达标1.函数)33sin(51π-=x y 的振幅是 ，频率是 初相是2．要得到y ＝3sin(2x+4π)的图象只需将y ＝3sin2x 的图象（ ） A ．左移4πB ．右移4πC ．左移8πD ．右移8π3.已知y ＝Asin(ωx+φ)在一个周期内，当x=12π时取得最大值2，当π127=x 时取得最小值－2，则（ ） A.)3sin(21π+=x y B.)32sin(2π+=x y C.)62sin(2π+=x y D.)62sin(2π+=x y4.把函数x y 3sin =的图象进行怎样的变换，就能得到下列函数的图象： （1）)33sin(π-=x y ； （2）)33sin(π+=x y ； （3）x y sin -=； （4）x y 3sin -=。

教案：正弦型函数的图像和性质第一章：正弦函数的定义与图像1.1 引入正弦函数的概念解释正弦函数的定义：y = sin(x)说明正弦函数的单位圆定义：在一个单位圆上，正弦函数表示的是圆上一点的y 坐标值1.2 绘制正弦函数的图像利用图形计算器或绘图软件，绘制y = sin(x)的图像观察图像的特性：周期性、振幅、相位、对称性等1.3 分析正弦函数的性质周期性：正弦函数的图像每隔2π重复一次振幅：正弦函数的最大值为1，最小值为-1相位：正弦函数的图像向左或向右平移，但不改变其形状第二章：余弦函数的定义与图像2.1 引入余弦函数的概念解释余弦函数的定义：y = cos(x)说明余弦函数的单位圆定义：在一个单位圆上，余弦函数表示的是圆上一点的x 坐标值2.2 绘制余弦函数的图像利用图形计算器或绘图软件，绘制y = cos(x)的图像观察图像的特性：周期性、振幅、相位、对称性等2.3 分析余弦函数的性质周期性：余弦函数的图像每隔2π重复一次振幅：余弦函数的最大值为1，最小值为-1相位：余弦函数的图像向左或向右平移，但不改变其形状第三章：正切函数的定义与图像3.1 引入正切函数的概念解释正切函数的定义：y = tan(x)说明正切函数的定义域：正切函数在除原点以外的所有实数上都有定义3.2 绘制正切函数的图像利用图形计算器或绘图软件，绘制y = tan(x)的图像观察图像的特性：周期性、振幅、相位、对称性等3.3 分析正切函数的性质周期性：正切函数的图像每隔π重复一次振幅：正切函数没有振幅限制，可以无限增大或减小相位：正切函数的图像向左或向右平移，但不改变其形状第四章：正弦型函数的图像与性质4.1 引入正弦型函数的概念解释正弦型函数的定义：y = A sin(Bx C) + D说明正弦型函数的参数：A表示振幅，B表示周期，C表示相位，D表示垂直平移4.2 绘制正弦型函数的图像利用图形计算器或绘图软件，绘制y = A sin(Bx C) + D的图像观察图像的特性：振幅、周期、相位、对称性等4.3 分析正弦型函数的性质振幅：正弦型函数的最大值为A，最小值为-A周期：正弦型函数的图像每隔B个单位重复一次相位：正弦型函数的图像向左或向右平移C个单位垂直平移：正弦型函数的图像向上或向下平移D个单位第五章：正弦型函数的实例分析5.1 分析y = sin(x)的图像和性质利用图形计算器或绘图软件，绘制y = sin(x)的图像分析其振幅、周期、相位、对称性等性质5.2 分析y = cos(x)的图像和性质利用图形计算器或绘图软件，绘制y = cos(x)的图像分析其振幅、周期、相位、对称性等性质5.3 分析y = tan(x)的图像和性质利用图形计算器或绘图软件，绘制y = tan(x)的图像分析其振幅、周期、相位、对称性等性质第六章：正弦型函数的应用6.1 简谐运动解释简谐运动的定义和特点利用正弦函数表示简谐运动的位移、速度、加速度等物理量6.2 电磁波解释电磁波的产生和传播利用正弦函数表示电磁波的振荡电流或电压6.3 音乐信号处理解释音乐信号的振幅和频率特性利用正弦函数表示音乐信号的波形和频谱第七章：正弦型函数的积分与微分7.1 积分讲解正弦型函数的不定积分和定积分利用积分公式计算正弦型函数的定积分值7.2 微分讲解正弦型函数的导数利用导数公式求解正弦型函数的导数值7.3 应用案例利用积分和微分方法解决实际问题，如计算物体的位移、速度、加速度等第八章：正弦型函数的复合与变换8.1 复合函数讲解正弦型函数的复合方法利用复合函数的性质分析复合后的函数图像和性质8.2 函数变换讲解正弦型函数的平移、缩放、反转等变换利用变换公式分析变换后的函数图像和性质8.3 应用案例利用复合和变换方法解决实际问题，如设计电子电路的滤波器、振荡器等第九章：正弦型函数的极限与连续性9.1 极限讲解正弦型函数的极限概念和性质利用极限公式求解正弦型函数的极限值9.2 连续性讲解正弦型函数的连续性概念和性质利用连续性定理判断正弦型函数的连续性9.3 应用案例利用极限和连续性方法解决实际问题，如信号处理、物理现象分析等第十章：正弦型函数的综合应用10.1 正弦型函数在数学领域的应用讲解正弦型函数在几何、代数、微积分等数学领域的应用10.2 正弦型函数在自然科学领域的应用讲解正弦型函数在物理学、生物学、地球科学等领域的应用10.3 正弦型函数在工程与技术领域的应用讲解正弦型函数在电子工程、通信技术、机械工程等领域的应用重点和难点解析重点环节一：正弦函数的定义与图像重点关注内容：正弦函数的单位圆定义，正弦函数的图像特点，如周期性、振幅、相位、对称性等。

6.3函数()sin y A x ωϕ=+的图像与性质（1）学案内容及要求：在0,0A ω>>的情况下：1.研究sin ,sin ,sin y A x y x y A x ωω===的图像与性质，发现并掌握他们与sin y x =的图像与性质之间的关系；2.会用五点法作sin ,sin ,sin y A x y x y A x ωω===的大致图像。

基础知识及技能：1.函数sin ,sin ,sin y A x y x y A x ωω===图像与性质与sin y x =图像与性质之间的关系；2.五点法作图。

课堂教学素材： （一） 引入 一、设置情境：在物理和工程技术的许多问题中 ，往往都会遇到形如 ()sin y A x ωϕ=+ (其中,,A ωϕ为常数) 的函数。

例如：在简谐振动中位移与时间的函数关系就是形如 ()sin y A x ωϕ=+的函数。

思考：函数 ()sin y A x ωϕ=+中的,,A ωϕ这三个常数会使函数 sin y x =的图像发生什么变化呢？二．双基回顾正弦函数sin y x =的图像与性质 图像：（五点法作图）性质：定义域： 值域（最值）： 周期： 奇偶性： 单调性：（二） 新课一、图像的联系与)0(sin sin >==A x A y x y 例1：在同一坐标系内，作函数 y =2sin x 和 y =21sin x 长度为一个周期的图像，并指出它们的图像与 y =sin x 图像的关系。

注：五个关键点_________________________________；_______________________________。

结论1：一般地，函数y =A sin x (A >0且A ≠1）的图像可以看作是把y =sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长（ ）或缩短（ ）到原来的_______（ ）而得到的。

二、图像的联系与)0(sin sin >==ωωx y x y例2：在同一坐标系内，作函数 y =sin2x 和 y =sin 21x 长度为一个周期的图像，并指出它们的图像与 y =sin x 的关系。

1定义编辑数学术语正弦函数是三角函数的一种.定义与定理定义：对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sin x，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sin x与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin x，叫做正弦函数。

正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/sin A=b/sin B=c/sin C在直角三角形ABC中，∠C=90°，y为一条直角边，r为斜边，x为另一条直角边（在坐标系中，以此为底），则sin A=y/r,r=√（x^2+y^2）2性质编辑图像图像是波形图像（由单位圆投影到坐标系得出），叫做正弦曲线(sine curve)正弦函数x∈&amp定义域实数集R值域[-1，1] （正弦函数有界性的体现）最值和零点①最大值：当x=2kπ+（π/2），k∈Z时，y(max)=1②最小值：当x=2kπ+（3π/2），k∈Z时，y(min)=-1零值点：（kπ,0) ，k∈Z对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形。

1）对称轴：关于直线x=（π/2）+kπ，k∈Z对称2）中心对称：关于点（kπ，0），k∈Z对称周期性最小正周期：y=sinx T=2π奇偶性奇函数（其图象关于原点对称）单调性在[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递增.在[π/2+2kπ，3π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递减.3正弦型函数及其性质编辑正弦型函数解析式：y=Asin（ωx+φ）+h各常数值对函数图像的影响：φ（初相位）：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）ω：决定周期（最小正周期T=2π/|ω|）A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）h：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）作图方法运用“五点法”作图“五点作图法”即当ωx+φ分别取0，π/2，π，3π/2，2π时y的值.单位圆定义图像中给出了用弧度度量的某个公共角。

6．1正弦函数和余弦函数的图像与性质（一）上海曙光中学陶慰树一．教学内容分析本章节内容是在学生学习了三角比及有关三角恒等变形公式后，从函数的角度和层面来研究相关三角问题。

对于函数的研究，学生已经具备了一定的知识基础和对简单的具体函数的研究经验，结合三角函数的特殊性，教材改变了研究函数由性质到图像的研究策略，而是先得出三角函数的图像，再由图像归纳性质这一途径。

为此通过函数图像作图的一般方法---描点法（五点发）及正余弦函数在单位圆中正弦线和余弦线所具备的特征构造正弦函数和余弦函数的图像，学生容易接受，而对于通过函数的图像的平移或对称得出余弦函数和相关其他三角函数的图像可能比较困难，需要在教学时加以指导和突破。

正弦函数和余弦函数的图像在三角函数的研究中是一个基础和前提，为后面得出正弦函数和余弦函数的性质、进一步加深对函数图像的研究将起着至关重要的作用。

二．教学目标设计1、能结合单位圆中的正弦线、余弦线理解正弦函数及余弦函数中函数值的变化规律；2、通过五点法能正确作出正弦函数的图像，并能归纳正弦函数图像的特征；3、通过函数图像的变换，能作出余弦函数及相关函数图像；4、在渗透数形结合的数学思想过程中，培养学生类比和转化的思维习惯。

三．教学重点难点正弦函数和余弦函数的图像的形成和应用。

四．教学用具准备多媒体设备五．教学流程设计六．教学过程设计一．复习引入1．复习：学生口述函数的定义。

2．引入：结合我们刚学过的三角比，就以正弦（或余弦）为例，对每一个给定的角x 和正弦值x sin （或x cos ）之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义，若不存在请说明理由。

3．讨论：对自变量x 的取值类型和范围进行讨论，并给出相应的正弦函数和余弦函数的记号。

复习引入正弦函数、余弦函数的概念正弦函数和余弦函数的图像 转化 转化单位圆中的正弦线和余弦线 五点作图法巩固与深化、应用课堂总结以往我们在研究函数时，先探究函数所具备的性质，再作出函数的图像，今天我们先探究正弦函数和余弦函数的图像，再得出函数的性质。