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剖析宇宙中的双星、三星模型（答题时间：30分钟）1. 经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。
如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。
现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1：m2＝3：2。
则可知（）A. m1：m2做圆周运动的角速度之比为2：3B. m1：m2做圆周运动的线速度之比为3：2C. m1做圆周运动的半径为D. m2做圆周运动的半径为L2. 月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动。
据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为（）A. 1：6400B. 1：80C. 80：1D. 6400：13. 在太空中，两颗靠得很近的星球可以组成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。
则下列说法不正确的是．．．．．（）A. 两颗星有相同的角速度B. 两颗星的旋转半径与质量成反比C. 两颗星的加速度与质量成反比D. 两颗星的线速度与质量成正比4. 某国际研究小组观测到了一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，双星系统中质量较小的星体能“吸食”质量较大的星体的表面物质，达到质量转移的目的。
根据大爆炸宇宙学可知，双星间的距离在缓慢增大，假设星体的轨道近似为圆，则在该过程中（）A. 双星做圆周运动的角速度不断减小B. 双星做圆周运动的角速度不断增大C. 质量较大的星体做圆周运动的轨道半径渐小D. 质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大5. 如图为哈勃望远镜拍摄的银河系中被科学家称为“罗盘座T星”系统的照片，最新观测表明“罗盘座T星”距离太阳系只有3260光年，比天文学家此前认为的距离要近得多。
双星三星四星问题双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。
2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。
(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。
(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。
3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。
(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。
(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。
(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。
②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。
(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。
②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。
二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。
深度剖析卫星的变轨一、考点突破：知识点 考纲要求题型说明卫星的变轨的动力学本质 1. 掌握卫星变轨原理； 2. 会分析不同轨道上速度和加速度的大小关系；3. 理解变轨前后的能量变化。
选择题、计算题 属于高频考点，重点考查卫星变轨中的供需关系、速度关系、能量关系及轨道的变化，是最近几年的高考热点。
二、重难点提示：重点：1. 卫星变轨原理；2. 不同轨道上速度和加速度的大小关系。
难点：理解变轨前后的能量变化。
一、变轨原理卫星在运动过程中，受到的合外力为万有引力，F 引＝2RMmG 。
卫星在运动过程中所需要的向心力为：F 向＝Rmv 2。
当：（1）F 引＝ F 向时，卫星做圆周运动； （2）F 引> F 向时，卫星做近心运动； （3）F 引<F 向时，卫星做离心运动。
二、变轨过程 1. 反射变轨在1轨道上A 点向前喷气（瞬间），速度增大，所需向心力增大，万有引力不足，离心运动进入轨道2沿椭圆轨道运动，此过程为离心运动；到达B点，万有引力过剩，供大于求做近心运动，故在轨道2上供需不平衡，轨迹为椭圆，若在B点向后喷气，增大速度可使飞船沿轨道3运动，此轨道供需平衡。
2. 回收变轨在B点向前喷气减速，供大于需，近心运动由3轨道进入椭圆轨道，在A点再次向前喷气减速，进入圆轨道1，实现变轨，在1轨道再次减速返回地球。
三、卫星变轨中的能量问题1. 由低轨道到高轨道向后喷气，卫星加速，但在上升过程中，动能减小，势能增加，增加的势能大于减小的动能，故机械能增加。
2. 由高轨道到低轨道向前喷气，卫星减速，但在下降过程中，动能增加，势能减小，增加的动能小于减小的势能，故机械能减小。
注意：变轨时喷气只是一瞬间，目的是破坏供需关系，使卫星变轨。
变轨后稳定运行的过程中机械能是守恒的，其速度大小仅取决于卫星所在轨道高度。
3. 卫星变轨中的切点问题【误区点拨】近地点加速只能提高远地点高度，不能抬高近地点，切点在近地点；远地点加速可提高近地点高度，切点在远地点。
高中物理剖析宇宙中的双星、三星模型
考点课程目标备注
双星、
三星模型
1. 掌握双星、三星模型的向心力
来源；
2. 会根据万有引力定律求解双
星、三星模型的周期，线速度等
物理量；
3. 掌握两种模型的特点。
双星问题是万有引力定律在天文学
上的应用的一个重要内容，主要考
查转动星体向心力来源及参数之间
的关系，高考重点，属于高频考点
中等难度，命题形式选择题居多。
二、重难点提示：
重点：1.根据万有引力定律求解双星、三星模型的周期，线速度等物理量；
2. 双星、三星两种模型的特点。
难点：双星、三星模型的向心力来源。
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示，双星系统模型有以下特点：
（1）各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供
即
2
2
1
L
m
Gm
＝m1ω21r1，
2
2
1
L
m
Gm
＝m2ω22r2；
（2）两颗星的周期及角速度都相同
即T1＝T2，ω1＝ω2；（3）两颗星的半径与它们之间的距离关系为
r1＋r2＝L；
（4）两颗星到圆心的距离r1、r2
与星体质量成反比
即
1
2
2
1
r
r
m
m
=；
（5）双星的运动周期
T＝2π
)
(
2
1
3
m
m
G
L
+
；
（6）双星的总质量公式
m1＋m2＝
G
T
L
2
3
2
4π。
二、三星模型
第一种情况：三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R的圆轨道上运行。
特点：1. 周期相同；
2. 三星质量相同；
3. 三星间距相等；
4. 两颗星做圆周运动的向心力相等。
原理：A、C对B的引力充当向心力，即：，
Gm
R
T
5
4
3
π
=，同理可得线速度：
R
GmR
2
5。
第二种情况：
特点：1. 运行周期相同；
2. 半径相同；
3. 质量相同；
4. 所需向心力相等。
原理：B、C对A
r
T
m
R
Gm
F
2
2
2
24
30
cos
2
π
=
=︒
合
，其中R
r
3
3
=，
可得：运行周期Gm
R
R
T 32π=。
例题1 如图，质量分别为m 和M 的两颗星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L 。
已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。
引力常数为G 。
（1）求两星球做圆周运动的周期。
（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1。
但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T 2。
已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和7.35 ×1022kg 。
求T 2与T 1两者平方之比。
（结果保留3位有效数字）
思路分析：（1）A 和B 绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力相等。
且A 和B 和O 始终共线，说明A 和B 有相同的角速度和周期。
因此有
R M r m 22ωω=，L R r =+，连立解得L M m m R +=
，L M m M
r +=。
对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得L m M M
T m L GMm +=22
)2(π， 化简得：)
(23
m M G L T +=π。
（2）将地月看成双星，由⑴得)
(23
1m M G L T +=π。
律得
L T m L
GMm 2
2
)2(π=。
化简得：GM
L T 3
22π=。
所以两种周期的平方比值为01.11098.51035.71098.5)(24
22
24212=⨯⨯+⨯=+=
M M m T T 答案：（1）)
(23
m M G L T +=π （2）1.01
例题2 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通
常可忽略其他星体对它们的引力作用。
已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。
设每个星体的质量均为m 。
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。
（2）假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少? 思路分析：（1）对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律F 1=22R Gm ，2
2
2)
2(R Gm F =，F 1+F 2=mv 2/R 运动星体的线速度:v =R
GmR
25； 周期为T ，则有T=
v
R
π2， T=4πGm
R 53。
（2）设第二种形式星体之间的距离为r ，则三个星体做圆周运动的半径为R′=
︒
30cos 2
/r 。
由力的合
成和牛顿运动定律有：F 合=22
2r
Gm cos30°，
F 合=m 22
π4T
R′，
所以r=31
)5
12
(R 。
答案：（1）R GmR 25 Gm
R 5π43
（2）R 31
)5
12
(
【知识脉络】 一、
双星模型：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。
特
点
1. 各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供；
2. 两颗星的周期及角速度都相同；
3. 两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L ；
4. 两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比；
5. 双星的运动周期T ＝2π
L 3
Gm 1＋m 2
；
6. 双星的总质量公式m 1＋m 2＝4π2L 3
T 2G。
模型一：三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R 的圆轨道上运行。
特点：1. 周期相同； 2. 三星质量相同； 3. 三星间距相等；
4. 两颗星做圆周运动的向心力相等。
模型二：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行。
特点：1. 运行周期相同；
2. 半径相同；
3. 质量相同；
4. 所需向心力相等。
二、三星模型
满分训练：我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。
某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动。
由天文观察测得其运动周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知引力常量为G 2的质量为（ ）
A. 2
12)(4GT r r r 2π
B. 2312π4GT r
C. 232π4GT r
D. 2
122π4GT r r
思路分析：双星的运动周期是一样的，选S 1为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引
力定律得
m 2D 正确。
答案：D。
