天体运动中“多星”问题

天体运动中多星系统模型的分析作者：易继东来源：《中学生数理化·高二高三版》2015年第01期天体运动中的多星系统问题具有研究对象多个、运动模型多样、受力情况复杂、密切联系实际、考试频度较高等特点，能较好地考查同学们的空间想象能力与力学综合素养。

解决天体运动问题的两条基本思路，（1）在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即，整理得GM=gR²，该式被称为黄金代换式（g表示天体表面的重力加速度）。

（2）把天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力来自于天体之间的万有引力，即在具体应用中应根据实际情况选用恰当的公式进行求解。

一、双星模型在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，其特点如下：（1）两星始终绕它们连线上的一点（共同的圆心）做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等。

（2）两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等。

（3）两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1+r2=L，且两星做匀速圆周运动的质量成反比。

例 1 如图1所示，两个星球A、B组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕其连线上0点做周期相同的匀速圆周运动。

现测得两星中心的距离为R，其运行周期为丁，引力常量为G，求两星的总质量M。

解析：设两星球A、B的质量分别为M，和Mz，星球A和星球B到0点的距离分别为L1和L2。

由万有引力帘律和牛顿第二定律可得，对星球A有小结：（1）要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源。

双星中两颗子星可以看成在做匀速圆周运动，其向心力由两星间的万有引力提供。

由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。

（2）要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的运动参量的关系。

两子星绕其连线上的一点做匀速圆周运动，它们的运行周期是相等的，角速度也是相等的，所以两子星的线速度与其轨道半径成正比。

专题十六：天体运动基本方法：把天体运动看作是匀速圆周运动，F万=F向往往还需要补充一个等式：在天体表面有——GMm/R2=mg 该式被称为黄金代换。

对卫星（行星）模型卫星（行星）模型的特征是卫星（行星）绕中心天体做匀速圆周运动。

（1）卫星（行星）的动力学特征：中心天体对卫星（行星）的万有引力提供卫星（行星）做匀速圆周运动的向心力，即有：。

（2）卫星（行星）轨道特征：由于卫星（行星）正常运行时只受中心天体的万有引力作用，所以卫星（行星）平面必定经过中心天体中心。

1)讨论卫星（行星）的向心加速度、绕行速度、角速度、周期与半径的关系问题。

由得，故越大，越小。

由得，故越大，越小。

由得，故越大，越小。

得，故越大，越长。

2)求中心天体的质量或密度（设中心天体的半径）①若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的周期与半径根据得，则②若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度与半径由得，则③若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度与周期由和得，则④若已知中心天体表面的重力加速度及中心天体的球半径由得，则一、基本规律1.关于地球的第一宇宙速度,下列说法中正确的是( )A它是人造地球卫星环绕地球运转的最小速度B它是近地圆行轨道上人造卫星运行的最大速度C 它是能使卫星进入近地轨道最小发射速度D它是能使卫星进入轨道的最大发射速度2.地球公转的轨道半径为R1，周期为T1，月球绕地球运转的轨道半径为R2，周期为T2，则太阳质量与地球质量之比为（）3.宇宙飞船与目标飞行器在近地圆轨道上成功进行了空间交会对接。

对接轨道所处的空间存在极其稀薄的空气，下面说法正确的是（）A.为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B.如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C.如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D.航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用二、赤道上的物体、近地卫星和同步卫星的比较（1）忽略地球（星球）自转影响，赤道上的物体，万有引力远大于随地球自转所需的向心力。

双星与多星问题双星模型1.模型构建在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。

2.模型条件①两颗星彼此相距较近。

②两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。

3.它们间的距离为L.(1)(2)(3)(4)4.双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即＝5.(1)(2)【示例年前的预测，弥补了爱因a、b T，a、b，则() A.b星的周期为T B.a星的线速度大小为C.a、b两颗星的半径之比为D.a、b两颗星的质量之比为规律总结解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)双星问题的“两等”：①它们的角速度相等。

②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的。

(2)“两不等”：①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等,))【示例2】经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。

两颗星球组成的双星m1、m2，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2。

则可知()A．m1与m2做圆周运动的角速度之比为2∶3B．m1与m2做圆周运动的线速度之比为3∶2C．m1做圆周运动的半径为LD．月，科学家通过欧航局天文望远镜在一个河外星系中，发现了一对相互环绕旋转的超大M2AB．双黑洞的轨道半径之比CD【示例4为GA.B.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关C.若距离和每颗星的质量mD.若距离的倍，则线速度变为原来的【示例5】(多选)宇宙间存在一个离其他星体遥远的系统，其中有一种系统如图所示，四颗质量均为m的星体位于正方形的顶点，正方形的边长为a，忽略其他星体对它们的引力作用，每颗星体都在同一平面内绕正方形对角线的交点O做匀速圆周运动，引力常量为G，则()A.每颗星做圆周运动的线速度大小为B.每颗星做圆周运动的角速度大小为C.每颗星做圆周运动的周期为2πD.每颗星做圆周运动的加速度与质量m有关【示例6】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。

双星与多星问题双星模型1、模型构建在天体运动中,将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上得某点做周期相同得匀速圆周运动得行星称为双星。

2、模型条件①两颗星彼此相距较近。

②两颗星靠相互之间得万有引力做匀速圆周运动。

③两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3、模型特点如图所示为质量分别就是m １与ｍ2得两颗相距较近得恒星。

它们间得距离为L 、此双星问题得特点就是:(1)两星得运行轨道为同心圆，圆心就是它们之间连线上得某一点。

（2)两星得向心力大小相等，由它们间得万有引力提供。

(3)两星得运动周期、角速度相同。

(4）两星得运动半径之与等于它们间得距离,即r 1+ｒ2=Ｌ、4、 双星问题得处理方法双星间得万有引力提供了它们做圆周运动得向心力，即 错误!=m １ω2r １＝m 2ω2r 2。

5、 双星问题得两个结论(1)运动半径:ｍ1r 1=m 2r ２,即某恒星得运动半径与其质量成反比。

(2)质量之与:由于ω=错误!,ｒ１＋r 2＝L ,所以两恒星得质量之与m 1＋m 2=错误!。

【示例1】２0１６年２月11日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦1００年前得预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失得“拼图”、双星得运动就是产生引力波得来源之一,假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成,这两颗星绕它们连线得某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动,测得a 星得周期为T ,a 、b 两颗星得距离为l ，a 、b 两颗星得轨道半径之差为Δr (a 星得轨道半径大于b 星得轨道半径),则( )A 、b 星得周期为＼ｆ（l -Δr,l +Δr )TB 、ａ星得线速度大小为π(l ＋Δr )TC 、a 、b 两颗星得半径之比为错误!D 、a 、b 两颗星得质量之比为错误!规律总结解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)双星问题得“两等”：①它们得角速度相等。

②双星做匀速圆周运动得向心力由它们之间得万有引力提供,即它们受到得向心力大小总就是相等得。

双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。

(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。

(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。

(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。

②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。

(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。

二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。

例析天体运动中的多星问题
魏强
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2014(000)017
【摘要】天体运动中的多星问题是近年高考的热点,它不仅涉及双星还往往涉及三星、四星问题.对这类问题,很多学生感到无从下手.其实只要抓住天体多星的运动特点,解起题来就会得心应手.1双星问题宇宙中存在许多双星系统.它由2个星体构成,其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离.双星系统距其他星体很远,可以不考虑其他星体对它们的作用,因此它们在彼此的万有引力作用下绕着二者的球心连线上某一点以相同的角速度做匀速圆周运动,这种星体叫双星体.例1在天体运动中,把两颗相距较近的恒星称为双星,已知A、B两恒星的质量分别为m1和m2.
【总页数】3页(P35-37)
【作者】魏强
【作者单位】四川省屏山县中学校
【正文语种】中文
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专题 天体运动的“四个热点”问题双星或多星模型1.双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。

如图1所示。

图1(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为r 1＋r 2＝L(3)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1。

2.多星模型模型 三星模型(正三角形排列) 三星模型(直线等间距排列) 四星模型图示向心力的来源 另外两星球对其万有引力的合力 另外两星球对其万有引力的合力 另外三星球对其万有引力的合力【例1】 (多选)(2018·全国Ⅰ卷，20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。

根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。

将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度解析 由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T ＝112 s ，两中子星的角速度均为ω＝2πT ，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，速率分别为v 1、v 2，则有G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1、G m 1m 2L 2＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L ＝400 km ，解得m 1＋m 2＝ω2L 3G ，A 错误，B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2，则v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωL ，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误。

双星及多星、天体追及问题1.双星问题知识点(1)运动模型：远离其他天体的两星在相互间的万有引力作用下绕两星连线上某点O各自做匀速圆周运动。

（2)几个结论：①两星彼此间的万有引力提供向心力，即＝m 1r1，＝m 2r2。

1②两星绕行方向、周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。

③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1+r2＝L。

④两星做圆周运动的半径r1、r2与星体质量成反比，即。

⑤两星的运动周期为T＝2π。

⑥两星的总质量为m＝m1+m2＝。

22.多星问题类型三星模型四星模型3结构图2.多星问题类型三星模型四星模型结构图结论：1、每颗星做圆周运动的向心力均由系统内其余星对它万有引力的合力提供42、每颗星做圆周运动转动的方向、周期、角速度、线速度的大小均相同活动一、宇宙双星及多星模型1.宇宙双星模型2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。

根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。

将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(BC)A．质量之积B．质量之和C．速率之和D．各自的自转角速度2. 宇宙三星模型三颗质量均为M的星球(可视为质点)位于边长为L的等边三角形的三个顶点上。

如图所示，如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿等边三角形的外接圆轨道运行，引力常量为G，下列说法正确的是(BD)A．其中一颗星球受到另外两颗星球的万有引力的合力大小为3GM 2 2L2B．其中一颗星球受到另外两颗星球的万有引力的合力指向圆心OC．它们运行的轨道半径为3 2LD．它们运行的速度大小为GML56【习练】宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。

设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上。

第18点抓“两个特点”、按“四个步骤”，轻松解决多星问题天体运动的形式是多种多样的，除行星围绕恒星、卫星围绕行星运动的形式外，还存在“双星”“三星”等多星运动形式．“多星”问题涉及力的合成与分解、万有引力定律、牛顿运动定律和圆周运动等方面的知识，综合性较强．如果能掌握多星系统的两个特点和分析此类问题的四个步骤，就可以很轻松地解决多星问题．1．多星系统的特点(1)多颗星体共同绕空间某点做匀速圆周运动．(2)每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度都相同，以保持其相对位置不变．2．分析多星问题的步骤(1)要明确各星体的几何位置，画出示意图；(2)明确各星体的转动方式，找出各星体共同做圆周运动的圆心位置，确定各星体运动的轨道半径；(3)受力分析，确定每颗星体向心力的来源；(4)抓住每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度相同这一特点．对点例题宇宙间存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到的四星系统存在着一种基本的构成形式是：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，第四颗星位于圆形轨道的圆心处，已知引力常量为G，圆形轨道的半径为R，每颗星体的质量均为m.求：(1)中心星体受到其余三颗星体的引力的合力大小；(2)三颗星体沿圆形轨道运动的线速度和周期．解题指导四星系统的圆周运动示意图如图所示(1)中心星体受到其余三颗星体的引力大小相等，方向互成120°.根据力的合成法则，中心星体受到其他三颗星体的引力的合力为零．(2)对圆形轨道上任意一颗星体，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：G m 2R 2＋2G m 2r 2cos30°＝m v 2Rr ＝2R cos30°由以上两式可得三颗星体运动的线速度为v ＝(1＋3)Gm 3R三颗星体运动的周期为：T ＝2πR v ＝2πR3R (1＋3)Gm 答案 (1)零 (2)(1＋3)Gm 3R 2πR 3R (1＋3)Gm图1宇宙间存在一个离其它星体遥远的四星系统，其中有一种四星系统如图1所示，四颗质量均为m 的星体位于正方形的四个顶点，正方形的边长为a ，忽略其它星体对它们的引力作用，四颗星都在同一平面内绕正方形对角线的交点O 做匀速圆周运动，万有引力常量为G ，则( )A ．每颗星做圆周运动的线速度大小为(1＋24)Gm a B ．每颗星做圆周运动的角速度大小为Gm 2a 3 C ．每颗星做圆周运动的周期为2π2a 3GmD ．每颗星做圆周运动的加速度与质量m 有关 答案 AD 解析 由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径r ＝22a每颗星体在其他三个星体万有引力的合力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得： G m 2(2a )2＋2G m 2a 2cos45°＝m v 2(22a ) 解得v ＝(1＋24)Gm a周期为T ＝2πω＝2π2a 3(22＋1)Gm 加速度a ＝v 2r ＝(22＋1)Gm 2a 2故选A 、D.。

“双星”及“三星”问题宇宙中，因天体间的相互作用而呈现出诸如双星、三星及多星系统组成的自然天文现象，天体之间相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。

现代实验观测表明，在天体运动中，将两颗彼此距离较近而绕同一点做圆周运动的行星称为双星模型。

而三星等多星模型则是指彼此相互依存和相互作用且围绕某一点作圆周运动的行星。

多星系统问题的求解方法仍然是建立万有引力方程和牛顿第二定律方程。

由于多星间的引力和运动情况特殊性，从而产生了很多有趣的天文现象。

一、“双星”问题：两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。

双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。

1.要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供。

由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。

2.要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。

3.要明确两子星圆周运动的动力学关系。

设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。

4.“双星”问题的分析思路质量m1，m2；球心间距离L；轨道半径 r1 ，r2；周期T1，T2 ；角速度ω1，ω2 线速度V1 V2；周期相同：（参考同轴转动问题） T1=T2角速度相同：（参考同轴转动问题）ω1 =ω2向心力相同：Fn1=Fn2（由于在双星运动问题中，忽略其他星体引力的情况下向心力由双星彼此间万有引力提供，可理解为一对作用力与反作用力）轨道半径之比与双星质量之比相反：（由向心力相同推导）r1：r2=m2：m1m1ω2r1=m2ω2r2m1r1=m2r2 r1:r2=m2:m1线速度之比与质量比相反：（由半径之比推导） V1:V2=m2:m1V1=ωr1 V2=ωr2双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的倍，两星之间的距离变为原来的倍，则此时圆周运动的周期为（）A. B.C. D.设两颗恒星的质量分别为和，两颗恒星的运行半径分别为和，两恒星之间的距离，两恒星运动时都是由它们之间的万有引力提供向心力，即，，联立得两恒星的质量和，故，当质量和变为原来的k倍，距离变为原来倍时，两恒星做圆周运动的周期，B项正确.二、“三星”问题有两种情况：第一种三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R的圆轨道上运行，周期相同；第二种三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的外接圆轨道运行，三星运行周期相同。

考点4 多星系统运动问题所谓“双星”问题，是指在宇宙空间中有两颗相距较近的天体，它们靠相互吸引的力提供向心力做匀速圆周运动。

两者有共同的圆心，且间距不变，则向心力大小也不变。

其他天体距它们很远，其影响可以忽略不计。

多星系统问题的求解方法仍然是建立万有引力方程和牛顿第二定律方程，并结多星运动系统几何上和运动参量上的特有关系求解。

在图14—2中，“双星”m l 与m 2的连线一定过圆轨道的圆心O ．由于万有引力提供向心力，故有22222111ωωr m r m F ==“双星”的周期一定相同，角速度ω也相同，故天体质量与轨道半径成反比，即1221r r m m = 又因为r v ω=，则有2211v m v m =，故有1221v v m m = 三星系统的求解方法与之类似，实际上多星系统中各星体在运转中均有相同的角速度，否则系统不能稳定存在。

这类考题所设置的一般是理想化的对称模型，求解时应注意旋转中心到各星体的半径可能不同。

在三星或更多星组成的系统中还需注意其他各星体对某待研究星体的吸引力的合力才是该星体运转所需的向心力。

双星系统具有如下特点：(1)它们以相互间的万有引力来提供向心力。

(2)它们共同绕它们连线上某点做圆周运动。

(3)它们的周期、角速度相同。

【考题4】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。

已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。

设每个星体的质量均为m ．(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少?【解析】(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律有 221R Gm F =, 222)2(R Gm F =． R v m F F 221=+ 解得运动星体的线速度 R Gm v 45=, 周期为GmR T 543π=． ① (2)设第二种形式星体之间的距离为r ．则三个星体做圆周运动的半径为： 030cos 2rR =' ② 由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供．由力的合成和牛顿运动定律有 02230cos 2rm G F =合． ③ 2)2(TR m F π'=合. ④ 由①②③④式得，R r 3512= 【变式4—1】宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起。