最新人教A版必修2高中数学 第四章《直线与圆的位置关系》教案

课题：直线与圆的位置关系【课程标准】1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.【教材分析】教材选用人民教育出版社A版高中数学必修2，直线与圆的位置关系是第四章第4.2.1节的内容，是继学生学习了直线方程、圆的方程以及点到直线的距离之后进一步研究的问题，为应用解析法研究两类曲线位置关系打下基础.教材由实际问题引入，然后回顾平面几何中的直线与圆的位置关系，接着通过具体的例题总结研究直线与圆的位置关系两种常用方法.在教材的基础上，我通过创设问题情景，引导学生应用《几何画板》进行自主探索学习.【学生分析】学生已经学习了直线方程、圆的方程、两直线的位置关系以及点到直线的距离，具备利用方程研究两条直线的位置关系的基本能力，同时在初中平面几何中已经接触过直线与圆的位置关系，并且会使用《几何画板》软件.【教学目标】〖知识与技能〗1.理解直线与圆的三种位置关系的含义及图示并能判断；2.理解直线与圆的交点坐标的求法；3.能通过直线与圆的位置关系求待定量的取值范围.〖过程与方法〗1.利用《几何画板》探索直线与圆的位置关系；2.应用解析法研究直线与圆的位置关系.〖情感与态度〗1.培养学生的数形结合思想；2.培养学生应用信息技术研究数学问题的意识；3.培养学生科学、严谨的数学思维.【教学重点】判断直线与圆的位置关系并求出交点坐标.【教学难点】通过直线与圆的位置关系求待定量的取值范围.【教学理念】通过创设情景，在教师激励引导下，学生应用《几何画板》自主探索学习，在教学中渗透算法思想. 【教学方法】启发引导式，自主探索学习.【教学媒体】多媒体网络电脑室，《几何画板》软件.教案说明：本节课是研究直线与圆的位置关系的第一课时，以学生应用《几何画板》进行自主探索学习为主线，沿用研究问题的科学方法，首先观察探索、寻找规律，然后猜测、估计结果，最后严格推理求解，同时充分利用信息技术，很好地体现新课程理念.在教学过程中，打破传统课堂模式，首先由实际问题引入，强调研究直线与圆的位置关系的重要意义，充分激发学生求知欲望，接着学生回顾平面几何中直线与圆的位置关系，并由两个问题从不同的侧面探索研究，自主进行学习. 在解决问题的过程中，渗透算法，使思路更加清晰、条理更清楚.这样有利于突出教学重点，突破教学难点. 本节课除了设置两道巩固练习外，还精心编制了两道为教学进一步延伸的问题，给学生课后继续进行自主探索创设问题情景，关注学生的持续学习，培养其自学能力，同时也为后续的教学作好铺垫.本节课采用启发引导式、自主探索学习的教学方法，学生自主参与，充分地体现他们的主体地位. 教师关注学生发展的差异，帮助有困难的学生. 还通过展示学生探索的成果，促进师生之间互相交流，让学生获得成就感，激发学习的兴趣.附表图（2）判断直线与圆的位置关系代数法几何法图（1）图（3）利用直线与圆的位置关系求待定量代数法 几何法图（4）。

高中数学 《直线与圆的位置关系》教学设计 新人教版必修2 教学目标： （1）理解直线与圆的位置关系；
（2）掌握直线与圆的位置关系的判定方法；
（3）会用方程思想和数形结合思想处理问题 ；
教学重点：直线和圆的位置关系的判定方法
教学难点：用几何法和代数法判定直线和圆的三种位置关系。

教学设计 1、观察：（组织学生，使学生从感性认识到理性认识）
2、归纳：（引导学生完成）
（1）直线与圆有两个公共点；（2）直线和圆有唯一公共点（3）直线和圆没有公共点 从几何角度思考: 可利用 d 与r 的关系
从代数角度思考: 可利用△
y y 22224:6,240:3420203420l y x x y l x y x x x y =++--=++=+-=++=P140练习 ，已知圆判断直线和圆有无公共点，有几个公共点。

3，判断直线和圆 的位置关系
2，已知直线与圆心在原点的圆相切， 求圆的方程。

22240,C x y y +--=和圆心为的圆：试判断直线L 和圆的位置关系；
如果相交，求它们的交点坐标。

:360l x y +-=例题1 :已知直线
思想与方法提炼
1．处理直线与圆的位置问题的主要方法有：（1）代数方法即方程方法（利用△）；
（2）几何方法（利用距离关系）；
2．方程的思想和数形结合的思想是处理解析几何的基本思想．
课后作业Ｐ１４４页２，３．
仅此学习交流之用
谢谢。

教学设计课题：§4.2.1直线与圆的位置关系（第1课时）课题: §4.2.1直线与圆的位置关系（第1课时）【教材分析】直线与圆的位置关系是必修2第4章第2节第一课时内容，是继直线方程、圆的方程之后，研究解析几何曲线与曲线之间位置关系的重要课题之一。

从知识体系上看，它安排在“点和圆的位置关系”之后，“圆与圆的位置关系”之前；从数学思想方法上看，它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程及相关知识间的联系。

因此，直线与圆的位置关系在圆的一章中起到承上启下的作用。

直线与圆的位置关系判断的方法、建立过程中蕴涵着诸多的数学思想方法，“坐标法”研究直线与圆的位置关系是对圆的方程应用的延续和拓展，又是后续研究圆与圆的位置关系和直线与圆锥曲线的位置关系等内容的基础。

【学情分析】(1)知识储备学生在初中平面几何部分已经学习了直线与圆的位置关系，知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的大小，判断直线与圆的位置关系。

通过数学文化渗透引导学生感受解析几何产生的背景和价值，为学生感受用代数方法解决几何问题的解析几何思想，为本节课的重点用“坐标法”解决平面解析几何问题做好铺垫。

(2)心理特征上课班级为高级中学理科平行班的学生。

根据高级中学已有学生的数学素养和高一学生的认知特点及心理特征，确定本节课的情感目标为让学生感受数学思想文化的价值。

引导学生感受源远流长的数学文化背景，体会代数方法解决几何问题的奇妙，感受代数与几何对立统一的关系。

博大精深的数学文化可以恰如到好处的满足学生的心理需求，同时在意识领域让学生从数学文化背景中感受古人的智慧，膜拜古人持之以恒追求知识的精神，可以进一步激发学生对知识的渴望、对伟大数学家的仰望和敬意。

而高一阶段的学生逻辑思维较初中学生有了大部分的提升，同时学生的观察能力、想象能力在迅速发展。

这个年龄的学生好奇心强、喜欢表现，注意力容易分散，教师采用生动形象、形式多样的教学方法使学生广泛的、积极主动的参与到教学中，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上。

《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2第四章教学设计《4.2.1 直线与圆的位置关系》教学设计【教学目标】知识与技能（1）理解直线与圆的三种位置关系；（2）会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系；（3）能解决与弦有关的一些问题；过程与方法（1）经历知识的建构过程，培养学生独立思考，自主探究，动手实践，合作交流的学习方式；（2）强化学生用解析法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力；情感态度与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想；【重点难点】1、重点：直线与圆的位置关系及其判断方法、解决与弦有关的一些问题；2、难点：体会和理解代数法解决几何问题的数学思想；【教学方法】合作交流,自主探究【教学用具】多媒体【教学过程】一、实例引入一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？（1）以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中取10km为单位长度，你能写出其中的直线方程与圆的方程吗？（2）如何用直线方程与圆的方程判断它们的位置关系，请谈谈你的想法？【解析】（1）直线方程：174x y+=，即47280x y +-=；圆的方程：229x y +=；（2）根据学生已有经验，判断直线与圆的位置关系，一种方法，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后比较这个距离与半径的大小作出位置关系的判断；另一种方法，就是看由它们组成的方程组有无实数解；学生交流，讨论，归纳总结； 二、探究新知探究1：直线与圆的位置关系的判定方法问题1：想一想，平面几何中，直线与圆的位置关系有哪些？在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？现在，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？【典例剖析】例1、如图，已知直线:360l x y +-=和圆心为C 的圆22240x y y +--=， 判断直线l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标. 分析：方法一：判断直线l 与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系； 【解析】解法一：联立方程22360(1)240(2)x y x y y +-=⎧⎨+--=⎩消去y 得：2320x x -+=， 因为10∆=>，所以直线l 与圆相交，有两个公共点.解法二：圆22240x y y +--=可化为22(1)5x y +-=，圆心(0,1)C ，半径r =(0,1)C 到直线l 的距离d ==<所以直线l 与圆相交，有两个公共点.由2320x x -+=，解得12x =，21x =，把12x =代入方程（1），得10y =；把21x =代入方程（1），得23y =； 所以，直线l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是：(2,0),(1,3)A B . 归纳总结:判断直线与圆的位置关系有两种方法：方法一：判断直线圆C 与圆C 的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l 与圆C 有公共点．有两组实数解时，直线l 与圆C 相交；有一组实数解时，直线l 与圆C 相切；无实数解时，直线l 与圆C 相离．方法二：判断圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系．如果d <r ，直线l 与圆C 相交；如果r d =，直线l 与圆C 相切；如果d >r ，直线l 与圆C 相离．三、巩固练习练习1：直线02=--y x 与圆1)1()1(22=-+-y x 的位置关系是 ； 练习2：直线012=-+y x 与圆01222=+-+-y y x x 的位置关系是 ； 练习3：设直线过点),0(a ，其斜率为1，且与圆222=+y x 相切，则=a 。

必修二4.2.1直线与圆的位置关系●三维目标1．知识与技能(1)理解直线与圆的三种位置关系．(2)掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法．2．过程与方法(1)通过直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式．(2)强化学生用坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过学生的自主探究、小组讨论合作，培养学生的团队精神和主动学习的良好习惯．●重点难点重点：掌握用几何法和解析法判断直线与圆的位置关系；能用直线与圆的方程解决一些简单的实际问题．难点：灵活地运用“数形结合”、解析法来解决直线与圆的相关问题．重难点突破：以平面几何中直线与圆的三种位置关系为切入点，通过对教材实例的探究，结合解析法解决问题的步骤，使学生的思维实现从“形”到“数”的转化，即从“方程”角度来判断直线与圆的三种位置关系，难点顺利突破．为更好的突出用解析法来解决直线与圆的相关问题的优越性，教师可适当引入案例，以帮助学生实现知识的内化．●教学建议本节课既是对直线与圆的方程应用的延续和拓展，又是后续研究圆与圆的位置关系的基础．由于直线与圆的三种位置关系学生已经非常熟悉，且从直线与圆的直观感受上，学生已懂得从圆心到直线的距离与圆的半径相比较来研究直线与圆的位置关系，故本节课的核心是“如何用‘数’的关系来判断直线与圆的位置关系”，引导学生学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础．为此，可类比直线与直线的交点坐标的求法，引导学生用解析法探求直线与圆的位置关系的思想，让学生认识到解析法解决平面几何问题的优越性；在问题解决过程中，提高学生知识水平的同时渗透了“数形结合”的思想方法，培养学生从多角度思考问题的发散性思维能力．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何判断直线与圆的位置关系？⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握圆的切线方程的求法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握圆的弦长求法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读 1.理解直线和圆的三种位置关系．(重点) 2.会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．(重点)3.能解决直线与圆位置关系的综合问题．(易错点、难点)直线与圆的位置关系及判断【问题导思】大海上初升的红日，冉冉升起中，展现着迷人的风采，同时也体现了直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．1．如果直线与圆相交，则圆心到直线的距离d同圆的半径r什么关系？【提示】d<r.2．能否利用代数的方法，即通过联立直线和圆的方程，依据方程组解的个数，判定直线和圆的位置关系？【提示】能．直线与圆的位置关系的判定方法(1)代数法：直线与圆的方程联立消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，此方程的判别式为Δ，则直线与圆相交⇔Δ>0；直线与圆相切⇔Δ＝0；直线与圆相离⇔Δ<0.(2)几何法：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交⇔d<r；直线与圆相切⇔d＝r；直线与圆相离⇔d>r.直线与圆位置关系的判断图4－2－1如图4－2－1所示，已知直线l ：y ＝kx ＋5与圆C ：(x －1)2＋y 2＝1.(1)当k 为何值时，直线l 与圆C 相交？ (2)当k 为何值时，直线l 与圆C 相切？ (3)当k 为何值时，直线l 与圆C 相离？【思路探究】 思路一：联立l 和C 的方程――→消元一元二次方程――→判断Δ的符号直线与圆的位置关系思路二：求圆心C 到直线l 的距离d ―→比较d 与l 的大小关系―→下结论【自主解答】 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5，(x －1)2＋y 2＝1消去y ，得(x －1)2＋(kx ＋5)2＝1， 即(k 2＋1)x 2＋(10k －2)x ＋25＝0，则Δ＝(10k －2)2－4×25(k 2＋1)＝－96－40k . (1)当Δ>0，即k <－125时，直线l 与圆C 相交．(2)当Δ＝0，即k ＝－125时，直线l 与圆C 相切．(3)当Δ<0，即k >－125时，直线l 与圆C 相离．法二 圆C 的圆心C (1,0)，半径r ＝1，由点到直线的距离公式得圆心C 到直线l 的距离d ＝|k ＋5|1＋k 2. (1)当|k ＋5|1＋k 2<1，即k <－125时，直线l 与圆C 相交．(2)当|k＋5|1＋k2＝1，即k＝－125时，直线l与圆C相切．(3)当|k＋5|1＋k2>1，即k>－125时，直线l与圆C相离．直线与圆位置关系判断的三种方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．(2012·陕西高考)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则()A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能【解析】将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3,0)在圆内．∴过点P的直线l定与圆C相交．【答案】 A圆的切线问题(2013·济宁高一检测)若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．【思路探究】判断点P与圆的位置关系―→设l的方程―→利用几何法或代数法求l的方程【自主解答】∵(2－1)2＋(3＋2)2>1，∴点P在圆外．法一①若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，因为直线l 与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，所以|5－k|k2＋1＝1，所以k＝125.所以直线l的方程为y－3＝125(x－2)，即12x－5y－9＝0.②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.法二①若直线l的斜率存在，设l ：y －3＝k (x －2)， 即y ＝k (x －2)＋3， 与圆的方程联立消去y 得： (x －1)2＋[k (x －2)＋3＋2]2＝1，整理得(k 2＋1)x 2－(4k 2－10k ＋2)x ＋4k 2－20k ＋25＝0， ∴Δ＝(4k 2－10k ＋2)2－4(k 2＋1)(4k 2－20k ＋25)＝0， ∴k ＝125.此时直线l 的方程为y －3＝125(x －2)，即12x －5y －9＝0. ②若直线l 的斜率不存在，则直线l ：x ＝2也符合要求． 所以直线l 的方程为12x －5y －9＝0或x ＝2.1．本题求解采用了两种不同的方法，显然方法一较方法二简捷明了，一般地求圆的切线方程或与切线有关的问题常用方法一．2．过圆外一点引圆的切线必定有两条，当用几何法求得切线的斜率值只有一个时，另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合法求得．(2013·临沂高一检测)直线x＋y＝m与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则实数m的值为________．【解析】由题意可知，圆x2＋y2＝m的圆心(0,0)到直线x＋y＝m的距离等于半径．即|m|12＋12＝m.又m>0，∴m＝2.【答案】 2圆的弦长问题求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长．【思路探究】 方程组→解出交点坐标→ 两点间距离即弦长或方程组→得x 1＋x 2与x 1·x 2→弦长公式求弦长或圆心到直线的距离→构造直角三角形求弦长【自主解答】 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，x 2＋y 2－2y －4＝0，得交点A (1,3)，B (2,0)，∴弦AB 的长为|AB |＝(2－1)2＋(0－3)2＝10.法二 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，x 2＋y 2－2y －4＝0，消去y 得x 2－3x ＋2＝0.设两交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝2. ∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(x 2－x 1)2＋[－3x 2＋6－(－3x 1＋6)]2 ＝(1＋32)(x 2－x 1)2 ＝10[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝10×(32－4×2)＝10， 即弦AB 的长为10.法三 圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0可化为x 2＋(y －1)2＝5，其圆心坐标(0,1)，半径r ＝5，点(0,1)到直线l 的距离为d ＝|3×0＋1－6|32＋12＝102，所以半弦长为|AB |2＝r 2－d 2＝ (5)2－(102)2＝102， 所以弦长|AB |＝10.图1求直线与圆相交时弦长的两种方法：(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有(|AB |2)2＋d 2＝r 2.即|AB |＝2r 2－d 2.图2(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|，其中k为直线l的斜率．(2012·重庆高考)设A、B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝() A．1 B.2 C.3D．2【解析】直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝2.【答案】D忽略直线斜率不存在的情况致误已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线a过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝23，求直线a的方程．【错解】设直线a的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.如图所示，作MC⊥AB于C，在直角三角形MBC中，BC ＝3，MB ＝2，MC ＝MB 2－BC 2＝1，由点到直线的距离公式得点M (1,1)到直线a 的距离为|k －1＋3－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝34，所以直线a 的方程为3x －4y ＋6＝0.【错因分析】 错解忽略了直线a 的斜率不存在的情况．【防范措施】 点斜式方程并不能表示斜率不存在的情况，故在求直线方程时，若设点斜式方程，根据条件求得斜率后，应注意验证斜率不存在的情况是否满足题意．本题就是忽略了斜率不存在的特殊情况而出错的．【正解】 ①当直线a 的斜率存在时，设直线a 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.如错解中的图所示，作MC ⊥AB 于C ，在直角三角形MBC 中， BC ＝3，MB ＝2，MC ＝MB 2－BC 2＝1，由点到直线的距离公式得点M (1,1)到直线a 的距离为|k －1＋3－2k |k 2＋1＝1， 解得k ＝34，所以直线a 的方程为3x －4y ＋6＝0.②当直线a 的斜率不存在时，其方程为x ＝2， 圆心到此直线的距离也是1，所以适合题意． 综上，直线a 的方程为3x －4y ＋6＝0或x ＝2.1．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离【解析】圆心到直线的距离d＝11＋1＝22<1，又∵直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，∴直线与圆相交但不过圆心．【答案】 B2．直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 等于( ) A.3或－ 3 B ．－3或3 3 C ．－33或 3 D ．－33或3 3【解析】 把圆的方程化成标准方程(x －1)2＋y 2＝3， 由已知得|3×1－0＋m |(3)2＋(－1)2＝3，即|m ＋3|＝2 3.∴m ＝－33或m ＝ 3. 【答案】 C3．直线y ＝x 与圆(x －2)2＋y 2＝4交于点A ，B ，则|AB |＝________.【解析】 圆心(2,0)到直线x －y ＝0的距离d ＝|2－0|2＝2，又圆的半径为r ＝2，则(|AB |2)2＋d 2＝r 2.解得|AB |＝2 2. 【答案】 2 24．a 为何值时，直线2x －y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝a 2(a >0)相离、相切、相交？ 【解】 由圆x 2＋y 2＝a 2(a >0)，知圆心为O (0,0)，半径为a ，O 到直线2x －y ＋1＝0的距离为d ＝122＋12＝55. (1)若直线与圆相离，则d >r ，即55>a ，∴0<a <55. (2)若直线与圆相切，则d ＝r ，即a ＝55. (3)若直线与圆相交，则d <r ，即a >55. 综上所述，当0<a <55时，直线与圆相离；当a ＝55时，直线与圆相切；当a >55时，直线与圆相交.一、选择题1．(2012·辽宁高考)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0【解析】因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.【答案】 C2．(2013·长沙高一检测)以(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的标准方程为()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9【解析】根据题意知点(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离与半径长相等，所以r＝|6＋4＋5|＝3，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.32＋(－4)2【答案】 C3．(2012·湛江高二检测)直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相交B．相离C．相交或相切D．相切【解析】直线x－ky＋1＝0过定点(－1,0)，而点(－1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交．【答案】 C4．(2012·衢州高二检测)圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0 B．x－3y＋2＝0C．x－3y＋4＝0 D．x＋3y－4＝0【解析】 ∵12＋(3)2－4×1＝0，∴点P (1，3)在圆上．又圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心A (2,0)，又题意可知切线与直线P A 垂直． 又k P A ＝31－2＝－3，∴所求切线的斜率k ＝33.由点斜式得y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 【答案】 B5．(思维拓展题)在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，而圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，故圆上有3个点满足题意．【答案】 C 二、填空题6．设直线2x ＋3y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交于点A ，B ，则弦AB 的垂直平分线的方程是________．【解析】 将x 2＋y 2－2x －3＝0化为标准形式为(x －1)2＋y 2＝4，圆心为(1,0)．直线2x ＋3y ＋1＝0的斜率k ＝－23，∴AB 的垂直平分线的斜率为32，∴AB 的垂直平分线为y －0＝32(x－1)，即3x －2y －3＝0.【答案】 3x －2y －3＝07．(2013·开封高一检测)圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是________．【解析】 圆的方程化为标准式得(x －2)2＋(y －2)2＝18. 圆心(2,2)到直线x ＋y －14＝0的距离 d ＝|2＋2－14|2＝52，直线与圆相离，从而圆上点到直线的最小距离为52－r ＝52－32＝22，最大距离为52＋32＝82，故最大距离与最小距离的差是6 2.【答案】 6 28．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．【解析】 由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k ，则直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，又圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，∴圆心到直线的距离d ＝|k －1＋k －2|1＋k 2＝1－(22)2，解得k ＝1或177. 【答案】 1或177三、解答题9．已知圆x 2＋y 2＝2和直线y ＝x ＋b ，当b 为何值时，直线与圆 (1)相交；(2)相切；(3)相离？【解】 圆心(0,0)到直线y ＝x ＋b 的距离d ＝|b |2，圆的半径为r ＝ 2. (1)当d <r ，即－2<b <2时，直线与圆相交； (2)当d ＝r ，即b ＝±2时，直线与圆相切； (3)当d >r ，即b <－2或b >2时，直线与圆相离． 10．(2013·济宁高一检测)已知圆C 的方程为：x 2＋y 2＝4. (1)求过点P (1,2)且与圆C 相切的直线l 的方程；(2)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程． 【解】 (1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1)，则由|2－k |k 2＋1＝2得k 1＝0，k 2＝－43，故所求的切线方程为y ＝2或4x ＋3y －10＝0.(2)当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d ，则23＝24－d 2，∴d ＝1，∴1＝|－k ＋2|k 2＋1，∴k ＝34，此时直线方程为3x－4y ＋5＝0.综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )． (1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程．【解】 (1)证明：因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即l 恒过定点A (3,1)．因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)， 所以点A 在圆C 内，从而直线l 与圆C 恒交于两点． (2)由题意可知弦长最小时，l ⊥AC . 因为k AC ＝－12，所以l 的斜率为2.又l 过点A (3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0.已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0， 求：(1)yx的最大值；(2)y －x 的最小值．【思路探究】 将x 2＋y 2－4x ＋1＝0，yx ，y －x 赋予几何意义，利用数形结合来解决．【自主解答】 将实数x ，y 看作点P (x ，y )的坐标，满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0的点P (x ，y )组成的图形是以M (2,0)为圆心，3为半径的圆，如图所示．(1)设y x ＝y －0x －0＝k ，即y x是圆上的点P 与原点O 连线的斜率． 由图知，直线y ＝kx 和圆M 在第一象限相切时，k 取最大值．此时有OP ⊥PM ，|PM |＝3，|OM |＝2，∴∠POM ＝60°.此时k ＝tan 60°＝3，∴y x 的最大值为 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，b 是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距．由图知，当直线y ＝x＋b 和圆M 在第四象限相切时，b (b <0)取最小值，此时有|2＋b |2＝3，解得b ＝－6－2， ∴y －x 的最小值是－6－2.利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数表达式赋予几何意义，看成某几何量的大小，把问题转化为求此几何量的最值问题；再从几何直观出发，根据图形的几何性质，观察出最值出现的时机和位置，从而解决求代数表达式的最值问题．这是用几何方法解决代数问题的常用方法，即数形结合．常见的数形结合点是直线方程、圆的方程、过两点的斜率公式、平面内两点间距离公式、直线在y 轴上的截距等．如果实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求y x的最大值与最小值．【解】 设P (x ，y )，则P 点的轨迹就是已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝6.而y x的几何意义就是直线OP 的斜率， 设y x＝k ，则直线OP 的方程为y ＝kx . 由图可知，当直线OP 与圆相切时，斜率取最值．∵点C(3,3)到直线y＝kx的距离d＝|3k－3|k2＋1，∴当|3k－3|k2＋1＝6，即k＝3±22时，直线OP与圆相切．∴yx的最大值与最小值分别是3＋22与3－2 2.。

人教A版高中数学必修2课题：4.2.1直线与圆的位置关系【教材分析】《直线、圆的位置关系》是圆与方程这一章的重要内容。

它是学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，以及在前面几节学习了直线与圆的方程的基础上，从代数角度，运用解析法进一步研究直线与圆的位置关系，它既是对圆的方程的应用和拓展，又是研究圆和圆的位置关系的基础，并且为后续研究直线和圆锥曲线的位置关系奠定思想基础，具有承上启下的作用。

【学生学情分析】在初中，学生已经直观的讨论过直线与圆的位置关系,前阶段又学习了直线方程和圆的方程。

本节课主要以问题为载体，帮助学生复习、整理已有的知识结构，让学生利用已有的知识，探究直线与圆的位置关系的判断方法。

通过学生参与问题的解决，让学生体验有关的数学思想，培养“数形结合”的意识。

【教学目标】（一）知识与技能：理解直线与圆三种位置关系；能根据直线、圆的方程，用代数法和几何法判断直线与圆位置关系；掌握直线和圆的位置关系判定的应用，会求弦长.（二）方法与过程：通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、合作交流的学习方式；强化学生用解析法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．（三）情感态度与价值观：让学生亲生经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，感受“方程思想”、“数形结合”等数学思想的内涵，养成良好的思维习惯.【教学重点与难点】重点：直线与圆的位置关系的判断方法.难点：灵活的运用“数形结合”解决直线和圆相关的问题．【课型】新课【课时安排】1节课【教法、学法指导、教学手段】教法“引导-探究”教学法、“命名”教学法、“题组”教学法；学法：观察发现、自主探究、合作交流、变式学习、归纳总结、应用提高;教学手段：多媒体教学【教学准备】学生学情，课件、教学设计，学生课堂练习题；彩色粉笔，翻页笔。

间的位置关系呢？方法一：可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的方法二，由直线l(–问题6过点M【板书设计】有两个公共点直线和圆相交有惟一公共点直线和圆相切直线和圆相离。

《直线与圆的地点关系》的教课方案青岛第十五中学苏延红A 版数学②第四章第一、教课课题：人民教育第一版社第一版的一般高中课程标准实验教科书二节“直线与圆的地点关系”第一课时。

二、设计重点：学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种地点关系，在前方几节课学习了直线与圆的方程，所以，本节课主要以问题为载体，经过教师几个环节的设问，让学生利用已有的知识，自己去研究用坐标法研究直线与圆的地点关系的方法。

用过学生的参加和一个个问题的解决，让学生体验有关的数学思想，提升学生自主学习、剖析问题和解决问题的能力，培育学生“用数学”及合作学习的意识。

三、教课目的：1．知识目标：能依据给定直线、圆的方程判断直线与圆的地点关系，并解决有关的问题；2 ．能力目标：经过理论联系实质培育学生建模能力，培育学生数形联合思想与方程的思想；3．感情目标：经过学生的自主研究，培育学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。

四、教课重点、难点、重点：（1 ）重点：用坐标法判断直线与圆的地点关系（2）难点：学生对用方程组的解来判断直线与圆的地点关系方法的理解（3）重点：显现数与形的关系，启示学生思虑、研究。

五、教课方法与手段：1．教课方法：研究式教课法2。

教课手段：多媒体、实物投影仪六、教课过程：1．创建情境，提出问题教师利用多媒体显现以下问题：问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预告：台风中心位于轮船正西50km 处，遇到影响的范围是半径长为 30km的圆形地区，已知港口位于台风中心正北50km 处，假如这艘轮船不改变航线，那么它能否会遇到台风的影响？教师提出：利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们着手试试看。

设计企图：让学生从数学角度看平时生活中的问题，体验数学与生活的亲密联系，激发学生的研究热忱。

2．切入主题，提出课题（1）由学生将问题数学建模，显现平面几何解决方法，得出结论。

教师率领学生一同回首初中所学直线与圆的三种地点关系及判断方法。

4. 2.1 直线与圆的位置关系【教学目标】１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．３．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．【教学重难点】教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法． 教学难点：用坐标法判直线与圆的位置关系． 【教学过程】㈠情景导入、展示目标 问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km 处，受影响的范围是半径长为30km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？运用平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下. ㈡检查预习、交流展示1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？ 2．怎样判断直线与圆的位置关系呢？ ㈢合作探究、精讲精练探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？教师：利用坐标法，需要建立直角坐标系，为使直线与圆的方程应用起来简便，在这个实际问题中如何建立直角坐标系？学生：以台风中心为原点O ，东西方向为x 轴，建立直角坐标系，其中，取10km 为单位长度.则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O 的圆的方程为922=+y x轮船航线所在直线 l 的方程为082=-+y x .教师：请同学们运用已有的知识，从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系. 让学生自主探究，互相讨论，探究知识之间的内在联系。

教师对学生在知识上进行适当的补遗，思维上的启迪，方法上点拨，鼓励学生积极、主动的探究. 由学生回答并补充,总结出以下两种解决方法： 方法一：代数法由直线与圆的方程，得：⎩⎨⎧=-+=+082922y x y x 消去y ，得0,74x 2x 2=+-因为040724(-4)2＜△-=⨯⨯-= 所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。

4.2.1 直线与圆的位置关系（一）教学目标1．知识与技能（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.（二）过程与方法设直线l ：ax + by + c = 0，圆C ：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0，圆的半径为r ，圆心(,)22D E --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当d ＞r 时，直线l 与圆C 相离；（2）当d ＝r 时，直线l 与圆C 相切；（3）当d ＜r 时，直线l 与圆C 相交3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.（二）教学重点、难点重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.难点：用坐标法判定直线与圆的位置关系.分析：方法一：由直与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直即圆心到所求直线l的距离为因为直线l过点M (–所以可设所求直线l的方程为 + 3 = k (x + 3)，k x–y + 3k–3 = 0.例1 已知圆的方程x 2 + y 2 = 2，直线y = x + b ，当b 为何值时， （1）圆与直线有两个公共点； （2）圆与直线只有一个公共点； （3）圆与直线没有公共点.解法1：圆心O (，0)到直线y = x + b 的距离为d =r =（1）当d ＜r ，即–2＜b ＜2时，直线与圆相交，有两个公共点； （2）当d = r ，即b = 2±时，直线与圆相切，有一个公共点； （3）当d ＞r ，即b ＞2或b ＜–2时，直线与圆相离， 无公共点.解法2：联立两个方程得方程组222x y y x b⎧+=⎨=+⎩.消去y 2得2x 2 + 2bx + b 2 – 2 = 0，∆=16 – 4b 2.（1）当∆＞0，即–2 ＜b ＜2时，直线与圆有两个公共点；（2）当∆＝0，即2b =±时，直线与圆有一个公共点； （3）当∆＜0即b ＞2或b ＜–2时，直线与圆无公共点.例2 直线m 经过点P (5，5)且和圆C ：x 2 + y 2 = 25相交，截得弦长l 为m 的方程.【解析】设圆心到直线m 的距离为 d ，由于圆的半径r = 5，弦长的一半2l=，所以由勾股定理，得：d 所以设直线方程为y – 5 = k (x – 5) 即kx – y + 5 – 5k = 0.=，得12k =或k = 2. 所以直线m 的方程为x – 2y + 5 = 0或2x – y – 5 = 0.例3 已知圆C ：x 2 + y 2 – 2x + 4y – 4 = 0. 问是否存在斜率为1的直线l ， 使l 被圆C 截得弦AB 满足：以AB 为直径的圆经过原点.【解析】假设存在且设l 为：y = x + m ，圆C 化为(x – 1)2 – (y + 2)2 = 9，圆心C (1，–2).解方程组2(1)y x m y x =+⎧⎨+=--⎩得AB 的中点N 的坐标11(,)22m m N +--，由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN | = |ON |.又||AN ==，||ON =所以22(3)(1)19()222m m m ++--=+解得m = 1或m = –4.所以存在直线l ，方程为x – y + 1 = 0和x – y – 4 = 0， 并可以检验，这时l 与圆是相交于两点的.。

【高中数学】新人教版必修二高中数学直线与圆的位置关系教案新人教版A版必修2 课程标准1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系。

2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3、在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

学习目标重点难点重点：1、判断直线与圆的位置关系；2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

难点：直线与圆的方程的应用。

知识树学习过程学习内容（任务）及问题学习活动及行为【模块一】直线与圆的位置关系的判定问题1、初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？我们是怎样判断直线与圆的位置关系的？问题2、通过学习教科书的例1第1问，你能总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤吗？练习1、判断直线与圆的位置关系。

3420l :x y ++=22:20C x y x +-= 练习2、已知直线和圆，当实数取何值时，直线与圆相交、相切、相离？:=+l y x b 22:+=4C x y b 评价：学生能正确利用几何方法判断直线与圆的位置关系。

【模块二】直线被圆截得的弦长问题问题1、阅读教材例1第2问和例2，你能找到求弦长的方法吗？分别从几何和代数两个角度阐述求弦长的方法。

问题2、总结用几何法求圆内弦长的步骤。

练习1. 求直线被圆所截得的弦的长度。

21=0x y --22+21=0x y y -- 练习2. 已知过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程。

M （-3,-3）l 22+421=0x y y +-5l拓展变式：已知过点的直线被圆所截得的弦长为8，求直线的方程。

M （-3,-3）l 22+421=0x y y +-l 练习3. 已知为圆内一定点，(1,2)P -228x y +=求（1）过点且被圆所截得的弦最短的直线方程；P （2）过点且被圆所截得的弦最长的直线方程。

P拓展练习：过点作圆的弦，其中弦长为整数的直线共有条。

(11,2)A 22+24164=0x y x y +-- 练习 4. 自圆上的点引圆的弦，求弦的中点的轨迹方程。