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弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。
以下是对弹性力学主要知识点的总结。
一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。
2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。
3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。
4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。
5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。
二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。
2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。
3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。
三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。
2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。
3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。
四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。
通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。
五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。
对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。
六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。
2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。
七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。
极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。
八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。
2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。
《弹性力学》期末复习提纲第七章、平面问题1. 会正确区分是否是平面问题，如果是，具体属于哪类平面问题（平面应力、平面应变、广义平面应力、广义平面应变）？2. 明确各类平面问题中的各种非零变量，能够正确写出平面问题的平衡方程、几何方程、本构方程（注意平面应力和平面应变问题的区别，应力→应变、应变→应力）和边界条件。
极坐标下的方程不用专门记忆。
3. 知道根据应变协调条件，严格的平面应力问题必须满足线性条件：ax by c =++Θ或z Ax By C ε=++。
4. 知道根据几何方程，严格的平面应力问题必须满足变形后是平截面的条件：()w Ax By C z =++。
5. 会用位移法求解简单的平面问题，特别是轴对称问题和轴反对称问题（比如7-19题）。
6. 会用Airy 应力函数求解平面问题（直角坐标系、极坐标系，轴对称、非轴对称）。
要求能根据Airy 应力函数的基本性质来构造应力函数，并进一步通过双调和方程得到应力函数的通解，最后由边界条件确定其中的待定常数。
附录B 、泛函极值与变分法（不会专门考，但要求会用）1. 知道泛函和容许自变函数的概念。
2. 会正确计算给定泛函的变分。
3. 会求泛函的无条件极值问题。
4. 会求泛函的条件极值问题。
第十章、能量原理1. 明确“真实状态”、“变形可能状态”和“静力可能状态”的相关概念。
2. 理解“可能功”、“变形功”和“虚功”的概念。
对具体问题能正确写出其广义力和广义位移。
3.明确系统的总势能（应变能+外力势）和总余能（应变余能+余势）的物理意义、相互关系和具体的表达式。
对于具体问题，能够正确写出系统的总势能和总余能。
（注意：总势能中的基本未知量为位移或应变，总余能中的基本未知量为力或应力）4.明确“可能功原理”、“功的互等定理”、“虚功原理”、“极小势能原理”、“最小势能原理”、“余虚功原理”、“极小余能原理”和“最小余能原理”的：(1)表达式(2)物理意义（比如正定理、逆定理）(3)适用范围(4)各种能量原理的相互关系5.会使用“功的互等定理”解题（关键在于通过易求的状态得到难解的状态）6.会根据“虚功原理”、“极小势能原理”和“最小势能原理”，由变分法求得具体问题的欧拉方程和自然边界条件。
弹性力学期末考试复习弹性力学是固体力学的重要分支，它主要研究弹性体在外力作用下的应力、应变和位移。
对于即将迎来弹性力学期末考试的同学们来说，有效的复习是取得好成绩的关键。
下面就为大家提供一份全面的弹性力学期末考试复习指南。
一、基本概念和理论1、应力应力是弹性体内单位面积上所承受的内力。
要理解正应力和切应力的定义、方向以及它们在不同坐标系下的表达式。
重点掌握平面应力状态和空间应力状态的分析方法，如莫尔圆的应用。
2、应变应变描述了物体在受力作用下的变形程度。
包括线应变和角应变，要熟悉它们的定义和计算方法。
同时，要了解应变张量的概念以及主应变和应变不变量。
3、本构关系本构关系反映了材料的应力和应变之间的内在联系。
对于各向同性线性弹性材料，要熟练掌握胡克定律的表达式，并能应用于简单的问题求解。
4、平衡方程平衡方程描述了物体内部的力的平衡条件。
在直角坐标系和柱坐标系、球坐标系下的平衡方程都需要掌握，能够根据具体问题建立相应的平衡方程。
5、几何方程几何方程描述了应变和位移之间的关系。
要理解位移分量和应变分量之间的数学表达式，并能通过已知位移求应变，或通过已知应变求位移。
二、常见的问题类型和解题方法1、平面问题平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
对于这两类问题，要能够根据给定的条件判断所属类型，并选择相应的解法。
常见的解法有应力函数法，通过求解满足双调和方程的应力函数，进而求得应力分量。
2、轴对称问题在轴对称情况下，要学会利用柱坐标系下的基本方程进行求解。
掌握圆环、圆筒等常见轴对称结构的应力和位移分析。
3、薄板弯曲问题薄板弯曲问题中，要理解薄板的基本假设，掌握弯矩、扭矩和挠度的计算方法，以及相应的边界条件的处理。
4、能量法能量法在弹性力学中也有重要应用，如虚功原理、最小势能原理等。
要能够运用这些原理求解结构的位移和内力。
三、复习资料和学习资源1、教材仔细阅读教材是复习的基础。
推荐使用经典的弹性力学教材，如徐芝纶院士编写的《弹性力学》，书中对基本概念和理论的讲解清晰透彻。
《弹性力学》期中复习提纲一、张量分析（不专门出题考，但要求会基本的运算） 1. 张量的基本记法、求和约定、自由指标、亚指标、换标 2. Kronecker ij δ符号的换标作用，3=ii δ3. 置换符号ijk e 的定义（下标是两两反对称的，指标轮流换位等）、矢量叉积运算的分量表示、δe -恒等式：ks jt kt js ist ijk e e δδδδ-=4. 正交单位基矢量的坐标转换关系i j i j e e '='β、坐标转换系数的互逆关系ij k j k i δββ=''5. 张量的坐标转换运算：j j i i a a '='β、m n n j m i ij T T ''='ββ（写成矩阵形式时要注意坐标转换矩阵中sin 的符号问题） 6. 张量的代数运算和商判则7. 特殊张量及其基本性质（比如加法分解、球偏分解、对称张量和反对称张量的双点积为零张量）8. 会求实对称二阶张量的主分量和主方向，知道三个不变量的概念（不用死记） 9. 掌握笛卡尔坐标系中的张量场运算和性质（梯度、散度、旋度、Laplace 算子、高斯定理）10. 了解一般正交曲线坐标系中张量分析的基本概念（拉梅系数、对基矢量的导数、场论），但不要求做具体计算。
二、绪论1. 什么是弹性固体？2. 弹性力学中的载荷分类3. 弹性力学的基本假设：主要：连续性假设（知道这是统计平均意义上的抽象，要求弹性力学中的点是宏观充分小、微观充分大的）、弹性假设辅助性：均匀性、各向同性、小变形、无初应力（无后两项，解的唯一性定律就不成立）三、应力理论1. 知道应力的定义、真实（柯西）应力和工程（名义）应力的区别2. 理解“一点的应力状态”：对“点”的要求应力分量正方向的规定（笛卡尔坐标系和圆柱坐标系）3. 熟练掌握斜截面应力公式()ν=⋅σνσ，能正确写出应力边界条件j i ij p νσ=，会计算斜面的应力矢量、斜面正应力矢量和斜面剪应力矢量的大小（()ννσ==σ=n ij i j σσνν、τ=） 4. 会对应力分量进行坐标转换（注意坐标转换矩阵的表达式） 5. 会计算应力主方向和主应力6. 了解八面体正应力、剪应力。
弹性力学重点复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相习惯。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相习惯。
4、物体受外力将来，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也算是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为延续性、彻底弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=xσMPa ，50=yσMPa ，5010=xyτ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量， 200=xσMPa ，0=yσMPa ，400-=xyτ MPa ，则主应力=1σ512MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=xσMPa ，1000=yσMPa ，400-=xyτ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要思量静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将延续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法举行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移普通总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
弹性力学2005 期末考试复习资料一、简答题1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。
应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。
平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。
应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。
反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。
应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。
2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。
答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。
位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。
应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。
混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。
3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。
如何确定它们的正负号？答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：σx、σy、σz、τxy、τyz、、τzx。
正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。
4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。
答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定：（1）假定物体是连续的。
（2）假定物体是完全弹性的。
（3）假定物体是均匀的。
（4）假定物体是各向同性的。
370511班弹性力学复习整理一、基本概念弹性力学与材料力学的区别(研究对象、研究方法、应力应变定义应力符号定义等）弹性力学基本原理1、迭加原理：某物体受两组载荷共同作用时的应力或位移场就等于每组载荷单独作用时的应力或位移场之和，且与加载顺序无关。
2、解的唯一性定理（基尔霍夫唯一性定理）：线性弹性问题的解是唯一的3、圣维南原理，两种表述：局部影响原理：由作用在物体局部表面上的自平衡力系（合力与合力矩为零）所引起的应力和应变，在远离作用区（距离远大于该局部作用区的线性尺寸）的地方将衰减到可以忽略不计的程度。
（局部平衡力系对远离作用区域影响可忽略）静力等效原理：若把作用在物体局部表面上的外力，用另一组与它静力等效（合力与合力矩与它相等）的力系来代替，则这种等效处理对物体内部应力应变状态的影响将随远离该局部作用区的距离增加而迅速衰减。
应力不变量与应变不变量（这部分可能不会以概念题的形式出，但个人认为比较重要，而且由于推导过程比较复杂，大家可能往往忽略。
至少说，这个结果是值得记住的）应力不变量是在推导主应力方向时得出的一组不随坐标改变而改变的有量纲量，其一般公式为：1112233ii σσσσ=++I ＝1112133212223123313233ijk i j k e σσσσσσσσσσσσ==I22233331111223233131121221)2ii jj ij ij I σσσσσσσσσσσσσσσσ-=++＝（这个表达式还是比较繁，下面给出用主应力表示的公式：321332312123211σσσσσσσσσσσσ=++=++=I I I ，321σσσ、、分别为三个主应力的大小完全类似的，可得到应变不变量公式：()11232122331312312312ii ii jj ij ij ijk i j k e θεεεεθεεεεεεεεεεθεεεεεε==++=-=++==，各符号意义与应力相似二、基本公式推导 本构关系（本构关系中有比较多的公式，再次就不一一列举了。
我只是想说一点心得，关于将平面应力问题转化为平面应变问题，只需将公式中的21,1,υυυυ-→-→→EE G G ；反过来，将平面应变问题转化为平面应力问题，只需将公式中的2)1()21(,1,υυυυυ++→+→→EE G G ）L-N 方程（用位移表示应变，代入本构关系，进而表示应力，最后代入平衡方程，即可得到L-N 方程。
这也就是所谓的位移解法。
此方程中包含了平很方程，使用时起自身的三个方程就是全部域内方程！）几何方程： )(21)(21,,i j j i i j j i iju u x u x u +=∂∂+∂∂=ε 第一应变不变量：i i ii u ,==εθ 代入本构方程：ijk k i j j i ijij ij u u u G G δλλθδεσ,,,)(2++=+=（这里)21)(1(,)1(2υυυλυ-+=+=EE G ） 再代入平衡方程：0,=+i j ij f σ得： 0)(,,,=+++i kj k ij ij j jj i f u u u G λδ其中，ij j ji j ki k kj k ij u u u u ,,,,===δ（双下标是哑指标，求导顺序可换） 进一步得到： 0)(,,=+++i ij j jj i f u G Gu λ（这就是L-N 方程的最终形式）继续变形 0)(0)()(,22=+++∇⇒=+++∂∂++∇⇒i i i i z y x ii f G u G f x G u G θλεεελ无体力情况下：)(0)(,,,2=++⇒=++∇⇒ii jji i i i G Gu G u G θλθλ由于，jj jj i i jji i u u ,,,,)(θ==所以有， 000)2(422=∇⇒=∇⇒=∇+i u G θθλ044=∇⇒=∇⇒ij ij σεB-M 方程（*）（此推导过程的精髓在于，用应力表示应变，代入应变表示的变形协调方程，进而得到应力表示的变形协调协调方程，再代入平衡方程整合，最终得到所谓的B-M 方程。
由于变形协调方程不独立，六个B-M方程也只有三个独立方程。
故使用时，再与三个平衡方程共同组成域内方程！）变形协调方程：0,,,,=--+ik jl jl ik ij kl kl ij εεεε代入本构方程：ij ij ij EE δυσυεΘ-+=1，其中第一应力不变量kk σ=Θ )())(1(,,,,,,,,jl ik ik jl kl ij ij kl ik jl jl ik ij kl kl ij δδδδυσσσσυΘ-Θ-Θ+Θ=--++⇒在这里，令k l =，不丢失独立方程的个数ij ij ikjk jk ik ij ij ji ij ij ik jk jk ik ij kk kk ij δυυυσσσδυυσσσσΘ∇+=Θ++--∇⇒Θ-Θ-Θ+Θ∇+=--+⇒2,,,2,,,2,,,,111)3(1代入平衡方程：i k ik f -=,σ)(111,,2,2i j j i ij ij ij f f +-=Θ∇+-Θ++∇⇒δυυυσ 令j i =，将三方程加和得到：kk kk f f ,2,2221121311υυυυυ-+-=Θ∇⇒-=Θ∇+-Θ∇++Θ∇ 代回原方程)(111,,,,2i j j i ij k k ij ij f f f +---=Θ++∇⇒δυυυσ （这便是B-M 方程的最终形式，考虑到推导过程较繁，考的可能性比较小，大家自己感觉吧）试用最小势能原理推导平面应力问题的基本方程和边界条件。
并进一步导出用瑞次法和伽辽金法求解平面问题的基本方程（这算是公式推导，又算是一道大题，大家注意一下） 对于平面应力问题，设其为厚度单位，则形变势能可以写为：()12x x y y xy xy U dxdy σεσετγ=++⎰⎰（一般变形体的形变势能写为：dxdydz U xy xy xz xz yz yz z z y y x x )(21γτγτγτεσεσεσ+++++=⎰⎰⎰， 平面应力问题中，0===yz xz z ττσ，沿z 方向积分为1，故有上式） 其一阶变分为：()x x y y xy xy x y xy x y xy U dxdyu vu v dxdyx w y x u v u v dxdyx w y x δσδεσδετδγσδσδτδσδσδτδδ=++⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰（这里有两点注意：1、x σ与x ε之间是线性关系，所以在做变分时跟求导一样，21便被消去了。
2、变分跟偏导运算时刻调换顺序的，故第二个等号能够实现。
） 对上式第一项使用奥高公式（奥高公式平面形式：⎰⎰⎰⎰⎰⎰=∂∂=∂∂dsy x f dn dydxdy y x f y dsy x f dn dx dxdy y x f x ),(),(),(),(）()x x x xx udxdy u dxdy udxdyx x x l uds udxdyx σσδσδδσσδδ∂∂∂=-∂∂∂∂=-∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 同理可对其他项进行处理，整理得：()()x xy y xy xy y xy x U l m u m l v dsu v dxdyxy yx δστδστδτστσδδ⎡⎤=+++⎣⎦⎡∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂-+++⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰外力做功：()()V Xu Yv dxdy Xu Yv ds=-+-+⎰⎰⎰一阶变分：()()V X u Y v dxdy X u Y v dsδδδδδ=-+-+⎰⎰⎰由最小势能原理：()()x xy y xy xyy xy x V U l m X u m l Y v dsX u Y v dxdy x y y x δδστδστδτστσδδ⎡⎤+=+-++-⎣⎦⎡∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂-+++++=⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰又因为u δ与v δ的任意性，上式成立的必要条件为：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+00Y m l X m l y xyxy x σττσ，在边界上满足，是边界条件 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y xX y xy xy xyx σττσ，在域内满足，是平衡方程 瑞次法：设平面问题的位移场方程形如：00,m m m mmmu u A u v v B v =+=+∑∑以平面应力状态为例，形变势能为：()222212221E u v u v v u U dxdy x y x y x y υυυ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂-∂∂⎛⎫=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂-⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰（在平面应力问题中，xyxy x y y y x x EEEγυτυεευσυεευσ)1(2)(1)(122+=+-=+-=，代入上式中，得： ⎰⎰-+++-=dxdy E U xy yx y x )212()1(22222γυευεεευ，继而可以得到上面的式子） 将位移场代入：()()221222221121m m m m m m m U E u u v u v u u dxdy A x A x y A x x y A y u u u E u v v u dxdy x x y x x y y υυυυυυ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂-∂∂⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰()2121m m m m v v v U E v u v u dxdy B y y x y x y x υυυ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂-∂∂=+++⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰由于瑞此法有关系式：d d d d d d m m m m m mUXu x y Xu s A UYv x y Yv s B ∂∂∂∂=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰得到平面应力问题的瑞此法表达式为：()()221d d d 211d d d 21m m m m m m m m m m u u u E u v v u dxdy Xu x y Xu s x x y x x y y v v v E v u v u dxdy Yv x y Yv s y y x y x y x υυυυυυ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂-∂∂⎛⎫+++=+⎢⎥ ⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂-∂∂+++=+⎢⎥⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰迦辽金法：同样，设平面问题的位移场方程形如：00,m m m mmmu u A u v v B v =+=+∑∑在位移边界条件和应力边界条件都满足的情况下，将位移变分，有：∑∑==mm m mm m B v v A u u ,,δδδδ代入迦辽金方程：0)()(=+∂∂+∂∂++∂∂+∂∂∑⎰⎰∑⎰⎰m m y xy m m m xyx m dxdy v Y y x B dxdy u X y x A στδτσδ进一步由m m B A δδ,的任意性，可得到：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂⎰⎰⎰⎰0)(0)(dxdy v Y y x dxdy u X y x m y xy m xyx σττσ通过几何方程和本构方程，用位移替换应力，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂∂-++∂∂++∂∂-=+∂∂∂-++∂∂++∂∂-⎰⎰⎰⎰0))1(2)1()1(21(0))1(2)1()1(21(222222222222dxdy v Y yx uE x v E y v Edxdy u X yx vE y u E x u Em m υυυυυυυυ三、大题猜测 应力理论图示变宽度薄板，轴向拉伸载荷P 。
