当前位置：文档之家 › 高考数学总复习考点知识及题型专题讲义42 椭圆

高考数学总复习考点知识及题型专题讲义42 椭圆

  • 格式：doc
  • 大小：334.00 KB
  • 文档页数：11

高考数学总复习考点知识及题型专题讲义四十二椭圆知识梳理1．椭圆的概念把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．椭圆定义用集合语言表示如下：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．在椭圆定义中，特别强调到两定点的距离之和要大于|F1F2|．当到两定点的距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当到两定点的距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2说明：B是不相等的正常数，或设成x2m2＋y2n2＝1(m2≠n2)的形式．3．点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.3．椭圆的焦点三角形有关结论椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形，与之有关的常用结论有： (1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a ；(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ；(其中，θ＝∠F 1PF 2) (3)当P 为短轴端点时，θ最大．(4)S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝sin θ1＋cos θ·b 2＝b 2tan θ2＝c ·|y 0|.当y 0＝±b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2有最大值为bc . (5)焦点三角形的周长为2(a ＋c )． 4．椭圆中的弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a ，最长为2a .5．椭圆中点弦有关的结论AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)．(1)斜率：k ＝－b 2x 0a 2y 0.(2)弦AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值－b 2a2.典例剖析题型一 椭圆的定义和标准方程例1 (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是________．(2) 设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则△PF 1F 2的周长为________．答案 (1) x 24＋y 23＝1 (2) 16解析 (1)由题意知c ＝1，e ＝c a ＝12，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2) △PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝10＋6＝16.变式训练 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)， P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________． 答案 x 29＋y 23＝1解析 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )． ∵椭圆经过P 1，P 2两点，∴P 1，P 2点坐标适合椭圆方程，则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ② ①②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.解题要点 1.求解椭圆标准方程一般用待定系数法，如果能确定焦点位置，则设标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，若焦点位置不明确，可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．2.若P 是椭圆上一点，则由椭圆定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，从而△PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ．题型二 二次方程表示椭圆的条件例2 “2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的________条件答案 必要不充分条件解析 若x 2m －2＋y26－m＝1表示椭圆．则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，∴2<m <6且m ≠4.故“2<m <6”是“x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的必要不充分条件．变式训练 若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．答案 (3，4)∪(4，5)解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0k －3>05－k ≠k －3，解得3<k <5且k ≠4.解题要点 关于x ,y 的二次方程表示Ax 2＋By 2＝1表示椭圆，则需系数满足⎩⎪⎨⎪⎧A ＞0 B ＞0 A ≠B ．题型三 椭圆的几何性质例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________． 答案3－1解析 设过左焦点F 1的正三角形的边交椭圆于A ，则|AF 1|＝c ，|AF 2|＝3c ，有2a ＝(1＋3)c ， ∴e ＝c a ＝21＋3＝3－1.变式训练 椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为________．答案 －1925或21解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k＝45，解得k ＝21. 解题要点 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方法：(1)求出a ，c 代入公式e ＝ca；(2)只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．需要注意的是，若焦点位置未指明在x 轴还是y 轴，则应进行讨论． 题型四 直线与椭圆的位置关系例4 过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________． 答案 53解析 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1y ＝2x －2，解得交点A (0，－2)，B (53，43)，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×|－2－43|＝53.变式训练 已知椭圆x 236＋y 29＝1以及椭圆内一点P (4,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为________． 答案 －12解析 设弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)36＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)9＝0，∴2(x 1－x 2)9＝－4(y 1－y 2)9，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.说明：本题也可以直接利用结论：k ＝－b 2x 0a 2y 0＝－9×436×2＝－12.解题要点 直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般可以直接联立方程，“设而不求”，把方程组转化成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解．同时，还应记住一些常用结论：(1)中点弦斜率：k ＝－b 2x 0a 2y 0.；(2)最短的焦点弦为通径长2b 2a ，最长为2a .(3)弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. 当堂练习1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________．答案 x 23＋y 22＝1解析 由e ＝33，得c a ＝33①.又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3，代入①得c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1.2．(2015新课标Ⅰ文)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |等于________． 答案 6解析 因为e ＝c a ＝12，y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以c ＝2，a ＝4，故椭圆方程为x 216＋y 212＝1，将x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3，所以|AB |＝6.3. 椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．答案 3－1解析 ∵直线y ＝3(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为60°， ∴∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1＝30°， ∴∠F 1MF 2＝90°，即F 1M ⊥F 2M .∵|MF 1|＝c ，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|MF 2|＝2a －c .∵|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2.∴c 2＋(2a －c )2＝4c 2，即c 2＋2ac －2a 2＝0. ∴e 2＋2e －2＝0，解得e ＝3－1.4．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为________．答案 14解析 将原方程变形为x 2＋y 21m＝1，由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，∴a ＝1m ，b ＝1.∴1m ＝2，∴m ＝14. 5．已知△ABC 中，A 、B 的坐标分别为(2,0)和(－2,0)，若三角形的周长为10，则顶点C 的轨迹方程是________． 答案 x 29＋y 25＝1(y ≠0)解析 点C 到两个定点A 、B 的距离之和为6,6>4，故所求点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，其中2a ＝6,2c ＝4，则b 2＝5.所以顶点C 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1，又A 、B 、C 三点不共线，即y ≠0.课后作业一、 填空题1． (2015广东文)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于________．答案 3解析 由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.2．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为________．答案 x 215＋y 210＝1解析 由题意得c 2＝9－4＝5，又已知椭圆的焦点在x 轴上，故所求椭圆方程可设为x 2λ＋5＋y 2λ＝1(λ＞0)，代入点A 的坐标得9λ＋5＋4λ＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)．故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.3．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,3)∪(163，＋∞)解析 当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3.4．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距等于2，则m 的值为________．答案 5或3解析 当m ＞4时，m －4＝1，m ＝5；当m ＜4时，4－m ＝1，m ＝3. 5．若椭圆x 216＋y 2b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为________．答案 4 3解析 ∵椭圆过(－2，3)，则有416＋3b 2＝1，b 2＝4，c 2＝16－4＝12，c ＝23，2c ＝4 3.6．已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于________． 答案32解析 k AB ＝－12，k OP ＝12，由k AB ·k OP ＝－b 2a 2，得12×(－12)＝－b 2a 2.∴b 2a 2＝14.∴e ＝ca＝1－b 2a 2＝32. 7．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 1的中点在y 轴上，若∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________． 答案33解析 设PF 1的中点为M ，连接PF 2，由于O 为F 1F 2的中点，则OM 为△PF 1F 2的中位线，所以OM ∥PF 2.所以∠PF 2F 1＝∠MOF 1＝90°. 由于∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2|PF 2|.由勾股定理，得 |F 1F 2|＝|PF 1|2－|PF 2|2＝3|PF 2|.由椭圆定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3|PF 2|⇒a ＝3|PF 2|2，2c ＝|F 1F 2|＝3|PF 2|⇒c ＝3|PF 2|2. 所以椭圆的离心率为e ＝c a ＝3|PF 2|2·23|PF 2|＝33.8．(2015福建文)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，32解析 左焦点F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32. 9．椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点(12，12)平分，则这条弦所在的直线方程是________．答案 2x ＋4y －3＝0解析 设该弦与椭圆相交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由点(12，12)平分弦AB 可得x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，再将点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)代入椭圆方程后作差可得k AB ＝－12，然后根据点斜式方程可求得直线AB 的方程为2x ＋4y －3＝0.10．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________． 答案 4 3 解析 如图，设椭圆的另外一个焦点为F ，则△ABC 的周长为|AB |＋|AC |＋|BC |＝(|AB |＋|BF |)＋(|AC |＋|CF |)＝4a ＝4 3.11．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________． 答案 4解析 ∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4. 二、解答题12． (2015安徽文)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .解析 (1)解 由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明 由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，可得NM →＝⎝⎛⎭⎫a 6，5b 6， 又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)． 由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .13．(2015北京文节选)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1,0)且不过点E (2,1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；解析 (1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1，所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2. 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63. (2)因为AB 过点D (1,0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)，直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)，令x ＝3，得M (3,2－y 1)，所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1.。

合集下载

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 42 双曲线

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 42 双曲线

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结42 双曲线高考 概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、高等难度考纲 研读1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线) 2．了解双曲线的简单应用 3．理解数形结合的思想一、基础小题1．已知双曲线x 2m 2＋16－y 24m －3＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±54B ．±45 C.±53 D ．±35 答案 D解析 由m 2＋16＝52，解得m ＝3(m ＝－3舍去)．所以a ＝5，b ＝3，从而±b a ＝±35.故选D.2．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B ．x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D ．x 29－y 216＝1(x ≥3) 答案 D解析 由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A ，C ；又c ＝5，a ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝16.∵焦点在x 轴上，∴轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．故选D.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D ．x 220－y 280＝1 答案 A解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10， ∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba ＝1，即a ＝2b .②由①②，解得a ＝25，b ＝5， 则C 的方程为x 220－y 25＝1.故选A.4．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于另一点A (O 为坐标原点)，且|OA |＝2|AF |，则双曲线C 的离心率e 为( )A.5 B ．52 C.2 D ．2 答案 B解析 由题意可得tan ∠AOF ＝|AF ||OA |＝|AF |2|AF |＝12，渐近线方程为y ＝±b a x ，∴b a ＝12，e 2＝c 2a 2＝b 2＋a 2a 2＝a 24＋a 2a 2＝54，故e ＝52.故选B.5．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4 C.6 D ．8 答案 B解析 由双曲线的方程，得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|＝(22)2，解得|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.6．(多选)已知曲线C 的方程为x 2k 2－2－y 26－k ＝1，则下列结论正确的是( )A ．当k ＝8时，曲线C 为椭圆，其焦距为4＋15B ．当k ＝2时，曲线C 为双曲线，其离心率为3C ．对任意实数k ，曲线C 都不可能为焦点在y 轴上的双曲线D ．当k ＝3时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆(x －4)2＋y 2＝9相切答案 BC解析 对于A ，当k ＝8时，曲线C 的方程为x 262＋y 22＝1，该曲线为椭圆，焦距2c ＝262－2＝415，A 错误；对于B ，当k ＝2时，曲线C 的方程为x 22－y 24＝1，该曲线为双曲线，则a ＝2，c ＝6，其离心率e ＝ca ＝3，B 正确；对于C ，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎨⎧6－k <0，k 2－2<0，不等式组无解，故不存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，C 正确；对于D ，当k ＝3时，曲线C 的方程为x 27－y 23＝1，该曲线为双曲线，其渐近线方程为y ＝±217x ，则圆(x －4)2＋y 2＝9的圆心到渐近线的距离d ＝|±421|21＋49＝4310＝2305≠3，所以双曲线C 的渐近线与圆(x －4)2＋y 2＝9不相切，D 错误．故选BC.7．(多选)已知动点P 在双曲线C ：x 2－y 23＝1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下列结论正确的是( )A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为y ＝±33xC ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1||PF 2|2的最大值为14答案 AC解析 对于双曲线C ：x 2－y 23＝1，a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a ＝2，渐近线方程为y ＝±3x ，A 正确，B 错误；设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 20－y 203＝1，双曲线C 的两条渐近线方程分别为x －33y ＝0和x ＋33y ＝0，则点P 到两条渐近线的距离之积为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－33y 01＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－332·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋33y 01＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20－y 20343＝34，C 正确；当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1|≥c －a ＝1，|PF 2|＝2a ＋|PF 1|＝|PF 1|＋2，|PF 1||PF 2|2＝|PF 1|(|PF 1|＋2)2＝|PF 1||PF 1|2＋4＋4|PF 1|＝1|PF 1|＋4|PF 1|＋4≤12|PF 1|·4|PF 1|＋4＝18，当且仅当|PF 1|＝2时，等号成立，所以|PF 1||PF 2|2的最大值为18，D 错误．故选AC.8．设F 1，F 2分别为双曲线x 216－y 220＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离为9，则点P 到焦点F 2的距离为________．答案 17解析 解法一：∵实轴长2a ＝8，半焦距c ＝6，∴||PF 1|－|PF 2||＝8.∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝17.又|PF 2|的最小值为c －a ＝6－4＝2，∴|PF 2|＝17.解法二：若P 在右支上，则|PF 1|≥a ＋c ＝4＋6＝10>9，∴P 在左支上．∴|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，∴|PF 2|＝9＋8＝17.9．直线y ＝k (x ＋6)(k >0)与双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)及其渐近线从左至右依次交于点A ，B ，C ，D ，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为4，则△F 2CD 与△F 1AB 的面积之比为________．答案 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y2b2＝1，y ＝k (x ＋6)，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－k 2b 2x 2－12k 2xb 2－1－36k 2b 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝0，y ＝k (x ＋6)，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－k 2b 2x 2－12k 2x b 2－36k2b 2＝0，由以上两式可知，x A ＋x D ＝x B ＋x C ，故AD ，BC 具有相同的中点，故|AB |＝|CD |，又直线y ＝k (x ＋6)过定点G (－6,0)，如图，过F 1，F 2作直线y ＝k (x ＋6)的垂线，垂足分别为N ，M ，由焦距为4可得F 1(－2，0)，F 2(2,0)，则|GF 2|＝2|GF 1|.所以S △F 2CD S △F 1AB＝12|CD |·|MF 2|12|AB |·|NF 1|＝|GF 2||GF 1|＝2.二、高考小题10．(2022·北京高考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B ．x 23－y 2＝1C ．x 2－3y 23＝1D ．3x23－y 2＝1答案 A解析 ∵e ＝c a ＝2，∴c ＝2a ，b ＝c 2－a 2＝3a ，则双曲线的方程为x 2a 2－y 23a 2＝1，将点(2，3)代入双曲线的方程可得2a 2－33a 2＝1a 2＝1，解得a ＝1，故b ＝3，因此，双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选A.11．(2022·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( )A.72 B ．132 C.7 D ．13 答案 A解析 由|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，即(2c )2＝(3a )2＋a 2－2×3a ×a ×cos60°，得4c 2＝7a 2，所以C 的离心率e ＝c a ＝72.故选A.12．(2022·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C ，D 两点，若|CD |＝2|AB |.则双曲线的离心率为( )A.2 B ． 3 C.2 D ．3 答案 A解析 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)的公共焦点为(c,0)，则抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－c ，令x ＝－c ，则c 2a 2－y 2b 2＝1，解得y ＝±b 2a ，所以|AB |＝2b 2a ，又因为双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以|CD |＝2bc a ，所以2bc a ＝22b 2a ，即c ＝2b ，所以a 2＝c 2－b 2＝12c 2，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝ 2.故选A.13．(2022·浙江高考)已知a ，b ∈R ，ab >0，函数f (x )＝ax 2＋b (x ∈R )．若f (s －t )，f (s )，f (s ＋t )成等比数列，则平面上点(s ，t )的轨迹是()A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线 答案 C解析 因为函数f (x )＝ax 2＋b ，所以f (s －t )＝a (s －t )2＋b ，f (s )＝as 2＋b ，f (s ＋t )＝a (s ＋t )2＋b .因为f (s －t )，f (s )，f (s ＋t )成等比数列，所以[f (s )]2＝f (s －t )f (s ＋t )，即(as 2＋b )2＝[a (s －t )2＋b ]·[a (s ＋t )2＋b ]，化简得－2a 2s 2t 2＋a 2t 4＋2abt 2＝0，得t ＝0或2as 2－at 2＝2b ，即t ＝0或as 2b －at 22b ＝1，易知点(s ，t )的轨迹是直线和双曲线．故选C.14．(2022·天津高考)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 2＝1 答案 D解析 由题可知，抛物线的焦点为(1,0)，所以直线l 的斜率为－b ，又双曲线的渐近线的方程为y ＝±b a x ，所以－b ＝－b a ，－b ×ba ＝－1.因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝1，b ＝1.故选D.15．(2022·全国Ⅲ卷)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为 5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝( )A ．1B ．2 C.4 D ．8 答案 A解析 ∵ca ＝5，∴c ＝5a ，根据双曲线的定义可得||F 1P |－|F 2P ||＝2a ，∵S △PF 1F 2＝12|F 1P |·|F 2P |＝4，∴|F 1P |·|F 2P |＝8.∵F 1P ⊥F 2P ，∴|F 1P |2＋|F 2P |2＝(2c )2，∴(|F 1P |－|F 2P |)2＋2|F 1P |·|F 2P |＝4c 2，即(2a )2＋2×8＝4(5a )2，解得a ＝1.故选A.16．(2022·全国Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8 C.16 D ．32 答案 B解析 ∵直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，双曲线的渐近线方程是y ＝±ba x ，不妨设D 在第一象限，E 在第四象限，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b ax ，解得⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝b .故D (a ，b )．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－ba x ，解得⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝－b .故E (a ，－b )．∴|ED |＝2b .∴△ODE 的面积为S △ODE ＝12a ×2b ＝ab ＝8.∵双曲线的焦距为2c ＝2a 2＋b 2≥22ab ＝216＝8，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，∴C 的焦距的最小值为8.故选B.17．(2022·全国Ⅱ卷)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A.2 B ． 3 C.2 D ． 5 答案 A解析 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，如图，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2.由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故c a ＝2，即e ＝ 2.故选A.18．(2022·全国Ⅲ卷)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324 B ．322 C.22 D ．3 2 答案 A解析 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A.19．(2022·全国Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C.23 D ．4 答案 B解析 因为双曲线的一条渐近线为y ＝33x ，所以tan ∠FON ＝33，所以∠FON ＝30°，∠MON ＝60°，又因为△OMN 是直角三角形，不妨取∠NMO ＝90°，则∠ONF ＝30°，于是|FN |＝|OF |＝2，|FM |＝12|OF |＝1，所以|MN |＝3.故选B.20．(2022·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A.5 B ．2 C.3 D ． 2 答案 C解析 由题可知|PF 2|＝b ，|OF 2|＝c ，∴|PO |＝a .在Rt △POF 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2||OF 2|＝bc ，∵在△PF 1F 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|＝b c ，∴b 2＋4c 2－(6a )22b ·2c ＝b c⇒c 2＝3a 2，∴e ＝ 3.故选C.21．(2022·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B ．x 212－y 24＝1C.x 23－y 29＝1 D ．x 29－y 23＝1 答案 C解析 解法一：∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴e 2＝1＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，即b 2＝3a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )，∵b 2a 2＝3，∴渐近线方程为y ＝±3x ，则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|23a －3a |2＝23－32a ，d 2＝|23a ＋3a |2＝23＋32a ，又d 1＋d 2＝6，∴23－32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3，∴b 2＝9.∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1.故选C.解法二：如图，设双曲线的右焦点为F (c,0)，一条渐近线为y ＝ba x ，则F 到该渐近线的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，又d 1＋d 2＝6，由梯形中位线可知2d ＝d 1＋d 2，即2b ＝6，b ＝3，∵双曲线离心率为2，∴e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，∴a 2＝3.∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1.故选C.22．(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±3x解析 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a 2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x .23．(2022·全国乙卷)已知双曲线C ：x 2m －y 2＝1(m >0)的一条渐近线为3x ＋my ＝0，则C 的焦距为________．答案 4解析 双曲线x 2m －y 2＝1(m >0)的渐近线为y ＝±1m x ，即x ±my ＝0，又双曲线的一条渐近线为3x ＋my ＝0，即x ＋m3y ＝0，对比两式可得m ＝3.设双曲线的实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，则有a 2＝m ＝3，b 2＝1，所以双曲线的焦距2c ＝2a 2＋b 2＝4.24．(2022·北京高考)已知双曲线C ：x 26－y 23＝1，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是________．答案 (3,0)3解析 在双曲线C 中，a ＝6，b ＝3，则c ＝a 2＋b 2＝3，则双曲线C 的右焦点的坐标为(3,0)．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，即x ±2y ＝0，所以双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为31＋2＝ 3. 25．(2022·全国Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．答案 2解析 解法一：由F 1A →＝AB →，得A 为F 1B 的中点．又O 为F 1F 2的中点， ∴OA ∥BF 2. 又F 1B →·F 2B →＝0， ∴∠F 1BF 2＝90°. ∴|OF 2|＝|OB |， ∴∠OBF 2＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ， ∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2， ∴△OBF 2为等边三角形． 如图1所示，不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－32c .∵点B 在直线y ＝－b a x 上，∴ba ＝3，∴离心率e ＝ca ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2. 解法二：∵F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°.在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c .如图2，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝ba ，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c,0)．又F 1A →＝AB →，∴A 为F 1B 的中点．∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝b c －a，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝2.三、模拟小题26．(2022·广东广州荔湾区高三上调研考试)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 23－y 2＝1的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为( )A ．±1B ．±2 C.±3 D ．±2 答案 C解析 由题设，渐近线为y ＝±33x ，不妨令P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，33x 0，而F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴F 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2，33x 0，F 2P →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－2，33x 0，又F 1P →·F 2P →＝x 20－4＋x 203＝0，∴x 0＝±3.故选C.27．(2022·湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF ⊥AF 时满足|AF |>2|BF |，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．1<e <2B ．1<e <32 C.32<e <2 D ．1<e <3＋32 答案 B解析 设双曲线半焦距为c ，因BF ⊥AF ，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2－y 2b 2＝1，得|BF |＝|y |＝b 2a ，而|AF |＝a ＋c ，于是得a ＋c >2·b 2a ，即a ＋c >2·c 2－a 2a ，整理得a >23c ，从而有e ＝c a <32，又e >1，所以双曲线离心率e 的取值范围是1<e <32.故选B.28．(2022·湖北黄石高三上调研)P 为双曲线x 2－y 2＝1左支上任意一点，EF 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的任意一条直径，则PE →·PF→的最小值为() A ．3 B ．4 C.5 D ．9 答案 C解析 如图，圆C 的圆心C 为(2,0)，半径r ＝2，PE →·PF →＝(PC →＋CE →)·(PC →＋CF →)＝(PC →＋CE →)·(PC →－CE →)＝|PC →|2－|CE →|2＝|PC →|2－4，则当点P 位于双曲线左支的顶点时，|PC →|2－4最小，即PE →·PF →最小．此时PE →·PF→的最小值为(1＋2)2－4＝5.故选C.29．(2022·重庆实验外国语学校高三上入学考试)如图，O 是坐标原点，P 是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且|QF |＝2|FR |，则E 的离心率为( )A.174 B ．173 C.214 D ．213 答案 B解析 如图，令双曲线E 的左焦点为F ′，连接PF ′，QF ′，RF ′，由对称性可知，点O 是线段PQ 的中点，则四边形PFQF ′是平行四边形，而QF ⊥FR ，于是有▱PFQF ′是矩形，设|FR |＝m ，则|PF ′|＝|FQ |＝2m ，|PF |＝2m －2a ，|RF ′|＝m ＋2a ，|PR |＝3m －2a ，在Rt △F ′PR 中，(2m )2＋(3m －2a )2＝(m ＋2a )2，解得m ＝4a 3或m ＝0(舍去)，从而有|PF ′|＝8a 3，|PF |＝2a 3，Rt △F ′PF 中，⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＝4c 2，整理得c 2a 2＝179，e ＝c a ＝173，所以双曲线E 的离心率为173.故选B.30．(2022·河北沧州第一中学等十五校高三上摸底考试)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 23－y 2＝1的两个焦点，点M 在直线x －y ＋3＝0上，则|MF 1|＋|MF 2|的最小值为( )A ．213B ．6 C.26 D ．5 答案 C解析 由双曲线C ：x 23－y 2＝1可得a 2＝3，b 2＝1，所以c 2＝a 2＋b 2＝4，可得c ＝2，所以F 1(－2，0)，F 2(2,0)，设点F 2(2,0)关于x －y ＋3＝0对称的点为P (m ，n )，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋22－n 2＋3＝0，n m －2＝－1，可得⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝5，所以P (－3，5)，所以|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |≥|PF 1|，当且仅当P ，M ，F 1三点共线时等号成立，|PF 1|＝[－3－(－2)]2＋(5－0)2＝26，所以|MF 1|＋|MF 2|的最小值为26，故选C.31．(多选)(2022·辽宁朝阳建平县高三上学期第一次联考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在圆O ：x 2＋y 2＝13上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M ，N ，点E (0，a )满足EO→＋EM →＋EN →＝0(其中O 为坐标原点)，则() A ．双曲线C 的一条渐近线方程为3x －2y ＝0 B ．双曲线C 的离心率为132 C ．|OE→|＝1 D ．△OMN 的面积为6 答案 ABD解析 如图，设双曲线C 的焦距为2c ＝213，MN 与y 轴交于点P ，由题可知|OM |＝c ＝13，则P (0，b )，由EO→＋EM →＋EN →＝0得点E 为△OMN 的重心，可得|OE |＝23|OP |，即a ＝23b ，b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝94，a ＝2，b ＝3，e 2－1＝94，解得e ＝132.双曲线C 的渐近线方程为3x ±2y ＝0，|OE →|＝2，M 的坐标为(2,3)，S△OMN ＝6.故选ABD.32．(多选)(2022·湖北襄阳五中高三开学考试)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y ＝3x ，且F 1到l 的距离为33，点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为(2,0)，PQ 为∠F 1PF 2的平分线．则下列结论正确的是( )A ．双曲线的方程为x 29－y 227＝1 B.|PF 1||PF 2|＝2C ．|PF 1→＋PF 2→|＝36 D ．点P 到x 轴的距离为3152 答案 ABD解析 ∵F 1(－c,0)到y ＝3x 距离为33，∴3c2＝33，解得c ＝6，又渐近线方程为y ＝3x ，则b a ＝3，结合a 2＋b 2＝c 2可解得a ＝3，b ＝33，则双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故A 正确；∵PQ 为∠F 1PF 2的平分线，∴S △F 1PQ S △F 2PQ ＝12×|PF 1|×|PQ |×sin ∠F 1PQ12×|PF 2|×|PQ |×sin ∠F 2PQ ＝|PF 1||PF 2|，又S △F 1PQ S △F 2PQ ＝|QF 1||QF 2|＝84＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2，故B 正确；由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝6，则可得|PF 1|＝12，|PF 2|＝6，则在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝122＋62－1222×12×6＝14，则|PF 1→＋PF 2→|2＝PF 1→2＋2PF 1→·PF 2→＋PF 2→2＝122＋2×12×6×14＋62＝216，则|PF 1→＋PF 2→|＝66，故C 错误；在△PF 1F 2中，sin ∠F 1PF 2＝1－cos 2∠F 1PF 2＝154，设点P 到x 轴的距离为d ，则S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×d ＝12|PF 1|×|PF 2|×sin ∠F 1PF 2，即12×12×d ＝12×12×6×154，解得d ＝3152，故D 正确．故选ABD.33．(2022·湖南娄底双峰县第一中学高三上学期入学摸底)双曲线x 2－my 2＝m (m >0)的一条渐近线与y ＝2x 垂直，右焦点为F ，则以原点为圆心，|OF |为半径的圆的面积为________．答案 5π解析 由x 2－my 2＝m (m >0)可得x 2m －y 2＝1，所以a ＝m ，b ＝1，所以渐近线方程为y ＝±b a x ＝±1m x ，因为双曲线x 2－my 2＝m (m >0)的一条渐近线与y ＝2x 垂直，所以－1m ×2＝－1，可得m ＝4，所以c ＝a 2＋b 2＝m ＋1＝5，所以右焦点为F (5，0)，所以|OF |＝5，以|OF |为半径的圆的面积为π×(5)2＝5π.34．(2022·上饶模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积为________．答案 4解析 由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，∴|AB |＝|BF 1|，∴△F 1AB 为等腰三角形， ∵∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°， ∴△F 1AB 为等腰直角三角形．∴|AB |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝2 2.∴S △F 1AB ＝12|AB |·|BF 1|＝12×22×22＝4.一、高考大题1．(2022·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．解 (1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2<|F 1F 2|＝217，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2分别为左、右焦点的双曲线的右支．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，半焦距为c ，则2a ＝2，c ＝17，得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝16，所以点M 的轨迹C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1)．(2)设T ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，t ，由题意可知直线AB ，PQ 的斜率均存在且不为0，设直线AB 的方程为y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 1≠0)，直线PQ 的方程为y －t ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 2≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，x 2－y 216＝1，得(16－k 21)x 2－2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－16＝0. 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，易知16－k 21≠0，则x A x B ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21，x A ＋x B ＝2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21， 所以|TA |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x A －12＝1＋k 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －12， |TB |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x B －12＝1＋k 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12， 则|TA |·|TB |＝(1＋k 21)⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12 ＝(1＋k 21)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x A x B －12(x A ＋x B )＋14 ＝(1＋k 21)－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21－12·2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21＋14＝(1＋k 21)(t 2＋12)k 21－16. 同理得|TP |·|TQ |＝(1＋k 22)(t 2＋12)k 22－16. 因为|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，所以(1＋k 21)(t 2＋12)k 21－16＝(1＋k 22)(t 2＋12)k 22－16， 所以k 22－16＋k 21k 22－16k 21＝k 21－16＋k 21k 22－16k 22，即k 21＝k 22，又k 1≠k 2，所以k 1＝－k 2，即k 1＋k 2＝0. 二、模拟大题2．(2022·湖南岳阳第一次模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为52，点P (4，3)在C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)设过点(1,0)的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM →·QN→为常数？若存在，求出点Q 的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由． 解(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－3b 2＝1，c a ＝52，a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝1.∴双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，设定点Q (t,0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x24－y 2＝1，x ＝my ＋1，得(m 2－4)y 2＋2my －3＝0.∴m 2－4≠0，且Δ＝4m 2＋12(m 2－4)＞0，解得m 2＞3且m 2≠4.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝－2m m 2－4，y 1y 2＝－3m 2－4，∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝－2m 2m 2－4＋2＝－8m 2－4，x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－3m 2m 2－4－2m 2m 2－4＋1＝－4m 2＋4m 2－4＝－4－20m 2－4.∴QM →·QN →＝(x 1－t ，y 1)·(x 2－t ，y 2)＝(x 1－t )(x 2－t )＋y 1y 2＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋y 1y 2＝－4－20m 2－4＋t ·8m 2－4－3m 2－4＋t 2＝－4＋t 2＋8t －23m 2－4为常数，与m 无关，∴8t －23＝0，即t ＝238，此时QM →·QN→＝27364.∴在x 轴上存在定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫238，0，使得QM →·QN →为常数27364.3．(2022·广东珠海高三摸底)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，且经过点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，12.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点A 是C 上一定点，过点B (0,1)的动直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，若k AP ＋k AQ 为定值λ，求点A 的坐标及实数λ的值．解 (1)由题意a 2＋b 2＝c 2＝2.且54a 2－14b 2＝1.联立解得a ＝b ＝1，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 2＝1. (2)设A (m ，n )，过点B 的动直线为：y ＝tx ＋1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x 2－y 2＝1，y ＝tx ＋1得(1－t 2)x 2－2tx －2＝0，由1－t 2≠0且Δ>0，解得t 2<2且t 2≠1，所以x 1＋x 2＝2t1－t 2，x 1x 2＝－21－t 2，k AP ＋k AQ ＝λ，即y 1－n x 1－m ＋y 2－n x 2－m ＝λ，即tx 1＋1－n x 1－m ＋tx 2＋1－nx 2－m ＝λ，化简得(2t －λ)x 1x 2＋(－mt ＋1－n ＋λm )(x 1＋x 2)－2m ＋2mn －λm 2＝0， 所以(2t －λ)－21－t 2＋(－mt ＋1－n ＋λm )2t 1－t 2－2m ＋2mn －λm 2＝0， 化简得m (λm －2n )t 2＋2(λm －n －1)t ＋2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0， 由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m (λm －2n )＝0，λm －n －1＝0，2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0如果m ＝0，那么n ＝－1，此时A (0，－1)不在双曲线C 上，舍去． 因此m ≠0，从而λm ＝2n ＝n ＋1，所以n ＝1，代入2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0， 得2λ＝λm 2，解得m ＝±2，此时A (±2，1)在双曲线C 上． 综上，A (2，1)，λ＝2或A (－2，1)，λ＝－ 2.4. (2022·广东普通高中高三阶段性质量检测)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知等轴双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与E 交于B ，C 两点，若△ABC 的面积为2＋1.(1)求双曲线E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx －1与双曲线E 的左、右两支分别交于M ，N 两点，与双曲E 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，求|MN ||PQ |的取值范围．解 (1)因为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)为等轴双曲线，可得a ＝b . 设双曲线的焦距为2c ，c >0， 故c 2＝a 2＋b 2＝2a 2，即c ＝2a . 因为BC 过右焦点F ，且垂直于x 轴，将x B ＝c ＝2a 代入双曲线的方程可得|y B |＝a ，故|BC |＝2a . 又△ABC 的面积为1＋2，即12|BC |·|AF |＝12×2a ×(a ＋c )＝1＋2， 解得a ＝1.故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.(2)由题意可得直线l ：y ＝kx －1与双曲线的左右两支分别交于M ，N 两点， 联立⎩⎨⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，可得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以1－k 2≠0，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)(－2)>0，x M x N ＜0，可得－1<k <1， 且x M ＋x N ＝－2k1－k 2，x M x N＝－21－k 2， 所以|MN |＝(x M －x N )2＋(y M －y N )2 ＝1＋k 2|x M －x N |＝1＋k 2·(x M ＋x N )2－4x M x N ＝21＋k 2·2－k 21－k 2，联立⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝kx －1，可得x P ＝1k －1，同理可得x Q ＝1k ＋1， 所以|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |＝1＋k 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k －1－1k ＋1＝21＋k 21－k 2，所以|MN ||PQ |＝21＋k 2·2－k 221＋k2＝2－k 2， 其中－1<k <1，所以|MN ||PQ |∈(1，2]．。

椭圆高考必会知识点

椭圆高考必会知识点

椭圆高考必会知识点在高考的数学考试中，椭圆是一个重要的考点，学生需要熟悉和掌握相关的知识。

本文将介绍椭圆的定义、性质及其在解决数学问题中的应用。

一、椭圆的定义和性质椭圆是平面上一点到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的轨迹。

其中，两个固定点之间的距离被定义为焦距，焦距的一半被表示为c。

另外，连接两个焦点的长度的一半被定义为半焦距，半焦距的表示为ae。

椭圆的定义可以用数学方程表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a 和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。

椭圆的中心为原点O(0,0)，半长轴和半短轴分别与x轴和y轴平行。

椭圆具有以下性质：1. 两焦点关于x轴和y轴对称；2. 长轴与x轴夹角为α，有tanα = b/a；3. 短轴与x轴夹角为β，有tanβ = a/b；4. 长轴和短轴的长度满足a>b。

二、椭圆的方程及常见图形1. 标准方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。

通过标准方程，我们可以确定椭圆的形状和大小。

2. 常见图形：根据椭圆的标准方程，我们可以得到不同形状的椭圆。

当a=b时，椭圆变为圆；当a>b时，椭圆在x轴上展开，较短的轴在y轴上；当b>a时，椭圆在y轴上展开，较短的轴在x轴上。

三、椭圆的焦点和准线1. 焦点：椭圆的焦点是椭圆定义中的两个固定点，记为F1和F2。

根据椭圆的定义，任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于常数，即PF1 + PF2 = 2a。

焦点在椭圆的长轴上，且与短轴的中点连线垂直。

2. 准线：椭圆的准线是椭圆上所有与焦点和直径平行的直线。

准线与椭圆的性质密切相关，在解决数学问题中常常需要利用准线的性质进行推导和计算。

四、椭圆的参数方程除了标准方程外，我们还可以通过参数方程来表示椭圆。

椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中θ为参数，取值范围为0°≤θ≤360°或0≤θ≤2π。

高三复习椭圆知识点讲解

高三复习椭圆知识点讲解

高三复习椭圆知识点讲解椭圆，作为平面解析几何的一部分，是高三数学的重要知识点之一。

在高三学习阶段，对于椭圆的理解和熟练运用显得尤为重要。

本文将对高三复习椭圆的知识点进行讲解，帮助同学们加深对椭圆的理解，提升解题的能力。

一、椭圆的定义及性质椭圆是平面上到两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

在椭圆中，常数2a称为长轴，定点F1和F2称为焦点，连结两个焦点的线段称为主轴，主轴的中点称为椭圆的中心。

椭圆还有一些重要的性质，如：离心率、焦距、短半轴等。

二、椭圆的方程在平面直角坐标系中，椭圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程。

1. 标准方程：椭圆的标准方程为：$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别是椭圆的长半轴和短半轴。

2. 一般方程：椭圆的一般方程为：$Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0$，其中$A,B,C,D,E$为常数。

三、椭圆的基本性质1. 离心率：椭圆的离心率定义为$\varepsilon = \dfrac{c}{a}$，其中$c$为焦点到中心的距离，$a$为长半轴长。

离心率用来衡量椭圆的扁平程度，范围在0到1之间。

2. 焦距：椭圆的焦距定义为$2ae$，其中$a$为长半轴长，$e$为离心率。

3. 短半轴：椭圆的短半轴$b$满足$b = a\sqrt{1 - \varepsilon^2}$，其中$a$为长半轴长，$\varepsilon$为离心率。

四、椭圆的图像特点1. 椭圆的图像是一个闭合曲线，对称于$x$轴和$y$轴，且关于原点对称。

2. 当$a > b$时，椭圆的图像在$x$轴上开口，称为纵椭圆；当$a < b$时，椭圆的图像在$y$轴上开口，称为横椭圆。

3. 当离心率$\varepsilon = 0$时，椭圆退化为一个圆。

五、常用公式及运用1. 椭圆上一点P的坐标$(x, y)$，可由参数方程表示为：$x =a\cos\theta, y = b\sin\theta$。

高考数学考点归纳之 椭 圆

高考数学考点归纳之 椭 圆

高考数学考点归纳之椭圆一、基础知识1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.2．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．3．椭圆的几何性质❶长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心．❷离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁．二、常用结论(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b 2a ，过焦点最长弦为长轴．(2)过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .(3)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(λ＞－b 2)．(4)焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①当r 1＝r 2，即点P 为短轴端点时，θ最大；②S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )．第一课时 椭圆及其性质 考点一 椭圆的标准方程[典例] (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为( )A.x 26＋y 24＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 236＋y 216＝1 D.x 249＋y 29＝1 (2)已知中心在坐标原点的椭圆过点A (－3,0)，且离心率e ＝53，则椭圆的标准方程为________．[解析] (1)由长、短半轴长之和为10，焦距为45，可得a ＋b ＝10,2c ＝45，∴c ＝2 5.又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝36，b 2＝16.∵焦点在x 轴上，∴所求椭圆方程为x 236＋y 216＝1.故选C.(2)若焦点在x 轴上，由题知a ＝3，因为椭圆的离心率e ＝53，所以c ＝5，b ＝2，所以椭圆方程是x 29＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝3，a 2－c 2＝9，又离心率e ＝c a ＝53，解得a 2＝814，所以椭圆方程是y 2814＋x 29＝1.[答案] (1)C (2)x 29＋y 24＝1或y 2814＋x 29＝1[题组训练]1．(2018·济南一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 216＋y 212＝1 解析：选B 椭圆长轴长为6，即2a ＝6，得a ＝3， ∵两焦点恰好将长轴三等分， ∴2c ＝13·2a ＝2，得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，∴此椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.故选B.2．椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为______________．解析：由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题设知抛物线的焦点为(0,23)，所以椭圆中b ＝2 3. 因为e ＝c a ＝12，所以a ＝2c ，又a 2－b 2＝c 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ，b ＝23，a 2－b 2＝c 2，解得c ＝2，a ＝4，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝13．已知椭圆中心在原点，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点，则椭圆的标准方程为________．解析：设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.∴所求椭圆的方程为x 215＋y 25＝1.答案：x 215＋y 25＝1考点二 椭圆的定义及其应用[典例] (1)(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 29＋y 25＝1(2)已知点P (x ，y )在椭圆x 236＋y 2100＝1上，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的面积为18，则∠F 1PF 2的余弦值为________．[解析] (1)由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝23，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1，故选D.(2)椭圆x 236＋y 2100＝1的两个焦点为F 1(0，－8)，F 2(0,8)，由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝20，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝202，由余弦定理得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos ∠F 1PF 2＝162， 两式相减得2|PF 1||PF 2|(1＋cos ∠F 1PF 2)＝144. 又S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝18，所以1＋cos ∠F 1PF 2＝2sin ∠F 1PF 2， 解得cos ∠F 1PF 2＝35.[答案] (1)D (2)35[变透练清]1．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点F 1的距离为3，则P 到另一个焦点F 2的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7解析：选D 因为a 2＝25，所以2a ＝10，由定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝10，所以|PF 2|＝10－|PF 1|＝7.2.(变结论)若本例(2)条件不变，则△PF 1F 2的内切圆的面积为________．解析：由椭圆的定义可知△PF 1F 2的周长的一半为a ＋c ＝18，所以由三角形的面积公式S ＝pr (其中p ，r 分别为三角形的周长一半，内切圆的半径)，得r ＝1，所以△PF 1F 2的内切圆的面积为π.答案：π考点三 椭圆的几何性质考法(一) 求椭圆离心率的值(或范围)[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－3 C.3－12D.3－1(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x－4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1[解析] (1)在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°， 不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2， 则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1，所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.(2)根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆的左、右焦点的距离和为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋(－4)2≥45，所以1≤b ＜2，所以e ＝ca ＝1－b 2a2＝1－b 24.因为1≤b ＜2，所以0＜e ≤32.[答案] (1)D (2)A[解题技法] 求椭圆离心率的方法(1)定义法：根据条件求出a ，c ，直接利用公式e ＝ca求解．(2)方程法：根据条件得到关于a ，b ，c 的齐次等式(不等式)，结合b 2＝a 2－c 2转化为关于a ，c 的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．考法(二) 与椭圆性质有关的最值问题[典例] 已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，点M 是该椭圆上的一个动点，那么|MF 1―→＋MF 2―→|的最小值是( )A ．4B ．6C ．8D ．10 [解析] 设M (x 0，y 0)，F 1(－3,0)，F 2(3,0)． 则MF 1―→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2―→＝(3－x 0，－y 0)， 所以MF 1―→＋MF 2―→＝(－2x 0，－2y 0)， |MF 1―→＋MF 2―→|＝4x 20＋4y 20＝4×25⎝⎛⎭⎫1－y 216＋4y 20＝ 100－94y 20，因为点M 在椭圆上，所以0≤y 20≤16， 所以当y 20＝16时，|MF 1―→＋MF 2―→|取最小值为8. [答案] C[解题技法] 椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．(2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系．[题组训练]1．(2018·贵阳摸底)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，PF ⊥x 轴，若tan ∠P AF ＝12，则椭圆的离心率e 为( )A.23B.22C.33D.12解析：选D 不妨设点P 在第一象限，因为PF ⊥x 轴，所以x P ＝c ，将x P ＝c 代入椭圆方程得y P ＝b 2a ，即|PF |＝b 2a ，则tan ∠P AF ＝|PF ||AF |＝b 2a a ＋c ＝12，结合b 2＝a 2－c 2，整理得2c 2＋ac－a 2＝0，两边同时除以a 2得2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍去)．故选D.2．已知P 在椭圆x 24＋y 2＝1上，A (0,4)，则|P A |的最大值为( )A.2183B.763 C ．5D ．25解析：选C 设P (x 0，y 0)，则由题意得x 204＋y 20＝1， 故x 20＝4(1－y 20)， 所以|P A |2＝x 20＋(y 0－4)2 ＝4(1－y 20)＋y 20－8y 0＋16 ＝－3y 20－8y 0＋20 ＝－3⎝⎛⎭⎫y 0＋432＋763， 又－1≤y 0≤1，所以当y 0＝－1时，|P A |2取得最大值25， 即|P A |最大值为5.故选C.3．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫23，1B.⎣⎡⎦⎤13，22 C.⎣⎡⎭⎫13，1 D.⎝⎛⎦⎤0，13解析：选C 如图所示， ∵线段PF 1的中垂线经过F 2， ∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ， 即椭圆上存在一点P ， 使得|PF 2|＝2c . ∴a －c ≤2c ＜a ＋c . ∴e ＝c a ∈⎣⎡⎭⎫13，1.[课时跟踪检测]A 级1．椭圆以x 轴和y 轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为( )A.x 24＋y 2＝1 B.y 216＋x 24＝1 C.x 24＋y 2＝1或y 216＋x 24＝1 D.x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1 解析：选C 由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a ＝2b .因为椭圆经过点(2,0)，所以若焦点在x 轴上，则a ＝2，b ＝1，椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，则a＝4，b ＝2，椭圆的标准方程为y 216＋x 24＝1，故选C.2．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，32 B ．(1,2)C ．(－∞，0)∪(1,2)D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选D 依题意得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|m |－1＞0，2－m ＞0，2－m ＞|m |－1，解得m ＜－1或1＜m ＜32，故选D.3．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33C.22D.12解析：选B 由题意得椭圆的标准方程为x 2m 2＋y 2m 3＝1，所以a 2＝m 2，b 2＝m3，所以c 2＝a 2－b 2＝m 6，e 2＝c 2a 2＝13，e ＝33. 4．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为( )A.32B.332C.94D.154解析：选B 由椭圆方程知c ＝1， 所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)．因为椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，则可设A (1，y 0)， 代入椭圆方程可得y 20＝94，所以y 0＝±32. 设P (x 1，y 1)，则F 1P ―→＝(x 1＋1，y 1)，F 2A ―→＝(0，y 0)， 所以F 1P ―→·F 2A ―→＝y 1y 0.因为点P 是椭圆C 上的动点，所以－3≤y 1≤3，故F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为332.5．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B.2 C ．2D ．22解析：选D 设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D.6．(2019·惠州调研)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.59C.49D.513解析：选D 如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，故|PF 2||PF 1|＝513，故选D. 7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．解析：∵圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3.又b ＝4，∴a ＝b 2＋c 2＝5. ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)． 答案：(－5,0)8．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程为________．解析：法一：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则a 2－b 2＝c 2＝5，且9a 2＋4b 2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝5，9a 2＋4b 2＝1，得a 2＝15，b 2＝10，故所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1.法二：椭圆x 29＋y 24＝1的焦点坐标为(±5，0)，设所求椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2λ＝1(λ＞0)，代入点A (3，－2)得9λ＋5＋4λ＝1(λ＞0)，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，故所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1.答案：x 215＋y 210＝1 9．已知△ABC 的顶点A (－3,0)和顶点B (3,0)，顶点C 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则5sin C sin A ＋sin B＝________.解析：由椭圆x 225＋y 216＝1知长轴长为10，短轴长为8，焦距为6，则顶点A ，B 为椭圆的两个焦点．在△ABC 中，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则c ＝|AB |＝6，a ＋b ＝|BC |＋|AC |＝10，由正弦定理可得5sin C sin A ＋sin B ＝5c a ＋b ＝5×610＝3. 答案：310．点P 是椭圆上任意一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，∠F 1PF 2的最大值是60°，则椭圆的离心率e ＝________.解析：如图所示，当点P 与点B 重合时，∠F 1PF 2取得最大值60°，此时|OF 1|＝c ，|PF 1|＝|PF 2|＝2c .由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4c ＝2a ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝12. 答案：1211．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4， 所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. (2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以S △F 1PF 2＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12. 12．已知焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF ―→·P A ―→的最大值和最小值．解：设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1. ∴－2≤x 0≤2.又F (－1,0)，A (2,0)，PF ―→＝(－1－x 0，－y 0)，P A ―→＝(2－x 0，－y 0)，∴PF ―→·P A ―→＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 当x 0＝2时，PF ―→·P A ―→取得最小值0，当x 0＝－2时，PF ―→·P A ―→取得最大值4.B 级1．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫55，35 B.⎝⎛⎭⎫0，25 C.⎝⎛⎭⎫25，35 D.⎝⎛⎭⎫35，55 解析：选A 由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外， 则⎩⎨⎧ a ＞b 2＋c ，b ＜b 2＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧(a －c )2＞14(a 2－c 2)，a 2－c 2＜2c ，解得55＜e ＜35. 2．(2018·南昌摸底考试)P 为椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过P 点作PH ⊥F 1F 2于点H ，若PF 1⊥PF 2，则|PH |＝( )A.254B.83 C ．8 D.94解析：选D 由椭圆x 225＋y 29＝1得a 2＝25，b 2＝9， 则c ＝a 2－b 2＝25－9＝4，∴|F 1F 2|＝2c ＝8.由椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝64.∴2|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝100－64＝36，∴|PF 1|·|PF 2|＝18.又S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12|F 1F 2|·|PH |， ∴|PH |＝|PF 1|·|PF 2||F 1F 2|＝94.故选D. 3．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明：设M (m ，n )，则D (m,0)，N (m ，－n )．由题设知m ≠±2，且n ≠0.直线AM 的斜率k AM ＝n m ＋2， 故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n. 所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m )． 直线BN 的方程为y ＝n 2－m(x －2)． 联立⎩⎨⎧y ＝－m ＋2n (x －m )，y ＝n 2－m (x －2)，解得点E 的纵坐标y E ＝－n (4－m 2)4－m 2＋n 2. 由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n . 又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |， S △BDN ＝12|BD |·|n |. 所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.。