第二章 动态数学模型

2.1微分方程模型（亦:时间域模型）
2.1.1根据系统物理机理建立系统微分方程模型的基本步骤：
（1）确定系统中各元件的输入输出物理量；
（2）根据物理定律或化学定律（机理），列出元件的原始方程，在条件允许的情况下忽略次要因素，适当简化；
（3）列出原始方程中中间变量与其他因素的关系；
（4）消去中间变量，按模型要求整理出最后形式。
电动机能将电能转变成机械能的基本原理是根据马科斯威尔的电磁理论。（即电动机产生的力矩正比与磁通量Φ和角速度ω乘积的电压）即在磁场中电流的流动能产生运动，运动的方向由左手定则判定，电枢控制的直流电动机的符号如上图。
直流伺服机的调节特性 不同电枢电压对应的机械特性不同负载时直流伺服机
初始电压（压区电压），T：电磁转矩T增大，n减小；的调节特性
：电动机角速度（弧度/秒）
：电枢电压（伏）
：电枢电流（安）
：电动机和负载折合到电机轴上的转动惯量(公斤米秒 )
：电动机和负载折合到电机轴上的粘性摩擦系数(公斤米秒)
(1)电枢回路方程由基尔霍夫定律：
其中 （ －反电势系数，由电机决定，常数（伏/秒））
（2）电机轴上的转矩平衡方程式：
其中 （公斤米）：电枢电流产生的电磁转矩，
亦：描述能系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式）
控制系统的数学模型按系统运动特性分为：静态模型
动态模型
静态模型：在稳态时（系统达到一平衡状态）描述系统各变量间关系的数学模型。
动态模型：在动态过程中描述系统各变量间关系的数学模型。
关系：静态模型是t 时系统的动态模型。
控制系统的数学模型可以有多种形式，建立系统数学模型的方法可以不同，不同的模型形式适用于不同的分析方法。
例2：齿轮系
一般地在伺服电动机与负载之间，往往通过齿轮系进行运动传递，其目的有二：对负载提供必要地加速力矩，减速和增大力矩；调节精度高。
转速比 （>1）
传递函数
实际系统中，为了考虑负载和齿轮系对伺服电机特性地影响，一般要将齿轮系地力矩、转动惯量、粘性摩擦折合到电动机轴上进行计算。
则 （一阶系统）
当输出是角度时，即
有 （二阶系统）
例4：直流测速发电机
发电机的功能和电动机正好相反，它是将机械能转换成电能的一种元件，其机理是在磁场中运动的导线能产生电流，直流测速机指的是产生的是直流电信号。
直流测速机的示意图
其中：测速机轴上角速度 ，
负载电阻 （复杂时可以是阻抗），
电枢回路电流
激磁电流 （常数，产生磁场）
有： （ ， ）
可见 与 不再是线性关系，当 很大时近似为线性关系
故：当电位器接负载时，只有在负载阻抗足够大时，才能将电位器视为线性元件。
利用几何关系，可以将电位器做成将线性位移或角位移变换成电压的装置（这里考虑空载情况或理想情况）
有 （伏/弧度）
一对与上面相同的电位器可以组成误差检测器
数学关系式
K为单个电位器的传递函数， 为角位移差
时电磁转矩少于Td：堵转转矩（n=0）；Ts：负载转矩
轴上的阻转矩，电机不转。n0：空载转速（T＝0）。
电机在控制系统中是常用的执行元件。为了求该元件的数学模型更进一步地将电动机（电枢控制的直流电动机）画为如图的形式：
永磁式激磁式
其中：
：电枢回路总电感（亨）
：电枢回路总电阻（欧）
：电枢反电势（电枢旋转时产生的反电势）（伏）
法一：列写系统的微分方程
消去中间变量
在初始条件为0的情况下，取拉氏变换
求输出与输入拉氏变换之比
法二：列写系统中各元件（各环节）的微分方程
在零初始条件下求拉氏变换
整理拉氏变换后的代数方程组，消去中间变量
整理成传递函数的形式
举例一些常用典型元部件的传递函数的列写
例1：电位器
空载时： 带载时：设负载电阻为
形式上记为：
2.2.2几点说明（性质）
传递函数是系统数学模型的又一种形式，也是一种表示输入输出的模型形式。
它表示了系统本身的特性而与输入信号无关。
它仅能表示输入输出关系，而无法表示出系统的内部结构。
（2）传递函数中 （分子的阶次小于分母的阶次）是一切物理系统所固有的，这是因为任何物理系统均含有惯性。
（6）由于 可以是零、实数、复数，因此在复平面上总能找到相对应的一点，故系统的传递函数与复平面有一一对应的关系。这将引出经典控制论的一种重要分析方法：根轨迹法。
分析方法：根轨迹法。
（7）记
均是实常数
从传递函数的这种分解方式可以看出，线性系统的传递总可以分解成如下7种环节的组合（乘积）
特点：最高不超过二阶
（公斤米）：总负载转矩（电机轴上）
（3）电磁转矩方程：
其中： （公斤米/安）：电动机转矩系数，由电机决定，常数
将 作为输出， 作为输入， 视为外作用，整理有：
工程中，通常电枢电感非常小，可忽略不计，即
有：
记 （ －电机时常数， －电机转动系数）
若电机不带负载，则上式中 只是电机轴的转动惯量和粘性摩擦系数。
（3）微分方程与传递函数的关系。
重要意义：复杂 简单
（4）可减化对系统动态性能分析的过程
R(s)一定时C(s)完全由G(s)决定，因此：
G(s)的特征和形态 分析系统的性能
另：对系统性能的要求 对G(s)的要求
（5）记
=
式中：
称
称
- 为系统的特征根
为系统的特征多项式。
有可能相等，在数学上分子分母可直接相消，但工程中涉及到系统的结构，处理时要慎重。
例3：电枢控制的直流电动机
特性：电动机是将电能（电信号）转变成机械能（机械信号）的一种物理器件，即输入量是电，输出量是机械量。直流电动机是指输入的电是直流电（不是交流电），电枢控制是指该种电动机是以电枢电压的改变来改变电动机的机械输出（电动机轴的转动角度或转速）。
电动机中物理量的转换电枢控制的直流电动机的符号
建立系统数学模型的方法很多，主要有两类：
机理建模白箱实验建模（数据建模）黑箱或灰箱
系统辨识
2.0.3对系统数学模型的基本要求
亦：什么样的数学表达式能用于一个工程系统的描述。
理论上，没有一个数学表达式能够准确（绝对准确）地描述一个系统，因为，理论上任何一个系统都是非线性的、时变的和分布参数的，都存在随机因素，系统越复杂，情况也越复杂。
由（1）～（6）消去中间变量整理得：
其中： ,
,
上面的例子均是线性系统的线性模型，其特点是可以应用迭加原理（即具有可迭加性和齐次性）。
设
若 时
时
则当 时
若 时
则当 时
由此，对于线性系统在多个外作用同时加于系统的情况，可以将它们分别分析，再将其输出迭加，也可以利用齐次性去求取对输入信号放大时的系统的输出。
非线性本质非线性不能进行线性化处理
非本质非线性在一定条件下可线性化处理
2.2传递函数模型
传递函数的概念
传递函数的性质
传递函数的列写
2.2.1定义
线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
三要素：线性定常系统
零初始条件
输出与输入的拉氏变换之比（复域模型）
（1）运算放大器Ⅰ
（ －希望输出信号， －实际输出信号， ， －误差信号）
该环节兼有放大和比较二个功能。
（2）运算放大器Ⅱ
微分网络
放大器 ( －微分时常数)
（3）功率放大器
（4）直流电动机（直接用例3的结论）
均是考虑负载值折合到电机轴上的值。
（5）设齿轮系的速比为 ，则 减速后的 为
（6）测速电机直接用例4的结果
设连续变化的非线性函数 取平衡状态A为工作点，对应 ，当 有 ，设 在（ ）点连续可微,则在（ ）点附近的泰勒级数展开式为：
……
当增量（ ）很小时，略去高次幂项，则有：
记 （ ）
略去增量符号 ，便得函数在A点附近的线性化方程
（ 是比例系数，它是 在A点处的斜率）
对于有两个自变量 的非线性函数 ，同样可在某工作点（ ）附近用泰勒级数展开，取其线性项，去掉高次（二阶以上）项：
电枢电阻
电枢电感 （不计）
感应电势
磁通 （韦伯，常量）
电势系数 （常量）
有：
有：
若无负载（开路） 电机的输出电压 与轴上的角速度 成正比。例Leabharlann ：图示控制系统（一个速度控制系统）
建立一个复杂的控制系统的数学模型，重要是分析构成系统的各个环节，以及环节间的偶合（有无负载效应），在无负载效应的情况下，先列写各环节的数学模型，最后整理得系统得数学模型，对于该系统，构成系统的各环节如上图所示，各环节得数学模型为：
由于系统总是存在着储能元件，一般地，等式左边的阶次高于右边的阶次；
上式中左边输出的最高阶次为二，称该系统为二阶系统。
例2：RLC电路如图，建立输入输出间的微分方程关系式。
由基尔霍夫定律
电流 与 的关系
有
注意：该系统也是一个二阶系统
与例1相比，它们具有相同的模型形式。当 与 在数值上具有一定关系时，上述二个微分方程具有完全相同的形式。也就是说，在数学上 ～ ， ～ 具有相同的关系（静、动态关系），由此可见利用数学模型研究控制系统的重要性、方便性。另外，用电气系统模拟机械系统进行实验研究也是工程中的常用方法，就系统理论而言，可以撇开系统的具体属性进行普遍意义的分析和研究。
其增量形式
这种小偏差线性化方法对于控制系统中大多数连续工作状态是可行的。
在线性化处理时要注意以下几点：
（1）线性化方程中的参数（如上面的 ）与选择的工作点有关，工作点不同相应的参数也不同。因此处理时，首先应确定工作点。
（2）当输入量变化较大时，用上述方法处理误差较大，注意小范围内。