圆与方程知识点总结及习题答案

第三讲 圆的方程知识梳理：1．圆的定义及方程2点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系：(1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2.(2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2.(3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.考点一：求圆的方程典型例题：1.若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝42.圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）A. ()()11122=-+-y xB. ()()11122=+++y xC. ()()21122=+++y xD. ()()21122=-+-y x 3.若圆C 的半径为1,圆心在第一象限，且与直线034=-y x 和x 轴都相切，则该圆的标准方程为（ ）A. ()()11222=-+-y xB. ()()11222=++-y x C. ()()11222=-++y x D. ()()11322=-+-y x 4.求圆心在直线032=--y x 上，且过点()()5,2,3,2---B A 的圆的方程。

5.已知圆C 经过()()()3,3,3,1,2,4M Q P --三点，则求圆C 的方程。

变式训练：1. 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)2. 圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝03. (2015·全国卷Ⅱ)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53B ．213C ．253D ．434. 已知圆心为C 的圆过点A(1,1)，B(2，－2)且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，则圆的标准方程为________________________．考点二：与圆有关的对称问题典型例题：1. 若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1 2.已知圆()()111:221=-++y x C ，圆2C 与圆1C 关于直线01=--y x 对称，则圆2C 的方程为（ ）A. ()()12222=-++y xB. ()()12222=++-y x C. ()()12222=+++y x D. ()()12222=-+-y x 3.圆()5222=++y x 关于原点对称的圆的方程是 。

高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点：4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，圆心为半径为2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；直线、圆的位置关系注意：1.直线与圆的位置关系 直线与圆相交，有两个公共点d R ⇔<⇔方程组有两组不同实数解(0)∆> 直线与圆相切，只有一个公共点d R ⇔=⇔方程组有唯一实数解(0)∆=直线与圆相离，没有公共点d R ⇔>⇔方程组无实数解(0)∆<2.求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减。

圆的方程●圆的方程的三种形式 （1）圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2，方程表示圆心为(a,b)，半径为r 的圆. （2）圆的一般方程对于方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0①当D 2+E 2-4F ＞0时，表示圆心为（-D 2,-E 2），半径为12②当D 2+E 2-4F=0时，表示一个点（-D 2，-E2）；③当D 2+E 2-4F ＜0时，它不表示任何图形.（3）圆的参数方程x a rcos ,y b rsin θθ=+⎧⎨=+⎩，圆心(a,b ），半径r ＞0，θ∈R. ●点与圆的位置关系圆的标准方程（x-a ）2+(y-b)2=r 2,圆心A （a,b ），半径r ，若点M （x 0,y 0）在圆上，则(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2; 若点M （x 0,y 0）在圆外，则(x 0-a)2+(y 0-b)2＞r 2; 若点M （x 0,y 0）在圆内，则(x 0-a)2+(y 0-b)2＜r 2. ●确定圆的方程的方法（1）确定圆的方程的主要方法是待定系数法.如果选择标准方程，一般步骤为： ①根据题意，设所求圆的标准方程为（x-a ）2+(y-b)2=r 2; ②根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；③解方程组，并把它们代入所设的方程中，整理后，就得到所求方程. 求圆的标准方程时，尽量利用圆的几何性质，可以大大地减少计算量. (2)如果已知条件中圆心的位置不能确定，可考虑选择圆的一般方程，圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法.设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由三个条件得到关于D 、E 、F 的一个三元一次方程组，解方程组,求出参数D 、E 、F 的值即可.(3)以A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)为直径的两端点的圆的方程为（x-x 1）(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0. （4）在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线. ●与圆有关的最值问题（1）求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代 数式的几何意义进行转化.如①形如m=y bx a--的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t=ax+by 的最值问题，可转化为直线在y 轴上的截距的最值问题；③形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题. (2)特别要记住下面两个代数式的几何意义：yx表示点（x,y ）与原点（0,0）连线的直线斜率表示点（x,y ）与原点的距离. 1.方程x 2+y 2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( )A.14＜m＜1 B.m＞1 C.m＜14D.m＜14或m＞1解析：若方程表示圆，则(4m)2+(-2)2-4×5m＞0，解得m＜14或m＞1.答案：D2.若点（4a-1,3a+2）不在圆(x+1)2+(y-2)2=25的外部，则a的取值范围是( )A.|a|B.|a|＜1C.|a|D.|a|≤1解析：点（4a-1,3a+2）不在圆(x+1)2+(y-2)2=25的外部，则(4a-1+1)2+(3a+2-2)2≤25，即|a|≤1. 答案：D3.圆(x+2)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5解析：圆(x+2)2+y2=5的圆心(-2，0)关于y=x对称的点的坐标为(0,-2)，所以，所求圆的方程是x2+(y+2)2=5.答案：D4.已知x、y满足x2+y2-4x-6y+12=0，则x2+y2的最小值为__________.解析：点（x,y）在圆(x-2)2+(y-3)2=1上，故点(x,y)到原点距离的平方即x2+y2的最小值为2答案：5.已知圆x2+y2+kx+2y=-k2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为__________.答案：(0,-1)自我诊断①若圆x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0关于直线x-y+1=0对称，则实数a的值为__________.答案：3自我诊断②以点A（-3，0），B（0，-3），C（157，247）为顶点的三角形与圆x2+y2=R2（R＞0）没有公共点，则圆半径R的取值范围是（）)∪,+∞) B.( ) )∪(3,+∞)D.(,3)2解析：如图，若圆与△ABC没有公共点，需考虑两种情况，①圆在三角形内部；②圆在三角形外部.当圆在三角形内部时，圆与BC；当圆在三角形外部时，圆过点C，所以选A.答案：A题型一圆的方程的求法【例1】根据下列条件求圆的方程：（1）经过点P（1，1）和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；（2）圆心在直线y=-4x上，且与直线l:x+y-1=0相切于点P（3，-2）；（3）过三点A（1，12），B（7，10），C（-9，2）.规律方法：求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：（1）几何法，通过研究圆的性质而求出圆的基本量；（2）代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 创新预测1根据下列条件求圆的方程：（1）已知一圆过P（4，-2）、Q（-1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为（2，圆心在直线y=2x上，圆被直线x-y=0截得的弦长为题型二与圆有关的最值问题【例2】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求yx的最大值和最小值；（2）求y-x的最大值和最小值；（3）求x2+y2的最大值和最小值.规律方法：化x、y满足的关系式为(x-2)2+y2=3，明确yx、y-x、x2+y2的几何意义，数形结合求解.创新预测2已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y2x1++的最大值和最小值.（2）求x-2y的最大值和最小值.（3）求点P（x,y）到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值.题型三与圆有关的轨迹问题【例3】设定点M（-3，4），动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.\规律方法：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；定义法，根据圆、直线等定义列方程；几何法，利用圆与圆的几何性质列方程；代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.创新预测3 已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点. （1）求线段AP中点的轨迹方程；（2）若∠PBQ=90°，求PQ中点的轨迹方程.题型四与圆有关的实际应用问题【例4】有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍.已知A、B两地距离为10 km，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点.规律方法：审清题意，根据题意求轨迹方程.求方程前必须建立平面直角坐标系，否则曲线就不能转化为方程，坐标系选取得当，可使运算过程简单，所得方程也较简单.创新预测4 设有一个半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东而B向北前进.A出村后不久，改变前进方向，沿着切于村落边界的方向前进，后来恰好与B相遇.设A、B 两人的速度都一定，其比为3∶1，问:两人在何处相遇？精品作业自我测评·技能备考一、选择题：每小题6分，共36分.1.（2009·许昌模拟）P（x,y）是圆x2+y2=1与直线x+y+2m=0(m＞0)的公共点，则直线008=0的倾斜角的最大值为( )A.45°B.60°C.90°D.135°答案：A2.（2009·天津汉沽模拟）已知两点A(-2,0)，B(0,2),点C 是圆x 2+y 2-2x=0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )C.3-2D.32 答案：A3.（2009·山东临沂模拟）若直线ax+2by-2=0(a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2-4x-2y-8=0的周长，则1a +2b的最小值为( )A.1B.5 答案：D4.（2008·山东）已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )答案：B5.（2009·湖北沙市模拟）直线l:4x-3y-12=0与x、y轴的交点分别为A、B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为( )A.(x-1)2+(y+1)2=1B.(x-1)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+1)2D.(x-1)2+(y+1)2=2 答案：A解析：A(3,0),B(0,-4)，O（0，0），∴内切圆的半径r=OA OB AB2+-=1，由图象知，圆心为(1,-1),∴方程为(x-1)2+(y+1)2=1，故选A.6.（2009·西南师大附中模拟）已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2-2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )A.3B.2C.22D.2 答案：D二、填空题：每小题6分，共18分.7.（2009·江苏江宁高级中学3月模拟）直线ax+by=1过点A(b,a)，则以坐标原点O为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是______.答案：π解析：直线过点A(b,a)，∴ab=12，圆面积S=πr2=π(a2+b2)≥2πab=π.8.（2009·广东华南师大附属中学测试）从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2,3)向这个圆引切线，则切线长为____________.答案：2解析：圆心(1,1)，则|PC|2=5，∴切线长9.（2009·浙江金华模拟）已知圆O的方程为x2+y2=4，P是圆O上的一个动点，若OP的垂直平分线总是被平面区域|x|+|y|≥a覆盖，则实数a的取值范围是_____________.答案：a≤1解析：易知OP的垂直平分线即为单位圆的切线，当a≤0时，平面区域即坐标平面，显然满足题意；当a＞0时，由图象易知0＜a≤1，综上，a≤1.三、解答题：10、11题每题15分，12题16分，共46分.10.（2009·江苏通州调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,0)(a＞0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4)，设△AOB的外接圆圆心为E.(1)若⊙E与直线CD相切，求实数a的值.(2)设点P在⊙E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问：这样的⊙E是否存在？若存在，求出⊙E的标准方程；若不存，说明理由.11.（2009·江苏盐城模拟）已知以点C(t,2t)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点.(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M、N，若OM=ON，求圆C的方程.\12.设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x-6y+1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP ·OQ =0.(1)求m 的值；(2)求直线PQ 的方程.。

圆与方程知识点1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心C (a,b),半径为r2、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x2240D E F +->表示圆，圆心C （,22D E--）半径为22240D E F +-=表示点（,22D E--） 2240D E F +-<不表示任何图形3、点00(,)M x y 与圆的关系的判断方法：（1）圆方程为标准式222()()x a y b r -+-=222()()x a y b r -+->⇔点在圆外 222()()x a y b r -+-=⇔点在圆上 222()()x a y b r -+-<⇔点在圆内（2）圆方程为一般式022=++++F Ey Dx y x220x y Dx Ey F ++++>⇔点在圆外 022=++++F Ey Dx y x ⇔点在圆上 220x y Dx Ey F ++++<⇔点在圆内（3）特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件 方程形式圆心在原点 ()2220x y rr +=≠过原点 ()()()2222220x a y b a b ab -+-=++≠圆心在x 轴上 ()()2220x a y rr -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2220x y b rr +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2220x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2220x y b bb +-=≠与x 轴相切 ()()()2220x a y b bb -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠与两坐标轴都相切 ()()()2220x a y b aa b -+-==≠4、直线l ：0Ax By C ++=与圆C 的位置关系判断方法（1）求出圆的半径r ，圆心C 到直线l 的距离为d1》判断方法r d >⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点 r d =⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点r d <⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点2》涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）（2）将直线方程代入圆的方程消元变成一元二次方程，求出判别式24b ac =-0<⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点 0=⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点 0>⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点（3）求切线长：利用基本图形，22222AP CP r AP CP r =-⇒=-求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC APAC rk k ⎧=⎨⋅=-⎩（4）求弦长及弦长的应用问题（垂径定理．．．．及勾股定理——常用） 1》弦长公式：()()222121212114l kx x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦（暂作了解，无需掌握） 2》判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而定点恰好在圆内. 3》关于点的个数问题：例：若圆()()22235x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是_________________. 答案：()4,65、过点求圆的切线方程（第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数）.（1）点00(,)x y 在圆上圆的方程为222x y r +=，切线方程200x x y y r +=（运用在选择题及填空题） 圆的方程为222()()x a y b r -+-=，切线方程200()()()()x a x a y b y b r --+--=圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，切线方程0000022x x y yx x y y D E F ++++++= （2）点00(,)x y 在圆外，圆：()()222x a y b r-+-=，[()()22200x a y b r -+->]设直线方程为00()y y k x x -=-即000kx y kx y --+= 由圆心到直线的距离rd=求出k （过圆外一点作圆的切线有2条）特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！例题：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程.（答案：3410x y -+=和1x =）6、 圆与圆的位置关系（221111:0C x y D x E y F ++++=，222222:0C x y D x E y F ++++=）（1）判断方法：求出圆心距12C C ，两圆的半径12,r r1212C C r r >+⇔圆1C 与圆2C 相离⇔有4条公切线 1212C C r r =+⇔圆1C 与圆2C 外切⇔有3条公切线121212||r r C C r r -<<+⇔圆1C 与圆2C 相交⇔有2条公切线 1212||C C r r =-⇔圆1C 与圆2C 内切⇔有1条公切线 1212||C C r r <-⇔圆1C 与圆2C 内含⇔有0条公切线（2）圆与圆相交：公共弦的直线方程为121212()()()0D D x E E y F F -+-+-= 圆心到弦的距离（弦心距）d 满足关系式：222()2l d r +=（公共弦长l ，半径r ） 过两圆交点的圆系方程可设为2222111222()0(1)x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++++=≠-或22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=点M 在圆1C 上，点N 在圆2C 上，则有1212max MN C C r r =++min 0MN =（相交，相切） 1212min MN C C r r =--（相离） 1212min MN r r C C =--（内含）7、用坐标法解决几何问题的步骤：（1）建立适当的平面直角坐标系，设点的坐标 （2）找等量关系（3）将平面几何问题转化为代数问题； （4）化简运算 （5）检验得出结论8、空间直角坐标系（1）点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标（2）有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点（3）圆的参数方程 ()222cos 0sin x r x y r r y r θθ=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数 9、点),,(1111z y x P 与点),,(2222z y x P 的关系：中点坐标为121212(,,)222x x y y z z +++ 距离22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=10、对称问题（1）.若圆()222120x y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，则实数m 的值为____.答案：3（注意：1m =-时，2240D E F +-<，故舍去）变式：已知点A 是圆C :22450x y ax y +++-=上任意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，则实数a =_________.（2.）圆()()22131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是________________. 变式：已知圆1C ：()()22421x y -+-=与圆2C ：()()22241x y -+-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________.（3.）圆()()22311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是__________________.（4.）已知直线l ：y x b =+与圆C ：221x y +=，问：是否存在实数b 使自()3,3A 发出的光线被直线l 反射后与圆C 相切于点247,2525B ⎛⎫⎪⎝⎭？若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由.11、最值问题（方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程）(1.)已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：（1）5yx -的最大值和最小值；——看作斜率 （2）y x -的最小值；——截距（线性规划）（3）22x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方（2.）已知AOB ∆中，3OB =，4OA =，5AB =，点P 是AOB ∆内切圆上一点，求以PA ，PB ，PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.（数形结合和参数方程两种方法均可！）（3.）设(),P x y 为圆()2211x y +-=上的任一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，则c 的取值范围是___________. 答案：1c ≥（数形结合和参数方程两种方法均可！）12、相关应用（1）.若直线240mx ny +-=（m ，n R ∈），始终平分圆224240x y x y +---=的周长，则m n ⋅的取值范围是______________.（2.）已知圆C ：222440x y x y +-+-=，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程，若不存在，说明理由.提示：12120x x y y +=或弦长公式12d x =-. 答案：10x y -+=或40x y --=（3.）已知圆C ：()()22341x y -+-=，点()0,1A ，()0,1B -，设P 点是圆C 上的动点，22d PA PB =+，求d 的最值及对应的P 点坐标.（4.）已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()211740m x m y m +++--=（m R ∈）（1）证明：不论m 取什么值，直线l 与圆C 均有两个交点； （2）求其中弦长最短的直线方程.（5.）若直线y x k =-+与曲线x =k 的取值范围.（6.）已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数m ，使OP OQ ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.13、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）：略（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式—轨迹方程.例：过圆221x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析：222OP AP OA +=（3）相关点法（平移转换法）：一动点随另一点主动点的变动而变动特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动. 例1.如图，已知定点()2,0A ，点Q 是圆221x y +=上的动点，AOQ ∠的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程.（分析：角平分线定理和定比分点公式.）例题2：已知圆O ：229x y +=，点()3,0A ，B 、C 是圆O 上的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且3BAC π∠=，求ABC ∆的重心G 的轨迹方程.法1：3BAC π∠=，BC ∴为定长且等于33设(),G x y ，则33333A B C B C A B C BC x x x x x x y y y y y y ++++⎧==⎪⎪⎨+++⎪==⎪⎩取BC 的中点为33,24E x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，333,42E y ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦ 222OE CE OC +=，2294E E x y ∴+=（1）2222B C E B C E B C E B C Ex x x x x x y y y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=+⎩⎪=⎪⎩，3233322323E E E E x x x x y y yy +-⎧⎧==⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩故由（1）得：()2222333933110,,,122422x y x y x y ⎛⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎫+=⇒-+=∈∈- ⎥ ⎪ ⎪⎪⎢ ⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎦法2：（参数法）设()3cos ,3sin B θθ，由223BOC BAC π∠=∠=， 则223cos ,3sin 33C ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设(),G x y ，则 ()()233cos 3cos 231cos cos 133323sin 3sin 23sin sin 2333A B C A B C x x x x y y y y πθθπθθπθθπθθ⎧⎛⎫+++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭⎪===+++ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭===++⎪ ⎪⎝⎭⎩4,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()()()22112-+得：()2233110,,,122x y x y ⎛⎤⎡⎫-+=∈∈- ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦参数法的本质是将动点坐标(),x y 中的x 和y 都用第三个变量（即参数）表示，通过消参．．得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x ，y 的范围.（4）求轨迹方程常用到得知识①重心(),G x y ，33A B C AB C x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩②中点(),P x y ，121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩③内角平分线定理：BD AB CDAC=④定比分点公式：AMMB λ=，则1AB M x x x λλ+=+，1A B M y y y λλ+=+ ⑤韦达定理.。