圆与方程知识点小结

圆方程知识点总结一、圆的基本概念1.1 圆的定义在平面几何中，圆是一个平面上距离一个给定点（圆心）恒定距离的所有点的集合。

这个距离被称为圆的半径。

圆的直径是圆上两个点之间的最大距离，它等于半径的两倍。

1.2 圆的性质（1）圆的直径是圆的最长线段，它恰好将圆分为两个相等的半圆。

（2）圆的任意一条半径都与圆上的任意一点相连，这个半径就是这个点到圆心的距离。

（3）圆的所有直径均相等。

（4）圆上的所有弦都可以把圆分成两个部分，而且这两个部分的面积和相等。

1.3 圆的常见术语在讨论圆方程的时候，我们会使用一些特定的术语来描述圆的性质和位置关系。

下面是一些常见的圆相关术语：（1）圆心：圆的中心点，用O表示。

（2）半径：圆心到圆上任意一点的距离，用r表示。

（3）直径：穿过圆心的两个端点在圆上的线段，用d表示。

（4）弦：连接圆上两点的线段。

（5）弧：圆上两点之间的曲线部分。

二、圆方程的基本形式在平面直角坐标系中，圆的方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。

这就是圆的标准方程形式。

这个方程说明了圆上的任意一点(x, y)到圆心的距离等于半径r。

在笛卡尔坐标系中，任意一条线段的长度可以根据两点的坐标差的平方根计算，所以这个方程实际上是在描述点(x, y)到点(h, k)的距离，然后判断这个距离是否等于半径r。

例如，一个圆心在坐标系原点，半径为3的圆的方程就可以表示为：因为圆心在原点，所以h=0，k=0，半径为3，所以r=3。

所以这个方程描述了所有距圆心距离为3的点的集合，即圆形。

三、圆方程的推导圆的方程可以通过几何推导和代数推导得到。

3.1 几何推导圆的方程可以通过几何推导得到。

如果圆心是坐标系原点，半径为r，那么圆上任意一点(x, y)到圆心的距离等于r。

这可以用勾股定理来表示：(x - 0)² + (y - 0)² = r²简化得到：x² + y² = r²这就是圆心在原点的圆的方程。

引言圆与方程是数学中非常重要的概念和知识点之一。

在几何学和代数学中，圆与方程有着密切的联系和应用。

本文将详细讨论圆与方程的相关知识，包括圆的性质、方程的表示和解法等。

概述圆与方程是数学中两个独立但又有联系的领域。

圆是平面上一组到一个给定点的距离相等的点的集合。

方程是数学中用字母和数表示关系的式子。

通过方程，我们可以描述和解决各种数学问题。

圆与方程的结合，使得我们可以通过代数方法来研究和解决关于圆的问题。

正文内容一、圆的性质1. 圆的定义：圆是平面上一组到一个给定点的距离相等的点的集合。

这个给定点称为圆心，相等的距离称为半径。

2. 圆的元素：圆由圆心和半径两个元素确定。

圆心可以用坐标表示，而半径则是一个标量。

3. 圆的直径：圆上任意两点之间的最长距离称为圆的直径。

直径的长度是半径的两倍。

4. 圆弧：由圆上两点间的线段所在的弧称为圆弧。

圆弧的长度是圆周长的一部分。

5. 弦：两点在圆上的线段称为弦。

弦的长度小于等于直径的长度。

二、方程的表示与解法1. 圆的方程：对于平面上的一个点(x,y)，距离圆心(h,k)的距离为半径r时，可以用方程表示为：(x-h)²+(y-k)²=r²2. 圆的标准方程：将方程展开，得到标准方程形式：x²+y²-2hx-2ky+h²+k²-r²=03. 方程的解析法：对于给定的圆方程，我们可以通过解方程的方法求解圆上的点坐标。

通过将方程中的未知数替换成已知数，再进行相应的计算或变换，可以得到点的坐标。

4. 方程的几何解释：方程表示了平面上的一条曲线，该曲线是圆与坐标轴的交点。

通过解方程，可以得到圆与坐标轴的交点坐标。

5. 方程的应用：方程的求解方法可以应用于解决与圆相关的各种数学问题，如确定圆心、半径和圆上的点位置等。

三、圆的相关性质与定理1. 切线：过圆上一点的直线称为切线。

切线与半径垂直。

2. 弧长：圆上两点之间的弧长度是弧所对的圆心角的度数的一部分。

高中圆与方程的总结知识点一、圆的基本概念1.1. 定义：圆是平面上与一个给定点的距离等于一个常数的点的集合。

1.2. 圆的要素：圆心、半径，圆的圆心记为O，圆的半径记作r。

1.3. 圆的直径：过圆心的两个点之间的线段称为圆的直径，它的长度等于圆的半径的两倍。

1.4. 圆的线段：圆上的一段弧称为圆的线段。

1.5. 圆的弧长：圆的线段的长度。

1.6. 圆的圆周角：圆上的一段的圆弧，其两端点为圆上的两点，则弧所对的圆心角称为圆的圆周角，当圆周角的弧的度数是360度时，这个角也叫圆的周角。

二、圆方程的基本概念2.1. 圆的标准方程：以点(h,k)为圆心,r为半径的圆方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。

2.2. 圆的一般方程：圆的一般方程的一般形式为x²+y²+ax+by+c=0。

三、圆与直线的方程3.1. 圆与坐标轴的交点：圆与x轴的交点（a，0）和与y轴的交点（0，b）。

3.2. 圆与直线的位置关系：圆可能与直线相切、相交或者不相交。

3.3. 圆的切线方程：圆的切线方程要求切点在圆上，与圆的切线垂直于和直径的直线相。

四、圆与圆的方程4.1. 圆的位置关系：两个圆可能相离、外切、内切、相交或者包含。

4.2. 圆的位置关系对应的方程：通过分析圆心之间的距离与半径之间的关系，可以确定两个圆的位置关系。

五、圆的参数化方程5.1. 参数化方程的定义：参数是指由一个或几个变化的量组成的多元函数。

5.2. 圆的参数化方程：圆可以用参数方程表示为：x=r*cos(t)，y=r*sin(t)。

六、解题技巧6.1. 圆方程与圆心、半径的关系：根据圆的标准方程，可以直接读出圆心的坐标和半径的值。

6.2. 圆的切线方程：根据圆的切线要求即切点在圆上，利用斜率的关系求出切线的斜率，然后代入切点的坐标得出切线方程。

6.3. 圆与直线的位置关系：通过解方程组，可以得出圆与直线的交点坐标，从而分析它们的位置关系。

第一讲 圆的方程一、知识清单（一）圆的定义及方程定义标准 方程一般方程平面内与定点的距离等于定长的点的会合 (轨迹 )(x － a)2 ＋(y －b)2＝ r 2(r>0)圆心： (a ， b)，半径： rx 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋F ＝ 0圆心： － D ，－ E，2 2 (D 2＋E 2－ 4F>0)半径： 1 D 2＋ E 2－ 4F21、圆的标准方程与一般方程的互化（ 1）将圆的标准方程 (x －a)2＋( y －b)2＝ r 2 睁开并整理得 x 2＋ y 2－ 2ax － 2by ＋ a 2＋ b 2－ r 2＝ 0，取 D ＝－ 2a ，E ＝－ 2b ， F ＝ a 2＋ b 2－ r 2，得 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0.（ 2）将圆的一般方程 x 2＋ y 2＋ Dx ＋Ey ＋ F ＝ 0 经过配方后获得的方程为：(x ＋ D 2＋ (y ＋ E 2 D 2 ＋E 2－ 4F2 ) 2 ) ＝ 4①当 D 2＋E 2－ 4F>0 时，该方程表示以 (－D ，－ E)为圆心， 1 D 2＋ E 2 － 4F 为半径的圆；2 2 2②当 D 2＋ E 2－ 4F ＝ 0x ＝－ D ， y ＝－ E (－ D 时，方程只有实数解2 2，即只表示一个点 2 ，－E)；③当 D 2＋ E 2－ 4F<0 时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形．22、圆的一般方程的特点是 ： x 2 和 y 2 项的系数都为 1 ，没有 xy 的二次项 .3、圆的一般方程中有三个待定的系数 D 、 E 、 F ，所以只需求出这三个系数，圆的方程就确立了．（二）点与圆的地点关系点 M(x 0， y 0)与圆 (x －a)2＋(y － b)2 ＝r 2 的地点关系：（ 1）若 M(x 0， y 0)在圆外，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2>r 2.（ 2）若 M(x 0， y 0)在圆上，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2＝ r 2.（ 3）若 M(x 0， y 0)在圆内，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2<r 2.(三)直线与圆的地点关系方法一：方法二：（四）圆与圆的地点关系1外离2外切3订交4内切5内含（五）圆的参数方程（六）温馨提示1、方程 Ax2＋ Bxy＋ Cy 2＋ Dx ＋ Ey＋ F ＝ 0 表示圆的条件是：（ 1）B＝ 0；（ 2） A＝C≠0；（ 3）D 2＋ E2－4AF＞ 0.2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．（ 1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．（ 2）圆心在任一弦的中垂线上．（ 3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2， y2) ，点 M (x， y) 是线段 AB 的中点，则 x＝x1x2 ，y＝y1y2 .22二、典例概括考点一：相关圆的标准方程的求法【例1】圆22，半径是. x a y bm2 m 0 的圆心是【例2】点 (1,1)在圆 (x－ a)2＋ (y＋ a)2＝ 4 内，则实数A ． (－ 1,1)C．( －∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )a 的取值范围是(D． (1，＋∞))B． (0,1)【例 3】圆心在 y 轴上，半径为1，且过点 (1,2)的圆的方程为 ()A ． x2＋ (y－2)2＝1B． x2＋ (y＋ 2)2＝ 1C．( x－ 1) 2＋ (y－3) 2＝ 1D． x2＋ (y－ 3)2＝ 1【例 4】圆 (x＋2) 2＋ y2＝ 5 对于原点P(0,0)对称的圆的方程为 ()A ． (x－ 2)2＋y2＝5B． x2＋ (y－ 2)2＝ 5C．( x＋ 2) 2＋ (y＋2) 2＝ 5D． x2＋ (y＋ 2)2＝ 5【变式 1】已知圆的方程为x 1 x 2y 2 y 40 ，则圆心坐标为【变式 2】已知圆 C 与圆x 1221 对于直线 y x 对称，则圆C的方程为y【变式3】若圆 C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－ 3y＝ 0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是()A ． (x－ 3)2＋7y－ 3 2＝ 1B． (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 1C．( x－ 1) 2＋ (y－3) 2＝ 1D. x－ 3 2＋(y－ 1)2＝ 12【变式4】已知ABC 的极点坐标分别是 A 1,5 ， B 5,5 ， C 6, 2 ，求ABC 外接圆的方程 .方法总结：1．利用待定系数法求圆的方程重点是成立对于a， b， r 的方程组．2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，从而写出方程，表现了数形联合思想的运用．考点二、相关圆的一般方程的求法【例 1】若方程 x2＋ y2＋ 4mx－ 2y＋5m＝0 表示圆，则m 的取值范围是()A .1＜ m＜ 1 B ． m＜1或 m＞ 1 C ．m＜1D． m＞ 1 444【例 2】将圆 x2＋ y2－ 2x－ 4y＋1＝ 0 均分的直线是 ()A ． x＋ y－ 1＝ 0B． x＋ y＋ 3＝ 0C． x－y＋ 1＝ 0D． x－ y＋ 3＝ 0【例 3】圆 x2－2x＋y2－ 3＝0 的圆心到直线x＋3y－ 3＝ 0 的距离为 ________．【变式 1】已知点P是圆C : x2y24x ay 5 0 上随意一点，P点对于直线2 x y 1 0 的对称点也在圆 C 上，则实数a =【变式 2】已知一个圆经过点 A 3,1 、 B 1,3 ，且圆心在3x y 20 上，求圆的方程 .【变式 3】平面直角坐标系中有 A 0,1 , B 2,1 , C 3,4 , D 1,2 四点，这四点可否在同一个圆上？为何？【变式4】假如三角形三个极点分别是O(0,0)， A(0,15) ， B(－ 8,0)，则它的内切圆方程为________________ ．方法总结：1．利用待定系数法求圆的方程重点是成立对于D， E， F 的方程组．2．娴熟掌握圆的一般方程向标准方程的转变考点三、与圆相关的轨迹问题【例 1】动点 P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的 2 倍，则动点P 的轨迹方程为()A ． x2＋ y2＝32B． x2＋ y2＝ 16C．( x－ 1) 2＋ y2＝16D． x2＋ (y－ 1)2＝ 16【例 2】方程y25 x2表示的曲线是（）A. 一条射线B. 一个圆C. 两条射线D. 半个圆【例3】在ABC 中，若点B,C的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD的长度是3，则点 A 的轨迹方程是（）A. x2y23B. x2y24C. x 2222y 9 y 0 D. x y 9 x 01【例4】已知一曲线是与两个定点O(0,0) ，A(3,0) 距离的比为的点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出曲线．【变式 1】方程x 1 12y 1 所表示的曲线是（）A. 一个圆B. 两个圆C. 一个半圆D. 两个半圆【变式 2】动点 P 到点 A(8,0) 的距离是到点B(2,0)的距离的 2 倍，则动点P 的轨迹方程为()A ． x2＋ y2＝32B． x2＋ y2＝ 16C．( x－ 1) 2＋ y2＝16D． x2＋ (y－ 1)2＝ 16【变式 3】如右图，过点M(－ 6,0)作圆 C： x2＋y2－6x－ 4y＋ 9＝ 0 的割线，交圆C于 A、B 两点，求线段 AB 的中点P 的轨迹．【变式4】如图，已知点A( －1,0)与点长至 D ，使得 |CD |＝ |BC|，求 AC 与 ODB(1,0)， C 是圆 x2＋ y2＝ 1 上的动点，连结的交点 P 的轨迹方程．BC 并延方法总结：求与圆相关的轨迹问题时，依据题设条件的不一样常采纳以下方法：（1）直接法：依据题目条件，成立坐标系，设出动点坐标，找出动点知足的条件，而后化简．(2)定义法：依据直线、圆等定义列方程．(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点知足的关系式等．考点四：与圆相关的最值问题【例 1】已知圆x2＋ y2＋ 2x－ 4y＋ a＝ 0 对于直线y＝ 2x＋b 成轴对称，则a－ b 的取值范围是________【例 2】已知 x， y 知足 x2＋ y2＝ 1，则y－2的最小值为 ________．x－ 1【例 3】已知点则|MN|的最小值是M 是直线()3x＋ 4y－ 2＝ 0 上的动点，点N 为圆( x＋1) 2＋ (y＋1)2＝ 1 上的动点，9A. 5B． 14C.5D.135【例 4】已知实数x， y 知足 (x－ 2)2＋ (y＋ 1)2＝ 1 则 2x－ y 的最大值为 ________，最小值为________．【变式 1】 P(x， y)在圆 C： (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝1 上挪动，则x2＋ y2的最小值为 ________．【变式 2】由直线 y＝ x＋ 2 上的点 P 向圆 C： (x－ 4)2＋ (y＋ 2)2＝ 1 引切线 PT(T 为切点 )，当|PT|最小时，点 P 的坐标是 ()A ． (－ 1,1)B． (0,2)C ． (－ 2,0)D． (1,3)【变式 3】已知两点A(－ 2,0)， B(0,2)，点积的最小值是 ________．C 是圆x2＋ y2－ 2x＝ 0 上随意一点，则△ABC面【变式 4】已知圆M 过两点 C(1，－ 1)， D (－ 1,1)，且圆心M 在 x＋y－ 2＝ 0 上．（1）求圆 M 的方程；（2）设 P 是直线 3x＋ 4y＋ 8＝0 上的动点， PA、 PB 是圆 M 的两条切线， A， B 为切点，求四边形 PAMB 面积的最小值．方法总结：解决与圆相关的最值问题的常用方法（1）形如 u＝y－b的最值问题，可转变为定点 (a， b)与圆上的动点 ( x，y)的斜率的最值问题x － a（2）形如 t＝ ax＋ by 的最值问题，可转变为动直线的截距的最值问题；（3）形如 (x－ a)2＋ (y－ b)2的最值问题，可转变为动点到定点的距离的最值问题．（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值： d r （此中d为圆心到直线的距离）。

圆与方程总结知识点在数学中，圆与方程是几何学和代数学的重要内容之一，它们在数学中有着广泛的应用和重要的地位。

圆与方程的学习不仅有助于学生对数学的理解和应用，还有助于培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。

本文将对圆与方程的知识点进行总结，希望能够帮助学生更好地掌握这一内容。

圆的基本概念首先，我们来认识一下圆这个几何图形。

圆是一个平面上所有与一个给定点的距离相等的点的集合。

这个给定点叫做圆心，所有距离相等的点到圆心的距离叫做半径。

圆的直径是通过圆心的两条平行线段的长。

圆的周长是圆的边界的长度，用符号C表示。

圆的面积是圆内部的所有点的集合，用符号A表示。

圆的方程通常有两种形式：标准方程和一般方程。

标准方程是x²+y²=r²，其中(x, y)是圆上的任意一点，r是圆的半径。

一般方程是(x-h)²+(y-k)²=r²，其中(h, k)是圆心的坐标。

圆的方程可以通过圆心和半径来确定，也可以通过圆上的某一点和圆的半径来确定。

圆的方程求解求解圆的方程是圆与方程的重要内容之一。

在求解圆的方程时，我们通常需要已知圆的中心坐标和半径。

如果已知圆的中心坐标和半径，我们可以根据标准方程的形式直接写出圆的方程。

如果已知圆上的某一点和圆心的坐标，我们可以利用已知点和圆心的距离等于半径来确定圆的方程。

圆与直线的关系圆与直线的关系是圆与方程的另一个重要内容。

在圆与直线的关系中，我们通常需要研究直线与圆的位置关系、直线与圆的交点和直线与圆的切点等问题。

首先，直线与圆的位置关系包括直线在圆内部、外部和与圆相切三种情况。

其次，直线与圆的交点是指直线与圆的交点的个数。

最后，直线与圆的切点是指直线与圆相切的点的位置。

圆与方程的应用圆与方程的应用是圆与方程的重要内容之一。

在实际应用中，圆与方程的知识可以帮助我们解决实际问题。

例如，在工程领域中，圆与方程的知识可以帮助我们设计圆形结构、计算圆形结构的尺寸等。

圆的方程一、圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-= 圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内二、 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

三、 直线与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D--到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交.四、 圆与圆的位置关系两圆的位置关系．设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含.。

圆与方程1. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是( x a) 2 ( y b) 2 r2.特例：圆心在座标原点，半径为r 的圆的方程是： x 2 y 2 r 2.2.点与圆的地点关系：(1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r ：a.点在圆内d＜ r ；b. 点在圆上d=r ；c. 点在圆外d＞ r(2). 给定点M ( x0, y0) 及圆 C : ( x a) 2 ( y b) 2 r 2.①M在圆C内( x0 a) 2 ( y0 b )2 r 2②M在圆C上（ x0 a) 2 ( y 0 b) 2 r 2③M在圆C外( x0 a) 2 ( y0 b )2 r 2（3）涉及最值：①圆外一点 B ，圆上一动点 P ，谈论 PB 的最值PB min BN BC rPB max BM BC r②圆内一点 A ，圆上一动点P ，谈论 PA 的最值PA min AN r ACPA max AM r AC思虑：过此 A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）3. 圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 .(1) 当D2 E2 4F 0时，方程表示一个圆，此中圆心 C D , E ，半径 r D2 E2 4F .2 2 2(2) 当 D 2 E 2 4F 0 时，方程表示一个点 D , E .2 2(3) 当D2 E2 4F 0 时，方程不表示任何图形.注：方程 Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是：B 0且A C 0 且D 2 E2 4AF 0 .4.直线与圆的地点关系：直线 Ax By C 0 与圆( x a) 2 ( y b)2 r 2圆心到直线的距离 d Aa Bb C A2 B 21）d r 直线与圆相离无交点；2） d r 直线与圆相切只有一个交点；3） d r 直线与圆订交有两个交点；弦长 |AB| =2 r2 d2 rdd=r r dAx By C 0 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组y2 求解，经过解x2 Dx Ey F 0 的个数来判断：（ 1）当0 时，直线与圆有 2 个交点，，直线与圆订交；（ 2）当0 时，直线与圆只有 1 个交点，直线与圆相切；（3）当0 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5.两圆的地点关系（1）设两圆C1: (x a1 ) 2( y b1 )2r12与圆 C 2 : (x a2 ) 2( y b2 )2r22，圆心距 d (a1 a2 )2 (b1 b2 )2① d r1 r2 外离4条公切线；② d r1 r2 外切3条公切线；③r1 r2 d r1 r2 订交2条公切线；④ d r1 r2 内切1条公切线；⑤0 d r1 r2 内含无公切线；外离外切订交内切（2）两圆公共弦所在直线方程圆 2 21 ： x y D1 x E1 y F1 0 ，C圆 C2： x2 y2 D 2 x E2 y F2 0 ，则D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0 为两订交圆公共弦方程.增补说明：①若 C1与 C2相切，则表示此中一条公切线方程；②若 C1与 C2相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆C1： x2 y2 D1 x E1 y F1 0 和 C 2： x2 y2 D 2x E2 y F2 0 交点的圆系方程为x2 y2 D1 x E1 y F1 x2 y2 D2x E2 y F2 0 （ 1 ）增补：①上述圆系不包含C2；②2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）③过直线 A x B y C 0 与圆x2 y2 Dx Ey F 0 交点的圆系方程为x2 y2 Dx Ey F Ax By C 06.过一点作圆的切线的方程：(1)过圆外一点的切线：①k 不存在，考据能否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即y1 y 0 k( x1 x0 )b y1 k(a x1 )RR2 1求解 k，获得切线方程【必定两解】例 1.经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y—2)2=4的切线，则切线方程为。

高二圆与方程的知识点总结圆与方程是高二数学学习中的重要知识点，掌握好这部分内容对于后续学习和解题都非常关键。

本文将对高二圆与方程的知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和应用这些知识。

一、圆的基本性质1. 定义：平面上到定点距离相等的点的集合就是一个圆。

2. 圆的部分：圆心、半径和圆周。

3. 公式：- 圆心坐标公式：设圆心为（a，b），半径为r，则圆的方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²。

- 圆的一般方程：将圆心坐标公式展开，整理得：x² + y² + Dx + Ey + F = 0。

（注：D、E、F为常数）二、直线与圆的位置关系1. 直线与圆相交的情况：- 相离：直线与圆没有交点。

- 相切：直线与圆有且仅有一个交点。

- 相交：直线与圆有两个交点。

2. 直线与圆的判别方法：- 写出直线方程和圆方程，将直线方程代入圆方程，解方程组即可得到交点或判别关系。

- 使用几何方法判别，如定理、推论等。

三、圆的方程与位置关系1. 一般方程的性质：- 如果D²+E² > 4F，则方程代表一个实心圆。

- 如果D²+E² = 4F，则方程代表一个过圆心的直线。

- 如果D²+E² < 4F，则方程代表一个过圆心的虚圆。

2. 圆的标准方程：- 圆的标准方程为：(x-h)² + (y-k)² = r²。

其中，(h, k)为圆心坐标，r为半径。

四、圆的切线与法线1. 切线与法线的定义：- 切线：圆上的一点到圆心的直线称为该点处的切线。

- 法线：垂直于切线的直线称为切线的法线。

2. 切线的斜率公式：- 设圆的方程为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0，过圆上一点P(x₀, y₀)的切线方程为：xx₀ + yy₀ + (Dx₀+Ey₀) + F = 0。

圆与方程知识点总结圆的定义和性质：圆的方程及表达方式：1.标准方程：圆的标准方程是(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，其中(h,k)表示圆心的坐标，r表示半径。

标准方程用于表示圆心不在原点的圆。

2.一般方程：圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为任意实数。

一般方程用于表示圆心在原点的圆。

3. 参数方程：圆的参数方程分别为x=h+r*cosθ y=k+r*sinθ，其中(h,k)为圆心坐标，r为半径，θ为取值范围在0到2π之间的参数。

参数方程用于描述圆上各点的坐标。

圆的方程与图像的关系：1.圆心位置：圆的方程可以帮助确定圆心的位置。

当方程为标准方程时，圆心的坐标就是方程中"(h,k)"的值。

当方程为一般方程时，根据方程的形式可以得知圆心在(x等于D/2，y等于E/2)的点上。

2.半径大小：圆的方程中的r值表示半径的大小。

半径是圆上任意一点到圆心的距离，通过方程可以得到半径的值。

3.图像形状：圆的方程描述了圆的几何形状，通过方程可以确定圆的半径，并且可以利用方程画出圆的图像。

当方程中的常数项F为0时，表示圆心在原点，可以用该方程画出圆的图像。

圆与方程的应用：1.几何学中，圆是一种重要的几何图形，广泛应用于计算圆的面积、周长和弧长。

通过圆的方程可以帮助几何学家推导圆的相关性质，以及与其他几何图形的关系。

2.物理学中，圆的方程用于描述运动中的圆形轨迹，如行星在椭圆轨道上运动。

通过分析轨道方程可以计算出行星的运动轨迹、速度和加速度等物理量。

3.工程学中，圆的方程广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计（CAD）和机器人技术等领域。

利用圆的方程可以计算出圆形图案和零件的尺寸，使得工程师能够更好地设计和制造产品。

4.经济学中，圆的方程可应用于计算边际收益、成本曲线和供求关系等经济学模型。

通过圆的方程可以计算出最优决策和市场均衡等经济指标。

总结：圆是数学中一个重要的几何图形，通过方程可以描述圆的几何形状、圆心位置和半径大小。