圆与方程 知识点 归纳总结

高中数学圆的方程知识点题型归纳第一讲圆的方程一、知识清单一）圆的定义及方程圆的定义是平面内距离定点距离相等的点的轨迹。

圆的标准方程为 (y-b)2=r2，一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中圆心为 (a,b)，半径为 r。

标准方程和一般方程可以互相转化。

二）点与圆的位置关系点 M(x,y) 与圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系有三种情况：在圆外、在圆上和在圆内。

三）温馨提示求圆的方程时，可以利用圆的几何性质简化运算，如圆心在过切点且与切线垂直的直线上、圆心在任一弦的中垂线上、两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。

此外，中点坐标公式也是常用的计算方法。

二、典例归纳本讲内容主要是圆的方程和点与圆的位置关系。

在求圆的方程时，需要注意利用圆的几何性质简化运算。

同时，中点坐标公式也是常用的计算方法。

在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。

且圆心在直线2x+y=0上，求该圆的方程。

变式3】已知圆C的方程为x2+y2-4x-6y+9=0，直线l的方程为2x+3y-6=0，求圆C与直线l的交点坐标。

变式4】已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y-4=0，直线l的方程为x-y+2=0，求圆C与直线l的交点坐标。

方法总结：1.对于一般的圆方程，可以通过平移变换将其化为标准方程，然后根据圆的几何性质求出圆心和半径，进而写出标准方程。

2.对于已知圆心和半径的问题，可以利用圆的几何性质直接写出标准方程。

3.对于圆与直线的交点问题，可以将直线方程代入圆方程中解方程，或者将圆方程代入直线方程中解方程，求出交点坐标。

变式3】给定四个点A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(-1,2)，判断它们能否在同一个圆上，并说明原因。

这题可以通过计算四边形ABCD的两条对角线的中垂线是否相交来判断四个点是否在同一个圆上。

首先可以计算出AC的中点坐标为M(1.5.2.5)，斜率为-3/2，所以AC的中垂线的方程为y-2.5 = 2/3(x-1.5)。

高中圆与方程的总结知识点一、圆的基本概念1.1. 定义：圆是平面上与一个给定点的距离等于一个常数的点的集合。

1.2. 圆的要素：圆心、半径，圆的圆心记为O，圆的半径记作r。

1.3. 圆的直径：过圆心的两个点之间的线段称为圆的直径，它的长度等于圆的半径的两倍。

1.4. 圆的线段：圆上的一段弧称为圆的线段。

1.5. 圆的弧长：圆的线段的长度。

1.6. 圆的圆周角：圆上的一段的圆弧，其两端点为圆上的两点，则弧所对的圆心角称为圆的圆周角，当圆周角的弧的度数是360度时，这个角也叫圆的周角。

二、圆方程的基本概念2.1. 圆的标准方程：以点(h,k)为圆心,r为半径的圆方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。

2.2. 圆的一般方程：圆的一般方程的一般形式为x²+y²+ax+by+c=0。

三、圆与直线的方程3.1. 圆与坐标轴的交点：圆与x轴的交点（a，0）和与y轴的交点（0，b）。

3.2. 圆与直线的位置关系：圆可能与直线相切、相交或者不相交。

3.3. 圆的切线方程：圆的切线方程要求切点在圆上，与圆的切线垂直于和直径的直线相。

四、圆与圆的方程4.1. 圆的位置关系：两个圆可能相离、外切、内切、相交或者包含。

4.2. 圆的位置关系对应的方程：通过分析圆心之间的距离与半径之间的关系，可以确定两个圆的位置关系。

五、圆的参数化方程5.1. 参数化方程的定义：参数是指由一个或几个变化的量组成的多元函数。

5.2. 圆的参数化方程：圆可以用参数方程表示为：x=r*cos(t)，y=r*sin(t)。

六、解题技巧6.1. 圆方程与圆心、半径的关系：根据圆的标准方程，可以直接读出圆心的坐标和半径的值。

6.2. 圆的切线方程：根据圆的切线要求即切点在圆上，利用斜率的关系求出切线的斜率，然后代入切点的坐标得出切线方程。

6.3. 圆与直线的位置关系：通过解方程组，可以得出圆与直线的交点坐标，从而分析它们的位置关系。

圆的方程的知识点总结一、圆的标准方程圆的标准方程是圆心在原点(0,0)、半径为r的圆的方程。

它可以表示为：x^2 + y^2 = r^2其中，(x,y)是圆上的任意点，r是圆的半径。

这个方程可以用来描述一个圆的几何形状和位置。

当圆心不在原点时，我们可以通过平移坐标系的方式将圆心移到原点，然后再应用标准方程。

这样，任意圆的方程都可以被化简为标准方程的形式。

二、圆的一般方程圆的一般方程是一个更一般的表示方法，它可以描述任意圆的方程，即圆心不一定在原点，半径也不一定为正值。

一般方程的形式如下：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中(h,k)是圆心的坐标，r是圆的半径。

通过这个方程，我们可以描述圆的任何位置和大小。

三、圆的参数方程圆的参数方程是用参数形式表示的圆的方程。

一个圆的参数方程可以表示为：x = r*cos(t)y = r*sin(t)其中，t是一个参数，取值范围一般是[0,2π]。

通过不同的参数取值，我们可以得到圆上的所有点。

参数方程的形式在一些数学和物理问题中有一定的应用价值。

四、圆的性质1.圆的直径和周长圆的直径是通过圆心的任意一条线段，它的长度是圆的半径的两倍。

而圆的周长则是圆周的长度，可以通过以下公式计算：C = 2πr其中，r是圆的半径，C是圆的周长。

2.圆的面积圆的面积是圆内部的所有点的集合，可以利用下面的公式来计算：A = πr^2其中，r是圆的半径，A是圆的面积。

这个公式也可以通过积分的方式来推导。

3.切线对于给定的圆和一点P在圆上，我们可以找到一条直线，它通过点P且与圆相切。

切线的斜率可以通过圆心和点P的连线来确定。

这个性质在解决与圆有关的问题时有很大的帮助。

五、圆的应用圆在日常生活和工程中有着广泛的应用，下面是一些例子：1. 圆的几何构造：利用圆的性质可以进行各种几何构造，例如正多边形的内切圆和外接圆、切线的构造等。

2. 圆的运动学：在物理学中，圆的运动学问题是一个常见的问题，如圆周运动、圆形轨道的运动等。

第一讲 圆的方程一、知识清单（一）圆的定义及方程定义标准 方程一般方程平面内与定点的距离等于定长的点的会合 (轨迹 )(x － a)2 ＋(y －b)2＝ r 2(r>0)圆心： (a ， b)，半径： rx 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋F ＝ 0圆心： － D ，－ E，2 2 (D 2＋E 2－ 4F>0)半径： 1 D 2＋ E 2－ 4F21、圆的标准方程与一般方程的互化（ 1）将圆的标准方程 (x －a)2＋( y －b)2＝ r 2 睁开并整理得 x 2＋ y 2－ 2ax － 2by ＋ a 2＋ b 2－ r 2＝ 0，取 D ＝－ 2a ，E ＝－ 2b ， F ＝ a 2＋ b 2－ r 2，得 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0.（ 2）将圆的一般方程 x 2＋ y 2＋ Dx ＋Ey ＋ F ＝ 0 经过配方后获得的方程为：(x ＋ D 2＋ (y ＋ E 2 D 2 ＋E 2－ 4F2 ) 2 ) ＝ 4①当 D 2＋E 2－ 4F>0 时，该方程表示以 (－D ，－ E)为圆心， 1 D 2＋ E 2 － 4F 为半径的圆；2 2 2②当 D 2＋ E 2－ 4F ＝ 0x ＝－ D ， y ＝－ E (－ D 时，方程只有实数解2 2，即只表示一个点 2 ，－E)；③当 D 2＋ E 2－ 4F<0 时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形．22、圆的一般方程的特点是 ： x 2 和 y 2 项的系数都为 1 ，没有 xy 的二次项 .3、圆的一般方程中有三个待定的系数 D 、 E 、 F ，所以只需求出这三个系数，圆的方程就确立了．（二）点与圆的地点关系点 M(x 0， y 0)与圆 (x －a)2＋(y － b)2 ＝r 2 的地点关系：（ 1）若 M(x 0， y 0)在圆外，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2>r 2.（ 2）若 M(x 0， y 0)在圆上，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2＝ r 2.（ 3）若 M(x 0， y 0)在圆内，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2<r 2.(三)直线与圆的地点关系方法一：方法二：（四）圆与圆的地点关系1外离2外切3订交4内切5内含（五）圆的参数方程（六）温馨提示1、方程 Ax2＋ Bxy＋ Cy 2＋ Dx ＋ Ey＋ F ＝ 0 表示圆的条件是：（ 1）B＝ 0；（ 2） A＝C≠0；（ 3）D 2＋ E2－4AF＞ 0.2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．（ 1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．（ 2）圆心在任一弦的中垂线上．（ 3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2， y2) ，点 M (x， y) 是线段 AB 的中点，则 x＝x1x2 ，y＝y1y2 .22二、典例概括考点一：相关圆的标准方程的求法【例1】圆22，半径是. x a y bm2 m 0 的圆心是【例2】点 (1,1)在圆 (x－ a)2＋ (y＋ a)2＝ 4 内，则实数A ． (－ 1,1)C．( －∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )a 的取值范围是(D． (1，＋∞))B． (0,1)【例 3】圆心在 y 轴上，半径为1，且过点 (1,2)的圆的方程为 ()A ． x2＋ (y－2)2＝1B． x2＋ (y＋ 2)2＝ 1C．( x－ 1) 2＋ (y－3) 2＝ 1D． x2＋ (y－ 3)2＝ 1【例 4】圆 (x＋2) 2＋ y2＝ 5 对于原点P(0,0)对称的圆的方程为 ()A ． (x－ 2)2＋y2＝5B． x2＋ (y－ 2)2＝ 5C．( x＋ 2) 2＋ (y＋2) 2＝ 5D． x2＋ (y＋ 2)2＝ 5【变式 1】已知圆的方程为x 1 x 2y 2 y 40 ，则圆心坐标为【变式 2】已知圆 C 与圆x 1221 对于直线 y x 对称，则圆C的方程为y【变式3】若圆 C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－ 3y＝ 0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是()A ． (x－ 3)2＋7y－ 3 2＝ 1B． (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 1C．( x－ 1) 2＋ (y－3) 2＝ 1D. x－ 3 2＋(y－ 1)2＝ 12【变式4】已知ABC 的极点坐标分别是 A 1,5 ， B 5,5 ， C 6, 2 ，求ABC 外接圆的方程 .方法总结：1．利用待定系数法求圆的方程重点是成立对于a， b， r 的方程组．2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，从而写出方程，表现了数形联合思想的运用．考点二、相关圆的一般方程的求法【例 1】若方程 x2＋ y2＋ 4mx－ 2y＋5m＝0 表示圆，则m 的取值范围是()A .1＜ m＜ 1 B ． m＜1或 m＞ 1 C ．m＜1D． m＞ 1 444【例 2】将圆 x2＋ y2－ 2x－ 4y＋1＝ 0 均分的直线是 ()A ． x＋ y－ 1＝ 0B． x＋ y＋ 3＝ 0C． x－y＋ 1＝ 0D． x－ y＋ 3＝ 0【例 3】圆 x2－2x＋y2－ 3＝0 的圆心到直线x＋3y－ 3＝ 0 的距离为 ________．【变式 1】已知点P是圆C : x2y24x ay 5 0 上随意一点，P点对于直线2 x y 1 0 的对称点也在圆 C 上，则实数a =【变式 2】已知一个圆经过点 A 3,1 、 B 1,3 ，且圆心在3x y 20 上，求圆的方程 .【变式 3】平面直角坐标系中有 A 0,1 , B 2,1 , C 3,4 , D 1,2 四点，这四点可否在同一个圆上？为何？【变式4】假如三角形三个极点分别是O(0,0)， A(0,15) ， B(－ 8,0)，则它的内切圆方程为________________ ．方法总结：1．利用待定系数法求圆的方程重点是成立对于D， E， F 的方程组．2．娴熟掌握圆的一般方程向标准方程的转变考点三、与圆相关的轨迹问题【例 1】动点 P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的 2 倍，则动点P 的轨迹方程为()A ． x2＋ y2＝32B． x2＋ y2＝ 16C．( x－ 1) 2＋ y2＝16D． x2＋ (y－ 1)2＝ 16【例 2】方程y25 x2表示的曲线是（）A. 一条射线B. 一个圆C. 两条射线D. 半个圆【例3】在ABC 中，若点B,C的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD的长度是3，则点 A 的轨迹方程是（）A. x2y23B. x2y24C. x 2222y 9 y 0 D. x y 9 x 01【例4】已知一曲线是与两个定点O(0,0) ，A(3,0) 距离的比为的点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出曲线．【变式 1】方程x 1 12y 1 所表示的曲线是（）A. 一个圆B. 两个圆C. 一个半圆D. 两个半圆【变式 2】动点 P 到点 A(8,0) 的距离是到点B(2,0)的距离的 2 倍，则动点P 的轨迹方程为()A ． x2＋ y2＝32B． x2＋ y2＝ 16C．( x－ 1) 2＋ y2＝16D． x2＋ (y－ 1)2＝ 16【变式 3】如右图，过点M(－ 6,0)作圆 C： x2＋y2－6x－ 4y＋ 9＝ 0 的割线，交圆C于 A、B 两点，求线段 AB 的中点P 的轨迹．【变式4】如图，已知点A( －1,0)与点长至 D ，使得 |CD |＝ |BC|，求 AC 与 ODB(1,0)， C 是圆 x2＋ y2＝ 1 上的动点，连结的交点 P 的轨迹方程．BC 并延方法总结：求与圆相关的轨迹问题时，依据题设条件的不一样常采纳以下方法：（1）直接法：依据题目条件，成立坐标系，设出动点坐标，找出动点知足的条件，而后化简．(2)定义法：依据直线、圆等定义列方程．(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点知足的关系式等．考点四：与圆相关的最值问题【例 1】已知圆x2＋ y2＋ 2x－ 4y＋ a＝ 0 对于直线y＝ 2x＋b 成轴对称，则a－ b 的取值范围是________【例 2】已知 x， y 知足 x2＋ y2＝ 1，则y－2的最小值为 ________．x－ 1【例 3】已知点则|MN|的最小值是M 是直线()3x＋ 4y－ 2＝ 0 上的动点，点N 为圆( x＋1) 2＋ (y＋1)2＝ 1 上的动点，9A. 5B． 14C.5D.135【例 4】已知实数x， y 知足 (x－ 2)2＋ (y＋ 1)2＝ 1 则 2x－ y 的最大值为 ________，最小值为________．【变式 1】 P(x， y)在圆 C： (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝1 上挪动，则x2＋ y2的最小值为 ________．【变式 2】由直线 y＝ x＋ 2 上的点 P 向圆 C： (x－ 4)2＋ (y＋ 2)2＝ 1 引切线 PT(T 为切点 )，当|PT|最小时，点 P 的坐标是 ()A ． (－ 1,1)B． (0,2)C ． (－ 2,0)D． (1,3)【变式 3】已知两点A(－ 2,0)， B(0,2)，点积的最小值是 ________．C 是圆x2＋ y2－ 2x＝ 0 上随意一点，则△ABC面【变式 4】已知圆M 过两点 C(1，－ 1)， D (－ 1,1)，且圆心M 在 x＋y－ 2＝ 0 上．（1）求圆 M 的方程；（2）设 P 是直线 3x＋ 4y＋ 8＝0 上的动点， PA、 PB 是圆 M 的两条切线， A， B 为切点，求四边形 PAMB 面积的最小值．方法总结：解决与圆相关的最值问题的常用方法（1）形如 u＝y－b的最值问题，可转变为定点 (a， b)与圆上的动点 ( x，y)的斜率的最值问题x － a（2）形如 t＝ ax＋ by 的最值问题，可转变为动直线的截距的最值问题；（3）形如 (x－ a)2＋ (y－ b)2的最值问题，可转变为动点到定点的距离的最值问题．（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值： d r （此中d为圆心到直线的距离）。

圆与方程总结知识点在数学中，圆与方程是几何学和代数学的重要内容之一，它们在数学中有着广泛的应用和重要的地位。

圆与方程的学习不仅有助于学生对数学的理解和应用，还有助于培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。

本文将对圆与方程的知识点进行总结，希望能够帮助学生更好地掌握这一内容。

圆的基本概念首先，我们来认识一下圆这个几何图形。

圆是一个平面上所有与一个给定点的距离相等的点的集合。

这个给定点叫做圆心，所有距离相等的点到圆心的距离叫做半径。

圆的直径是通过圆心的两条平行线段的长。

圆的周长是圆的边界的长度，用符号C表示。

圆的面积是圆内部的所有点的集合，用符号A表示。

圆的方程通常有两种形式：标准方程和一般方程。

标准方程是x²+y²=r²，其中(x, y)是圆上的任意一点，r是圆的半径。

一般方程是(x-h)²+(y-k)²=r²，其中(h, k)是圆心的坐标。

圆的方程可以通过圆心和半径来确定，也可以通过圆上的某一点和圆的半径来确定。

圆的方程求解求解圆的方程是圆与方程的重要内容之一。

在求解圆的方程时，我们通常需要已知圆的中心坐标和半径。

如果已知圆的中心坐标和半径，我们可以根据标准方程的形式直接写出圆的方程。

如果已知圆上的某一点和圆心的坐标，我们可以利用已知点和圆心的距离等于半径来确定圆的方程。

圆与直线的关系圆与直线的关系是圆与方程的另一个重要内容。

在圆与直线的关系中，我们通常需要研究直线与圆的位置关系、直线与圆的交点和直线与圆的切点等问题。

首先，直线与圆的位置关系包括直线在圆内部、外部和与圆相切三种情况。

其次，直线与圆的交点是指直线与圆的交点的个数。

最后，直线与圆的切点是指直线与圆相切的点的位置。

圆与方程的应用圆与方程的应用是圆与方程的重要内容之一。

在实际应用中，圆与方程的知识可以帮助我们解决实际问题。

例如，在工程领域中，圆与方程的知识可以帮助我们设计圆形结构、计算圆形结构的尺寸等。

圆与方程知识点总结圆的定义和性质：圆的方程及表达方式：1.标准方程：圆的标准方程是(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，其中(h,k)表示圆心的坐标，r表示半径。

标准方程用于表示圆心不在原点的圆。

2.一般方程：圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为任意实数。

一般方程用于表示圆心在原点的圆。

3. 参数方程：圆的参数方程分别为x=h+r*cosθ y=k+r*sinθ，其中(h,k)为圆心坐标，r为半径，θ为取值范围在0到2π之间的参数。

参数方程用于描述圆上各点的坐标。

圆的方程与图像的关系：1.圆心位置：圆的方程可以帮助确定圆心的位置。

当方程为标准方程时，圆心的坐标就是方程中"(h,k)"的值。

当方程为一般方程时，根据方程的形式可以得知圆心在(x等于D/2，y等于E/2)的点上。

2.半径大小：圆的方程中的r值表示半径的大小。

半径是圆上任意一点到圆心的距离，通过方程可以得到半径的值。

3.图像形状：圆的方程描述了圆的几何形状，通过方程可以确定圆的半径，并且可以利用方程画出圆的图像。

当方程中的常数项F为0时，表示圆心在原点，可以用该方程画出圆的图像。

圆与方程的应用：1.几何学中，圆是一种重要的几何图形，广泛应用于计算圆的面积、周长和弧长。

通过圆的方程可以帮助几何学家推导圆的相关性质，以及与其他几何图形的关系。

2.物理学中，圆的方程用于描述运动中的圆形轨迹，如行星在椭圆轨道上运动。

通过分析轨道方程可以计算出行星的运动轨迹、速度和加速度等物理量。

3.工程学中，圆的方程广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计（CAD）和机器人技术等领域。

利用圆的方程可以计算出圆形图案和零件的尺寸，使得工程师能够更好地设计和制造产品。

4.经济学中，圆的方程可应用于计算边际收益、成本曲线和供求关系等经济学模型。

通过圆的方程可以计算出最优决策和市场均衡等经济指标。

总结：圆是数学中一个重要的几何图形，通过方程可以描述圆的几何形状、圆心位置和半径大小。

初中数学圆的方程知识点
1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的'标准方程是(xa)^2+(yb)^2=r^2。

特殊地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。

2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^24F)/4.故有：
(1)、当D^2+E^24F0时，方程表示以(D/2,E/2)为圆心，以(√D^2+E^24F)/2为半径的圆;
(2)、当D^2+E^24F=0时，方程表示一个点(D/2，E/2);
(3)、当D^2+E^24F0时，方程不表示任何图形。

3、圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数) 圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB 为直径的圆的方程为 (xa1)(xa2)+(yb1)(yb2)=0
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆x^2+y^2=r^2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0*x+b0*y=r^2
在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r^2 圆的方程学问在学校数学逇学习中涉及到的并不是许多，同学们把握基础就好。

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高二数学 第2讲 圆与方程第一节 圆的方程知识点一 圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.知识点二 点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<知识点三 圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E--. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 知识点四 几种特殊位置的圆的方程知识点五 用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组.(3)解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.知识点六 轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标； （2）列出关于,x y 的方程； （3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答．【典型例题】 类型一 圆的标准方程[例1]求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上； (3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．[变式1]圆心是（4，-1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ）A ．(x ―4)2+(y+1)2=10B ．(x+4)2+(y―1)2=10C ．(x ―4)2+(y+1)2=100D ．22(4)(1)x y -++=[例2]求圆心在直线2x -y -3=0上，且过点（5，2）和（3，-2）的圆的方程．[例3]与x 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线0x y -=截得的弦长为[变式2]求圆心在直线y =-x 上，且过两点A （2，0），B （0，-4）的圆的方程．类型二 圆的一般方程[例1]下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．（1）2x 2+y 2-7y +5=0；（2）x 2-xy +y 2+6x +7y =0；（3）x 2+y 2-2x -4y +10=0；（4）2x 2+2y 2-5x =0．[变式1]下列方程各表示什么图形；①x 2+y 2-4x -2y +5=0；②x 2+y 2-2x +4y -4=0；③220x y ax ++=．[例2]已知直线x 2+y 2-2(t +3)x +2(1-4t 2)y +16t 4+9=0表示一个圆．（1）求t 的取值范围； （2）求这个圆的圆心和半径；（3）求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程．[变式2]下判断方程ax 2+ay 2-4(a -1)x +4y =0（a ≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长．[变式3]已知方程0916)41(2)3(22222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆．（1）求实数m 的取值范围； （2）*求圆心C 的轨迹方程．[变式4]方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．2a <-或23a >B ．203a -<<C ．20a -<<D ．223a -<< [例3]△ABC 的三个顶点分别为A （-1，5），B （-2，-2），C （5，5），求其外接圆的方程.[变式5]如图，等边△ABC 的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．类型三点与圆的位置关系[例]判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆(x-5)2+(y-6)2=10的位置关系．[变式]已知两点P1（3，8）和P2（5，4），求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M（5，3）、N（3，4）、P（3，5）是在此圆上、在圆内、还是在圆外？类型三轨迹方程[例1]已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离的比为12的点的轨迹，求这条曲线的方程，并画出曲线．[变式1]如下图，过第一象限的定点C（a，b）作互相垂直的两直线CA、CB，分别交于x轴、y轴的正半轴于A、B两点，试求线段AB的中点M的轨迹方程．[例2]等腰△ABC的底边一个端点B(1，-3)，顶点A(0，6)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明轨迹的形状．[例3]已知定点A（4，0），P点是圆x2+y2=4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程．[变式2]已知定点A（2，0），点Q是圆x2+y2=1上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程．【轨迹方程求法示题】1.（2016•平凉校级模拟）已知点G（5，4），圆C1：（x-1）2+（y-4）2=25，过点G的动直线l与圆C1相交于E、F两点，线段EF的中点为C．求点C的轨迹C2的方程；2.（2016•河北模拟）如图，已知P是以F1（1，0），以4为半径的圆上的动点，P与F2（1，0）所连线段的垂直平分线与线段PF1交于点M．求点M的轨迹C的方程；3.（2016•湖南校级模拟）已知点C（1，0），点A，B是⊙O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足AC，设M为弦AB的中点．求点M的轨迹T的方程；⋅BC=-），4.（2016•自贡校级模拟）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，3，（0，3且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．求顶点C的轨迹M的方程，并判断轨迹M 为何种曲线.5.（2016春•成都校级月考）设Q、G分别为△ABC的外心和重心，已知A（-1，0），B（1，0），QG∥AB．求点C的轨迹E．6.（2016•成都模拟）已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．7.（2015秋•遂宁期末）已知平面直角坐标系上一动点P（x，y）到点A（-2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍．（1）求点P的轨迹方程；（2）过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E，F两点，点M（2，0），则是否存在直线l，使S△EFM取得最大值，若存在，求出此时l的方程，若不存在，请说明理由．第二节 直线与圆的位置关系知识点一 直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l 与圆C 有公共点. 有两组实数解时，直线l 与圆C 相交； 有一组实数解时，直线l 与圆C 相切； 无实数解时，直线l 与圆C 相离. (2)几何法：由圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系判断： 当d r <时，直线l 与圆C 相交； 当d r =时，直线l 与圆C 相切； 当d r >时，直线l 与圆C 相离. 要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.知识点二 圆的切线方程的求法1．点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1OM l k k ⋅=-． 法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．2．点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．要点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=.知识点三 求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．3．利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：12|l x x =-．知识点四 圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.2.圆与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解.有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. (2)几何法：设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d . 当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当12r r d +=时，两圆外切； 当12r r d +<时，两圆外离； 当12r r d -=时，两圆内切； 当12r r d ->时，两圆内含. 要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.3.两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4．两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 知识点五 圆系方程1．过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=2．以(),a b 为圆心的同心圆系方程是：()()222(0)x a y b λλ-+-=≠；3．与圆220x y Dx Ey F ++++=同心的圆系方程是220x y Dx Ey λ++++=；4．过同一定点(),a b 的圆系方程是()()2212()()0x a y b x a y b λλ-+-+-+-=．【典型例题】类型一 直线与圆的位置关系[例1]已知直线y =2x +1和圆x 2+y 2=4，试判断直线和圆的位置关系.[例2]求实数m 的范围，使直线30x my -+=与圆22650x y x +-+=分别满足： （1）相交；（2）相切；（3）相离．[变式1]已知直线方程mx -y-m -1=0，圆的方程x 2+y 2-4x -2y +1=0．当m 为何值时，圆与直线 （1）有两个公共点； （2）只有一个公共点； （3）没有公共点．[变式2]已知直线:430--+=l kx y k 与曲线22:68210+--+=C x y x y . （1）求证:不论k 为何值,直线l 和曲线C 恒有两个交点；（2）求当直线l 被曲线C 所截的线段最短时此线段所在的直线的方程.类型二 切线问题[例]过点(7,1)P 作圆2225x y +=的切线,求切线的方程.[变式]（1）求圆x 2+y 2=10的切线方程，使得它经过点M ； （2）求圆x 2+y 2=4的切线方程，使得它经过点Q （3，0）．类型三 弦长问题[例1]直线l 经过点P （5，5）并且与圆C ：x 2+y 2=25相交截得的弦长为l 的方程．[变式1]求经过点P （6，-4），且被定圆x 2+y 2=20截得弦长为的直线的方程．[例2]圆心C在直线l：x+2y=0上，圆C过点M（2，-3），且截直线m：x-y-1=0所得弦长为C 的方程．[例3]已知圆C1：x2+y2+2x-6y+1=0，圆C2：x2+y2-4x+2y-11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．[变式2]已知圆C1：x2+y2+2x+6y+9＝0和圆C2：x2+y2−4x+2y−4＝0.（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆的公共弦所在直线的方程；（3）求两圆公切线所在直线的方程．类型四 圆与圆的位置关系[例1]已知圆C 1：x 2+y 2-2mx +4y +m 2-5=0，圆C 2：x 2+y 2+2x -2my +m 2-3=0，问：m 为何值时，（1）圆C 1和圆C 2相外切？（2）圆C 1与圆C 2内含？[变式1]当a 为何值时，圆C 1：x 2+y 2-2ax +4y +(a 2-5)=0和圆C 2：x 2+y 2+2x -2ay +(a 2-3)=0相交．[例2]若圆C 1的方程是x 2+y 2-4x -4y +7=0，圆C 2的方程为x 2+y 2-4x -10y +13=0，则两圆的公切线有_____条.[例3]坐标平面内有两个圆x 2+y 2=16和x 2+y 2-6x +8y +24=0，这两个圆的内公切线的方程是________.[变式2]圆C 1：x 2+y 2+2x +2y -2=0与圆C 2：x 2+y 2-6x +2y +6=0的公切线有且只有_____条. [变式3]两圆4)1()2(22=-+-y x 与9)2()1(22=-++y x 的公切线有（ ）条． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4类型五 圆系问题[例1]求过直线2x +y +4=0和圆x 2+y 2+2x -4y +1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1）过原点；（2）有最小面积．[变式1]求过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程．[例2]已知曲线C ：x 2+y 2+2kx +（4k +10）y +10k +20=0，其中k ≠-1，则C 过定点_____. [变式2]对于任意实数λ，曲线(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+(6-4λ)x -16-6λ=0恒过定点_____.类型六 最值问题[例1]已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0，求：（1）yx的最大值；（2）y -x 的最小值；（3）22y x +.[例2]已知点P （x ，y ）是圆(x -3)2+(y -3)2=4上任意一点，求点P 到直线2x +y +6=0的最大距离和最小距离．[变式1]已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0，求：（1）5-x y的最大值；（2）x y 2-的最小值；（3）22)3()1(++-y x .。

总结圆的方程知识点1. 圆的定义圆是一个平面上所有点到一个固定点的距离相等的点的集合。

这个固定点称为圆心，而这个相等的距离称为半径。

圆的定义可以用数学语言来描述为：给定平面上的一个点O和一个正实数r，那么平面上到O点的距离等于r的点的集合就是一个圆。

2. 圆的方程的一般形式在直角坐标系中，圆的方程可以用不同的形式来表示。

最常用的有标准方程和一般方程。

2.1 标准方程圆的标准方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中(h, k)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。

2.2 一般方程圆的一般方程可以表示为：x² + y² + Ax + By + C = 0其中A、B、C为常数。

3. 圆的特殊情况3.1 圆的半径为零如果一个圆的半径为零，那么这个圆就是一个点，其坐标为圆心的坐标。

3.2 圆的半径为无穷大如果一个圆的半径为无穷大，那么这个圆就是一条直线，其方程可以表示为Ax + By + C = 0。

4. 圆的相关参数4.1 圆心和半径圆的方程中(h, k)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。

圆心和半径是圆的重要参数，可以通过圆的方程来确定。

4.2 直径和周长圆的直径是通过圆心的两个点之间的距离，其长度等于半径的两倍。

圆的周长是圆的边界的长度，可以通过圆的半径来计算，其长度等于2πr。

4.3 弦和弦长圆的弦是连接圆上两点的线段，其中最长的弦称为直径。

圆的弦长可以通过两点的坐标来计算。

4.4 切线和切点圆的切线是与圆相切的直线，切点是切线与圆的交点。

切线和切点是圆与直线的重要联系，可以通过圆的方程和直线的方程来计算。

以上就是圆的方程的相关知识点的总结，包括圆的定义、圆的方程的一般形式和特殊情况、圆的相关参数等内容。

圆的方程是解析几何学中的重要内容，掌握这些知识点对于理解圆的性质和与其他几何图形的联系非常重要，希望本文能够对读者有所帮助。

圆与方程知识点整理一、圆的定义和性质圆是由平面上与一定点距离相等的点的集合组成。

圆的性质：1. 圆心与圆上任意点的距离相等。

2. 圆上任意两点与圆心的连线垂直。

3. 圆的直径是圆上任意两点的距离中最大的。

4. 圆的半径是圆上任意一条线段的一半。

二、圆的方程1. 标准方程一般地，圆的标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中，(h, k)为圆心坐标，r为半径长度。

2. 一般方程圆的一般方程为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中，D、E、F为实数。

三、圆的常见问题1. 判定点与圆的位置关系当给定一个点P(x₁, y₁)和圆C[(x - h)² + (y - k)² = r²]时，可以通过计算点到圆心的距离是否等于半径来判断点与圆的位置关系。

若 d(P, C) < r，则点P在圆内部；若 d(P, C) = r，则点P在圆上；若 d(P, C) > r，则点P在圆外部。

2. 圆的相交关系两个圆的相交关系有三种情况：（1）外离：两个圆的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和；（2）外切：两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和；（3）相交：两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和。

四、圆的应用1. 定义：圆在几何图形中具有重要的作用，常用于解决与圆相关的几何问题。

2. 圆的建模：在现实世界中，很多物体或运动都可以用圆的概念进行建模，例如轮子、钟表等。

3. 圆的运动学：圆的运动学涉及到圆的半径、速度、角速度等概念，广泛应用于航天、机械等领域。

总结：圆是几何学中的重要概念，具有独特的定义和性质。

我们可以通过圆的方程来描述和计算圆的属性，同时也可以利用圆的性质解决与圆相关的问题。

圆的应用范围广泛，不仅在几何学中有重要作用，还在物理学、工程学等领域发挥着重要的作用。

掌握圆与方程的知识点，对于学习和应用几何学具有重要意义。

高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2两圆的位置关系 判断条件 公切线条数外离 ｄ＞ｒ1+ｒ2 4条 外切 ｄ＝ｒ1+ｒ2 3条 相交 |ｒ1-ｒ2|＜ｄ＜ｒ1+ｒ2 2条 内切 ｄ＝|ｒ1-ｒ2| 1条 内含ｄ＜|ｒ1-ｒ2|0条★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

第一讲圆的方程知识清单（一）圆的定义及方程1圆的标准方程与一般方程的互化(1 )将圆的标准方程 (x - s )2+ (y - b )2= r 2展开并整理得 x 2+ y 2— 2ax — 2by + a 2+ b 2- r 2=0,取 D = - 2a, E =- 2b , F = a 2+ b 2- r 2,得 x 2+ y + Dx + Ey + F = 0.（2 ）将圆的一般方程 x 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0通过配方后得到的方程为:DE D 2+ E 2 — 4F(x + ^)2+(y + 2)2=D E 一 Dx = — 2， y =-乙，即只表示一个点（一~2，-E.. 2）；③当D 2 + E 2— 4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形. 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为1，没有丄y 的二次项-3、圆的一般方程中有三个待定的系数 D 、E 、F ,因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.①当DD 2+E 2- 4F >0时，该方程表示以（—-, E—刁为圆心, 2、D 2+ E 2- 4F 为半径的圆;②当D 2+ E 2- 4F = 0时，方程只有实数解（二）点与圆的位置关系(1) 若 M (x o , y °)在圆外，则(x o — a )2+ (y ° — b )2>r 2.(2) 若 M (x o , y o )在圆上，贝U (x o — a )2+ (y o — b )2= r 2.(3) 若 M (x o , y o )在圆内，贝U (x o — a )2+ (y o — b )2<r 2.(三) 直线与圆的位置关系方法一：方法二：(四)圆与圆的位置关系1外离 2外切 3相交 4内切 5内含(五) 圆的参数方程(六) 温馨提示1、 方程Ax 2+ Bxy + Cy 2+ Dx + Ey + F = 0表示圆的条件是：(1) B = O; (2) A = C M O; (3) D 2+ E 2— 4AF >O.2、 求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算. (1) 圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (2) 圆心在任一弦的中垂线上.(3) 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线.占 八0, y o )与圆(x - s )2+ (y - b )2= r 2的位置关系:3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A(X1, y», B(X2, y2),点M(x, y)是线段AB的中点，贝V x=卷x2, y=仏y2.2 2考点一：有关圆的标准方程的求法A • (— 1,1)【例3】圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1,2）的圆的方程为（）A.x 2+ (y — 2)2 = 1C. (x — 1)2+ (y — 3)2= 1A. (x — 2)2 + y 2 = 5B. x 2 + (y — 2)2=5该圆的标准方程是（ ）【例2】点（1,1）在圆（x — a ）2+ （y + s ）2= 4内，则实数a 的取值范围是（） ，半径是【例4】 圆(x + 2)2+ y 2= 5关于原点 P （0,0）对称的圆的方程为 C. (x + 2)2+ (y + 2)2= 5 D . x 2+ (y + 2)2= 5【变式2】已知圆C 与圆x2y 2 y 4 0,则圆心坐标为2y 1关于直线yx 对称，则圆C 的方程为【变式3】 若圆C 的半径为 1,圆心在第一象限，且与直线4x — 3y = 0和x 轴都相切，则B. (0,1)C. ( — 3—1) U (1 ,+^ )D . (1,+^)B. x 2+ (y + 2)2= 1D . x 2+ (y — 3)2=7x— 2)2+ (y— 1)2= 1 A. （x— 3）2 + y—3 2= 1 B . (C. (x — 1)2+ (y — 3)2= 13D. x — 2 2+ (y — 1)2= 1【变式4】已知 ABC 的顶点坐标分别是 A 1,5 , B 5,5 , C 6, 2，求 ABC 外接 圆的方程•考点二、有关圆的一般方程的求法【例2】将圆x 2+ y 2— 2x — 4y + 1 = 0平分的直线是（）A. x + y — 1= 0B. x + y + 3= 0C. x — y + 1= 0 D . x — y + 3= 0【例3】圆x 2— 2x + y 2 — 3 = 0的圆心到直线x + 3 = 0的距离为 ________【变式1】已知点P 是圆C : x 2 y 24x ay 50上任意一点，P 点关于直线2x y 1 0的对称点也在圆C 上，则实数a =方程.【例1】 若方程x 2+ y 2+ 4mx — 2y + 5m = 0表示圆，则 m 的取值范围是（1A .一< m v 11 1B. m v4或 m >1C. m v4D. m > 1【变式2】已知一个圆经过点 A 3,1B 1,3，且圆心在3x y 2 0上，求圆的【变式3】平面直角坐标系中有A 0,1 ,B 2,1 ,C 3,4 ,D 1,2四点，这四点能否在同一个圆上？为什么?【变式4】如果三角形三个顶点分别是0(0,0), A(0,15), B(— 8,0)，则它的内切圆方程为考点三、与圆有关的轨迹问题【例1】动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为( )A. x2+ y2= 32B. x2 + y2 = 16C. (x— 1)2+ y2 = 16 D . x2+ (y— 1)2= 16【例2】方程y 25 x表示的曲线是()A. 一条射线B. 一个圆C.两条射线D.半个圆【例3】在ABC中，若点B,C的坐标分别是(-2,0)和(2,0),中线AD的长度是3,则点A的轨迹方程是()2 2 2 2A. x y 3B. x y 42 2 2 2C. x y 9 y 0D. x y 9x01O(0,0), A(3,0)距离的比为2的点的轨迹.求这个曲线的【例4】已知一曲线是与两个定点方程，并画出曲线.【变式1】方程|x 1 ；1 y 1 2所表示的曲线是()A. 一个圆B.两个圆C. 一个半圆D.两个半圆【变式2】动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为( )A. x2+ y2= 32B. x2 + y2 = 16C. (x- 1)2+ y2 = 16 D . x2+ (y- 1)2= 16 【变式3】如右图，过点M(— 6,0)作圆C: x2 + y2-6x-4y+ 9= 0的割线，交圆C于A、B 两点，求线段AB的中点P的轨迹.【变式4】如图，已知点A(-1,0)与点B(1,0), C是圆x2 + y2= 1上的动点，连接BC并延长至D，使得| CD| = | BC|，求AC与0D的交点P的轨迹方程.方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法:(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简.(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程.(3)几何法：禾U用圆与圆的几何性质列方程.⑷代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.考点四：与圆有关的最值问题【例1］已知圆x2 + y2 + 2x-4y+ a= 0关于直线y= 2x+ b成轴对称，则a—b的取值范围是y— 2【例2］已知x, y满足x2+ y2= 1,则------ 的最小值为 ________ .x— 1【例3］已知点M是直线3x + 4y— 2= 0上的动点，点N为圆(x+ 1)2 + (y+ 1)2= 1上的动点，则| MN|的最小值是( )13_5 D【例4］已知实数x, y满足(x — 2)2 + (y+ 1)2= 1贝U 2x—y的最大值为______ ，最小值为【变式1］P(x, y)在圆C：(x —1)2+ (y—__________________________________ 1)2= 1上移动，则x2+y2的最小值为.【变式2］由直线y= x+ 2上的点P向圆C： (x— 4)2 + (y+ 2)2= 1引切线PT(T为切点)，当|PT|最小时，点P的坐标是( )A. (— 1,1)B. (0,2)C. (— 2,0) D . (1,3)【变式3］已知两点A(— 2,0), B(0,2),点C是圆x2+ y2— 2x = 0上任意一点，则△ ABC面积的最小值是【变式4】已知圆M过两点C(1,— 1), D(— 1,1),且圆心M在x+ y— 2= 0 上.(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x+ 4y+ 8= 0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A, B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用方法y—b(1)形如u= 的最值问题，可转化为定点 (a b)与圆上的动点(x, y)的斜率的最值问题x —a(2)形如t=ax+ by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；(3)形如(x—a)2 + (y—b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题.(4)一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大(小)值： d r (其中d为圆心到直线的距离)。

必修二数学圆与方程知识点总结1. 圆的定义：圆是由平面上与一点（圆心）距离相等的点的集合。

2. 圆的元素：圆心、半径。

可以用(x-a)² + (y-b)² = r²表示，其中(a,b)表示圆心的坐标，r表示半径。

3. 圆的方程：一般方程：Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E为常数，A和B不能同时为零。

4. 圆的标准方程：(x-h)² + (y-k)² = r²，其中(h,k)表示圆心的坐标，r表示半径。

5. 圆的性质：- 圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，直径的长度是半径的两倍。

- 圆的半径垂直于切线，切线与半径的夹角为90度。

- 圆的弦是圆上两点之间的线段，弦的中点与圆心连线垂直，且中点在弦的中垂线上。

- 圆的弧是圆上的一段连续的线段。

- 圆心角是以圆心为顶点的角，在弧上所对的圆心角相等的弧相等。

6. 圆的相关公式：- 圆的周长：C = 2πr，其中r为半径。

- 圆的面积：A = πr²，其中r为半径。

7. 方程相关知识点：- 一次方程：形如ax + b = 0的方程，其中a和b为常数，a ≠ 0。

- 二次方程：形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

- 一元二次方程：只含有一个未知数的二次方程。

- 二元二次方程：同时含有两个未知数的二次方程。

- 解方程的方法：因式分解法、配方法、求根公式等。

这些是必修二数学中关于圆与方程的一些重要知识点总结，希望能对你有所帮助！。

圆方程知识点归纳总结1. 圆的基本概念（1）圆的定义圆是平面上到定点距离等于定长（半径）的所有点的集合。

（2）圆的元素圆的重要元素包括圆心、半径、直径、圆弧、圆周、圆心角和半心角等。

其中，圆心是指圆的中心点，通常用字母O表示；半径是指圆心到圆周上任意一点的距离，通常用字母r 表示；直径是指穿过圆心，且两端都在圆周上的线段，通常用字母d表示；圆弧是指圆周的一部分；圆周是指圆的边界；圆心角是指以圆心为顶点的角；半心角是指以圆心为顶点的角的一半。

2. 圆的方程（1）圆的标准方程圆的标准方程为：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径长度。

（2）圆的一般方程圆的一般方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0 或(x-h)²+(y-k)²=r²，其中(h,k)为圆心坐标，r为半径长度。

（3）圆的参数方程圆的参数方程为：x=a+rcosθ，y=b+rsinθ，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径长度，θ为参数。

3. 圆的性质（1）圆心与半径的关系任意一点到圆心的距离等于圆的半径。

（2）圆的直径圆的直径等于圆的半径的两倍。

（3）圆的周长圆的周长等于圆周的长度，公式为：C=2πr。

（4）圆的面积圆的面积等于半径的平方乘以π，公式为：S=πr²。

（5）圆心角和弧长的关系圆心角和弧长的关系为：L=rθ，其中L为弧长，r为半径，θ为圆心角（弧度制）。

4. 圆与其他图形的关系（1）圆与直线的关系直线与圆的关系主要包括相离、相切和相交三种情况。

当直线与圆相离时，直线与圆没有交点；当直线与圆相切时，直线与圆只有一个交点；当直线与圆相交时，直线与圆有两个交点。

（2）圆与多边形的关系圆与多边形的关系主要包括外切和内切两种情况。

当一个多边形的所有顶点都在圆上时，该多边形与圆相切，称为内切；当一个多边形的每一条边都与圆相切时，该多边形与圆相切，称为外切。